中考数学试题分类圆的有关性质

江苏中考数学历年真题分类圆的性质及变换一、单选题1．（2021·常州）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦.若∠AOC=60°，则∠OAB的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析】【解答】解：∵∠AOC=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=（180°-120°）÷2=30°，故答案为：C.【分析】由圆周角定理可得∠AOB的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.2．（2021·镇江）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，∠O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（）A．27°B．29°C．35°D．37°【答案】A【解析】【解答】解：连接OD，∵∠O与边AC相切于点D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴∠AFD=12∠AOD=12×54°=27，故答案为：A.【分析】连接OD，根据切线的性质得出∠ADO＝90°，然后根据直角三角形的性质求出∠AOD，最后利用三角形的外角性质求∠AFD即可.3．（2021·镇江）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π【答案】C【解析】【解答】解：∵2r+l＝6，∴l＝6﹣2r，∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣32)2﹣94]＝﹣2π(r﹣32)2+ 92π，∴当r＝32时，S侧有最大值92π.故答案为：C.【分析】先把l用含r的代数式表示，代入圆锥的侧面积公式，得出一个关于S侧和r的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求圆锥侧面积的最值即可.4．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】B【解析】【解答】解：∵∠BPC=70°，∴∠APO=70°，∵OC⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，又∵OA=OB，∴∠ABO=20°，又∵点C在过点B的切线上，∴∠OBC=90°，∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，故答案为：B.【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案. 5．（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．2√1313B．3√1313C．23D．32【答案】A【解析】【解答】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC⌢，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt∠ACB中，AB= √AC2+BC2=√22+32=√13根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ACAB=2√13=2√1313，∴sin∠ADC= 2√1313，故答案为：A.【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt∠ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值.6．（2020·南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，∠P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若∠P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（）A．(9,2)B．(9,3)C．(10,2)D．(10,3)【答案】A【解析】【解答】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形.∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9.∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2).故答案为：A.【分析】在Rt∠CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标.7．（2020·淮安）如图，点A，B，C在圆O上，∠ACB=54∘，则∠ABO的度数是（）A．54∘B．27∘C．36∘D．108∘【答案】C【解析】【解答】解：∵在圆O中，∠ACB=54º，∴∠AOB=2∠ACB=108º，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA= 180∘−108∘2=36º，故答案为：C.【分析】先由圆周角定理得到∠AOB，再利用等腰三角形的性质求解即可.8．（2020·常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点.若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【解答】解：∵CH⊥AB∴∠BHC=90°∵在Rt∠BHC中，点M是BC的中点∴MH= 12BC∵BC为⊙O的弦∴当BC为直径时，MH最大∵⊙O的半径是3∴MH最大为3.故答案为：A.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知MH= 12BC，当BC为直径时长度最大，即可求解.9．（2019·镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⌢=CB⌢.若∠C= 110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】A【解析】【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，∵DC⌢=CB⌢，∴∠CAB= 12∠DAB=35°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题47：圆的有关性质一、选择题1. （2012重庆市4分）已知：如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为【 】A ．45°B ．35°C ．25°D ．20° 【答案】A 。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°。

∴∠ACB =45°。

故选A 。

2. （2012海南省3分）如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 上的一点，则tan APB ∠的值是【 】A ．1 BCD【答案】A 。

【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】如图，连接AO 并延长交⊙O 于点P 1，连接AB ，BP 1。

设网格的边长为a 。

则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP 1=900。

根据勾股定理，得AB =BP 1。

根据正切函数定义，得11AB tan AP B=BP ∠。

根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP =∠ABP 。

∴1tan APB=tan AP B=1∠∠。

故选A 。

P 13. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【】4A．3 B．4 C．D．2【答案】C。

【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=8，∴由垂径定理和全等三角形的性质得，AM=BM=CN=DN=4，OM=ON。

==又∵OB=5，∴由勾股定理得：OM3∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°。

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°。

∴四边形MONP是正方形。

圆专题一、圆的有关性质1、下列命题中，①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段是优弧；⑤长度相等的两条弧是等弧。

其中正确的有（ ）A.3个B.2个C.1个D.0个2、下列说法中，正确的是( )A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等，所对的圆心角相等3、如图所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上四点，OC ，OD 交AB 于点E ，F ，且AE ＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4.两个正方形彼此相邻，且大正方形ABCD 的A 、D 两点在半圆O 上，小正方形BEFG 顶点F 在半圆O 上；B 、E 两点在半圆O 的直径上，点G 在大正方形边AB 上，若小正方形的边长为4cm ，求该圆的半径．5.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC 等于（ ）A ．60°B ．70°C ．120°D ．140°6. 如图，⊙O 中，∠CBO=450，∠CAO=150，则∠AOB 的度数是（ ）A.750B.600C.450D.300ABC O7.如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D=( )A．25°B．35°C．55°D．70°8.如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°9.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm10、工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.11、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．12、下列命题中正确的有（）①垂直于弦的直径平分这条弦；②与弦垂直的直线必过圆心；③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个13、下列命题中正确的有（）①垂直于弦的直径平分这条弦；②与弦垂直的直线必过圆心；③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个14．如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点，若∠BOC=40°，则∠ABD的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°15.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（）16.在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径17.如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）222A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°18.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）A.2√5cmB.4√5cmC.2√5cm 或4√5cmD.2√3cm4√3cm19.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AD=4，弦AE 平分BC 交BC 于P ，连接CE ，则CE 的长为（ ）A.2B.2√5C.212D.45√520.如图，半圆O 的直径AB=10，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ）A.4√5cmB.3√5cmC. 5√5cmD.4cm21.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）二、与圆有关的位置关系A ．3B ．C ．6D ．1.若⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距d=7cm,则这两圆的位置关系是（ ）A.相交B.内切C.外切D.外离2.已知⊙O1的半径为1cm ，⊙O2的半径为3cm ，两圆的圆心距O1O2为2cm ，则两圆的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切3.如图，已知⊙O1的半径为1cm ，⊙O2的半径为2cm ，将⊙O1，⊙O2放置在直线l 上，如果⊙O1在直线l 上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（ ）A.6cm B.3cm C.2cmD.0.5cm5.已知⊙O1 与⊙O2相交，它们的半径分别是4、7，则圆心距O1O2可能是( )A. 2B. 3C. 6D. 126.已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是 ．三、圆内接正多边形1.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）A ． 正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形2.对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．你认为正确的命题有（ ）．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个3.下列说法中，正确的是（ ）A. 各边都相等的多边形是正多边形B. 正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形C. 正多边形都有内切圆和外接圆，且两圆为同心圆D. 各角相等的圆内接多边形为正多边形4.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形如图4，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，两圆的半径分别为6㎝和8㎝，两圆的连心线12O O 的长为10㎝，则弦AB 的长为 （ ） A. 4.8㎝ B. 9.6㎝ C.5.6㎝ D. 9.4㎝5.圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）A ．36°B ．60°C ．72°D ．108°6.一个正五边形要绕它的中心至少旋转______度，才能与原来的图形重合．7.正多边形的中心角是036，那么这个正多边形的边数是（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．58.有一边长为4的正n 边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（ ）A ．34B ．4C ．32D ．29.如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（ ）A ．6：1B ：1C ．3：1D ：110.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ）A 1B ．2∶1C ．1∶2D ．111.同圆的内接正三角形与正六边形的边长之比为（ ）A ．1：2B ．1：1C 1D ．2：112.正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ）．A B ．12 C ．14 D ．3413.圆外切正方形和内接正方形的相似比似( )A.1:2B.2:1C.√2:1D.1: √214.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内接圆半径的大小分别为（ ）A. 6, 3√2B. 3√2 ，3C. 6,3D. 6√2 ,3√215.在半径为R 的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（） A. 1:√2:√3 B. √3: √2:1 C. 1:2:3 D. 3:2:1四、扇形的弧长及面积的计算1.在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ）．A ．B ．C ．D ．2.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD 的长是（）A ．π93B ．π33C ．π932D ．π332 3.已知弧的长为3πcm ，弧的半径为6cm ，则圆弧的度数为（ ）A ．45°B ．90°C ．60°D ．180°4.如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=√3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为（ ） A ． B ． C ． D ．5.如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，分别以B ，D 分圆心，以a 为半径在正方形内部画弧，形成了叶子形图案（阴影部分），则这个叶片形图案的周长为 ．6.如图，OA=OB=6cm ，线段OB 从与OA 重合的位置开始沿逆时针方向旋转120°，在旋转过程中，设AB 的中点为P （当OA 与OB 重合时，记点P 与点A 重合），则点P 运动的路径长为（ ）A ．6cmB ．4πcmC ．2πcmD ．3cm7.如图，三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为 （结果保留π）．1.已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为（ ）A ．9πB ．6πC ．3πD ．π2.如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm 2，那么扇形的半径为（ ）A ．48cmB ．24cmC ．12cmD ．6cm3.已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为 （结果保留π）．4.如图，AB 是半圆O 的直径，CD 是半圆的三等分点，AB=12，则阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．6πC ．12πD ．12π-5．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE ，BD 的延长线交于点C 。

圆的有关性质一．选择题（共17小题）1．（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（）A．22°B．32°C．34°D．44°2．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C ＝110°，则∠OBD＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm 4．（2022•台湾）如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（）A．3B．4C．D．5．（2022•山西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．（2022•广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．65°7．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．130°8．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（）A．44°B．45°C．54°D．67°9．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O 分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115°B．118°C．120°D．125°10．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．2B．3C．2D．11．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC 于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°12．（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（）A．32°B．42°C．52°D．62°13．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．4 14．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若P A＝4，PB＝6，则OP＝（）A．B．4C．D．5 15．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．120°16．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（）A．70°B．65°C．50°D．45°17．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）18．（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于．19．（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．20．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE ＝72°，那么∠BOD的度数为．21．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D 为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．22．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．23．（2022•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为．24．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．25．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．26．（2022•武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．27．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD 的度数是．28．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．29．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为厘米．30．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．31．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米．三．解答题（共7小题）32．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．33．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．34．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．35．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．36．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．37．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE 交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．38．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB ＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．。

2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质（含答案）一、选择题1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60° C.30°或150° D.60°或120°3.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．94.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 96.如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. B. C. D.8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．5米9.如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．213322233A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米11.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）12.如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．D ．OD ＝DE13.如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的 长是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2OA AB BO --OP s t s t AE BE =O A ． B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O的半径为，则弦CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是上和点C 不重合的一点，则的度数为 .2.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则 度． cm 33cm 23cm 9cm 12AC D ∠17040A ∠=∠=°，°，C ∠=4.在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为，弦AD 长为．则DC 2＝______5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．7.如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝，则∠ABD ＝°.9.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO ＝32°，则∠COB 的度数等于 ． 32O ⊙8cm AB C =，O ⊙30BAC ∠=°BC cm O 5cm OA =，8cm AB =，P AB P O BC 28BABCD 1三、解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ＝BF ；（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．2.已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．3.已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？5图2 BC CD DE ==4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：.【参考答案】选择题1. B2.DBF BG BC ⋅=23. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C12. D13. D14. A15. A16. B填空题1. 30°2. 403. 304.5. 26. 47. 38. 289. 64º解答题1. 证明：（1） 连结AC ，如图。

专题23圆的有关性质（30道）一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，,AC BC 为O 的两条弦，D ，G 分别为,AC BC 的中点，O 的半径为2．若45C ∠=︒，则DG 的长为（）A ．2B ．3C ．32D ．22．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，A ，B ，C 是O 上的三点，若9025AOC ACB ∠=︒∠=︒，，则BOC ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．40︒D ．50︒3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，AB 是O 的切线，A 为切点，连接OA ﹐点C 在O 上，OC OA ⊥，连接BC 并延长，交O 于点D ，连接OD ．若65B ∠=︒，则DOC ∠的度数为（）A ．45︒B ．50︒C ．65︒D ．75︒4．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图． AB 是O 的一部分，D 是 AB 的中点，连接OD ，与弦AB 交于点C ，连接OA ，OB ．已知24AB =cm ，碗深8cm CD =，则O 的半径OA 为（）A．13cm B．16cm C 5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，点A 半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（A．23πB．πC6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，正六边形线1l、2l的夹角为60︒，则图中的阴影部分的面积为（A．433π-B．4332π-C7．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形的长是（）A ．πB ．23πC ．2πD ．4π8．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，某小区要绿化一扇形OAB 空地，准备在小扇形OCD 内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得120AOB ∠=︒，15m OA =，10m OC =，则种草区域的面积为（）A ．225πm 3B ．2125πm 3C ．2250πm 3D ．2125m 39．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA ，若40CAO ∠=︒，70ACB ∠=︒，则阴影部分的面积是（）A ．4π3B ．8π3C ．16π3D ．32π310．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A ，B ，C 为O 上的三个点，4AOB BOC ∠=∠，若60ACB ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A．2πB．4 3π13．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，30BAD∠=︒，则ACB∠的度数是（A．50︒B．40︒14．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交A．3533π-B．53-15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点径作圆，交直线a于点M，N；（取其中点C，过O，C两点确定直线A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD 中，105BCD ∠=︒，连接OB ，OC ，OD ，BD ，2BOC COD ∠=∠．则CBD ∠的度数是（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，垂足分别为,,D E F ，连接,,DE EF FD ．若 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21，则EF 的长为（）A ．8B ．4C ．3.5D ．318．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 AA '的长为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π19．（2023·吉林·统考中考真题）如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意A ．70︒20．（2023·内蒙古通辽点C 是半径OB 上一动点，若A ．26π+B 二、填空题21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，4AC =，则O 的直径22．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，则ACD ∠=度．23．（2023·山东济南·统考中考真题）则阴影部分的面积为（结果保留π）．24．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，延长AD 至点E ，已知140AOC ∠=︒，那么CDE ∠=︒．25．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A ，B ，C 在半径为2的O 上，60ACB ∠=︒，OD AB ⊥，垂足为E ，交O 于点D ，连接OA ，则OE 的长度为．26．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l =6，扇形的圆心角120θ=°，则该圆锥的底面圆的半径r 长为．27．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长度是寸．29．（2023·吉林·统考中考真题）如图是圆心，半径r 为15m 留π）30．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，交于点D ，若20ADC ∠=︒，则BAD ∠=。

中考数学试题分考点解析汇编圆的有关性质一、选择题1.（2011上海4分）矩形ABCD中，AB＝8，BC=，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是．(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外；(D) 点B、C均在圆P内．【答案】 C。

2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编圆的有关性质【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。

【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD=7==。

点B、C到P点的距离分别为：PB=6，9=。

∴由PB＜半径PD，PC＞半径PD，得点B在圆P内、点C在外。

故选C。

2.（2011重庆４分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于A、60°B、50°C、40°D、30°【答案】B。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。

【分析】在等腰三角形OCB中，由已知∠OCB=40°和三角形内角和定理求得顶角∠COB的度数100°，然后由同弧所对的圆周角是圆心角的度数一半的圆周角定理，求得∠A=∠C0B=50°。

故选B。

3.（2011重庆綦江4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所对弧的长度为A、6πB、5πC、3πD、2π【答案】D。

【考点】切线的性质，多边形内角和定理，弧长的计算。

【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，利用四边形的内角和即可求出∠AOB＝120°；利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度=12032180=ππ⋅⋅。

故选D。

4．（2011重庆潼南4分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，则∠B的度数为A、15°B、30°C、45°D、60°【答案】D。

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）圆的有关性质（优选真题60道）一．选择题（共23小题）1．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70°B．105°C．125°D．155°【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，=20°，∴∠OBC＝∠OCB=180°−140°2∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故选：D．【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得∠BPC的范围是解题的关键．2．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠BOD的度数，再结合已知条件求得∠COD的度数，然后利用圆周角定理求得∠CBD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∠COD＝25°，∴∠CBD=12故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得∠BOD的度数是解题的关键．3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB ＝2∠C ，∠C ＝55°，∴∠AOB ＝110°，故选：D ．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．4．（2023•广东）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，则∠D ＝（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【分析】由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB ＝90°，而∠BAC ＝50°，即得∠ABC ＝40°，故∠D ＝∠ABC ＝40°，【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC+∠ABC ＝90°，∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝40°，∵AĈ=AC ̂， ∴∠D ＝∠ABC ＝40°，故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．5．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（ ）A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m【分析】设主桥拱半径R ，根据垂径定理得到AD =372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：由题意可知，AB ＝37m ，CD ＝7m ，设主桥拱半径为Rm ，∴OD ＝OC ﹣CD ＝（R ﹣7）m ，∵OC 是半径，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB =372m ，在RtADO 中，AD2+OD2＝OA2，∴（372）2+（R ﹣7）2＝R2， 解得R =156556≈28．故选：B ．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R 的方程解决问题．6．（2023•广元）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，连接CD ，OD ，AC ，若∠BOD ＝124°，则∠ACD 的度数是（ ）A ．56°B ．33°C ．28°D ．23°【分析】先由平角定义求得∠AOD ＝56°，再利用圆周角定理可求∠ACD ．【解答】解：∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD =12∠AOD ＝28°，【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得∠AOD ＝56°是解决本题的关键．7．（2023•温州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC ∥AD ，AC ⊥BD ．若∠AOD ＝120°，AD =√3，则∠CAO 的度数与BC 的长分别为（ ）A ．10°，1B ．10°，√2C ．15°，1D ．15°，√2【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠CAD ＝∠BDA ＝45°，求出∠BOC ＝60°，得到△BOC 是等边三角形，得到BC ＝OB ，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD 的度数，即可得到BC 的长，∠CAO 的度数．【解答】解：∵BC ∥AD ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴AB̂=CD ̂， ∴∠AOB ＝∠COD ，∠CAD ＝∠∵DB ⊥AC ，∴∠AED ＝90°，∴∠CAD ＝∠BDA ＝45°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝90°，∠COD ＝2∠CAD ＝90°，∵∠AOD ＝120°，∴∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ，∵OA ＝OD ，∠AOD ＝120°，∴∠OAD ＝∠ODA ＝30°，∴AD =√3OA =√3，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．8．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据垂径定理得OB ⊥AC ，在根据勾股定理得OA =√AD 2+OD 2=√82+62=10，即可求出答案．【解答】解：∵AD ＝CD ＝8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =√AD 2+OD 2=√82+62=10，∴OB ＝10，∴BD ＝10﹣6＝4．故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB ⊥AC 是解题的关键．10．（2023•枣庄）如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ．若∠A ＝48°，∠APD ＝80°，则∠B 的度数为（ ）A ．32°B ．42°C ．48°D ．52°【分析】根据外角∠APD ，求出∠C ，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B ．【解答】解：∵∠A ＝48°，∠APD ＝80°，∴∠C ＝80°﹣48°＝32°，∵AD̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠C ＝32°．故选：A ．【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．11．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC ＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC=1∠BOC＝26°，2故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．12．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC ＝70°，则∠ADC＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．13．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．2√3B．3√2C．2√5D．√5【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．【解答】解：方法一：连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接AE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠ACD＝∠CAB，∴∠ACD＝∠ACO，∴AE＝AD＝2，∵CE是直径，∴∠EAC＝90°，在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，∴EC=√22+42=2√5，∴⊙O 的半径为√5．方法二：连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACD ＝∠CAB ，∴AD̂=BC ̂， ∴AD ＝BC ＝2，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=2√5，∴圆O 的半径为√5．故选：D ．【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．14．（2022•贵阳）如图，已知∠ABC ＝60°，点D 为BA 边上一点，BD ＝10，点O 为线段BD 的中点，以点O 为圆心，线段OB 长为半径作弧，交BC 于点E ，连接DE ，则BE 的长是（ ）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．5√5【分析】解法一：根据题意和等边三角形的判定，可以得到BE 的长．解法二：先根据直径所对的圆周角是90°，然后根据直角三角形的性质和直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，可以求得BE的长．【解答】解：解法一：连接OE，BD＝5，由已知可得，OE＝OB=12∵∠ABC＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝OB＝5，故选：A．解法二：由题意可得，BD为⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠EDB＝30°，∵BD＝10，∴BE＝5，故选：A．【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出△OBE 的形状．15．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝130°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．16．（2022•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∵∠ACB＝40°，∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．17．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F ̂上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）是劣弧DEA．115°B．118°C．120°D．125°【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．【解答】解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，∴∠EFD+∠A＝180°，∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，∴∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，故选：C．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．18．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD 的面积为（）A．36√3B．24√3C．18√3D．72√3【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC=√OC2−OE2=√36−9=3√3，∴CD＝2CE＝6√3，∴四边形ACBD的面积=12AB⋅CD=12×12×6√3=36√3．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．19．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD=12AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD=√OA2−AD2=√102−82=6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．52C．3D．√10【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．【解答】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=√32+42=5，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．【点评】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上．21．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．22．（2021•雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，由圆周角定理得：∠BOD ＝2∠BAD ，∵四边形OBCD 为菱形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BAD+2∠BAD ＝180°，解得：∠BAD ＝60°，故选：B ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．23．（2021•眉山）如图，在以AB 为直径的⊙O 中，点C 为圆上的一点，BĈ=3AC ̂，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【分析】由圆周角定理可求∠ACB ＝90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC ＝22.5°，∠CAB ＝67.5CAH ＝∠ACE ＝22.5°，即可求解．【解答】解：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC+∠CAB ＝90°，∵BĈ=3AC ̂， ∴∠CAB ＝3∠ABC ，∴∠ABC ＝22.5°，∠CAB ＝67.5°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACE ＝22.5°，∵点H 是AG 的中点，∠ACB ＝90°，∴AH ＝CH ＝HG ，∴∠CAH ＝∠ACE ＝22.5°，∵∠CAF ＝∠CBF ，∴∠CBF ＝22.5°，故选：C ．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB 的度数是本题的关键．二．填空题（共25小题）24．（2023•长沙）如图，点A ，B ，C 在半径为2的⊙O 上，∠ACB ＝60°，OD ⊥AB ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接OA ，则OE 的长度为 ．【分析】连接OB ，利用圆周角定理及垂径定理易得∠AOD ＝60°，则∠OAE ＝30°，结合已知条件，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【解答】解：如图，连接OB ，∵∠ACB ＝60°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，∵OD ⊥AB ，∴AD̂=BD ̂，∠OEA ＝90°， ∴∠AOD ＝∠BOD =12∠AOB ＝60°，∴∠OAE ＝90°﹣60°＝30°，∴OE =12OA =12×2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠AOD ＝60°是解题的关键．25．（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝°．【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝35°，∴∠BAD=12故答案为：35．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为寸．【分析】连接OA ，设⊙O 的半径是r 寸，由垂径定理得到AE =12AB ＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r ﹣1）2+52，求出r ，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接OA ，设⊙O 的半径是r 寸，∵直径CD ⊥AB ，∴AE =12AB =12×10＝5寸，∵CE ＝1寸，∴OE ＝（r ﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r ﹣1）2+52，∴r ＝13，∴直径CD 的长度为2r ＝26寸．故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA 构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．27．（2023•郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°＝3311≈4台．【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，，∵360°÷110°＝3311∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4．【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．28．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠B＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．29．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是．【分析】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB=√122+52=13，BC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．根据三角形中位线定理得OD=12【解答】解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB=√122+52=13，∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD=1BC＝2.5，OD∥BC，2∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．30．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC 的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB ＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．31．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC ＝11，BC ＝21，OC ＝13，则这个花坛的面积为 .（结果保留π）【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵OD ⊥AB ，OD 过圆心，AB 是弦，∴AD ＝BD =12AB =12（AC+BC ）=12×（11+21）＝16， ∴CD ＝BC ﹣BD ＝21﹣16＝5，在Rt △COD 中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt △BOD 中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S ⊙O ＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．32．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB ＝12cm ，BC ＝5cm ，则圆形镜面的半径为 ．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13（cm），所以圆形镜面的半径为13cm，2cm．故答案为：132【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．33．（2022•阿坝州）如图，点A，B C在⊙O上，若∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为．【分析】根据圆周角定理即可得出答案．∠AOB，∠ACB＝30°，【解答】解：∵∠ACB=12∴∠AOB＝2∠ACB＝2×30°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．34．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O ̂所对的圆周角，则∠APD的度数是．于点D．若∠APD是AD【分析】由垂径定理得出AD̂=BD ̂，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD =12∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴AD̂=BD ̂， ∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD =12∠AOB ＝60°，∴∠APD =12∠AOD =12×60°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，35．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB 长20厘米，弓形高CD 为2厘米，则镜面半径为 厘米．【分析】根据题意，弦AB 长20厘米，弓形高CD 为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．【解答】解：如图，点O 是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC ，则点C ，点D ，点O 三点共线，由题意可得：OC ⊥AB ，AC =12AB ＝10（厘米），设镜面半径为x 厘米，由题意可得：x2＝102+（x ﹣2）2，∴x ＝26，∴镜面半径为26厘米，故答案为：26．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．36．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 ．【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．【解答】解：根据题意得：{αβ=0.6α+=360°，解得{α=135°β=225°， ∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．37．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为 cm （玻璃瓶厚度忽略不计）．【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=1AD2＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），AD＝6（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．38．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是．【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2√3，所以A（﹣2√3，0），B （0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，AB＝2，∴OB=12∴OA=√3OB＝2√3，∴A（﹣2√3，0），B（0，2），∴D点坐标为（−√3，1）．故答案为（−√3，1）．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．39．（2021•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O 的半径为cm．【分析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AOC是等边三角形．40．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B 在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．（Ⅱ）取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC 交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC=√22+12=√5．故答案为：√5．（Ⅱ）如图，点P即为所求．故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE 交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．41．（2021•黑龙江）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为．【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．【解答】解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO，∴CDAO =BCBO，∴CD4=36，∴CD＝2，在Rt△CDE中，DE=√CD2+CE2=√22+62=2√10，∴PC+PD的最小值为2√10．故答案为：2√10．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．42．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD̂的中点，则∠ABE＝．【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直径，由点B是CD̂的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE ＝∠DCE得出答案．【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是CD̂的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．【点评】本题考查圆周角定理，弦、弧、圆心角之间的关系以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理和推论是正确计算的前提．43．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =√33x +2√33与⊙O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为 ．【分析】设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，先求出A 、C 坐标，得到OA 、OC 长度，可得∠CAO ＝30°，Rt △AOD 中求出AD 长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB 交y 轴于C ，过O 作OD ⊥AB 于D ，如图：在y =√33x +2√33中，令x ＝0得y =2√33, ∴C(0,2√33),OC =2√33, 在y =√33x +2√33中令y ＝0得√33x +2√33=0,解得x ＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA ＝2,Rt △AOC 中，tan ∠CAO =OC OA =2√332=√33,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×√3=√3，2∵OD⊥AB，∴AD＝BD=√3，∴AB＝2√3，故答案为：2√3．得到【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO=OCOA∠CAO＝30°．44．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D ＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．45．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC 的长为．【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解答】解：连接OA，∵OM：OC＝3：5，设OC＝5x，OM＝3x，则OD＝OC＝5x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，AB，∴AM＝BM=12在Rt△OAM中，OA＝5，AM=√OA2−OM2=√52−32=4，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=√AM2+CM2=√42+82=4√5；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=√AM2+MC2=√42+22=2√5．综上所述，AC的长为4√5或2√5．故答案为：4√5或2√5．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．46．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB ＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．【分析】先根据垂径定理的推论得到CD 过圆心，AD ＝BD ＝3.2cm ，设圆心为O ，连接OA ，如图，设⊙O 的半径为Rcm ，则OD ＝（R ﹣1.6）cm ，利用勾股定理得到（R ﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．【解答】解：∵C 点是AB̂的中点，CD ⊥AB ， ∴CD 过圆心，AD ＝BD =12AB =12×6.4＝3.2（cm ），设圆心为O ，连接OA ，如图，设⊙O 的半径为Rcm ，则OD ＝（R ﹣1.6）cm ，在Rt △OAD 中，（R ﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R ＝4（cm ），所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm ．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．47．（2021•德阳）在锐角三角形ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝2，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是 ．【分析】如图，BC 为⊙O 的弦，OB ＝OC ＝2，证明△OBC 为等边三角形得到∠BOC ＝60°，则根据圆周角定理得到∠BAC ＝30°，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则∠DCB ＝∠EBC ＝90°，当点A 在DÊ上（不含D 、E 点）时，△ABC 为锐角三角形，易得CD =√3BC ＝2√3，当A 点为DÊ的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图，根据垂径定理得到AH ⊥BC ，所以BH ＝CH ＝1，OH =√3，则AH ＝2+√3，然后写出h 的范围．【解答】解：如图，BC 为⊙O 的弦，OB ＝OC ＝2，∵BC ＝2，∴OB ＝OC ＝BC ，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴∠BAC =12∠BOC ＝30°，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则∠DCB ＝∠EBC ＝90°，∴当点A 在DÊ上（不含D 、E 点）时，△ABC 为锐角三角形， 在Rt △BCD 中，∵∠D ＝∠BAC ＝30°，∴CD =√3BC ＝2√3，当A 点为DÊ的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大， 延长AO 交BC 于H ，如图，∵A 点为DÊ的中点， ∴AB̂=AC ̂， ∴AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝1，∴OH =√3BH =√3，∴AH ＝OA+OH ＝2+√3，∴h 的范围为2√3＜h ≤2+√3．故答案为2√3＜h ≤2+√3．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．48．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A 到B 有一笔直的栏杆，圆心O 到栏杆AB 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（π取3.14，√3取1.73）。

2021年中考数学真题分类汇编：专题24圆的有关性质一、单选题1．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（ ）A ．48︒B ．24︒C ．22︒D ．21︒ 【答案】D【分析】先证明,AB CD =再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．【详解】 解： 点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，,AB CD ∴=114221,22CED AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 故选：.D【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．2．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D ．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交AB 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，⊙AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt⊙AOC中，6OC===（厘米），⊙CD=OC+OD=16（厘米），⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，⊙16÷16=1（厘米/分）．⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．4．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB⊙CAB＝30°，则⊙ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得⊙AOB＝90°，⊙ABO＝⊙BAO＝45°，根据圆周角定理可得⊙COB＝2⊙CAB＝60°，⊙OBC＝⊙OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，⊙OA ＝OB ＝1，AB⊙OA 2＋OB 2＝AB 2，⊙⊙AOB ＝90°，又⊙OA ＝OB ，⊙⊙ABO ＝⊙BAO ＝45°，⊙⊙CAB ＝30°，⊙⊙COB ＝2⊙CAB ＝60°，又⊙OC ＝OB ，⊙⊙OBC ＝⊙OCB ＝60°，⊙⊙ABC ＝⊙ABO ＋⊙OBC ＝105°，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：⊙在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ．⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】B【分析】 根据画图过程，得到OD =OC ，由等边对等角与三角形内角和定理得到⊙ODC =⊙OCD =70︒，同理得到⊙DOE =⊙DEO =40⊙，由⊙OCD 为⊙DCE 的外角，得到结果．【详解】解：⊙以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，⊙OD =OC ，⊙⊙ODC =⊙OCD ，⊙⊙AOB =40⊙，⊙⊙ODC =⊙OCD =118040702⨯︒-︒=︒， ⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，⊙DO =DE ，⊙⊙DOE =⊙DEO =40⊙，⊙⊙OCD 为⊙DCE 的外角，⊙⊙OCD =⊙DEC +⊙CDE ，⊙70⊙=40⊙+⊙CDE ，⊙⊙CDE =30⊙，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．6．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒【答案】A【分析】 先根据圆内接四边形的性质可得60BAD ∠=︒，再根据圆周角定理可得90BAE ∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】 解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180BCD BAD ∴∠+∠=︒，2BCD BAD ∠=∠，1180603BAD =⨯︒∴∠=︒， BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，906030DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB 为直径的O 中，点C 为圆上的一点，3BC AC =，弦CD AB ⊥于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则CBF ∠的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．【详解】解：⊙AB 为O 的直径，⊙90ACB AFB ∠=∠=︒，⊙3BC AC =，⊙=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，⊙点H 是AG 的中点，⊙CE AH =，⊙CAH ACH ∠=∠，⊙CD AB ⊥，⊙AEC GCA ∽，又⊙,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，⊙AEC GCA GFB ∽∽，⊙90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，⊙ABE ABC ∠=∠，⊙AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，⊙22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，⊙=22.5CBF ∠︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B【分析】连接OD ，根据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD ，⊙AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，⊙CD =2DE ，⊙2CD OE =，⊙DE =OE ，⊙ODE 是等腰直角三角形，即⊙BOD =45°，⊙BCD ∠=12⊙BOD =22.5°， 故选B ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】 作OC ⊙AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出⊙A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．【详解】解：作OC ⊙AB 于C ，如图，则AC =BC ，⊙OA =OB ，⊙⊙A =⊙B =12（180°-⊙AOB ）=30°， 在Rt ⊙AOC 中，OC =12OA =9，AC =⊙AB =2AC =又⊙12018180AB π⨯⨯==12π，⊙走便民路比走观赏路少走12π-故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙在Rt ⊙ABC 中，⊙B =90°-⊙A =70°，故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊙AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊙12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊙tan =DE OEα ⊙=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意；又sin DE ODα= ⊙sin DE OD α=⊙22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE ODα= ⊙cos cos OE OD m αα==⊙AO DO m ==⊙cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊙2sin CD m α=，cos OE m α= ⊙2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．12．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B【分析】 连接AD ，由切线性质可得⊙ADB =⊙ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得⊙BAD =60°，易求得⊙ADE =72°，由AD=AE 可求得⊙DAE =36°，则⊙GAC =96°，根据圆周角定理即可求得⊙GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，⊙BC与圆A相切于点D，⊙⊙ADB=⊙ADC=90°，在Rt⊙ADB中，AB=6，则cos⊙BAD=ADAB=12，⊙⊙BAD=60°，⊙⊙CDE=18°，⊙⊙ADE=90°﹣18°=72°，⊙AD=AE，⊙⊙ADE=⊙AED=72°，⊙⊙DAE=180°﹣2×72°=36°，⊙⊙GAC=36°+60°=96°，⊙⊙GFE=12⊙GAC=48°，故选：B．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得⊙BAD=60°是解答的关键．13．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，点P在AB上，则P∠的度数为（）A．30B．45︒C．60︒D．90︒【答案】B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊙正方形ABCD 内接于O ，⊙90BOC ∠=° ⊙11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊙AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．⊙OC =5，CP =3⊙CD ⊙AB ，⊙CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A【分析】 先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC⊙AB ⊙CD , OE ⊙AC⊙ AE =EC ，CF =FD⊙OE =3，OB =5⊙OB =OC =OA =5⊙在Rt ⊙OAE 中4AE =⊙AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-22228(5)5x x -+=-x =1.4在Rt ⊙OFC 中， 4.8FC ==⊙29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键16．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒ 【答案】C【分析】由切线的性质得出⊙OAP =⊙OBP =90°，利用四边形内角和可求⊙AOB =110°，再利用圆周角定理可求⊙ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求⊙ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，⊙AP 、BP 是切线，⊙⊙OAP =⊙OBP =90°，⊙⊙AOB =360°-90°-90°-70°=110°，⊙⊙ADB =55°，又⊙圆内接四边形的对角互补，⊙⊙ACB =180°-⊙ADB =180°-55°=125°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出⊙AOB ．17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．CD 【答案】D【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．【详解】解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒ ∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A B ．2C D ．4 【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊙DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB⊙在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊙AG =DG =EG又⊙AG =FG⊙点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊙⊙DFE =90°⊙在Rt ⊙ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊙CF =BF =122BC =，FN =FM =52 又⊙FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，90BAC ∠=︒⊙四边形NAMF 是正方形⊙AN =AM =FN =52又⊙90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊙NFD MFE ∠=∠⊙⊙NFD ⊙⊙MFE⊙ME =DN =AN -AD =12 ⊙AE =AM +ME =3⊙在Rt ⊙DAE 中，DE故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6 【答案】D【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC =AB⊙()8,0A ，()2,0C -⊙OA =8，OC =2⊙AC =AB =10在Rt ⊙OAB 中，6OB ==⊙B (0，6)故选：D【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 20．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，O 的半径OB 为4，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则OD 的长是（ ）A B C ．2 D ．3【答案】C【分析】 根据圆周角定理求出⊙COB 的度数，再求出⊙OBD 的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD 的长度．【详解】⊙ ⊙BAC =30°，⊙⊙COB =60°，⊙⊙ODB =90°，⊙⊙OBD =30°，⊙OB =4，⊙OD =12OB =142⨯=2． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．21．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】C【分析】连接OB ，由题意易得⊙BOD =60°，然后根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：连接OB ，如图所示：⊙()2,0A ，()4,0D ，⊙2,4OA OB OE OD ====， ⊙12OA OB =， ⊙四边形OABC 是矩形，⊙90OAB ∠=︒，⊙30OBA ∠=︒，⊙9060BOD OBA ∠=︒-∠=︒， ⊙1302BED BOD ∠=∠=︒； 故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D【分析】 先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点，⊙⊙ACB =90°，⊙⊙ABC =25°，⊙⊙BAC =90°-25°=65°，⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．23．（2021·河北中考真题）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按⊙到⊙的步骤操作： ⊙以O 为圆心，OA 为半径画圆；⊙在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；⊙作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ；⊙作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．结论⊙：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论⊙：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．对于结论⊙和⊙，下列判断正确的是（ ）A ．⊙和⊙都对B ．⊙和⊙都不对C ．⊙不对⊙对D ．⊙对⊙不对【答案】D【分析】 ⊙、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF 的形状；⊙、在确定点P 的过程中，看⊙MOF =40°是否唯一即可．【详解】解：⊙、如图所示．⊙MN 是AB 的垂直平分线，EF 是AP 的垂直平分线，⊙MN 和EF 都经过圆心O ，线段MN 和EF 是⊙O 的直径．⊙OM =ON ，OE =OF ．⊙四边形MENF 是平行四边形．⊙线段MN 是⊙O 的直径，⊙⊙MEN =90°．⊙平行四边形MENF 是矩形．⊙结论⊙正确；⊙、如图2，当点P 在直线MN 左侧且AP =AB 时，⊙AP =AB ，⊙AB AP =．⊙MN ⊙AB ，EF ⊙AP ， ⊙1122AE AP AN AB ==，． ⊙AE AN =． ⊙1===202AOE AON AOB ∠∠∠．⊙40EON =∠．⊙=40MOF EON =∠∠．⊙扇形OFM 与扇形OAB 的半径、圆心角度数都分别相等，⊙OFM OAB S S =扇形扇形．如图3，当点P 在直线MN 右侧且BP =AB 时，同理可证：FOM AOB S S =扇形扇形．⊙结论⊙错误．故选：D【点睛】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．24．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【分析】 先根据垂径定理可得4=AD ，再利用勾股定理可得5OE OA ==，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==， 3OD =，5OA ∴=，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=，//OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．25．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（ ）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒【答案】B【分析】首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．【详解】解：⊙30BAC ∠=︒⊙⊙BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，⊙90AOC ∠=︒，906030AOB AOC BOC ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．26．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒【答案】B【分析】直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：54BAC ∠=︒，∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．27．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒【答案】B【分析】 将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC DC DE EB ===，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⊙B 的度数．【详解】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．⊙⊙O 与⊙O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⊙ABC ，⊙AC CD =．同理：DE CD =．又⊙F 是劣弧BD 的中点，⊙DE BE =．⊙AC DC DE EB ===．⊙弧AC 的度数=180°÷4=45°．⊙⊙B =12×45°=22.5°． ⊙α所在的范围是22.322.7α︒<<︒；故选：B ．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．二、填空题28．（2021·黑龙江中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5cm ，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，则O 的半径为_____．【答案】5cm【分析】连接BC ，由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：连接BC ，如图所示：⊙30ADC ∠=︒，⊙30ABC ADC ∠=∠=︒，⊙AB 是直径，⊙90ACB ∠=︒，⊙5cm AC =，⊙210cm AB AC ==，⊙O 的半径为5cm ；故答案为5cm ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解29．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出⊙ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：连接OB 、OC 、作OD ⊙AB⊙60A ∠=︒⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =30°又75B ∠=︒⊙⊙ABO =45°在Rt ⊙OBD 中，OB =1⊙BD⊙BD =AD =⊙AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键30．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，OB ，OC ，则BOD ∠=_________．【答案】50︒【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，12A BOC ∠=∠， 100BOC ∴∠=︒，OB OC =， BOC ∴为等腰三角形， 又点D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，OD ∴为BOC ∠的角平分线，50BO D ∴∠=︒，故答案是：50︒．【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出BOC ∠，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．31．（2021·广东中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==AO ∴==112ON OM AB ===,3BC =OC ∴==CO OD ∴-线段CD 长度的最小值为-．-【点睛】 本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．32．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ABC =90°，⊙A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则⊙ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DC B 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE =,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．33．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，⊙C 是AB 的中点，⊙OC AB ⊥ ⊙14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，⊙2cm CD =⊙(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 34．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 35．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．【答案】25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到⊙BOC =100°，求出⊙AOC ，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC ，⊙OC =OB ，⊙⊙OCB =⊙OBC =40°，⊙⊙BOC =180°-40°×2=100°，⊙⊙AOC =100°+30°=130°，⊙OC =OA ，⊙⊙OAC =⊙OCA =25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．36．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】【分析】过O 作OE ⊙AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD Rt ⊙AOD 中，由勾股定理AD =，可证⊙OAC ⊙⊙DAO ，由相似三角形性质可求AC 即可． 【详解】 解：过O 作OE ⊙AB 于C ，⊙AB 为弦，⊙AC =BC =12AB ，⊙直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，⊙当y =00x +=，解得x =-2， ⊙OA =2，⊙当x =0时，y =⊙OD=3， 在Rt ⊙AOD中，由勾股定理3AD ===， ⊙⊙ACO =⊙AOD =90°，⊙CAO =⊙OAD ，⊙⊙OAC ⊙⊙DAO ，AC AO AO AD =即2AO AC AD === ⊙AB =2AC故答案为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．37．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．⊙该弧所在圆的半径长为___________；⊙ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ⊙线段PB 长的最小值为_______；⊙若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）⊙2；2；（2）见解析；（3）；⊙4 【分析】（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到⊙BOC =60°，证明⊙OBC 是等边三角形，可得半径；⊙过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，⊙ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）⊙根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；⊙根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在⊙ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，⊙⊙BAC =30°，⊙⊙BOC =60°，又OB =OC ，⊙⊙OBC 是等边三角形，⊙OB =OC =BC =2，即半径为2；⊙⊙⊙ABC 以BC 为底边，BC =2，⊙当点A 到BC 的距离最大时，⊙ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，⊙BE =CE =1，DO =BO =2，⊙OE⊙DE 2，⊙⊙ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，⊙点D 在圆上，⊙⊙BDC =⊙BAC ，⊙⊙BA ′C =⊙BDC +⊙A ′CD ，⊙⊙BA ′C ＞⊙BDC ，⊙⊙BA ′C ＞⊙BAC ，即⊙BA ′C ＞30°；（3）⊙如图，当点P在BC上，且PC=32时，⊙⊙PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，⊙tan⊙DPC=CDPC=43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，⊙当点P在优弧CPD上时，tan⊙DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊙BE，垂足为E，⊙点Q是PD中点，⊙点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，⊙BE=BC-CE=3-34=94，⊙BQ4，⊙PD 52，⊙圆Q的半径为155 224⨯=，⊙BP′=BQ-P′Q，即BP；⊙⊙AD =3，CD =2，23PCD PAD S S =， 则23CD AD =， ⊙⊙P AD 中AD 边上的高=⊙PCD 中CD 边上的高，即点P 到AD 的距离和点P 到CD 的距离相等，则点P 到AD 和CD 的距离相等，即点P 在⊙ADC 的平分线上，如图，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，⊙PD 平分⊙ADC ，⊙⊙ADP =⊙CDP =45°，⊙⊙CDF 为等腰直角三角形，又CD =2，⊙CF =DF⊙tan⊙DPC =CF PF =43，⊙PF =4，⊙PD =DF +PF【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P 的轨迹． 38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．。

2023中考数学真题汇编·23圆的有关性质一、单选题1.（2023·江苏连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（）A ．只有甲是扇形B ．只有乙是扇形C ．只有丙是扇形D ．只有乙、丙是扇形2.（2023·河南）如图，点A ，B ，C 在O 上，若55C ，则AOB 的度数为（）A ．95B ．100C ．105D ．110 3.（2023·云南）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点．若66BOC ，则A （）A ．66B ．33C ．24D ．30 4.（2023·广东）如图，AB 是O 的直径，50BAC ，则D （）A ．20B ．40C ．50D ．80 5.（2023·四川自贡）如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，连接BD ，41DCA ，则ABC 的度数是（）A ．41B ．45C ．49D ．59 6.（2023·四川）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，连接CD OD AC ，，，若124BOD ，则ACD 的度数是（）A ．56B ．33C ．28D ．23 7.（2023·四川宜宾）如图，已知点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点．若35BAC ，则AOB 等于（）A ．140B ．120C ．110D ．70 8.（2023·安徽）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接,OC OD ，则BAE COD （）A ．60B ．54C ．48D ．36 9.（2023·新疆）如图，在O 中，若30ACB ，6OA ，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A ．12B ．6C ．4D ．210.（2023·浙江温州）如图，四边形ABCD 内接于O ，BC AD ∥，AC BD ．若120AOD ，AD ，则CAO 的度数与BC 的长分别为（）A ．10°，1B ．10°C ．15°，1D ．15°11.（2023·内蒙古赤峰）如图，圆内接四边形ABCD 中，105BCD ，连接OB ，OC ，OD ，BD ，2BOC COD ．则CBD 的度数是（）A ．25B ．30C ．35D ．4012.（2023·四川凉山）如图，在O 中，30OA BC ADB BC ，，OC （）A ．1B ．2C ．D ．413.（2023·山东枣庄）如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若4880A APD ，，则B 的度数为（）A ．32B ．42C ．48D ．5214.（2023·湖北十堰）如图，O 是ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，AE DE ，BC CE ，过点O作OF AC 于点F ，延长FO 交BE 于点G ，若3DE ，2EG ，则AB 的长为()A ．B ．7C ．8D ．15.（2023·浙江杭州）如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ，则BAC （）A ．23B ．24C ．25D ．2616.（2023·湖北黄冈）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC AD BD ，，，若20C ，70BPC ，则ADC （）A ．70B ．60C ．50D ．4017.（2023·湖北宜昌）如图，OA OB OC ，，都是O 的半径，AC OB ，交于点D ．若86AD CD OD ，，则BD 的长为（）．A ．5B ．4C ．3D ．218.（2023·四川内江）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，点P 在 AF 上，Q 是 DE的中点，则CPQ 的度数为（）A ．30B ．36C ．45D ．6019.（2023·河北）如图，点18~P P 是O 的八等分点．若137PP P ，四边形3467P P P P 的周长分别为a ，b ，则下列正确的是()A ．a bB ．a bC ．a bD ．a ，b 大小无法比较20.（2023·浙江台州）如图，O 的圆心O 与正方形的中心重合，已知O 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．AB ．2C ．4D ．4 21.（2023·四川宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ．“会圆术”给出 AB 的弧长l 的近似值计算公式：2MN l AB OA ．当4OA ，60AOB 时，则l 的值为（）A ．11 B ．11 C ．8 D ．8 22.（2023·广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（）A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m23.（2023·山东聊城）如图，点O 是ABC 外接圆的圆心，点I 是ABC 的内心，连接OB ，IA ．若35CAI ，则OBC 的度数为（）A ．15B ．17.5C ．20D ．2524.（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416．如图，O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计O 的面积，可得 的估计值为2，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（）AB ．C ．3D ．25.（2023·全国）如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ，则BPC 的度数可能是（）A ．70B ．105C ．125D ．155 26.（2023·甘肃兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB ；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ，则AOC （）A ．35B ．30C ．25D ．20二、填空题27.（2023·四川南充）如图，AB 是O 的直径，点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，12,5AC BC ，则MD 的长是________．28.（2023·湖南永州）如图，O 是一个盛有水的容器的横截面，O 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为_______cm ．29.（2023·广东深圳）如图，在O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，BAC 的角平分线与O 交于点D ，若20ADC ，则BAD ______°．30.（2023·山东东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ，垂足为点E ，1CE 寸，10AB 寸，则直径CD 的长度是________寸．31.（2023·四川广安）如图，ABC 内接于O ，圆的半径为7，60BAC ，则弦BC 的长度为___________．32.（2023·浙江金华）如图，在ABC 中，6cm,50AB AC BAC ，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则弧DE 的长为__________cm ．33.（2023·浙江绍兴）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若100D ，则B 的度数是________．34.（2023·山东烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD 的度数为_______．35.（2023·湖南）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．36.（2023·湖南）如图所示，点A 、B 、C 是O 上不同的三点，点O 在ABC 的内部，连接BO 、CO ，并延长线段BO 交线段AC 于点D ．若6040A OCD ，，则ODC _______度．37.（2023·湖南郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55 ，为了监控整个展区，最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．38.（2023·浙江杭州）如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为1S ，ACE △的面积为2S，则12S S _________．三、解答题39.（2023·甘肃武威）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知O ，A 是O 上一点，只用圆规将O 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在O 上逆时针方向顺次截取 AB BCCD ；②分别以点A ，点D 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于O 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交O 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将O 的圆周四等分．40.（2023·湖北武汉）如图，,,OA OB OC 都是O 的半径，2A CB BA C ．（1）求证：2AOB BOC ；（2）若4,5AB BC ，求O 的半径．41.（2023·浙江金华）如图，点A 在第一象限内，A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点,C D ．连接AB ，过点A 作AH CD 于点H ．（1）求证：四边形ABOH 为矩形．（2）已知A 的半径为4，OB CD 的长．42.（2023·上海）如图，在O 中，弦AB 的长为8，点C 在BO 延长线上，且41cos ,52ABC OC OB ．（1）求O 的半径；（2）求BAC 的正切值．43.（2023·贵州）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．（1）写出图中一个度数为30 的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；（2）求证：AED CEB ∽△△；（3）连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【参考答案与解析】1.【答案】B【解析】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B ．2.【答案】D【解析】解：∵55C ，∴由圆周角定理得：2110AOB C ∠∠，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：∵ BC BC ，66BOC ，∴1332A BOC ，故选：B ．4.【答案】B【解析】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∵50BAC ，∴9040ABC BAC ，∵ AC AC ，∴40D ABC ；故选：B ．5.【答案】C【解析】解：∵CD 是O 的直径，∴90DBC ，∵ AD AD ，∴41ABD ACD ，∴904149ABC DBC DBA ，故选：C ．6.【答案】C【解析】解：∵124BOD ，∴18012456AOD Ð=°-°=°，∴1282ACD AOD，故选：C ．7.【答案】A 【解析】解：连接OC ，如图所示：∵点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点， BCAC ，12BOC AOC AOB，∵35BAC ，根据圆周角定理可知270BOC BAC ，2140AOB BOC ，故选：A ．8.【答案】D【解析】∵360360180,55BAE COD，∴3603601803655BAE COD ，故选：D ．9.【答案】B 【解析】解：∵ AB AB ，30ACB ，∴60AOB ，∴260π66π360S．故选：B.10.【答案】C【解析】解：过点O 作OE AD 于点E ，如图所示：∵BC AD ∥，∴CBD ADB ，∵CBD CAD ，∴CAD ADB ，∵AC BD ，∴90AFD ，∴45CAD ADB CBD BCA ，∵120AOD ，OA OD ，AD ∴30OAD ODA ，1602ABD ACD AOD ，1322AE AD ，∴15CAO CAD OAD ，1cos30AE OA OC OD，105BCD BCA ACD ，∴290,18030COD CAD CDB BCD CBD ，∴12CD CF CD∴1BC ；故选：C ．11.【答案】A【解析】解：∵圆内接四边形ABCD 中，105BCD ，∴18010575A∴2150BOD A∵2BOC COD ，∴1503COD BOD ，∵ CDCD ，∴11502522CBD COD ,故选：A ．12.【答案】B 【解析】解：连接OB，如图所示，，30ADB ∵，223060AOB ADB ，∵OA BC ，60COE BOE，1122CE BE BC 在Rt OCE中，60COE CE ，2sin 60CE OC ，故选：B ．13.【答案】A 【解析】解：48A D A ∵，，48D ，80APD APD B D ∵，，804832B APD D ，故选：A ．14.【答案】B【解析】解：作BM AC 于点M，在AEB △和DEC 中，A D AE ED AEB DEC，∴ ASA AEB DEC ≌ ，∴EB EC ，又∵BC CE ，∴BE CE BC ，∴EBC 为等边三角形，∴60GEF ，BC EC ∴30EGF ，∵2EG ，OF AC ，30EGF ，∴112EF EG ，又∵3AE ED ，OF AC ，∴4CF AF AE EF ，∴285AC AF EC EF CF ，，∴5BC EC ，∵60BCM ，∴∠30MBC ，∴52CM，BM ∴112AM AC CM ，∴7AB ．15.【答案】D【解析】解：如图，∵半径,OA OB 互相垂直， 90AOB ，ADB 所对的圆心角为270 ，ADB 所对的圆周角12701352ACB ，又∵19ABC ， 18026BAC ACB ABC ，故选：D ．16.【答案】D【解析】解：∵20C ，∴20B ，∵70BPC ，∴702050BDP BPC B ，又∵AB 为直径，即90ADB ，∴905040ADC ADB BDP ，故选：D ．17.【答案】B【解析】解：∵8AD CD ，∴点D 为AC 的中点，∵,AO CO ∴OD AC ，由勾股定理得，10,OC ∴10,OB ∴1064,BD OB OD 故选：B ．18.【答案】C【解析】如图，连接,,,OC OD OQ OE ，∵正六边形ABCDEF ，Q 是 DE的中点，∴360606COD DOE，1302DOQ EOQ DOE ，∴90COQ COD DOQ ，∴1452CPQ COQ ，故选：Ｃ．19.【答案】A【解析】连接1223,PP P P ，∵点18~P P 是O 的八等分点，即 1223345566778148PP P P P P P P P P P P P P P P ∴12233467PP P P P P P P ， 464556781178P P P P P P P P P P PP∴4617P P PP 又∵137P P P 的周长为131737a PP PP P P ，四边形3467P P P P 的周长为34466737b P P P P P P P P ，∴ 34466737131737b a P P P P P P P P PP PP P P 12172337131737PP PP P P P P PP PP P P 122313PP P P PP 在123P P P 中有122313PP P P PP ，∴1223130b a PP P P PP 故选：A ．20.【答案】D【解析】解：设正方形四个顶点分别为A B C D 、、、，连接OA 并延长，交O 于点E ，过点O 作OF AB ，如下图：则EA 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：4OE AB ，122AF OF AB由勾股定理可得：OA ∴4AE ，故选：D.21.【答案】B【解析】连接ON ，根据题意， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ，得ON AB ，∴点M ，N ，O 三点共线，∵4OA ，60AOB ，∴OAB 是等边三角形，∴4,60sin 602OA AB OAN ON OA ，，∴4,60sin 602OA AB OAN ON OA ，∴ 2244114MN l AB OA故选：B ．22.【答案】B【解析】解：如图，由题意可知，37m AB ，7m CD ，主桥拱半径R ， 7m OD OC CD R ，OC ∵是半径，且OC AB ，137m 22AD BD AB，在Rt △ADO 中，222AD OD OA ， 2223772R R ，解得：156528m 56R ，故选：B.23.【答案】C【解析】解：连接OC ，∵点I 是ABC 的内心，35CAI ，∴270BAC CAI ，∴2140BOC BAC ，∵OB OC ，∴1801801402022BOC OBC OCB，故选：C ．24.【答案】C【解析】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30 ，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC OA 交OA 于点于点C ，∵30AOB ，∴1122BC OB ，则1111224OAB S ，故正十二边形的面积为1121234OAB S，圆的面积为113 ，用圆内接正十二边形面积近似估计O 的面积可得3 ，故选：C ．25.【答案】D【解析】解：∵ BC BC ，70BAC ，∴2140BOC BAC ，∵140BPC BOC PCO ，∴BPC 的度数可能是15526.【答案】A【解析】解：∵35MNO ，MO NO ，∴35NMO MNO ，∴23570AOB ，∵OA OB ，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ，故选A ．27.【答案】4【解析】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∵12,5AC BC ，∴13AB ，∴11322AO AB ，∵点D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，∴OM AC ，且6AD CD ，∴52OD ，∴4MD OM OD AO OD ，故答案为：4．28.【答案】16【解析】解：如图所示，过点O 作OD AB 于点D ，交O 于点E ，则12AD DB AB ，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，O 的半径为10cm ．∴1046OD cm ，在Rt AOD 中，8ADcm ∴216AB AD cm 故答案为：16．29.【答案】35【解析】解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∵ AC AC ，20ADC ，∴20ADC ABC ，∴70BAC ，∵AD 平分BAC ，∴1352BAD BAC；故答案为：35．30.【答案】26【解析】解：连接OA ，AB CD ∵，且10AB 寸，5AE BE 寸，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC OD x ，1CE Q ，1OE x ，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：222(1)5x x ，化简得：222125x x x ，即226x ，26CD （寸）．故答案为：26．31.【答案】【解析】解：如图，连接,OB OC ，过点O 作OD BC 于点D ，60BAC ∵，2120BOC BAC ，,OB OC OD BC Q ，1602BOD BOC ，2BC BD ，∵圆的半径为7，7OB ，sin 60BD OB ，2BC BD故答案为：32.【答案】56【解析】解：如图，连接AD ，OD ，OE ，∵AB 为直径，∴AD AB ，∵6cm,50AB AC BAC ，∴BD CD ，1252BAD CAD BAC，∴250DOE BAD ，113cm 22OD AB AC，∴弧DE 的长为 50351806cm ，故答案为：56 cm ．33.【答案】80【解析】解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180B D �邪＝，∵100D ，∴18080B D ＝﹣＝．故答案为：80 ．34.【答案】52.5【解析】方法一∶解：如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ，502525AOB ，15525130AOD ，∴ 118077.52OAB AOB ， 1180252OAD AOB ，∴52.5OAB A BAD O D ．故答案为52.5 ．方法二∶解∶连接,OB OD ，由题意可得：15550105BAD ，根据圆周角定理，知1110552.522BAD BOD ．故答案为：52.5 ．35.【答案】10【解析】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角360725，∴1272 ，∴18072236AOB ，∴共需要正五边形的个数3601036（个），故答案为：10．36.【答案】80【解析】解：在O 中，2260120BOC A Q ，1204080ODC BOC OCD 故答案为：80．37.【答案】4【解析】解：∵55P ，∴P 对应的圆心角的度数为110 ，∵360110 3.27 ，∴最少．．需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：438.【答案】2【解析】如图所示，连接,,OA OC OE ，∵六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，∴AC AE CE ，∴ACE △是O 的内接正三角形，∵120B ，AB BC ，∴ 1180302BAC BCA B ，∵60CAE ，∴30OAC OAE ，∴30BAC OAC ，同理可得，30BCA OCA ，又∵AC AC ，∴ ASA BAC OAC ≌ ，∴BAC OAC S S ，由圆和正六边形的性质可得，BAC AFE CDE S S S ，由圆和正三角形的性质可得，OAC OAE OCE S S S ，∵ 2122BAC AFE CDE OAC OAE OCE OAC OAE OCE S S S S S S S S S S S ，∴122S S ．故答案为：2．39.【答案】解：如图所示：【解析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．40.【答案】（1）证明：∵ AB AB ，∴12ACB AOB，∵ BC BC ，∴12BAC BOC ，2ACB BAC ∵，2AOB BOC ．（2）解：过点O 作半径OD AB 于点E ，则1,2 DOB AOB AE BE ，2AOB BOC Ð=ÐQ ，∴DOB BOC ，BD BC ，4, ∵AB BC ，2, BE DB在Rt BDE △中，90DEB Q 1 DE ，在Rt BOE 中，90OEB ∵，222(1)2 OB OB ，52OB ，即O 的半径是52．【解析】（1）由圆周角定理得出，11,22ACB AOB BAC BOC ，再根据2A CB BA C ，即可得出结论；（2）过点O 作半径OD AB 于点E ，根据垂径定理得出1,2 DOB AOB AE BE ，证明DOB BOC ，得出BD BC ，在Rt BDE △中根据勾股定理得出1DE ，在Rt BOE 中，根据勾股定理得出222(1)2OB OB ，求出OB 即可．41.【答案】（1）证明：∵A 与x 轴相切于点B ，∴AB x 轴．∵,AH CD HO OB ，∴90AHO HOB OBA ，∴四边形AHOB 是矩形．（2）如图，连接AC ．∵四边形AHOB 是矩形，AH OB在Rt AHC 中，222CH AC AH ，3CH ．∵点A 为圆心，AH CD ，2CD CH 6 ．【解析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．42.【答案】（1）解：如图，延长BC ，交O 于点D ，连接AD，由圆周角定理得：90BAD ，∵弦AB 的长为8，且4cos 5ABC ，845AB BD BD ，解得10BD ，O 的半径为152BD ．（2）解：如图，过点C 作CE AB 于点E，O ∵ 的半径为5，5OB ，12OC OB ∵，31522BC OB ，4cos 5ABC ∵，45BE BC ，即41552BE ，解得6BE ，2AE AB BE，92CE ，则BAC 的正切值为99224CE AE ．【解析】（1）延长BC ，交O 于点D ，连接AD ，先根据圆周角定理可得90BAD ，再解直角三角形可得10BD ，由此即可得；（2）过点C 作CE AB 于点E ，先解直角三角形可得6BE ，从而可得2AE ，再利用勾股定理可得92CE ，然后根据正切的定义即可得．43.【答案】（1）1 、2 、3 、4 ；BCD △（2）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB 的角平分线，60ACB ABC CAB ，∴1230 ，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ，∴3430 ，∵CO 是ACB 的角平分线，∴90ADC BDC ，56903060 ，又∵56 ，3=230 ，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ，5660 ，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ，∴四边形OAEB 是菱形；【解析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB 的角平分线，即可得到30 的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2 ，根据垂径定理得到5660 ，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660 得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ，即可得到证明；。