人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 课时训练(含答案)

人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。

（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。

（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。

（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。

（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。

考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。

（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。

（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。

=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。

考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。

（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点4圆周角定理及其推论。

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。

①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。

①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。

关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。

①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。

人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 下列说法中正确的是()A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，它们所对的弦也相等D．等弦所对的圆心角相等2. 2019·葫芦岛如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为()A．70°B．55°C．45°D．35°3. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1等于()A．36°B．54°C．72°D．73°4. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为()A．6 2 B．3 2 C．6 D．125. 在半径等于5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )A ．60°或120°B ．30°或120°C ．60°D ．120°6. 如图，在⊙O 中，如果AB ︵＝2AC ︵，那么( )A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB ＜2ACD ．AB ＞2AC7. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 38.如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF .若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是( )A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°9. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 310. 甲、乙、丙三个牧民用同样长为l 米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围成面积为S 1的圆形草地，乙牧民围成面积为S 2的正方形草地，丙牧民围成面积为S 3的矩形(不是正方形)草地，则下列结论正确的是( ) A ．S 1＞S 3＞S 2 B ．S 2＞S 1＞S 3 C ．S 3＞S 1＞S 2D ．S 1＞S 2＞S 311. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°12.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点I 是△ABC 的内心，∠AIC ＝124°，点E 在AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为( )A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°二、填空题（本大题共6道小题）13.如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________．14. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．15. 如图，AB为⊙O 的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD的距离为________．16. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，则∠AOB 的度数为________．17. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．18. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.三、解答题（本大题共3道小题）19. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.20. 如图，AB是⊙O 的直径，AC 是弦，将劣弧AC 沿弦AC 翻折与AB 的交点恰好是圆心O ，作OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接BC ，CD .求证：四边形BCDO 是菱形．21. 如图，点E 是△ABC 的内心，线段AE 的延长线交BC 于点F (∠AFC ≠90°)，交△ABC 的外接圆于点D .(1)求点F 与△ABC 的内切圆⊙E 的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版九年级数学24.1 圆的有关性质课时训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】C4. 【答案】A[解析] ∵∠A＝22.5°，∴∠COE＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∠CEO＝90°.∵∠COE＝45°，∴CE＝OE.在Rt△COE中，由勾股定理，得CE2＋OE2＝OC2，∴2CE2＝62，解得CE＝3 2，∴CD＝2CE＝6 2.故选A.5. 【答案】A6. 【答案】C[解析] 取AB ︵的中点D ，则AD ︵＝BD ︵＝AC ︵，所以AD ＝BD ＝AC ，而AD ＋BD ＞AB ，所以2AC ＞AB .7. 【答案】C8. 【答案】B9. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB 2－OE 2＝62－22＝4 2， ∴AB ＝8 2.故选B.10. 【答案】D [解析] 本题中甲的草地：2πr ＝l ，r ＝l 2π，S 1＝π·r 2＝l 24π；乙的草地：S 2＝l 4×l 4＝l 216；丙的草地：设一边长为x ，则S 3＝x (l 2－x )＝－x 2＋l 2x .只有当x ＝l 4时，S 3取得最大值，此时S 3＝l 216，但此时矩形为正方形，不符合题意．所以S 1＞S 2＞S 3.11. 【答案】B12. 【答案】C[解析] ∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC ＝2∠IAC ，∠ACB ＝2∠ICA . ∵∠AIC ＝124°，∴∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－2(∠IAC ＋∠ICA )＝180°－2(180°－∠AIC )＝68°.又四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDE＝∠B＝68°.二、填空题（本大题共6道小题）13. 【答案】 5【解析】本题考查垂径定理、弦、弦心距的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等内容. 解题思路：过点O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别是F、G. 连接OD.解图⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB⊥CDOF⊥ABOG⊥CD⇒四边形OFEG是矩形AB＝CD⇒OF＝OG⇒⎭⎬⎫矩形OFEG是正方形⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫CE＝1ED＝3⇒CD＝4AB⊥CD⇒GD＝12CD＝2⇒EG＝1⇒OG＝GE＝1⇒OD＝OG2＋DG2＝12＋22＝ 5.14. 【答案】40°15. 【答案】316. 【答案】60°[解析] ∵OA⊥BC，∴AB︵＝AC︵，∴∠AOB＝2∠ADC.∵∠ADC ＝30°，∴∠AOB＝60°.17. 【答案】8[解析] 由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP最大，此时∠P AB＝90°.过点C作CD⊥AB于点D，可求得AB＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.18. 【答案】8[解析] 连接AD ，如图所示．∵以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ， ∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.又∵OA ＝OB ，∴OD ∥AC ， ∴OD ⊥BE ，∴BM ＝EM ， ∴CE ＝2MD ＝4， ∴AE ＝AC －CE ＝6，∴BE ＝AB2－AE2＝102－62＝8.三、解答题（本大题共3道小题）19. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD. ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵， ∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.20. 【答案】证明：如图，连接AD ，OC .∵OD⊥AC，∴AE＝EC.由翻折的性质，得AC是OD的垂直平分线，∴OE＝DE，∴四边形OADC是平行四边形，∴OA∥CD，OA＝CD.∵OA＝OB，∴OB＝CD，OB∥CD，∴四边形BCDO是平行四边形．又∵OB＝OD，∴四边形BCDO是菱形．21. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．。

初中数学试卷24.1 圆（第二课时 ）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。

2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。

【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r 、弦a 、弦心d 、和拱高h 中已知两个可求另外两个】一、选择题1.如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）． A.2 B.3 C.4 D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ,AB =6cm ，CD =8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 ·AO MBBOA5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ． CB DB C ．∠ACD=∠ADCD ．OM=MD6．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（ ） A ．3B ．4C ．32D ．427．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ） A ．8 B ．10 C ．16 D ．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD =5，则弦AC = ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．3、如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．4、如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为2，则弦AB 的长为 ．5、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为____________.6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ．A·BC ODBAC ED OFOC7．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB=23，0C=1，则半径OB 的长为 ．8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．OP9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 cm ．三、解答题1．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ， E 、F 分别为弦AB 、CD 的中点， 证明：OE=OF 。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.1.1圆一、选择题1．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm ，到最远距离为5cm ，那么圆的半径为（）A ．5cm B ．3cm C ．8cm D ．4cm 2．若O 所在平面内一点P 到O 上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（）A ．5B ．3C ．5或3D ．10或63．如图，圆环中内圆的半径为a 米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（）A ．2p 米B ．()2a p +米C ．()22a p +米D ．p 米4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，以点C 为圆心，BC 为半径的圆与AB 相交于点D ，则AD 的长为（）A ．2BC ．3D 5．如图90,2C AB Ð=°=，以C 为圆心的圆过AB 的中点D ，则AC =（）．A ．2B ．3CD 6．已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，2AB DE =，18E Ð=°，求C Ð的角度是（）．A ．35°B ．36°C ．37°D ．38°7．如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3,4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最大值为（）A ．3B ．14C ．6D ．88．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝()MN 向右水平拉直（保持M 端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝N 端的位置最接近的是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D9．如图，平面直角坐标系中，分别以点(2,3)A -，(3,4)B 为圆心，以1、2为半径作A ，B ，M ，N 分别是A ，B 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值等于（）A ．5B ．10CD 3-10．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（）A ．4B ．C ．8D ．二、填空题11．加图，扇形OAB 中，90AOB Ð=°，P 为弧AB 上的一点，过点P 作PC OA ^，垂足为C ，PC 与AB 交于点D ．若2PD CD ==．则该扇形的半径长为______．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A （﹣5，0）为圆心，13为半径作弧，交y 轴的正半轴于点B ，则点B 的坐标为_____．13．如图，平面直角坐标系xOy 中，M 点的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过M 点的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为_____，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于_____°．14．如图，已知直线y ＝34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C (0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA ，PB ，则PAB 面积的最大值与最小值之和是___．15．如图，在等腰Rt ABC 中，AC BC ==，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是________．三、解答题16．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE =6cm ，EB =2cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长．17．如图所示，在⊙O 上有一点C(C 不与A 、B 重合)，在直径AB 上有一个动点P(P 不与A 、B 重合)．试判断PA 、PC 、PB 的大小关系，并说明理由．18．如图，已知圆柱底面的直径8BC =，圆柱的高10AB =，在圆柱的侧面上，过点A ，C 嵌有一圈长度最短的金属丝．（1）现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．A .；B .；C .；D .（2）求该长度最短的金属丝的长．19．如图，长方形的长为a ，宽为b ，在它的内部分别挖去以b 为半径的四分之一圆和以b 为直径的半圆．（1）用含a 、b 的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a ＝8，b ＝4时，求阴影部分的面积（π取3）．20．如图1，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连接DG 并延长交AE 于点F ，且∠EGD ＝135°．（1）求证：△BGD ∽△BCE ；（2）求证：∠AGB ＝90°；（3）如图2，连接DE ，若AB ＝10，AG ＝，判断△CDE 是否为特殊三角形，并说明理由．21．在平面直角坐标系XOY 中，对于任意两点1P (1x ,2x )与2P (2x ,2y )的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y -³-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12x x -；若1212x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12y y -.例如：点1P (1,2)，点2P (3,5)，因为1325-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）．（1）已知点A(-12,0)，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直线334y x =-上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．22．如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：(1)把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长21122l a l p ==；(2)把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝；(3)把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝；(4)把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．23．（1）发现：如图1，点A 为一动点，点B 和点C 为两个定点，且BC=a ，AB=b.（a>b ）填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最小值，且最小值为______(用含a，b的式子表示)（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最小值.③如图3所示，分别以AB，AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG，连接CD，BG.图中线参考答案1．D2．C3．A4．A5．D6．B7．B8．A9．D10．A 11．512．()0,12．13．69014．1615．3 2 p16．cm17．当点P在OA上时PA＜PC＜PB，OB上时PB＜PC＜PA，当点P在点O处时PA=PB=PC.18．（1）A；（2）19．（1）阴影部分的面积＝ab﹣38πb2；（2）14．20．（1）略；（2）见解析；（3）等腰直角三角形21．（1）①B（0，2）或（0，﹣2）；②12；（2）①87,C（﹣87，157）;②点C的坐标为（﹣85，95），E（﹣35,45）,最小值为1．22．(2)13l；(3)14l；(4)1nl；结论：1n；.23．（1）线段BC上，a-b；（2）①BE=CD，证明略；②2；③.。

人教版初三数学24.1 圆的有关性质同步课时训练一、选择题1. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 的度数为()A．45°B．35°C．25°D．20°2. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是()A.AB，AC边上的中线的交点B.AB，AC边上的垂直平分线的交点C.AB，AC边上的高所在直线的交点D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为()A．4 B．5 C．8 D．104. 如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB 为8 m，则拱桥的半径OC为()A ．4 mB ．5 mC ．6 mD ．8 m5. 如图，AD 是⊙O的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB相交于点P ，下列结论错误的是( )A ．AP ＝2OPB ．CD ＝2OPC ．OB ⊥ACD ．AC 平分OB6. 2019·聊城如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵上的两点，连接BD ，CE并延长交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )A ．35°B ．38°C ．40°D ．42°7. 如图，从A 地到B 地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A 地到B 地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( )A ．猫先到达B 地 B ．老鼠先到达B 地C ．猫和老鼠同时到达B 地D ．无法确定8. 如图，A ，B ，C ，D是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°二、填空题9. 如图，AB为⊙O 的直径，CD ⊥AB.若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD的距离为________．10. 如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接OD ，OE .若∠A ＝65°，则∠DOE ＝________°.11. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．12. 如图0，A ，B 是⊙O 上的两点，AB ＝10，P 是⊙O 上的动点(点P 与A ，B两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．13. 如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过点M的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为________，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于________°.14. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.15. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________．16. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是________．三、解答题17. 如图所示，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，弦BE ＝BD.求证：AC ︵＝BE ︵.18. 已知：如图5，在⊙O 中，M ，N 分别为弦AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，AB不平行于CD.求证：∠AMN ＝∠CNM.19. 如图，点E 是△ABC 的内心，线段AE 的延长线交BC 于点F (∠AFC ≠90°)，交△ABC 的外接圆于点D .(1)求点F 与△ABC 的内切圆⊙E 的位置关系； (2)求证：ED ＝BD ；(3)若∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆的直径是6，求BD 的长；(4)B ，C ，E 三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．20. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平行四边形．①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．人教版初三数学24.1 圆的有关性质同步课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B.3. 【答案】C[解析] 过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．则PB ＝AP ，∴AB ＝2BP ＝2 OB2－OP2.再过点P 任作一条弦MN ，过点O 作OG ⊥MN 于点G ，连接ON . 则MN ＝2GN ＝2ON2－OG2.∵OP ＞OG ，OB ＝ON ，∴MN ＞AB ， ∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.4. 【答案】B[解析] 如图，连接BO.由题意可得AD ＝BD ＝4 m.设⊙O 的半径OC ＝x m ，则DO ＝(8－x)m. 由勾股定理可得x2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5. 故拱桥的半径OC 为5 m.5. 【答案】A[解析] ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵四边形OBCD 是平行四边形， ∴CD ∥OB ，CD ＝OB ，∴∠CPO ＝90°， 即OB ⊥AC ，∴选项C 正确； ∴CP ＝AP.又∵OA ＝OD ， ∴OP 是△ACD 的中位线， ∴CD ＝2OP ，∴选项B 正确；∴CD ＝OB ＝2OP ，即P 是OB 的中点， ∴AC 平分OB ，∴选项D 正确．6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】D[解析] 连接AD ，OA ，OB .∵B 是AC ︵的中点，∴∠ADB ＝∠BDC＝40°，∴∠AOB＝2∠ADB＝80°.又∵M是OD上一点，∴∠ADB≤∠AMB≤∠AOB，即40°≤∠AMB≤80°，则不符合条件的只有85°.二、填空题9. 【答案】310. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B＋∠C＝180°－∠A.再由OB＝OD＝OC＝OE，得到∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C.在等腰三角形BOD和等腰三角形COE中，∠DOB＋∠EOC＝180°－2∠B＋180°－2∠C＝360°－2(∠B＋∠C)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，所以∠DOE＝180°－2∠A＝50°.11. 【答案】8[解析] 由题意可得A，P，B，C在同一个圆上，所以当BP为圆的直径时，BP最大，此时∠P AB＝90°.过点C作CD⊥AB于点D，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP的最大值为8.12. 【答案】5[解析] ∵OE过圆心且与PA垂直，∴PE＝EA.同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，∴EF＝12AB＝5.13. 【答案】690[解析] ∵AB为⊙M的直径，∴AB＝4.当点O到AB的距离最大时，△AOB的面积最大，此时AB⊥x轴于点M，∴△AOB的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO＝90°.即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°.14. 【答案】215[解析] 连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.15. 【答案】(－4，－7)[解析] 过点P作PH⊥MN于点H，连接PM，则MH＝12MN ＝3，OH ＝OM ＋MH ＝7.由勾股定理，得PH ＝4，∴圆心P 的坐标为(－4，－7)．16. 【答案】34 [解析] 如图，当CD ∥AB 时，PM 的长最大，连接OM ，OC .∵CD ∥AB ，CP ⊥AB ， ∴CP ⊥CD .∵M 为CD 的中点，OM 过点O ， ∴OM ⊥CD ，∴∠OMC ＝∠PCD ＝∠CPO ＝90°， ∴四边形CPOM 是矩形， ∴PM ＝OC .∵⊙O 的直径AB ＝8， ∴半径OC ＝4，∴PM ＝4. 三、解答题17. 【答案】证明：∵AB ，CD 是⊙O 的两条直径， ∴∠AOC ＝∠BOD ，∴AC ＝BD. 又∵BE ＝BD ， ∴AC ＝BE ，∴AC ︵＝BE ︵.18. 【答案】证明：连接OM ，ON ，OA ，OC ，如图所示．∵M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，AM ＝12AB ，CN ＝12CD. 又∵AB ＝CD ，∴AM ＝CN. 在Rt △AOM 和Rt △CON 中， ⎩⎨⎧OA ＝OC ，AM ＝CN ，∴Rt △AOM ≌Rt △CON(HL)， ∴OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM ， ∴∠AMO ＋∠OMN ＝∠CNO ＋∠ONM ， 即∠AMN ＝∠CNM.19. 【答案】解：(1)设⊙E 切BC 于点M ，连接EM ，则EM ⊥BC .又线段AE 的延长线交BC 于点F ，∠AFC ≠90°，∴EF >EM ，∴点F 在△ABC 的内切圆⊙E 外． (2)证明：∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∠ABE ＝∠CBE . ∵∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CBD . ∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAD ，∠EBD ＝∠CBE ＋ ∠CBD ，∴∠BED ＝∠EBD ，∴ED ＝BD . (3)如图①，连接CD . 设△ABC 的外接圆为⊙O .∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°.∵⊙O 的直径是6，∴BC ＝6. ∵E 为△ABC 的内切圆的圆心， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD .又∵BD 2＋CD 2＝BC 2，∴BD ＝CD ＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．20. 【答案】52解：(1)60(2)①如图(a)．∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC.又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＝12∠BOD，∴12∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝120°，∴∠BAD＝12∠BOD＝12×120°＝60°，∠OBC＝∠ODC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠OBA＋∠ODA＝∠ABC＋∠ADC－(∠OBC＋∠ODC)＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所示，连接AO.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.。

24.1 圆（第四课时 ）--------圆周角知识点1、圆周角定义：顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫圆周角。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 。

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 ，那么它们所对的弧 。

推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 900的圆周角所对的弦是 。

3、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。

性质：圆内接四边形的对角一、选择题1.如图，在⊙O 中，若C 是»BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ）A.1个B.2 个C.3个D.4个2.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ）A . 20°B . 40°C . 60° D.80°3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A=40 º，则∠B 的度数为（）A ．80 ºB ．60 ºC ．50 ºD ．40 º4.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°6.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（）A．6 B．5 C．3 D．327、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，则⊙O的半径为（）A．43B．63C．8 D．128、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）»»B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90°A.AD BD二、填空题1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．3.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝.4.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝..5、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=．6、如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=cm．7、如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．8、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=．9、如图，圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD=．A B C DO 10、如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器0刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，第24秒，点E 在量角器上对应的读数是 度．三、解答题 1、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长.2． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是»BD的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．3、如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC 是等边三角形；（2）求圆心O 到BC 的距离OD ．CBDE FO4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．5、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．答案1.圆上相交2.相等一半相等一定相等直角直径3.圆内接多边形这个多边形的外接圆互补一、选择题1.C2.D3.C4.C5. C6.C7、A8、C二、填空题1．150°2．25°3.60°4. 40°.5、20°6、57、50°8.9、30°10、144°三、解答题1、ArrayA B»»2222222BC AB AC 1068cm CD ACBACD BCD 45ADBD AD BDBD AB 100100AD BD 52cm 2∴∠∠︒∴=-=-=∠∴∠=∠=︒∴=∴=+==∴===Q e V Q V 解：AB 是O 的直径ACB=ADB=90在Rt ABC 中,AB=10cm,AC=6cm,平分在Rt ADC 中,AB=10cmAD 2．解：(1) 证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ﹦90° 又∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ﹦90° ∴∠2﹦90°－∠A ﹦∠1又∵C 是弧BD 的中点，∴∠1﹦∠A ∴∠1﹦∠2,∴ CF ﹦BF ﹒(2) ⊙O 的半径为5 ， CE 的长是524﹒3、解：（1）在△ABC 中，∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC ， CB D E FO 1 2∴∠ABC=60°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心，∴BO平分∠ABC，∴∠OBD=30°，∴OD=8×12=4．4、证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴»»CD AD=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=12 AB，∵OD=»»CD AD=AB，∴BC=OD．5、（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。

2023—2024学年人教版数学九年级上册24.1圆的有关性质同步练习（含答案）初中数学同步练习九年级上册24.1 圆的有关性质一、单选题1．如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点M，连接BC、AD，⊙AMD＝100°，⊙A＝30°，则⊙B＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°3．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若⊙ABC ＝30°，则⊙ADC的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°4．如图，点A．B．C在⊙D上，⊙ABC=70°，则⊙ADC的度数为（）A．110° B．140° C．35° D．130°5．下列命题中，不正确的是（）A．垂直平分弦的直线经过圆心B．平分弦的直径一定垂直于弦C．平行弦所夹的两条弧相等D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧6．如图，⊙O的直径CD⊙AB，⊙AOC=60°，则⊙CDB=（）A．20° B．30° C．40° D．50°7．如图，在⊙O中，弦AC⊙半径OB，⊙BOC=48°，则⊙OAB的度数为() A．24° B．30° C．60° D．90°8．如图，⊙O的半径OD⊙弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB=4，CD=1，则EC的长为()A．B．C．D．4二、填空题9．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊙CD，连接AD，BC，若⊙C=25°，则⊙D的度数为.10．如图，A、B、C是⊙O的圆周上三点，⊙ACB=40°，则⊙ABO等于度.11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙A＝100°，则⊙DCE的度数为；12．如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，⊙ADC = 144°，则⊙ABC =13．如图，⊙ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，⊙ACB=50°，点D是上一点，则⊙D=度．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，⊙CAD=35°，则⊙B+⊙E=.15．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，⊙B=70°，则⊙DAC=.16．如图，在中，A，B，C是O上三点，如果，弦，那么的半径长为．三、解答题17．如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点E，AE=CE，求证：BE=DE．18．如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．19．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为多少？20．如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，，求的度数.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】65°10．【答案】5011．【答案】100°12．【答案】3613．【答案】4014．【答案】215°15．【答案】20°16．【答案】517．【答案】证明：⊙⊙A=⊙C，⊙D=⊙B ，AE=CE，⊙ ⊙AED⊙⊙CEB，⊙ BE=DE．18．【答案】解：⊙弧AC和弧BC相等，⊙⊙AOC=⊙BOC，又⊙OA="OB" M、N分别是OA、OB的中点⊙OM=ON，在⊙MOC和⊙NOC中，⊙⊙MOC⊙⊙NOC（SAS），⊙MC=NC．19．【答案】解：如图，连接AQ，由题意可知：⊙BPQ=45°，⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙AQB=90°，又⊙⊙BAQ=⊙BPQ=45°，⊙⊙ABQ是等腰直角三角形，⊙BQ=AQ= .即，答案为.20．【答案】解：在⊙ABC中，⊙⊙B=60°，⊙C=75°，⊙⊙A=45°．⊙AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，⊙⊙BOD=2⊙A=90°。

24.1圆的有关性质一、复习（一）圆及垂径定理1.圆：把平面内到距离等于的点的集合称为圆；我们把称为圆心，把称为半径。

2.我们把连接圆上任意的称为弦，经过的弦称为直径；圆上的部分称为弧。

3.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是。

4.在同一平面内，不在直线上的点确定一个圆。

5.垂径定理:垂直于弦的平分弦,并且平分弦所对的弧。

6.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径弦，并且平分弦所对的两条弧。

（二）圆心角、圆周角1.圆心角：我们把在圆心的角称为圆心角.2.弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。

3.圆周角：在圆周上，并且都和圆相交的角叫做圆周角；在同圆或等圆中，圆周角度数等于它所对的弧上的圆心角度数。

4.相关推论：①半圆或直径所对的圆周角都是_____，都等于_____度；②90°的圆周角所对的弦是；5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，相等的圆周角所对的____和____都相等。

二、引领学习（一）命题判断题1.下列说法正确的是（）A.长度相等的弧是等弧；B.两个半圆是等弧；C.半径相等的弧是等弧；D.直径是圆中最长的弦；2. 以下说法正确的是：（）①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等。

A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③ 3. 下列语句中，正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧也相等；②顶点在圆周上的角是圆周角； ③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列命题中是真命题的为（ ）A.三点确定一个圆B.任何一个三角形有且只有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆 D.等腰三角形的外心一定在它的外部 5.下列说法正确的是 （ ）A.相等的圆心角所对的弧相等B.过圆心的线段是直径C. 半圆是弧D.弦是直径 （二）多解题 1.已知⊙O 的半径为5.（1）弦AB=8cm,弦CD=6cm,且AB ∥CD ，则这两条弦之间的距离为 cm. （2）弦AB=8cm,则该弦所对的弧的中点到弦AB 的距离为 cm. （3）AB 是⊙O 的一条弦，点P 在直线AB 上，PB=3，AB=8，则=PQOQ. 2.点A 、B 、C 是⊙O 上不同的三个点，∠AOB=100°，则∠ACB= °. (变式)：△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB= °. 3.在△ABC 中，AB=AC=5，S ABC ∆=12，则△ABC 外接圆的半径为 。

24.1 圆的有关性质课时训练卷一．选择题1．下列条件中，能确定圆的是（）A．以点O为圆心B．以2cm长为半径C．以点O为圆心，以5cm长为半径D．经过已知点A2．下列说法正确的是（）A．直径是弦，弦是直径B．半圆是弧C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径D．直径的长度是半径的2倍3．下面四个图中的角，为圆心角的是（）A．B．C．D．4．如图中奥迪车商标的长为34cm，宽为10cm，则d的值为（）A．14B．16C．18D．205．如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°6．半圆的圆心角（）A．大于180°B．等于180°C．在90°～180°之间D．等于90°7．如图，在⊙O中，A，B，P为⊙O上的点，∠AOB＝68°，则∠APB的度数是（）A．136°B．34°C．22°D．112°8．如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．89．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm10．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°12．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm二．填空题13．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为度．14．如图，A、B、C三点在⊙O上，连接AB，OC，OA，BC，若∠ABC＝23°，则∠AOC 的度数为．15．已知弦AB把圆周分成1：9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为．16．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝74°，则∠E ＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD．若∠BDC＝40°，则∠BCD的度数为．18．如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD ⊥AB），则油面宽度AB为m．19．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．三．解答题20．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．21．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．22．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？23．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．参考答案一．选择题1．解：A、点O为圆心，半径不确定，则不能确定圆；B、2cm长为半径，圆心不确定，则不能确定圆；C、以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；D、经过点A，则圆心和半径都不能确定，则不能确定圆．故选：C．2．解：A、直径是圆中特殊的弦，但弦不一定是直径，所以错误；B、半圆是特殊的弧，故正确；C、过圆内的点圆心有无数条直径，故错误；D、直径的长度是同一个圆的半径的2倍，故错误．故选：B．3．解：∵圆心角的顶点必须在圆心上∴A、B、C均不对故选：D．4．解：∵宽为10cm，∴圆的直径是10cm，∴圆的重叠部分的宽是（40﹣34）÷3＝2cm，∴d＝20﹣2＝18cm．故选：C．5．解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°∴∠AOE＝60°．故选：B．6．解：∵半圆所对的弦是直径∴半圆所对的圆心角是180度．故选：B．7．解：∵∠AOB＝68°，∴∠APB＝∠AOB＝34°，故选：B．8．解：如图，连接OA，∵OC⊥AB于点C，∴AC＝BC，∵⊙O的半径是5，∴OA＝5，又OC＝3，所以在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，所以AB＝2AC＝8．故选：D．9．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．10．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝90°﹣40°＝40°，∴∠D＝∠B＝50°故选：D．11．解：连接OC，如图，∵∠A＝26°，∴∠BOC＝2∠A＝52°，∵AB⊥CD，∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD＝38°．故选：B．12．解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．二．填空题13．解：∵，（已知）∴∠AOE＝∠COA（等弧所对的圆心角相等）；又∠AOE＝32°，∴∠COA＝32°，∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．故答案是：64°．14．解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝23°，∴∠AOC＝46°，故答案为46°．15．解：∵弦AB把圆周分成1：9两部分，∴弦AB所对圆心角的度数＝×360°＝36°．故答案为36°．16．解：连结OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，∵OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝∠AOC＝×74°＝（）°．故答案是：（）°．∵∠BDC与∠BAC在BC的同侧，∴∠BAC＝40°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAC＝80°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°；∴∠BCD的度数为100°，故答案为：100°．18．解：连接OA，由题意得，OA＝2.5m，OD＝1.5m，∵CD⊥AB，∴AD＝＝2m，∴AB＝2AD＝4m，故答案为：4．19．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．三．解答题20．解：连接OD，∵OC＝OD，∠C＝40°，∵AB＝2DE，OD＝AB，∴OD＝DE，∵∠ODC是△DOE的外角，∴∠E＝∠EOD＝∠ODC＝20°，∵∠AOC是△COE的外角，∴∠AOC＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．21．（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．22．解：（1）∵直径AB＝26m，∴OD＝，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD＝5：24，∴OE：ED＝5：12，∴设OE＝5x，ED＝12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1，∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m；（2）由（1）得OE＝1×5＝5m，延长OE交圆O于点F，∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．23．解：（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．。