广东省仲元中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文

广东仲元中学2015学年第一学期期末考试高二年级水平考试数学（文科）试卷一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x 2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（ ）A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(,1]-∞2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y=cosxB ．y=sinxC ．y=lnxD ．y=x 2+13．设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）A ．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB ．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC ．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD ．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α4．直线3x+4y=b 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y+1=0相切，则b=（ ）A ．﹣2或12B ．2或﹣12C ．﹣2或﹣12D ．2或125．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．4B ．2C ．8D ．16．在△ABC 中，AB c = ，AC b = .若点D 满足，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A ．s≤B ．s≤C ．s≤D ．s≤8．已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=π，则tan （a 2+a 12）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．不等式x 2+2x ＜对任意a ，b ∈（0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A.(－2,0)B.(,2)(0,)-∞-+∞C.(4,2)-D.(,4)(2,)-∞-+∞10．如果命题P ：∅∈{∅}，命题Q ：∅⊂{∅}，那么下列结论不正确的是（ ）A ．“P 或Q”为真B ．“P 且Q”为假C ．“非P”为假D ．“非Q”为假11．已知双曲线﹣=1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=112．已知f （x ）=alnx+x 2（a ＞0），若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有＞2恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．[1，+∞）二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13． lg0.01+log 216的值是 ．14．已知α∈（，π），sin α=，则tan2α= ．15．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为 ．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．三．解答题（共6小题）17．（10分）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．19．（12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100几名？（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．21．（12分）如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e=，F 是右焦点，A 是右顶点，B 是椭圆上一点，BF⊥x 轴，|BF|=． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：x=ty+λ是椭圆C 的一条切线，点M （﹣，y 1），点N （，y 2）是切线l 上两个点，证明：当t 、λ变化时，以 M N 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标．22．（12分）已知f （x ）=xlnx ，g （x ）=x 3+ax 2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g （x ）在区间),1(),31,(+∞--∞上递增，在上递减，求函数g（x ）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g （x ）的图象在点P （﹣1，1）处的切线方程； （Ⅲ）若不等式2f （x ）≤g′（x ）+2恒成立，求实数a 的取值范围．广东仲元中学2015学年第一学期期末考试高二年级水平考试数学（文科）试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．A 2．A 3．C 4．D 5．A 6．A7．C 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D二．填空题（共4小题）13．是 2 ． 14．则tan2α= ﹣． 15．为． 16．为15 ．三．解答题（共6小题）17．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2）， ..................................................................... ................（2分）从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．......................................................................... .............................（4分）所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．........................................................................ .................................（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，......................................................................（7分）所以T n=+++…+==1﹣．................................（10分）18．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，......................................................................（1分）∵由正弦定理：，又tanA=， ........................(3分)∴=，.............................(4分)∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．...............................(5分)（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，...........(6分)∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，....................(7分)∴sin2B=，....................................................(8分)∵0＜B＜π，∴sinB=，..............................................(9分)∵B为钝角，∴B=，............................................(10分)又∵cosA=sinB=，∴A=，...................................................(11分)∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．.............................................(12分)19．【解答】解：（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人．....................................(2分)故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人．...…（4分）（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a，b，若从5人中任取2名观众记作（x，y），…...（6分）则包含的总的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）共10个．…...（8分）其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）共6个．…（10分）故P（“恰有1名观众的年龄为20至40岁”）=；…...（12分）20．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，.......................................(1分)∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，.......................................(2分)∴VB∥平面MOC；......................................................(3分) （2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，...................................................................(4分)∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，........................................................(6分) ∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB...................................................(7分) （3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，................................................................... ..........................(9分)∵OC⊥平面VAB，∴V C﹣VAB=•S△VAB=，.............................................................. ..(11分)∴V V﹣ABC=V C﹣VAB=．.....................................................................(12分)21．【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为①焦点F（c，0），因为②，..................................................................... ..............(1分)将点B（c，）代入方程①得③....................................(2分)由②③结合a2=b2+c2得：．.................................................(3分)故所求椭圆方程为．................................................................... .(4分)（2）由得（2+t2）y2+2tλy+λ2﹣2=0．...........................(6分)∵l为切线，∴△=（2tλ）2﹣4（t2+2）（λ2﹣2）=0，即t2﹣λ2+2=0①...................................................................... .........(7分)设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，..............................(8分)∵MN为圆的直径，∴②.................................................. .....................(9分)因为，所以，代入②及①得=，...........................(10分)要使上式为零，当且仅当，解得x0=±1，...............................................(11分)所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（﹣1，0）与（1，0），即两个焦点．............................................................................... ...........................................................(12分)22．【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．......................................(1分) 将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．............................(2分)∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．..........................................................（3分）（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4，................................(4分)∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，.................................................(5分)∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．.......................................................................（6分）（III）∵2f（x）≤g′（x）+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立...............................................(7分)可得对x∈（0，+∞）上恒成立.......................................(8分)设，则令h′（x）=0，得（舍）..................................................................(9分) 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2..........................................................(11分)∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．...............................................................（12分）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．4．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由直线与圆相切得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到b的值．【解答】解：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线的距离d==1，解得：b=2或12．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．5．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A．4 B．2 C．8 D．1【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为s，由面积公式和弧长公式可得到关于l和r的方程，进而得到答案．【解答】解：由扇形的面积公式得：S=lR，因为扇形的半径长为2cm，面积为8cm2所以扇形的弧长l=8．设扇形的圆心角的弧度数为α，由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=2所以扇形的圆心角的弧度数是4．故选：A．【点评】本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，是基本运算的考查，属于基础题．6．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选A【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．8．已知数列{a n}为等差数列，且a1+a7+a13=π，则tan（a2+a12）的值为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质和诱导公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a13=a2+a12=2a7，∵a1+a7+a13=π，∴3a7=π，解得．则tan（a2+a12）==﹣．故选B．【点评】本题考查了等差数列的性质和诱导公式，属于基础题．9．不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．10．如果命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，那么下列结论不正确的是（）A．“P或Q”为真B．“P且Q”为假C．“非P”为假D．“非Q”为假【考点】逻辑联结词“非”；逻辑联结词“或”；逻辑联结词“且”．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目中命题P：∅∈{∅}，是把∅看做一个元素，故正确．命题Q：∅⊂{∅}，是把∅看做一个集合，故正确．又P正确非P必假，故只有“P且Q”为假是不正确的，即可得到答案．【解答】解：命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，可直接看出命题Q，命题P都是正确的．故“P或Q”为真．“P且Q”为真．“非P”为假．“非Q”为假．故选B．【点评】此题主要考查判断命题真假问题，其中涉及到逻辑结构“非”“或”“且”与原命题真假性的关系，这类考点属于三级考点，多出现在选择填空中，较简单，同学们需要掌握．11．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．二．填空题（共4小题）13． lg0.01+log216的值是 2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．14．已知α∈（，π），sinα=，则tan2α= ﹣．【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2015•南昌三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据向量共线定理可得||||=72，设A（x，y）、PB为点A在x轴的投影，求出OP在x轴上的投影长度为||cosθ，再利用基本不等式求最值，可得结论．【解答】解：∵=（λ﹣1），∴=λ，则O，P，A三点共线，∵•=72，∴||||=72，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y），B为点A在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为||cosθ==72×=72×≤72×=15．当且仅当|x|=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．故答案为：15．【点评】本题已知椭圆上的动点满足的条件，求线段OP在x轴上的投影长度的最大值．着重考查了向量的数量积及其运算性质、向量的坐标运算公式、基本不等式与椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．三．解答题（共6小题）17．设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．19．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：几名？（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，从中随机抽取5名，抽样比为，进而由大于40岁的观众为27人，得到大于40岁的观众应该抽取人数．（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，列举出所有基本事件的个数，及满足恰有1名观众的年龄为20至40岁的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．【解答】解：（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人．故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人．…（4分）（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a，b，若从5人中任取2名观众记作（x，y），…（6分）则包含的总的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）共10个．…（8分）其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）共6个．…（10分）故P（“恰有1名观众的年龄为20至40岁”）=；…（12分）【点评】本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率公式，（I）的关键计算抽样比，（II）的关键是计算所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数．20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴V C﹣VAB=•S△VAB=，∴V V﹣ABC=V C﹣VAB=．【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；（2）根据条件将直线方程x=ty+λ代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可．【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为①焦点F （c ，0），因为②，将点B （c ，）代入方程①得③ 由②③结合a 2=b 2+c 2得：．故所求椭圆方程为．（2）由得（2+t 2）y 2+2t λy+λ2﹣2=0．∵l 为切线，∴△=（2t λ）2﹣4（t 2+2）（λ2﹣2）=0，即t 2﹣λ2+2=0①设圆与x 轴的交点为T （x 0，0），则，∵MN 为圆的直径， ∴②因为，所以，代入②及①得=，要使上式为零，当且仅当，解得x 0=±1，所以T 为定点，故动圆过x 轴上的定点是（﹣1，0）与（1，0），即两个焦点． 【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度．22．已知f （x ）=xlnx ，g （x ）=x 3+ax 2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g （x ）在区间),1(),31,(+∞--∞上递增，在上递减，求函数g（x ）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g （x ）的图象在点P （﹣1，1）处的切线方程； （Ⅲ）若不等式2f （x ）≤g′（x ）+2恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值．（II）求出g（x）的导数在x=﹣1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程．（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a 大于等于最大值，求出a的范围．【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分）（II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4，∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4，∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分）（III）∵2f（x）≤g′（x）+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得对x∈（0，+∞）上恒成立设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）【点评】解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围．21。