山东省潍坊市2022-2023学年高三下学期2月高考模拟考试(一模) 数学 含答案

南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（文科）命题人： 审题人：说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。

2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。

3．考试结束后，请将答题纸交回。

第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49.在区间[−3,3]上随机取一个数a ，则关于x 的方程x 2=−a −3x 至少有一个正根的概率为( ) A. 18 B. 16 C. 13 D. 1210. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. B. 12 C.D. 11. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( )A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________.14. 若,x y 满足约束条件34x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则2z x y =−的取值范围为___________．15. 将函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53；③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2； ④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =32n 2−12n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列b n =[lga n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，求{b n }的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大值．19. 某加工工厂加工产品A ，现根据市场调研收集到需加工量X （单位：千件）与加工单价Y （单位：元/件）的四根据表中数据，得到Y 关于X 的线性回归方程为20.6Y bX =+，其中11.4m b −=． （1）若某公司产品A 需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；（2）通过计算线性相关系数，判断Y 与X 是否高度线性相关．参考公式：()()ni ix x y y r −−=∑ ，0.9r >时，两个相关变量之间高度线性相关．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 设函数()()22f x alnx x a x =+−+，其中.a R ∈ (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >−.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a c b k ++=，求()b a c +的最大值.。

【中考数学】2022-2023学年山东省济宁市专项提升仿真模拟试卷（一模）一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只要一项是符合标题要求的）1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氢气氮气氦气液化温度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化温度的气体是（ ）A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（ ）3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）4．下列计算正确的是（ ）A．3a2+4a2＝7a4B．•＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝5．已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣B．a≥﹣2C．a＞﹣D．a＞﹣26．某学校初一年级先生来自农村，牧区，城镇三类地区，上面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）①该校初一先生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．②若已知该校来自牧区的初一先生为140人，则初一先生总人数为1080人．③若从该校初一先生中抽取120人作为样本，调查初一先生父母的文明程度，则从农村、牧区、城镇先生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．A．3个B．2个C．1个D．0个7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝48．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，上面d及π的值都正确的是（ ）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°9．以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命题的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（ ）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需求解答过程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝ ．12．反比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），则k1+k2＝ ．13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 ．（用含π的代数式表示），圆心角为 度．14．动物学家经过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．15．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，值为 ．16．若把第n个地位上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n是这个数列中第n个地位上的数，n＝1，2，…，k且y n＝并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只要四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字阐明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算求解：（1）计算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程组．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的外形．（无需阐明理由）19．（10分）某大学为了解大先生对中国党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试．现从一、二两个年级中各随机抽取20名先生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为）进行整理、描述和分析，给出了上面的部分信息．大学一年级20名先生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名先生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的先生的测试成绩的平均数、众数、中位数、率如下表所示：年级平均数众数中位数率大一a b43m大二39.544c n请你根据上面提供的一切信息，解答下列成绩：（1）上表中a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ，n ；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级先生掌握党史知识较好？并阐明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名先生参加了此次测试，经过计算，估计参加此次测试成绩合格的先生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的先生中随机抽取两名先生，用列举法求两人在同一年级的概率．20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合理论课上，同窗们需求在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同窗们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非角的三角函数或根式表示即可）21．（7分）上面图片是七年级教科书中“实践成绩与一元方程”的探求3．探求3电话计费成绩下表中有两种挪动电话计费方式．月运用费/元主叫限定工夫/min主叫超时费/（元/min）被叫方式一581500.25方式二883500.19考虑下列成绩：月运用费固定收：主叫不超限定工夫不再免费，主叫超时部分加收超时费，被叫．（1）设一个月内用挪动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表阐明：当t在不同工夫范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫工夫选择的计费方式吗？经过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个成绩，发现两种计费方式，每一种都是因主叫工夫的变化而惹起计费的变化，他把主叫工夫视为在正实数范围内变化，决定用函数来处理这个成绩．（1）根据函数的概念，小明首先将成绩中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示成绩中的 ，y表示成绩中的 ．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并根据图象直接写出如何根据主叫工夫选择的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需求本人确定）22．（7分）为了促进先生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”．去年学校经过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数添加，需求从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年进步了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？23．（10分）已知AB是⊙O的任意一条直径．（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．求证：①BC2＝2BD；②改变图2中切点C的地位，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．（1）经过配方可以将其化成顶点式为 ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 （填上方或下方），即4ah﹣k2 0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你A、B两点在抛物线上的可能地位，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以阐明；（为了便于阐明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需求借助图象辅助阐明，可本人画出简单表示图）（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．【中考数学】2022-2023学年山东省济宁市专项提升仿真模拟试卷（一模）一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只要一项是符合标题要求的）1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氢气氮气氦气液化温度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化温度的气体是（ ）A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气【分析】根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解．解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，∴其中液化温度的气体是氦气．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据三角新内角和可以先求出∠BAC的度数，再根据平角的定义，可知∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，从而可以求得∠EAC的度数．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：D．3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：B．4．下列计算正确的是（ ）A．3a2+4a2＝7a4B．•＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．解：3a2+4a2＝7a2，故选项A错误；当a＞0时，＝a＝1，当a＜0时，＝﹣a＝﹣1，故选项B错误；﹣18+12÷（﹣）＝﹣18﹣18＝﹣36，故选项C错误；﹣a﹣1＝﹣（a+1）＝＝＝，故选项D正确；故选：D．5．已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣B．a≥﹣2C．a＞﹣D．a＞﹣2【分析】分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于a的不等式，解之即可．解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，解不等式﹣1≥得：x≥2a+2，∵关于x的不等式组无实数解，∴不等式的解集为2a+2＞﹣2，解得：a＞﹣2，故选：D．6．某学校初一年级先生来自农村，牧区，城镇三类地区，上面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）①该校初一先生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．②若已知该校来自牧区的初一先生为140人，则初一先生总人数为1080人．③若从该校初一先生中抽取120人作为样本，调查初一先生父母的文明程度，则从农村、牧区、城镇先生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据扇形统计图分别求出各组人数所占比例，进而得出答案．解：该校来自城镇的初一先生的扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣60°＝210°，∴该校初一先生在这三类不同地区的分布情况为90：60：210＝3：2：7，故①正确，不符合题意；若已知该校来自牧区的初一先生为140人，则初一先生总人数为140÷＝840（人），故②错误，符合题意；120×＝30（人），120×＝20（人），120×＝70（人），故③正确，不符合题意；故选：C．7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【分析】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，∵点A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．故选：A．8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，上面d及π的值都正确的是（ ）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°【分析】根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，则CP＝PD，且∠COP＝22.5°，设正八边形的边长为a，则a+2×a＝4，解得a＝4（﹣1），在Rt△OCP中，OC＝＝，∴d＝2OC＝，由πd≈8CD，则π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．故选：C．9．以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命题的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用三角形的中位线的性质、类似多边形的定义及平均数的知识分别判断后即可确定正确的选项．解：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，正确，是真命题，符合题意；②由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队曾经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过，故原命题错误，是假命题，不符合题意．③两个正六边形一定类似但不一似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正确，是真命题，符合题意，正确的有2个，故选：B．10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（ ）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜【分析】方法1、由二次项系数为1的抛物线判断出抛物线的开口向上，开口大小一定，进而判断出ab＞0，再根据完全平方公式判断出a＝b，且抛物线与x轴只要一个交点时，是ab的值的分界点，进而求出m＝n＝，进而求出a＝b＝，即可得出结论．方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），进而得出ab＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]，再判断出0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，即可得出结论．解法1、∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，∴此函数的开口向上，开口大小一定，∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b时取等号），即a2+b2≥2ab（当a＝b时取等号），∴当a＝b时，ab才有可能，∵二次函数过A（0，b），B（3，a）两点，∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x＝1.5，∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，即当抛物线与x轴只要一个交点时，是ab值的分界点，当抛物线与x轴只要一个交点时，此时m＝n＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，∴a＝b＝，∴ab＜（）2＝，∴0＜ab＜，故选：C．解法2、∵二次函数的图象（0，b）和（3，a）两点，∴b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]∵0＜m＜n＜3，∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，∵m＜n，∴ab不能取，∴0＜mn＜，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需求解答过程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝　xy（x+2）（x﹣2）　．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．12．反比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），则k1+k2＝　﹣8　．【分析】根据待定系数法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．解：∵反比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），∴﹣2＝k1，﹣2＝，∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，∴k1+k2＝﹣8，故答案为﹣8．13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为　12π　．（用含π的代数式表示），圆心角为　216　度．【分析】根据圆锥的展开图为扇形，圆周长公式的求解．解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，根据题意得2π×6＝，解得n＝216，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．故12π，216．14．动物学家经过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有　0.8a　只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．【分析】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量；先设出一切动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.5x，故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为＝，故0.8a，．15．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为 ，值为　2+　．【分析】由点E是一边BC上的中点及AE平分∠BAC，可得△ABC是等边三角形，根据菱形ABCD的面积为2，可得菱形的边长为2；求PE+PC的最小值，点E和点C是定点，点P是线段BD上动点，由轴对称最值成绩，可求出最小值；求和的值，观察图形可知，当PE和PC的长度时，和，即点P和点D重合时，PE+PC的值．解：根据图形可画出图形，如图所示，过点B作BF∥AC交AE的延伸线于点F，∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，∵点E是BC的中点，∴△ACE≌△FBE（AAS），∴BF＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF＝AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形；∴∠ABC＝60°，设AB＝a，则BD＝，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝2，即＝2，∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；∵四边形ABCD是菱形，∴点A和点C关于BD对称，∴PE+PC＝AP+EP，当点A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时AE＝；点P和点D重合时，PE+PC的值，此时PC＝DC＝2，过点D作DG⊥BC交BC的延伸线于点G，连接DE，∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝60°，∴CG＝1，DG＝，∴EG＝2，∴DE＝＝，此时PE+PC＝2+；即线段PE与PC的和的最小值为；值为2+．故；2+．16．若把第n个地位上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n是这个数列中第n个地位上的数，n＝1，2，…，k且y n＝并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只要四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是　0，1，0，1　．【分析】根据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的y n即可．解：当n＝1时，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，当n＝2时，x1≠x3，∴y2＝1，当n＝3时，x2＝x4，∴y3＝0，当n＝4时，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生数列”B是：0，1，0，1，故答案为0，1，0，1．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字阐明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算求解：（1）计算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程组．【分析】（1）根据负整数指数幂、二次根式的除法法则和角的三角函数值计算；（2）先把原方程组化简，然后利用加减消元法解方程组．解：（1）原式＝3﹣（﹣）+×＝3﹣（4﹣2）+1＝3﹣2+1＝2；（2）原方程整理为，①×12﹣②得：13x＝3900，解得x＝300，把x＝300代入①得：y＝400，∴方程组的解为．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的外形．（无需阐明理由）【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，再由BE∥DF，可得∠AEB＝∠CFD，进而判断△ABE≌△CDF；（2）解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），（2）连接ED，BF，BD，由（1）知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形，1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，2°当四边形ABCD是菱形时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．（10分）某大学为了解大先生对中国党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试．现从一、二两个年级中各随机抽取20名先生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为）进行整理、描述和分析，给出了上面的部分信息．大学一年级20名先生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名先生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的先生的测试成绩的平均数、众数、中位数、率如下表所示：年级平均数众数中位数率大一a b43m大二39.544c n请你根据上面提供的一切信息，解答下列成绩：（1）上表中a＝　41.1　，b＝　43　，c＝　42.5　，m＝　55%　，n　＝65%　；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级先生掌握党史知识较好？并阐明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名先生参加了此次测试，经过计算，估计参加此次测试成绩合格的先生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的先生中随机抽取两名先生，用列举法求两人在同一年级的概率．【分析】（1）由平均数、众数、中位数的定义求解即可，再由两个年级的率进行阐明即可；（2）先求出样本合格率，再由参加此次测试的总人数乘以合格率即可；（3）画树状图，共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，再由概率公式求解即可．解：（1）将一年级20名同窗成绩整理如下表：成绩25303739434950人数1242542'∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×＝65%，故41.1，43，42.5，55%，＝65%；从表中率看，二年级样本率达到65%高于一年级的55%，因此估计二年级先生的率高，所以用率评价，估计二年级先生掌握党史知识较好．（2）∵样本合格率为：＝92.5%，∴估计总体的合格率大约为92.5%，∴估计参加测试的两个年级合格先生约为：1240×92.5＝1147（人），∴估计参加此次测试成绩合格的先生人数能超过1000人；（3）一年级满分有2人，记为A，B，二年级满分有3人，记为C，D，E，画树状图如图：共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，∴两人在同一年级的概率为＝．20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合理论课上，同窗们需求在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同窗们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非角的三角函数或根式表示即可）【分析】过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米，根据直角三角形的三角函数得出x，进而解答即可．解：如图，过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴，∴tan55°⋅x＝x+40，∴（tan55°﹣1）⋅x＝40，∴，所以河宽为米．答：河宽为米．21．（7分）上面图片是七年级教科书中“实践成绩与一元方程”的探求3．探求3电话计费成绩下表中有两种挪动电话计费方式．被叫月运用费/元主叫限定工夫/min主叫超时费/（元/min）方式一581500.25方式二883500.19考虑下列成绩：月运用费固定收：主叫不超限定工夫不再免费，主叫超时部分加收超时费，被叫．（1）设一个月内用挪动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表阐明：当t在不同工夫范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫工夫选择的计费方式吗？经过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个成绩，发现两种计费方式，每一种都是因主叫工夫的变化而惹起计费的变化，他把主叫工夫视为在正实数范围内变化，决定用函数来处理这个成绩．（1）根据函数的概念，小明首先将成绩中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示成绩中的　主叫工夫　，y表示成绩中的　计费　．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并根据图象直接写出如何根据主叫工夫选择的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需求本人确定）【分析】（1）由题意可知，x表示成绩中的主叫工夫，y表示成绩中的计费；再根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的方法就可以得出结论；（2）画出图象，再根据图象解答即可．解：（1）由题意，可得x表示成绩中的主叫工夫，y表示成绩中的计费；方式一：y＝；方式二：y＝；故主叫工夫，计费；（2）大致图象如下：由图可知：当主叫工夫在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相反，超过270分钟选方式二．22．（7分）为了促进先生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”．去年学校经过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数添加，需求从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年进步了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？【分析】设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个，根据“购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍”列出分式方程，经过解方程求得A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个；然后设今年购进B足球的个数为a个，再根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列出不等式并解答即可．解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．由题意得：，即，∴96（x+12）＝120x，∴x＝48．经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．。

试卷类型： A山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试高三数学2022. 11本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240,{|lg(1)|M x x N x y x =-==-…∣,则M N ⋃= A.(,2]-∞ B.(,2]-∞- C.[2,1)- D.(,2][2,)-∞-⋃+∞ 2.若命题“2[1,2],30x x a ∃∈-<”为假命题,则实数a 的取值范围是 A.(,4]-∞ B.[2,)+∞ C.(,3]-∞ D.(,2)-∞3.设4,0,,sin ,cos()255παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭,则cos β=A. D. 4.为调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,学校决定采用随机数表法从高三800名学生中随机抽取80名进行调查,将800名学生进行编号,编号分别为001,002,,799,800.下面提供的是随机数表的第4行到第6行:32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从随机数表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据作为抽取学生的编号,则抽到的第5名学生的编号是 A.007 B.253 C.328 D.7365.在学习《数学探究活动:得到不可达两点之间的距离》时,小明所在的小组决定测量本校人工湖两侧$C,D$两点间的距离,除了观测点,C D 外,他们又选了两个观测点12,P P ,测得121221,,PPm PP D P PD αβ=∠=∠=,则利用已知观测数据和下面三组新观测角中的一组,就可以求出,C D 间的距离是①1DPC ∠和1DCP ∠;②12PP C ∠和12PCP ∠;③1PDC ∠和1DCP ∠. A.①和② B.①和③ C.②和③ D.①和②和③6.函数(1)y k x =-与ln y x =的图像有且只有一个公共点,则实数k 的取值范围为 A.1k = B.k e … C.1k =或0k … D.0k …或1k =或k e …7.对于函数()()f x x D ∈,若存在常数(0)T T >,使得对任意的x D ∈,都有()()f x T f x +…成立,我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.若函数()cos f x kx x =+是“3π同比不增函数",则实数k 的取值范围是 A.3,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.3,π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3,π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()1*132n n n a S n -⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N ,则下列结论正确的是A.23a a <B.68742a a a +=C.数列{}2nn a 是等比数列 D.13n S <…二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效,为加快推进各行各业复工复产,对当地进行连续11天调研,得到复工复产指数折线图(如图所示),下列说法错误．．的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B ．这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80％D ．第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量 10.已知0,0a b 厖,且1a b +=,则A.22a b +…B.221a b +…C.23log 12a b ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭D.ln(1)a a +…的充要条件是1b = 11.佼波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,芠波那契数列被以下递推的方法定义:数列{}n a 满足:121a a ==,()*21n n n a a a n ++=+∈N.则下列结论正确的是A.813a =B.2023a 是奇数C.2222123202*********a a a a a a ++++= D.2022a 被4除的余数为012.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',对于任意实数x ,都有2()()xf x ef x -=,且满足22()()21x f x f x x e '-+=+-,则A.函数2()()F x e f x =为偶函数 B.(0)0f = C.不等式()x xxe f x e e +<的解集为(1,)+∞ D.若方程2()()0f x x a x--=有两个根12,x x ,则122x x a +> 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_______.14.设函数sin ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π>⎧=⎨+-⎩…,则53f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 15.一个盒子中有4个白球,m 个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为59,则m =________. 16.在ABC 中,点D 是$BC$上的点,$AD$平分,BAC ABD ∠面积是ADC 面积的2倍,且AD AC λ=,则实数λ的取值范围为________；若ABC 的面积为1,当BC 最短时,λ=______.(第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 17.（10分)定义在(1,1)-上的函数()f x 和()g x ,满足()()0f x g x +-=,且1()log 2a xg x +=,其中1a >. (1)若122f ⎛⎫=⎪⎝⎭,求()f x 的解析式;(2)若不等式()1f x >的解集为1,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求m a -的值. 18.(12分)在(1)(0)1f =,(2)函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭,(3)函数()f x 图像上相邻两个对称中心的距离为π,这三个条件中任选两个补充在下面问题中,并给出问题的解答.已知函数()2sin()02,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭,满足 (1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间;(2)在锐角ABC 中,()2,f B b ==求ABC 周长的取值范围. 19．（12分）2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：参考数据:()()10102211600,768,80i i i i x x y y x==-=-==∑∑.（1）已知观看人次x 与销售量y 线性相关,且计算得相关系数16r =,求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+; (2)规定:观看人次大于等于80(万次)为金牌主播,在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀,小于90(百件)为不优秀,对优秀赋分2,对不优秀赋分1.从金牌主㨨中随机抽取3名,若用X 表示这3名主播赋分的和,求随机变量X 的分布列和数学期望.(附:()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑,相关系数()()niix x y y r --=∑20.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为512,35,8n S S a a =+=,记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . (1)求数列{}n a 的通项公式及n S ;(2)是否存在实数λ,使得211(1)n n T λ+--…恒成立?若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)为了解新研制的抗病毒药物的疗效,某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药,然后对每只白鼠的血液进行抽样化验,若检测样本结果呈阳性,则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性,则白鼠末感染病毒.现随机抽取()*,2n n n ∈N …只白鼠的血液样本进行检验,有如下两种方案: 方案一:逐只检验,需要检验n 次;方案二:混合检验,将n 只白鼠的血液样本混合在一起检验,若检验结果为阴性,则n 只白鼣末感染病毒;若检验结果为阳性,则对这n 只白鼠的血液样本逐个检验,此时共需要检验1n +次.(1)若10n =,且只有两只白鼠感染病毒,采用方案一,求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿白业的概率; (2)已知每只白鼠咸染病暃的概率为(01)p p <<.①采用方案二,记检验次数为X ,求检验次数X 的数学期望;②若20n =,每次检验的费用相同,判斨哪种方案检验的费用更少?并说明理由. 22.(12分)已知函数1()ln f x x a x x=++,其中a ∈R . (1)求函数()f x 的最小值()h a ,并求()h a 的所有零点之和; (2)当1a =时,设()()g x f x x =-,数列{}()*n x n ∈N 满足1(0,1)x ∈,且()1n n xg x +=,证明:1322n n n x x x ++++>.高三数学试题参考答案及评分标准2022.11一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1—5 ACCAD 6—10 CBD二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．ABD10．AD11．BCD12．ABD三、填空题（每小题5分，共20分） 13．40142- 15．616．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）由题意知，()()2log 1a f x g x x=--=-， 又因为122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以log 42a =，即2a =． 所以函数()f x 的解析式是()22log 111y x x=-<<-． （2）由()1f x >，得21a x >-，由题意知10x ->，所以211x a-<<， 所以21131a m ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，即321a m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12m a -=-． 18．解：（1）若选①②，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或()526k k πϕπ=+∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以432362k πππωπ+=+，()k ∈Z ， 所以312k ω=+，()k ∈Z ，又因为02ω<<，所以1ω=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，若选①③，由①得，()02sin 1f ϕ==，所以26k πϕπ=+或526k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π，所以2T π=，所以1ω=， 所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z若选②③，由③得，函数()f x 图像上相邻对称中心的距离为π．所以2T π=，所以1ω=， 由②得，函数()f x 图像的一个最低点为4,23π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以431232k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z ，即26k πϕπ=+，()k ∈Z ，又因为02πϕ<<，所以6πϕ=，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R ， 当22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k ∈Z ，函数()f x 单调递增，即22233k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z ，所以函数()f x 单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，（2）()2sin 26f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为锐角三角形，所以3B π=．因为b =2sin bB==，由正弦定理可得22sin 2sin 3a A C π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2sin c C =， 所以ABC △的周长22sin 2sin 2sin 2sin 36ABC L a b c A C C C C ππ⎛⎫⎫=++=++=-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎭△因为ABC △是锐角三角形，由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以2,633C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 62C π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(36ABC L C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△， 所以ABC △周长的取值范围为(3+．19．解：（1）因为()()niix x y y r --=∑，所以()()1016iix x y y --=∑所以()()101660i i i x xy y =--=∑，所以()()()10110216601160010iii i i x x y y b x x==--===-∑∑， ()18087778310y =+++=118380510a y bx =-=-⨯=-，所以回归直线方程为11510y x =-． （2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1， 则随机变量X 的取值范围是{}3,4,5()33351310C P X C ===，()122335345C C P X C ===，()2123353510C C P X C ===， 所以X 的分布列为：所以()345105105E X =⨯+⨯+⨯=．20．解：（1）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，首项为1a ，53535S a ==，解得37a =，12128a a a d +=+=，又因为3127a a d ++=，13a =，2d =所以()32121n a n n =+-=+()21122n n n S na d n n -=+=+． （2）证明：由（1）知22n S n n =+，所以()21111112222n S n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 所以11111111111111131121324112212122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-=+--=-- ⎪ ⎪ ⎪-++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为n T 为递增数列，所以当1n =时，n T 取得最小值为131112211123⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，又因为0n >，所以34n T <，所以1334n T ≤<．当n 为奇数时，21n T λ-≤恒成立，即2113λ-≤，解得λ≤≤， 当n 为偶数时，21n T λ-≤-恒成立，即2314λ-≤-，解得1122λ-≤≤， 综上所述，实数λ的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 21．解：（1）根据题意恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率12811109845P =⨯⨯=， 恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率28211109845P =⨯⨯=， 所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率28182121098109845P =⨯⨯+⨯⨯=．（2）①设检验次数为X ，可能取得值为1，1n +．则()()11nP X p ==-，()()111nP X n p =+=--，所以()()()()()()111111n n nE X p n p n n p ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦．②方案二的检验次数期望为()()()11n E X n n p =+--，所以()()20201201E X p -=-⨯-， 设()()201201g p p =-⨯-，因为011p <-<，所以()g p 单调递增， 由()0g p =得1p =01p <<()0g p <，则()20E X <， 当11p <<时，()0g p >，则()20E X >， 故当01p <<时，选择方案二检验费用少，当11p -<<时，选择方案一检验费用少，当1p = 22．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()221x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得210x ax +-=，解得1x =2x =（舍去），所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞单调递增，所以()()111min 11ln f x f x x a x x ==++，即()ln 2ah a a =，由1x 是方程210x ax +-=的根，则111a x x =-，所以()1111111ln h a x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，令()11ln H x x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，可知()1H H x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又因为()211ln H x x x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，所以()H x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减． 而222130H e e e⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()120H =>，所以有且仅有唯一()00,1x ∈，使得()00H x =， 所以()011,x ∈+∞，有010H x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以方程()0H x =有且仅有两个根0x ，01x ， 即1111111ln 0x x x x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭有且仅有两根0x ，01x ， 又因为()11110a x x x =->单调递减，所以()y h a =有两个零点设为1a ，2a （不妨设12a a <），则12000011101a a x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（2）由题意知1a =时，()()1ln g x f x x x x =-=+，因为()22111x g x x x x-'=-=， 令()0g x '>，得1x >，()0g x '<，得1x <．所以()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞递增，则有()()11g x g ≥=，因为()10,1x ∈，所以()211x g x =>，()321x g x =>，…，()11n n x g x +=>．令()()1ln m x g x x x x x=-=+-，1x ≥，()2222131240x x x m x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'==<，所以()m x 在区间[)1,+∞单调递减，所以()()10m x m ≤=． 所以()21110n n n n x x g x x ++++-=-<，即21n n x x ++< 又因为函数()m x 单调递减，所以()()21n n m x m x ++>， 即22112111ln ln n n n n n n x x x x x x +++++++->+-，即3221n n n n x x x x ++++->-，所以1322n n n x x x ++++>．。

2022-2023学年山东省潍坊市高三（下）一模考试化学试卷1. 化学与生活、生产密切相关。

下列说法错误的是A. 华为公司首创的液冷散热技术所用的石墨烯材料是有机高分子材料B. 晶体硅的导电性介于导体和绝缘体之间，常用于制造芯片C. 研发催化剂将还原为甲醇是促进碳中和的有效途径D. 常用于医用滴眼液的聚乙烯醇易溶于水2. 下列物质的性质和用途之间的对应关系正确的是A. 沸点低，工业上常用液氨作制冷剂B.有强氧化性，可用于溶解银C. 溶液显碱性，常作烘焙糕点的膨松剂D. 具有还原性，可用于除去废水中的3. 学习小组用废弃的铝制易拉罐按如下流程制备明矾，并测定明矾中结晶水的含量。

上述实验中不需要用到的操作是A. B. C. D.4. 化合物R是一种用于有机合成的催化剂，其网状结构片段如图。

X、Y、Z、W为原子序数依次增大的短周期主族元素，四种元素原子序数之和为29，W的第一电离能大于同周期相邻元素。

下列说法正确的是A. 电负性：B.中各原子均满足8电子稳定结构C. 同周期元素形成的单质中，Z的氧化性最强D. 化合物R中Y、Z、W原子的杂化类型相同5. 芹黄素是芹菜中的生物活性物质，结构简式如图所示。

下列说法错误的是A. 分子中的所有碳原子可能共平面B. 一定条件下能与甲醛发生反应C. 分子中苯环上的一氯代物有5种D. 1 mol 该物质最多能与发生加成反应6. 过氧化钙晶体常用作医药消毒剂，以轻质碳酸钙为原料，按以下实验方法来制备。

轻质粉末滤液白色结晶体下列说法错误的是A. ①中煮沸的主要目的是除去溶液中的HCl和B. ②中氨水用来调节溶液的pHC. ②中结晶的颗粒较小，过滤时可用玻璃棒轻轻搅动以加快过滤速度D. ③中醇洗的主要目的是减少晶体的损失，使产品快速干燥7. “点击化学”研究获得2022年诺贝尔化学奖表彰，利用该原理可制得如图所示含大键的产物。

已知杂化轨道中s成分越多，所形成的化学键越稳定。

A2023.41.答题前，考生务必将自己的姓名、座号、考号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5015 2.537.5阅读下列短文，从每题所给的四个选项 (A 、B 、C 和D) 中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

AThe Book HiveNorwichAs well as being a favourite of celebrities,this is a front-runner for the nation's prettiest bookshop,with an expansive glass shopfront and colourful art decorating the walls.It's home to thousands of hand-selected titles,with an especially impressive art-and-design collection.Owner Henry Layte says,"The Book Hive is like an old-fashioned bookshop,but it's also contemporary, stylish and fun!"Mr B's Reading Emporium BathA huge part of the charm (魅力) of this place is MrB himself-a former bank trader who gave it all up in 2006to share his passion for the written word.His enthusiasm must be infectious because his staff are similarly cheerful,handwriting personal notes to the overflowing shelves.“You can drop in anytime,”says one employee."And we pride ourselves on championing lesser-known tiles."Barter BooksNorthumberlandUnder the roof of the Victorian Station lie the free-standing bookshelves,homely carpets and open fires that make up Barter Books.In addition to the thousands of second-hand titles in this bookstore,there are more than 40glass cases housing rare books.Visitors can also see the Writers Mural-life-size literary figures painted high up on the walls.See if you can spot Charlotte Bronte and Charles Dickens.Much More BooksShropshireSituated in the market town Much Wen lock，Much More Books is the epitome (缩影) of an antiquarian shop.Most surprisingly,historic buildings,an inclusive and well-thumbed collection, and even a book-finder service combine to make you feel as if you've stepped back a few centuries.Every type is covered,with lots of local-interest titles thrown in.You can even add to your music collection with their selection of vinyls and CDs.1.What do The Book Hive and Barter Books have in common?A.They provide second-hand books.B.They are decorated like homes.C.They have art works on their walls.D.They are favored by big figures.2.What will impress you most when you enter Much More Books?A.The music CD.B.The ancient style.C.The rare antique.D.The dynamic staff.3.What is the text？A.An advertisement for books.B.A collection of book reviews.C.An introduction to well-known writers.D.A recommendation for famous bookshops.BMichael Gonsalves,a chef of Golden Oak at Disney World,has a cuisine concept rooted in fresh,locally-sourced ingredients that originated from childhood harvesting produce from their family garden with his mom to eventually leading kitchens at Walt Disney World Resorts to employ a sustainable model."Truly the whole process starts with menu planning,"he said.Creating one dish leads into the creation of many more through the end-to-end use of products. As chefs, they are always searching for the best ingredients.It is then their focus to ensure they appreciate and respect all that go into each and every one of them.For example,they source chicken that is naturally grown and fed on a natural plant forward diet，no hormones (激素) or additives-that's used in many ways throughout menus from a simple grilled chicken breast to bone soup.Nothing goes to waste.When they do have waste,even if minimal,they shift it from landfills to transform it into compost (堆肥) that's then used across the Walt Disney World property.They also support Second Harvest, a local community food bank where healthy produce,prepared,but not served,meals eatable for human consumption are donated.Disney also works with pig farmers when they can't distribute foods past the point of safety for human consumption.Besides,wildlife reservations love to get the meat because tigers and wild cats can still eat that.Their operations are“on a path to a sustainable zero waste kitchen of tomorrow"where chefs learn the full-life cycle of plants from seed to plate and gain a better understanding and appreciation for the product and their craft.Golden Oak at Disney has millions of bees that produce up to 300 pounds of honey per year，plus those bees help with cross pollination (授粉) of their gardens on a daily basis.They advocatea culture that helps develop not only the quality of food,but an appreciation for nature.4.Where did Michael Gonsalves' idea about cuisine come from?A. His mom's suggestions.B.His dream of becoming a chef.C.His interest in delicious food.D.His labor experience as a child.5.How are the ingredients dealt with in Golden Oak?A.They are grilled to eat.B.They are used to the fullestC.They are divided into groups.D.They are selected by quality.6.What does the author intend to do in paragraph 3?A.Give examples about zero waste.B.Introduce the unique habit of wildlife.C.Stress the importance of natural food.D.Explain the operation mode of the food bank.7.Which of the following is a suitable title for the lext?A.Disney World:New Cuisine RoadB.Michael Gonsalves:Creative ChefC.Michael Gonsalves:Advocate of Food DiversityD.Disney World:Pioncer in Environmental ProtectionCAs winter arrives,the problem of fogged-up car windscreens becomes more pressing for drivers.Anti-misting sprays (喷雾剂)are one way lo deal with such fogging.But they need frequent reapplication. Another approach is to fix within the thing to be demisted a set of electrically powered heating wires.But because of the visual distraction (分心)created ，that doesn't work for a car's front windscreen.Iran Hachler and Dimos Poulikakos of the Swiss Federal Institute of Technology in Zurich have,however,come up with another way of warming something up to stop fog forming.Their new material is a coating ten nanometres (纳米)thick.It is flexible ，easily made using existing processes,and can be applied as a coating to glass or plastic,or inset inside such materials.Its demisting properties are powered by sunlight.In effect ，it is a gold sandwich.The“bread”of this sandwich is a pair of layers (层)，top and bottom,of a chemical material,each three nanometres thick.The filling is a four-nanometre deep golden material.The whole structure lets visible light pass unlimited,while absorbing invisible lights and transforming them into heat.It is the filling that warms the glass.Gold acts as a medium in the heating process.The network will now absorb heat if left in the sunshine.The top and bottom layers boost that absorption.Glass coated with Mr Hachler's and Dr Poulikakos's invention is,they claim,four times more effective at preventing fog than an uncounted surface.It absorbs around 30%of solar radiation incident upon it-which,on a sunny day,increases the temperature of what it is applied to by around 8°C.On a cloudy day,that temperature rise is closer to 3-4°C.But in either case the enhancement is sufficient both to remove any fog that has formed and to prevent new fog forming.The next step,Mr Hachler says,is to find the product's best market.Even though gold is used,the cost of adding this extra one is low.For the two inventors,though,the idea might prove a gold mine.8.What is the disadvantage of anti-misting sprays?A.They have no lasting effect.B.They damage the windscreens.C.They turn the drivers' attention away.D.They are constantly powered by electricity.9.What is the function of the center layer?A.To save up heat.B.To protect the gold.C.To produce electricity.D.To heat the windscreens.10.What can be inferred about the invention from paragraph 4?A.It is useless on cloudy days.B.It is unable to work at night.C.Coated glass absorbs the visible lights.D.Uncoated glass lowers the temperature by 8°C.11.What does the author think of the new invention?A.It is very costly.B.It hits the market well.C.It is highly profitable.D.It needs further improvement.D"Adolescent chimpanzees ( 黑猩猩 ) are in some sense facing the same psychological characteristics that human teens are,"said Alexandra Rosati,a professor at the University of Michigan."Our findings show that several key features of human adolescent psychology are also seen in our closest primate relatives."The researchers conducted two tests involving food rewards with 40wild-born chimpanzees in Republic of Congo.The chimpanzees voluntarily participated in the games to receive food treats.Chimpanzees experience adolescence at about 8to 15.Like humans,chimpanzees show rapid changes in hormone levels during adolescence,start forming new bonds with companions,show increases in aggression and compete for social status.In the first test,adolescent and adult chimpanzees could choose between two containers in a gambling(投机)task.One container always contained peanuts，a food that chimpanzees somewhat like.Hidden in the other one was either an unlined food-a cucumber slice-or a favorite food-a banana slice.The chimpanzees could play it safe and get the peanuts,or take a chance for some greatly desired banana at the risk of ending up with unappetizing cucumber.The chimpanzees' emotional reactions were recorded,including angers,screams,or sticking on the table.During several rounds of the test,adolescent chimpanzees took the risky option more often than adult chimpanzees,but adolescents and adults had similar negative reactions when they received cucumber.The second lest,modeled after the famous"marshmallow test"with human children,examined delayed satisfaction where chimpanzees could receive one banana slice immediately or wait for one minute to receive three slices.Both adolescent and adult chimpanzees chose the greater delayed reward at a similar rate. Human teens lend to be more impulsive(冲动)than adults so they would be more likely to take the immediate reward."Prior research indicates that chimpanzees are quite patient compared with other animals,and our study shows that their ability to delay satisfaction is already mature at a fairly young age, unlike in humans,"Rosati said.Risk-taking behavior in both adolescent chimpanzees and humans appears to be deeply biologically rooted,but increases in impulsive behavior may be specific to human teens.12.What does the first test aim to find out about chimpanzees?A.Their problems of emotions.B.The signs of aggression.C.Their sense of adventure.D.The change in hormone levels.13.What does the underlined expression“play it safe”in paragraph 4 mean？A.Give it a try.B.Take an action.C.Play with fire.D.Avoid taking risks.14.How might chimpanzees feel after getting the cucumber in the experiment?A.Puzzled.B.Delighted.C.Disappointed.D.Surprised.15.What is the finding of the second test?A.The chimpanzees prefer bananas to any other reward.B.Human adolescents tend to enjoy the instant satisfaction.C.Human teens' ability to delay satisfaction develops better.D.The chimpanzees are impatient to wait for delayed rewards.5 2.512.5根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数 学本试卷共6页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={x ∈N|x ²-4x -5≤0}，A={0，2}，B ={1，3，5}，则A∩(C U B )=A.{2}B.{0，5}C.{0，2}D.{0，2，4}2.已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“复数1a bi z i+=+是纯虚数”是“|a |+|b |≠0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知平面向量a 与b 的夹角是60°,且|a |=2，b =(1,2)，则a ·(2a -b )=A.8+B.4C.8D.4+4.我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问：斩高几何?”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少?”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为(注：1丈=10尺)A.11676立方尺B.3892立方尺 立方尺 5.已知函数()f x 的定义域为R , ()1f x +为偶函数, ()()4f x f x +=-，则A.函数()f x 为偶函数B. ()30f =C. 1522f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20230f =6.若P 为函数()12x f x e =-图象上的一个动点，以P 为切点作曲线()y f x =的切线，则切线倾斜角的取值范围是 A. 20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .2,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭7.已知事件()()()131,,,342A B P B P B A P B A ===，，则P(A)= A.14 B. 12 C. 23 D. 128.已知2024202320222022,2023,2024a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A. b >c> aB. b> a > cC. a >c>bD. a > b> c二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.如图所示的几何体，是将棱长为3 的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则A.直线BD 与直线JL 所成角为3πB.直线CG 与平面EFHILK 所成角为6πC.该几何体的体积为23212D.该几何体中，二面角A-BC-D 的余弦值为13 10.将函数()()sin 066f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象,若0,πω⎛⎫ ⎪⎝⎭,是()g x 的一个单调递增区间，则 A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在 24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C.函数()()()F x f x g x =+的最大值为3D.方程()12f x =-在[0，2π]上有5个实数根 11.函数()0b y ax ab x =+>的图象是双曲线，且直线x =0和y=ax 是它的渐近线.已知函数313y x x=+，则下列说法正确的是 A. 420,3x y ≠≥ B.对称轴方程是33,3y x y x ==- C.实轴长为 23D.离心率为233 12.已知函数()112sin x x f x e e x ππ--=-+，实数a 满足不等式()()210f a f a +->，则a 的取值可以是A.0B.1C.2 D .3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知()()5234560123456311x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，则246a a a ++= .(用数字作答)14.已知圆C:x²+y²-4xcosθ -4ysinθ=0 ，则与圆C 总相切的圆D 的方程是 .15.已知函数()()()log log 21x a a f x x a a =-->有两个零点，则实数a 的取值范围是 .16.已知过点A(-1,0)的直线l 1与抛物线C:y²=2x 交于B ，D 两点，过点A 作抛物线的切线l 2,切点是M(在x 轴的上方)，直线MB 和MD 的倾斜角分别是α，β，则tan (α+β)的取值范围为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11113,2,2,2n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+(1)证明：{}n n a b +和{}n n a b -都是等比数列；(2)求{}n n a b 的前n 项和S n .18.(12分)定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180°的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，∠ABC=105°，∠ADB=60°，AB= 3，∠ADB 的平分线为DE ，且2AE EB =.(1)求△ABD 的面积；(2)求CD 的取值范围.19.(12分)某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100 件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1).产品的性能指数在[50，70)的适合儿童使用(简称A 类产品)，在[70，90)的适合少年使用(简称B 类产品)，在[90，110]的适合青年使用(简称C 类产品)，A ，B ，C 三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5(单位：元).以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.(1)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用x ᵢ和年销售量y ᵢ(i=1，2，3，4，5)的数据做了初步处理，得到散点图(如图2)及一些统计量的值(如下表).根据散点图判断，b y a x =可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程，求y 关于x 的回归方程；(取 4.15964e =)(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大?(收益=销售利润－营销费用)参考公式:对于一组数据(u ₁,v ₁),(u ₂,v ₂),…,(u n , v n ),其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为20.(12分)如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，△ABD 为底面圆O 的内接正三角形，且边长为3 ,点E 在母线PC 上，且AE =3，CE =1.(1)求证:直线PO ∥平面BDE ；(2)求证:平面BED ⊥平面ABD ；(3)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点D ⎭. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线()1:122l y x m m =-+≤≤与椭圆C 交于A ，B 两点，且在坐标平面内存在两个定点P ，Q ，使得PA PB QA QB k k k k λ== (定值)，其中PA PB k k ，分别是直线PA ，PB 的斜率，QA QB k k ，分别是直线QA ，QB 的斜率.①求λ的值;②求四边形PAQB 面积的最大值.22.(12分)已知函数()()2x f x x ax e a R =+-∈有两个极值点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明: x ₁ +x ₂< 1n4。

2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．2一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求． 1. “a 3＋a 9＝2a 6”是“数列{a n }为等差数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 若复数z 满足|z －1|≤2，则复数z 在复平面内对应点组成图形的面积为( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π3. 已知集合A ＝{x |x －1x －a <0}，若A ∩N *＝∅，则实数a 的取值范围是( )A. {1}B. (－∞，1)C. [1，2]D. (－∞，2]4. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( ) A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种5. 某研究性学习小组发现，由双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的两渐近线所成的角可求离心率e 的大小，联想到反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y ＝5x的离心率为( )A. 2B. 2C. 5D. 56. 在△ABC 中，AH 为边BC 上的高且BH → ＝3HC → ，动点P 满足AP → ·BC →＝－14 BC → 2，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心7. 若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0对一切实数x 恒成立，则不等式f ′(2x ＋3)<f ′(x －1)的解集为( )A. (0，＋∞)B. (－∞，－4)C. (－4，0)D. (－∞，－4)∪(0，＋∞)8. 已知四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BCFE 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中( )A. 逐步变大B. 逐步变小C. 先变小后变大D. 先变大后变小二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若X ～N (μ，σ2)，则下列说法正确的是( ) A. P (X <μ＋σ)＝P (X >μ－σ)B. P (μ－2σ<X <μ＋σ)<P (μ－σ<X <μ＋2σ)C. P (X <μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化D. P (μ－2σ<X <μ＋σ)随μ，σ的变化而变化10. 已知函数f (x ) ＝3sin x －4cos x ，若f (α)，f (β)分别为f (x )的极大值与极小值，则( ) A. tan α＝－tan β B. tan α＝tan β C. sin α＝－sin β D. cos α＝－cos β11. 已知直线l 的方程为(a 2 －1)x －2ay ＋2a 2＋2＝0，a ∈R ，O 为原点，则( )A. 若OP ≤2，则点P 一定不在直线l 上B. 若点P 在直线l 上，则OP ≥2C. 直线l 上存在定点PD. 存在无数个点P 总不在直线l 上12. 如图，圆柱OO ′的底面半径为1，高为2，矩形ABCD 是其轴截面，过点A 的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截母线EF 得点P ，则( )A. 椭圆Ω的短轴长为2B. tan θ的最大值为2C. 椭圆Ω的离心率的最大值为22D. EP ＝(1－cos ∠AOE )tan θ三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. (2x ＋1x)5展开式中x 3的系数为________．14. 设函数f (x )＝sin (ωx ＋π3 )(ω>0)，则使f (x )在(－π2 ，π2 )上为增函数的ω的值可以为________(写出一个即可).15. 在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X ，Y 的取值集合均为{0，1，2，3，…，n }(n ∈N *)，则X ，Y 的散度D (X ‖Y )＝P (X ＝i )lnP （X ＝i ）P （Y ＝i ）.若X ，Y 的概率分布如下表所示，其中0<p<1，则D(X‖Y)的取值范围是________．16. 已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋12，n ＝2k －1，a n ＋1，n ＝2k ，其中k ∈N *，{b n }是公比为q 的等比数列，则a n ＋1a n＝________(用q 表示)；若a 2＋b 2＝24，则a 5＝________． 四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ，n ∈N *.(1) 试判断数列{a n －2n －1}是否是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝（2n －1）2na n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和S n .18. (本小题满分12分)在△ABC 中，已知AC ＝2，∠BAC ＝π3 ，P 为△ABC 内的一点，满足AP ⊥CP ，∠APB ＝2π3 .(1) 若AP ＝PC ，求△ABC 的面积； (2) 若BC ＝7 ，求AP .某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：(1) 由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程y＝b x＋a，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数．(2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式和数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，平面PAC ⊥平面PBD ，AB ＝AD ＝AP ＝2，四棱锥PABCD 的体积为4.(1) 求证：BD ⊥PC ；(2) 求平面PAD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．21. (本小题满分12分)如图，已知椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右顶点分别为A ，B ，点C 是椭圆上异于A ，B 的动点，过原点O平行于AC 的直线与椭圆交于点M ，N ，AC 的中点为点D ，直线OD 与椭圆交于点P ，Q ，点P ，C ，M 在x 轴的上方．(1) 当AC ＝ 5 时，求cos ∠POM ； (2) 求PQ·MN 的最大值．已知函数f(x)＝x ＋1ex .(1) 当x>－1时，求函数g(x)＝f(x)＋x 2－1的最小值； (2) 已知x 1≠x 2，f(x 1)＝f(x 2)＝t ，求证：|x 1－x 2|>21－t .2022～2023学年高三年级模拟试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. B2. D3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. AC 10. BCD 11. BD 12. ACD 13. 80 14. 13 (答案不唯一，满足0<ω≤13即可) 15. [0，＋∞) 16. q 2 1 02417. 解：(1) 因为a 1＝3，所以a 1－2×1－1＝0，所以数列{a n －2n －1}不是等比数列．(2分)由a n ＋1＝3a n －4n ，得a n ＋1－2(n ＋1)－1＝3(a n －2n －1)，因为a 1－2×1－1＝0， 所以a n －2n －1＝0，即a n ＝2n ＋1.(5分)(2) 因为b n ＝（2n －1）·2n （2n ＋1）（2n ＋3） ＝2n ＋12n ＋3 －2n2n ＋1，(7分)所以S n ＝(2n ＋12n ＋3 －2n 2n ＋1 )＋(2n 2n ＋1 －2n －12n －1 )＋…＋(225 －213 )＝2n ＋12n ＋3 －23.(10分)18. 解：(1) 因为AP ⊥CP ，且AP ＝CP ，所以∠CAP ＝π4，又∠BAC ＝π3 ，所以∠BAP ＝π12 ，因为∠APB ＝2π3 ，所以∠ABP ＝π4 .由AC ＝2，所以AP ＝2 ，在△ABP 中，由正弦定理，得AB sin 2π3 ＝2sinπ4， 解得AB ＝3 ，所以S △ABC ＝12 ×AC ×AB sin ∠BAC ＝12 ×3 ×2×32 ＝32 . (5分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理，得7＝4＋AB 2－2AB ，所以AB ＝3.(7分) 令∠CAP ＝α，则∠BAP ＝π3 －α，∠ABP ＝α，在△APC 中，AP ＝2cos α.(9分)在△ABP 中，由正弦定理，得3sin2π3 ＝2cos αsin α ，所以tan α＝33 ，(11分) 因为α∈(0，π3 )，所以α＝π6 ，所以AP ＝2×32＝3 .(12分)19. 解：(1) x ＝15 (2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15(80＋95＋100＋105＋120)＝100，i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(2－6)(80－100)＋(4－6)(95－100)＋(6－6)(100－100)＋(8－6)(105－100)＋(10－6)(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180，错误!错误!＝错误!＝错误!，(2分)a ＝100－92×6＝73，(3分)得y 关于x 的回归直线方程为y ＝92 x ＋73，(4分)令x ＝12，得y ＝127，(5分)据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3 000×127150＝2 540(人).(6分)(2) 提出假设H 0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．(8分)则K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） ＝150（65×20－55×10）2120×30×75×75＝256 ≈4.17，(10分)因为P(K 2≥3.841)＝0.05，而4.17>3.841，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．(12分)20. (1) 证明：设AC ∩BD ＝O ，在平面PAC 内过点A 作AH ⊥PO ，垂足为H ， 因为平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ， 所以AH ⊥平面PBD.(3分)又BD ⊂平面PBD ，所以BD ⊥AH.因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA.因为BD ⊥AH ，PA ∩AH ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC.(6分) (2) 解：由AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD 知BD ＝2 2 ，由(1)知BD ⊥AC ，所以V PABCD ＝13 S 四边形ABCD ×PA ＝13 ×12 ×2 2 ×AC ×2＝4，所以AC ＝3 2 .(8分)以{AB → ，AD → ，AP →}为基底建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(3，3，0)，P(0，0，2)，易知平面PAD 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)，设平面PCD 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，又PD → ＝(0，2，－2)，PC →＝(3，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，3x ＋3y －2z ＝0， 取z ＝3，则x ＝－1，y ＝3，则n 2＝(－1，3，3)，(10分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝－11＋9＋9＝－1919 ，(11分)所以平面P AD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为1919.(12分) 21. 解：(1)由AC ＝5 知点C (0，1)，因为D 为AC 的中点，且A (－2，0)，所以D (－1，12 )，所以k AC ＝12 ，k OP ＝－12 ，(2分)(解法1)直线MN 的方程为y ＝12x ，联立方程⎩⎨⎧y ＝12x ，x24＋y 2＝1，得yM ＝22 ，所以M (2 ，22 )，同理P (－2 ，22)，所以cos ∠POM ＝－2＋122＋12×2＋12＝－35 .(4分)(解法2)由k OM ＝12 ，k OP ＝－12 知∠POM ＝π－2∠MOB ，由k OM ＝12 知tan ∠BOM ＝12 ，所以cos ∠BOM ＝255 ，所以cos ∠POM ＝cos (π－2∠MOB )＝－35 .(4分)(解法3)由∠POM ＝〈OP → ，OM → 〉＝〈OP → ，AC → 〉＝〈OD → ，AC →〉求解． (2) 设点C (x 0，y 0)，由A (－2，0)知D (x 0－22 ，y 02)，则k AC ＝k OM ＝y 0x 0＋2 ，k OP ＝k OD ＝y 0x 0－2 ，k OM ·k OP ＝y 0x 0＋2 ·y 0x 0－2 ＝y 20 x 20 －4 ＝1－x 204x 20 －4 ＝－14 ，(6分)设直线OM 的方程为y ＝kx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1， 得x 2＝41＋4k 2 ，y 2＝4k 21＋4k 2 ，则OM 2＝4＋4k 21＋4k 2 ，(8分) 由k OM ·k OP ＝－14 ，知OP 2＝1＋16k 21＋4k 2 ，(解法1)OM 2·OP 2＝4＋4k 21＋4k 2 ·1＋16k 21＋4k 2，(10分)令1＋4k 2＝t ，t >1，则OM 2·OP 2＝（t ＋3）（4t －3）t 2＝－9(1t )2＋9t ＋4≤254 (当t ＝2时取等号)， 所以PQ ·MN 的最大值为10.(12分)(解法2)由OM 2＋OP 2＝4＋4k 21＋4k 2 ＋1＋16k 21＋4k 2＝5，知OM ·OP ≤OM 2＋OP 22 ＝52 ，当且仅当OM ＝OP ＝102时取等号，所以PQ ·MN 的最大值为10.(12分) 22. (1) 解：当x >－1时，g ′(x )＝2x e x (e x －12 )，(1分)令g ′(x )＝0，可得x 1＝－ln 2>－1，x 2＝0，列表分析如下：可知g (x )min ＝g (－1)＝g (0)＝0，故函数的最小值为0.(5分)(2) 证明：由(1)可知，当x >－1时，g (x )≥0，即x ＋1e x ≥1－x 2(当且仅当x ＝0时取等号)，不妨取h (x )＝1－x 2，则在区间(－1，0)和(0，＋∞)上，都有f (x )>h (x )，且h (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又由f ′(x )＝－xe x 可知f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且f (x )>0在(－1，0)和(0，＋∞)上恒成立．(8分)由x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)＝t ，得0<t <1，不妨设－1<x 1<0<x 2，设h (x 3)＝h (x 4)＝t 且x 3<0<x 4，则f (x 1)＝h (x 3)<f (x 3)，所以－1<x 1<x 3<0，同理0<x4<x2，故|x1－x2|>|x3－x4|，其中x3，x4为方程h(x)＝t的两个实根，而x3，4＝±1－t ，所以|x1－x2|>21－t 成立．(12分)。

2020年⼭东省潍坊市⾼考数学⼀模试卷（⼆）（有答案解析）2020年⼭东省潍坊市⾼考数学⼀模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.若复数z满⾜（1+i）z=|3+4i|，则z的虚部为（）A. 5B.C.D. -53.设α，β为两个不同平⾯，直线m?α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线⽅程为y=2x，则C的离⼼率为（）A. B. C. D.5.执⾏如图的程序框图，如果输出的y值为1，则输⼊的x的值为（）A. 0B. eC. 0或eD. 0或16.某校有1000⼈参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显⽰数学成绩优秀（⾼于120分）的⼈数占总⼈数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的⼈数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 4007.若函数f（x）=2sin（x+2θ）?cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A. 点（，0）是y=f（x）的⼀个对称中⼼B. 直线x=是y=f（x）的⼀条对称轴C. 函数y=f（x）的最⼩正周期是2πD. 函数y=f（x）的值域是[0，2]8.y=4cos x-e|x|图象可能是（）A. B.C. D.9.已知偶函数y=f（x），当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x，若α，β为锐⾓三⾓形的两个内⾓，则（）A. f（sinα）＞f（sinβ）B. f（sinα）＞f（cosβ）C. f（cosα）＞f（cosβ）D. f（cosα）＞f（sinβ）10.已知不共线向量，夹⾓为α，||=1，||=2，=（1-t），=t（0≤t≤1），||在t=t0处取最⼩值，当0＜t0时，α的取值范围为（）A. （0，）B. （，）C. （，）D. （，π）11.如图所⽰，在著名的汉诺塔问题中，有三根⾼度相同的柱⼦和⼀些⼤⼩及颜⾊各不相同的圆盘，三根柱⼦分别为起始柱、辅助柱及⽬标柱．已知起始柱上套有n个圆盘，较⼤的圆盘都在较⼩的圆盘下⾯．现把圆盘从起始柱全部移到⽬标柱上，规则如下：每次只能移动⼀个圆盘，且每次移动后，每根柱上较⼤的圆盘不能放在较⼩的圆盘上⾯，规定⼀个圆盘从任⼀根柱上移动到另⼀根柱上为⼀次移动，若将n个圆盘从起始柱移动到⽬标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则p（4）=（）A. 33B. 31C. 17D. 1512.定义：区间[a，b]，（a，b]，（a，b），[a，b）的长度均为b﹣a，若不等式≥m（m≠0）的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则（）A. 当m＞0时，l＝B. 当m＞0时，l＝C. 当m＜0时，l＝﹣D. 当m＜0时，l＝﹣⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若x，y满⾜约束条件，则z=x-2y的最⼤值是______．14.在等⽐数列{a n}中，a1=1，a5=8a2，S n为{a n}的前n项和．若S n=1023，则n=______．15.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第⼀象限），若|GF|=4，|MN|=2|MF|，则p=______．16.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是______．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中，CN的长是定值；③若AB=BM，则AM⊥B1D；④若AB=BM=1，当三棱锥B1-AMD的体积最⼤时，三棱锥B1-AMD的外接球的表⾯积是4π．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.△ABC的内⾓A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin2-sin C=1，a=，b=4．（1）求⾓C的⼤⼩和BD的长；（2）设∠ACB的⾓平分线交BD于E，求△CED的⾯积．18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，∠BAA1=45°，平⾯AA1C1C⊥平⾯AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1=AB=2，直线BC与平⾯ABB1A1所成⾓为45°，D为CC1的中点，求⼆⾯⾓B1-A1D-C1的余弦值．19.如图，点T为圆O：x2+y2=1上⼀动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂⾜分别为A，B，连接BA延长⾄点P，使得=，点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的⽅程；（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|=1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平⾏四边形，若存在，求出直线l⽅程；若不存在，说明理由．20.某⽔果种植基地引进⼀种新⽔果品种，经研究发现该⽔果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：x01234y15121198（）求出该种⽔果每株的产量关于它“相近”株数的回归⽅程；（2）有⼀种植户准备种植该种⽔果500株且每株与它“相近”的株数都为m（m∈N*），计划收获后能全部售出，价格为10元/kg，如果收⼊（收⼊=产量x价格）不低于25000元，则m的最⼤值是多少？（3）该种植基地在如图所⽰的直⾓梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了⼀株该种⽔果，其中每个⼩正⽅形的边长和直⾓三⾓形的直⾓边长都为1m，已知该梯形地块周边⽆其他树⽊影响，若从所种的该⽔果中随机选取⼀株，试根据（1）中的回归⽅程预测它的产量的分布列与数学期望．附：回归⽅程=+x中斜率和截距的最⼩⼆乘法估计公式分别为：=，=-．21.已知函数f（x）=x lnx-ax-x（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=e mx+x2-mx（x＞0，m∈R），若存在x1≠x2，使f（x1）=f（x2），证明：g（x1?x2）＜g（e2a）．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建⽴的极坐标系中，直线l的极坐标⽅程为cos （）=-2．（1）求曲线C的普通⽅程和直线l的直⾓坐标⽅程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23.已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最⼤值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）=f（x）+2|x+1|，设m＞0，n＞0，且满⾜=t，求证：g（m+2）+g（2n）≥2．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进⾏交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.答案：C解析：解：由（1+i）z=|3+4i|=，得z=，∴z的虚部为-．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，由于α，β表⽰两个不同的平⾯，l为α内的⼀条直线，由于“α∥β，则根据⾯⾯平⾏的性质定理可知，则必然α中任何⼀条直线平⾏于另⼀个平⾯，条件可以推出结论，反之不成⽴，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选：A．利⽤⾯⾯平⾏和线⾯平⾏的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断．主要是考查了空间中⾯⾯平⾏的性质定理的运⽤，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵双曲线的渐近线⽅程为y=±，⼀条渐近线的⽅程为y=2x，∴=2，设b=t，a=2t则c==t∴离⼼率e==．故选：C．先根据双曲线的标准⽅程求得渐近线⽅程，根据其中⼀条的⽅程求得a和b的关系，进⽽求得a和c的关系，则离⼼率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线⽅程中的a，b和c 基本关系．5.答案：C解析：解：程序对应的函数为y=，若x≤0，由y=1得e x=1，得x=0，满⾜条件．若x＞0，由y=2-ln x=1，得ln x=1，即x=e，满⾜条件．综上x=0或e，故选：C．根据程序框图，转化为条件函数进⾏计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应⽤，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：∵P（X≤90）=P（X≥120）=0.2，∴P（90≤X≤120）=1-0.4=0.6，∴P（90≤X≤105）=P（90≤X≤120）=0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的⼈数约为1000×0.3=300．故选：C．由已知求出P（X≤90）=P（X≥120）=0.2，进⼀步求出P（90≤X≤105）=P（90≤X≤120）=0.3，则答案可求．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．7.答案：D解析：解：由函数f（x）=2sin（x+2θ）?cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），可得2sin2θ=2，即sin2θ=1，∴2θ=，∴θ=，故f（x）=2sin（x+2θ）?cos x=2cos2x=cos2x+1，当x=时，f（x）=1，故A、B都不正确；f（x）的最⼩正周期为=π，故C不正确；显然，f（x）=cos x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）=cos2x+1，再利⽤余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．8.答案：D解析：解：显然y=4cos x-e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，y′=-4sin x-e x=-（4sin x+e x），显然当x∈（0，π]时，y′＜0，当x∈（π，+∞）时，e x＞eπ＞e3＞4，⽽4sin x≥-4，∴y′=-（4sin x+e x）＜0，∴y′=-（4sin x+e x）＜0在（0，+∞）上恒成⽴，∴y=4cos x-e|x|在（0，+∞）上单调递减．故选：D．判断函数的奇偶性，利⽤导数判断函数在（0，+∞）上的单调性即可得出结论．本题考查了函数图象的判断，⼀般从奇偶性，单调性，特殊值等⽅⾯判断，属于基础题．9.答案：B解析：解：根据题意，当x∈（-1，0）时，f（x）=2-x=（）x，则f（x）在（-1，0）上为减函数，⼜由f（x）为偶函数，则f（x）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐⾓三⾓形的两个内⾓，则α+β＞90°，则α＞90°-β，则有sinα＞sin（90°-β）=cosβ，则有f（sinα）＞f（cosβ），故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（x）在（0，1）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（0，1）上为增函数，⼜由α，β为锐⾓三⾓形的两个内⾓分析可得sinα＞sin （90°-β）=cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应⽤，涉及三⾓函数的诱导公式的运⽤，属于基础题．10.答案：C解析：解：由题意有：不共线向量，夹⾓为α，||=1，||=2，由=（1-t），=t（0≤t≤1），得：==t-（1-t），所以||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由⼆次函数图象的性质有：当t=t0=时，||取最⼩值，即0＜，解得-＜cosθ＜0，⼜θ∈[0，π]，即θ∈（，），故选：C．由平⾯向量的线性运算得：得：==t-（1-t），由向量模的运算得：||2=（t-（1-t））2=（5+4cosθ）t2-2（1+2cosθ）t+1，由⼆次函数图象的性质可得：当t=t0=时，||取最⼩值，再求向量夹⾓的取值范围即可．本题考查了平⾯向量的线性运算、向量模的运算及向量夹⾓的取值范围，属中档题．11.答案：D解析：解：设把圆盘从起始柱全部移到⽬标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n-1），则有P（n）=2P（n-1）+1，则有P（n）+1=2[P（n-1）+1]，⼜P（1）=1，即是以P（1）+1=2为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，由等⽐数列通项公式可得：P（n）+1=2n，所以P（n）=2n-1，即P（4）=24-1=15，故选：D．由简单的合情推理得：是以P（1）+1=2为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，由等⽐数列通项公式可得：P（n）+1=2n，所以P（n）=2n-1，得解．本题考查了数列的递推公式及等⽐数列的通项公式，属中档题．12.答案：B解析：【分析】当m＞0时，∵+≥0?≤0，令f（x）=mx2-（3+3m）x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，根据韦达定理以及f（1），f（2）的符号，判断x1，x2与1和2的⼤⼩可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得．本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．【解答】解：当m＞0时，∵+≥0?≤0，令f（x）=mx2-（3+3m）x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则≤0，且x1+x2==3+，∵f（1）=m-3-3m+2m+4=1＞0，f（2）=4m-6-6m+2m+4=-2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l=x1-1+x2-2=x1+x2-3=3+-3=，故选：B．13.答案：3解析：【分析】本题主要考查线性规划的应⽤，利⽤z的⼏何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数z=x-2y中，z的⼏何意义，通过直线平移即可得到z的最⼤值.【解答】解：（1）作出不等式组对应的平⾯区域如图：由z=x-2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A（3，0）时，直线的截距最⼩，此时z最⼤，此时z的最⼤值为z=3-2×0=3．故答案为：3．14.答案：10解析：【分析】本题考查等⽐数列的前n项和公式的应⽤，关键是掌握等⽐数列前n项和的形式，属于基础题．根据题意，由等⽐数列的通项公式，分析可得q4=8×q，解可得q的值，结合等⽐数列的前n项和公式可得S n==2n-1=1023，解可得n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，等⽐数列{a n}中，a1=1，a5=8a2，则有q4=8×q，解可得q=2，若S n=1023，则有=2n-1=1023，解可得：n=10；故答案为：10．15.答案：2解析：解：如图，过M作MH⊥l=H，由|MN|=2|MF|，得|MN|=2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线⽅程为y=（x-），联⽴，得12x2-20px+3p2=0．解得：，则|GF|=，即p=2．故答案为：2．由已知|MN|=2|MF|可得MN所在直线当斜率，写出MN所在直线⽅程，与抛物线⽅程联⽴，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应⽤，是中档题．16.答案：②④解析：解：对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，⼜EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共⾯共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NE?EC?cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥⾯ODB1，即可得OD⊥AM，从⽽AD=MD，显然不成⽴，可得③不正确．对于④：当平⾯B1AM⊥平⾯AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最⼤，易得AD中点H就是三棱锥B1-AMD的外接球的球⼼，球半径为1，表⾯积是4π．故④正确．故答案为：②④．对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，⼜EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共⾯共点，不可能，对于②，可得由∠NEC=∠MAB1（定值），NE=AB1（定值），AM=EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥⾯ODB1，即可得OD⊥AM，从⽽AD=MD，显然不成⽴．对于④：当平⾯B1AM⊥平⾯AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最⼤，可得球半径为1，表⾯积是4π．．本题主要考查了线⾯、⾯⾯平⾏与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能⼒和推理论证能⼒，考查了反证法的应⽤，属于中档题17.答案：解：（1）∵由题意可得：sin C+1-2sin2=0，∴sin C+cos（A+B）=0，⼜A+B=π-C，∴sin C-cos C=0，可得tan C=，∵C∈（0，π），∴C=，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=3+4-2×=1，解得：BD=1；（2）由（1）可知BD2+BC2=4=CD2，∴∠DBC=，∴S△DBC=BD?BC=，∵CE是∠BCD的⾓平分线，∴∠BCE=∠DCE，在△CEB和△CED中，S△BCE=，S△CED=，可得：==，∴S△BCE=S△CED，∴代⼊S△BCE+S△CED=S△BCD=，（1+）S△CED=，∴S△CED==（2-）=2-3．解析：本题主要考查了三⾓函数恒等变换的应⽤，余弦定理，三⾓形的⾯积公式在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和数形结合思想，考查了转化思想的应⽤，属于中档题．（1）由三⾓函数恒等变换的应⽤化简已知等式可得tan C=，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值；（2）由（1）可知BD2+BC2=4=CD2，可求∠DBC=，可得S△DBC=，利⽤三⾓形的⾯积公式，可求S△BCE=S△CED，代⼊S△BCE+S△CED=S△BCD=，即可解得S△CED的值．18.答案：证明：（1）过点C作CO⊥AA1，垂⾜为O，∵平⾯AA1C1C⊥平⾯AA1B1B，∴CO⊥平⾯AA1B1B，故CO⊥OB，⼜∵CA=CB，CO=CO，∠COA=∠COB=90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，故OA=OB，∵∠A1AB=45°，∴AA1⊥OB，∵AA1⊥CO，∴AA1⊥平⾯BOC，∴AA1⊥BC．解：（2）BB1=AB=2，直线BC与平⾯ABB1A1所成⾓为45°，D为CC1的中点，以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，∵CO⊥平⾯AA1B1B，∴∠CBO是直线BC与平⾯AA1B1B所成⾓，∴∠CBO=45°，∴AB=，AO=BO=CO=1，∴A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），A1（-1，0，0），B1（-2，1，0），D（-1，0，1），=（0，0，1），=（1，-1，1），设平⾯A1B1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），∵OB⊥平⾯AA1C1C，∴平⾯AA1C1C的法向量=（0，1，0），设⼆⾯⾓B1-A1D-C1的平⾯⾓为θ，则cosθ===，∴⼆⾯⾓B1-A1D-C1的余弦值为．解析：（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平⾯AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从⽽AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平⾯BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓B1-A1D-C1的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查⼆⾯⾓的余弦值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）设T（x0，y0），P（x，y），由A（x0，0），B（0，y0）由题意=，即A为PB的中点∴x=2x0，y=-y0，即x0=x，y0=-y，∵x02+y02=1故点P的轨迹C的⽅程为+y2=1，（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设直线l的⽅程为y=kx+t，∵|AB|=1，∴（-）2+t2=1，即+t2=1，①联⽴，消y可得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2-1）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2t=，∵四边形OMQN为平⾏四边形，故Q（-，），∴（-）2+（）2=1，整理可得4t2=4k2+1，②，将①代⼊②可得4k4+k2+1=0，该⽅程⽆解，故这样的直线不存在．解析：（1）设T（x0，y0），P（x，y），通过=，即A为PB的中点，转化求解，点P的轨迹C的⽅程．（2）设直线l的⽅程为y=kx+t，先根据|AB|=1，可得+t2=1，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得4t2=4k2+1，②，将①代⼊②可得4k4+k2+1=0，该⽅程⽆解，问题得以解决本题考查点的轨迹⽅程的求法，考查满⾜条件的点是否存在的判断与直线⽅程的求法，体现了数学转化思想⽅法，是中档题．20.答案：解：（1）由题意可得，==2，=11，=-2×4+（-1）×1+0×0+1×（-2）+2×（-3）=-17，=（-2）2+（-1）2+02+12+22=10，∴b==，=-=11-2×=，∴=-x,（2）设每株的产量为ykg，根据题意可得10×500y≥25000,∴y≥5,令-x≥5可得，x即m最⼤值是5,（3）由回归⽅程可得，当x=1时，y=,当x=2时，y=11，当x=3时，y=,当x=4时，y=,∴P（y=）=,P（y=11）=，P（y=）=,P（y=）=,即y的分布列为P12.7119.37.6yE（y）==,即产量的期望.解析：本题主要考查了线性回归⽅程的求解及随机变量期望及分布列的求解，属于中档题.（1）利⽤公式b=，=-分别求出回归系数b，a即可；（2）设每株的产量为ykg，根据题意可得10×500y≥25000可求y的范围，进⽽可求满⾜条件的x及每⼀个值所对应的概率，可求分布列及期望.21.答案：解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ln x-a，令f′（x）=0，解得：x=e a，故f（x）在（0，e a）递减，在（e a，+∞）递增，故f（x）极⼩值=f（e a）=-e a，故f（x）的极⼩值是-e a，⽆极⼤值；（2）g′（m）=me mx+2x-m=m（e mx-1）+2x，当m＞0时，由于x＞0，故e mx＞1，e mx-1＞0，即g′（x）＞0，当m＜0时，由于x＞0，故e mx＜1，e mx-1＜0，即g′（x）＞0，当m=0时，g′（x）=2x＞0，综上，g′（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，故只需证明x1?x2＜e2a，即证ln x1+ln x2＜2a，由g（x1）=g（x2），可知x1ln x1-ax1-x1=x2ln x2-ax2-x2，故a=-1，即证ln x1+ln x2＜2（-1），ln x1+ln x2-2（＜-2，即证＜-2，ln?＜-2，ln?＜-2，不妨设x1＞x2，t=＞1，即证ln t?＜-2，ln t＞，即证ln t+2＞0，设h（t）=ln t+2（t＞1），h′（t）=＞0，故h（t）在（1，+∞）递增，故h（t）＞h（1）=0，即ln t+2＞0，故结论成⽴．解析：（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；（2）求出a，问题转化为证明ln x1+ln x2＜2（-1），即ln?＜-2，不妨设x1＞x2，t=＞1，即证ln t?＜-2，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应⽤以及不等式的证明，考查转化思想，是⼀道综合题．22.答案：解：（1）已知曲线C：（α为参数），转换为直⾓坐标⽅程为：x2+（y-1）2=1，直线l的极坐标⽅程为cos（）=-2．转换为直⾓坐标⽅程为：x-y+2=0．（2）由（1）得：，解得：或转换为极坐标为（）（2，）．解析：（1）直接利⽤参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间的转换求出结果．（2）利⽤直线和曲线的位置关系的应⽤建⽴⼆元⼆次⽅程组，进⼀步求出结果．本题考查的知识要点：参数⽅程直⾓坐标⽅程和极坐标⽅程之间的转换，⼆元⼆次⽅程的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．23.答案：解：（1）由f（x）=|x-1|-2|x+1|=，∴f（x）max=f（-1）=2，即t=2，证明：（2）g（x）=|x-1|，由+=2，知g（m+2）+g（2n）=|m+1|+|2n-1|≥|m+1+2n-1|=|m+2n|=|（m+2n）?（+）|=|++2|≥|2+2|=2，当且仅当=，即m2=4n2时取等号，∴g（m+2）+g（2n）≥2．解析：（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质，即可求出t的值，（2）根据三⾓不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是⼀道常规题．。

试卷类型：A潍坊市高考模拟考试数 学（答案在最后）2023.2本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2i 2i+-对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二索限C.第三象限D.第四象限2.“()2,2b ∈-”是“2,10x R x bx ∀∈-+成立”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布()2100,N σ，若()801000.45P ξ=，则估计成结在120分以上的学生人数为（ ）A.25B.50C.75D.1004.存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（ ） A.()3f x x = B.()2sin f x x = C.()22f x x x += D.()21x x ⎰=+5.已知角α在第四象限内，31sin 222πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.12-B.12 D. 6.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为13，则圆台的侧面积为（ ）A.83πB.2C.163πD.8π 7，过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能.超重耐力､失重飞行､飞行跳伞､着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ）A.24种B.36种C.48种D.60种8.单位圆22:1O x y +=上有两定点()()1,0,0,1A B 及两动点,C D ，且12OC OD ⋅=.则CA CB DA DB ⋅+⋅的最大值是（ ）A.2B.2+ 2 D.2 二､多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若非空集合,,M N P 满足：,M N N M P P ⋂=⋃=，则（ ）A.P M ⊆B.M P M ⋂=C.N P P ⋃=D.p M N ⋂=∅10.将函数sin2y x x =+的图象向左平移12π个单位，得到()y f x =的图象，则（ ）A.()f x 是奇函数B.()f x 的周期为πC.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D.()f x 的单调递增区间为(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知12,F F 分别为双曲线22:13x C y -=的左，右焦点，过C 右支上一点()(000,A x y x >作直线l 交x 轴于点03,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交y 轴于点N .则（ ）A.C的渐近线方程为y x = B.点N 的坐标为010,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.过点1F 作1F H AM ⊥，垂足为H，则OH =D.四边形12AF NF 面积的最小值为412.已知1m n <<，过点()2,log m m 和()2,log n n 的直线为1l .过点()8,log m m 和()8,log n n 的直线为21,l l 与2l 在y 轴上的截距相等，设函数()nx mx f x m n -=+.则（ ）A.()f x 在R 上单周递增B.若2m =，则()132f =C.若()26f =，则()434f =D.,m n 圴不为(e e 为自然对数的底数）三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5796a a a ++=，则13S =__________.14.已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的C 的标准方程__________.15.在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为__________.16.乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.附：当01q <<时，lim 0,lim 0n n n n q n q →+∞→+∞=⋅=. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足()2nn S m m R =+∈. （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设2log 5n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）在①tan tan 1A C A C =；②()2cos cos c B A =；③()sin sin sin a A c C b B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.（1）求角B 的大小；（2）已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD ⊥，二面角A CD P --为直二面角.（1）求证：PB PD ⊥；（2）当PC PD =吋，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20.（12分）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高x （单位：cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？（2）记ˆˆˆˆ(1,2,,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--=，其中i y 为观测值，ˆi y 为预测值，ˆi e 为对应(),i i x y 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由. 参考数据及公式：555521111880,155450,885,156045i i i i i i i i i xx y x y ========∑∑∑∑ ()()()121ˆˆˆ,ni ii n i i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 21.（12分）已知函数()()12ln ,x f x e x g x x x -==-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当()0,2x ∈吋，()()f x g x .22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为():1(0)l y k x k =+>与E 交于不同的两点,M N .（1）求E 的方程；（2）设点()1,0P ，直线,PM PN 与E 分别交于点,C D .①判段直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：②记直线,CD MN 的倾斜角分别为,αβ，当αβ-取得最大值时，求直线CD 的方程.高三数学参考答案及评分标准一､单项选择题（每小题5分，共40分）1-4AABD 5-8DCBA二､多项选择题（每小题5分，选对但不全的得2分，共20分）9.BC 10.BCD 11.ACD 12.BCD三､填空题（每小题5分，共20分）13.26 14.216x y =（答案不唯一） 16.27161285 四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）因为2n n S m =+，所以2n 时，112n n S m --=+，所以()122n n a n -=.又由数列{}n a 为等比数列，所以12n n a -=.又因为11111221a S m -==+==，所以1m =-，综上11,2n n m a -=-=.（2）由（1）知6n b n =-，当16n 时，2561122n n n n T n -+--=-⨯=， 当6n >时，()61662n n T T n +-=+⨯- ()()56152n n --=+ 211602n n -+= 所以2211,1621160,62n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ 18.解：（1）若选①：整理得)1tan tan tan tan A C A C -=+，因为A B C π++=，所以()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=-=-， 因为()0,B π∈，所以6B π=；若选②：因为()2cos cos c B A =，由正弦定理得()2sin cos cos C A B B A =，所以()2sin cos ,sin 0C B A B C C =+=>，所以cos 2B =， 因为()0,B π∈，所以6B π=；若选③：由正弦定理整理得222a c b +-=，所以2222a c b ac +-=，即cos B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； （2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =， 得1sin sin b b B C+=， 所以1sin 2b C b+=， 因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<， 即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 19.解：（1）证明：由题意知平面PCD ⊥平面ABCD 且BC CD ⊥则BC ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥，又因为,PO PC BC PC C ⊥⋂=，所以PD ⊥平面PBC ，所以PD PB ⊥.（2）以点D 为坐标原点，,DA DC 所在直线分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0D A B C，因为224PC PD +=，所以PC PD ==()0,1,1P ，所以()()()2,1,1,0,2,0,0,1,1AP AB PC =-==-，设平面PAB 的法向量(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，所以()1,0,2m =，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，sin cos ,5m PCm PCm PC θ⋅-====⨯ 所以直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为5. 20.解：（1）由题意得176,177x y ==，515222151560455176177156045155760285ˆ0.515545051761554501548805705i ii i i x y xy b xx ==--⨯⨯-=====-⨯--∑∑，ˆˆ1770.517689ay bx =-=-⨯=， 所以回归直线方程为0.589y x =+，令0.5890x x +->得178x <，即178x <时，儿子比父亲高；令0.5890x x --<得178x >，即178x >时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（意思对即可）（2）12345169,174,176.5,181.5,184y y y y y =====，所以51ˆ885i i y==∑，又51885i i y==∑，所以51ˆ0i i e ==∑， 结论：对任意具有线性相关关系的变量1ˆ0n i i e==∑，证明：()()111ˆˆˆn n n i i i i ii i i e y y y bx a ====-=--∑∑∑ 11ˆˆˆˆ()0nn i i i i y b x na ny nbxn y bx ===--=---=∑∑. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，因为()111e 1e ln e ln x x x f x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎝'⎪⎭， 记()1ln h x x x =+，则()22111x h x x x x='-=-， 所以当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以()()11h x h =，所以()11e ln 0x f x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭'，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）证明：原不等式为()12eln 1x x x x x x --=-， 即1ln 1e x x x x--， 即证ln 1ln 1e e x x xx --在()0,2x ∈上恒成立， 设()e x x l x =，则()()2e e 1e e x x x x x x l x --=='， 所以，当1x <时，()l x 单调递增；当1x >时，()l x 单调递减， 令()()1ln 1,1t x x x t x x'=-+=-， 易知()t x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减， 当1x =时，max ()0t x =，所以ln 1x x -，且在()0,2x ∈上有ln 1,11,x x <⎧⎨-<⎩所以可得到()()ln 1l x l x -，即ln 1ln 1e e x x xx --， 所以在()0,2x ∈时，有()()f x gx 成立.22.解：（1）由题意得2c c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ==，所以1b =，所以E 的方程为2214x y +=. （2）①由题意得()221,41,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2222148440k x k x k +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，22121222844,1414k k x x x x k k--+==++， 直线MC 的方程为1111x x y y -=+， 代入2214x y +=整理得，()()2112211121430x x y y y y ⎡⎤--++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设()33,C x y ，则()22113122111335214y y y y x x y --==--+，所以131325y y x =-， 1315825x x x -=-，即1111583,2525x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，同理2222583,2525x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭. ()()2112212112213321252575858932525CD y y k x x x x k k x x x x x x ----===------， 所以直线CD 的方程为1111358725325y x k y x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭，即71337k y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 过定点13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭. ②因为73CD k k =，所以tan α与tan β正负相同，且αβ>，所以02παβ<-<， 当αβ-取得最大值时，()tan αβ-取得最大值.由0k >时，()2244443tan 373721221713kk k k k k αβ-====+++；所以当且仅当7k =()tan αβ-取得最大值，αβ-取得最大值， 此时直线CD 的方程为1337y x ⎫=-⎪⎝⎭.。