八年级数学 圆的有关性质相关练习题

圆有关的性质练习题1. 设有一个圆，半径为r。

问：圆的直径是多少？圆的周长是多少？圆的面积是多少？首先，直径是连接圆上任意两点并经过圆心的线段。

所以直径的长度就是2r。

其次，周长是圆上一整圈的长度。

根据圆周率的定义，圆的周长等于直径乘以π，即2πr。

最后，圆的面积是圆内部所有点组成的区域的大小。

根据圆的面积公式，圆的面积等于半径的平方乘以π，即πr²。

2. 给定一个圆，半径为r。

在圆上取一点A，并连接该点和圆心O，得到线段AO。

问：此线段AO是否会被圆分成两等分？根据圆的性质，半径是从圆心到圆上任一点的线段。

由于AO的两端分别是圆上任意两点，所以AO也是一个半径。

所以可以得出结论：线段AO会被圆分成两等分。

3. 设有两个圆，半径分别为r₁和r₂，且r₁ > r₂。

问：这两个圆是否会相交？首先，考虑两个圆的最短距离。

通过画图可知，当两个圆的圆心之间的距离小于r₁与r₂的和时，两个圆就会相交。

其次，当两个圆的圆心之间的距离等于r₁与r₂的和时，两个圆刚好相切。

圆心之间的距离大于r₁与r₂的和时，两个圆不相交。

4. 给定一个圆和一条垂直于圆心的直线。

问：直线是否会与圆相交？设直线与圆的圆心之间的距离为d，圆的半径为r。

根据勾股定理，直线与圆相交的条件是d < r。

由此可得，当直线与圆距离小于半径时，直线与圆相交；当直线与圆距离等于半径时，直线与圆相切；当直线与圆距离大于半径时，直线与圆不相交。

5. 在一个圆中，给定两个相交的弦AB和CD。

将这两个弦的中点连接，并将这条线段继续延长，与圆相交于点E。

问：点E与圆心的连线是否会垂直于弦AB和CD？首先，我们知道圆的半径是从圆心到圆上任一点的线段，并且半径与该点所在的弦垂直。

所以点E与圆心的连线垂直于弦AB和CD。

这是因为弦的中点连线的延长与圆相交的点E，必然位于圆的半径上。

而根据圆的性质，半径与该点所在的弦垂直。

通过以上几个问题的练习，我们对圆的性质有了更深入的了解。

八年级数学圆的性质练习题及答案1. 单选题1) 设O为平面内一个圆的圆心，AB为圆上一条弧，点C是弧AB 的中点，则在一个平面内以下哪些命题是真的？a) 点C在弧AB的弦上。

b) ∠CAB = 90°。

c) ∠CAB = ∠CBO。

d) ∠C = ∠CAB/2。

答案：a) 和 c)2) 平面上有一个不经过圆心的直线与一个圆相交，交点有0个，1个以及2个，那么圆的位置是什么关系？a) 圆心在直线上。

b) 圆心在直线的一侧。

c) 圆的圆心在直线的对面。

d) 圆的圆心在直线所在直线的垂直平分线上。

答案：c)2. 填空题1) 设AB为直径的圆，点C为圆上一点，则直线AC的度数为_________。

答案：90°2) 在平面上给出一条弧，求出它平分的角的度数，圆心的角度数为_________。

答案：360°3. 解答题1) 已知O为圆心，AB为圆上一条弧，点P为圆弧上一点，连接OP并延长交圆于点C。

如果∠ACB=70°，求∠APB的度数。

解答：由于OP与圆弧AB相交于点P，而OP与圆相交于点C，所以∠BAC=∠BPC。

又∠ACB=70°，则∠BAC=70°，所以∠APC=140°。

因为角度补角原理，得到∠APB=360°-140°=220°。

2) 圆内接于四边形ABCD，如果∠ABC=85°，∠BCD=120°，求证：∠BAD+∠ADC=180°。

解答：由于圆内接于四边形ABCD，所以∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD。

又已知∠ABC=85°，∠BCD=120°，所以∠BAD+∠ADC=85°+120°=205°。

根据角度和为180°的原理可知，∠BAD+∠ADC不等于180°。

所以命题不成立。

3) 平面内有一个圆心为O，半径为r的圆，点P为圆上一点，直线l经过点P且与圆相交于A、B两点。

1° ° D CB A O圆的有关性质【知识要点】 1．圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

由此得到推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6．圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆 定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练】 一、选择题1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014•毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014•珠海）如图，线段AB 是⊙O 的直径， 弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（ ） A 160° B 150° C 140° D 120°4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ） A 、50° B 、80° C 、100° D 、130°5.（2015上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A 、AD ＝BD ；B 、OD ＝CD ；C 、∠CAD ＝∠CBD ；D ∠OCA ＝∠OCB ．6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O 的直径AB ，在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合)，∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必（ ） A 。

圆的性质练习题1. 以下哪个说法是关于圆心的？- (A) 圆心是圆的中点- (B) 圆心位于圆周上- (C) 圆心与半径相等- (D) 圆心可以位于圆外答案：(A) 圆心是圆的中点2. 在一个圆中，有两条相交的弦AB和CD，若弦AB的长度为12，弦CD的长度为16，那么弦AB的一半加上弦CD的一半等于多少？答案：弦AB的一半加上弦CD的一半等于143. 下列哪个选项不能确定一个圆？- (A) 圆心和半径- (B) 直径和半径- (C) 弦和半径- (D) 弧和半径答案：(C) 弦和半径4. 若一个圆的直径为10，那么它的半径是多少？答案：半径是55. 下列哪个说法是关于切线的？- (A) 切线与圆相切于圆的内部- (B) 切线与圆相切于圆的外部- (C) 切线与圆的切点位于圆的任意位置- (D) 切线与圆不可能相切答案：(B) 切线与圆相切于圆的外部6. 如果AB是一个圆的直径，CD是一个切线，且切点为E，那么角CED的度数是多少？答案：角CED的度数是90度7. 以下哪个选项不能作为一个圆的弧长？- (A) 3- (B) 3π- (C) π/2- (D) 2π答案：(C) π/28. 若一个圆的半径为8，那么它的周长是多少？答案：周长是16π9. 若一个圆的周长为12π，那么它的直径是多少？答案：直径是610. 以下哪个说法是关于圆的面积的？- (A) 圆的面积与周长成正比- (B) 圆的面积与半径的平方成正比- (C) 圆的面积与直径成正比- (D) 圆的面积与弧度成正比答案：(B) 圆的面积与半径的平方成正比以上是关于圆的性质的练习题，希望能帮助你巩固对圆的相关概念的理解。

请根据题目给出的选项选择正确答案，并核对答案的准确性。

初中数学：圆的基本性质测试题（含答案）一、选择题(每小题4分，共24分)1．如图G －3－1，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15°2．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( ) A ．相等的弦所对的弧相等 B ．相等的弦所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．相等的圆心角所对的弦相等G －3－1G －3－23．如图G －3－2，在两个同心圆中，大圆的半径OA ，OB ，OC ，OD 分别交小圆于点E ，F ，G ，H ，∠AOB ＝∠GOH ，则下列结论中，错误的是( )A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵ C ．∠AOC ＝∠BOD D.AB ︵＝GH ︵4．已知正六边形的边长为2，则它的外接圆的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．2 35．在如图G－3－3所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船(S)不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须( ) A．大于60° B．小于60°C．大于30° D．小于30°G－3－3G－3－46．如图G－3－4，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC 平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( ) A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥C．②③④⑥ D．①③④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)7．如图G－3－5，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A＝________°.G－3－5G－3－68．如图G－3－6，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝________°.9．如图G－3－7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．G－3－7G－3－810．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图G－3－8所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________°.11．如图G－3－9，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC.若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为________．G－3－9图G－3－1012．如图G－3－10，已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O，则B，D 两点间的距离为__________．三、解答题(共52分)13．(12分)如图G－3－11所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．图G－3－1114．(12分)如图G－3－12，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC 的平分线交AD于点E，连结DB.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．图G －3－1215．(12分)作图与证明：如图G －3－13，已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，请完成下列任务：(1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；(2)连结BF ，CE ，判断四边形BCEF 的形状，并加以证明．图G －3－1316．(16分)如图G －3－14，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD ︵上任意一点，连结DE ，AE .(1)求∠AED的度数；(2)如图②，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连结AF，AF＝1，AE＝4，求DE 的长．图G－3－14详解详析1．C 2.A 3.D 4.C 5.D6．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°，即AD⊥BD，∴①正确；∵OC∥BD，∴∠C＝∠CBD.又∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠ABD，∴③正确；∵∠D＝90°，OC∥BD，∴∠CFD＝∠D＝90°，即OC⊥AD，∴AF＝DF，∴④正确；又∵AO＝BO，∴OF是△ABD的中位线，∴OF＝12BD，即BD＝2OF，∴⑤正确．故选D.7．45 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝12(180°－∠C)＝45°.8．509．4 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝6，AB＝10，∴AC ＝102－62＝8.∵OD⊥BC于点D，∴DB＝DC.又∵OA＝OB，∴OD＝12AC＝4.10．3611．4 3 [解析] ∵∠BAC＋∠BOC＝180°，2∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝120°，∠BAC＝60°.过点O作OD⊥BC于点D，则∠BOD＝12∠BOC＝60°.∵OB＝4，∴OD＝2，∴BD＝OB2－OD2＝42－22＝2 3，∴BC＝2BD＝4 3.12．4 3 [解析] 如图，连结OB，OC，OD，BD，BD交OC于点P，∴∠BOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD ＝120°，BC ︵＝CD ︵， ∴OC ⊥BD . ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝30°. ∵OB ＝4，∴PB ＝OB ·cos ∠OBD ＝32OB ＝2 3， ∴BD ＝2PB ＝4 3.13．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝4 2. ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠DCA ＝∠BCD ， ∴AD ︵＝BD ︵， ∴AD ＝BD ，∴在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝3 2，∴四边形ADBC 的面积＝S △ABC ＋S △ABD ＝12AC ·BC ＋12AD ·BD ＝12×2×4 2＋12×32×3 2＝9＋4 2.故四边形ADBC的面积是9＋4 2.14．解：(1)证明：连结CD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.(2)∵∠BAC＝90°，∴BC是圆的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝BD2＋CD2＝4 2.∴△ABC的外接圆半径为2 2.15．解：(1)如图①，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O 于点B ，F ，C ，E ，连结AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，AF ，则正六边形ABCDEF 即为所求．(2)四边形BCEF 是矩形．证明：如图②，连结OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝DE ＝DC ＝FE ＝BC ，∴AB ︵＝AF ︵＝DE ︵＝DC ︵，∴BF ︵＝CE ︵，∴BF ＝CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形．∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠EDC ＝120°.∵DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEF ＝∠DEF －∠DEC ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形．16．解：(1)如图①，连结OA ，OD .∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝12∠AOD＝45°.(2)如图②，连结CF，CE，CA，过点D作DH⊥AE于点H.∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∠AED＝∠BFC＝45°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°.又∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝AE2＋CE2＝17，∴AD＝22AC＝342.∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝EH，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2＋DH2，∴344＝(4－x)2＋x2，解得x＝32或x＝52，∴DE＝2DH＝3 22或5 22.。

圆的有关性质（46题）一、单选题 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，连接BD ，41DCA ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．41︒B ．45︒C ．49︒D ．59︒【答案】C 【分析】由CD 是O 的直径，得出90DBC ∠=︒，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出41ABD ACD ∠=∠=︒，进而即可求解．【详解】解：∵CD 是O 的直径，∴90DBC ∠=︒，∵AD AD =，∴41ABD ACD ∠=∠=︒，∴904149ABC DBC DBA ∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．统考中考真题）如图，在O 中，OA【答案】B【分析】连接OB ，由圆周角定理得60AOB ∠=︒，由OA BC ⊥得，60COE BOE ∠=∠=︒，CE BE =在Rt OCE 中，由sin 60CE OC =︒，计算即可得到答案．【详解】解：连接OB ，如图所示，，30ADB ∠=︒，223060AOB ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒，OA BC ⊥，60COE BOE ∴∠=∠=︒，1122CE BE BC ===⨯=在Rt OCE中，60COE CE ∠=︒=，2sin 60CE OC ∴===︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．A ．1123−【答案】B【分析】连接ON ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON ，根据题意，AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ⊥，得ON AB ⊥，∴点M ，N ，O 三点共线，∵4OA =，60AOB ∠=︒，∴OAB 是等边三角形，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，∴(2244114MN l AB OA −=+=+=−故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点A B C 、、在O 上，C 为AB 的中点．若35BAC ∠=︒，则AOB ∠等于（ ）A ．140︒B ．120︒C ．110︒D ．70︒【答案】A【分析】连接OC ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC ，如图所示：点A B C 、、在O 上，C 为AB 的中点，BC AC ∴=，12BOC AOC AOB ∴∠=∠=∠，35BAC ∠=︒，根据圆周角定理可知270BOC BAC ∠=∠=︒，2140AOB BOC ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接,OC OD ，则BAE COD ∠−∠=（ ）A ．60︒B ．54︒C ．48︒D ．36︒【答案】D 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵360360180,55BAE COD ︒︒∠=︒−∠=， ∴3603601803655BAE COD ︒︒∠−∠=︒−−=︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）A ．只有甲是扇形B ．只有乙是扇形C ．只有丙是扇形D ．只有乙、丙是扇形【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．是O 的直径，是O 上一点．若 A ．66︒B 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵BC BC =，66BOC ∠=︒，∴1332A BOC ∠=∠=︒， 故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在O 中，若30ACB ∠=︒，6OA =，则扇形OAB (阴影部分)的面积是( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π【答案】B 【分析】根据圆周角定理求得60AOB ∠=︒，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB AB =，30ACB ∠=︒，∴60AOB ∠=︒，∴260π66π360S =⨯=．故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键． 内接于O ，BC ∥ 【答案】C 【分析】过点O 作OE AD ⊥于点E ，由题意易得45CAD ADB CBD BCA ∠=∠=︒=∠=∠，然后可得30OAD ODA ∠=∠=︒，1602ABD ACD AOD ∠=∠=∠=︒，12AE AD ==，进而可得12CD CF CD ====，最后问题可求解．【详解】解：过点O 作OE AD ⊥于点E ，如图所示：∵BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠，∵CBD CAD ∠=∠，∴CAD ADB ∠=∠，∵AC BD ⊥，∴90AFD ∠=︒，∴45CAD ADB CBD BCA ∠=∠=︒=∠=∠，∵120AOD ∠=︒，OA OD =，AD =∴30OAD ODA ∠=∠=︒，1602ABD ACD AOD ∠=∠=∠=︒，12AE AD ==， ∴15CAO CAD OAD ∠=∠−∠=︒，1cos30AE OA OC OD ====︒，105BCD BCA ACD ∠=∠+∠=︒， ∴290,18030COD CAD CDB BCD CBD ∠=∠=︒∠=︒−∠−∠=︒，∴122CD CF CD ====，∴1BC =；故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键． 10．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，O 的圆心O 与正方形的中心重合，已知O 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．【答案】D 【分析】设正方形四个顶点分别为A B C D 、、、，连接OA 并延长，交O 于点E ，由题意可得，EA 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为A B C D 、、、，连接OA 并延长，交O 于点E ，过点O 作OF AB ⊥，如下图：则EA 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：4OE AB ==，122AF OF AB ===由勾股定理可得：OA ==∴4AE =−故选：D.【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．11．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若4880A APD ∠=︒∠=︒，，则B ∠的度数为（ ）A ．32︒B ．42︒C ．48︒D ．52︒【答案】A【分析】根据圆周角定理，可以得到D ∠的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出B ∠的度数．【详解】解：48A D A ∠=∠∠=︒，，48D ∴∠=︒，80APD APD B D ∠=︒∠=∠+∠，，804832B APD D ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出D ∠的度数． 12．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，点P 在AF 上，Q 是DE 的中点，则CPQ ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．36︒C ．45︒D ．60︒【答案】C 【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．【详解】如图，连接,,,OC OD OQ OE ，∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE 的中点，∴360606COD DOE ︒∠=∠==︒，1302DOQ EOQ DOE ∠=∠=∠=︒，∴90COQ COD DOQ ∠=∠+∠=︒，∴1452CPQ COQ ∠=∠=︒，故选：Ｃ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．如图，O 是ABC 的外接圆，A ．43【答案】B 【分析】作BM AC ⊥于点M ，由题意可得出AEB DEC V V ≌，从而可得出EBC 为等边三角形，从而得到6030GEF EGF ∠=︒∠=︒，，再由已知得出EF ，BC 的长，进而得出CM ，BM 的长，再求出AM 的长，再由勾股定理求出AB 的长．【详解】解：作BM AC ⊥于点M ，在AEB △和DEC 中，A D AE EDAEB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA AEB DEC ≌， ∴EB EC =，又∵BC CE =，∴BE CE BC ==，∴EBC 为等边三角形，∴60GEF ∠=︒，BC EC =∴30EGF ∠=︒，∵2EG =，OF AC ⊥，30EGF ∠=︒ ∴112EF EG ==，又∵3AE ED ==，OF AC ⊥∴4CF AF AE EF ==+=，∴285AC AF EC EF CF ===+=，，∴5BC EC ==，∵60BCM ∠=︒，∴∠30MBC =︒，∴52CM =， BM =， ∴112AM AC CM =−=，∴7AB =．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 内接于,,O AC BD A ．40︒【答案】B 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵BC BC =，∴40BDC BAC ∠=∠=︒，∵BD 为圆的直径，∴90BCD ∠=︒，∴9050DBC BDC ∠=︒−∠=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键． 15．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，OA OB OC ，，都是O 的半径，AC OB ，交于点D ．若86AD CD OD ===，，则BD 的长为（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出,OD AC ⊥根据勾股定理求出10OC =，进一步可求出BD 的长．【详解】解：∵8AD CD ==，∴点D 为AC 的中点，∵,AO CO =∴OD AC ⊥，由勾股定理得，10,OC =∴10,OB =∴1064,BD OB OD =−=−=故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键.16．（2023·河北·统考中考真题）如图，点18~P P 是O 的八等分点．若137PP P ，四边形3467P P P P 的周长分别为a ，b ，则下列正确的是( )A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．a ，b 大小无法比较 【答案】A【分析】连接1223,PP P P ，依题意得12233467PPP P P P P P ===，4617P P PP =，137PP P 的周长为131737a PP PP P P ++=，四边形3467P P P P 的周长为34466737b P P P P P P P P ++=+，故122313b a PPP P PP +−=−，根据123PP P 的三边关系即可得解．【详解】连接1223,PP P P ，∵点18~P P 是O 的八等分点，即1223345566778148PP P P P P P P P P P P P P P P ======= ∴12233467PP P P P P P P ===，464556781178P P P P P P P P P P PP =+=+= ∴4617P P PP =又∵137PP P 的周长为131737a PP PP P P ++=，四边形3467P P P P 的周长为34466737b P P P P P P P P ++=+，∴()()34466737131737b a P P P P P P P P PP PP P P ++−++=+−()()12172337131737PP PP P P P P PP PP P P =+++−++ 122313PP P P PP =−+在123PP P 中有122313PP P P PP >+∴1223130b a PPP P PP −=+>− 故选：A ．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 17．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ∠=︒，则BAC ∠=（ ）A ．23︒B ．24︒C ．25︒D ．26︒【答案】D 【分析】根据,OA OB 互相垂直可得ADB 所对的圆心角为270︒，根据圆周角定理可得12701352ACB ∠=⨯︒=︒，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，半径,OA OB 互相垂直，∴90AOB ∠=︒，∴ ADB 所对的圆心角为270︒，∴ADB 所对的圆周角12701352ACB ∠=⨯︒=︒，又19ABC ∠=︒，∴18026BAC ACB ABC ∠=︒−∠−∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 18．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC AD BD ，，，若20C ∠=︒，70BPC ∠=︒，则ADC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒【答案】D 【分析】先根据圆周角定理得出20B C ∠=∠=︒，再由三角形外角和定理可知702050BDP BPC B ∠=∠−∠=︒−︒=︒，再根据直径所对的圆周角是直角，即90ADB ∠=︒，然后利用ADB ADC BDP ∠=∠+∠进而可求出ADC ∠．【详解】解：∵20C ∠=︒，∴20B ∠=︒，∵70BPC ∠=︒，∴702050BDP BPC B ∠=∠−∠=︒−︒︒，又∵AB 为直径，即90ADB ∠=︒，∴905040ADC ADB BDP ∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：D ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 19．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（ ）A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m【答案】B【分析】由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到37m 2AD =，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，()7m OD OC CD R ∴=−=−， OC 是半径，且OC AB ⊥，137m 22AD BD AB ∴===，在Rt △ADO 中，222AD OD OA +=，()2223772R R ⎛⎫∴+−= ⎪⎝⎭， 解得：156528m 56R =≈，故选：B.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 20．（2023·四川·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，连接CD OD AC ，，，若124BOD ∠=︒，则ACD ∠的度数是（ ）A ．56︒B ．33︒C ．28︒D ．23︒【答案】C 【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵124BOD ∠=︒，∴18012456AOD Ð=°-°=°， ∴1282ACD AOD ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 21．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O 是ABC 外接圆的圆心，点I 是ABC 的内心，连接OB ，IA ．若35CAI ∠=︒，则OBC ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．17.5︒C ．20︒D ．25︒【答案】C 【分析】根据三角形内心的定义可得BAC ∠的度数，然后由圆周角定理求出BOC ∠，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OC ，∵点I 是ABC 的内心，CAI ∠=︒，∴270BAC CAI ∠=∠=︒，∴2140BOC BAC ∠=∠=︒，∵OB OC =，∴1801801402022BOC OBC OCB ︒−∠︒−︒∠=∠===︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．．如图，O 的半径为，以圆内接正六边形面积近似估计O 的面积，可得2A ．3【答案】C 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得30AOB ∠=︒，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得12BC =，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30︒，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC OA ⊥交OA 于点于点C ，∵30AOB ∠=︒，∴1122BC OB ==， 则1111224OAB S =⨯⨯=， 故正十二边形的面积为1121234OAB S =⨯=，圆的面积为113π⨯⨯=，用圆内接正十二边形面积近似估计O 的面积可得3π=，故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 23．（2023·广东·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，50BAC ∠=︒，则D ∠=（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵50BAC ∠=︒，∴9040ABC BAC ∠=︒−∠=︒，∵AC AC =，∴40D ABC ∠=∠=︒；故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．24．（2023·河南·统考中考真题）如图，点A ，B ，C 在O 上，若55C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（）A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒【答案】D【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵55C ∠=︒，∴由圆周角定理得：2110AOB C ==︒∠∠，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 25．（2023·全国·统考中考真题）如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=︒，则BPC ∠的度数可能是（ ）A ．70︒B ．105︒C ．125︒D ．155︒【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC ∠=∠=︒，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵BC BC =，70BAC ∠=︒，∴2140BOC BAC ∠=∠=︒，∵140BPC BOC PCO ∠=∠+∠≥︒，∴BPC ∠的度数可能是155︒故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 26．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD 中，105BCD ∠=︒，连接OB ，OC ，OD ，BD ，2BOC COD ∠=∠．则CBD ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒【答案】A【分析】根据圆内接四边形对角互补得出18010575A ∠=︒−︒=︒，根据圆周角定理得出2150BOD A ∠=∠=︒，根据已知条件得出1503COD BOD ∠=∠=︒，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD 中，105BCD ∠=︒，∴18010575A ∠=︒−︒=︒∴2150BOD A ∠=∠=︒∵2BOC COD ∠=∠ ∴1503COD BOD ∠=∠=︒，∵CD CD = ∴11502522CBD COD ∠=∠=⨯︒=︒,故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． A ．35︒B ．30︒ 【答案】A 【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=︒，可得23570AOB ∠=⨯︒=︒，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=︒．【详解】解：∵35MNO ∠=︒，MO NO =，∴35NMO MNO ∠=∠=︒，∴23570AOB ∠=⨯︒=︒，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．二、填空题 28．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，12,5AC BC ==，则MD 的长是________．【答案】4【分析】根据圆周角定理得出90ACB ∠=︒，再由勾股定理确定13AB =，半径为132，利用垂径定理确定OM AC ⊥，且6AD CD ==，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵12,5AC BC ==，∴13AB =，∴11322AO AB ==，∵点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，∴OM AC ⊥，且6AD CD ==，∴52OD ==，∴4MD OM OD AO OD =−=−=，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 29．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，在ABC 中，6cm,50AB AC BAC ==∠=︒，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则弧DE 的长为__________cm ．【答案】56π【分析】连接AD ，OD ，OE ，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接AD ，OD ，OE ，∵AB 为直径，∴AD AB ⊥，∵6cm,50AB AC BAC ==∠=︒，∴BD CD =，1252BAD CAD BAC ∠=∠=∠=︒，∴250DOE BAD ∠=∠=︒，113cm 22OD AB AC ===， ∴弧DE 的长为()50351806cm ππ⨯⨯=，故答案为：56πcm ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．30．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，圆的半径为7，60BAC ∠=︒，则弦BC 的长度为___________．【答案】【分析】连接,OB OC ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，先根据圆周角定理可得2120BOC BAC ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一可得60BOD ∠=︒，2BC BD =，然后解直角三角形可得BD 的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接,OB OC ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，2120BOC BAC ∴∠=∠=︒，,OB OC OD BC =⊥Q ，1602BOD BOC ∴∠=∠=︒，2BC BD =，∵圆的半径为7，7OB ∴=，sin 60BD OB ∴=⋅︒=2BC BD ∴==故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．31．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ∠=︒，则ABC ∠=________︒．【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得55,A CDB ∠=∠=︒再根据直径所对的圆周角为直角，得90ACB ∠=︒，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：,A CDB ∠∠Q 是BC 所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒−∠=︒−︒=︒，故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．32．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若100D ∠=︒，则B ∠的度数是________．【答案】80︒【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D Ð+а＝， ∵100D ∠=︒，∴18080B D ∠︒∠︒＝﹣＝． 故答案为：80︒．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 33．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD ∠的度数为_______．【答案】52.5︒【分析】方法一∶如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ===，502525AOB ∠=︒−︒=︒，然后再根据等腰三角形的性质求得65OAB ∠=︒、25OAD ∠=︒，最后根据角的和差即可解答．方法二∶ 连接,OB OD ，由题意可得：105BAD ∠=︒，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶ 解：如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ===，502525AOB ∠=︒−︒=︒，15525130AOD ∠=︒−︒=︒，∴()118077.52OAB AOB ∠=︒−∠=︒，()1180252OAD AOB ∠=︒−∠=︒，∴52.5OAB A BAD O D ∠∠−∠==︒．故答案为52.5︒．方法二∶解∶ 连接,OB OD ，由题意可得：15550105BAD ∠=︒−︒=︒，根据圆周角定理，知1110552.522BAD BOD ∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：52.5︒．【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 34．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．【答案】10︒，则1272∠=∠=︒，进而得出36AOB ∠=︒，即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角360725︒==︒，∴1272∠=∠=︒，∴18072236AOB ∠=︒−︒⨯=︒，∴共需要正五边形的个数3601036︒==︒（个）， 故答案为：10．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法． 35．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，O 是一个盛有水的容器的横截面，O 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为_______cm ．【答案】16【分析】过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ==，依题意，得出6OD =，进而在Rt AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ==，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，O 的半径为10cm ．∴1046OD =−=cm ，在Rt AOD 中，8AD =cm∴216AB AD ==cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．36．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在O 中，60OA BC AOB ⊥∠=︒，，则ADC ∠的度数为___________．【答案】30︒【分析】根据垂径定理得到»»AB AC=，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵OA BC⊥，∴»»AB AC=，∴1302ADC AOB∠=∠=︒，故答案为：30︒．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．是O上不同的三点，点在ABC的内部，连接【答案】80【分析】先根据圆周角定理求出BOC∠的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．【详解】解：在O中，2260120BOC A∠=∠=⨯︒=︒Q，1204080ODC BOC OCD∴∠=∠−∠=︒−︒=︒故答案为：80．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．38．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55︒，为了监控整个展区，最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．【答案】4【分析】圆周角定理求出P ∠对应的圆心角的度数，利用360︒÷圆心角的度数即可得解．【详解】解：∵55P ∠=︒，∴P ∠对应的圆心角的度数为110︒，∵360110 3.27︒÷︒≈，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：4【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．是O 的内接正六边形，设正六边形 【答案】2【分析】连接,,OA OC OE ，首先证明出ACE △是O 的内接正三角形，然后证明出()ASA BAC OAC ≌，得到BAC AFE CDE S S S ==，OAC OAE OCE S S S ==，进而求解即可．【详解】如图所示，连接,,OA OC OE ，∵六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，∴AC AE CE ==，∴ACE △是O 的内接正三角形，∵120B ∠=︒，AB BC =， ∴()1180302BAC BCA B ∠=∠=︒−∠=︒，∵60CAE ∠=︒，∴30OAC OAE ∠=∠=︒，∴30BAC OAC ∠=∠=︒，同理可得，30BCA OCA ∠=∠=︒，又∵AC AC =，∴()ASA BAC OAC ≌， ∴BAC OAC S S =，由圆和正六边形的性质可得，BAC AFE CDE SS S ==， 由圆和正三角形的性质可得，OAC OAE OCE S S S ==， ∵()2122BAC AFE CDE OAC OAE OCE OAC OAE OCE S S S S S S S S S S S =+++++=++=， ∴122S S =．故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 40．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，BAC ∠的角平分线与O 交于点D ，若20ADC ∠=︒，则BAD ∠=______°．【答案】35【分析】由题意易得90ACB ∠=︒，20ADC ABC ∠=∠=︒，则有70BAC ∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵AC AC =，20ADC ∠=︒，∴20ADC ABC ∠=∠=︒，∴70BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴1352BAD BAC ∠∠==︒；故答案为：35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．41．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长度是______寸．【答案】26【分析】连接OA 构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE 垂直AB 得到点E 为AB 的中点，由6AB =可求出AE 的长，再设出圆的半径OA 为x ，表示出OE ，根据勾股定理建立关于x 的方程，求解方程可得2x 的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA，AB=寸，⊥，且10AB CD∴==寸，5AE BE==，设圆O的半径OA的长为x，则OC OD x1Q，CE=∴=−，1OE x在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：222(1)5−−=，化简得：222125x x−+−=，x x xx=，即226∴=（寸）．CD26故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．三、解答题在第一象限内，A与x轴相切于点(1)求证：四边形ABOH为矩形．(2)已知A的半径为4，【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵A 与x 轴相切于点B ，∴AB x ⊥轴．∵,AH CD HO OB ⊥⊥，∴90AHO HOB OBA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHOB 是矩形．（2）如图，连接AC ．四边形AHOB 是矩形，AH OB ∴==在Rt AHC 中，222CH AC AH =−，3CH ∴==．点A 为圆心，AH CD ⊥，2CD CH ∴=6=．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 43．（2023·甘肃武威·统考中考真题）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知O ，A 是O 上一点，只用圆规将O 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在O 上逆时针方向顺次截取AB BC CD ==；②分别以点A ，点D 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于O 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交O 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将O 的圆周四等分．【答案】见解析【分析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．【详解】解：如图，即点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．理由如下：如图，连接,,,,,,,,,,OB OC AG AE DE AC DC OE OH OG AH ，由作图可得：AB BC CD ==，且OA OB AB ==，∴AOB 为等边三角形，60AOB ∠=︒，同理可得：60BOC COD ∠=∠=︒，∴180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴A ，O ，D 三点共线，AD 为直径，∴=90ACD ∠︒，设CD x =，而30DAC ∠=︒，∴2AD x =，AC ，由作图可得：DE AE AC ===，而OA OD x ==，∴⊥EO AD ，OE =，∴由作图可得AG AH =，而OA OH x ==，∴22222OA OH x AH +==，∴90AOH =︒∠，同理90AOG DOG DOH ∠=︒=∠=∠，∴点A ，G ，D ，H 把O 的圆周四等分．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解本题的关键． 统考中考真题）如图，在O 中，弦52求O 的半径；【答案】(1)5(2)94【分析】（1）延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，先根据圆周角定理可得90BAD ∠=︒，再解直角三角形可得10BD =，由此即可得；（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，先解直角三角形可得6BE =，从而可得2AE =，再利用勾股定理可得92CE =，然后根据正切的定义即可得．【详解】（1）解：如图，延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，由圆周角定理得：90BAD ∠=︒，弦AB 的长为8，且4cos 5ABC ∠=，845AB BD BD ∴==，解得10BD =，O ∴的半径为152BD =． （2）解：如图，过点C 作CE AB ⊥于点E ，O 的半径为5，5OB ∴=， 12OC OB =， 31522BC OB ∴==，4cos 5ABC ∠=，45BE BC ∴=，即41552BE =，解得6BE =，2AE AB BE ∴=−=，92CE ==，则BAC ∠的正切值为99224CE AE ==． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 都是O 的半径，，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】（1）由圆周角定理得出，11,22∠=∠∠=∠ACB AOB BAC BOC ，再根据2A CB B AC ∠=∠，即可得出结论； （2）过点O 作半径OD AB ⊥于点E ，根据垂径定理得出1,2∠=∠=DOB AOB AE BE ，证明DOB BOC ∠=∠，得出BD BC =，在Rt BDE △中根据勾股定理得出1DE =，在Rt BOE 中，根据勾股定理得出222(1)2OB OB =−+，求出OB 即可．【详解】（1）证明：∵AB AB =，∴12ACB AOB ∠=∠， ∵BC BC =，∴12BAC BOC ∠=∠，2ACB BAC ∠=∠，2AOB BOC ∴∠=∠．（2）解：过点O 作半径OD AB ⊥于点E ，则1,2∠=∠=DOB AOB AE BE ，2AOB BOC Ð=ÐQ ， ∴DOB BOC ∠=∠，BD BC ∴=，4,==AB BC2,∴==BE DB在Rt BDE △中，90DEB =︒∠Q1∴==DE ，在Rt BOE 中，90OEB ∠=︒，222(1)2∴=−+OB OB ，52OB ∴=，即O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 46．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD △(2)见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △ ，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒−︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，。

初中数学专题训练：圆的有关概念和性质（附参考答案）1．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10 cm，AB＝16 cm.若从目前太阳所处的位置到太阳完全跳出海平面的时间为16 min，则“图上”太阳升起的速度为( )A．1.0 cm/min B．0.8 cm/minC．1.2 cm/min D．1.4 cm/min2．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC⏜的度数是( )＝80°，则BDA．30°B．25°C．20°D．10°3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O 作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G.若DE＝3，EG＝2，则AB的长为( )A．4√3B．7C．8 D．4√54．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为( )C．105°D．110°5．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为( )A．2√3B．3√2C．2√5D．√5⏜的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB 6．如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB等于( )A．140°B．120°C．110°D．70°7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是( )A．60°B．65°C．70°D．75°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为( )A．30°B．45°9．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是( )A．25°B．30°C．35°D．40°10．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心，以OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是( )A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．往水平放置的半径为13 cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为( )A．5 cm B．8 cmC．10 cm D．12 cm12．如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝( )A．23°B．24° C．25°D．26°13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2√3，BC＝3，点P为△ABC 内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是( )A．3 B．3√3C．3√34D．3√3214．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为________．15．如图所示，点A，B，C是⊙O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO，CO，并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝______°.16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝______．17．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量得AB⏜的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6 cm ，AB ＝6.4 cm ，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为_____cm.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝√33x ＋2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_______.19．如图，在⊙O 中，两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E .(1)M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求⊙O 的半径长； (2)点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF ⊥BD .20．如图，已知AC 为⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PD 经过⊙O 上的点B 且∠CBD ＝∠CAB ，连接OP 交AB 于点M .求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)AM 2＝OM ·PM .21．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心、3为半径的⊙O与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，P是边OA上的动点，则PC＋PD的最小值为_______.22．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADB.(1)求证DB平分∠ADC，并求出∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆的半径长.参考答案1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A7．C 8．D 9．A 10．C11．B 12．D 13．D17． 4 18．2√314．45°15．80 16．29419．(1)⊙O的半径长为3√5(2)证明略20．(1)证明略(2)证明略21．2√1022．(1)证明略∠BAD＝90°(2)圆的半径长为4。

13．圆的有关性质A 卷1．边长为a 的正三角形ABC 外接圆半径是_____________。

2．从圆 内一点P 引两条弦AB 与CD ，则∠APC 与弧AC 、BC 度数间的关系是_________。

3．从圆外一点P 引圆的两条割线PBA 与PDC ，则∠P 与弧BD 、AC 度数间的关系是____________。

4．锐角三角形的外心在__________，直角三角形的外心在__________，钝角三角形的外心在_________。

5．若等腰Rt △ABC 的外接圆半径为1，则它的面积是___________。

6．若等腰Rt △ABC 内切圆半径为1，则该三角形的面积是___________。

7．已知⊙O 的弦BC 是其半径OA 的中垂线，则弧BAC 的度数是______________。

8．如果一个圆内接四边形的三个内角度数之比为1：3：5，则第四个内角的度数是_________。

9．半径为R 的弦AB=2r ，则AB 的弦心距是___________。

10．如图1，△ABC 内接于⊙O ，∠B=60°，AD 是直径，过点D 作⊙O 的切线交AC 的延长线于E ，如果CE=36，AB=2，则BC=____________。

B 卷1．一个等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径之比是__________。

2．已知⊙O 的半径r = 2cm ，弦AB=23cm ，则AB 的弦心距是____________。

3．如果一条弦的弦心距与弦长的比为1：23，则该弦所对弧的度数为___________。

4．已知等腰△ABC 的外心是O ，AB=AC ，∠BOC=100°，则∠ABC=_____________。

5．一个等腰直角三角形外接圆半径与其内切圆半径之比是___________。

6．一个正方形的外接圆半径与其内切圆半径之比是______________。

7．已知四边形ABCD 内接于圆，且弧AB 、BC 的度数分别为140°和100°，若弧AD=2·弧DC ，则∠BCD=_____________。

圆的有关性质（30道）一、单选题 为O 的两条弦，的中点，O 的 【答案】D 【分析】连接,,OA OB AB ，圆周角定理得到290AOB C ∠=∠=︒，勾股定理求出AB ，三角形的中位线定理，即可求出DG 的长．【详解】解：连接,,OA OB AB ，∵O 的半径为2．45C ∠=︒，∴2,290OA OB AOB C ==∠=∠=︒，∴AB ∵D ，G 分别为,AC BC 的中点，∴DG 为ABC 的中位线，∴12DG AB ==故选D ．【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键．2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，A ，B ，C 是O 上的三点，若9025AOC ACB ∠=︒∠=︒，，则BOC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．25︒C ．40︒D ．50︒【答案】C 【分析】先利用圆周角定理求出50AOB ∠=︒，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：∵25ACB ∠=︒，∴250AOB ACB ∠=∠=︒，∵=90AOC ∠︒，∴40BOC AOC AOB ∠=∠−∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，AB 是O 的切线，A 为切点，连接OA ﹐点C 在O 上，OC OA ⊥，连接BC 并延长，交O 于点D ，连接OD ．若65B ∠=︒，则DOC ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．65︒D ．75︒【答案】B 【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到90OAB ∠=︒和=90AOC ∠︒，再利用四边形的内角和为360︒进而可求得65OCD ∠=︒，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．【详解】解：OC OA ⊥Q ，90AOC ∴∠=︒，又AB 是O 的切线，OA AB ∴⊥，90OAB ︒∴∠=，又65B ∠=︒，360115OCB OAB AOC B ∴∠=︒−∠−∠−∠=︒，18065OCD OCB ∴∠=︒−∠=︒，又OC OD =，65ODC OCD ∴∠=∠=︒，180250DOC ODC ∴∠=︒−∠=︒，故选B ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是360︒，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握其基本知识是解题的关键． 是O 的一部分，，则O 的半径 A ．13cmB ．16cmC ．17cmD ．26cm【答案】A 【分析】首先利用垂径定理的推论得出OD AB ⊥，1122AC BC AB cm ===，再设O 的半径OA 为cm R ，则()8cmOC R =−．在Rt OAC 中根据勾股定理列出方程22212(8)R R =+−，求出R 即可． 【详解】解：AB 是O 的一部分，D 是AB 的中点，24cm AB =，OD AB ∴⊥，112cm 2AC BC AB ===． 设O 的半径OA 为cm R ，则(8)cm OC OD CD R =−=−．在Rt OAC 中，90OCA ∠=︒，222OA AC OC ∴=+，22212(8)R R ∴=+−，13R ∴=，即O 的半径OA 为13cm ．故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设O 的半径OA 为cm R ，列出关于R 的方程是解题的关键． 在O 上，∠．若O 的 【答案】D 【分析】先利用圆周角定理求出AOC ∠的度数，然后利用扇形面积公式求解即可．【详解】解：∵40ABC ∠=︒，∴280AOC ABC ∠=∠=︒，又O 的半径为3，∴扇形AOC （阴影部分）的面积为28032360ππ⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键．6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF 的外接圆O 的半径为2，过圆心O 的两条直线1l 、2l 的夹角为60︒，则图中的阴影部分的面积为（ ）A ．433π−B ．【答案】C【分析】如图，连接AO ，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A ，O ，D 三点共线，COD △为等边三角形，证明扇形AOQ 与扇形COG 重合，可得COD COD S S S =−阴影扇形，从而可得答案．【详解】解：如图，连接AO ，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A ，O ，D 三点共线，COD △为等边三角形，∴AOQ DOH ∠=∠，60COD GOH ∠=∠=︒，∴COG DOH AOQ ∠=∠=∠，∴扇形AOQ 与扇形COG 重合，∴COD COD S S S =−阴影扇形，∵COD △为等边三角形，2OC OD ==，过O 作OK CD ⊥于K ，∴60COD ∠=︒，1CK DK ==，OK∴260212236023COD COD S S S ππ⨯=−==⨯=阴影扇形故选C【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．内接于O ，O 的半径为 A ．π【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质得到=60B ∠︒，由圆周角定理得到120AOC ∠=︒，根据弧长的公式即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD 内接于O ，120D ∠=︒，60B ∴∠=︒，2120AOC B ∴∠=∠=︒，AC ∴的长12032180ππ⨯==． 故选：C ．【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．A ．225πm 3B ．2125πm 3【答案】B【分析】种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解∶∵120AOB ∠=︒，15m OA =，10m OC =，∴种草区域的面积为2221201512010125(m )3603603πππ⋅⋅−=，故选：B ． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式：扇形面积2360n r π=． 如图，O 是ABC 的外接圆， 【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得180302120BOC ∠=︒−︒⨯=︒，再根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：∵OC OB =，OA =，40CAO ∠=︒，∴40OCA OAC ∠=∠=︒，OCB OBC ∠=∠，∵70ACB ∠=︒，∴704030OBC OCB ACB ACO ∠=∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴180302120BOC ∠=︒−︒⨯=︒，∴22120116ππ4π36033S r ︒=⨯=⨯⨯=︒阴影，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及扇形的面积公式等知识，求出120BOC ∠=︒是解答的关键．10．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．【详解】解：∵115ADC ∠=︒，∴65B ∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴180906525BAC ∠=︒−︒−︒︒=，故选：A ．【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A ，B ，C 为O 上的三个点，4AOB BOC ∠=∠，若60ACB ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．18︒C ．15︒D ．12︒【答案】C 【分析】由60ACB ∠=︒，可得2120AOB ACB ∠=∠=︒，结合4AOB BOC ∠=∠，可得1120304BOC ∠=⨯︒=︒，再利用圆周角定理可得答案．【详解】解：∵60ACB ∠=︒，∴2120AOB ACB ∠=∠=︒，∵4AOB BOC ∠=∠， ∴1120304BOC ∠=⨯︒=︒， ∴1152BAC BOC ∠=∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键． 统考中考真题）如图，等圆1O 和2O 相交于两点，1O 经过2O 的圆心 A ．2πB ．43π 【答案】D【分析】先证明12ACO BCO ≌，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．【详解】如图，连接2O B ，1O B ，∵等圆1O 和2O 相交于A ，B 两点 ∴12O O AB ⊥,AC BC = ∵1O 和2O 是等圆 ∴11212O A O O O B O B === ∴12O O B 是等边三角形∴1260O O B ∠=︒∵1290ACO BCO ∠=∠=︒,AC BC =,21O A B O =∴12ACO BCO ≌ ∴121211*********ACO BCO BCO BCO BO O S S S S S S ππ=+=+===图形图形扇形．故选：D ．【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键． 13．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，AD 是O 的直径，弦BC 交AD 于点E ，连接AB AC ，，若30BAD ∠=︒，则ACB ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．40︒C ．70︒D ．60︒【答案】D 【分析】如图所示，连接CD ，先由同弧所对的圆周角相等得到30BCD BAD ∠=∠=︒，再由直径所对的圆周角是直角得到=90ACD ∠︒，则60ACB ACD BCD =−=︒∠∠∠．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵30BAD ∠=︒，∴30BCD BAD ∠=∠=︒，∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∴60ACB ACD BCD =−=︒∠∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出ACD BCD ∠，∠的度数是解题的关键． 统考中考真题）如图，在ABC 中，ACA ．3533π−B ．【答案】C 【分析】连接OD ，BD ，作OH CD ⊥交CD 于点H ，首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后利用解直角三角形求出BD 、CD 的长度，进而得到OBD 是等边三角形，60BOD ∠=︒，然后根据30︒角直角三角形的性质求出OH 的长度，最后根据ACB COD ODB S S S S =−−形阴影扇进行计算即可．【详解】解：如图所示，连接OD ，BD ，作OH CD ⊥交CD 于点H∵在ABC 中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，4AB =，∴tan tan 30AB AB BC ACB ===∠︒， ∵点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，∴BC 是半圆的直径，∴90CDB ∠=︒，∵30ACB ∠=︒，∴12BD BC ==cos 6CD BC BCD =⋅∠==，又∵12OB OC OD BC ==== ∴OB OD BD ==，∴OBD 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，∵OH CD ⊥，30OCH ∠=︒，∴12OH OC ==∴(2601146222360ACB COD ODB S S S S ππ∆∆⨯=−−=⨯⨯−=形阴影扇．故选：C ． 【点睛】本题考查了30︒角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（ ）A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒【答案】A 【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=︒，可得23570AOB ∠=⨯︒=︒，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=︒．【详解】解：∵35MNO ∠=︒，MO NO =，∴35NMO MNO ∠=∠=︒，∴23570AOB ∠=⨯︒=︒，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD 中，105BCD ∠=︒，连接OB ，OC ，OD ，BD ，2BOC COD ∠=∠．则CBD ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出18010575A ∠=︒−︒=︒，根据圆周角定理得出2150BOD A ∠=∠=︒，根据已知条件得出1503COD BOD ∠=∠=︒，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD 中，105BCD ∠=︒，∴18010575A ∠=︒−︒=︒∴2150BOD A ∠=∠=︒∵2BOC COD ∠=∠∴1503COD BOD ∠=∠=︒，∵CD CD =∴11502522CBD COD ∠=∠=⨯︒=︒,故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，垂足分别为,,D E F ，连接,,DE EF FD ．若 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21，则EF 的长为（ ）A ．8B ．4C ．3.5D ．3【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D 、E 、F 分别是AB BC AC 、、的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．【详解】解：∵O 是锐角三角形ABC 的外接圆，,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，∴点D 、E 、F 分别是AB BC AC 、、的中点， ∴111,,222DF BC DE AC EF AB ===，∵ 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21，∴21CB CA AB ++=即22221DF DE EF ++=，∴4EF =，故选：B ．【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA '的长为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π【答案】C 【分析】根据底面周长等于AA '的长，即可求解．【详解】解：依题意，AA '的长2π48π=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于AA '的长是解题的关键． 19．（2023·吉林·统考中考真题）如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=︒，则BPC ∠的度数可能是（ ）A ．70︒B ．105︒C ．125︒D ．155︒【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC ∠=∠=︒，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵BC BC =，70BAC ∠=︒，∴2140BOC BAC ∠=∠=︒，∵140BPC BOC PCO ∠=∠+∠≥︒，∴BPC ∠的度数可能是155︒故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．A ．26π+B ．【答案】A 【分析】由于AD l 是定值，只需求解AC CD +的最小值即可，作点D 关于OB 对称点D ¢，连接AD '、CD '、OD '，则AC CD +最小值为AD '的长度，即阴影部分周长的最小最小值为AD AD l '+．利用角平分线的定义可求得90AOD '∠=︒，进而利用勾股定理和弧长公式求得AD '和AD l 即可．【详解】解：如图，作点D 关于OB 对称点D ¢，连接AD '、CD '、OD '，则CD CD '=，OD OD '=，DOB BOD '∠=∠，∴AC CD AC CD AD ''+=+≥，当A 、C 、D ¢共线时取等号，此时，AC CD +最小，即阴影部分周长的最小，最小值为AD AD l '+．∵OD 平分AOB ∠，60AOB ∠=︒， ∴1302AOD DOB AOB ∠=∠=∠=︒， ∴90AOD '∠=︒，在Rt OAD '中，1OA OD '==，∴AD '== 又30π1π1806AD l ⨯==，∴阴影部分周长的最小值为π6AD AD l '+=，故选：A ． 【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短路径问题是解答的关键．二、填空题 21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ∠=∠，4AC =，则O 的直径AD = ．【答案】【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90︒可得=90ACD ∠︒，根据圆周角定理可得COD COA ∠=∠，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD =，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∵DAC ABC ∠=∠，∴COD COA ∠=∠，∴AC CD =，又∵4AC =，∴4CD =，在Rt ACD △中，AD ，故答案为：【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90︒，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上．若66DAB ∠=︒， 则ACD ∠= 度．【答案】24【分析】连接BC ，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得90ACB ∠=︒，66DCB DAB ∠=∠=︒，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接BC ，∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵BD BD =，66DAB ∠=︒，∴66DCB DAB ∠=∠=︒，∴906624ACD ACB DCB ∠=∠−∠=︒−︒=︒，故答案为：24．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 23．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，以A 为圆心，以AB 为半径作弧BE ，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．【答案】65π【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出A ∠的度数，利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：正五边形的内角和()52180540=−⨯︒=︒，5401085A ︒∴∠==︒， 2108263605ABE S ππ∴==扇形，故答案为：65π．【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 24．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，延长AD 至点E ，已知140AOC ∠=︒，那么CDE ∠= ︒．【答案】70【分析】根据圆周角定理得到70B ∠=︒，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．【详解】解：∵140AOC ∠=︒，∴7201B AOC ∠∠=︒=，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B ADC ∠+∠=︒，∵180CDE ADC ∠+∠=︒，∴70CDE B ∠=∠=︒，故答案为：70．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．25．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A ，B ，C 在半径为2的O 上，60ACB ∠=︒，OD AB ⊥，垂足为E ，交O 于点D ，连接OA ，则OE 的长度为 ．【答案】1【分析】连接OB ，利用圆周角定理及垂径定理易得60AOD ∠=︒，则30OAE ∠=︒，结合已知条件，利用直角三角形中30︒角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解：如图，连接OB ，∵60ACB ∠=︒，∴2120AOB ACB ∠=∠=︒，∵OD AB ⊥，∴AD BD =，90OEA ∠=︒， ∴1602AOD BOD AOB ∠=∠=∠=︒，∴906030OAE ∠=︒−︒=︒， ∴112122OE OA ==⨯=，故答案为：1．【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得60AOD ∠=︒是解题的关键． 26．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l =6，扇形的圆心角120θ=°，则该圆锥的底面圆的半径r 长为 ．【答案】2【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．【详解】∵母线l 长为6，扇形的圆心角120θ=°，∴圆锥的底面圆周长12064180ππ⨯==，∴圆锥的底面圆半径422r ππ==．故答案为：2． 【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是求解本题的关键． 27．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长度是 寸．【答案】26【分析】连接OA 构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE 垂直AB 得到点E 为AB 的中点，由6AB =可求出AE 的长，再设出圆的半径OA 为x ，表示出OE ，根据勾股定理建立关于x 的方程，求解方程可得2x 的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA ，AB CD ⊥，且10AB =寸，5AE BE ∴==寸，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC OD x ==，1CE =Q ，1OE x ∴=−，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：222(1)5x x −−=，化简得：222125x x x −+−=，即226x =，26CD ∴=（寸）．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 28．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，对角线,AC BD相交于点O ，以点B 为圆心，对角线BD 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点E ，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】π【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED 的面积，然后由勾股定理得出BD =再由扇形的面积公式求解即可．【详解】解：正方形ABCD ，∴,,AO CO BO DO AD CD ===，45DBE ∠=︒，∴(SSS)AOD COB ≌，∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ==∴阴影部分的面积为扇形BED 的面积，即(245360ππ⨯⨯=，故答案为：π． 【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键． 29．（2023·吉林·统考中考真题）如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB ∠=︒，则AB 的长为 m ．（结果保留π）【答案】10π 【分析】利用弧长公式π180n r l =直接计算即可．【详解】∵半径15m OA =，圆心角120AOB ∠=︒，∴AB l 120π1510π180⨯⨯==，故答案为：10π． 【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式π180n r l =，并规范计算是解题的关键． 30．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，BAC ∠的角平分线与O 交于点D ，若20ADC ∠=︒，则BAD ∠= °．【答案】35【分析】由题意易得90ACB ∠=︒，20ADC ABC ∠=∠=︒，则有70BAC ∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵AC AC =，20ADC ∠=︒，∴20ADC ABC ∠=∠=︒，∴70BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴1352BAD BAC ∠∠==︒；故答案为35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．。

中考数学 几何专题训练：圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为( )A. 10B. 2 3C. 13D. 3 22. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立．．．的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED.BD ︵＝BC ︵3. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7B ．27C ．6D ．85. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 37. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm8. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 39. 2020·武汉模拟小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为()A．350 mm B．700 mmC．800 mm D．400 mm10. (2019•仙桃)如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD∥OC，直线⊥；CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是O的切线；②CO DB⋅=⋅．其中正确结论的个数有③EDA EBD△∽△；④ED BC BO BEA．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD 与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=度.12. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD ＝________°.13. 2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.14. 已知：如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)15. 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________°.16. 如图，在⊙O中，BD 为⊙O 的直径，弦AD 的长为3，AB 的长为4，AC 平分∠DAB ，则弦CD 的长为________．17. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm ，下雨前水面宽为60 cm ，一场大雨过后，水面宽为80 cm ，则水位上升________cm. 链接听P39例4归纳总结18. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB. (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．20. 如图，AB为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).21. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．22. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C 【解析】延长AO 交BC 于点D ，连接OB.由AB ＝AC 得点A 在线段BC 的垂直平分线上，因而可得AD ⊥BC ，所以BD ＝3，不难得出AD ＝BD ＝3，于是OD ＝AD －OA ＝2，在R t △ODB 中，OB ＝OD 2＋DB 2＝22＋32＝13.2. 【答案】C3. 【答案】A [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ， ∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】B [解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】C7. 【答案】A[解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE ＝2 cm ，AE ＝CE ＝4 cm.设OE ＝x cm ，则OA ＝(2＋x )cm.∵OA 2＝AE 2＋OE 2，∴(2＋x )2＝42＋x 2，解得x ＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB。

圆形的性质练习题1. 根据图中所示，判断下列说法的真假，并给出理由。

说法一：直径AC等于直径BD。

说法二：弧AE等于弧BC。

说法三：角ADC等于角BDC。

[图1]解答：说法一的判断：真。

由于直径是通过圆心的线段，所以直径AC和直径BD都经过圆心O。

根据定义，直径等于两个端点之间的距离，所以直径AC等于直径BD。

说法二的判断：假。

弧AE和弧BC所对应的圆心角相等。

根据圆形的性质，圆心角相等的弧长也相等。

因此，即使弧AE和弧BC的圆心角相等，它们的弧长未必相等。

说法三的判断：假。

角ADC和角BDC都是位于圆上的角度，它们所对应的弧长是相等的，但角度的大小不一定相等。

因此，角ADC和角BDC未必相等。

2. 已知半径为5cm的圆O，点A在圆上，连结点A与圆心O，并于弧AB上任取一点C，如图所示。

求证：∠CAB是一个锐角。

[图2]解答：为了证明∠CAB是一个锐角，我们需要证明点C到弦AB的距离小于弦AB的中点到圆心O的距离。

设弦AB的中点为P，则PO是弦的垂直平分线。

连接OC和AP。

由于OC是半径，可以得出△OCA和△OCB是等腰三角形。

又因为AC和BC是等腰三角形的腰，所以∠ACB=∠ABC。

由于∠ACB和∠CAB构成一对内角，根据内角定理可知∠ACB+∠CAB=180°。

代入∠ACB=∠ABC，即可得到∠ABC+∠CAB=180°。

假设∠CAB是一个钝角，那么∠ABC是一个锐角。

根据上述等式，我们可以得到∠ABC+∠CAB<180°，这与∠ABC 为锐角相矛盾。

因此，假设不成立，所以∠CAB一定是一个锐角。

3. 在圆O中，直径AB=16cm，弧AC=48cm，点D为弧AC上的一点。

若角ADC的度数为60°，求弧CD的长度。

解答：首先，我们可以根据直径AB的长度计算出圆O的半径。

由于直径等于两倍半径，所以半径r=16cm/2=8cm。

根据题目中给出的信息，我们可以计算弧AC和角ADC所对应的弧长。

圆的基本性质练习一、看准了再选1．.如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（ ） A.110° B.70° C.55° D.125°2．如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G 且EF ⊥CD ，若∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C.40° D. 20°3.直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是（ ） Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交4.在⊙O 中，弦AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧AB 的度数等于（ ） A.30° B.120° C.150° D.60°5．如图，⊙O 的半径OA=3，以点A 为圆心，OA 的长为半径画弧交⊙O 于B ，C•则BC=（ ）． A ．32 B ．33 C ．323 D ．3326．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）．A ．∠1>∠2>∠3B ．∠3>∠1>∠2C ．∠2>∠1>∠3D ．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O•与点A 不重合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ） A ．0<x ≤2 B ．1<x ≤2 C ．1≤x ≤2 D ．x>28．如图，AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是（ ）OCFGD EAPBC OA ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等的角有（ ）个。

初中数学【圆的基本性质】练习题一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．205．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．167．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．208．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.59．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝度．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．答案一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦【解答】解：A、直线只有过圆心时，垂直于弦的直线平分这条弦，故选项错误；B、直线只有过圆心时，平分弧的直线垂直于弧所对的弦，故选项错误；C、被平分的弦是直径时，不一定垂直于弦，故选项错误；D、正确．故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AM⊥CD∵⊙A与x轴相切于点B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点∴OC＝1，CD＝3，DM＝CM＝1.5∴OM＝AB＝2.5，∴圆的半径R＝2.5，∴AC＝2.5∴AM＝＝2，即点A的坐标是（）．故选：C．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：D．4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．20【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝10，∴AD＝20，∴MN＝AD＝10，故选：A．5．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵∠B＝30°，∠BOC＝∠B+∠BDC，∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，故选：C．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC+BC﹣AB）＝1，∴AC+BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14．故选：B．7．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故选：D．8．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.5【解答】解：连接AE、AD，如图，∵BE是⊙O的直径．∴∠BAE＝90°，∵AB⊥CD，∴AE∥CD，∴∠ADC＝∠DAE，∴＝，∴DE＝AC＝3．故选：A．9．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12﹣5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF+OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．故选：D．二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是3．【解答】解：∵PT切⊙O于点T，∴由切割线定理得PT2＝P A•PB，即42＝2×（2+AB）．解得AB＝6．∴⊙O的半径是3，故答案为：3．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为6．【解答】解：∵两条弦AB、CD相交于点P，∵PD•PC＝P A•PB，∴PD＝＝6．故答案为6．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝135°，有三角形的外角性质可知，∠EDC＝∠BCD﹣∠E＝105°，∴∠F＝∠EDC﹣∠A＝60°，故答案为：60°．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为4．【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得：AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位线，∴CD＝AB＝×8＝4，故答案为：4．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝60度．【解答】解：连接OB，∵OB＝OE＝BC，∠C＝40°，∴∠COB＝∠C＝40°，∴∠ABO＝∠C+∠COB＝80°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝80°，△AOC中，∠EOA＝180°﹣40°﹣80°＝60°，故答案为：60．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝＝，∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，故答案为：．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为5．【解答】∵AC平分∠BAD，∴＝，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，设AE＝x，则AC＝AE+CE＝4+x，∴62＝4（4+x），解得：x＝5．∴AE＝5．故答案为：5．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．【解答】解：如图，连接BD，CD，EC．∵点E是△ABC的内心，∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECB，又∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAC＝∠DCB∵∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵∠DAB＝∠DAC，∴＝，∴BD＝DC，∵BC＝4，∴DC＝DB＝2，∴DE＝2，故答案为2．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．【解答】（1）方法一：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵＝，∴∠BAE＝∠CAE，又AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；方法二：∵AB是直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵＝，∴DE＝BE，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠C＝∠CDE，∵ABED是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠C＝∠CBA，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE•BC＝BD•AC，∴BD＝＝，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．【解析】连接AD.∵CD⊥AB，∴弧AD＝弧AC ，∴∠ADC＝∠AGD.∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD．。

初中数学圆的有关性质解答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共15题）1、如图，AB 是⊙ O 的直径，CD 是⊙ O 的一条弦，且CD ⊥ AB 于点E ．(1) 求证:∠BCO ＝∠ D ；(2) 若BE ＝ 8 cm ，CD ＝ 6 cm ，求⊙ O 的半径．2、如图，AB 是ABC 的外接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，过点C 作CF ⊥ DC 交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（ 1 ）求证：ABC ∽ DCF ；（ 2 ）当∠1 ＝∠2 ，DF ＝ 10 ，AE ：EC ＝ 1 ： 2 时，求圆O 的半径．（ 3 ）在（2 ）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则（直接写出答案）．3、如图，⊙ O 的半径为 1 ，点A 是⊙ O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙ O 上的一点，AD ＝CD ，∠ A ＝30° ．（ 1 ）求证：直线AC 是⊙ O 的切线；（ 2 ）求△ABC 的面积；（ 3 ）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ．① 当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；② 当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．4、ABC 内接于⊙ O ，点D 在弧AC 上，弦BD 交AC 边于点E ，且DE ＝AE ．（ 1 ）如图1 ，求证：BE ＝CE（ 2 ）如图2 ，作射线CO ，交弦BD 于点F ，连接AF 并延长AF ，交⊙ O 于点G ，连接CG ，∠ BFG ＝∠ FCG ，求∠ ACB 的度数．5、已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．（ 1 ）求证：；（ 2 ）若，，求的半径．6、在中，为直径，为上一点．（Ⅰ ）如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；（Ⅱ ）如图②，为优弧上一点，且的延长线经过的中点，连接与相交于点，若，求的大小．7、如图，⊙ 中，弦与相交于点, , 连接.求证：⑴ ；⑵ .8、如图，是的直径，点C 是上异于A 、B 的点，连接、，点D 在的延长线上，且，点E 在的延长线上，且．（ 1 ）求证：是的切线：（ 2 ）若，求的长．9、如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．（ 1 ）求证：；（ 2 ）当，时，求的长．10、如图，AB 是⊙ O 的弦，半径OD ⊥ AB ，垂足为C ，点E 在⊙ O 上，连接OA 、DE 、BE ．（ 1 ）若∠DEB ＝30°，求∠AOD 的度数；（ 2 ）若CD ＝ 2 ，弦AB ＝ 8 ，求⊙O 的半径长．11、如图 1 ，在中，，，D 为内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90° 得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ．（ 1 ）求证：，；（ 2 ）如图2 ．连接AF ，DC ，已知，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．12、如图，A ，B 是上两点，且，连接OB 并延长到点C ，使，连接AC ．（ 1 ）求证：AC 是的切线．（ 2 ）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交于点F ，G ，，求GF 的长．13、如图，是的外接圆，点D 是的中点，过点D 作分别交、的延长线于点E 和点F ，连接、，的平分线交于点M ．（ 1 ）求证：是的切线；（ 2 ）若，，求线段的长．14、如图，是的直径，点C 是上异于A 、B 的点，连接、，点D 在的延长线上，且，点E 在的延长线上，且．（ 1 ）求证：是的切线：（ 2 ）若，求的长．15、如图，是的外接圆，是的直径，于点．（ 1 ）求证：；（ 2 ）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为 5 ，，求和的长．============参考答案============一、解答题1、 (1) 见解析；(2)⊙ O 的半径为cm【解析】【分析】（ 1 ）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO =∠ B =∠ D ；（ 2 ）由垂径定理可求得CE 与DE 的长，然后证得△ BCE ∽△ DAE ，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE 的长，继而求得直径与半径．(1)证明：∵ OB = OC ，∴∠ BCO =∠ B ，∵∠ B =∠ D ，∴∠ BCO =∠ D ；(2)解：∵ AB 是⊙ O 的直径，CD ⊥ AB ，∴ CE = DE = CD = ×6=3 ，∵∠ B =∠ D ，∠ BEC =∠ DEA ，∴△ BCE ∽△ DAE ，∴ AE ：CE = DE ：BE ，∴ AE ： 3=3 ：8 ，解得：AE = ，∴ AB = AE + BE = = ，∴⊙ O 的半径为( cm ) ．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△ BCE ∽△ DAE 是关键．2、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）；（ 3 ）【分析】（ 1 ）证明，结合从而可得答案；（ 2 ）连接OD ，先证明△ AEC ∽△ DCF ，可得DC ＝ 10 ，DE ＝CE ＝ 5 ，AE ＝，设⊙ O 的半径为r ，则OE ＝，OD ＝r ，根据勾股定理列方程可解答；（ 3 ）如图，连接BG ，根据圆周角定理可得DG 是⊙ O 的直径，根据勾股定理计算CG 的长，得FG 的长，知FG ＝DG ，根据等腰三角形三线合一的性质得BD ＝BF ，证明△ OBM ∽△ GCM ，得OD ：OM ：MG ＝ 11 ： 5 ： 6 ，根据同高三角形面积的关系可得结论．【详解】（ 1 ）证明：∵AB 是△ ABC 的外接圆⊙ O 的直径，∴∴ ABC ∽ DCF ；（ 2 ）解：如图，连接OD ，∵，∴ AB ⊥ CD ，∴∠ AEC ＝90° ，∵ DC ⊥ CF ，∴∠ DCF ＝90° ，∴∠ AEC ＝∠ DCF ，∵∠ A ＝∠ ADB ，∴△ AEC ∽△ DCF ，∴ ，∵ AE ：EC ＝ 1 ： 2 ，∴ DC ：CF ＝ 1 ： 2 ，∵ DF ＝，∴ DC ＝ 10 ，（负根舍去）∵ OA ⊥ CD ，∴ DE ＝CE ＝ 5 ，AE ＝，设⊙ O 的半径为r ，则OE ＝，OD ＝r ，在Rt△ ODE 中，由勾股定理得：OD 2 ＝DE 2 + OE 2 ，∴ ，解得：，答：圆O 的半径为；（ 3 ）解：如图，连接BG ，∵∠ DCG ＝90° ，∴ DG 是⊙ O 的直径，∴∠ DBG ＝90° ，由（ 2 ）知：CD ＝ 10 ，DG ＝，由勾股定理得：，∴ FG ＝CF ﹣CG ＝，∵BG ⊥ DF ，∴ BD ＝BF ，∴ S △ DBG ＝S △ BGF ，∵ S △ DGF ＝FG • CD ＝，∴ S △ DGB ＝，∵∠ DEB ＝∠ DCG ＝90° ，∴ ，∴△ OBM ∽△ GCM ，∴ ，∴ OD ：OM ：MG ＝ 11 ： 5 ： 6 ，∴ S △ OMB ＝，∴ S △ OMB ：S △ DGF ＝：．故答案为：．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形和等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．3、（ 1 ）见解析；（ 2 ）；（ 3 ）①3 ；②【解析】（ 1 ）连接OC ，利用切线的判定定理，证明OC ⊥ AC 即可；（ 2 ）要求的面积，结合（ 1 ）题，底边AB 可求，只需再求出底边上的高CH 即可；（ 3 ）根据垂径定理可求CE 的长，再利用锐角三角函数，可求CF 的长；由可知，点E 在运动过程中，始终有，所以，求出CE 的最大值，即可得到CF 的最大值．【详解】（ 1 ）证明：连结OC ，如图所示．∵ AD ＝CD ，∠ A ＝30° ，∴∠ ACD ＝∠ A =30° ．∴∠ CDB ＝60° ．∵ OD ＝OC ，∴∠ OCD ＝∠ ODC =60° ．∴∠ ACO ＝∠ ACD ＋∠ OCD ＝30°+60°=90° ．∴ OC ⊥ AC ．∴ 直线AC 是⊙ O 的切线．（ 2 ）过点C 作CH ⊥ AB 于点H ，如图所示．∵ OD = OC ，∠ ODC =60° ，∴ 是等边三角形．∴ ．∴ 在中，．∵ AB ＝AD ＋BD ＝ 3 ，∴ ．（ 3 ）当点运动到与点关于直径BD 对称时，如图所示．此时，CE ⊥ AB ，设垂足为K ．由（ 2 ）可知，．∵ BD 为圆的直径，CE ⊥ AB ，∴ CE ＝ 2 CK ＝．∵ CF ⊥ CE ，∴∠ ECF ＝90° ．∵ ，∴∠ E =∠ CDB ＝60° ．在中，∵ ，∴ ．如图所示：由可知，在中，∵ ，∴ ．∴ 当点E 在上运动时，始终有．∴ 当CE 最大时，CF 取得最大值．∴ 当CE 为直径，即CE =2 时，CF 最大，最大值为．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．4、（ 1 ）见解析；（ 2 ）45°【分析】（ 1 ）由圆周角定理可直接得出结论．（ 2 ）延长CF 交圆O 于点H ，连接AH ，可证明AH ∥ BD ，从而△ BCE 是等腰直角三角形．【详解】（ 1 ）连接AD∵∴∠ D ＝∠ C ，∠ DAE ＝∠ DBC∵ AE ＝DE∴∠ DAE ＝∠ D∴∠ DBC ＝∠ C∴ BE ＝CE（ 2 ）延长CF 交⊙ O 于点H ，连接AH ，则CH 是⊙ O 的直径∴∠ HAC ＝90°∵∴∠ FCG ＝∠ HAG∵∠ BFG ＝∠ FCG∴∠ BFG ＝∠ HAG∴ AH ∥ BD∴∠ BFC ＝∠ HAC ＝90°∵∠ ACB ＝∠ DBC∴∠ ACB ＝45°【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，熟练通过圆周角定理找到角度相等是解题的关键．5、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；（ 2 ）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．【详解】（ 1 ）连接，如图，是的切线，，，，，，，．（ 2 ）连接是的直径，，，，，，，，，．即的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．6、（Ⅰ ）26°；（Ⅱ）69°．【分析】（Ⅰ ）连接OC ，如图①，根据切线的性质得∠OCP=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB=32°，则利用三角形外角性质可计算出∠POC ，然后利用互余计算∠P 的度数；（Ⅱ ）如图②，根据垂径定理的推论，由点 E 为AC 的中点得到OD⊥AC ，则利用三角形外角性质得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质可计算出∠DPA 的度数．【详解】（Ⅰ ）连接，如图① ，为切线，，，，，，；（Ⅱ ）如图②，点为的中点，，，，，．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7、（ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析.【分析】（ 1 ）由AB=CD 知，即，据此可得答案；（ 2 ）由知 AD=BC ，结合∠ADE=∠CBE ，∠DAE=∠BCE 可证△ADE≌△CBE ，从而得出答案．【详解】证明（ 1 ）∵AB=CD ，∴ ，即，∴ ；（ 2 ）∵，∴AD=BC ，又∵∠ADE=∠CBE ，∠DAE=∠BCE ，∴△ADE≌△CBE （ASA ），∴AE=CE ．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，① 圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“ 知一推二” ，一项相等，其余二项皆相等．8、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ ACB =90° ，根据等量代换得到∠DCO =90° ，即可证明DC 是圆O 的切线；（ 2 ）根据已知得到OA =2 DA ，证明△ DCO ∽△ DEB ，得到，可得DA = EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（ 1 ）如图，连接OC ，由题意可知：∠ ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ ACB =90° ，∵ OC ，OB 是圆O 的半径，∴ OC = OB ，∴∠ OCB =∠ ABC ，又∵∠ DCA =∠ ABC ，∴∠ DCA =∠ OCB ，∴∠ DCO =∠ DCA +∠ ACO =∠ OCB +∠ ACO =∠ ACB =90° ，∴ OC ⊥ DC ，又∵ OC 是圆O 的半径，∴ DC 是圆O 的切线；（ 2 ）∵，∴ ，化简得OA =2 DA ，由（ 1 ）知，∠DCO =90° ，∵ BE ⊥ DC ，即∠ DEB =90° ，∴∠ DCO =∠ DEB ，∴ OC ∥ BE ，∴△ DCO ∽△ DEB ，∴ ，即，∴ DA = EB ，∵ BE =3 ，∴ DA = EB = ，经检验：DA = 是分式方程的解，∴ DA = ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．9、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接，，因为，所以，从而易证，所以，继而可证明；（ 2 ）设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．【详解】解：（ 1 ）证明：连接，，，，，，，，，与边相切于点，，，；（ 2 ）在，，，，，设的半径为，则，在中，，，．【点睛】本题考查了圆中弧、弦之间的关系，圆周角定理的推论，切线的性质和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．10、（ 1 ）60°；（ 2 ） 5 ．【分析】（ 1 ）根据圆周角定理得到∠BOD 的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（ 2 ）设⊙O 的半径为 r ，则OC ＝r−2 ，根据垂径定理得到AC ＝BC ＝ 4 ，然后利用勾股定理得到（r−2 ） 2 ＋ 4 2 ＝ r 2 ，再解方程即可得出结果．【详解】解：（ 1 ）∵∠BOD ＝2∠DEB ，∠DEB ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵OD⊥AB ，∴ ＝，，∴∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（ 2 ）设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r−2 ，∵OD⊥AB ，∴AC ＝BC ＝AB ＝×8 ＝ 4 ，在Rt△OAC 中，由勾股定理得：（r−2 ） 2 ＋ 4 2 ＝ r 2 ，解得： r ＝ 5 ，即⊙ O 的半径长为 5 ．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．11、（ 1 ）见解析；（ 2 ），理由见解析【分析】（ 1 ）首先根据旋转的性质，判断出∠DAE =90° ，AD = AE ，进而判断出∠ BAD =∠ CAE ；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ ABD ≌△ ACE ，即可判断出BD = CE ．再证明，即可证明；（ 2 ）由得，再证明A ，D ，F ，E 在以DE 为直径的圆上，即可证明，从而可证明AF // CD ．【详解】解（ 1 ）由旋转的性质，可得∠DAE =90° ，AD = AE ，∵∠ BAD +∠ DAC =∠ BAC =90° ，∠CAE +∠ DAC =∠ DAE =90° ，∴∠ BAD =∠ CAE ，在△ ABD 和△ ACE 中，，∴△ ABD ≌△ ACE （SAS ），∴ BD = CE ，∵∴ ，即∴∴∴ ，即;（ 2 ），理由如下：∵∴由（ 1 ）知，∴ A ，D ，F ，E 在以DE 为直径的圆上，如图，∵ AD = AE∴ 弧AD = 弧AE ，∴∴∴ ；【点睛】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．另外此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及四点共圆的知识，要熟练掌握．12、（ 1 ）见解析；（ 2 ） 2【分析】（ 1 ）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠ OAB =60° ，利用三角形外角的性质得出∠C =∠ CAB =30° ，由此可得∠OAC =90° 即可得出结论；（ 2 ）过O 作OM ⊥ DF 于M ，DN ⊥ OC 于N ，利用勾股定理得出AC = ，根据含30° 的直角三角形的性质得出DN = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（ 1 ）证明：∵AB = OA ，OA = OB∴ AB = OA = OB∴△ AOB 为等边三角形∴∠ OAB =60° ，∠OBA =60°∵ BC = OB∴ BC = AB∴∠ C =∠ CAB又∵∠ OBA =60°=∠ C +∠ CAB∴∠ C =∠ CAB =30°∴∠ OAC =∠ OAB +∠ CAB =90°∴ AC 是⊙ O 的切线；（ 2 ）∵OA =4∴ OB = AB = BC =4∴ OC =8∴ AC = = =∵ D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴ OE // BC ，DC =过O 作OM ⊥ DF 于M ，DN ⊥ OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴ DN = OM在Rt △ CDN 中，∠ C =30° ，∴DN = DC = ∴ OM =连接OG ，∵ OM ⊥ GF∴ GF =2 MG =2 = =2【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．13、（ 1 ）见详解；（ 2 ） 2【分析】（ 1 ）连接OD ，由垂径定理得OD ⊥ BC ，从而得OD ⊥ EF ，进而即可得到结论；（ 2 ）由平行线分线段定理得DN = ，再证明，可得BD =2 ，最后证明∠BMD =∠ DBM ，进而即可求解．【详解】（ 1 ）证明：连接OD ，如图，∵ 点D 是的中点，∴ ，∴ OD ⊥ BC ，∵ BC ∥ EF ，∴ OD ⊥ EF ，∴ EF 为⊙ O 的切线；（ 2 ）设BC 、AD 交于点N ，∵ ，，，∴ ，∴ DN = ，∵ 点D 是的中点，∴∠ BAD =∠ CAD =∠ CBD ，又∵∠ BDN =∠ ADB ，∴ ，∴ ，即：，∴ BD =2 ，∵ 的平分线交于点 M ，∴∠ ABM =∠ CBM ，∴∠ ABM +∠ BAD =∠ CBM +∠ CBD ，即：∠ BMD =∠ DBM ，∴ DM = BD =2 ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键．14、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ ACB =90° ，根据等量代换得到∠DCO =90° ，即可证明DC 是圆O 的切线；（ 2 ）根据已知得到OA =2 DA ，证明△ DCO ∽△ DEB ，得到，可得DA = EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（ 1 ）如图，连接OC ，由题意可知：∠ ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ ACB =90° ，∵ OC ，OB 是圆O 的半径，∴ OC = OB ，∴∠ OCB =∠ ABC ，又∵∠ DCA =∠ ABC ，∴∠ DCA =∠ OCB ，∴∠ DCO =∠ DCA +∠ ACO =∠ OCB +∠ ACO =∠ ACB =90° ，∴ OC ⊥ DC ，又∵ OC 是圆O 的半径，∴ DC 是圆O 的切线；（ 2 ）∵，∴ ，化简得OA =2 DA ，由（ 1 ）知，∠DCO =90° ，∵ BE ⊥ DC ，即∠ DEB =90° ，∴∠ DCO =∠ DEB ，∴ OC ∥ BE ，∴△ DCO ∽△ DEB ，∴ ，即，∴ DA = EB ，∵ BE =3 ，∴ DA = EB = ，经检验：DA = 是分式方程的解，∴ DA = ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．15、（ 1 ）见详解；（ 2 ），【分析】（ 1 ）由题意易得，然后问题可求证；（ 2 ）由题意可先作图，由（ 1 ）可得点E 为BC 的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（ 1 ）证明：∵是的直径，，∴ ，∴ ；（ 2 ）解：由题意可得如图所示：由（ 1 ）可得点E 为BC 的中点，∵ 点O 是BG 的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ 的半径为 5 ，∴ ，∴ ，∴ ．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．。

圆的练习题一1、半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）A ．43RB ．23R C ．3R D ．23R2．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（ ）A ．23B ．3C ．5D ．253．已知：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．42cmD ．23cm3．如图3，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3：2B ．5：2C ．5：2D ．5：44、在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．42B ．82C ．24D ．165、下列命题中，正确的有（ ） A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 6．下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等7．⊙O 中，M 为的中点，则下列结论正确的是( )． A ．AB >2AM B ．AB =2AMC ．AB <2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定8、如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ ）A ．正方形 B.长方形C ．菱形D ．以上答案都不对9、如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，3cm OC =，则⊙O 的半径为 cm ．10.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径 OA ＝10 m ，高度CD 为_ ____m ．11、如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________12. ⊙O 的半径是3cm ，P 是⊙O 内一点，PO=1cm ，则点P 到⊙O 上各点的最小距离是 ．13. 一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为9cm ，则这圆的半径是 cm ．14. 若圆的半径为2cm ，圆中的一条弦长23cm ，则此弦中点到此弦所对弧的中点的距离为 ．15. AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD=6cm ，OE=4cm ，则AB= ． 16．半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP=4，则过点P 的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．17.如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．18.已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．第8题第9题第10题19. 如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？20、已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．21、如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，•延长BA交⊙O于G，求证：GE=EF22、 如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．23.⊙O 的直径为50cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40cm ，CD=48cm ，求弦AB 和CD 之间的距离．24、 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。

【必刷题】2024八年级数学下册圆的相关性质专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在圆中，如果一个弦恰好垂直于直径，那么这条弦是圆的（）。

A. 半径B. 直径C. 弦D. 圆周2. 下列关于圆的说法，错误的是（）。

A. 圆上的所有点到圆心的距离相等B. 圆的半径都相等C. 圆的直径是圆上任意两点间的距离D. 圆的周长与半径成正比3. 在圆中，圆心角为90°的扇形面积是圆面积的（）。

A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/84. 下列关于圆的周长的计算公式，正确的是（）。

A. C = πr²B. C = 2πrC. C = πd²D. C = 2d5. 在圆中，弧长相等的两个扇形，它们的面积（）。

A. 一定相等B. 一定不相等C. 无法确定D. 可能相等6. 一个圆的半径是5cm，那么它的直径是（）cm。

A. 10B. 15C. 20D. 257. 下列关于圆的对称轴，正确的是（）。

A. 圆的对称轴只有一条B. 圆的对称轴是圆的直径C. 圆的对称轴是圆的半径D. 圆的对称轴有无数条8. 在圆中，一个60°的圆心角所对的弧长是圆周长的（）。

A. 1/6B. 1/4C. 1/3D. 1/29. 下列关于圆的位置关系，错误的是（）。

A. 两个圆相切，它们的圆心距等于两个圆的半径之和B. 两个圆内含，它们的圆心距小于两个圆的半径之差C. 两个圆相交，它们的圆心距大于两个圆的半径之和D. 两个圆外离，它们的圆心距大于两个圆的半径之和10. 在圆中，一个直径与一个弦垂直相交，那么这条弦被平分于（）。

A. 圆心B. 弦的中点C. 直径的中点D. 无法确定二、判断题：1. 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离。

（）2. 圆的直径是圆上任意两点的距离。

（）3. 在同一个圆中，所有半径的长度都相等。

（）4. 两个圆的半径分别为3cm和5cm，那么它们的圆心距一定大于8cm。

八年级下数学期末复习—圆的根本性质一、选择题：1、以下命题正确的有 〔 〕①弦是圆上任意两点之间的局部 ②半径是弦 ③直径是最长的弦 ④弧是半圆，半圆是弧2、一个点到圆上的最小间隔 是4cm ，最大间隔 是9cm ，那么圆的半径是〔 〕. A.cm 或者6.5 cm B. C. D.5cm 或者13cm3、以下语句中不正确的有〔 〕①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧4、有以下四个命题：①直径是弦；②弧是半圆；③经过3点一定可以作一个圆；④三角形的外心到三角形各顶点的间隔 相等。

其中真命题的个数有〔 〕 A 、4个 B 、 3个 C 、2个 D 、 1个5、如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=2，那么弦AB 所对圆周角的度数为〔 〕A 、45°B 、60°C 、45°或者135°D 、60°或者120°6、如图，CD 是⊙O 的直径，A B ，是⊙O 上的两点，假设20ABD ∠=，那么ADC ∠的度数为〔 〕A ．40B ．50C ．60D ．70COBA第6题 图 第7题 图 第8题 图 7、如图，点A 、B 、D 、C 是⊙O 上的四个点，且∠BOC=110°，那么∠BAC 的度数是〔 〕A.110°B.70°C.100°D.55°8、如图，在△ABC 中， AB 为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，那么∠C 的度数为〔 〕A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 二、填空题：9、在Rt △ABC 中，∠C=900, CD ⊥AB 于D, AC=2, BC=3，假设以C 点为圆心， 2为半径作 ⊙C ，那么点D 在⊙C 。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 圆的周长公式是（）A. C=πdB. C=2πrC. C=πr²D. C=πd²2. 圆的面积公式是（）A. S=πdB. S=2πrC. S=πr²D. S=πd²3. 下列说法正确的是（）A. 圆的直径是圆的最长线段B. 圆的半径是圆的最长线段C. 圆的周长是圆的直径的π倍D. 圆的面积是圆的半径的π倍4. 下列说法错误的是（）A. 圆的直径是圆的半径的两倍B. 圆的周长是圆的直径的π倍C. 圆的面积是圆的半径的平方的π倍D. 圆的直径是圆的半径的π倍5. 下列说法正确的是（）A. 圆的直径是圆的半径的两倍B. 圆的周长是圆的直径的π倍C. 圆的面积是圆的半径的平方的π倍D. 圆的直径是圆的半径的π倍二、填空题（每题5分，共50分）1. 圆的周长公式是C=______。

2. 圆的面积公式是S=______。

3. 圆的直径是圆的半径的______倍。

4. 圆的周长是圆的直径的______倍。

5. 圆的面积是圆的半径的______倍的平方。

三、解答题（每题20分，共60分）1. 已知一个圆的直径是10cm，求这个圆的周长和面积。

2. 已知一个圆的半径是5cm，求这个圆的周长和面积。

3. 已知一个圆的周长是15.7cm，求这个圆的直径和面积。

4. 已知一个圆的面积是78.5cm²，求这个圆的半径和周长。

四、简答题（每题10分，共40分）1. 圆的性质有哪些？2. 如何求圆的周长和面积？3. 圆的直径、半径、周长和面积之间有什么关系？4. 圆在生活中的应用有哪些？答案：一、选择题1. B2. C3. A4. D5. A二、填空题1. πd2. πr²3. 24. π5. π三、解答题1. 周长：C=πd=π×10=31.4cm；面积：S=πr²=π×(10÷2)²=78.5cm²。