练习1：集合的含义与表示

《集合的含义与表示》同步练习1、已知集合S ＝{a，b ，c}中的三个元素为△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是________三角形。

所有整数，④函数y ＝2x 的图像上的点。

能构成集合的个数为____。

4、设a ，b∈R，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ，则b －a 等于 。

1、已知集合A ＝{x|－3＜x ＜3，x ∈Z}，B ＝{(x ，y)|y ＝x2＋1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示。

2、若2∉{x|x －a ＞0}，求实数a 的取值范围。

3、用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D 。

1、已知集合A ＝{1,0，a}，若a2∈A ，求实数a 的值。

2。

(创新拓展)对于a ，b ∈N ＋，现规定a*b ＝+（与的奇偶性相同）（与的奇偶性不同）a b a b a b a b ⎧⎨⨯⎩集合M ＝{(a ，b)|a*b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？3、已知集合A ＝{x|ax 2＋3x ＋1＝0，x ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围。

4、集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，C ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }。

(1)若c ∈C ，是否存在a ∈A ，b ∈B ，使c ＝a ＋b 成立？(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定有(a ＋b )∈C ？请证明你的结论。

答案与解析1、【解析】本题考查元素的三要素之一互异性，集合中a 、b 、c 为三个不同的元素，所以△ABC 的三边均不相等，故应填“等腰”。

集合的含义与表示练习题一、选择题1. 下列何者是集合的定义？A. 一些相同或相类似的元素的聚集。

B. 一些不同的元素的聚集。

C. 一些有序的元素的聚集。

D. 一些无序的元素的聚集。

2. 以下哪个符号表示“属于”关系？A. ∩B. ∪C. ∈D. ⊆3. 若集合A={1,2,3}，则A的基数为：A. 3B. 6C. 1D. 04. 下列哪个运算符表示两个集合的交集？A. ∩B. ∪C. ∈D. ⊆5. 若集合A={a,b,c}，集合B={b,c,d}，则A∪B等于：A. {a,b,c,d}B. {a}C. {b,c,d}D. {b,c}二、填空题1. 若集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B={ }。

2. 集合A的幂集的基数为{ }，其中集合A的基数为4。

3. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4,6,8}，则A∪B={ }。

三、解答题1. 请定义集合的并集、交集和补集，并举例说明。

2. 若集合A={a,b,c,d,e}，集合B={c,d,e,f,g}，找出满足以下条件的集合：a) A∪B的基数为6；b) A∩B的基数为2。

四、应用题1. 某班级有50名学生，其中30人会打篮球，20人会踢足球。

已知篮球队员中有10人同时会踢足球，问有多少人既会打篮球又会踢足球？2. 在某个购物网站上，有1000个用户喜欢购买手机，700个用户喜欢购买电脑，已知用户中有300人同时喜欢购买手机和电脑，问有多少人既喜欢购买手机又喜欢购买电脑？以上是关于集合的含义与表示的练习题，希望能帮助你更好地理解和掌握集合的概念与运算。

答案如下：一、选择题1. A2. C3. A4. A5. A二、填空题1. {2,3}2. 163. {1,2,3,4,6,8}三、解答题1. 并集：集合A∪B是包含A和B中所有元素的集合。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。

交集：集合A∩B是包含A和B中共有元素的集合。

第一章第一节 集合的含义与表示典型例题例1：判断下列各组对象能否构成一个集合 （1）班级里学习好的同学 （2）考试成绩超过90分的同学 （3）很接近0的数 （4）绝对值小于的数答： 否 能 否 能例2：判断以下对象能否构成一个集合 （1）a ，-a （2）12，答：否 否例3：判断下列对象是否为同一个集合 ｛1，2，3｝ ｛3，2，1｝ 答：是同一个集合例4：42=x 解的集合 答：｛2，-2｝例5：文字描述法的集合 （1）全体整数（2）考王教育里的所有英语老师 答：｛整数｝ ｛考王教育的英语老师｝ 例6：用符号表示法表示下列集合 （1）5的倍数（2）三角形的全体构成的集合（3）一次函数12-=x y 图像上所有点的集合 （4）所有绝对值小于6的实数的集合 答：（1）},5z k k x x ∈=｛ （2）｛三角形｝（3）(){}12,-=x y y x （4）{}R x x x ∈<<-,66例如7：用韦恩图表示集合A={1，2，3，4} 答：例8：指出以下集合是有限集还是无限集（1）一百万以内的自然数； （2）和之间的小数 答：有限集；无限集例9：(1)写出x^2+1=o 的解的集合。

(2)分析并指出其含义：0；｛0｝；∅；{}；{∅} 答：（1）∅；（2）分别是数字零，含有一个元素是0的集合；空集；空集；含有一个元素是空集的集合。

随堂测验1、｛x^2,x ｝是一个集合，求x 的取值范围2、集合{}2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2，求x.3、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）young 中的字母； （2）五中高一（1）班全体学生； （3）门前的大树（4）漂亮的女孩4、用列举法表示下列集合（1）方程()()0422=--x x 的解集；（2）平方不超过50的非负整数； （3）大于10的奇数.5、指出以下集合的区别{}1-=x y {}1-=x y x{}1-=x y y(){}1,-=x y y x6、某班有30个同学选修A 、B 两门选修课，其中选修A 的同学有18人，选修B的同学有15人，什么都没选的同学有4人，求同时选修A 、B 的人数。

高中数学集合的含义及其表示练习题(含答案)数学必修1(苏教版)1．1 集合的含义及其表示一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？基础巩固1．下列说法正确的是()A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1,0,5，12，32，64，14组成的集合有7个元素答案：C2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个答案：C3．下列四个关系中，正确的是()A．a{a，b} B．{a}{a，b}C．a{a} D．a{a，b}答案：A4．集合M＝{(x，y)|xy0，xR，yR}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集．答案：D5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B6．集合M中的元素都是正整数，且若aM，则6－aM，则所有满足条件的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可知，集合M中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个．答案：B7．下列集合中为空集的是()A．{xN|x2 B．{xR|x2－1＝0}C．{xR|x2＋x＋1＝0} D．{0}答案：C8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4A，则a＝() A．－3或－1或2 B－3或－1C．－3或2 D．－1或2解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}．a＝－3或2.答案：C9．集合P＝{x|x＝2k，kZ}，Q＝{x|x＝2k＋1，kZ}，M＝{x|x ＝4k＋1，kZ}，若aP，bQ，则有()A．a＋bPB．a＋bQC．a＋bMD．a＋b不属于P、Q、M中任意一个解析：∵aP，bQ，a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2Z，a＋bQ.答案：B10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．①不超过2的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．答案：①④⑤11．若a＝n2＋1，nN，A＝{x|x＝k2－4k＋5，kN}，则a与A的关系是________．解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当nN时，n＋2N.答案：aA12．集合A＝{x|xR且|x－2|5}中最小整数为_______．解析：由|x－2|－5x－2－37，最小整数为－3.答案：－313．一个集合M中元素m满足mN＋，且8－mN＋，则集合M的元素个数最多为________．答案：7个14．下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；③M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{a|a＝x2－1，xR}；④M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}．答案：③能力提升15．已知集合A＝{x|xR|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值．解析：(1)若a2－1＝0，则a＝1.当a＝1时，x＝－12，此时A＝－12，符合题意；当a＝－1时，A＝，不符合题意．(2)若a2－10，则＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0a＝53，此时A ＝－34，符合题意．综上所述，a＝1或53.16．若集合A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2019＋b2019的值．解析：由题知a0，故ba＝0，b＝0，a2＝1，a＝1，又a1，故a＝－1.a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝1.17．设正整数的集合A满足：“若xA，则10－xA”．(1)试写出只有一个元素的集合A；(2)试写出只有两个元素的集合A；(3)这样的集合A至多有多少个元素？解析：(1)令x＝10－xx＝5.故A＝{5}．(2)若1A，则10－1＝9A；反过来，若9A，则10－9＝1A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地出现在A中．同理，2和8,3和7,4和6成对地出现在A 中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合．(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}．18．若数集M满足条件：若aM，则1＋a1－aM(a0，a1)，则集合M中至少有几个元素？解析：∵aM，1＋a1－aM，1＋1＋a1－a1－1＋a1－a＝－1aM，与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

1.1 集合的含义与表示常考题型训练题型：元素与集合之间的关系一、直接判断 1、用∈或∉填空：(1)若A ＝{x|x 2＝x}，则－1________A ； (2)若B ＝{x|x 2＋x －6＝0}，则3________B ； (3)若C ＝{x ∈N|1≤x≤10}，则8________C ； (4)若D ＝{x ∈Z|－2<x<3}，则1.5________D ． 2、用符号“∈”或“∉”填空：0______N ；3-______N ；0.5______Z ______Z ；13______Q ；π______R . 3、用符号∈与∉填空：(1)0________N *Z ；0________N ；(－1)0________N *2________Q ；43________Q. (2)3________{2,3}；3________{(2,3)}；(2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}．(3) 若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R.4、设集合，则A ．B ．C ．D ．二、代入判断1、设集合{|4},M x x a =≥=，则下列关系中正确的是（ ） A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉2、已知集合A ＝{x ∈N *|x ，则必有( )A ．－1∈AB ．0∈AC ．AD ．1∈A 3、若不等式3-2x<0的解集为M ,则下列结论正确的是 ( )A ．0∈M ,2∈MB ．0∉M ,2∈MC ．0∈M ,2∉MD ．0∉M ,2∉M 4、点P(1，3)和集合A ＝{(x ，y)|y ＝x ＋2}之间的关系是________. 5、设不等式2280x x --＜的解集为M ，下列正确的是（ ）A ．1,4M M -∉∉B ．1,4M M -∈∉C ．1,4M M -∉∈D ．1,4M M -∈∈ 6、已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a A ∈，有6－a A ∈，那么a 为 ( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0三、举例判断1.已知集合{}=M 1,2M x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,2k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是（ ）A ．x 0∈NB ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定2.已知x ，y ，z 为非零实数，代数式xyz x y z x y z xyz+++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M题型：集合的三个性质一、集合的确定性1.下列各组对象中能构成集合的是（ ） AB ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2.下面给出的四类对象中，构成集合的是( ) A ．某班个子较高的同学B ．大于2的整数C的近似值 D ．长寿的人3.下列选项中可以组成集合的是（） A ．接近0的数 B ．很高的山C ．著名的主持人D ．大于0且小于10的整数4.下列各组对象不能组成集合的是（ ） A ．2019篮球世界杯参数队伍 B ．中国文学四大名著 C ．抗日战争中著名的民族英雄D ．我国的直辖市5.下列对象能构成集合的是（ ） A ．高一年级全体较胖的学生 B ．cos30,sin 45,sin 60,1C ．全体很大的自然数D ．平面内到ABC ∆三个顶点距离相等的所有点6.下面几组对象可以构成集合的是 A ．视力较差的同学 B ．2018年的中国富豪C ．充分接近2的实数的全体D ．大于–2小于2的所有非负奇数7.下列各组对象中，不能形成．．．．集合的是（ ） A ．连江五中全体学生 B ．连江五中的必修课 C ．连江五中2012级高一学生D ．连江五中全体高个子学生8.下列各组对象不能组成集合的是（ ）A ．里约热内卢奥运会的比赛项目B ．中国文学四大名著C ．我国的直辖市D ．抗日战争中著名的民族英雄 二、集合的互异性 1、直接利用互异性1.英语单词“book ”所含的字母组成的集合中含有_____个元素.2.已知集合{}22,4A a a a =-，求实数a 的取值范围． 3.已知集合A 可表示为{a ,a 2,1a},求实数a 应满足的条件. 4.若{}22111a a ∈++，，，则a =（ ） A ．2B ．1或－1C ．1D ．－15.已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3 6.已知集合{}21,21,1P a a =-+-，若0P ∈，则实数a 的取值集合为（ ） A ．1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．{}1,1-C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭7.已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ ） A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 8.已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.2、利用互异性求解集合1.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝0,,b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则b －a 等于 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－22.含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +，20142015a b +=______.3.若集合{}1,0,1,,1a c b ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则a =________，b =_________．题型：集合的表示方法1、直接转换1.集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是 A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，3，4，5} C ．{0，1，2，3，4，5} D ．{0，1，2，3，4}2.集合{x ∈N|－1<x<112}的另一种表示方法是( ) A ．{0，1，2，3，4} B ．{1，2，3，4} C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，5}3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( ) A ．{x|－3<x<11，x ∈Q} B ．{x|－3<x<11}C ．{x|－3<x<11，x ＝2k ，k ∈Q}D ．{x|－3<x<11，x ＝2k ，k ∈Z}4.集合{1，3，5，7，9}用描述法表示应是( )A ．{x|x 是不大于9的非负奇数}B ．{x|x≤9，x ∈N}C ．{x|1≤x≤9，x ∈N}D ．{x|0≤x≤9，x ∈Z} 5.下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x|x ＝1}B ．{x ＝1}C ．{1}D ．{y|(y －1)2＝0} 2、求解表示 1.直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是（ ）A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．{}(3,6)2.将集合(){5,|21x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭表示成列举法，正确的是( )A ．{2，3}B ．{(2，3)}C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2，3)3.方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是 ( )A ．37x y =⎧⎨=-⎩B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}4.用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D下列各组中的M 、P 表示同一集合的是( ) ①{}(){}3,1,3,1M P =-=-；②(){}(){}3,1,1,3M P ==；③{}{}221,1M y y x P t t x ==-==-；④{}(){}221,,1M y y x P x y y x ==-==-A ．①B ．②C ．③D ．④5.用列举法表示下列集合:(1){}2|9A x x ==; (2){|12}B x N x =∈≤≤; (3){}2|320C x x x =-+=. 6.用列举法写出集合{||1||2|7}A x x x =∈-+-=N . 7.用列举法写出下列集合：（1）{||1|3}A x x =∈-=N ；（2）1|1A x x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N . 8.方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=，用列举法表示为____________. 9.求方程222243x x x x -=-+的解集． 10.用列举法表示集合{}4,,x x y x N y N *+=∈∈=______11.已知集合，用列举法表示为________．12.集合A ＝{x|x ∈N 且42x-∈Z}，用列举法可表示为A ＝________. 13.若{}2,2,3,4A =-，{}2|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .14.若集合{0,2,3}A =，{|,,}B x x a b a b A ==⋅∈，用列举法表示B =________．15.下列集合中：A ＝{x ＝2，y ＝1}，B ＝{2，1}，C ＝{(x ，y)| 31x y x y +=⎧⎨-=⎩ }，D ＝{(x ，y)|x ＝2且y ＝1}，与集合{(2，1)}相等的共有________个.16.下列说法：（1）集合{x ∈N|x 3=x}用列举方表示为{-1,0,1}；（2）实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；（3）方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集为{x=1,y=2},其中正确的有（ ）个题型：集合中个数问题1.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．1B ．5C ．6D ．无数个2.已知集合{}|21,A x x x Z =-<≤∈，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6D ．94.已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为 个。

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示基础过关练题组一集合的含义与元素的特征1.(2021辽宁阜新二中高一月考)下列各组对象不能构成集合的是()A.中国古代四大发明B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数2.(2021山东省实验中学高一月考)下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是()A.P是由元素1,√3,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-√3|构成的集合B.P是由元素π构成的集合,Q是由元素3.141 59构成的集合C.P是由元素2,3构成的集合,Q是由有序实数对(2,3)构成的集合D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x2=1的解构成的集合3.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求实数x应满足的条件;(2)若-2是集合A中的元素,求实数x的值.题组二元素与集合的关系5.下列所给关系中正确的个数是()①π∈R;②√3∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.A.1B.2C.3D.46.已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A7.已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.(1)若-3∈A,求a的值;(2)是否存在实数a,x,使集合A与集合B中的元素相同?题组三集合的表示方法8.下列各组集合中,表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={3,2},N={(3,2)}9.(2020河南周口项城三高高一第一次月考)用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点为()A.{x|y=3x+1}B.{y|y=3x+1}C.{(x,y)|y=3x+1}D.{y=3x+1}∈N,m∈N,m≤10.(2021上海嘉定高一上学期期中)用列举法表示集合{m|m-2310}=.11.用适当的方法表示下列集合:(1)所有能被3整除的整数;(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合;(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.能力提升练一、选择题 1.()实数1不是下面哪一个集合中的元素( )A.整数集ZB.{x |x =|x |}C.{x ∈N|-1<x <1}D.{x ∈R|x -1x+1≤0}2.(2020山东烟台龙口高一调研,)设集合B ={x |x 2-4x +m =0},若1∈B ,则B =( ) A.{1,3}B.{1,0}C.{1,-3}D.{1,5}3.(2019山西大同一中高一上第一次月考,)方程组{x +y =2,x -y =0的解构成的集合是( )A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}4.(2020广西南宁三中高一上月考,)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b∈B },则M 中元素的个数为 ( )A.3B.4C.5D.65.(2020山西吕梁中学高一上期中,)设集合A ={x ∈N|3≤x <6},B ={3,4},若x ∈A 且x ∉B ,则x 等于 ( )A.3B.4C.5D.66.(2020山东潍坊一中高一上期中,)已知集合M ={x |x =k 2+14,k ∈Z},N ={x |x =k 4+12,k ∈Z},若x 0∈M ,则x 0与N 的关系是 ( )A.x 0∈NB.x 0∉NC.x 0∈N 或x 0∉ND.不能确定7.(2019四川成都实验外国语学校高一上期中,)已知集合A ={a ,|a |,a -2},若2∈A ,则实数a 为 ( ) A.±2或4 B.2 C.-2 D.4 8.(2020上海洋泾中学高一月考,)给定集合A ,B ,定义A*B ={x |x =m -n ,m ∈A ,n ∈B },若A ={4,5,6},B ={1,2,3},则集合A*B 中的所有元素之和为( )A.15B.14C.27D.-149.(2021山东济宁鱼台第一中学高一月考,)给定集合S ={1,2,3,4,5,6,7,8},对于x ∈S ,如果x +1∉S ,x -1∉S ,那么x 是S 的一个“好元素”,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有 ( ) A.6个 B.12个 C.9个D.5个二、填空题10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },用列举法表示B = .11.(2020山东济南外国语学校第一次段考,)设a ,b ,c 为非零实数,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |,则m 的所有值组成的集合为 .三、解答题12.(2020江西赣州赣县中学高一上月考,)已知集合M ={1,a ,b },N ={a ,a 2,ab },且集合M 与N 相等,求a ,b 的值.13.(2020上海金山中学高一期中,)设数集A 由实数构成,且满足:若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ∈A.(1)若2∈A ,试证明A 中还有另外两个元素; (2)判断集合A 是不是双元素集合,并说明理由;(3)若A 中元素个数不超过8,所有元素的和为143,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A 中的所有元素.答案全解全析第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示基础过关练1.B2.A3.D 5.B 6.C 8.B 9.C1.B 根据集合的概念,可知集合中的元素具有确定性,可得选项A 、C 、D 中的元素都是确定的,能构成集合,但B 选项中“难题”的标准不明确,不满足集合中元素的确定性,不能构成集合.故选B . 方法技巧判断一组对象的全体能否构成集合的重要依据是元素的确定性,若考查的对象是确定的,就能构成集合,否则不能构成集合.2.A 由于选项A 中集合P ,Q 的元素完全相同,所以P 与Q 表示同一个集合,而B ,C ,D 中P ,Q 的元素不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选A .3.D 因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三边互不相等,故选D .4.解析(1)根据集合中元素的互异性,可知{x ≠3,x ≠x 2-2x ,x 2-2x ≠3,解得x ≠0且x ≠3且x ≠-1.(2)因为x 2-2x =(x -1)2-1≥-1,且-2是集合A 中的元素,所以x =-2.此时集合A ={3,-2,8},符合题意.5.B 由常见数集的定义知①②正确,③④错误.故选B.6.C 令3k -1=-1,解得k =0∈Z ,∴-1∈A ; 令3k -1=-11,解得k =-103∉Z ,∴-11∉A ; ∵k 2∈Z ,∴3k 2-1∈A ;令3k -1=-34,解得k =-11∈Z ,∴-34∈A. 故选C .7.解析 (1)由-3∈A 且a 2+1≥1, 可知a -3=-3或2a -1=-3, 当a -3=-3时,a =0; 当2a -1=-3时,a =-1.经检验,0与-1都符合要求. ∴a =0或a =-1. (2)易知a 2+1≠0.若集合A 与集合B 中元素相同, 则a -3=0或2a -1=0.若a -3=0,则a =3,此时集合A 包含的元素为0,5,10,与集合B 包含的元素不相同.若2a -1=0,则a =12,此时集合A 包含的元素为0,-52,54,与集合B 包含的元素不相同.故不存在实数a ,x ,使集合A 与集合B 中元素相同.8.B A 中,集合M 表示点(3,2),集合N 表示点(2,3),故M 与N 不是同一集合;B 中,由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}与{2,3}是同一集合;C 中,集合M 表示点集,集合N 表示数集,故M 与N 不是同一集合;D 中,集合M 表示数集,集合N 表示点集,故M 与N 不是同一集合.9.C 因为集合是点集,所以代表元素是(x ,y ),所以用描述法表示为{(x ,y )|y =3x +1}.故选C .10.答案 {2,5,8}解析 由m ∈N ,m ≤10得m =0,1,2, (10)经检验,可知当m =2时,2-23=0∈N ,当m =5时,5-23=1∈N ,当m =8时,8-23=2∈N ,所以{m|m -23∈N ,m ∈N ,m ≤10}={2,5,8}.11.解析 (1){x |x =3n ,n ∈Z }.(2)(x ,y )-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0. (3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.能力提升练1.C2.A3.A4.B5.C6.A7.C8.A9.A一、选择题1.C 1∉{x ∈N|-1<x <1},故选C.2.A ∵集合B ={x |x 2-4x +m =0},1∈B , ∴1-4+m =0,解得m =3.∴B ={x |x 2-4x +3=0}={1,3}.故选A .3.A 解方程组{x +y =2,x -y =0得{x =1,y =1,用集合表示为{(1,1)},故选A . 4.B 由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,列表如下:a +b a 1 2 3 b 4 5 6 7 5 6 7 8则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 中共有4个元素,故选B . 5.C A ={x ∈N|3≤x <6}={3,4,5}, B ={3,4},由x ∈A 且x ∉B ,知x =5. 6.A M ={x|x =2k+14,k ∈Z}, N ={x |x =k+24,k ∈Z}, ∵2k +1(k ∈Z )是一个奇数,k +2(k ∈Z )是一个整数,∴x 0∈M 时,一定有x 0∈N ,故选A . 7.C 由条件2∈A 可知,a =2或|a |=2或a -2=2,解得a =±2或a =4.由集合中元素的互异性可知a <0,所以满足条件的只有a =-2,故选C . 解题模板由集合中元素的特征求解字母的值的步骤:8.A 由题可知,m =4,5,6,n =1,2,3, 当m =4,n =1,2,3时,m -n =3,2,1; 当m =5,n =1,2,3时,m -n =4,3,2; 当m =6,n =1,2,3时,m -n =5,4,3.所以A*B ={1,2,3,4,5},元素之和为15,故选A .9.A 要不含“好元素”,说明这三个数必须相连,故不含“好元素”的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6种可能.故选A . 二、填空题10.答案 {4,9,16}解析 ∵集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },∴t =±2时,x =4;t =3时,x =9;t =4时,x =16,∴B ={4,9,16}. 11.答案 {-4,0,4}解析 因为a ,b ,c 为非零实数,所以当a >0,b >0,c >0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc|abc |=1+1+1+1=4;当a ,b ,c 中有一个小于0(不妨设a <0,b >0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1+1+1-1=0;当a ,b ,c 中有两个小于0(不妨设a <0,b <0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1+1+1=0; 当a <0,b <0,c <0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1-1-1=-4.所以m 的所有值组成的集合为{-4,0,4}. 三、解答题12.解析 由集合M 与N 相等得{1=a 2,b =ab或{1=ab ,b =a 2,解得{a =-1,b =0或{a =1,b =1, 经检验,{a =1,b =1不满足集合中元素的互异性,故舍去. 综上,a =-1,b =0.13.解析 (1)证明:∵2∈A ,∴11-2=-1∈A. ∵-1∈A ,∴11-(-1)=12∈A. 又∵当12∈A 时,11-12=2∈A , ∴A ={2,-1,12}.∴A 中还有另外两个元素,分别为-1,12. (2)不是双元素集合.理由:由题意得,若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x∈A ,11-11-x=x -1x ∈A ,且x ≠11-x ,11-x ≠x -1x ,x ≠x -1x, 故集合A 中至少有3个元素,不是双元素集合.(3)由(2)可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ,x -1x 都为A 中的元素,∵x ·11-x ·x -1x=-1,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,∴A 中元素个数不为3,又∵A 中元素个数不超过8,∴A 中有6个元素,且(11-x )2=1或(x -1x)2=1,解得x =2或x =12.结合(1)可知此时A 中有2,-1,12这三个元素.设A 中其他三个元素分别为m ,11-m ,m -1m (m ≠1且m ≠0),则A =2,-1,12,m ,11-m ,m -1m .∵A 中所有元素之和为143,∴12+2-1+m +11-m +m -1m =143⇒m =-12,3,23, ∴A 中的所有元素为12,2,-1,-12,3,23.。

1.1.1集合的概念与表示分层练习基础巩固一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1} B ．{x |x =2} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D2．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人 C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C ，π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D.3．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据,x A x B ∈∈，所以x y -可取1,0,1-，即可得解. 【详解】由集合{}0,1A =，{},B x y x A y A =-∈∈， 根据,x A y B ∈∈， 所以1,0,1x y -=-， 所以B 中元素的个数是3. 故选：C4．已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（ ） A ． {}0,1 B ． {}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程进行求解即可. 【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =， 所以{}1,0,1A =-， 故选：D5．给出下列四个关系：π∈R ， 0∉Q ，0.7∈N ， 0∈∅，其中正确的关系个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系. 【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集， ∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅， ∴正确的个数为1 . 故选:D .6．已知{1}A x x m =∈-<Z ∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4<m ≤5B ．4≤m<5C ．3≤m<4D ．3<m ≤4【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出集合A ，进一步得到m 的范围. 【详解】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得3<m ≤4. 故选：D 二、多选题7．给出下列说法，其中正确的有（ ） A ．中国的所有直辖市可以构成一个集合；B ．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C ．正偶数的全体可以构成一个集合；D ．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A 正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B 错误； 正偶数的全体可以构成一个集合，C 正确；大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D 错误. 故选：AC.8．已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值可能是（ ）A ．98B ．1C ．0D ．23【答案】AC 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合A 有且只有一个元素求得a 的值. 【详解】当0a =时，{}2|3203A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意.当0a ≠时，9980,8a a ∆=-==，符合题意.故选：AC 三、填空题9．用符号∈或∉填空：3.1___N ，3.1___Z ， 3.1____*N ，3.1____Q ，3.1___R . 【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 【解析】 【分析】由元素与集合的关系求解即可 【详解】因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数， 所以有：3.1N ∉；3.1Z ∉；*3.1N ∉；3.1Q ∈；3.1R ∈. 故答案为：∉，∉，∉，∈，∈.10．设集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y Z ∈且0y ≠，若0A ∈，则A 中的元素之和为_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解. 【详解】因为0A ∈，所以若0x =，则集合{}0,0,1A =-不成立．所以0x ≠． 若因为0y ≠，所以0xy ≠，所以必有0xy -1=，所以1xy =． 因为x ∈Z ，y Z ∈，所以1x y ==或1x y ==-． 若1x y ==，此时{}1,1,0A =不成立，舍去．若1x y ==-，则{}1,1,0A =-，成立．所以元素之和为1100-+=． 故答案为：0. 四、解答题11．设集合{}22,3,42A a a =++，集合{}20,7,42,2B a a a =+--，这里a 是某个正数，且7A ∈，求集合B ． 【答案】B ＝{0，7，3，1}． 【解析】 【分析】解方程2427a a ++=即得解. 【详解】解：由题得2427a a ++=， 解得1a =或5a =-. 因为0a >，所以1a =. 当1a =时， B ＝{0，7，3，1}. 故集合B ＝{0，7，3，1}．12．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m 的同学． 【答案】(1)能；有限集； (2)能；无限集； (3)能；有限集. 【解析】 【分析】根据集合的基本概念即得. (1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； (2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； (3)因为我们班身高大于1.7m 的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m 的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m 的同学是有限的，故该集合为有限集.培优提升一、单选题1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C.2．若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =. 故选：A.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A ．4∈M B ．2M ∈ C ．0M ∉ D ．4M -∉【答案】A 【解析】【分析】分别对x ，y ，z 的符号进行讨论，计算出集合M 的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论；①、x y 、、z 全部为负数时，则xyz 也为负数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=-； ②、x y 、、z 中有一个为负数时，则xyz 为负数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ③、x y 、、z 中有两个为负数时，则xyz 为正数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ④、x y 、、z 全部为正数时，则xyz 也正数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； 则{4,0,4}M =-；分析选项可得A 符合． 故选：A. 二、填空题4．集合12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，的元素个数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据集合得表示可知：3x + 是12的因数，即可求解. 【详解】由12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，可知，3x + 是12的因数，故31,2,3,4,6,12x +=±±±±±± ，进而可得x 可取0,1,3,9,1,2,4,5,6,7,9,15--------，故答案为：125．若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________． 【答案】{}0,1##{}1,0 【解析】 【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解. 【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1. 三、解答题6．已知{}2|20,R M x ax x x =-+=∈．根据下列条件，求实数a 的值构成的集合．(1)当M =∅；(2)当M 是单元素集（只含有一个元素的集合）； (3)当M 是两个元素的集合. 【答案】(1)1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,08⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)1,08a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）； （2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得； （3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得． (1)M =∅，180a ∆=-<，18a >，所以a 的范围是1(,)8+∞；(2)0a =时，{2}M =，满足题意，180a ∆=-=，18a =，此时{4}M =，满足题意，(3)由题意方程有两个不等实根，0a ≠且0∆>，解得18a <且0a ≠，所以a 的范围是1{|8a a <，0}a ≠．拓展创新1．已知集合2{,}A m m =，若1A ∈，则实数m 的值是__________ 【答案】1-【解析】 【分析】由1A ∈，分1m =，21m =两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解 【详解】 由题意，1A ∈（1）若1m =，则{1,1}A =，和集合中元素的互异性矛盾，不成立； （2）若21m =，则1m =±，由（1）1m ≠ 若1m =-，则{1,1}A =-，1A ∈，成立 故实数m 的值是1- 故答案为：1- 2．已知*k N ∈，记集合{1101100112222,1,,,,01}k k k k k k k A x x a a a a a a a a ---==⨯+⨯++⨯+⨯==或，例如{{}110102,1,01}2,3A x x a a a a ==+===或，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A 2的各元素之和，则该游戏的激活码为________． 【答案】22 【解析】 【分析】由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1，由此求得集合{}24,5,6,7A =，故而可得答案. 【详解】解：由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1， 所以当100a a ==时，41+0+04x =⨯=； 当1010a a ==，时，41+21+06x =⨯⨯=； 当1001a a ==，时，41+20+115x =⨯⨯⨯=， 当1011a a ==，时，41+21+117x =⨯⨯⨯=，所以{}24,5,6,7A =，该游戏的激活码为4+5+6+722=， 故答案为：22.3．已知集合{}0,2A =，()()(){}21110B x ax x x ax =---+=，用符号A 表示非空集合A中元素的个数，定义,,A B A BA B B A A B ⎧-≥=⎨-<⎩※，若1A B =※，则实数a 的所有可能取值构成集合P ，则P =______．（请用列举法表示） 【答案】{}0,1,2- 【解析】 【分析】由集合的新定义结合题意求出a 的值，再用列举法表示即可 【详解】∵2A =，1A B =※， ∴1B =或3B =， 当1B =时，0a =或1a =.当3B =时，()()()21110ax x x ax ---+=有3个解，所以210x ax -+=只有一个解不为1和1a， 则240a ∆=-=，解得2a =±，当2a =时，2210x x -+=，则此时1x =，不符合题意； 当2a =-时，2210x x ++=，则此时1x =-，符合题意； 所以2a =-，11,,12B ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，故{}0,1,2P =-. 故答案为：{}0,1,2-．4．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩，若{1,2}A =，{}22()(2)0,B x x ax x ax x R =+++=∈，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，S =__________； 【答案】{0,22,2}- 【解析】 【分析】根据新定义得出集合B 中元素个数，再由方程根的个数分析求解． 【详解】由已知()2C A =，而*1A B =，则()1C B =或3，试卷第11页，共11页 11显然22()(2)0x ax x ax +++=的一个解是0x =， 若()1C B =，则0a =，满足题意；若()3C B =，则0a ≠，方程已有两个根0x =和x a =-，220x ax ++=有两个相等的实根且不为0和a -，280a ∆=-=，22a =±22a =220x ax ++=的解为342x x ==- 22a =-220x ax ++=的解为342x x ==．均满足题意． 综上{0,2,22}S =-． 故答案为：{0,2,2}-．12 试卷第12页，共1页。

集合的含义与表示 习题（含答案）一、单选题1．已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k∈Z，则下列表示正确的是( )A ． －1∉AB ． －11∈AC ． 3k 2－1∈A D ． －34∉A2．下列说法正确的有（ ）①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；②0∈N ∗；③集合{y |y =x 2−1}与集合{(x,y )|y =x 2−1}是同一个集合；④空集是任何集合的真子集.A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个3．已知集合A={1，x ，x 2-2x}，且3∈A ，则x 的值为（ ）A ． -1B ． 3C ． -1或3D ． -1或 -34．下列说法：①集合{x∈N|x 3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；③方程组{x +y =3x −y =−1的解集为{x ＝1，y ＝2}． 其中正确的有( )A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个5．集合M ={（1，2），（2，1）}中元素的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．如果A ={x|x >−1}，那么( )A ． 0⊆AB ． {0}∈AC ． φ∈AD ． {0}⊆A7．设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S 时，有x 2∈S，给出如下三个命题：①若m=1则S={1}； ②若m=−12，则14≤n≤1； ③若n=12，则−√22≤m≤0．其中正确的命题的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 38．若集合A={x|ax 2+ax −1=0}只有一个元素，则a =（ ）A ． -4B ． 0C ． 4D ． 0或-49．已知集合A {x|x =a 0+a 1×2+a 2×22+a 3×23}，其中a k ∈{0,1}(k =0,1,2,3)，且a 3≠0，则A 中所有元素之和是（ ）．A ． 120B ． 112C ． 92D ． 8410．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为A ． 9B ． 8C ． 5D ． 4二、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.12．用另一种方法表示下列集合：(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x|x ＝|x|，x<5且x∈Z}；(4){(x ，y)|x ＋y ＝6，x∈N ＋，y∈N ＋}；(5){－3，－1,1,3,5}．三、填空题13．给出下列集合：①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠－3}；②{(x，y)|{x ≠1y ≠1 且{x ≠2y ≠−3 }；③{(x，y)|{x ≠1y ≠1或{x ≠2y ≠−3}； ④{(x，y)|[(x －1)2＋(y －1)2]·[(x－2)2＋(y ＋3)2≠0]}．其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”的序号有________．14．列举法表示方程x 2−(2a +3)x +a 2+3a +2=0的解集为______．15．若集合{x ∈R|a <x <2a －4}为空集，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．C【解析】【分析】判断一个元素是不是集合A的元素，只要看这个元素是否满足条件x=3k−1,k∈Z；判断一个元素是集合A的元素，只需令这个数等于3k−1，解出k，判断k是否满足k∈Z，据此可完成解答.【详解】当k=0时，3k−1=−1，故−1∈A，故选项A错误；∉Z，故选项B错误；若−11∈A，则−11=3k−1，解得k=−103令3k2−1=3k−1，得k=0或k=1，即3k2−1∈A，故选项C正确；当k=−11时，3k−1=−34，故−34∈A，故选项D错误；故选C.【点睛】该题是一道关于元素与集合关系的题目，解题的关键是掌握集合的含义.2．A【解析】【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假．【详解】对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N*，错误；对于③，集合{y=x2-1}列举的是一个等式，集合{（x，y）|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；故选：A．【点睛】本题考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质，属于基础题．3．A【解析】【分析】推导出x=3或x2-2x=3，分别代入集合A，能求出x的值．【详解】：∵集合A={1，x，x2-2x}，且3∈A，∴x=3或x2-2x=3，当x=3时，A={1，3，3}，不满足元素的互异性，故x≠3，当x2-2x=3时，解得x=-1或x=3（舍），当x=-1时，A={1，-1，3}，成立．故x=-1．故选：A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是基础题．4．D【解析】【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误．【详解】∵x3=x的解为-1，0，1，∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组{x+y=3x−y=−1的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D．【点睛】本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题．5．B【解析】【分析】根据题意，集合是用列举法表示的，集合M 是点集，只包含两个点。

第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示【自主整理】1.集合(1)含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.(2)相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．2.表示（1）字母表示法：用一个大写英文字母表示集合,如A 、B 、C 等. 常见数集的表示：自然数集记为 N ；整数集记为 Z ；正整数集记为 N ＋或 N ＊；有理数集记为 Q ；实数集记为 R ；（2）列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号”{ }”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法.（3）描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.3.元素与集合（1）关系：仅有两种：属于和不属于.（2）关系表示：如果a 是集合A 中的元素，就说元素a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 中的元素，就说元素a 不属于集合A ，记作a ∉A .【高手笔记】1．集合的概念是数学中的原始概念，在学习过程中，应结合具体实例搞清它的含义．2．集合元素的性质：给定的集合,它的元素必须是明确的, 即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性；一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性；集合中的元素是没有顺序的，这就是集合的无序性．判断一些对象能否构成一个集合的关键是看是否满足集合元素的确定性．3．∈和∉只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.4．集合的分类：按集合中元素的个数分为有限集和无限集. 有限集是指含有有限个元素的集合；无限集是指含有无限个元素的集合．如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示；如果一个集合是有限集且所含元素较多或是无限集时，通常选择描述法表示.5．用描述法表示集合时，在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分．如：{直角三角形}等．【名师解惑】1.为什么“爱好唱歌的人”不能构成一个集合？剖析：学习了集合的概念后，很多同学对此产生质疑，总是迷惑不解.其原因是对集合元素的确定性理解不够充分，突破这个疑点的途径是从集合的含义来分析.教材中指出，把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，教材只是这样作了简单地描述. 我们可以这样来理解：研究对象就是构成集合的每个对象即元素，一个对象是不是我们研究的对象（元素）呢？其结果只有两种：是或不是.这才符合数学具有严格性的特点，这就是我们所说的集合元素的重要性质――确定性.因此给定一个集合，任意一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一. 如果你是班内的文艺委员，让爱好唱歌的同学到音乐教室开会，那么就会出现：你认为爱好唱歌的同学没有去，而你认为不爱好唱歌的同学反而去了，出现这种情况的原因是没有明确的标准来判断是否爱好唱歌.因此说“爱好唱歌的人”不能构成一个集合，这不符合集合元素的确定性.2.如何区分数集和点集？剖析：难点是一些用描述法表示的集合，不容易区分是点集还是数集，是一个易错点.突破的途径是理解描述法的表示形式.如果一个集合中所有元素均是实数，那么这个集合称为数集，如果一个集合中所有元素均是点，那么这个集合称为点集.例如：集合{}12=<<A x x ，集合A 中元素代表符号是x ，满足12x <<，即大于1且小于2的实数组成集合A ，故集合A 是数集. 集合{}(,)21B x y y x ==+，集合B 中元素代表符号是(,)x y ，其中,x y 满足21y x =+，则(,)x y 是一次函数21y x =+图象上的点，故集合B 是点集.因此，形如{}x x x ∈R 的特征，的集合是数集，形如{}(,),,x y x y x y ∈R 的特征，的集合是点集.【讲练互动】【例题1】（2007浙江省宁波市高三第一次“十校联考” ，理科1）在数集},2{2x x x -中，则实数x 的取值范围是 .【解析】本题主要考查集合元素的互异性．实数x 的取值满足集合元素的互异性，则22x x x ≠-，解得03x x ≠≠且，∴实数x 的取值范围是{}03x x x ≠≠且． 答案：{}03x x x ≠≠且【绿色通道】在解决参数问题和判断集合元素的个数问题时，要灵活应用集合元素的确定性、互异性、无序性，这也是处理集合有关问题的一个隐含条件． 【黑色陷阱】本题的答案易错写成{}03x x x ≠≠或，其原因是对数学中“且”与“或”的含义混淆不清．在数学中，“且”表示同时成立的含义，而“或”表示至少一个成立的含义．03x x ≠≠且表示全体实数中除去1和3剩下的实数，而03x x ≠≠或表示全体实数．防止出现此类错误的方法是明确“且”与“或”的含义．【变式训练】1.已知集合{}22,6,A x x =-，则实数x 的取值范围是 ．【解析】利用集合元素的互异性列出不等式，解得实数x 的取值范围．由题意得222,6.x x x x ⎧-≠⎪⎨-≠⎪⎩解得123x x x x ≠≠≠≠－2且－且且，即实数x 的取值范围是{}123x x x x x ≠≠≠≠－2且－且且． 答案：{}123x x x x x ≠≠≠≠－2且－且且2．（2007届广东省韶关市高三摸底，理科1）下列各组两个集合P 和Q ,表示同一集合的是（ ） A ．P ={}π,3,1,Q ={}3,1,-π B ．P ={}π,Q ={}14159.3 C ．P ={}3,2,Q ={})32(，D ．P ={}11,N x x x -<≤∈,Q ={}1 【解析】只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就表示同一集合．{}3,1,-π＝{{}ππ=，所以A 正确；由于 3.14159π≠，所以B 错误；集合{}3,2中的元素是实数，而集合{})32(，中的元素是点，所以C 错误；集合{}11,N x x x -<≤∈＝{}0,1，所以D 错误，故选A ． 答案：A【例题2】判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示:(1) 被3除余1的自然数组成的集合；(2) 由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3) 二次函数2210y x x =+-图象上的所有点组成的集合；(4) 设,a b 是非零实数,求a b ab y a b ab=++的所有值组成的集合. 【思路分析】本题主要考查集合的表示法和集合的分类. 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素，二要明确元素满足的条件，三是根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．解：（1）由于被3除余1的自然数有无数个，所以此集合是无限集，则选择描述法表示，又这些自然数常表示为31(N)n n +∈．即表示用为：{}31,N x x n n =+∈；（2）由题意得满足条件的正整数有：3,5,7,11,13,17,19．则此集合中的元素有7个，所以此集合是有限集，则用列举法表示为：{}3,5,7,11,13,17,19；（3）由于二次函数2210y x x =+-图象上的点无数个，所以此集合是无限集，则用描述法表示．通常用有序数对(,)x y 表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为：{}2(,)210x y y x x =+-；（4）当0ab <时，1a b ab y a b ab=++=-； 当0ab >时，则0,0a b >>或0,0a b <<．若0,0a b >>，则有3a b ab y a b ab =++=，若0a <，0b <，则有1a b ab y a b ab=++=-． ∴a b ab y a b ab=++的所有值组成的集合共有两个元素－1和3，此集合是有限集，则用列举法表示为：{}1,3-.答案：（1）无限集，{}31,N x x n n =+∈；（2）有限集，{}3,5,7,11,13,17,19；（3）无限集，{}2(,)210x y y x x =+-；（4）有限集，{}1,3-. 【绿色通道】一般情况下，常根据集合中所含元素的个数来选择表示集合的方法，对所含元素较少的有限集宜采用列举法，如（2）（4）；对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法，如（1）（3）．【变式训练】1.集合{}32+N x x ∈-<的另一种表示法是 ( )A.{}0,1,2,3,4B. {}1,2,3,4C. {}0,1,2,3,4,5D. {}1,2,3,4,5 【解析】{}32x x ∈-<+N ={}5+N x x ∈<={}1,2,3,4,故选B.答案:B2. 用适当的形式表示下列集合(1)绝对值不大于3的整数组成的集合 ；(2)方程2(35)(2)(3)0x x x -++=的实数解组成的集合 ；(3) 一次函数6y x =+图象上所有点组成的集合 ．【解析】元素较少的有限集宜采用列举法；对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法．(1) 绝对值不大于3的整数表示为3x ≤，是有限集，用列举法表示为｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；(2) 方程2(35)(2)(3)0x x x -++=的实数解仅有两个是5,23-，用列举法表示为5,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；(3) 一次函数6y x =+图象上有无数个点 ，用描述法表示为{}(,)6x y y x =+．【例题3】（2007年山东省滨城区月考，文科17）已知集合{}2210,R A x ax x x =--=∈，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【思路分析】本题主要考查元素与集合之间的关系，以及集合的表示法．由描述法可知集合A 是关于x 的方程2210ax x --=的实数解集，首先考虑方程是不是一元二次方程．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则0a =符合题意； 当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x --=是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以△＝440a +≤，解得1a ≤-．综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或． 答案：{}01a a a =≤-或【绿色通道】将集合语言具体化为自然语言，将它们描述的语言形象化、直观化，是解决集合问题的常用技巧．本题转化为关于x 的方程2210ax x --=的实数根的个数问题，这样就容易解决．【变式训练】1．已知集合{}0x ax =是无限集，则实数a ＝ ． 解析：集合{}0x ax =是关于x 的方程0ax =的解集．当0a =时，方程0ax =有无数解，则0a =符合题意；当0a ≠时，则关于x 的方程0ax =是一元一次方程，得0x =，即此时集合{}0x ax =仅有一个元素，则0a ≠不合题意．故0a =，填0．答案：0 2．设集合1,3n A x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，若12,x A x A ∈∈，则必有 （ ） A. 12x x A +∈ B. 12x x A ∈ C. 12x x A -∈ D. 12x A x ∈ 【解析】如果元素具有1(3n n ∈N)的形式，你们这个元素属于集合A ．∵12,x A x A ∈∈，∴有11(3m x m =∈N)，21(3k x k =∈N)，又11111333m k m k x x +==，m k +∈N ，∴12x x A ∈，故B 正确；当113x =，213x =时，1221332x x A +==∉，故A 错误；按同样方法可以验证选项C 、D 也是错误的；故选B ．答案：B【教材链接】1.教材第2页思考：上面的例（3）到例（8）也能组成集合吗？它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子，你能说出它们的共同特征吗？答：例（3）到例（8）也能组成集合.例（3）的元素是：金星汽车厂2003年生产的每一辆汽车；例（4）的元素是：2004年1月1日之前与我国建立外交关系的每一个国家；例（5）的元素是：每个正方形；例（6）的元素是：到直线l 的距离等于定长d 的每一个点；例（7）的元素是：方程2320x x +-=的每个实数根即1、2；例（8）的元素是：新华中学2004年9月入学的每个高一学生.这些例子的共同特征是：每一个研究对象是元素，这些元素组成的总体构成了集合.2. 教材第3页思考：判断以下元素的全体是否构成集合，并说明理由：（1） 大于3小于11的偶数；（2） 我国的小河流答：（1）大于3小于11的偶数组成集合，这个集合的元素是4，6，8，10.（2）我国的小河流不能组成集合，因为小河流没有明确的标准，不符合集合元素的确定性，所以不能组成集合.3. 教材第4页思考：（1）你能用自然语言描述集合{}2,4,6,8吗？（2）你能用列举法表示不等式73x -<的解集吗？答：（1）自然语言：小于10的所有正偶数组成的集合.或大于1且小于9的所有偶数组成的集合．（答案不唯一）（2）不能用列举法表示.因为不等式73x -<的解是10x <，小于10的实数有无数个，并且这些数是连续的，所以不能用列举法表示.列举法适用于表示元素个数是有限个且较少的集合.4.教材第6页思考：（1）结合上述实例，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象．（2）自己举出几个集合的例子，并分别用自然语言、列举法、描述法表示表示出来．答：（1）自然语言的特点是富有表现力，是最基本的语言形式，但是具有多义性，有时难于表达，适用的范围非常广泛；列举法的特点是直观、明白，但有局限性，适用于元素个数较少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于所含元素较多的有限集或无限集．（2）例如，自然语言：联合国常任理事国；列举法：｛中国，美国，英国，法国，俄罗斯｝；描述法：｛x ∣x 是联合国常任理事国｝． 【教研中心】[教学指导]一、课标要求1. 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识；2．知道常用数集及其专用符号，了解集合元素的确定性、互异性、无序性，并能够用其解决有关问题，提高学生分析、解决问题的能力，培养应用意识．二、教学建议集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中，集合的初步知识与其它内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.教材从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合、不等式的解等）出发，结合实例给出元素、集合的含义，教材注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．本节的重点是集合的含义与表示，其突破方法是结合学生的已有知识经验，通过大量的实例来学习；本节的难点是表示具体的集合时，如何从列举法和描述法中做出恰当的选择，其突破方法是对同一个集合用不同的方法来表示，具体体会它们的各自特点，归纳、总结各自的适用范围．值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读教材，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价.这样做的目的，在于培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．在安排训练时，建议把握好分寸，不宜搞偏题、怪题.本节教学时间约需1课时．【走近大师】 为科学而疯的人——康托康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯——德国数学家，集合论的创立人．康托自幼对数学有浓厚兴趣．23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．1874年，康托的有关无穷的概念震撼了数学界．康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展．他发现了惊人的结果：有理数是可列的，而全体实数是不可列的．由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果 (称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．在1874—1876年期间，30岁的康托向神秘的无穷宣战．他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂．有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”．来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院．他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的．真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩．1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作．”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦．1918年1月6日，康托病世．【同步测控】我夯基 我达标1. 下列各组对象中不能构成集合的是A.北京尼赏文化传播有限公司的全体员工B.2006年全国经济百强县C.2007年全国五一劳动奖章获得者D.美国NBA 的篮球明星解析：根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因为A 、B 、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是篮球明星，故不能构成集合.故选D.答案：D2．下列关系中正确的是 （ ）A.{}0(0,1)∈B. {}1(0,1)∈C.0N ∈D. 0+N ∈解析：首先明确各个集合中的元素．{}(0,1)中的元素是点，不是数，∴A 、B 错误；0是自然数，不是正整数，∴D 错误，C 正确，故选C ．答案：C3. 以下集合M 与N 中，是不同集合的是 （ ）A.{}1,2,3M =，{}3,2,1N =B. {}1,2,3,4M =，{}4N n n =∈≤ZC. {}1,2M =，{}2320N x x x =-+= D ．{}1,1M =-，{}(1)n N x x ==- 解析：根据相同集合的定义来判断．由集合元素的无序性知A 中M N =;C 中{}{}23201,2N x x x M =-+===;D 中{}{}(1)1,1n N x x M ==-=-=；B 中{}4N n n =∈≤Z ＝{},2,1,0,1,2,3,4M =--≠,故选B ．答案：B4．有以下四个命题：①“所有相当小的正数”组成一个集合；②由1，2，3，1，9组成的集合用列举法表示为{}1,2,3,1,9；③{1，3，5，7}与{7，5，3，1}表示同一个集合；④{}y x =-表示函数y x =-图象上的所有点组成的集合.其中正确的是 （ ）A.①③B.①②③C.③D.③④解析：依据集合元素的性质和描述法及列举法的表示含义来判断．①中“相当小的正数”的标准不明确，不能构成集合；②中元素1重复，不符合元素的互异性，构成的集合应是{}1,2,3,9；④的表示方法不对，由于集合的代表元素是点，而点用有序实数对(x ,y )来表示，即正确的答案应表示为{}(,)x y y x =-；③中依据集合元素的无序性知表示同一个集合，故选C ．答案：C5．对于集合{}2,4,6A =,若a A ∈,则6a A -∈,那么实数a 的值是 .解析：需对a 的值分类讨论．当2a =时, 64a A -=∈,则2a =符合题意；当4a =时, 62a A -=∈,则4a =符合题意; 当6a =时, 60a -=∈A ,则6a =不合题意，所以2,4a =．答案: 2,46.集合{}2(,)1,2,x y y x x x =-≤∈Z 可用列举法表示为 ．解析：首先依据题意确定x 的值，则对x 分类讨论．由2,x x ≤∈Z ，得2,1,01,2x =--，则有2,3.x y =-⎧⎨=⎩，1,0.x y =-⎧⎨=⎩，0,1.x y =⎧⎨=-⎩，1,0.x y =⎧⎨=⎩，2,3.x y =⎧⎨=⎩．故用列举法表示为{}(2,3),(1,0),(0,1),(1,0),(2,3)---． 答案：{}(2,3),(1,0),(0,1),(1,0),(2,3)---7．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集．（1）不超过10的非负偶数的集合；（2）大于10的所有自然数的集合．思路分析：根据集合中元素的个数选择列举法还是描述法．解：（1）不超过10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，共6个元素，故用列举法表示为{}0,2,4,6,8,10，这个集合是有限集；（2）大于10的所有自然数的集合有无限个，故用描述法表示为{}10,x x x >∈N ，这个集合是无限集．答案（1）用列举法为{}0,2,4,6,8,10，是有限集；（2）用描述法表示为{}10,x x x >∈N ，是无限集．8．设集合A ＝{}2,,x x xy ，集合B ＝{}1,,x y ，且集合A 与集合B 相等，求实数,x y 的值.思路分析：由集合A 与集合B 中的元素完全相同列出关于,x y 的方程组，解方程组得实数,x y 的值，要注意依据集合元素的互异性验根． 解：由题意得21,.x xy y ⎧=⎨=⎩………①或2,1.x y xy ⎧=⎨=⎩………②.解①得1,.x y =⎧⎨∈⎩R 或1,0.x y =-⎧⎨=⎩，经检验1,.x y =⎧⎨∈⎩R 不合题意舍去，则1,0.x y =-⎧⎨=⎩；解②得1,1.x y =⎧⎨=⎩，经检验1,1.x y =⎧⎨=⎩不合题意舍去. 综上所得1,0.x y =-⎧⎨=⎩．答案：1,0.x y =-⎧⎨=⎩我综合 我发展9．（2006 山东高考卷，理科1文科1）定义集合运算：{}(),,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A B 的所有元素之和为 （ ）A.0B.6C.12D.18解析：由于A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，,x Ay B ∈∈，故对,x y 的取值分类讨论．当x ＝0，y B ∈时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝6；当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为061218++=．故选D ．答案：D10．集合392781243,,,,23456⎧⎫⎨⎬⎩⎭可用描述法表示为 ． 解析：观察集合中元素的规律即元素的共同特征，再用描述法表示．1233393273,,211321431===+++，458132433,541651==++，则元素的共同特征是3(,6)1+N nn n n ∈<+，则用描述法表示为3,,61+N nx x n n n ⎧⎫=∈<⎨⎬+⎩⎭． 答案：3,,61+N nx x n n n ⎧⎫=∈<⎨⎬+⎩⎭11．由,,x x x - 思路分析：讨论这几个数的大小关系，根据集合元素的互异性来确定．解：设由,,x x x -M ,x x -＝，∴由集合元素的互异性知集合M 是由,,x x x -组成的．又∵,0,,0.x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩知x 必与,x x -中的一个相等，∴集合M 是由,x x -组成的集合．当x x ≠-，即0x ≠时，集合M 中元素的个数最多有两个,x x -．因此由,,x x x -组成的集合元素的个数最多为2个．答案：2个12．集合{}21y y x =+、{}21x y x =+、{}2(,)1x y y x =+三者之间有什么关系？思路分析：依据描述法的特点，明确集合中的元素是点还是实数，其元素具有什么特征． 解：集合{}21y y x =+中的元素是y ，满足21y x =+，即集合{}21y y x =+是数集，是函数21y x =+的函数值组成的集合；集合{}21x y x =+中的元素是x ，满足21y x =+，即集合{}21x y x =+是数集，是函数21y x =+的自变量的取值组成的集合；集合{}2(,)1x y y x =+中的元素是(,)x y 为有序数对，满足21y x =+，即集合{}2(,)1x y y x =+是点集，是函数21y x =+的图象上所有点组成的集合．答案：集合{}21y y x =+和{}21x y x =+均是数集，而集合{}2(,)1x y y x =+是点集．集合{}21y y x =+是函数21y x =+函数值组成的集合，而集合{}21x y x =+是函数21y x =+的自变量的取值组成的集合，集合{}2(,)1x y y x =+是函数21y x =+的图象上所有点组成的集合． 我创新 我超越13．定义{},A B x x A x B -=∈∉，若{}1,2,3,4,5M =,{}2,3,6N =,试用列举法表示集合N M -． 思路分析：由已知得集合A B -{},x x A x B =∈∉，即集合A 中不属于集合B 的元素组成的集合，也就是．集合A 中除去集合A 和集合B 的公共元素组成的集合． 解：由题意得N M -是集合N 中除去集合M 和集合N 的公共元素组成的集合．观察集合M 、N ，它们的公共元素是2，3．集合N 中除去元素2，3还剩下元素6，则{}6N M -=．答案：{}6。

专题1 集合的含义与表示题组1 集合的概念1.对于以下说法：①接近于0的数的全体构成一个集合；②长方体的全体构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合；⑤0,0.5，，组成的集合含有四个元素.其中正确的是（）A.①②④B.②③⑤C.③④⑤D.②④【答案】D【解析】①③中的元素不能确定，⑤中的集合含有3个元素，②④中的元素是确定的，所以②④能构成集合.故选D.2.下列各组对象可以组成集合的是（）A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数【答案】B【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.3.下列说法中正确的是（）A.班上爱好足球的同学，可以组成集合B.方程x（x－2）2＝0的解集是{2,0,2}C.集合{1,2,3,4}是有限集D.集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是含有相同元素的集合【答案】C【解析】班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；方程x（x－2）2＝0的所有解的集合可表示为{0,2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；集合{1,2,3,4}中有4个元素，所以集合{1,2,3,4}是有限集，选项C正确；集合{x2＋5x＋6＝0}不符合集合的表示形式，既不是列举法，也不是描述法，表示形式错误，选项D不正确.故选C.4.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（）A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合B.P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C.P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对（2,3）构成的集合D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集【答案】A【解析】由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.题组2 集合中元素的特征5.数集{x2＋x,2x}中，x的取值范围是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，0）∪（0，＋∞）C.（－∞，1）∪（1，＋∞）D.（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）【答案】D【解析】根据题意，由集合中元素的互异性，可得集合{x2＋x,2x}中，x2＋x≠2x，即x≠0，x≠1，则x的取值范围是（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）.故选D.6.数集{1,2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A.{2，}B.{－2，－}C.{±2，±}D.{2，－}【答案】C【解析】由x2－3≠1解得x≠±2.由x2－3≠2解得x≠±.∴x不能取得值的集合为{±2，±}.故选C.7.若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素，则a等于（）A.4B.2C.0D.0或4【答案】A【解析】当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故选A.8.若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为（）A.1B.0C.0或1D.以上答案都不对【答案】C【解析】k＝0时，适合题意；k≠0，由Δ＝0，可得k＝1.9.由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含（）A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素【答案】A【解析】由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素.10.设集合A＝{－1,1,2，－2}，B＝{0,3，－3}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由集合中元素的互异性，可知集合M＝{0，－3,3,6，－6}，所以集合M中共有5个元素.题组3 元素与集合的关系11.由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则（）A.a∈AB.a2∈AC.∉AD.a＋1∉A【答案】A【解析】a＝＋<＋＝4<5，∴a∈A.a＋1<＋＋1＝5，∴a＋1∈A.a2＝（）2＋2·＋（）2＝5＋2>5.∴a2∉A.＝＝＝－<5.∴∈A.故选A.12.已知集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{y|y＝3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0与集合M，N的关系是（）A.x0y0∈M但x0y0∉NB.x0y0∉M且x0y0∉NC.x0y0∈N但x0y0∉MD.x0y0∈M且x0y0∈N【答案】C【解析】设x0＝3m＋1，y0＝3n＋2，m，n∈Z，则x0y0＝（3m＋1）（3n＋2）＝9mn＋6m＋3n＋2＝3（3mn＋2m＋n）＋2，∴x0y0∈N但x0y0∉M，故选C.13.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，且a∈P，b ∈Q，则有（）A.a＋b∈PB.a＋b∈QC.a＋b∈RD.a＋b不属于P、Q、R中的任意一个【答案】B【解析】由P＝{x|x＝2k，k∈Z}可知P表示偶数集；由Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}可知Q表示奇数集；由R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}可知R表示所有被4除余1的整数；当a∈P，b∈Q，则a为偶数，b为奇数，则a＋b一定为奇数，故选B.14.若集合A＝{x|0<x<7，x∈N*}，则B＝中元素的个数为（）A.3B.4C.1D.2【答案】B【解析】A＝{x|0<x<7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3,6}，∵A∩B＝B，∴B＝中元素的个数为4.15.定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素数字之和为（）A.7B.9C.5D.6【答案】A【解析】∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B＝{1,2,4}，则A*B中的所有元素数字之和为1＋2＋4＝7，故选A.16.（1）设A表示集合{2,3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，求实数a 的值；（2）已知集合A＝{（x，y）|2x－y＋m>0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，若（2,3）∈A，且（2,3）∉B，试求m，n的取值范围.【答案】（1）∵5∈A，且5∉B，∴即解得a＝－4.（2）∵（2,3）∈A，∴2×2－3＋m>0，∴m>－1.∵（2,3）∉B，∴2＋3－n>0，∴n<5.∴所求m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}.17.已知集合S中的元素是正整数，且满足命题“如果x∈S，则（6－x）∈S”时回答下列问题：（1）试写出元素个数为2的全部集合S；（2）试写出满足条件的全部集合S.【答案】（1）∵S中有两个元素，且x∈S,6－x∈S，∴这两个元素的和为6，∴S可能为{1,5}，{2,4}.（2）当6－x＝x时，x＝3，∴S可能为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,5,3}，{2,4,3}，{1,5,2,4}，{1,5,2,4,3}.题组4 常用的数集及表示18.下列关系中正确的个数为（）①∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①③正确.19.下列四个说法中正确的个数是（）①集合N中的最小数为1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合；⑤π∈Q；⑥0∉N；⑦－3∈Z；⑧∈R.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①错，因为N中最小数是0；②错，因为0∈N，而－0∈N；③错，当a＝1，b＝0时，a＋b＝1；④错，小的正数是不确定的；⑤错，因为π不是有理数；⑥错，因为0是自然数；⑦正确，因为－3是整数；⑧正确，因为是实数.题组5 用列举法表示集合20.用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N*}为（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】B【解析】∵x－2<3，∴x<5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故选B.21.方程组的解构成的集合是（）A.{（1,1）}B.{1,1}C.（1,1）D.{1}【答案】A【解析】由得即方程组的解构成的集合为{（1,1）}，故选A.22.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（）A.{x|x＝4k－1，k∈Z}B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}【答案】A题组6 用描述法表示集合23.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（）A.{x|x＝4k－1，k∈Z}B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}【答案】A24.用描述法表示一元二次方程的全体，应是（）A.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R}B.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0}C.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R}D.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}【答案】D【解析】∵一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0.则描述法表示一元二次方程的全体构成的集合为：{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}.故选D.25.集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（）A.方程y＝2x－1B.点（x，y）C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合【答案】D【解析】集合{（x，y）|y＝2x－1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y＝2x－1}表示函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.26.第一象限的点组成的集合可以表示为（）A.{（x，y）|xy>0}B.{（x，y）|xy≥0}C.{（x，y）|x>0且y>0}D.{（x，y）|x>0或y>0}【答案】C27.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由于[k]＝，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5（n1－n2）能被5整除，∴a－b∈[0]，∴③正确；对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m ∈Z，k＝0,1,2,3,4，则a＝5n＋5m＋k＝5（m＋n）＋k，m∈Z，n∈Z，∴a，b属于同一“类”，∴④正确，则正确的有①③④，共3个.28.已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（）A.x0∈NB.x0∉NC.x0∈N或x0∉ND.不能确定【答案】A【解析】M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，∵2k＋1（k∈Z）是一个奇数，k＋2（k∈Z）是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.题组7 集合的表示综合29.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n ＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M ＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（）A.18B.17C.16D.15【答案】B【解析】因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个，故选B.30.用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数}；（2）{能被3整除，且小于10的正数}；（3）{x|x＝|x|，x<5且x∈Z}；（4）{（x，y）|x＋y＝6，x，y均为正整数}；（5）{－3，－1,1,3,5}.【答案】（1）{－2，－1,0,1,2}；（2）{3,6,9}；（3）{0,1,2,3,4}；（4）{（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）}；（5）{x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}.11/ 11。