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对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation，CDE）是描述物理系统中物质扩散和热对流运动的方程。
它源于20世纪30年代真空磁体理论中发现的电子运动方程，在50年代被普及应用于各种工程、物理学和化学领域，如电子、热传输、水力学等，具有不可缺少的重要意义。
一般来说，对流扩散方程可以被描述为：$$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d$$其中，a、b、c和d是常数，t和x分别代表时间和物理位置。
若把空间坐标投射到它们的平面上，则可以用更具体的形式表述为： $$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d+frac{partial y}{partial z}$$其中，z是投射后的空间坐标，a、b、c和d也可以改变以适合不同的实际应用场景。
对于对流扩散方程的解析解，有两种基本方法：一种是用不定积分法；另一种是用微分平面法，也称作渐进分析方法。
从一般的原理上来看，不定积分法是把对流扩散方程拆解成多个简单的可求解的微分方程，然后分别求解它们，最后再综合求得总解。
此外，它还可以运用标准积分法来近似求解，特别有利于解复杂的多变量方程。
而渐进分析（Perturbation Analysis）是把复杂的问题划分成几个渐进步骤，每一步把问题简化为可以近似解决的状态，依此不断迭代，最终求得近似解。
这种技术通常用来求解非线性方程，对于对流扩散方程求解也非常有效，能有效地提高准确度和计算速度。
此外，还有其他一些求解方法，比如拉格朗日法（Lagrange Method）、拉普拉斯正则化（Laplace Regularization）以及偏微分方程的泛函理论方法（Functional Theory of Partial Differential Equations）等。
6-3 试在直角坐标系的交错网格上，写出动量离散方程式（6-5）、（6-6）中的系数nb a （即S N W E a a a a ,,,）,n n e e A a A a ,,,的表达式。
为简便起见，设（1）流体物性为常数；（2）在x, y 方向上网格各自均匀划分。
速度e u 的邻点可参阅图6-5， 速度n υ的邻点参见图6-32.对流、扩散项的离散可采用五种三点格式之一。
解：根据课本P145式(5-13)、(5-16)、(5-18)，对流、扩散项采用指数格式计算本题 在二维直角坐标系中，对流—扩散方程的通用形式为：()()()φφφφφρυφφρρφS y y x x y u x t +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ 对于动量方程，把压力梯度项放到源项中了。
引入在x 及y 方向的对流—扩散总通量密度，上式可改写为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ-∂∂+∂∂y p x p S y y x u x t φρυφφφρρφφφ 即：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂y p x p S y J x J t yx ρφ （1） 其中：yJ xu J y x ∂∂Γ-=∂∂Γ-=φρυφφφρφφ将（1）式对P 控制容积做时间与空间上的积分得：e E P p P c s n w e pp A P P V S S J J J J V t)()()()()()(0-+∆+=-+-+∆∆-φρφρφ将通用变量φ换成速度u ，相应的其控制容积变为：所以上式可改写为：e E P p p c s n w e ee A P P V S S J J J J V t u u )()()()()()(0-+∆+=-+-+∆∆-φρρ （2）式（6-5）为：()e E P nb nbe e A p p b u au a -++=∑对上式用界面总通量表达式为：ee E e e EE e u a u F a J -+=)( （3）e w W w W w u F a u a J )(--= （4）n N e n N n u a u F a J -+=)( （5）e s S s S s u F a u a J )(--= （6） 把以上方程代入方程（2）得：e E p e p c e s S s S n N en N w w e w W ee E e e EE ee A P P V u S S u F a u a u a u F a u a u F a u a u F a V tu u )()()()()()(0-+∆+=-+--++--+-++∆∆-ρρ整理得：eE p ec s S n N w W ee E ep s S n N w W e EE A P P u tVV S u a u a u a u a u V S F a F a F a F a tV)(])()()()([0-+∆∆+∆++++=∆--+++-+++∆∆ρρ当对流、扩散项的离散采用指数格式时， 则上式中的系数分别为：1)ex p()(-==∆∆e ee e EE P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆w w w w w W P P F P B D a1)ex p()(-==∆∆n n n n N P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆s s s s s S P P F P B D a tVa e ∆∆=ρ0V S a F F F F a a a a a p e s n w e S N W EE e ∆-+-+-++++=00e e c u a V S b +∆=y A e ∆=同理对（6－6）()n N P nb nbn n A p p b aa -++=∑υυ，类似地有：1)ex p()(-==∆∆n n n n NN P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆s s s s s S P P F P B D a 1)ex p()(-==∆∆e e e e E P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆ww w w w W P P F P B D atVa n ∆∆=ρ0V S a F F F F a a a a a p n s e w n S E W NN n ∆-+-+-++++=000n n c u a V S b +∆=x A n ∆=6-4 对图6-11所示的二维流动情形，已知：10,0,20,50====E N s w p p v u 流动是稳态的，且密度为常数。
