天津科技大学2014数学建模竞赛题

日期时间SPD十分钟平均风速(m/s)风向12011/4/13 8:00 2.5西22011/4/14 8:00 1.4西32011/4/15 8:000.1西北42011/4/16 8:00 2.7东北52011/4/17 8:00 1.2东北62011/4/18 8:00 2.9南72011/4/19 8:00 2.4西82011/4/20 8:00 4.9西92011/4/21 8:00 3.7西102011/4/22 8:000.7北112011/4/23 8:00 2.2西南122011/4/24 8:00 1.2西南132011/4/25 8:000.2西142011/4/26 8:000.4北152011/4/27 8:00 1.4东南162011/4/28 8:000.9西北172011/4/29 8:00 1.6西182011/4/30 8:00 1.7北192011/5/1 8:001北202011/5/2 8:001西北212011/5/3 8:00 1.9北222011/5/4 8:00 1.8东南232011/5/5 8:002西242011/5/6 8:000.8北252011/5/7 8:00 2.5西北262011/5/8 8:00 2.8西北272011/5/9 8:00 1.7西北282011/5/10 8:00 2.3西北292011/5/11 8:00 1.1东北302011/5/12 8:001东北312011/5/13 8:00 1.6西南322011/5/14 8:00 4.2西332011/5/15 8:00 2.9西342011/5/16 8:000.3西南352011/5/17 8:00 2.1西南362011/5/18 8:00 2.5西南372011/5/19 8:00 1.8西382011/5/20 8:00 1.7西392011/5/21 8:002西402011/5/22 8:00 3.5西北412011/5/23 8:003东南422011/5/24 8:00 2.7西南432011/5/25 8:00 1.7西南442011/5/26 8:00 2.4南452011/5/27 8:00 1.9南472011/5/29 8:00 2.4西南482011/5/30 8:00 3.3西492011/5/31 8:00 1.4南502011/6/1 8:00 1.4东512011/6/2 8:000.8西522011/6/3 8:00 1.8东北532011/6/4 8:00 2.6北542011/6/5 8:00 3.2北552011/6/6 8:002东北562011/6/7 8:00 2.1东北572011/6/8 8:00 1.7东北582011/6/9 8:00 1.8北592011/6/10 8:000.9西北602011/6/11 8:00 2.3东北612011/6/12 8:00 1.6东622011/6/13 8:00 2.6北632011/6/14 8:002北642011/6/15 8:00 4.1北652011/6/16 8:00 3.3西北662011/6/17 8:003北672011/6/18 8:00 2.8西北682011/6/19 8:002西692011/6/20 8:00 1.3西南702011/6/21 8:00 3.6西南712011/6/22 8:007.2西722011/6/23 8:009.7西北732011/6/24 8:00 4.1西北742011/6/25 8:00 2.6东752011/6/26 8:00 1.4东762011/6/27 8:00 1.4东772011/6/28 8:00 1.8东北782011/6/29 8:00 5.6北792011/6/30 8:00 4.6西北802011/7/1 8:00 3.6西北812011/7/2 8:00 2.7北822011/7/3 8:00 1.9北832011/7/4 8:00 1.3东北842011/7/5 8:00 2.1东北852011/7/11 8:000.7东南862011/7/12 8:000.8西872011/7/13 8:00 2.9西882011/7/14 8:000.8西892011/7/15 8:000西902011/7/16 8:00 4.5东北912011/7/17 8:00 3.3东北922011/7/18 8:00 3.5东942011/7/20 8:00 2.9东北952011/7/21 8:00 1.1北962011/7/22 8:002北972011/7/23 8:00 1.1西北982011/7/24 8:000.8东南992011/7/25 8:00 1.7东1002011/7/26 8:00 1.3北1012011/7/27 8:00 1.7西南1022011/7/28 8:00 2.1南1032011/7/29 8:00 4.4西1042011/7/30 8:00 4.2西1052011/7/31 8:00 1.5西1062011/8/1 8:00 1.4东南1072011/8/2 8:000.5东1082011/8/3 8:00 1.6东1092011/8/4 8:00 3.6东北1102011/8/5 8:000.7东南1112011/8/6 8:000.4东北1122011/8/7 8:000.5东1132011/8/8 8:000.2东南1142011/8/9 8:000.6北1152011/8/10 8:00 2.3西北1162011/8/11 8:00 1.4西北1172011/8/12 8:00 1.7西北1182011/8/13 8:000.9北1192011/8/14 8:001东北1202011/8/15 8:00 1.3东北1212011/8/16 8:001东北1222011/8/17 8:00 2.1西1232011/8/18 8:00 2.6西北1242011/8/19 8:00 1.5西1252011/8/20 8:00 1.4西1262011/8/21 8:001南1272011/8/22 8:000.2东南1282011/8/23 8:00 1.4东北1292011/8/24 8:00 1.7东北1302011/8/25 8:00 1.1南1312011/8/26 8:00 2.1西南1322011/8/27 8:00 2.9西南1332011/8/28 8:00 1.9南1342011/8/29 8:00 3.5东南1352011/8/30 8:00 2.8东南1362011/8/31 8:00 3.4东南1372011/9/1 8:00 2.6东南1382011/9/2 8:000.4东1392011/9/3 8:00 1.1西北1412011/9/5 8:000.1东南1422011/9/6 8:00 1.1西北1432011/9/7 8:00 2.2西1442011/9/8 8:00 1.8西南1452011/9/9 8:00 2.2西1462011/9/10 8:00 2.7西1472011/9/11 8:00 3.6西南1482011/9/12 8:00 3.2西1492011/9/13 8:00 2.2西南1502011/9/14 8:00 1.8西1512011/9/15 8:00 2.5西1522011/9/16 8:00 1.9西南1532011/9/17 8:00 2.1南1542011/9/18 8:00 2.4西1552011/9/19 8:00 1.9西南1562011/9/20 8:003西南1572011/9/21 8:00 4.1西南1582011/9/22 8:00 4.2西南1592011/9/23 8:00 2.8西南1602011/9/24 8:00 4.2西南1612011/9/25 8:00 3.5西南1622011/9/26 8:00 4.2西1632011/9/27 8:000.7西南1642011/9/28 8:00 3.3西南1652011/9/29 8:008西1662011/9/30 8:00 4.9西1672011/10/1 8:00 5.9西1682011/10/2 8:00 3.6西南1692011/10/3 8:00 6.4西南1702011/10/4 8:00 3.3西南1712011/10/5 8:00 3.8西南1722011/10/6 8:00 2.8西南1732011/10/7 8:00 2.2西南1742011/10/8 8:00 2.5西南1752011/10/9 8:00 1.6西南1762011/10/10 8:00 2.4西南1772011/10/11 8:00 2.9西南1782011/10/12 8:00 3.9西1792011/10/13 8:00 3.5西1802011/10/14 8:00 2.9西南1812011/10/15 8:00 3.8西南1822011/10/16 8:00 2.6西南1832011/10/17 8:00 2.1西南1842011/10/18 8:00 2.5西南1852011/10/19 8:00 3.6西1862011/10/20 8:00 2.8西南1882011/10/22 8:00 1.8西南1892011/10/25 8:00 3.4西南1902011/10/26 8:00 3.6西南1912011/10/27 8:00 4.4西1922011/10/28 8:00 2.4西南1932011/10/29 8:00 1.7西南1942011/10/30 8:00 2.9西南1952011/10/31 8:00 4.5西1962011/11/1 8:00 2.7西南1972011/11/2 8:002西南1982011/11/3 8:00 1.6南1992011/11/4 8:00 2.6西2002011/11/5 8:00 1.5西南2012011/11/6 8:00 2.3西南2022011/11/7 8:00 2.7西南2032011/11/8 8:00 3.4西南2042011/11/12 8:000北2052011/11/13 8:00 2.2西南2062011/11/14 8:00 2.5西南2072011/11/15 8:00 2.6西南2082011/11/16 8:00 2.1西南2092011/11/17 8:00 2.1西南2102011/11/18 8:000.8西2112011/11/19 8:002南2122011/11/20 8:00 3.1西南2132011/11/21 8:00 3.6西南2142011/11/22 8:00 2.8西南2152011/11/23 8:00 4.5西南2162011/11/24 8:00 3.8西南2172011/11/25 8:00 2.8西南2182011/11/26 8:00 3.7西南2192011/11/27 8:00 1.1西南2202011/11/28 8:00 2.4西2212011/11/29 8:00 2.4西2222011/11/30 8:00 1.5西南2232011/12/1 8:00 4.4南2242011/12/2 8:00 4.7南2252011/12/3 8:00 2.5南2262011/12/4 8:00 3.3西南2272011/12/5 8:00 2.9西2282011/12/6 8:00 2.2西2292011/12/7 8:00 2.9西南2302011/12/8 8:00 5.8南2312011/12/9 8:00 5.5南2322011/12/10 8:00 5.4南2332011/12/11 8:004南2352011/12/13 8:00 2.1西南2362011/12/14 8:00 1.7南2372011/12/15 8:003西南2382011/12/16 8:005西南2392011/12/17 8:00 3.3西南2402011/12/18 8:00 3.6西南2412011/12/19 8:00 2.8西南2422011/12/20 8:00 2.5西南2432011/12/21 8:00 3.2西南2442011/12/22 8:004南2452011/12/23 8:003西南2462011/12/24 8:00 5.6西南2472011/12/25 8:004西南2482011/12/26 8:00 3.4西南2492011/12/27 8:00 2.8西2502011/12/28 8:00 1.4南2512011/12/29 8:004西2522011/12/30 8:00 3.2西南2532012/1/1 8:00 2.6西南2542012/1/4 8:00 5.5西南2552012/1/18 8:00 3.1西2562012/1/19 8:00 2.1西2572012/1/20 8:00 4.5西2582012/1/21 8:00 4.4西2592012/1/22 8:00 4.6西南2602012/1/23 8:00 3.9西南2612012/1/24 8:00 4.3西南2622012/1/25 8:00 4.3南2632012/1/26 8:00 3.9西南2642012/1/27 8:00 2.8西南2652012/1/28 8:00 2.3西南2662012/1/29 8:002西南2672012/1/30 8:00 3.3西南2682012/1/31 8:00 3.6西南2692012/2/1 8:00 3.1西2702012/2/2 8:00 3.9西南2712012/2/3 8:00 3.3西南2722012/2/4 8:00 3.5西2732012/2/5 8:003西2742012/2/6 8:00 3.2西2752012/2/7 8:00 4.4南2762012/2/8 8:004西南2772012/2/9 8:004西2782012/2/10 8:00 2.7西南2792012/2/11 8:00 3.5西南2802012/2/12 8:00 2.4西南2822012/2/14 8:00 2.1西2832012/2/15 8:00 1.5西南2842012/2/16 8:00 3.2西南2852012/2/17 8:00 4.1西南2862012/2/18 8:00 4.1西南2872012/2/19 8:00 4.4西南2882012/2/20 8:00 1.5西南2892012/2/21 8:003西2902012/2/22 8:00 3.1西2912012/2/23 8:00 2.1西北2922012/2/24 8:00 3.6西北2932012/2/25 8:00 3.3西南2942012/2/26 8:00 4.7西南2952012/2/27 8:00 4.4西南2962012/2/28 8:00 2.3西南2972012/2/29 8:00 5.8西南2982012/3/1 8:00 2.5西南2992012/3/2 8:00 2.7西3002012/3/3 8:00 4.9西3012012/3/4 8:004西3022012/3/5 8:003西北3032012/3/6 8:00 3.7西北3042012/3/7 8:00 3.7西北3052012/3/8 8:00 4.9西3062012/3/9 8:00 3.7西南3072012/3/10 8:00 3.7西南3082012/3/11 8:003西南3092012/3/12 8:00 3.8西南3102012/3/13 8:00 2.7西南3112012/3/14 8:00 2.7西南3122012/3/15 8:00 5.9西3132012/3/16 8:00 2.1西3142012/3/17 8:00 1.5西3152012/3/18 8:000.4西南3162012/3/19 8:00 4.7西3172012/3/20 8:003西3182012/3/21 8:00 3.9西3192012/3/22 8:00 2.4西3202012/3/23 8:000.8西南3212012/3/24 8:00 5.1西南3222012/3/25 8:00 2.5西南3232012/3/26 8:00 3.1西南3242012/3/27 8:00 4.9西3252012/3/28 8:00 3.4西3262012/3/29 8:003西3272012/3/30 8:00 2.6西。

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题创意平板折叠桌某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。

试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

图1图2图3图4附件：视频2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C题生猪养殖场的经营管理某养猪场最多能养10000头猪，该养猪场利用自己的种猪进行繁育。

承诺书我们认真阅读了中国大学生数学建模比赛的比赛规则.我们完好理解，在比赛开始后参赛队员不可以以任何方式（包含电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包含指导教师）研究、议论与赛题有关的问题。

我们知道，剽窃他人的成就是违犯比赛规则的 , 假如引用他人的成就或其余公然的资料（包含网上查到的资料），一定依据规定的参照文件的表述方式在正文引用途和参照文件中明确列出。

我们郑重许诺，严格恪守比赛规则，以保证比赛的公正、公正性。

若有违犯比赛规则的行为，我们将遇到严肃办理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛队号为（赛区已经给每个队设置）：08*** ×××所属学校（请填写完好的全名）：东北石油大学参赛队员(打印并署名 ) ： 1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并署名 )：×××日期： 2014 年 08 月 25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅行进行编号）：08003嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略纲要重点词：实质通行能力、通行量饱和度、偏差修正、多项式拟合与插值、车流颠簸理论一、问题重述嫦娥三号于2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分红功发射， 12 月 6 日到达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运转质量为 2.4t ，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N 到7500N 的可调理推力，其比冲（即单位质量的推动剂产生的推力）为2940m/s，能够知足调整速度的控制要求。

在周围安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动经过多个发动机的脉冲组合实现各样姿态的调整控制。

嫦娥三号的预约着陆点为19.51W ， 44.12N ，海拔为 -2641m。

嫦娥三号在高速飞翔的状况下，要保证正确地在月球预约地区内实现软着陆，一定对着陆轨道和控制策略进行设计。

要求着陆轨道近月点为15km ，远月点100km 的椭圆轨道。

天津科技大学2014年《高等数学》竞赛试题参考解答一、填空题1．极限=--∞→201320142014)1(lim nn n n 2014 ． 解：2013201222014201310142014201320142014)12014(lim )1(lim n n C n n n n n n n n -++--=--∞→∞→2014)12014l i m 20132012220142013=++-=∞→nn C n n ． 2．设函数)()(x a x x f ϕ-=，其中函数)(x ϕ在a x =点连续，则函数)(x f 在a x =点处可导的充分必要条件是)(=a ϕ．证明：若0)(=a ϕ，则0)(l i m )()(li m =--=--→→a x x a x a x a f x f a x ax ϕ（其中ax a x --是有界函数，)(x ϕ是无穷小），所以函数)(x f 在a x =点处可导．反之，若)()(x a x x f ϕ-=在a x =处可导，则极限ax x a x a x a f x f a x ax --=--→→)(lim )()(limϕ存在，此时必有0)(=a ϕ，否则设0)(≠=c a ϕ，于是c ax x a x a x a f x f a x ax =--=--++→→)(lim )()(lim ϕ； c ax x a x a x a f x f a x a x -=--=----→→)(lim )()(lim ϕ，与a x x a x a x a f x f a x a x --=--→→)(lim )()(limϕ存在矛盾，所以0)(=a ϕ．3．当e210<<a 时，曲线2ax y =与曲线x y ln =之间有 2 个交点． 证明：解：设函数2ln )(ax x x f -=（0>x ），则a xx f ax x x f 21)(21)(2--=''-='、．有0)(='x f ，得函数)(x f 的唯一驻点ax 21=，而当ax 210<<时，0)(>'x f ，函数)(x f 在区间)210(a，内单调增加，则)(x f 在区间)210(a，内至多有一个零点；当ax 21>时，0)(<'x f ，函数)(x f 在区间)21(∞+，a内单调减少，则函数)(x f 在区间)21(∞+，a内至多有一个零点，所以函数)(x f 至多有两个零点．同时ax 21=是函数)(x f 的最大值，且最大值为)12(ln 21)21(+-==a af M ，由于e 210<<a ，有e120<<a ，所以0>M ，又0][ln lim )(lim 200<-∞=-=++→→ax x x f x x ，0][ln lim )(lim 2<-∞=-=+∞→+∞→ax x x f x x ，所以函数)(x f 在区间)210(a，与)21(∞+，a内各至少有一个零点．综上，函数)(x f 有且仅有两个零点，即曲线2ax y =与曲线x y ln =之间有且仅有两个交点．4．设)(x f 是在区间+∞-∞,(）内有定义的连续函数，且对任何实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+，则定积分=+⎰-ππx x x f )d cos )(1( 0 ．解：用0==y x 代入到)()()(y f x f y x f +=+之中，有)0()0()0(f f f +=，得0)0(=f ．⎰⎰-+-++=+-πππ)]}d cos()[1()cos )(1({)d cos )(1(x x x f x x f x x x f0)d cos (1)0()d cos (1)()d cos (1)]()([0=+=+-=+-+=⎰⎰⎰πππx x f x x x x f x x x f x f ．或者：根据条件可得)(x f 是奇函数，于是)cos )(1(x x f +也是奇函数，所以0)d cos )(1(=+⎰-ππx x x f ．5．设函数)(u f 可微，且21)0(='f ，则函数)4(22y x f z -=在点)21(，处的全微分=)2,1(d zyx d 2d 4-．解：因为)d 2d 8)(4(d 22y y x x y x f z --'=，所以y x y x f z d 2d 4)d 4d 8)(0(d )2,1(-=-'=．二、单项选择题1．设)1l n ()c o s 1()(3x x x +-=α、1e)(sin -=-xx x β、⎰=x t t x sin 03d sin )(γ，当0→x 时，它们都是无穷小，将它们由低阶到高阶进行排列，其顺序是（ D ）．（A ）)()()(x x x γβα，， （B ）)()()(x x x αβγ，，（C ）)()()(x x x γαβ，， （D ）)()()(x x x αγβ，，解：因为22~)1ln()cos 1()(5323x x x x x x =⋅+-=α，所以)(x α为x 的5阶无穷小； 因为6~sin ~1e(x)3sin x s x xx --=-β，所以)(x β为x 的3阶无穷小；因为41sin lim 414cos )sin(sin lim d sin lim)(lim3303304sin 0304==⋅==→→→→⎰x x xx x x t t xx x x x x x γ，所以)(x γ为x 的4阶无穷小．于是它们由低阶到高阶进行排列，其顺序是)()()(x x x αγβ，，，选（D ）． 2．设函数)(x f 在区间),(+∞-∞内连续，且导函数)(x f '的图形如右图所示，则（ B ）．（A ）函数)(x f 有1个极小值点和2个极大值点，且曲线)(x f y =无拐点（B ）函数)(x f 有2个极小值点和2个极大值点，且曲线)(x f y =有一个拐点 （C ）函数)(x f 有2个极小值点和1个极大值点，且曲线)(x f y =无拐点 （D ）函数)(x f 有2个极小值点和1个极大值点，且曲线)(x f y =有一个拐点 解：如图函数)(x f '有三个零点a x =、b x =、c x =和一个不可导点d x =，并且在a x =、d x =的左侧附近0)(<'x f ；右侧附近0)(>'x f ，于是这两点为函数)(x f 的极小值点．在b x =、c x =的左侧附近0)(>'x f ；右侧附近0)(<'x f ，于是这两点为函数)(x f 的极大值点．又在区间),(d -∞及),(+∞d 内曲线)(x f y '=光滑，于是)(x f ''存在，且只在e x =处0)(=''e f ，在),(e -∞内)(x f '单调增加，有0)(>''x f ，在区间),(d e 内)(x f '单调减少，则0)(<''x f ，所以点))(,(e f e 是曲线)(x f y =的一个拐点．虽然在d x =点二阶导数不存在，但是在d x =左右两侧附近，)(x f '都单调减少，则0)(<''x f ，所以))(,(d f d 不是曲线)(x f y =的拐点．综上，函数)(x f 有2个极小值点和2个极大值点，且曲线)(x f y =有一个拐点，选（C ）． 3．如果对任何实数x ，都有]1)([)(-'=-'x f x x f ，且0)0(=f ，则0=x 是函数)(x f 的（ D ）．（A ）非驻点 （B ）驻点，但不是极值点（C ）极大值点 （D ）极小值点解：用x -代入方程]1)([)(-'=-'x f x x f ，有]1)([)(--'-='x f x x f ，得221)(x x x x f ++='． C x x x x xx x x f +-++=++=⎰arctan )1ln(21d 1)(222， 由0)0(=f ，得0=C ，所以x x x x f arctan )1ln(21)(2-++=． 由01)(22=++='xx x x f ，知0=x 为驻点，在)0,1(-内0)(<'x f ，在),0(+∞内，0)(>'x f ；所以0=x 为极小值点，选（D ）．4．设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，用“N M ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（ A ）．（A ）)(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数 （B ）)(x F 是偶函数)(x f ⇔是偶函数 （C ）)(x F 是周期函数)(x f ⇔是周期函数 （D ）)(x F 是单调函数)(x f ⇔是单调函数 解：由)(x F 是偶函数，根据导数的性质，得)()(x F x f '=是奇函数．反之由)(x f 是奇函数，则⎰x t t f 0d )(是偶函数，而C t t f x F x+=⎰0d )()(也是偶函数，所以“)(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数”．选（A ）排除（B ）可以用例子：1)(=x f ，1)(+=x x F ；排除（C ）可以用例子：x x f cos 1)(+=，x x x F sin )(+=；排除（D ）可以用例子：x x f =)(在∞+-∞，(）内x x f 2)(=，2)(x x F =． 5．该题理工科类考生作（1）、经管类考生作（2）．（1）设函数42e )(y x y x f +=，，则函数在原点处的偏导数情况是（ C ）．（A ）)00(，x f '、)00(，y f '都存在 （B ）)00(，x f '存在，)00(，y f '不存在 （C ）)00(，x f '不存在，)00(，y f '存在 （D ）)00(，x f '、)00(，y f '都不存在（2）设函数)(x f 在a x =点的一个邻域内有定义，则)(x f 在a x =点可导的充分条件是极限（ C ）存在． （A ）h h a f h a f h )()2(lim0+-+→ （B ）hh a f h a f h 2)()(lim 0--+→（C ）h h a f a f h )()(lim 0--→ （D ）)]()1([lim a f ha f h h -++∞→解：（1）因为xx x x f x f x xx x 000lim 1e lim )00()0(lim→→→=-=-，，不存在，所以)00(，x f '不存在； 因为0lim 1elim)00()y 0(lim2002==-=-→→→yy y yf f y y y y ，，存在，所以)00(，y f '存在，且0)00(='，y f ．选（C ）（2）令x h ∆=-，则)()()(lim )()(lim )()(lim000a f xa f x a f h a f h a f h h a f a f h h h '=∆-∆+=---=--→→→，于是h h a f a f h )()(lim 0--→存在是则)(x f 在a x =点可导的充分条件，选（C ）．（A ）、（B ）排除的理由是它们都没涉及到函数在a x =点的值，构造一个在a x =点不连续的函数即可，如令0=a ，构造函数⎩⎨⎧=≠=，，，，0001)(x x x f 则h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→及hh a f h a f h 2)()(lim--+→都存在（极限为零），但是)(x f 在0=x 点不可导．（D ）排除的理由是：)]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在只能保证右导数存在，如对函数⎩⎨⎧≥<=，，，，0001)(x x x f 0)]0()10([lim =-++∞→f h f h h 存在，但是)(x f 在0=x 点不可导．三、（本题7分）求极限)1e21e 1e (lim 21nn n n nn n n n ++++++∞→ ．解：因为n nn n n n k nknnnn 1e 1e 21e 1e 121∑=≤++++++ ，且1e d e 1e lim 101-==⎰∑=∞→x n x n k n kn ．又n n n nn n n n k n k nn n n 1e 11e 21e 1e 121∑=+≥++++++ ，且1e )1e (11e 1lim 1-=-⋅=+∑=∞→n n n n k n kn ． 根据夹逼准则，得1e )1e21e 1e (lim 21-=++++++∞→nn n n nn n n n ．四、（本题7分）设ξ为函数x x f arcsin )(=在区间],0[b 上拉格朗日公式中的“中值”，求极限bb ξ+→0lim ．解：根据拉格朗日定理，得b f f b f )()0()(ξ'=-（b <<ξ0），即21arcsin ξ-=b b ，于是222)(arcsin 1b b -=ξ，进而222222)arcsin ()(arcsin )(arcsin 11)(b b b b b b b -=-=ξ． 因为300222020arcsin lim arcsin lim )arcsin ()(arcsin lim )(lim bbb b b b b b b b b b b b b -+=-=++++→→→→ξ312/)(lim 32111lim 323111lim 22202220220=--=---=--=+++→→→b b bb b b b b b b ， 所以3331lim 0==+→bb ξ． 五、（本题7分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰,0,,0,d )()(2x c x xt t tf x F x 其中)(x f 具有连续的导数，且0)0(=f ．确定c 值使得函数)(x F 连续，并讨论)(x F '的连续性．解：显然函数)(x F 在0≠x 时连续，要使)(x F 连续，只需)(x F 在0=x 点连续，于是02)0(2)(limd )(lim)(lim 02=====→→→⎰f x x xf x t t tf x F c x x x x ． 当0≠x 时，332d )(2)(d )(2)()(xtt tf xx f xtt tf xx xf x F xx ⎰⎰-=-='；当0=x 时，2030003)(limd )(lim )0()(lim )0(x x xf x t t tf x F x F F x xx x →→→==-='⎰ )0(31)0()(lim310f x f x f x '=-=→． 因为x x f x x xf x x f x tt tf x x f x F x x x xx x )(lim31)(lim 32)(lim ]d )(2)([lim )(lim 02003000→→→→→=-=-='⎰ )0()0(31)0()(lim310F f x f x f x '='=-=→， 所以)(x F '在0=x 点连续，而)(x F '在0≠x 点连续是显然的，所以)(x F '在R 内连续．六、（本题7分）若不定积分x x x ax d )1)(1(2⎰+++的结果中不含反正切函数，求a 的值，并对所确定的a 值求该不定积分． 解：若不定积分x x x ax d )1)(1(2⎰+++的结果中不含反正切函数，则被积函数的部分分式应为211xBx x A +++，于是 A Bx x B A x Bx x A a x +++=+++=+22)()1()1(，所以0=+B A 、1=B 、a A =，解得1-==A a ．此时x x x x x x x x x x x a x d )111(d )1)(1(1d )1)(1(222+-+=++-=+++⎰⎰⎰C x x C x x +++=++-+=222)1(1ln 211ln )1ln(21． 七、（本题7分）设⎰-=xt t x f 02d )1sin()(，求定积分⎰1d )(x x f ．解：⎰⎰⎰'-='-=1101010d )()1(d )()(d )(x x f x f x x f x x xf x x f⎰⎰⎰--=---=1212102d )1s i n ()1(d )1s i n (d )1s i n (x x x x x x t t)1c o s 1(21)1c o s (21)1(d )1s i n (211021022-=-=---=⎰x x x ． 八、（本题7分）设0>>a b ，证明不等式ab a b a b +->)(2ln ．证明：（方法1）设)(2)ln )(ln ()(a x a x a x x f ---+=（a x ≥），则1ln ln 2ln ln )(-+-=-++-='x a a x x a x a x x f ，221)(xax x a x x f -=-=''． 当a x >时，0)(>''x f ，于是)(x f '单调增加，则0)()(='>'a f x f ，进而函数)(x f 单调增加，故0)()(=>a f b f ，即0)(2)ln )(ln (>---+a b a b a b ，所以ab a b a b +->)(2ln． （方法2）设)1(2ln )1()(--+=x x x x g （1≥x ），则11ln )(-+='xx x g ，21)(xx x g -=''．当1>x 时，0)(>''x g ，于是)(x g '单调增加，则0)1()(='>'g x g ，进而函数)(x g 单调增加，故0)1()(=>g x g ，而1>a b ，所以0)1(2ln )1()(>--+=aba b a b a b g ，变形得 ab a b a b +->)(2ln ． 九、（本题7分）若对于任何),0(+∞∈x ，函数)(x f 满足xx bf x af 2)1()(=+，其中a 、b 为常数，且b a ≠． （1）求)(x f 及)()(x fn （2≥n ）； （2）如果b a >，试讨论函数)(x f 何时取极值，并求出函数的极值． 解：（1）用x 1代入关系式x x bf x af 2)1()(=+，有x x bf x af 2)()1(=+，两式消去)1(xf ，得 )22(1)(22x a bx a b x f --=．1221)()(!)1(2)(++--=n n n xa b n a x f （2≥n ）． （2）)22(1)(222xa b a b x f +-='． 当a 、b 同号或之一为零时，)(x f '（0>x ）不变号，函数)(x f 单调，)(x f 无极值； 当a 、b 异号时，由0)(='x f ，得函数)(x f 的唯一驻点b a x /-=（ba x /--=舍去）： ① 当b a >且0>a 时， 0)/(>-''b a f ，极小值为224))/(b a abb a f --=-．② 当b a >且0<a 时，0)/(<-''b a f ，极大值为224))/(b a abb a f ---=-．十、（本题7分）设曲线13=-+aya x （30<<a ）与两坐标轴围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为)(a V ，确定a 值使得)(a V 最大，并求此最大值．解：⎰⎰--==aa x ax a x x xy a V 02d )1)(3(2d 2)(ππ⎰+--=ax a x ax x x a 02)d 2()3(2π)3(15)3542()3(232222a a a a a a -=+--=ππ． 或者：⎰⎰----==a a x ay ay x a V 3042302d )31(d )(ππt t a a t ay d )1()3(34102⎰--=-π)3(15d )4641()3(324221032a a t t t t t a a -=+-+--=⎰ππ．由0)36(15)(2=-='a a a V π，在区间)3,0(内得唯一驻点2=a ，且052)2(<-=''πV ，所以点2=a 时)(a V 最大，且π154)2(max ==V V ． 十一、（本题7分）设)(xyz f u =，其中)(v f 有三阶导数，1)1(0)0(='=f f ，，且满足)(2223xyz f z y x zy x u'''=∂∂∂∂，求函数)(t f u =．解：令t xyz =，则)(t f u =，于是)()(t f yz xtt f x u '=∂∂'=∂∂， )()()()(22t f xyz t f z ytt f yz t f z y x u ''+'=∂∂''+'=∂∂∂， ztt f xyz t f xyz z t t f z t f z y x u ∂∂'''+''+∂∂''+'=∂∂∂∂)()(2)()(23)()(3)(2t f t t f t t f '''+''+'=，由)()(22223t f t xyz f z y x zy x u'''='''=∂∂∂∂，得0)(3)(=''+'t f t t f ，即t t f t f 31)()(-='''，积分得1ln ln 31)(ln C t t f +-='，于是311)(-±='t C t f ，由1)1(='f ，得11=±C ，所以31)(-='t t f ，2323123d )(C t t t t f +==⎰-，由0)0(=f ，得02=C ，所以3223)(t t f =．十二、（本题7分）该题理工科类考生作（1）、经管类考生作（2）．（1）在平面：π1=++z y x 上，垂直于直线：L ⎩⎨⎧-==，，11z y 且过平面π与直线L 的交点求直线方程．（2）若函数),(y x z z =由方程0),(=--bz cy az cx F 所确定，其中),(v u F 有 连续偏导数，如果+∂∂x z ac yzb =∂∂，求c 的值． 解：（1）直线⎩⎨⎧-==11z y ，的方向向量)001(1，，=s ，平面1=++z y x 的法向量)111(，，=n ，由已知，所求直线的方向向量n s⊥、1s s ⊥，于是取=⨯=1s n s)110()001()111(-=⨯，，，，，，，又直线⎩⎨⎧-==11z y ，与平面1=++z y x 的交点为)111(-，，，所以所求直线的方程是111101-+=-=-z y x ，或写作⎩⎨⎧==+.10x z y ， （2）方程0),(=--bz cy az cx F 两边同时对x 求导，有0)()(21=∂∂-⋅'+∂∂-⋅'x z b F x z ac F ，解得211F b F a F c x z'+''=∂∂． 方程0),(=--bz cy az cx F 两边同时对x 求导，有0)()(21=∂∂-⋅'+∂∂-⋅'y z b c F y z aF ，解得212F b F a F c z z'+''=∂∂．所以+∂∂x z a c F b F a F bc F ac y z b ='+''+'=∂∂2121，由+∂∂x z a 4=∂∂y z b，得4=c ．。

A 最优行驶轨迹
设一艘轮船经一强水流区域。

水流方向是已知的位置函数
(,),V u u x y y h
==- (,)0,v v x y ==
式中x 和y 为直角坐标；
u 和v 分别是水流在x 和y 方向的速度分量；V 是轮船相对水的速度，为一常数；h 为恒值。

1. 试建立数学模型，讨论如何驾驶轮船，使得船以最短时间从起点（003.66, 1.86x y h h ==-）驾驶到（0,0f f x y h h ==）
； 2. 模拟出船行驶的相应轨迹。

B题：“大球时代”乒乓球直径与赛事观赏性2000年，国际乒乓球联合会（简称国际乒联）将国际乒乓球职业赛事中的官方用球直径由38mm增加至40mm。

其宗旨在于进一步增加球在空中运行中的空气阻力，减缓比赛中球运行的速度，从而达到进一步增加和丰富乒乓球职业运动员击球技术和技巧的目的，最终增加乒乓球赛事的整体观赏性。

然而自乒乓球“大球时代”到来迄今为止，关于用球直径的争议始终未有停止。

国内外各界教练和运动员褒贬不一。

值得注意的事，由于职业运动员身高，打球习惯，握拍习惯的不同，其对球直径变化的敏感度也颇有差异。

请通过建模分析当前的比赛用球直径是否较之“小球时代”提升了运动员的体验质量和观众的观赏质量？请通过建模进一步分析您认为的最佳乒乓球直径的长度？。

第十一届全国研究生数学建模竞赛C题无线通信中的快时变信道建模一、背景介绍1.基本模型宽带移动通信传输正在改变着人们的生活，更为快速和准确的传递信息是其基本需求。

据预测，到2020年，数以千亿的“物”，包括汽车、计量表、医疗设备和家电等都将连入移动通信网络，人们的移动数字生活也将更加美好。

由于移动通信网络连接环境复杂多变，对实现高速宽带数据传递提出了更高的要求和挑战。

例如，高速铁路和高速公路的开通和应用，使未来移动通信系统面临高速移动环境，而在高速移动环境下，无线通信信道会发生快速变化，若不能适应这种变化，通信系统性能将会受到严重影响，极大降低信息传输的速度和质量。

分析现有通信模型的不足，建立新的数学模型，对提升信道容量、增加信息传输速率和降低误码率会有很好的促进作用。

在通信系统中，发送端通过信道传输信号到接收端，在传输过程中，不可避免地要引入干扰噪声。

接收端对包含噪声的信号进行合理解码，得到正确的信息，完成信息传输过程，原理用图1表示。

图1 通信基本模型示意图通信过程的数学模型可以表示为：WXHY+⋅=(1)从式（1）可以看出，在已知接收端信号Y的情况下，要得知发送端的信号X，还需要知道信道变量H和噪声W的统计特征。

W可视为加性高斯白噪声AWGN（Additive White Gaussian Noise），因此问题的关键就是对H规律的探索。

在无线信道中，发送和接收之间通常存在多于一条的信号传播路径。

多径的存在是因为发射机和接收机之间建筑物和其他物体的反射、绕射、散射等引起的，其传播特征如图2所示。

图2无线信道传播特征图中LOS（line of sight）是信号直接到达的传播路径。

可以看出，由于环境的复杂性，信号传播途径也复杂多变，需要对其进行简化和抽象，建立描述、估计信道传播的数学模型。

当信号在无线信道传播时，多径反射和衰减的变化将使信号经历随机波动。

无线多径传输系统的时间离散形式的数学表达式为[1]：∑-=-=+-=101,...,0],[][][][L l l K n n w l n x n h n y (2)式中L 为信道的多径数，K 为传输信号的长度，)(n w 可视为AWGN ，[]l h n 就是信道参数。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则．我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题．我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出．我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性．如有违反竞赛规则的行为，将受到严肃处理．我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的实际问题，以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件解决了题目所要求解的问题。

针对问题（1），在合理的假设基础上，利用物理理论知识、解析几何知识和微元法，分析并求解出近月点和远月点的位置，即139.1097 。

再运用能量守恒定律和相关数据，计算出速度v（近月点的速度）1=1750.78/v（远月点的速度）=1669.77/m s，，最后利用曲线的切线m s,2方程，代入点（近月点与远月点）的坐标求值，计算出方向余弦即为相应的速度方向。

针对问题（2）关键词：模糊评判，聚类分析，流体交通量，排队论，多元非线性回归一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。