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2011/2012 1 概率论与数理统计（A 卷 ）数理学院 全校（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率是_______. 2.A 与B 是两个事件，若()0.2,()0.6,P B A P B -==则概率()P AB =_______.3．从次品率为p 的产品中有放回地取出三件产品，若已知三件产品中至少有一件次品的概率为19/27，则p =_______. 4.设二维随机向量(,)X Y 的分布律为{(,)(0,1)}{(,)(0,1)}P X Y P X Y =-==1{(,)(1,1)}3P X Y ===，则概率{1}P X Y +≤=_______.5.设12,X X 是总体X 的样本，若12(21)aX a X +-是()E X 的无偏估计量，则a =________. 二、选择题（每小题3分，共15分）1．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买一张，则前三个购买者中恰有一人中奖的概率为（ ）.A ．32100.70.3C ⨯⨯； B ．0.3； C ．740； D .2140. 2.下述函数中可以作为某一随机变量的分布函数的是（ ）. A ．21(),1F x x x =-∞<<∞+； B ．11()arctan ,2F x x x π=+-∞<<∞；C ．1(1),0()20,0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩； D . 2arctan ,.F x x x π-∞<<∞()=.3. 设随机变量X 与Y 相互独立，且22~(1,2),~(1,3),X N Y N 则()23X YVar -=（ ）. A ．2； B ．0； C ．5； D . 2- .4.设随机变量X 和Y 都服从泊松分布，且()5,()3Var X Var Y ==，则(2)EX Y -=（ ）. A ．-1； B ．-7； C ．11； D . 17.5.设12,,,n X X X 是总体2~(0,)X N σ的样本，,X S 分别为样本均值和样本标准差，则有课程考试试题 学期学年拟题学院（系）: 适 用 专 业:（ ）.A ．2~(0,)X N σ； B ．2~(0,)nX N σ； C ．22211~()nii Xn χσ=∑；D ．/~(1)X S t n -.三、计算下列各题（每小题12分，共24分）1.口袋中装有3个白球与2个红球，先从中任取一个球，观察球的颜色后不放回，同时放入另一种颜色的2个球，再从中任取1个球.（1）求第二次取到白球的概率；（2）若已知第二次取得了白球，求第一次取到的是白球的概率。
①715； ② 169； ③ 43； ④ 1615. 2．若连续型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论错误的是（ ③ ）.① ()()()P a X b F b F a <≤=-； ② ()()()P a X b F b F a <<=-； ③ ()()()P a X b F b F a <<≠-； ④ ()0P X a ==.3．已知随机变量)(~λP X 且2=λ，设23-=X Y ，则=)(Y E （ ② ）。
① 2； ② 4； ③41； ④ 214. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，在以下概率中，（ ④ ）肯定可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
① (13)P X <<； ② (1()2)P X E X <-<； ③ (11)P X -<<； ④ (()1)P X E X -≥.5. 若随机变量X 与Y 方差存在，且满足1Y X =-，则相关系数=),(Y X R （ ② ）。
① 1； ② -1； ③ 0.5； ④ -0.5.三、某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，由于设备差别，各车间的生产量分别占总产量的60% 、 25%、 15% ；各车间生产的产品优质品率分别为70%、 80%、 90% 。
现从总产品中随机挑选一件，求此产品为优质品的概率.（10分）解：设123,,A A A 表示抽到的产品分别为甲、乙、丙车间生产的事件，记=B {抽到是优质品}。
则11()0.6, (|)0.7P A P B A ==，22()0.25, (|)0.8P A P B A ==， 33()0.15, (|)0.9P A P B A == （4分）当816y ≤<时，8220(8)()864y Y x y F y dx --==⎰； 当16y ≥时，()1Y F y =。
（7分） 所以Y 的密度函数为8,816()()320,Y Y y y f y F y -⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 （10分） 六、设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，求（1）常数A ； （2）X 的分布函数()F x ； （3）概率(0.5)P X <.（10分） 解：（1）由11()2Af x dx Axdx +∞-∞===⎰⎰ 解得2A =； （3分） （2）200,0()()2,011,1xxx F X f x dx xdx x x x -∞<⎧⎪⎪===≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰⎰； （5分）（3）(0.5)(0.5)0.25P X F <==. （10分）七、已知随机变量(3,1)X N - ，(2,1)Y N ，且X 与Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+，试求()E Z 和()D Z ，并写出Z 的概率密度函数。
二、单项选择题（共20分，每小题4分）1．设有10件产品，其中8件是合格品，2件是次品。
现从中不放回任意抽取3件产品，求这3件产品中恰有一件是次品的概率为（ ① ）①715； ② 169； ③ 43； ④ 1615. 2．设随机变量X 的概率函数为(),1,2,,0k P X k b k b λ===> ，则（ ③ ）① λ为任意正实数； ② 1b λ=+； ③ 11b λ=+； ④ 11b λ=-. 3. 已知随机变量~(0,2)X U ，设23-=X Y ，则=)(Y E （ ② ）① -2； ② 1； ③ 4； ④ 5.4. 随机变量X 服从泊松分布()p λ，用切比雪夫不等式估计1()p X λλ-≥≤( ③ )① λ ； ② 2λ； ③ 3λ ； ④ 1λ.5．设随机变量~()X t n ，则2~Y X =（ ④ ）① ()2n χ； ②(),F n n ； ③ (),1F n ； ④ ()1,F n .五、若随机变量X 的概率密度为,04()80,X xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求（1）概率(2)P X <； （2）随机变量28Y X =+的概率密度)(y f Y 。
（10分）解： （1）20(2)0.258xP X dx <==⎰ （3分）（2）由于88()()(28)()()22Y X y y F y P Y y P X y P X F --=≤=+≤=≤=（6分） 两边同时对y 求导，得8,81()()32220,Y X y y f y f -⎧-⎪=⋅=⎨⎪⎩ 804,2.y -<<其它 （9分） 即 8,()320,Y y f y -⎧⎪=⎨⎪⎩ 816,.y <<其它 （10分）六、设总体X 服从指数分布()e λ，概率密度为,0( )0,x e x f x x λλλ-⎧>=⎨≤⎩；其中λ为未知参数。
若取得样本观测值为12,,,n x x x ，求参数λ的最大似然估计值。
上海第二工业大学 （试卷编号： ）2011-2012学年第一学期《概率论与数理统计》期末试题A 答案一、填空题（每题3分，共15分）1．已知P(A) = 0.5 ，P(A - B) = 0.2，则P (B|A) = 0.6 。
2．四人独立答题,每人答对的概率为1/4 ,则至少一人答对的概率为 175 / 256 。
3．每次试验成功的概率为p ，进行重复试验，则第六次试验才取得第三次成功的概率为 。
4．2)()(Y )()(X =EX e ，且指数分布～；泊松分布～若随机变量λλπ，则DY =_____1 / 4 ____。
其它；的联合密度函数为，则独立，与，且，～；均匀分布，～若随机变量+∞<<∞<<-⎪⎩⎪⎨⎧=-y x e y x f Y X Y X N U y-110221),()()10(Y )()11-(X .522π二、选择题（每题3分，共15分）1．若事件A 与B 相互独立,互斥与B A ,以下必成立的为( D )1)B (P 1)A ()()()()()(0)()(0)()(=====或P D B P A P AB P C AB P B AB P A 2. 对于事件A 、B,以下等式正确的个数为（ A ）)()()(;)()()|();()()();()()(B P A P AB P A P B P A B P B P A P B A P B P A P B A P ==-=-+= (A) 0 （B ）1 （C ）2 （D ）33. 10件产品中有2件次品，依次抽取，每次一件，A ={第三次才首次取到次品}，记P(A) = p （有放回抽取）；P(A) = q （无放回抽取），则有（ C ）。
（A ）p > q （B ）2p < q （C ）3p > 2q （D ） 4p < 3q)(277)(139)(62)(44)()(n 195%)9(.4查表见最后页。
)0.5B=则他们将此密码(1)P，()1e，即()X Y+=；(,Nμσ34)X X ++二、(12分)已知随机变量X 的概率密度为||()x f x ae -=，x -∞<<+∞.求（1）参数a 的值；（2）概率(1)P X >；（3）数学期望()E X .三、（12分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率函数；（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率{1430}P X ≤≤的近似值. 四、（10分）设~(0,1)X U ，求X Y e =的概率密度. 五、（10分）设连续总体X 的概率密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩；其它，其中0θ>， n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，求未知参数θ的最大似然估计量.六、（8分）从一批钉子中抽取16枚，测得长度的样本均值 2.125X =，样本标准差为0.017S =，设钉长分布为正态，σ为未知，试求总体期望μ的置信度为0.90的置信区间.七、（10分）从一批轴料中取15件测量其椭圆度，已知椭圆度服从正态分布，计算得0.25S =，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的20.04σ=有无显著差别？（取0.05α=）.八、（8分）考察硫酸铜晶体在100克水中的溶解量()y 与温度()x 间的相关关系时，做了9组独立试验，结果见下表：温度x （０Ｃ）0 10 20 30 40 50 60 70 80 溶解量y (g)14.017.521.226.129.233.340.048.054.8已算得x =40,y =31.567,xx S =6000,xy S =2995,yy S =1533.38。
求回归方程B(100,0.2)={}P X k(2)()1000.220E X =⨯=,()1000.20.816D X =⨯⨯=，（6分） 由D L -中心极限定理得142020302020{1430}{}{1.5 2.5}4444X X P X P P ----≤≤=≤≤=-≤≤（9分）(2.5)( 1.5)(2.5)(1.5)10.99380.933210.927≈Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=（12分） 四、（10分）； 解 X 的密度为 1,01,()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其它.（2分）当1y <时，()()()0X Y F y P Y y P e y =≤=≤=， （3分）当1y e ≤<时，()()(ln )(ln )Y X F y P Y y P X y F y =≤=≤=， （7分） 当y e ≥时，()(ln )1Y F y P X y =≤=， （8分） 所以Y 的密度为11(ln ),1,()()0,.XY Y f y y e y y f y F y ⎧⋅=<<⎪'==⎨⎪⎩其他 （10分）五、（10分）解 最大似然估计：设样本观测值为12,,,n x x x ，似然函数1111()()nnnii i i L x x θθθθθ--====∏∏，（3分） 1ln[()]ln()(1)ln()ni i L n x θθθ==+-∑， （5分）由 1ln[()]ln()0n i i d L n x d θθθ==+=∑， （8分）得θ的最大似然估计量1ˆln()nii nX θ==-∑。
天津科技大学概率论与数理统计检测题1一．填空题1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件：事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 .2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是：1A 表示 ； 321A A A 表示 ；321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 .3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。
则式子ABC=C 成立的条件是 .二．选择题1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）.① A BC A =； ② A BC A = ；③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）.① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）.① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .三．解答题1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}.2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}.3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。
有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}.4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P天津科技大学概率论与数理统计检测题2一．填空题1. 掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为8的概率P = .2. 在10把钥匙中，有3把能开门。
① 任意实数； ② 1； ③ 2； ④ 12.3．若随机变量X 的概率密度为(),()xf x aex -=-∞<<+∞，则=a （ 2 ）. ① 12-； ②12； ③1； ④ 32.4．若连续型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论错误的是（ 3 ）.① ()P a X b <≤=)()(a F b F -； ② ()()()P a X b F b F a <<=-； ③ ()()()P a X b F a F b <<≠-； ④ ()0.P X a ==.5．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（ 4 ）。
① 8； ② 16； ③ 28； ④ 44. 三、某校入学考试的数学成绩近似服从正态分布(65,100)N .若85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几?(8分)解: 设X 表示考生的数学成绩，则 ~ (65,100)X N 近似，于是858565{85}1{85}1{}1010X P X P X P -->=-≤=-≤ (4分)1(2)10.9772 2.28%≈-Φ=-= (8分)即数学成绩“优秀”的考生大致占总人数的2.28%。
四、某灯泡厂有甲、乙两条流水线，它们所出产的灯泡中，寿命大于2500小时的分别占80%和90%，从它们生产的灯泡中各自随机地抽取一个，求下列事件的概率：（1）两个灯泡寿命均大于2500小时；（2）两灯泡中至少有一个寿命大于2500小时；（3）两个灯泡中至多有一个寿命大于2500小时.（12分）解：用B A ,分别表示从甲、乙两个流水线上的产品中抽取的灯泡寿命大于2500小时，则它们相互独立.(1) 72.09.08.0)()()(=⨯==B P A P AB P , (4分)22,()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，33,0()0,y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，写出二维随机变量(), X Y 的联合密度函数(), f x y ，并求概率(2,1)P X Y <>. （10分） 解：由随机变量X 与Y 相互独立，得(23)0,0,6,(,)()().0,x y X Y x y e f x y f x f y else -+>>⎧==⎨⎩(5分) 2(23)1(2,1)6x y P X Y dx edy +∞-+<>=⎰⎰(8分) 2234316()()(1)0.0489xyedx edy e e+∞----==-≈⎰⎰(10分)八、 某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率函数；（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于10户且不多于26户的概率的近似值。
《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。
答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P AB =，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。
天津科技大学概率论与数理统计检测题1一．填空题1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件：事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 .2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是：1A 表示 ； 321A A A 表示 ；321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 .3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。
则式子ABC=C 成立的条件是 .二．选择题1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）.① A BC A =； ② A BC A = ；③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）.① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）.① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .三．解答题1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}.2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}.3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。
有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}.4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P天津科技大学概率论与数理统计检测题2一．填空题1. 掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为8的概率P = .2. 在10把钥匙中，有3把能开门。
