高三数学第一轮复习专题一 第一讲

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

高中数学一轮复习知识点第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合．2理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01.集合与简易逻辑知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法集合化简、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集,记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆,同时A B ⊆,那么A=B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，. 注：①Z ={整数}√②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.×例：S=N ；A=+N ,则C s A={0} ③空集的补集是全集.④若集合A =集合B ,则C B A =∅,C A B =∅C S C A B =D 注：C A B =∅. 3.①{x,y |xy =0,x ∈R ,y ∈R }：坐标轴上的点集. ②{x,y |xy ＜0,x ∈R ,y ∈R}：二、四象限的点集.③{x,y |xy ＞0,x ∈R ,y ∈R }：一、三象限的点集.注：①对方程组解的集合应是点集. 例：⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{2,1}.②点集与数集的交集是φ.例：A={x ,y |y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =∅4.①n 个元素的子集有2n个.②n 个元素的真子集有2n－1个.③n 个元素的非空真子集有2n－2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题⇔逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a =2且b =3,则a+b =5,成立,所以此命题为真. ②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分,又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A =UC U U =φC U φ=U反演律：C U A ∩B=C U A ∪C U B C U A ∪B=C U A ∩C U B6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为cardA 规定card φ=0.基本公式：(3) card U A =cardU-cardA二含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法根轴法零点分段法①将不等式化为a 0x-x 1x-x 2…x-x m >0<0形式,并将各因式x 的系数化“+”；为了统一方便 ②求根,并在数轴上表示出来；③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点为什么；④若不等式x 的系数化“+”后是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.自右向左正负相间 则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx+c>0a>0解的讨论.2.分式不等式的解法 1标准化：移项通分化为)()(x g x f >0或)()(x g x f <0；)()(x g x f ≥0或)()(x g x f ≤0的形式, 2转化为整式不等式组⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f 3.含绝对值不等式的解法1公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.2定义法：用“零点分区间法”分类讨论.3几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0a ≠01根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.2根的“非零分布”：作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. 三简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题;2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题;构成复合命题的形式：p 或q 记作“p ∨q ”；p 且q 记作“p ∧q ”；非p 记作“┑q ”;原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互3、“或”、“且”、“非”的真值判断1“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； 2“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；3“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4、四种命题的形式：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p; 1交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题； 2同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题；3交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：原命题⇔逆否命题 ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真; ②、原命题为真,它的否命题不一定为真; ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真;6、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件; 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p q.7、反证法：从命题结论的反面出发假设,引出与已知、公理、定理…矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法;高中数学第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用．考试要求：1了解映射的概念,理解函数的概念．2了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．3了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数．4理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质．5理解对数的概念,掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．6能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§02.函数知识要点一、本章知识网络结构： 二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射2.函数:函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数:反函数的定义:设函数))((A x x f y ∈=的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x表示出,得到x=ϕy.若对于y 在C 中的任何一个值,通过x=ϕy,x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x=ϕy 就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数,这样的函数x=ϕyy ∈C 叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数,记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=二函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数fx 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2,则说fx 在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时,都有fx 1>fx 2,则说fx 在这个区间上是减函数.若函数y=fx 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做函数y=fx 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 7.奇函数,偶函数： ⑴偶函数：)()(x f x f =-设b a ,为偶函数上一点,则b a ,-也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y 轴对称,例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f 时,1)()(=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=-设b a ,为奇函数上一点,则b a --,也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称,例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f 时,1)()(-=-x f x f . 8.对称变换：①y =fx ）（轴对称x f y y -=−−−→−②y =fx ）（轴对称x f y x -=−−−→−③y =fx ）（原点对称x f y --=−−−→−9.判断函数单调性定义作差法：对带根号的一定要分子有理化,例如：在进行讨论. 10.外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数fx =1+xx-1的定义域为A ,函数ffx 的定义域是B ,则集合A 与集合B 之间的关系是. 解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ,)(x f 的值域R ∈,故R B ∈,而A {}1|≠=x x ,故A B ⊃. 11.常用变换：①)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+. 22122212122222121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（A B ⊃证：)()(])[()()()()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=⇔=- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y xf +=⋅⇔-=证：)()()()(y f yxf y y x f x f +=⋅=12.⑴熟悉常用函数图象：例：||2x y =→||x 关于y 轴对称.|2|21+⎪⎭⎫⎝⎛=x y →||21x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=→|2|21+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y|122|2-+=x x y →||y 关于x 轴对称.⑵熟悉分式图象： 例：372312-+=-+=x x x y ⇒定义域},3|{R x x x ∈≠,对数函数=a 的图象和性质:⑴对数运算：以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ 注⑴：当0, b a 时,)log()log()log(b a b a -+-=⋅.⑵：当0 M 时,取“+”,当n 是偶数时且0 M 时,0 n M ,而0 M ,故取“—”. 例如：x x x a a a log 2(log 2log 2 ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R. ⑵x a y =1,0≠a a 与x y a log =互为反函数.当1 a 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴；当10 a 时,则相反.四方法总结⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.⑶.反函数的求法：先解x,互换x 、y,注明反函数的定义域即原函数的值域.⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.⑸.函数值域的求法：①配方法二次或四次；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.⑹.单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1＜x2；②判定fx1与fx2的大小；③作差比较或作商比较.⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f-x与fx之间的关系：①f-x=fx为偶函数；f-x=-fx为奇函数；②f-x-fx=0为偶；fx+f-x=0为奇；③f-x/fx=1是偶；fx÷f-x=-1为奇函数.⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学第三章数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：1理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项．2理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题．3理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题．§03.数列知识要点①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a 2≥n ③b kn a n +=k n ,为常数. ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n na a a 2≥n ,011≠-+n n n a a a ① 注①：i.acb =,是a 、b 、c 成等比的双非条件,即ac b =、b 、c 等比数列.ii.ac b =ac ＞0→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii.ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv.ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项,除非有ac ＞0,则等比中项一定有两个. ③n n cq a =q c ,为非零常数.④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }1 x 成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn注：①()()d a nd d n a a n -+=-+=111d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件即常数列也是等差数列→若d 不为0,则是等差数列充分条件.②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122→2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零,则是等差数列的充分条件；若d 不为零,则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列,也可为等差数列.不是非零,即不可能有等比数列2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ②若等差数列的项数为2()+∈Nn n ,则，奇偶nd S S =-1+=n n a a SS 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n .3.常用公式：①1+2+3…+n =()21+n n②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n注：熟悉常用通项：9,99,999,…110-=⇒n n a ；5,55,555,…()11095-=⇒nn a . 4.等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为a ,年增长率为r ,则每年的产量成等比数列,公比为r +1.其中第n 年产量为1)1(-+n r a ,且过n 年后总产量为：⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a 元,利息为r ,每月利息按复利计算,则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元.因此,第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. 5.数列常见的几种形式：⑴n n n qa pa a +=++12p 、q 为二阶常数→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=22x 对应2+n a ,x 对应1+n a ,并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=,若21x x =可设nn x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .⑵r Pa a n n +=-1P 、r 为常数→用①转化等差,等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式,再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a 公式法,21,c c 由21,a a 确定.①转化等差,等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1( r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 .③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：Pr P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6.几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ,在0 d 时,有最大值.如何确定使n S 取最大值时的n 值,有两种方法： 一是求使0,01 +≥n n a a ,成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：, (2)1)12,...(413,211n n -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差等比数列常有三种方法：1定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(11---n n n n a a a a 为同一常数;2通项公式法;3中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(221都成立;3.在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：1当1a >0,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值.2当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值;在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用;三、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列;2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列,c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等;3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{n a }是等差数列,{}n b 是各项不为0的等比数列;4.倒序相加法:类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5.常用结论1:1+2+3+...+n=2)1(+n n 21+3+5+...+2n-1=2n 32333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n4)12)(1(613212222++=++++n n n n 5111)1(1+-=+n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n6)()11(11q p qp p q pq <--= 高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin ωx+φ的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 考试要求：1理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 4能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．5理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin ωx+φ的简图,理解A.ω、φ的物理意义．6会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． 7掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形．8“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1,sin α/cos α=tan α,tan αcos α=1”．§04.三角函数知识要点 1.①与α0°≤α＜360°终边相同的角的集合角α与角β的终边重合：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2.角度与弧度的互换关系：360°=2π180°=π1°==°=57°18′注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式：1rad ＝π180°≈°=57°18ˊ．1°＝180π≈rad3、弧长公式：r l⋅=||α.扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角,在α的终边上任取异于原点的一点Px,yP与原点的距离为r,则ry =αsin ；rx=αcos ；x y =αtan ；yx =αcot ；x r=αsec ；.yr =αcsc .5、三角函数在各象限的符号：一全二正弦,三切四余弦6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域7.三角函数的定义域：8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =αααcot sin cos =9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式：一基本关系 公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六 二角与角之间的互换 公式组一公式组二公式组三公式组四公式组五42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan-== ,3215cot 75tan +==正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：若)(x f y =在],[b a 上递增减,则)(x f y -=在],[b a 上递减增.②x y sin =与x y cos =的周期是π.()()[]()()[]βαβαβαβαβαβα--+=-++=sin sin 1sin cos sinsin 21cos sin③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y 0≠ω的周期ωπ2=T .2tanx y =的周期为2ππωπ2=⇒=T T ,如图,翻折无效.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x Z k ∈,对称中心0,πk ；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =Z k ∈,对称中心0,21ππ+k ；)tan(ϕω+=x y 的对称中心0,2πk . ⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数,则 )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.×只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的.⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称奇偶都要,二是满足奇偶性条件,偶函数：)()(x f x f =-,奇函数：)()(x f x f -=-奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.定义域不关于原点对称奇函数特有性质：若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .x ∉0的定义域,则无此性质⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数π=T ；x y cos =是周期函数如图；x y cos =为周期函数π=T ；212cos +=x y 的周期为π如图,并非所有周期函数都有最小正周期,例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １、几何法：２、描点法及其特例——五点作图法正、余弦曲线,三点二线作图法正、余切曲线. ３、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin ωx ＋φ的振幅|A|,周期2||T πω=,频率1||2f T ωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ即当x ＝0时的相位．当A ＞0,ω＞0时以上公式可去绝对值符号,由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长当|A|＞1或缩短当0＜|A|＜1到原来的|A|倍,得到y ＝Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．用y/A 替换yy=|cos2x +1/2|图象由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长0＜|ω|＜1或缩短|ω|＞1到原来的1||ω倍,得到y ＝sin ωx 的图象,叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．用ωx 替换x由y ＝sinx 的图象上所有的点向左当φ＞0或向右当φ＜0平行移动｜φ｜个单位,得到y ＝sinx ＋φ的图象,叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．用x ＋φ替换x由y ＝sinx 的图象上所有的点向上当b ＞0或向下当b ＜0平行移动｜b ｜个单位,得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．用y+-b 替换y由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin ωx ＋φA ＞0,ω＞0x ∈R 的图象,要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别; 4、反三角函数： 函数y ＝sin x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数,记作y ＝arcsin x ,它的定义域是－1,1,值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22ππ，－． 函数y ＝cos x ,x ∈0,π的反应函数叫做反余弦函数,记作y ＝arccos x ,它的定义域是－1,1,值域是0,π．函数y ＝tan x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数,记作y ＝arctan x ,它的定义域是－∞,＋∞,值域是⎪⎭⎫ ⎝⎛-22ππ，．函数y ＝ctg x ,x ∈0,π的反函数叫做反余切函数,记作y ＝arcctg x ,它的定义域是－∞,＋∞,值域是0,π．II.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数,故x x arcsin )arcsin(-=-,[]1,1-∈x 一定要注明定义域,若()+∞∞-∈,x ,没有x 与y 一一对应,故x y sin =无反函数注：x x =)sin(arcsin ,[]1,1-∈x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶,但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-,[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ,[]1,1-∈x ,[]π,0arccos ∈x .②x y cos =是偶函数,x y arccos =非奇非偶,而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =,定义域),(+∞-∞,值域2,2ππ-,x y arctan =是奇函数,x x arctan )arctan(-=-,∈x ),(+∞-∞. 注：x x =)tan(arctan ,∈x ),(+∞-∞.⑷反余切函数：x arc y cot =,定义域),(+∞-∞,值域2,2ππ-,x arc y cot =是非奇非偶. ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-,∈x ),(+∞-∞. 注：①x x arc =)cot cot(,∈x ),(+∞-∞.②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数,x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ. ⑵正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围解集a 的取值范围解集①a x =sin 的解集②a x =cos 的解集a ＞1∅a ＞1∅a =1{}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|πa =1{}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π a ＜1(){}Zk a k x x k∈-+=,arcsin 1|πa ＜1{}Z k a k x x ∈±=,arccos |π③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式. 组一组二 组三三角函数不等式x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x xxx f sin )(=在),0(π上是减函数 若π=++C B A ,则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++高中数学第五章-平面向量考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．考试要求：1理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念．2掌握向量的加法和减法．3掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件．4了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算．5掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件．6掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用掌握平移公式．§05.平面向量知识要点1.本章知识网络结构2.向量的概念1向量的基本要素：大小和方向.2向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法a ＝ｘｉ＋ｙj ＝ｘ,ｙ. 3向量的长度：即向量的大小,记作｜a ｜. 4特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.ααααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()αββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=n n n5相等的向量：大小相等,方向相同ｘ1,ｙ1＝ｘ2,ｙ2⎩⎨⎧==⇔2121y y x x6相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =07平行向量共线向量：方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法坐标方法运算性质向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则向量的 减法三角形法则AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时,a a λ与同向;λ<0时,a a λ与异向; λ=0时,0a λ=.向 量 的 数 量 积a b •是一个数1.00a b ==或时,0a b •=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=且时，4.重要定理、公式1平面向量基本定理e 1,e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1, λ2,使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λbb ≠0⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. 3两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. 4线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ,即P P 1＝λ2PP ,则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP 线段的定比分点的向量公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x 线段定比分点的坐标公式 当λ＝1时,得中点公式：OP ＝211OP ＋2OP 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x 5平移公式设点Px ,y 按向量a ＝ｈ,ｋ平移后得到点P ′x ′,y ′,则P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝fx 按向量a ＝ｈ,ｋ平移后所得的曲线的函数解析式为：y －ｋ＝fx －ｈ6正、余弦定理 正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A , b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B , c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 7三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a,b,c,其高分别为h a ,h b ,h c ,半周长为P ,外接圆、内切圆的半径为R,r . ①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P ---海伦公式 ⑥S △=1/2b+c-ar a 如下图=1/2b+a-cr c =1/2a+c-br b注：到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心. 如图： 图1中的I 为S △ABC 的内心,S △=Pr图2中的I 为S △ABC 的一个旁心,S △=1/2b+c-ar a 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆,若BC =a ,AC =b ,AB =c 注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++ 则：①AE=a s -=1/2b+c-a ②BN=b s -=1/2a+c-b ③FC=c s -=1/2a+b-c综合上述：由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边如图4.AB Oa cI A BC D EF IABC D E Fr arar abc a a b c ACNE F特例：已知在Rt △ABC,c 为斜边,则内切圆半径r =cb a abc b a ++=-+2如图3. ⑹在△ABC 中,有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ,所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+,∴结论⑺在△ABC 中,D 是BC 上任意一点,则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222.证明：在△ABCD 中,由余弦定理,有 B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=① 在△ABC 中,由余弦定理有 BC AB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②,②代入①,化简可得,DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222斯德瓦定理①若AD 是BC 上的中线,2222221a cb m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线,()a p p bc cb t a -⋅+=2,其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高,()()()c p b p a p p ah a ---=2,其中p 为半周长.⑻△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A+∠B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A+∠B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A+∠B ＞2π 附：证明：abc b a C 2cos 222-+=,得在钝角△ABC 中,222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.空间向量1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b 记作b a //．DACB图5。

专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x=，若A B =，则2x y +=______.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R A B ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2xA y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U A B⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M ⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且BA ，求实数m 的值.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R (1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.【答案】2【分析】分1a =，222a a a =-+分别求解，再根据元素的互异性即可得答案.【详解】解：当1a =时，则2221a a -+=不满足元素的互异性，故1a ≠；所以222a a a -+=，解得:1a =(舍)或2a =，故实数a 的值为2.故答案为：2.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________【答案】7【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n ，o ，t ，e ，b ，k ，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.【答案】101-.【分析】由集合相等和元素互异性，进行求解.【详解】由题意得101,101,a a ≠⎧⎨=⎩所以101a =-.故答案为：-101.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．【答案】14【分析】根据元素特征，采用列举法表示出集合B ，由此可得元素个数.【详解】由题意得：()()()()()()()()()(){()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B =()()()}4,1,5,1,6,1，B ∴中元素个数为14.故答案为：14.练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x =，若A B =，则2x y +=______.【答案】2【分析】根据集合相等可得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】由集合元素的互异性可知20x ≠，则0x ≠，因为A B =，则200x x y x ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，因此，22x y +=.故答案为：2.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．【答案】1-【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.【详解】由集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则集合B 中21a =或1b =，若21a =，则1a =-或1(a =舍去)，此时1b ≠±且0b ≠；若1b =，则集合A 中21b =，不符合集合中元素的互异性，不成立，综上， 1.a =-故答案为：1-练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．【答案】1【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【详解】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，显然0a ≠，故0ba=，则0b =；此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ，则21a =，解得1a =或1-.当1a =时，不满足互异性，故舍去；当1a =-时，满足题意.所以2022202220222022(1)01a b +=-+=故答案为：1.题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】根据题意得到集合B ，然后根据集合B 中元素的个数求集合B 的真子集个数即可.【详解】由题意得{}1,0,1B =-，所以集合B 的真子集个数为3217-=.故选：C.例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈，故①错误；由集合与集合的关系可知{}{}10,1,2⊆，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数【答案】(1){R 5A x x =≥ð或}1x ≤-(2)8【分析】（1）根据补集的定义即可得解；（2）根据交集的定义求出A B ⋂，再根据子集的定义即可得解.【详解】（1）因为{}|15A x x =-<<，所以{R 5A x x =≥ð或}1x ≤-；（2）{}{}Z 182,3,4,5,6,7B x x =∈<<=，所以{}2,3,4A B = ，所以A B ⋂的子集个数有328=个.练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解.【详解】A ={第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角．B ={锐角}，是指大于0 而小于90 的角．C ={小于90 的角}，小于90 的角包括锐角，零角和负角．根据集合的含义和基本运算判断：①A B C ==，①错误；②A C ⊆，比如，361A ∈ ，但361C ∉ ，②错误；③C A ⊆，比如0C ∈ ，但0A ∉ ，③错误；④A C B ⊆=，④错误；∴正确命题个数为0个．故选：A ．练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据集合A 与集合B 中方程的几何意义，利用直线过圆心判断直线与圆的位置关系，确定交集中元素的个数，进而求解.【详解】集合(){}22,|4A x y x y =+=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合(){}|,0B x y x y =+=表示直线0x y +=上的所有点，因为直线0x y +=经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A B ⋂的元素个数有2个，则A B ⋂的子集个数为4个，故选：D .练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A =∈∣且}{1,6,7}x B ∉=，其非空真子集的个数为3226-=.故选：B练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集【答案】BD【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD 的正误；选项B ，通过解方程，可求出集合{}2|320x x x -+=中的元素，从而判断出选项B 正确；选项C ，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合{}|,R y y x x =∈与{}2|,R y y x x =∈间的关系，从而判断出选项C 错误.【详解】对于选项A ，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A 错误；对于选项B ，由2320x x -+=，得到1x =或2x =，所以{}{}2|3201,2x x x -+==，所以选项B 正确；对于选项C ，因为{}|,R R y y x x =∈=，{}{}2|,R |0y y x x y y =∈=≥，所以{}{}2|,R |,R y y x x y y x x =∈⊆=∈，所以选项C 错误；对于选项D ，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确.故选：BD题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A xB x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= ，故选：D.例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用补集的定义求解作答.【详解】集合(){}|20[0,2]A x x x =-≤=，而全集[0,)U =+∞，所以(2,)U A =+∞ð.故选：A练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由条件可知，{}{}30,1,2A x x =∈<=N ，{}23203B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，所以{1,2}A B = ．故选：C.练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣【答案】B【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为{2}{04},{73}M x x x x N x x =<=≤<=-<<∣∣∣所以{|03}M N x x ⋂=≤<.故选：B练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-【答案】C【分析】先解绝对值不等式得出集合，再根据交集并集概念计算求解即可.【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A B ⋂=，(]1,4A B =- .故选：C.练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 【答案】B【分析】计算{}21A x x =-<<，再计算补集得到答案.【详解】{}{}2|2021A x x x x x =+-<=-<<，则(3,2][1,3)U A =--⋃ð.故选：B练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合(){}{}{}lg 2202M x y x x x x x ==-=-=，即(2,)M =+∞，e 11x +>，则(1,)N =+∞，所以()1,M N =+∞U .故选：B题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3【答案】A【分析】解出集合{|1M x x =≤-或}3x ≥，再根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】12x -≥，解得3x ≥或1x ≤-，则{|1M x x =≤-或}3x ≥，则()R 1,3M =-ð，故(){}R 0,1,2M N ⋂=ð，故选：A.例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R AB ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合,A B ，然后利用集合的运算逐项进行判断即可求解.【详解】集合{|21}{|0}x A x x x ==>>，集合{|ln 1}{|e}B x x x x =>=>，所以R {|0}A x x =≤ð，R {|e}B x x =≤ð，对于A ，()R {|0e}A B x x =<≤ ð，故选项A 不满足题意；对于B ，()A B =∅R I ð，故选项B 满足题意；对于C ，={|e}A B x x > ，故选项C 不满足题意；对于D ，()(){|0}A B x x =≤R R 痧，故选项D 不满足题意，故选：B .练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3【答案】B【分析】由集合的运算求解.【详解】(){}{}{}2,4,62,42,3,4U A B ⋂==⋂ð.故选：B练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4【答案】A【分析】由{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤可知集合U 中的元素，再由(){}1,3,5,7U A B = ð即可求得集合B .【详解】由(){}1,3,5,7U A B = ð知，{}{}1,3,5,71,3,5,,7U B A ⊆⊆ð又因为{}{}7017N 2356|04U A B x x =⋃=∈≤≤=，，，，，，，，所以B ={}0,2,4,6.故选：A.练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个【答案】B【分析】首先求集合,M N ，再求集合的运算.【详解】先求{}1,2M =，{Z 1}5}2,4|,{3N x x =∈<<=，所以{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð，所以子集的个数为122=.故选：B练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}【答案】C【分析】利用集合的交并补运算即可求解.【详解】{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，{1,3,4,5,6,7}A B = ，故(){}2,8I A B ⋃=ð．故选：C ．练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2x A y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()B A R ð.【详解】因为{}{}20xA y y y y ===>，(){}{}22log 323203B x y x x x x x ⎧⎫==-=->=>⎨⎬⎩⎭，则23B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，因此，()R 20,3B A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：C.题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】化简集合M ，N ，根据集合的运算判断{}|10x x -≤<为两集合交集即可得解.【详解】{}|10[1,)M x x =+≥=-+∞ ，{}|21(,0)xN x =<=-∞，{}|10M N x x ∴-=≤< ,由Venn 图知，A 符合要求.故选：A例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U AB ⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð【答案】D【分析】利用Venn 图表示集合,,U A B ，结合图像即可找出表示空集的选项.【详解】由Venn 图表示集合,,U A B 如下：，由图可得()U BA B A = 痧，A B A = ，()()U U UA B B ⋂=痧，()U A B =∅ ð，故选：D练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用图象求得正确答案.【详解】{}0,1,2A B = ，所以:A 选项，阴影部分表示{}0,1,2，不符合题意.B 选项，阴影部分表示{}4,8，符合题意.C 选项，阴影部分表示{}3，不符合题意.D 选项，阴影部分表示{}3,4,8，不符合题意.故选：B练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】全集为U ，集合{}2,1,1,2A =--，{}1,0,1,2,3B =-，{}{}1,1,2,2,1,0,1,2,3A B A B ⋂=-⋃=--,图中阴影部分表示是A B ⋃去掉A B ⋂的部分，故表示的集合是{}2,0,3-．故选：D ．练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð【答案】AC 【分析】分析出阴影部分为M P 和U S ð的子集，从而选出正确答案.【详解】图中阴影部分是M P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即U S ð的子集，满足要求的为()()U U P S M M P S ⎡⎤=⎣⎦ 痧，均表示阴影部分,BD 不合要求.故选：AC练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％【答案】C【分析】根据公式()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂列方程求解即可.【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，这两组的比练习数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比练习，设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习为x ，则对物理或历史感兴趣的同学的比练习是56％＋74％－x ，所以56％＋74％－x ＝90％，解得40x =％，故选：C.练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【答案】B 【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-【答案】B 【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.【详解】由题意可得：23a +=或22a a +=若23a +=，此时211a a =⇒=，集合A 的元素有重复，不符合题意；若22a a +=，解得2a =或1a =-，显然2a =时符合题意，而211a a =-⇒=同上，集合A 的元素有重复，不符合题意；故2a =.故选：B例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m =或12m =-或0m =【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】{}{}2|603,2A x x x =+-==-，当0m =时，B =∅A ，当0m ≠时，1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，因为B A ，所以13m -=-或12m-=，所以13m =或12-，综上所述，13m =或12m =-或0m =.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．【答案】(1){}25A C B x x ⋃=-≤≤R (2)1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或【分析】(1)根据题意，先求出集合A 的补集，再利用集合的并集运算求解即可；(2)根据集合的包含关系分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论即可求解.【详解】（1）若1a =-，则集合{}22A x x =-≤≤，所以{}15B x x =-≤≤R ð，所以{}25A C B x x ⋃=-≤≤R ；（2）因为集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >，因为A B ⋂=∅，所以分以下两种情况：若A =∅，即23a a >+，解得3a >，满足题意，若A ≠∅，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩解得122a -≤≤，综上所述a 的取值范围为1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >【答案】B【分析】先求出A R ð，根据()A B =∅R ð，可求得结果.【详解】由集合{2A x x =<∣或4}x ≥，得{24}A x x =≤<R ∣ð，又集合{}1B x a x a =≤≤+∣且()A B =∅R ð，则1a +<2或4a ≥，即1a <或4a ≥.故选：B.练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】根据集合的包含关系列出关于a 的不等式组即可.【详解】由已知可得，集合{}13A xx =-≤≤∣，{}5B x a x a =-<<，因为A B ⊆，所以351a a >⎧⎨-<-⎩，（注意端点值是否能取到），解得34a <<，故选：B ．练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(){}|20U M P x x =-≤≤ ð；(2)71,,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.（2）求出U P ð，U M P ⊆ð，分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.【详解】（1）当0a =时，{}|05=<<M x x ，{}|21P x x =-≤≤，所以{0U M x x =≤ð或5}x ³，(){}|20U M P x x ⋂=-≤≤ð；（2） 全集U =R ，{}|21P x x =-≤≤，{2U P x x ∴=<-ð或1}x >，⊆ U M P ð，∴分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论.（1）当M 蛊时，如图可得，325252a a a <+⎧⎨+≤-⎩或32531a a a <+⎧⎨≥⎩，72a ∴≤-或153a ≤<；（2）当M =∅时，应有：325a a ≥+，解得5a ≥；综上可知，72a ∴≤-或13a ≥，故得实数a 的取值范围71,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R(1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð(2)(][],10,1-∞-⋃【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；（2）分B =∅与B ≠∅由条件列不等式求范围即可.【详解】（1）当2a =时，{}06B x x =<<，所以{0U B x x =≤ð或}6x ≥，又{}23A x x =-≤≤，所以(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð.（2）由题可得：当B =∅时，有23a a -≥，解得a 的取值范围为(],1-∞-；当B ≠∅时有232233a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得a 的取值范围为[]0,1，综上所述a 的取值范围为(][],10,1-∞-⋃.。

数列求解通项的方法总结方法一、公式法当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。

1、等差数列通项公式： dn a a n )1(1-+=2、等比数列通项公式：例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．11-=n n q a a方法二、利用前n 项和与通项的关系已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝{)1()2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。

例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n+3．求{a n }的通项公式；（2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n 项和为T n ，求T n ．方法三、利用递推关系式与通项的关系类型1、累加法 形如)(1n f a a n n +=+例3、（2014·全国卷）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.变式3、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

高三第一轮复习专题 平面向量表示、三点共线研究 一、平面向量基本定理：设12,e e 是同一平面内两个不共线向量，a 是这一平面内的任一向量。

在平面内任取一点O ，作12,,OA e OB e OC a ===，过C 作OB 的平行线，交直线OA 于M ；过C 作OA 的平行线，交直线OB 于N 。

因OM 与OA 共线，则存在实数1λ，使得：11OM e λ=；因ON 与OB 共线，则存在实数2λ，使得：22ON e λ=； OC OM ON =+1122a e e λλ∴=+也即，任一向量a 都可表示成1122e e λλ+的形式。

平面向量基本定理：若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得：1122a e e λλ∴=+。

（也可称为a 用12,e e 表示出来）不共线向量12,e e 称为表示这一平面内所有向量的一组基底，12,e e 称为基向量。

例1。

ABCD 两条对角线交于O ，AB a =，AD b =，用a 、b 表示OA 、OB 、OC 、OD 。

2e2ea解：AC AB AD a b =+=+，DB AB AD a b =-=-O ABCD 为两条对角线的交点()1122OA AC a b ∴=-=-+，()1122OC AC a b ==+()1122OB DB a b ==-， ()1122OD DB a b =-=--。

故在一个图形中，任意两个不共线向量都可以作为一组基底，其余向量都可用这一组基向量表示出来。

在具体问题中，基向量的选择十分重要，它决定了是否容易表示。

二、向量的表示：★★★★★在研究向量间关系时，常先取两个基向量作为一组基底，其余向量用这两个基向量表示出来，这样能够更清晰地找出所研究向量间的关系。

1.，其余向量用这两个基向量表示出来。

例。

在ABC 中，2BD DC =，设,AB a AC b ==，用,a b 表示AD 。