高中数学 导数及其应用测试卷 新人教A版选修2-2

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。

人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(一) 导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0【解析】 lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)，故选B .【答案】 B2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．【答案】 D5．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．－1【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0. 【答案】 A6．如图1所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )图1A.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x 【解析】 S ＝⎠⎛01[－(x 2－1)]d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .【答案】 C7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2 B．1C．0 D．由a确定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增，无极值．故选C.【答案】C8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】 A9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C.【答案】 C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0,1)， ∵f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0,1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0,1)上恒成立．设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C11．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2【解析】 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1， 所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5. 【答案】 A12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) 【导学号：62952063】A ．3 B.52 C ．2D.32【解析】 由题意，得f ′(x )＝2ax ＋b .由对任意实数x ，有f (x )≥0，知图象开口向上，所以a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，所以ac ≥b 24.因为f ′(0)>0，所以b >0，且在x ＝0处函数递增． 由此知f (0)＝c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥b ＋2b 24b＝2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．⎠⎜⎛π2 (3x ＋sin x )d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 22－cos x ⎪⎪⎪π20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22－cos π2－(0－cos 0)＝3π28＋1.【答案】 3π28＋114．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)． 【答案】 (－ln 2,2)15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________.【导学号：62952064】【解析】 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2， 极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．【答案】 (－2,2)16．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－1 4，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln(x＋1)＋12x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x(x－a＋1)x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x(x－a＋1)x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为x(－1,0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝a ln a－12a2＋32.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－m ln x，h(x)＝x2－x＋a，(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1(ln x)2，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)抛物线y ＝ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y ＝4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a ，b 值，并求S 的最大值．【解】 由题设可知抛物线为凸形，它与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝－b a ，所以S ＝⎠⎛0－ba (ax 2＋bx )d x ＝16a 2b 3， ①又直线x ＋y ＝4与抛物线y ＝ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝ax 2＋bx ，得 ax 2＋(b ＋1)x －4＝0，其判别式Δ＝0， 即(b ＋1)2＋16a ＝0.于是a ＝－116(b ＋1)2，代入①式得： S (b )＝128b 33(b ＋1)4(b >0)，S ′(b )＝128b 2(3－b )3(b ＋1)5；令S ′(b )＝0，得b ＝3，且当0<b <3时，S ′(b )>0； 当b >3时，S ′(b )<0.故在b ＝3时，S (b )取得极大值，也是最大值，即a ＝－1，b ＝3时，S 取得最大值，且S max ＝92. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1. 【导学号：62952065】【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x(x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，(2)证明：由(1)知，f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 设函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0， 所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，得f (x )>ln xx －1； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，得f (x )>ln xx －1. 故当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.。

高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 ( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 22．已知物体的运动方程为23s t t=+（t 是时间，s s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为( ) A ．194B ．174C ．154D ．1343． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝05．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．已知函数()cos 2f x x x =⋅，则)(x f 的导函数()f x '= ( )A ．cos22sin2x x x -B ． cos2sin 2x x x -C ． cos22sin2x x x +D ． cos2sin 2x x x +7．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()8．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t 的最小值是()A．20 B．18C．3 D．09.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如下，则()A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点10.函数f(x)＝12e x(sinx＋cosx)在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为()A.[12，21e2π] B.(12，21e2π)C.[1，2e π] D.(1，2eπ)二、填空题（每小题6分, 共24分）11．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6 s间的运动路程为__________．12. 曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为.13. 已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．14.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是.三、解答题（共计76分）15.（本题满分12分）已知函数322()1f x x mx m x=+-+（m为常数，且0m>），当2x=-时有极大值.(1）求m的值；(2）若曲线()y f x=有斜率为5-的切线，求此切线方程.16.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程．(1)直线l和y＝f(x)相切且以P为切点；(2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于P.17.（本题满分12分）已知函数f(x)＝x2－a ln x(a∈R)．(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．18.(本题满分12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知5858－u与221()4x-成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．19．（本题满分14分）定义在R上的函数f(x)＝13ax3＋bx2＋cx＋2同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝31()3x x f x e ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦，求函数g (x )在[m ，m ＋1]上的最小值．20．（本题满分14分）设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>(Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ）若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；(Ⅲ）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求m 的取值范围.高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》测试题A 卷答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1．【答案】 B【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e.2. 【答案】 D【解析】物体在时刻2t =时的速度就是路程在2t =时的导数232s t t '=-所以22313|2224t v s ='==⨯-= 3. 【答案】 B【解析】f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2 4. 【答案】A【解析】切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝430x ＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 5. 【答案】B【解析】∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0.∴a >6或a <－3. 6.答案 A解析：()(cos2)cos22sin 2f x x x x x x ''=⋅=- 7.【答案】 C【解析】∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴当x <－2时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0； 当x >－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.∴当x <－2时，y ＝xf ′(x )>0； 当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2<x <0时，y ＝xf ′(x )<0； 当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x >0时，y ＝xf ′(x )>0. 8. 【答案】 A【解析】()f x '＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令()f x '＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 9．【答案】 A【解析】由图可知，x 1，x 2，x 3，x 4是导函数y ＝f′(x)的零点，在x 1左、右两侧，x 4左、右两侧，导函数的符号相同，∴x 1，x 4不是函数y ＝f(x)的极值点，同理易知，x 2是函数y ＝f(x)的极大值点，x 3是函数y ＝f(x)的极小值点. 10. 【答案】A【解析】f′(x)＝12e x (sinx ＋cosx)＋12e x (cosx －sinx)＝e x cosx ，当0<x<2π时，f′(x)>0，∴f(x)是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数.∴f(x)的最大值为f(2π)＝122e π，f(x)的最小值为f(0)＝12.∴f(x)的值域为[12，122e π].二、填空题 11【答案】494m 【解析】由题图可知，该物体在12s ～6 s 间运动的路程为61361113221()22(1)3s v t dt tdt dt t dt ==+++⎰⎰⎰⎰494=12 【答案】212e 【解析】∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x =2＝e x |x =2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)， ∴S △＝12×1×e 2＝212e13. 【答案】4【解析】∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 14. 【答案】 (－2,2)【解析】令f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2，画出函数图像如图所示，可得－2<a <2时，恰有三个不同公共点.三、解答题15. 【解析】（1）22()32()(3)0f x x mx m x m x m '=+-=+-= 则21240,6(), 2.m m m m =-==-=舍去6分(2）由（1）知，32()241f x x x x =+-+ 依题意知2()324=5f x x x '=+-- 1,x =-或13x =- 10分又168(1)6,()327f f -=-=,所以切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+ 即510x y +-=或13527230.x y +-=12分16. 【解析】(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.4分(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 6分又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为300000(2)32,1y x x x x ---+=-8分所以32000032331x x x x -+=--，即30x －3x 0＋2＝3(20x －1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝319(1)44-=-.10分所以l 的方程为9(2)(1),4y x --=--即9410x y +-=.12分17. 【解析】(1)证明：当a ＝2时，f (x )＝x 2－2ln x ， 当x ∈(1，＋∞)时， 22(1)()0x f x x-'=>，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．3分 (2) 22()(0)x af x x x-'=>，4分当x ∈[1，e]时，2x 2－a ∈[2－a ，2e 2－a ]．若a ≤2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 又f (1)＝1，故函数f (x )在[1，e]上的最小值为1. 6分若a ≥2e 2，则当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0， 所以f (x )在[1，e]上是减函数，又f (e)＝e 2－a ，所以f (x )在[1，e]上的最小值为e 2－a . 8分若2<a <2e 2，则当1≤x <2a时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数, 当 2a<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数． 又f (2a )＝2a -2a ln 2a ， 所以f (x )在[1，e]上的最小值为2a -2a ln 2a.10分综上可知，当a ≤2时，f (x )在[1，e]上的最小值为1； 当2<a <2e 2时，f (x )在[1，e]上的最小值为2a -2a ln 2a；当a ≥2e 2时，f (x )在[1，e]上的最小值为e 2－a . 12分18. 【解析】(1)设5858－u ＝k 221()4x -，∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k 221(10)4-，解得k ＝2.3分∴u ＝－2221()4x -2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．6分(2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，8分 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.9分∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，11分∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．12分19. 【解析】(1)f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，由题意知(1)0,20,(0)1,f b f '=⎧⎪=⎨⎪'=-⎩即20,0,1,a b c b c ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得1,0,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩6分所以函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－x ＋2.7分(2)g (x )＝31()3x x f x e ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦＝(x －2)e x .g ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝1.当x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0， 所以函数g (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．9分当m ≥1时，在[m ，m ＋1]上， g (x )单调递增，g (x )min ＝g (m )＝(m －2)e m ；10分当m <1<m ＋1，即0<m <1时，g (x )在[m,1)上单调递减，在(1，m ＋1]上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝－e ；11分当m ＋1≤1，即m ≤0时，在[m ，m ＋1]上，g (x )单调递减，g (x )min ＝g (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.12分综上，函数g (x )在[m ，m ＋1]上的最小值g (x )min ＝1(2),1,,01,(1),0,m m m e m e m m e m +⎧-≥⎪-<<⎨⎪-≤⎩1４分20. 【解析】（Ⅰ）∵f′(x)=3x 2+2a x －a 2=3(x 3a-)(x+a ),1分又a >0，∴当x<－a 或x>3a时f′(x)>0； 当－a <x<3a时，f′(x)<0. 4分∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a ），(3a，+∞)， 单调递减区间为(－a ，3a ).6分(Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x 2+2a x －a 2=0在[－1，1]上没有实根∴⎪⎩⎪⎨⎧><'<-'00)1(0)1(a f f ，解得a >3. 10分(Ⅲ）∵a ∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知3a∈[1，2]，－a ≤－3 又x ∈[－2,2] ∴f(x)max =max{f(－2),f(2)} 而f(2)－f(－2)=16－4a 2<0 f(x)max =f(-2)= －8+4a +2a 2+m 12分又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立 ∴f(x)max ≤1即－8+4a +2a 2+m≤1即m≤9－4a －2a 2,在a ∈[3，6]上恒成立 ∵9－4a 2a -2的最小值为－87，∴m≤－87.14分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作导数的概念与运算第1题. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．答案：3第2题.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ） Ａ．3 Ｂ．52 Ｃ．2 Ｄ．32答案：Ｃ第3题.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5答案：B第4题.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12答案：A第5题.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 ．答案：520x y +-=第6题.已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）Ａ．()0f x '>，()0g x '>Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '>Ｄ．()0f x '<，()0g x '<答案：B 导数的概念和性质第1题.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5答案：B 第2题. ()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤ 答案：A第3题. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）答案：D y x O y x O y x O y xO A ． B ． C ． D ．第4题.已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，答案：B。

⎩ ⎭ 《数学选修 2-2》导数及其应用(一)第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数 y = f (x ) 在区间 (a , b ) 内可导,且 x ∈(a , b ) 则 lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )的值为( )A. f '( x 0 )B. 2 f '( x 0 )C. -2 f '( x 0 )D. 0h →0 h 2、一个物体的运动方程为 s = 1 - t + t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在3 秒末的瞬时速度是( )A. 7 米/秒B. 6 米/秒C. 5 米/秒D. 8 米/秒 3、曲线 y = x 3 - 4x 在点(1, -3) 处的切线倾斜角为()3πππA. πB.C.D.42 4 64、曲线 f (x ) = () x 3 + x - 2 在 p 0 处的切线平行于直线 y = 4x - 1,则 p 0 点的坐标为A. (1, 0)B. (2,8)C. (2,8) 和(-1, -4)D. (1, 0) 和(-1, -4)5、若 f (x ) = sin- cos x ,则 f '() 等于()A. cosB. sinC. sin+ c os D. 2 s in 6、若曲线 y = x 4 的一条切线l 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直,则l 的方程为( ) A. 4x - y - 3 = 0 B. x + 4 y - 5 = 0 C. 4x - y + 3 = 0 D. x + 4 y + 3 = 07、对正整数 n ,设曲线 y = x n(1 - x ) 在 x = 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列⎧ a n ⎫ 的前 n 项和的公式是( )⎨ n +1⎬ A. 2nB. 2n - 2C. 2n +1D. 2n +1 - 28、已知 f (x ) = ax 3 + 9x 2 + 6x - 7, 若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于()19 16 10 13 A.B.C.D.33339、二次函数 y = f (x ) 的图象过原点,且它的导函数 y = f '(x ) 的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数 y = f (x ) 的图象的顶点所在象限是()A. 第一B.第二C.第三D.第四10、已知函数 y = f (x ) 的图象在点 M (1,f (1))处的切线方程是 y = 1x +2,则 f (1) + f '(1) 的2 值等于()⎪ 5 A.1 B.C.3D.0211、下列式子不正确的是()2'⎛1 ⎫' 12A. (3x + x c os x )= 6x + cos x - x sin xB. ln x - 2 ⎪ =-⎝x ⎭ x x '⎛ sin x ⎫'cos x - sin xC. (sin 2x ) = 2 cos 2xD. x = x 212、设 a ∈ R ,函数 ⎝ ⎭ f (x ) = e x + a ⋅ e -x 的导函数是 f '(x ) ,且 f '(x ) 是奇函数.若曲线y = f (x ) 的一条切线的斜率是 3,则切点的横坐标为( ) 2A. ln 2B. -ln 2ln 2 C. D. 2ln 2 2第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数 f (x ) = -x 2 + x 的图象上的一点 A (-1, - 2) 及临近一点B (-1 + ∆x , - 2 + ∆y ) 则 ∆y= .∆x14、曲线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 在点(1,一3)处的切线方程是15、在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线C : y = x 3 -10x + 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为.16、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) = 0 , 等式 f ( x ) > 0 的解集是.xf '(x ) - f (x )x 2> 0 ( x > 0) ,则不三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12 分)已知函数 f (x ) = ax 2 + 2 ln(2 - x )(a ∈ R ) ,设曲线 y = l ,若l 与圆C : x 2 + y 2 = 1相切,求 a 的值.4f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线为-318、(12 分)设函数f (x) = cos( 3x +)(0 <<),且f (x) +f '(x) 为奇函数. (1)求的值;(2)求f ( x) +f '( x) 的最值.19、(12 分)已知a ∈R ,函数 f (x) =x2 (x -a) ,若 f '(1) = 1 .(1)求a 的值并求曲线 y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程 y =g( x) ;(2)设h( x) =f '( x) +g( x) ,求h( x) 在[0,1] 上的最大值与最小值.20、(12 分)设函数 f (x) =ax3+bx +c (a ≠ 0) 为奇函数,其图象在点(1, f (1)) 处的切线与直线x + 18 y - 7 = 0 垂直,导函数f '(x) 的最小值为12 .(1)求a , b , c 的值;f ( x)(2)设g( x)x2,当x > 0 时,求g( x) 的最小值.21、(12 分)设函数 f (x) =ax -bx,曲线 y =f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程为7x - 4 y -12 = 0 .(1)求f (x) 的解析式;(2)证明:曲线y =f (x) 上任一点处的切线与直线x = 0 和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.=0 x =2 ( ) ⎩ ⎭22、(14 分) 已知关于 x 的方程大依次为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .sin x = k (k ∈(0,1)) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根,从小到x(1) 求证: x 4 = tan x 4 ;(2) 是否存在常数 k ,使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列?若存在求出 k 的值,否则说明理由.1.Blimf (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) 参考答案= lim 2[ f (x 0 + h ) - f (x 0 - h )]h →0hh →0 2h= 2 lim f ( x 0 + h ) - f ( x 0 - h ) = 2 f '( x ) .h →0 2h2.C s '(t ) = 2t - 1, s '(3) = 2 ⨯ 3 - 1 = 5 .3.A y ' = 3x 2- 4, k = y ' | = -1, tan = -1,= 3π . 44.D 设切点为 P (a , b ) , f '( x ) = 3x 2+1, k = f '(a ) = 3a 2 + 1 = 4, a = ±1,把 a = -1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = -4 ;把 a = 1 ,代 入 到 f (x ) = x 3 + x - 2 得 b = 0 ,所 以P 0 (1, 0) 和(-1, -4) .5.Bf '( x ) = sin x , f '() = sin .6.A 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直的直线l 为4x - y + m = 0 ,即 y = x 4 在某一点的导数为4 ,而y ' = 4x 3 ,所以 y = x 4 在(1,1) 处导数为4 ,此点的切线为4x - y - 3 = 0 .7.Dy ' = -2n -1 (n + 2),切线方程为: y + 2n = -2n -1 (n + 2)( x - 2) ,令 x = 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y = (n +1)2n ,所以 a n= 2n ,则数列⎧ a n ⎫的前 n 项和 S n 02 1- 2n == 2n +1 - 2 1- 2n +1⎨n +1⎬x =12a ⎝ ⎭x =1 x =1 8.B f '(x ) = 3ax 2 +18x + 6 ,由 f '(-1) = 4, 得3a - 18 + 6 = 4 ,即a =16 .39.C 设 f (x ) = ax 2 + bx , f '(x ) = 2ax + b , f '(x ) 的图象是过第一、二、三象限的一条直线,⎛b ⎫2b 2 ⎛ b b 2 ⎫ 故2a > 0, b > 0 ,又 f (x ) = a x + ⎪ ⎝ ⎭ - 4a ,即项点 - 2a , - 4a ⎪ 在第三象限.10.C 由已知切点在切线上,所以 f (1)= 1 + 2 = 5 ,切点处的导数为切线斜率,所以 f '(1)＝ 1,所以 f (1) + f '(1)＝⎛ sin x ⎫' 2 2 2 3x cos x - sin x11.D x ⎪ = x 2⎝ ⎭12.Af '( x ) = e x - ae -x , f '(x ) 是奇函数 f '(0) = 1 - a = 0 ,∴ a = 1 ,有 f '( x ) = e x - e -x ,x - x 3 x x 1 设切点为( x 0 , y 0 ) ,则 f '( x 0 ) = e 0 - e 0 = ,得e 0 = 2 或e 0= - 2 2(舍去),∴ x 0 = ln 2 .13. 3 - ∆x -2 + ∆y = -(-1+ ∆x )2 + (-1+ ∆x )∴ ∆y = ∆x - (-1 + ∆x )2 + (-1 + ∆x ) - 2 ∆x= 3 - ∆x 14. 5x + y - 2 = 0易 判 断 点 (1,-3)在 曲 线 y = x 3 - 2x 2 - 4x + 2 上 ,故 切 线 的 斜 率k = y ' | = (3x 2 - 4x - 4) | = -5,∴切线方程为 y + 3 = -5( x -1) ,即5x + y - 2 = 015.( - 2,15) y ' = 3x 2 -10 = 2 ⇒ x = ±2 ,又点 P 在第二象限内,∴ x = -2 ,得点 P 的坐标为(- 2,15)f ( x ) 16. (-1,0) (1,+∞) 可得 f '( x ) >,由导数的定义得,当0 < x < 1 时,xf ( x ) - f (1) >x - 1 ,又 f (1) = 0 , xf ( x ) < ( x - 1) f ( x ) ,∴ f ( x ) < 0 ;当 x > 1时,x同理得 f ( x ) < 0 .又 f (x ) 是奇函数,画出它的图象得 f ( x ) > 0 ⇒ x ∈(-1, 0) (1, +∞) .17.解:依题意有: f (1) = a , f '(x ) = 2ax +∴ l 的方程为2(a - 1)x - y + 2 - a = 02x - 2(x < 2) ,| 2 - a |l 与圆相切,∴= 4(a - 1)2 + 1 1 ⇒ a =11 28 ∴ a 的值为11 .818.解:(1) f ( x ) + f '( x ) = cos( 3x +) -3 sin( 3x +)f ( x )6 6 ) 1 13 ⎨ 3 3= 2 sin( 3x ++5 ,6又0 << π , f ( x ) + f '( x ) 是奇函数,∴= . 6(2)由(1)得 f ( x ) + f '( x ) = 2 sin( 3x + π) = -2 sin 3x .∴ f ( x ) + f '( x ) 的最大值为 2,最小值为-2 .19、解:(1) f '(x ) = 3x 2 - 2ax ,由 f '(1) = 1 得3 - 2a = 1 ,所以a = 1 ;当a = 1 时, f ( x ) = x 3 - x 2 , f (1) = 0 ,又 f '(1) = 1 ,所以曲线 y = f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程为 y - 0 = 1⨯ ( x - 1) ,即 g ( x ) = x - 1 ;(2)由(1)得h ( x ) = 3x 2 - x - 1 = 3( x - 1)2 -13,6 12又h (0) = -1 , h (1) = 1, h ( ) = -, 6 1213∴ h ( x ) 在[0,1] 上有最大值 1,有最小值.1220.解:(1)∵ f (x ) 为奇函数,∴ f (-x ) = - f (x ) ,即-ax 3 - bx + c = -ax 3 - bx - c ,∴ c = 0 ,又∵ f '(x ) = 3ax 2 + b 的最小值为12 ,∴ b = 12 ;1又直线 x + 18 y - 7 = 0 的斜率为- 18∴ a = 2 , b = 12 , c = 0 为所求.,因此, f '(1) = 3a + b = 18 , ∴ a = 2 ,(2)由(1)得 f ( x ) = 2x 3 + 12x ,∴当 x > 0 时, g ( x ) =f ( x ) = 2( x + 6) ≥ 2 ⋅ 2 = 4 ,x 2 x∴ g ( x ) 的最小值为4 .721.解:(1)方程7x - 4 y -12 = 0 可化为 y = x - 3 .4当 x = 2 时, y = 1 . 又 f '(x ) = a + b,2 x 2⎧2a - b = 1 ⎪ 于是⎨ ⎧a = 1 解得 b 7 b = 3 , 故 f (x ) = x - . x ⎪a + = ， ⎩ ⎩⎪ 4 4(2)设 P ( x 0 , y 0 ) 为曲线上任一点,由 y ' = 1+x 2知曲线在点 P (x 0，y 0 ) 处的切线方程为 x ⋅ 6 x2 21 2 3 3 y - y = ⎛1+ 3 ⎫ (x - x ) ,即 y - ⎛x- 3 ⎫ = ⎛1+3 ⎫(x - x ) .0 x 2 ⎪ 0 0 x ⎪ x 2 ⎪ 0 ⎝ 0 ⎭6 ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 ⎭⎛ 6 ⎫ 令 x = 0 得 y = - x ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 0，- x ⎪ . 0 ⎝ 0 ⎭令 y = x 得 y = x = 2x 0 ,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x 0，2x 0 ) .所以点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形面积为 -2x 0 = 6 .故曲线 y = 此定值为6 .f (x ) 上任一点处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形的面积为定值,22.解:(1)由原方程得sin x = kx (x ≠ 0) ,设函数 f (x ) = sin x , g (x ) = kx (x ≠ 0) ,它们的图象如图所示:方程得sin x = kx (x ≠ 0) 在(-3π, 0) (0, 3π) 内有且仅有 4 个根, x 4 必是函数 g (x ) = kx 与 f (x ) = sin x 在(2π,5π) 内相切时切点的横坐标,即切点为(x , sin x ) , g (x ) = kx 是 f (x ) = sin x 的切线.24 4由 f '( x ) = cos x ,∴ k = cos x 4 ,又∵ sin x 4 = kx 4 ,于是 x 4 = tan x 4 .1(2)由题设知 x 2 = -x 3 ,又 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列,得2x 3 = x 2 + x 4 ,∴ x 3 = 3x 4 .1 1 1由sin x 3 = kx 3 ,得sin 3 x 4 = 3 kx 4 ,即sin x 4 = 3sin 3 x 4 .由题设 x ∈(2π, 5π) ,得 x 4 ∈( 2π , 5π) ,42 ∴ sin x 4 ∈ 13 3 6x 4 3 3( , ) ,有3sin 3 ∈( , ) ,即sin x 4 ∈( , ) ,与sin x 4 < 1 矛盾!故不存在常数 k 使得 x 2 , x 3 , x 4 成等差数列yxO2 36x3 3 3 2 2 3 2 2 2 2。

单元测评(一) 导数及其应用(A 卷)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分． 1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－15x －6解析：由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.只有C 正确．答案：C2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.答案：B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3 C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.答案：D5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A6．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论正确的是()A ．在区间(－2,1)内f (x )是增函数B ．在区间(1,3)内f (x )是减函数C ．在区间(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取极小值解析：由图象可知，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(4,5)内为增函数． 答案：C7．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A ．－5B ．7C ．10D ．－19解析：∵y ′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， ∴函数在[－2，－1]内单调递减， 最大值为f (－2)＝2＋a ＝2.∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 答案：A8．曲线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积等于( ) A.13B.23C ．1D.43解析：函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛1(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＝2×23＝43.答案：D9．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e ]，则⎠⎛0e f(x)d x 等于( )A .43B .54C .65D .76解析：⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x＝13x 3|10＋ln x |e1＝43. 答案：A10．若函数f(x)在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，则当a >b 时，下列不等式成立的是( )A ．e a f (a )>e b f (b )B ．e b f (a )>e a f (b )C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e b f (a ) 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )e x ′＝e x f ′(x )－e x f (x )(e x )2＝e x [f ′(x )－f (x )](e x )2<0，∴y ＝f (x )e x 单调递减，又a >b ， ∴f (a )e a <f (b )e b ， ∴e a f (b )>e b f (a )． 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解． 又∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，y ′＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，函数无极值，故a ＝4，b ＝－11.答案：413．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，根据条件4R ＋2h ＝4，得h ＝2－2R,0<R <1.∴V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3，由V ′＝4πR －6πR 2＝0得R ＝23，且当R ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23时，函数V 递增；R ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1时，函数V 递减，故R ＝23时，V 取最大值827π. 答案：827π14．一动点P 从原点出发，沿x 轴运动，其速度v (t )＝2－t (速度的正方向与x 轴的正方向一致)，则t ＝3时，动点P 移动的路程为________．解析：由v (t )＝2－t ≥0得0≤t ≤2， ∴t ＝3时，点P 移动的路程为 s ＝⎠⎛02(2－t)d t －⎠⎛23(2－t)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t 2|20－⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t 2|32＝52.答案：52三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在x ＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 解：(1)∵y ′＝x 2，∴在点P(2,4)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 又x ＝2时y ＝4，∴在点P(2,4)处的切线方程：4x －y －4＝0.4分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.8分∵点P(2,4)在切线上，∴x 30－3x 20＋4＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1，x 0＝2.故所求的切线方程为y ＝x ＋2或y ＝4x －4，即4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.12分16．(12分)设函数f(x)＝a e x＋1a e x ＋b(a>0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b的值．解：(1)f ′(x)＝a e x－1a e x ，当f ′(x)>0，即x>－ln a 时，f(x)在(－ln a ，＋∞)上递增； 当f ′(x)<0，即x<－ln a 时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减． ①当0<a<1时，－ln a>0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a ＋1a ＋b.6分(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12. 故a ＝2e 2，b ＝12.12分17．(12分)若函数f(x)＝ax 2＋2x －43ln x 在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x)＝2ax ＋2－43x ， 由f ′(1)＝2a ＋23＝0，得a ＝－13.4分 (2)f(x)＝－13x 2＋2x －43ln x(x>0)．f ′(x)＝－23x ＋2－43x ＝－2(x －1)(x －2)3x 由f ′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2.8分 ①当f ′(x)>0时1<x<2； ②当f ′(x)<0时0<x<1或x>2.当x 变化时f ′(x)，f(x)的变化情况如下：↘↘∞)．函数的极小值为f(1)＝53，极大值为f(2)＝83－43ln 2.12分 18．(14分)已知两个函数f(x)＝7x 2－28x －c ，g(x)＝2x 3＋4x 2－40x.(1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f(x 1)≤g(x 2)成立，求实数c 的取值范围．解：(1)∵f(x)≤g(x)恒成立， ∴c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x)max .令F(x)＝－2x 3＋3x 2＋12x ，x ∈[－3,3]， ∴F ′(x)＝－6x 2＋6x ＋12，x ∈[－3,3]，令F′(x)＝0得x＝－1或x＝2.∴当x∈[－1,2]，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈[－3，－1)或x∈(2,3]，f′(x)<0，f(x)单调递减，4分又∵F(2)＝20，F(－3)＝45，∴F(x)max＝F(－3)＝45，∴c≥45.7分(2)∵f(x1)＝7(x1－2)2－28－c，x1∈[－3,3]，∴f(x1)max＝f(－3)＝147－c，∵g(x)＝2x3＋4x2－40x，∴g′(x)＝6x2＋8x－40.∵x∈[－3,3]，∴当x∈[－3,2]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减；x∈(2,3)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．∴x2∈[－3,3]时，g(x2)min＝g(2)＝－48.10分又∵f(x1)≤g(x2)对任意x1，x2∈[－3,3]都成立，∴147－c≤－48，即c≥195，即实数c的取值范围为[195，＋∞).14分。

高二级《导数及其应用》单元测试题一、选择题（每小题5分，8小题共40分）： 1．若1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)(0x f '等于（ ）．Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．３ Ｄ．31 ２．函数 的导数是（ ）．A ．B ．C ．D ．３．曲线23-+=x x y 在点P 0处的切线平行于直线x y 4=，则点P 0的坐标是（ ）．A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(－1,－4)或（1，0）D ．(－1,－4) ４．根据定积分的定义，dx x ⎰22= ( )．A ．n n i ni 1121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑= B ．n n i ni n 1121lim ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=∞→ C ．n n i ni 2221⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= D ．n n i ni n 2221lim⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→2６．设)(),(x g x f 是定义在Ｒ上的恒大于零的可导函数，且满足)()()()(x g x f x g x f '-'＞ ０，则当b x a <<时有（ ）．Ａ．)()()()(b g b f x g x f > Ｂ．)()()()(x g a f a g x f > Ｃ．)()()()(x g b f b g x f > Ｄ．)()()()(a g a f x g x f > ７．设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取 值范围是 ( )．A ．(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)x x 12-x x 12+221x x +221x x -xx y 12-=AxDCxB８．以初速度40m/s 向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高 时的高度为（ ）． A ．m 3160 B ．m 380 C ．m 340 D ．m 320二、填空题（每小题5分，6小题共30分）： ９．若x x y cos 3sin 4⋅=，则 ='y __________．10．⎰+2)sin 3(πdx x x =__________．11．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________． 12．函数*∈-=N n x nx x f n ()1()(且n 为常数)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0上的最大值是_________， 最小值是___________． 13．当[]2,1-∈x 时，m x x x <--2213恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力221r m m kF =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量， ｒ为两质点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处， 求所作之功（ｂ＞a ）二、填空题：９．__________； 10．__________； 11．_____________；12．___________ ，_______； 13．___________； 14．______________三、解答题（６题共８０分）： 15．（12分）(1)求函数)1ln(2x x y ++=的导数． (2)求定积分⎰--112dx x x ．16．(12分)已知)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等实根，且22)(+='x x f ．(1)求)(x f 的解析式；(2)求函数)(x f y =与142+--=x x y 所围成图形的面积．17．已知曲线3)(23+++=x x x x f 在1-=x 处的切线恰好与抛物线px y 22=)0(>p 相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．18．把函数2ln -=x y 的图象按向量)2,1(-=平移得到函数)(x f y =的图象． (1)求函数)(x f y =的解析式； (2)若0>x ，证明：22)(+>x xx f ．19．设直线y ax =(1)a <与抛物线2y x =所围成的图形面积为S,它们与直线1x =围成的面积为T.(1)求函数T S a u +=)( 的解析式； (2)若)(a u 达到最小值,求a 值.20．(14分)已知函数),1(,ln )(e x x ax x f ∈+=，且)(x f 有极值．(1)求实数a 的取值范围； (2)求函数)(x f 的值域；(3)函数2)(3--=x x x g ，证明：),1(,),1(01e x e x ∈∃∈∀，使得)()(10x f x g =．高二级《导数及其应用》单元测试题参考答案一、选择题： ＤＣＣＤ ＡＢＣA７．解析：集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=01|x a x x M ，所以当1>a 时{}a x x M <<=1|，当1=a 时φ=M ， 当1<a 时{}1|<<=x a x M ；集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=0)1(1|2x a x P ，当1>a 时{}1|≠=x x p ，当 1=a 时φ=P ，当1<a 时φ=P ；因为M P 所以1>a ．故选C ．８．解析：21040t v -==0，得物体达到最高时t =2.高度 ()=-=⎰dt t h 221040-t 40(2)310-)(3160m =． 二、填空题：（６题共８０分）：９．x 2cos 12； 10．1832+π； 11．22-e ； 12．11+⎪⎭⎫⎝⎛+n n n ，０； 13．),2(∞+；14．解析：()()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅-⋅===-⎰⎰b a m km r m km dr r m m kdx x F W b ababa11121121221．三、解答题：15．(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+++++='++++=')1(121111)1(1122222x x x x x x x x y2222221111111111x x x x xx x xx x +=+++∙++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=． (2)．dx x x dx x x dx x x )()(2112112⎰⎰⎰-+-=---1)3121()2131(1320123=-+-=-x x x x ． 16．(1)设)0()(2≠+=a c ba ax x f ，则b ax x f +='2)(．依题意有⎩⎨⎧+=+=-222042x b ax ac b ，得 1,2,1===c b a ．∴12)(2++=x x x f ． (2)由3141222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=x x x y x x y 或0=x ， []⎰⎰---=--=--=++-+--=03303232229)332()62()12()14(x x dx x x dx x x x x S17．,2)1(=-f ∴曲线)(x f y =上的切点为A (－1,2).123)(2++='x x x f ,∴2)1(=-'f ,∴切线方程为)1(22+=-x y ，即42+=x y .设抛物线上的切点为),(00y x B ,显然抛物线上的切点在抛物线的上支.抛物线上支的 方程为 px y 2=,则xp y 22=', ∴2220=='=x p y x x , 得08x p = (1)又∵点Ｂ在切线上，∴42200+=x px （2）由(1)(2)求得2,160==x p ，∴80=y . 故抛物线方程为x y 322=,切点为(2,8). 18．(1)由题设得 )1ln()(+=x x f ．(2)令22)1ln(22)()(+-+=+-=x xx x x x f x g ，则 222)2)(1()2(2)2(211)(++=+-+-+='x x x x x x x x g 0>x ,∴0)(>'x g ,∴)(x g 在),0(∞+上单调递增．故)0()(g x g >，即22)(+>x xx f ．。

《数学选修2-2》导数及其应用(二)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、函数()x x a x f +=ln 在1=x 处取到极值,则a 的值为 ( )21.A 1.-B 0.C 21.-D 2、函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( )A.)2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D.),2(+∞3、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.必要非充分条件 D.充要条件4、函数xxy ln =的最大值为( ) A.1-e B.e C.2e D.310 5、函数1ln1y x =+的大致图象为 ( )6、设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =( ) A.在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点C.在区间1(,1)e 内无零点,在区间(1,)e 内有零点D.在区间1(,1)e内有零点,在区间(1,)e 内无零点7、等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为 ( )A.1-或12-B.1或12-C.12- D.18、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.),3[]3,(+∞--∞YB.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞YD.)3,3(- 9、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个 10、函数3()3 (||1)f x x x x =-<( )A.有最大值,但无最小值B.有最大值、最小值C.无最大值、最小值D.无最大值,有最小值11、方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数有 ( )A.0个B.1个C.2个D.3个12、22(sin cos )x x dx ππ-+⎰的值为( ).0 B.C.2D.44A π第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的图形面积是___________________.14、若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数,则,,a b c 的关系式为是 15、函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10,那么b a ,的值分别为________.16、设321()252f x x x x =--+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数23bx ax y +=,当1x =时,有极大值3. (1)求,a b 的值;(2)求函数y 的极小值.18、(12分)已知23()log x ax bf x x++=,(0,)x ∈+∞,是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件:(1))(x f 在(0,1)上是减函数,在[)1,+∞上是增函数;(2))(x f 的最小值是1,若存在,求出a b 、,若不存在,说明理由.19、(12分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?20、(12分)已知函数22()(1)x bf x x -=-,求导函数()f x ',并确定()f x 的单调区间.21、(12分)已知函数32()f x x bx cx =++的导函数的图象关于直线x=2对称. (1)求b 的值;(2)若()f x 在x t =处取得最小值,记此极小值为()g t ,求()g t 的定义域和值域.22、(14分)如右图,设由抛物线2:4C x y =与过它的焦点F 的 直线l 所围成封闭曲面图形的面积为S (阴影部分).(1)设直线l 与抛物线C 交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,且12x x <,直线l 的斜率为k ,试用k 表示21x x -;(2)求S 的最小值.参考答案1.B '()1af x x=+,'(1)010f a =⇒+=,∴1a =-. 2.D ()()(3)(3)(2)x xxf x x e x ex e'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >3.C 对于32(),()3,(0)0,f x x f x x f ''===不能推出()f x 在0x =取极值,反之成立4.A 令22(ln )ln 1ln 0,x x x x xy x e x x''-⋅-'====,当x e >时,0y '<; 当x e <时,0y '>,1()y f e e ==极大值,在定义域内只有一个极值,所以max 1y e=5.D 函数的图象关于1x =-对称,排队A 、C,当1x >-时,ln(1)y x =-+为减函数.6.C 由题得3()3x f x x-'=,令()0f x '>得3x >;令()0f x '<得03x <<;()0f x '=得3x =,故知函数()f x 在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,)+∞为增函数,在点3x =处有极小值1ln30-<;又1(1)03f =>,()103e f e =-<,11()103f e e=+>. 7.A 3304S xdx =⎰＝18,∴3122(1)12a a a q q +=+=⇒1q =或12q =-.8.B 2()3210f x x ax '=-+-≤在),(+∞-∞恒成立,24120a a ∆=-≤⇒≤≤9.A 极小值点应有先减后增的特点,即()0()0()0f x f x f x '''<→=→>.10.D 2()3 3 || 1 ()0 f x x x f x ''=-<∴<Q ()(1,1)f x ∴-在上单调递减,所以无最大、 最小值.11.B 令32()267f x x x =-+，＝6(2)x x -,∴2()612f x x x '=-, 由()0f x '>得2x >或0x <;由()0f x '<得02x <<;又(0)70f =>，(2)10f =-<,∴方程在(0,2)内只有一实根.12.C 令)cos sin ,Fx x x =-+（∴()sin cos F x x x '=+, 所以22(sin cos )()()1(1)222x x dx F F ππ-ππ+--=--=⎰＝.13.323 直线23y x =+与抛物线2y x =的交点坐标为(－1,1)和(3,9), 则3213223)3S x x dx -=⎰＝（＋－ 14.20,3a b ac >≤且 由2()320f x ax bx c '=++>恒成立,则220,0,34120a ab ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且. 15.4,11- 22()32,(1)230,(1)110f x x ax b f a b f a a b ''=++=++==+++=,22334,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩或,当3a =-时,1x =不是极值点. 16.(7,)+∞ 易知]2,1[-∈x 时,max ()7f x =,由()f x m <恒成立,所以max ()m f x >17.解:(1)'232,y ax bx =+当1x =时,'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=,即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩(2)32'269,1818y x x y x x =-+=-+,令'0y =,得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值18.解:设2()x ax bg x x++=,∵()f x 在(0,1)上是减函数,在[1,)+∞上是增函数,∴()g x 在(0,1)上是减函数,在[1,)+∞上是增函数,∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ,∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b ,解得⎩⎨⎧==11b a经检验,1,1a b ==时,()f x 满足题设的两个条件. 19.解:(1)当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时, 要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=(升).(2)当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为()h x 升,依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数; 当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数.∴当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.20.42)1()1(2)2()1(2)(--⋅---='x x b x x x f 3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--. 令()0f x '=,得1x b =-.当11b -<,即2b <时,()f x '的变化情况如下表:)当11b ->,即2b >时,()f x '的变化情况如下表:)所以,当2b <时,函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减,在(11)b -，上单调递增, 在(1)+∞，上单调递减.当2b >时,函数()f x 在(1)-∞，上单调递减,在(11)b -，上单调递增,在(1)b -+∞，上单调递减.当11b -=,即2b =时,2()1f x x =-,所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减,在(1)+∞，上单调递减.21.解: (1)2()32f x x bx c '=++.因为函数()f x '的图象关于直线x=2对称, 所以226b-=,于是 6.b =- (2)由(Ⅰ)知,32()6f x x x cx =-+,22()3123(2)12f x x x c x c '=-+=-+-.(ⅰ)当c ≥ 12时,()0f x '≥,此时()f x 无极值.(ii)当c<12时,()0f x '=有两个互异实根1x ,2x .不妨设1x ＜2x ,则1x ＜2＜2x . 当x ＜1x 时,()0f x '>, ()f x 在区间1(,)x -∞内为增函数; 当1x ＜x ＜2x 时,()0f x '<,()f x 在区间12(,)x x 内为减函数; 当2x x >时,()0f x '>,()f x 在区间2(,)x +∞内为增函数. 所以()f x 在1x x =处取极大值,在2x x =处取极小值.因此,当且仅当12c <时,函数()f x 在2x x =处存在唯一极小值,所以22t x =>.于是()g t 的定义域为(2,)+∞.由 2()3120f t t t c '=-+=得2312c t t =-+.于是 3232()()626,(2,)g t f t t t ct t t t ==-+=-+∈+∞. 当2t >时,2()6126(2)0,g t t t t t '=-+=-<所以函数()g t 在区间(2,)+∞内是减函数,故()g t 的值域为(,8).-∞22.解:(1)可得点(0,1)F ,设直线l 的方程为1y kx =+直线l 与抛物线C 交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,由214y kx x y=+⎧⎨=⎩,得2440x k --=, ∴124x x k +=,124x x =-,又12x x <,∴21x x -=(2)所求的面积:2121(1)4x x S kx x dx =+-⎰=22311()212x x k x x x ⋅+-=232322211111()()212212k k x x x x x x +--+-=22121212112121()()()()[()]212k x x x x x x x x x x x x +-+---+-=281)k k +t =,则1t ≥,有221k t =-,S =2248(1)4[4(1)1]3t t t t t -+--+=383t383S t =在[1,)+∞上为单调递增函数,∴当1t =,即0k =时,S 有最小值83.。

高二上学期《导数及其应用》单元测试（数学文）一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数xe x xf -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3B ．52 C ．2 D ．329．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<<（B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<<（C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<<（D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．17．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =u u u r u u u r ,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求(Ⅰ)求点A B 、的坐标；(Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程. 18. 已知函数32()23 3.f x x x =-+（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程； （2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。