2020-2021学年广东仲元中学高一下期中数学试卷 答案和解析

广东省广州市广东仲元中学【最新】高一第二学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知4tan 3x =，且x 在第三象限，则cos x =（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．352．已知1sin 23α=,则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．13-B ．13C ．23-D ．233．函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如何变换得到（ ） A ．向左平移2π个单位长度得到 B ．向右平移2π个单位长度得到 C ．向左平移4π个单位长度得到 D ．向右平移4π个单位长度得到4．若向量a ，b 满足|a |= ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°5．若1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+=A ．79-B ．23C ．23-D ．796．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π37．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．88．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S 等于A ．30B ．31C ．62D ．649．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．9210．锐角三角形ABC 的三边长a,b,c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2=21，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(√6,√7]B ．(0,√7]C ．(2√425,√7] D ．（6，7]11．已知x ，y R +∈，且满足22x y xy +=，那么4x y +的最小值为( ) A．3B．3+C．3D．12．如图，在OMN ∆中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB =+（x ，y R ∈），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．函数()23s 4f x in x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 14．在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.15．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=74 ，S 6=634，则a 8=_____． 16．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________．三、解答题17． 已知函数f(x)＝2sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 2x.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若函数g(x)对任意x ∈R ，有g(x)＝f 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求函数g(x)在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 18．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0,0,22A ππωϕ>>-<<），其部分图像如图所示.（I ）求()f x 的解析式； （II ）求函数()()?()44g x f x f x ππ=+-在区间[0,]2π上的最大值及相应的x 值。

广东仲元中学2015学年第二学期期中考试高一年级试数学试卷Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．120-°的角所在象限是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．21 B ．1 C ．2 D ．43．在四边形ABCD 中，AD AB AC +=，则下列结论一定正确的是( ) A ． ABCD 一定是矩形 B ． ABCD 一定是菱形 C ． ABCD 一定是正方形 D ． ABCD 一定是平行四边形 4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为（ ）A ．53-B ．53C ．54-D ． 545．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ) A ．91-B ．92C ．98-D ． 32 7．向量)1,2(),2,1(=-=b a ，则（ ）A ． a ∥bB ． a ⊥bC ． a 与b 的夹角为60° D． a 与b 的夹角为30° 8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足CD CM λ=,10<<λ,则=⋅AB AM ( ) A ． 4 B ．2 C ．λ2 D ．λ2- 9．函数x x y 22sin cos -=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数 10．若函数x x f 2sin )(=，则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为（ ）A ． )0,4(πB ． )0,3(πC ． )0,2(πD ． )0,(π 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位12．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若PB PA PC PD ++=+)1(2λ，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知平面向量)1,2(-=a ，则=a _________．14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________． 15．已知向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行，则锐角α等于 ． 16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且DC BD 2=,若R AC AB AD ∈+=μλμλ,,,则=λ ，=μ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知函数)6sin()(π+=x x f .(1)利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图（先在答题卡中所给的表格中填上所需 的数值，再画图）；(2)当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．18．(本小题满分12分)已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ．19．（本小题满分12分）已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表 是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos(1)根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？20．(本小题满分12分)已知向量)1,2(),sin ,(cos -==θθ （1）若⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2⎪⎭⎫⎝⎛∈=-2,0,2πθ，求)4sin(πθ+的值．21．（本小题满分12分）已知,1)a x =r ，(cos ,2)b x =r（1）若//a b r r ，求tan 2x 的值； （2）若()()f x a b b =-⋅r r r，求()f x 的单调递增区间．22．（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=(1)求)24(πf 的值；(2)若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值； (3)若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x x x x <，分别求实数 a 与2111x x +的取值范围．广东仲元中学2015学年期中考试高一数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．CCDDC CBAAC BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．5 14．23 15． 4π16． 31，32 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：6π+x2π π23π π2x6π-3π 65π 34π 611π)(x f0 10 1- 0……………3分 图像（略）……………6分(2)[],,0π∈x Θ61166πππ≤+≤∴x ……………7分 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1， ……………8分当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-， ……………9分∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．……10分18． (本题满分12分)解: (1)∵(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =,∴3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b . ……………2分 ∵(3)-⊥a b c ,∴(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c =3(13)(3)4m =-+-⨯990m =--= ……………5分解得1m =-. ……………6分 (2)由（Ⅰ）知(1,3),=a (1,2)=-b ,∴5b =ga , ……………7分 10,5==ab , ……………8分∴52cos 2105b θ===⨯g g b a a . ……………10分 ∵[0,]θπ∈， ∴4πθ=. ……………12分 19． （本小题满分12分）解： (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝＝＝， ……………2分由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴16cos 21+=t y π. ……………5分 (2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放，∴cos t ＋1>1， ……………6分 ∴cos t>0，∴2kπ－<t <2kπ＋，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .① ……………9分 ∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24. ……………11分 ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00. ……………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）由b a ⊥可知，0sin cos 2=-=⋅θθb a ，所以θθcos 2sin =， ……………3分 所以……………5分（2）由)1sin ,2(cos +-=-θθb a 可得， ……………6分b a -22)1(sin )2(cos ++-=θθ64cos 2sin 2θθ=-+=，即0sin cos 21=+-θθ，① ……………8分又1sin cos 22=+θθ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ②， ……………9分 由①②可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ， ……………10分所以1027)5453(22)cos (sin 22)4sin(=+=+=+θθπθ． ……………12分21．（本小题满分12分）解：//23sin cos 0a b x x ⇒-=r r， ……………2分故3tan 6x =； ……………3分 所以22tan 43tan 21tan 11x x x ==-． ……………5分 （2）2315()()3sin cos cos 2sin 2cos 2222f x a b b x x x x x =-⋅=--=--r r r5sin(2)62x π=--……………8分 令222,,26263k x k k Z k x k k Zπππππππππ-+≤-≤+∈⇒-+≤≤+∈……………10分 所以()f x 的单调递增区间是,63k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦……………12分 22．（本小题满分12分）解：（1）∵()32cos 21f x x x =++ ……………1分312(2cos 2)12x x =++ 2sin(2)16x π=++……………3分 ∴()2sin()12sin 121241264f ππππ=++=+=……………4分 （2）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈ 得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈ ∴()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数∴当0k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ……………5分若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，则[,][,]36m m ππ-⊆- ……………6分∴630m m m π⎧≤⎪⎪π⎪-≥-⎨⎪⎪>⎪⎩， 解得06m π<≤ ……………7分∴m 的最大值是6π……………8分（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++（02x π<<）有两个交点.∵当02x π<<时， 由(2)知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， …9分且(0)2,()3,()0,62f f f ππ===∴ 23a << 即实数a 的取值范围是(2,3) ……………10分 ∵函数()f x 的图象关于6x π=对称 ∴123x x π+=. ∵12x x <，∴106x π<<. ∴122121212111111333()33x x x x x x x x x x x x πππ++====ππ⋅⋅⋅--+. ∵函数23y x x π=-+在(0,)6π内递增∴211(0,)336x x ππ-+∈2∴121112(,)x x +∈+∞π所以2111x x +的取值范围为12(,)+∞π. ……………12分解法2：设2(0)62t x x ππ=+<<，则()2sin 1g t t =+，(,)66t π7π∈方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于直线y a =与曲线()2sin 1g t t =+，(,)66t π7π∈有两个交点.()2sin 1g t t =+在,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，在,26π7π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， ……………9分且()2,()3,()0,626g f f ππ7π===∴ 23a <<，即实数a 的取值范围是(2,3) ……………10分 (后面与解法一相同)。

2019-2020学年广州市番禺区仲元中学高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1.则对于任意的实数m ，|m a ⃗ +(2−4m)b ⃗ |的最小值为( )A. 2B. 1C. 12D. 232. 已知sin(α+π6)+cosα=4√35，则cos(α−π6)的值为( )A. 45B. 35C. √32D. √353. 已知等边△ABC 的边长为2，P 为△ABC 内(包括三条边上)一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大值是( )A. 2B. 32C. 0D. −324. 从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π5. 设a ⃗ =(sinx,34),b ⃗ =(13,12cosx)，且a ⃗ //b⃗ ，则锐角α为( ) A. π6B. π4C. π3D. 512π6. 已知，则的值是( )A.B.C.D.7. 函数y =(cosx +sinx)cos(x −π2)的单调递增区间是( )A. [2kπ−π8,2kπ+3π8](k ∈Z) B. [kπ−π8,kπ+3π8](k ∈Z) C. [kπ−π4,kπ+π4](k ∈Z)D. [2kπ−π2,2kπ+π2](k ∈Z)8. 已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 5+a 9=π2，则sin(a 4+a 6)=( )A. √32B. √22C. 12D. 110. 给出下列命题，其中错误的是( )A. 在△ABC 中，若A >B 则sinA >sinBB. 在锐角△ABC 中，sinA >cosBC. 把函数y =sin2x 的图像沿x 轴向左平移个单位，可以得到函数y =cos2x 的图象D. 函数y =sinωx +cosωx(ω≠0)最小正周期为的充要条件是ω=211. 已知点A(1,−2)，B(2,0)，P 为曲线y =√3−34x 2上任意一点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( )A. [1,7]B. [−1,7]C. [1,3+2√3]D. [−1,3+2√3]12. 10.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则=( )A.B. 36C. 16D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|2a ⃗ +b ⃗ |=2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角余弦值为 ．14. 将函数y =sin(2x −π3)的图象先向左平移π3，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为______ ．15. 已知cos(α+π4)=35，π2≤α≤3π2，则cos(2α+π4)= ． 16. 若函数f(x)=√3sin2x +2cos 2x +m 在区间[0,π2]上的最大值为6，则m =______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,3)．(Ⅰ)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ‖CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x 的值；(Ⅱ)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x 的值．18. 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =ty =4−√3t (t 为参数)，曲线C 1的方程为x 2+(y −1)2=1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和曲线C 1的极坐标方程；(2)曲线C 2：θ=α(ρ>0,0<α<π2)分别交直线l 和曲线C 1于A ，B 两点，求|OB||OA|的最大值及相应α的值．19. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求出函数f(x)的解析式；(2)将y =f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y =g(x)的图象．若y =g(x)图象的一个对称中心为(7π12,0)，求θ的最小值．20. 已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M(√2,1)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过左焦点F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求直线l 的方程． 21. 已知向量，，函数，图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点．(1)求函数的解析式．(2)当时，求函数的单调区间。

广东省仲元中学2020学年高一数学下学期期中试题第I 卷（本卷共计60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每 小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的） 1 •化简 AB BD AC CD （）A. ADB. 0C.BCD.DA2. sin34 o si n26ocos34o cos26o 的值是（)A.1B-J 3 C.1D..322223.已知平面向量 a =( 1,2), b =(- 2,m ),且 a // b ，则 2a3b =()A . (- 2, - 4) B. (- 3,— 6) C. (-4,— 8)D. (- 5,—10)4•若扇形的周长是16cm,圆心角是360度，则扇形的面积（单位 cm 2）是1.3(2, T) C6. 化简 1 sin 6 + 1 sin 6，得到(7. A.—2si n3 B. 2cos3C. 2sin3D.—2cos3sin （ 2x3）的一个单调递增区间是A .n 7［石,护］ 5 nv ］A .B .3C.2 3D1 .29. tan 13 ° + tan32 °+ tan 13 ° tan 32° 等于().2 A .—亍 B .亚C2 C.—1 D .1若 | a | = 2cos 15 a,b 的夹角为,| b | = 4sin 15oo8. A . 16B . 32C. 8D. 645.已知a=(,下列向量中，与 a 反向的单位向量是（30°,则a?b 等于（A.是变化的，最大值为 8B. C .是变化的，最小值为2D旋转。

贝U PQ?PR 的最小值是( )A. - 7 B . - 2 2第II 卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）r r r r r.r r r13 .已知向量a,b 满足a b 0, a1, b 2,,则2a b14 .函数y = sin (—2x) + sin2 x 的最小正周期是 __________ 315.已知 sin( )cos cos( 5贝V sin()的值是 _____________4三、解答（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 .（本小题满分10分）10.如图是函数 y 2sin （ xA.10 11 yx11.已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，贝U AP（AB AC)12.已知动点 P 在一次函数y = 2-x 的图像上，线段QR 长度为6且绕其中点0（即坐标原点）是定值3 .是定值6)sin是第三象限角，16.已知 f(x) Acos ?( x ) 1(A 0,0,0）的最大值是3,相邻两条对称轴之2间的距离是2,且图像过点（0,2)。

2018～2019学年高一第二学期期中考试数学试题本试卷共4页，22题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{}21<<-=x x A ，{}12==x x B ，则=B AA ．{}11，- B ．{}1 C ．{}21， D ．{}211，，- 2．=1200cosA ．22 B ．23 C ．21- D ．23- 3．已知点)34(，-是角α终边上的一点，则=αsin A ．53 B ．53- C ．54 D ．54- 4．设向量)1(x x a ，+=，)12(，=b ，且b a ⊥，则x 的值是 A ．23-B ．32- C ．32 D ．235．在等差数列{}n a 中，105=a ，则=+++7643a a a aA ．30B ．40C ．50D ．60 6．已知54sin -=α，)23(ππα，∈，则=αtan A ．43 B ．43- C ．34 D ．34-7．已知a ,b ,c 均为正数，且8.0log 7.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2b =，︒=75A ，则=B sin A ．426+-B ．46C ．626+ D ．629．函数133-=x x y 的图象大致是10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲乙丙丁戊五人分五钱，甲乙两人所得之和与丙丁戊三人所得之和相等，且甲乙丙丁戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，戊所得为 A ．43钱 B ．32钱 C ．21钱 D ．34钱 11．为得到函数)62(cos π-=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像A ．向左平移3π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向右平移6π个长度单位12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--=2)2(212122)(x x f x x x f ，，，则函数x x f y 1)(-=的零点个数是A ．8B ．9C ．10D ．11 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东仲元中学2016学年第二学期期中考试高一年级数学试卷命题人： 审题人： Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与60-°的终边相相同的角是（ ） A ．3πB ．23π C ．43π D ．53π 2．已知一个扇形的圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长与半径的比等于（ ） A ．21 B ．1 C ．2D ．43．在平行四边形ABCD 中，则下列结论中错误．．的是( ) A ．||||AB AD = 一定成立 B ．+= 一定成立 C ．AD BC = 一定成立 D ．BD AD AB =- 一定成立4．已知α为三角形的一个内角，且4cos 5α=，则tan α的值为（ ） A ．34-B ．34C ．43D ．43±5．向量(2,1),(4,)a b x =-=-，若∥，则x 的值是（ ） A ．8-B ．2-C ．2D ． 86．已知向量(cos ,1),(1,sin )a b αα==，若15a b =，则sin 2α=( ) A ．2425-B ．1225-C ．75-D ．45- 7．函数22cos sin 22x xy =-的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=- B ．0 C ．0=x D. 12x π= 8．函数()2sin ,(0,)3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域是（ ）A. (1,2]-B. (2)C. [2]D.(2]9．已知函数2()2sin 1f x x =-，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．4π B ．2πC ．34πD ．π10．已知P 为∆ABC 边BC 上一点，,AB a AC b ==，若2∆∆ABP ACP S S =，则AP =（ ） A ．1322+a b B ．1233+a b C ．3122+a b D ．2133+a b11．若函数()sin f x x π=对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则||21x x -的最小值是（ ） A ． 4B ．2C ．1D ．2112.已知单位向量,,a b a b =0，点Q 满足2()OQ a b =+，曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<<Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(3,),(0)a x x =>，若2a =，则x = 。

广东省广东实验中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设复数z满足z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1 B．C．2 D．32．已知向量，，且，则λ＝（）A．﹣11 B．﹣2 C．D．3．如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝5，O'C'＝2，∠A'O'C'＝30°，则原图形的面积是（）A．4 B．C．D．64．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．下列四个命题中正确的是（）A．底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B．两两相交的三条直线必在同一平面内C．在空间中，四边相等的四边形是菱形D．不存在所有棱长都相等的正六棱锥6．已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A．P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB．P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β＝l，且P∈lC．l∥m，m∥n⇒l∥nD．m∥n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ7．已知三棱锥A﹣BCD中，，BC＝AC＝BD＝AD＝1，则此几何体外接球的体积为（）A．2πB．C．D．π8．在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，∠PBA的正弦值为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．B．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最小值为0D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤210．如下图，直角梯形ABCD中AB＝2，CD＝4，AD＝2．则下列说法正确的是（）A．以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为B．以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为C．以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为D．以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为311．如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（）A．AF∥CDB．2V三棱锥F﹣ABC＝V四棱锥A﹣BCDEC．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点在同一个球面上12．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A．O2，O1，B，D1四点不共线B．r1+r2＝3C．这两个球的体积之和的最小值是9πD．这两个球的表面积之和的最大值是18π三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设A＝{正方体}，B＝{直平行六面体}，C＝{正四棱柱}，D＝{长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是14．向量在向量方向上的投影向量的坐标为．15．如图，在△ABC中，，点E在线段AD上移动（不含端点），若＝λ+μ，则＝，λ2﹣2μ的最小值是．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1为棱长为2，动点P，Q分别在棱BC，CC1上，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BP＝x，CQ＝y，其中x，y∈[0，2]，下列命题正确的是．（写出所有正确命题的编号）①当x＝0时，S为矩形，其面积最大为4；②当x＝y＝1时，S的面积为；③当x＝1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则；④当y＝2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量与的夹角，且||＝3，||＝2．（1）求，|+|；（2）求向量与+的夹角的余弦值．18．（1）在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，求cos A．（2）在△ABC中，已知a＝，c＝10，A＝30°，求角B；19．已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE﹣D1DF的体积．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且＝＝．（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面B1C1BC？请给出证明．21．若函数f（x）＝sin x+2cos2，△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝3．（1）当取最大值时，判断△ABC的形状；（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD＝，AC＝2，求BC的长．22．已知向量，．（1）当a＝0时，令，求f（x）的最值；（2）若关于x方程在上有6个不等的实根，求a的取值范围；（3）当对x∈[x1，x2]恒成立时，x2﹣x1的最大值为，求a的值．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设复数z满足z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1 B．C．2 D．3解：由题意得z＝＝＝1﹣i，则|z|＝．故选：B．2．已知向量，，且，则λ＝（）A．﹣11 B．﹣2 C．D．解：∵向量，，且，∴＝3（1﹣λ）+4（2+λ）＝0，解得λ＝﹣11．故选：A．3．如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝5，O'C'＝2，∠A'O'C'＝30°，则原图形的面积是（）A．4 B．C．D．6解：平行四边形O'A'B'C'中，O'A'＝5，O'C'＝2，∠A'O'C'＝30°，所以平行四边形O′A′B′C′的面积为S′＝O′A′•O′C′•sin30°＝5×2×＝5，所以原平面图形的面积是S＝2S′＝2×5＝10．故选：C．4．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A．4 B．5 C．6 D．7解：根据异面直线的定义可得，与直线BA1为异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1，共6条．故选：C．5．下列四个命题中正确的是（）A．底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B．两两相交的三条直线必在同一平面内C．在空间中，四边相等的四边形是菱形D．不存在所有棱长都相等的正六棱锥解：对于A：底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥与锥体的定义矛盾，故A 错误；对于B：两两相交的三条直线且不相交于同一点的直线必在同一平面内，故B错误；对于C：在空间中，四边相等的四边形沿一条对角线折叠，构成四面体，故C错误；对于D：不存在所有棱长都相等的正六棱锥，由于六个等边三角形正好360°，构成一个周角，故正确；故选：D．6．已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A．P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB．P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β＝l，且P∈lC．l∥m，m∥n⇒l∥nD．m∥n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ解：由公理一可知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A选项为公理，由公理三可知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B选项是公理，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故C选项是公理，不同的两直线平行，确定一个平面，且两直线在平面内，为判定定理，非公理，故D选项错误．故选：D．7．已知三棱锥A﹣BCD中，，BC＝AC＝BD＝AD＝1，则此几何体外接球的体积为（）A．2πB．C．D．π解：如图，由，BC＝AC＝BD＝AD＝1，可得AC2+AD2＝CD2，BC2+BD2＝CD2，则AC⊥AD，BC⊥BD，取CD中点O，则OA＝OC＝OD＝OB，∴O为该几何体外接球的球心，则半径为．∴此几何体外接球的体积为×＝．故选：B．8．在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，∠PBA的正弦值为（）A．B．C．D．解：建立如图平面直角坐标系，则A（﹣，0），B（，0），O（0，1），设P（x，y），直线AO的方程为y＝x+1，∵•＝（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）＝x2+y2﹣3＝x2+﹣3＝x2+x﹣2＝﹣，∴当x＝﹣时，•有最小值，此时P（﹣，），∴＝（﹣，），＝（﹣2，0），∴cos∠PBA＝＝＝，∵∠PBA∈（0，π），∴sin∠PBA＝＝．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．B．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最小值为0D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2解：由于z为复数，设z＝a+bi（a，b∈R），对于A：|z|2＝a2+b2＝，故A正确；对于B：z2＝（a+bi）2＝a2+2abi﹣b2，|z|2＝a2+b2，故B错误；对于C：由于a2+b2＝1，所以∈[0，2]，故C正确；对于D：若|z﹣1|＝1，即（a﹣1）2+b2＝1，所以，故D正确；故选：ACD．10．如下图，直角梯形ABCD中AB＝2，CD＝4，AD＝2．则下列说法正确的是（）A．以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为B．以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为C．以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为D．以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为3解：直角梯形ABCD中AB＝2，CD＝4，AD＝2．则对于A：，故A错误；对于B：V＝＝，故B正确；对于C：以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为相当于一个圆柱挖去一个圆锥，如图所示：构成的表面积为＝＝，故C正确；对于D：以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，相当于一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图所示：即：．故D正确；故选：CD．11．如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（）A．AF∥CDB．2V三棱锥F﹣ABC＝V四棱锥A﹣BCDEC．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点在同一个球面上解：取BC的中点G，DE的中点H，连接FG，AH，GH，则FG⊥BC，BC⊥GH，AH⊥DE，则BC⊥平面FGH，DE⊥平面AGH，∵BC∥DE，∴平面FGH与平面AGH重合，即AHGF为平面四边形，∵AF＝CD＝GH，∴四边形AHGF为平行四边形，∴AF∥CD，故A正确，由于BE∥CD，∴BE∥平面ADCF，∵V四棱锥A﹣BCDE＝2V四棱锥A﹣BCD＝2V四棱锥B﹣ACD，V四棱锥B﹣ACD＝V四棱锥B﹣ACF＝V三棱锥F﹣ABC，∴2V三棱锥F﹣ABC＝V四棱锥A﹣BCDE，故B正确，由于平面ACF与平面ACD重合，平面ABF与平面ABE重合，∴该几何体有5个面，故C 错误，由于该几何体为斜三棱柱，故不存在外接球，故D错误，故选：AB．12．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A．O2，O1，B，D1四点不共线B．r1+r2＝3C．这两个球的体积之和的最小值是9πD．这两个球的表面积之和的最大值是18π解：由对称性作过正方体对角面的截面图如下，可得O2，O1，B，D1四点共线，故A错误；由题意可得，，则（）r1+（）r2＝BD1＝×（3+），从而r1+r2＝3，故B正确；这两个球的体积之和为：π（）＝π（r1+r2）（），∵r1+r2＝3，∴（r1+r2）（）＝3（9−3r1r2）≥3[9−3×]＝，即π（）≥9π，当且仅当r1＝r2＝时等号成立，故C正确；这两个球的表面积之和S＝4π（）≥4π•＝18π，当且仅当r1＝r2＝时等号成立，故D错误故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设A＝{正方体}，B＝{直平行六面体}，C＝{正四棱柱}，D＝{长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是A⊆C⊆D⊆B．解：在这4种图象中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最小的是正方体，其次是正四棱柱，故A⊆C⊆D⊆B．故答案为：A⊆C⊆D⊆B．14．向量在向量方向上的投影向量的坐标为（，）．解：因为，，则•＝2×3+1×4＝10，||＝＝5，则向量在向量方向上的投影为＝＝2，设向量在向量方向上的投影向量＝（x，y），x＞0，y＞0，由于与共线，可得，即y＝，又x2+y2＝22，解得x＝，y＝，所以向量在向量方向上的投影向量的坐标为（，）．故答案为：（，）．15．如图，在△ABC中，，点E在线段AD上移动（不含端点），若＝λ+μ，则＝ 2 ，λ2﹣2μ的最小值是．解：因为，所以＝（），所以＝，因为E在线段AD上移动（不含端点），所以＝＝，（0＜x＜1），所以λ＝，μ＝，＝2，λ2﹣2μ＝，根据二次函数的性质知，当x＝时取得最小值﹣．故答案为：2，﹣．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1为棱长为2，动点P，Q分别在棱BC，CC1上，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BP＝x，CQ＝y，其中x，y∈[0，2]，下列命题正确的是②③④．（写出所有正确命题的编号）①当x＝0时，S为矩形，其面积最大为4；②当x＝y＝1时，S的面积为；③当x＝1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则；④当y＝2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值．解：当x＝0时，点P与点B重合，∴AB⊥PQ，此时S为矩形，当点Q与点C1重合时，S的面积最大，S＝＝．故①错误；当x＝1，y＝1时，PQ为△BCC1的中位线，PQ∥BC1，∵BC1∥AD1，∴AD1∥PQ，∴S为等腰梯形APQD1，过P作PE⊥AD1于E，PQ＝，AD1＝2，∴，AP＝，∴，∴＝，故②正确；由图可设S与DD1交于点F，可得D1F∥CC1，△C1QR∽△D1FR，∵CQ＝y，则C1Q＝2﹣y，∴，故③正确；当y＝2时，以B1为定点，S为底面的棱锥为B1﹣APC1H，×，故④正确；故答案为：②③④．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知向量与的夹角，且||＝3，||＝2．（1）求，|+|；（2）求向量与+的夹角的余弦值．解：（1）＝||||cos＝3×＝﹣3，||＝＝＝＝，（2）设向量与+的夹角θ，则cosθ＝＝＝．18．（1）在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，求cos A．（2）在△ABC中，已知a＝，c＝10，A＝30°，求角B；解：（1）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+4﹣2×＝4，解得c＝2，再由余弦定理得cos A＝＝＝；（2）由正弦定理得，所以sin C＝＝，因为C为三角形内角，所以C＝45°或C＝135°，当C＝45°时，B＝105°，C＝135°时，B＝15°．19．已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE﹣D1DF的体积．【解答】（1）证明：连接C1D，AB1，由已知FJ∥C1D，KH∥AB1，又C1D∥AB1，∴FJ∥KH，设两线确定的平面为α，即点F，J，K，H∈α，在平面ADD1A1内延长JI交直线A1A于P点，由△API与△DJI全等，可得，在平面ABB1A1内延长KH交直线A1A与Q点，同理可得，∴P，Q重合，∴P∈α，∴I∈α同理可证E∈α，综上H、I、J、K、E、F共面．（2）证明：设BE∩DF＝O，则O∈平面DC1，O∈平面BC1，∵平面DC1∩平面BC1＝CC1，∴O∈CC1，∴BE、DF、CC1三线共点；（3）解：∵，，∴，∴．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且＝＝．（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面B1C1BC？请给出证明．【解答】（1）证明：连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以，又因为，所以，所以PQ∥MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．（2）当时，能使平面PQR∥平面B l∁l BC．证明：因为，即有，故，所以QR∥DD1．又∵DD1∥CC1，∴QR∥CC1，又CC1⊂平面B l∁l BC，QR⊄平面B l∁l BC，所以QR∥平面B l∁l BC，由，得PR∥BC，BC⊂平面B l∁l BC，PR⊄平面B l∁l BC，所以PR∥平面B l∁l BC，又PR∩RQ＝R，所以平面PQR∥平面B l∁l BC．21．若函数f（x）＝sin x+2cos2，△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝3．（1）当取最大值时，判断△ABC的形状；（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD＝，AC＝2，求BC的长．解：因为f（x）＝sin x+2cos2＝sin x+cos x+1＝2sin（x+）+1，所以f（A）＝2sin（A+）+1＝3，即sin（A+）＝1，因为0＜A＜π，所以＜A+＜，所以A+＝，A＝．（1）由正弦定理可得＝＝＝2sin（B+），因为0＜B＜，所以＜B+＜，所以当B＝时，取得最大值，此时C＝，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．（2）解：取AB边的中点E，连接DE，则DE∥AC，且DE＝AC＝1，∠AED＝，在△ADE中，由余弦定理得AD2＝AE2+DE2﹣2AE•DE•cos＝13，解得AE＝3，AB＝6，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos A＝36+4﹣2×6×2×＝28，所以BC＝2．22．已知向量，．（1）当a＝0时，令，求f（x）的最值；（2）若关于x方程在上有6个不等的实根，求a的取值范围；（3）当对x∈[x1，x2]恒成立时，x2﹣x1的最大值为，求a的值．解：（1）∵a＝0，+5，又|sin x|≤1，∴当sin x＝﹣1时，；当时，h（x）max＝5．（2）由，令t＝sin x，由题意，结合函数t＝sin x在上的图像可知在t∈（0，1）上有两个零点，∴△＞0，16×3+16（2﹣a）＞0，并且h（1）＝﹣4+4+2﹣a＜0，解得，（3）∵，即：，即，则5﹣a≥0，得a≤5，得，∵对x∈[x1，x2]恒成立时，x2﹣x1的最大值为，∴当时，不妨，得，得a＝﹣7，当时，不妨，得，得a＝5，此时不成立，舍去，综上a＝﹣7．。

广东省仲元中学【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．与60-°的终边相相同的角是 （ ） A ．3πB ．23π C ．43π D ．53π 2．已知一个扇形的圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长与半径的比等于（ ） A ．12B ．1C ．2D ．43．在平行四边形ABCD 中，则下列结论中错误．．的是( ) A ．AB AD = 一定成立 B ．AC AB AD =+ 一定成立 C ．AD BC = 一定成立D ．BD AD AB =- 一定成立4．已知α为三角形的一个内角，且4cos 5α=，则tan α的值为（ ） A ．34-B ．34 C ．43D ．43±5．向量(2,1),(4,)a b x =-=-，若a ∥b ，则x 的值是（ ） A ．8-B ．2-C ．2D ．86．已知向量(cos ,1),(1,sin )a b αα==，若1·5a b =，则sin 2α=( ) A ．2425-B ．1225-C ．75- D ．45-7．函数22cos sin 22x xy =-的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=-B ．0C ．0x =D ．12x π=8．函数()2sin ,(0,)3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域是（ ）A ．(1,2]-B ．(2)C ．[2]D ．(2]9．已知函数2()2sin 1f x x =-，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π10．已知P 为ABC ∆边BC 上一点，,AB a AC b ==，若2ABP ACP S S ∆∆=，则AP =（ ） A ．1322a b + B ．1233a b +C ．3122a b + D ．2133a b + 11．若函数()sin f x x π=对任意x ∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是（ ） A ．4B ．2C ．1D ．1212．已知单位向量,,?a b a b =0，点Q 满足2()OQ a b =+，曲线{}cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{}0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<<二、填空题13．已知向量(3,),(0)a x x =>，若2a =，则x =________ ．14．已知角,αβ满足sin()45πα-=-，sin()410πβ+=，02πα<<，42ππβ<<，则角αβ+等于_____________．15．已知(1,2)a =-，(1,)b λ=-，a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 _______________．三、双空题16．已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωφωφπ=+>><<在一个周期内的图象（下图），则A =_________ ，φ=_________ ．四、解答题17．已知第二象限角θ的终边与以原点为圆心的单位圆交于点125(,)1313P - （1）写出三角函数sin ,cos ,tan θθθ的值；（2）若cos()?cos()?()2()sin()?sin()2tan f πθθπθθπθπθ+-+=--，求()f θ的值；18．设向量,a b 满足1,()0,3a a a b a b =⋅-=-=， （1）求证：1a b =； （2）求||b 的值；（3）若(cos ,sin ),(2sin ,2cos )a b ααββ==，求sin()αβ+的值． 19．已知(sin ,2),(1,cos )a x b x ==，()f x a b =，． （1）若()0f x =，求sin cos sin cos x xx x+-的值；（2）若()(2)cos(2)g x f x x =---，求函数()g x 的周期及单调区间． 20．已知函数1()sin()23f x a x b π=++，,a b ∈R（1）若2,1a b ==，作函数()y f x =，[,3]x ππ∈-的简图（要求列表、描点）； （2）若函数(),[,]y f x x ππ=∈-的最小值-2，最大值为1，求,a b 的值。

广东仲元中学2017学年第二学期期中考试高一年级数学必修四模块试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.化简=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：考点：向量的加法2.的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据两角和余弦公式化简，再根据特殊角余弦值求结果.详解：因为,所以选C.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等3.已知平面向量＝（1，2），＝（－2，m），且∥，则=A. （－2，－4）B. （－3，－6）C. （－4，－8）D. （－5，－10）【答案】C【解析】分析：先根据向量共线求m，再根据向量加法法则求结果.详解：因为∥，所以因此=，选C.点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：4.若扇形的周长是16cm，圆心角是度，则扇形的面积是（）A. 16B. 32C. 8D. 64【答案】A【解析】分析：先化圆心角为弧度，再根据弧长公式以及周长求半径，最后根据扇形面积求结果.详解：因为度等于2弧度，所以因为扇形的周长是16cm，所以因此扇形的面积是，选A.点睛：扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式5.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：判断标准有两个，一是反向，二是模为1.详解：因为，所以舍去A,C,D因为的模为1，所以选B.点睛：与共线的向量为，当时，为同向；当时，为反向；与共线的单位向量为；与垂直的向量为.6.化简+，得到（）A. －2sin3B. 2cos3C. 2sin3D. －2cos3【答案】D【解析】分析：先根据平方关系将被开方数配方，再根据符号开根号，即得结果.详解：因为，因此+，选D.点睛：三角函数中配方：7.的一个单调递增区间是( )A. [，]B. [－，]C. [－，]D. [，]【答案】A【解析】分析：先根据诱导公式化简，再根据正弦函数性质求单调增区间.详解：因为，所以由得因此一个单调递增区间是[，]，选A.点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间;由求减区间8.若||＝2cos 15°，||＝4sin 15°，的夹角为30°，则等于( )A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：先根据向量数量积定义化简，再根据二倍角公式求值.详解：因为，所以选B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9.tan 13°＋tan32°＋tan 13°tan 32°等于( )A. －B.C. －1D. 1【答案】D【解析】分析：根据两角和正切公式化简可得结果.详解：因为，所以因此tan 13°＋tan32°＋tan 13°tan 32°=1，选D.点睛：两角和正切公式的变形.10.如图是函数的图象，那么A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：从图中可得，进而可得，又因为当时，函数取得最大值，所以即，而，所以只有当时，才符合，故选C. 考点：由三角函数的图象确定三角函数的解析式.11.已知是边长为2的正三角形的边上的动点，则A. 是变化的，最大值为8B. 是定值3C. 是变化的，最小值为2D. 是定值6【答案】D【解析】【分析】先设，，t，然后用和表示出，再由将、t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】解：设t则，2＝4 2 •2×2×cos60°＝2t（）＝（1﹣t）t•（）＝（（1﹣t）t）•（）＝（1﹣t）2+[（1﹣t）+t]t2＝（1﹣t）×4+2+t×4＝6故选：D．【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12.已知动点P在一次函数y＝2－x的图像上，线段QR长度为6且绕其中点O（即坐标原点）旋转。

2020-2021学年广东省广州市仲元中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z= i1−i（i是虚数单位），则|z|=（）A. 12B. √22C.1D. √22.（单选题，5分）如图△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′，那么△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形3.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，−2)，b⃗⃗=(1，x)，且a⃗−b⃗⃗与2a⃗+b⃗⃗平行，则x=（）A.1B.0C. −23D. 524.（单选题，5分）在△ABC中，A=2π3，a=√3c，则bc=（）A. 12B.3C.1D.25.（单选题，5分）如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，则棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为（）A.1：5B.1：4C.1：3D.1：26.（单选题，5分）已知| a ⃗ |=2| b ⃗⃗ |≠0，且关于x 的方程x 2+| a ⃗ |x+ a ⃗ • b ⃗⃗ =0有实根，则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角的取值范围是（ ） A.[0， π6] B.[ π3 ，π] C.[ π3， 2π3 ] D.[ π6 ，π]7.（单选题，5分）已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 2√281π B. 881π C. 4√581π D. 23π8.（单选题，5分）已知△ABC 中，AB=2，AC=1， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ，O 为△ABC 所在平面内一点，且满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A.-4 B.-1 C.1 D.49.（多选题，5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A= π6，a=2，c=2 √3 ，则角C 的大小是（ ）A. π6B. π3C. 5π6D. 2π310.（多选题，5分）下列说法中错误的是（ ） A.若复数z 满足z 2∈R ，则z∈R B.若复数z 满足z 2＜0，则z∈R C.若复数z 满足 1z∈R ，则z∈R D.若复数z 1、z 2满足z 1•z 2∈R ，则z 1=z 211.（多选题，5分）已知四面体ABCD 是球O 的内接四面体，且AB 是球O 的一条直径，AD=2，BD=3，则下面结论正确的是（ ） A.球O 的表面积为13πB.AC 上存在一点M ，使得AD || BMC.若N 为CD 的中点，则ON⊥CDD.四面体ABCD 体积的最大值为√13212.（多选题，5分）已知 e 1⃗⃗⃗⃗ 、 e 2⃗⃗⃗⃗ 是两个单位向量，λ∈R 时， |e 1⃗⃗⃗⃗+λe 2⃗⃗⃗⃗| 的最小值为 √32 ，则下列结论正确的是（ ） A. e 1⃗⃗⃗⃗ 、 e 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角是 π3 B. e 1⃗⃗⃗⃗ 、 e 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角是 2π3 C. |e 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗|=√32D. |e 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗|=113.（填空题，5分）设i 是虚数单位，若复数 2−a2−i (a ∈R ) 是纯虚数，则a=___ ． 14.（填空题，5分）一艘船上午9：30在A 处一测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距 8√2 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是 ___ ．15.（填空题，5分）已知向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，-4）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6，-3）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（5-m ，-3-m ）若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是___ ．16.（填空题，5分）连接正方体相邻各面的中心（中心是指正方形的两条对角线的交点）后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为a ，则该几何体的表面积为 ___ ，该几何体的体积为 ___ ．17.（问答题，10分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1.下部分的形状是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．若AB=6m ，PO 1=2m ，求仓库的容积．18.（问答题，12分）设向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 满足 |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1 ，且 |3a ⃗−2b ⃗⃗|=√7 ． （1）求 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角的大小； （2）求|3a⃗⃗+b ⃗⃗||3a⃗⃗−b ⃗⃗| 的值．19.（问答题，12分）已知O 为坐标原点，向量 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1，z 2，且 z 1=3a+5+(10−a 2)i ， z 2=21−a +(2a −5)i （a∈R ）．若 z 1+z 2 是实数．（1）求实数a 的值；（2）求以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形的面积．20.（问答题，12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量 m ⃗⃗⃗ =（cos （A-B ），sin （A-B ））， n ⃗⃗ =（cosB ，-sinB ），且 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗=−35 ． （1）求sinA 的值；（2）若a=4 √2 ，b=5，求角B 的大小及向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量的模．21.（问答题，12分）如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC=30°）及其体积．22.（问答题，12分）设函数f （x ）=sin （ωx+ π6）+2sin 2 ω2 x （ω＞0），已知函数f （x ）的图象的相邻对称轴的距离为π． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若△ABC 的内角为A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c （其中b ＜c ），且f （A ）= 32 ，△ABC 面积为S=6 √3 ，a=2 √7 ，求b ，c 的值．2020-2021学年广东省广州市仲元中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z= i1−i（i是虚数单位），则|z|=（）A. 12B. √22C.1D. √2【正确答案】：B【解析】：利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算．【解答】：解：z= i1−i = i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i．所以|z|= √(−12)2+(12)2=√22．故选：B．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2.（单选题，5分）如图△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′，那么△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【正确答案】：B【解析】：根据斜二测画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC是直角三角形．【解答】：解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC为直角三角形，如图：故选：B．【点评】：本题考查斜二测法画直观图，考查作图能力，是基础题3.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，−2)，b⃗⃗=(1，x)，且a⃗−b⃗⃗与2a⃗+b⃗⃗平行，则x=（）A.1B.0C. −23D. 52【正确答案】：C【解析】：利用向量运算法则求出a⃗−b⃗⃗，2a⃗+b⃗⃗，再由a⃗−b⃗⃗与2a⃗+b⃗⃗平行，列方程能求出x．【解答】：解：向量a⃗=(3，−2)，b⃗⃗=(1，x)，∴ a⃗−b⃗⃗ =（2，-2-x），2a⃗+b⃗⃗ =（7，-4+x），∵ a⃗−b⃗⃗与2a⃗+b⃗⃗平行，∴ 2 7=−2−x−4+x，解得x=- 23．故选：C．【点评】：本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（单选题，5分）在△ABC中，A=2π3，a=√3c，则bc=（）A. 12 B.3C.1D.2【正确答案】：C【解析】：由已知结合正弦定理可求sinC，进而可求C，然后结合三角形内角和可求B，从而可求．【解答】：解：因为A=2π3，a=√3c，由正弦定理得，ac =sinAsinC= √3，所以sinC= 12，由题意知C为锐角，故C= π6，B= π6，则bc=1．故选：C．【点评】：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．5.（单选题，5分）如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，则棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为（）A.1：5B.1：4C.1：3D.1：2【正确答案】：A【解析】：长方体看成直四棱柱ADD′A′-B′C′CB，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，求出棱锥C-A′DD′的体积，余下的几何体的体积，即可得到结果．【解答】：解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′-B′C′CB，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为：V=Sh，而棱锥C-A′DD′的底面面积为：12S，高为h，因此棱锥C-A′DD′的体积V C-A′DD′= 13 × 12Sh= 16Sh，余下的体积是：Sh- 16 Sh= 56Sh．所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为：1：5．故选：A．【点评】：本题考查几何体的体积的有关计算，转化思想的应用，考查计算能力，属基础题．6.（单选题，5分）已知| a⃗ |=2| b⃗⃗|≠0，且关于x的方程x2+| a⃗ |x+ a⃗• b⃗⃗ =0有实根，则a⃗与b⃗⃗的夹角的取值范围是（）A.[0，π6]B.[ π3，π]C.[ π3，2π3]D.[ π6，π]【正确答案】：B【解析】：根据关于x的方程x2+|a⃗|x+a⃗•b⃗⃗=0有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出|a⃗|2−4a⃗•b⃗⃗≥0，再由cosθ= a⃗⃗•b⃗⃗|a⃗⃗|•|b⃗⃗|≤14|a⃗⃗|212|a⃗⃗|2=12，可得答案．【解答】：解：|a⃗|=2|b⃗⃗|≠0，且关于x的方程x2+|a⃗|x+a⃗•b⃗⃗=0有实根，则|a⃗|2−4a⃗•b⃗⃗≥0，设向量a⃗，b⃗⃗的夹角为θ，cosθ= a⃗⃗•b⃗⃗|a⃗⃗|•|b⃗⃗|≤14|a⃗⃗|212|a⃗⃗|2=12，∴θ∈ [π3，π]，故选：B．【点评】：本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．属基础题．7.（单选题，5分）已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的侧面积为（）A. 2√281πB. 881πC. 4√581πD. 23π【正确答案】：D【解析】：根据圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，则答案可求．【解答】：解：设该圆锥的底面半径为r ，母线为l ， ∵圆锥的侧面展开图的半径为1，圆心角等于240°， ∴母线l=1，且2πr= 4π3 ×1，解得r= 23 ． ∴该圆锥的侧面积为S= π×23×1=23π ． 故选：D ．【点评】：本题考查了圆锥的结构特征，弧长公式，属于基础题．8.（单选题，5分）已知△ABC 中，AB=2，AC=1， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ，O 为△ABC 所在平面内一点，且满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A.-4 B.-1 C.1 D.4【正确答案】：B【解析】：分别令AC ，BC 的中点为M ，N ，则可化简式子得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = O ⃗⃗ ，于是O 为线段MN 的靠近N 的三等分点，再计算数量积即可得出结论．【解答】：解：∵△ABC 中，AB=2，AC=1， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1 ，O 为△ABC 所在平面内一点，且满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ， 设AC 的中点为M ，BC 的中点为N ，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴ OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = O ⃗⃗ ， ∴O 为线段MN 的靠近N 的三等分点，∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（ 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 23 × 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 12 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 - 16 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 - 43 - 16 =-1，故选：B ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，确定O点位置是解题关键，属于中档题．9.（多选题，5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A= π6，a=2，c=2 √3，则角C的大小是（）A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3【正确答案】：BD【解析】：利用正弦定理，即可得解．【解答】：解：由正弦定理知，asinA = csinC，∴ 2 sinπ6 = 2√3sinC，解得sinC= √32，∵C∈（0，π），∴C= π3或2π3．故选：BD．【点评】：本题考查解三角形中正弦定理的应用，属于基础题．10.（多选题，5分）下列说法中错误的是（）A.若复数z满足z2∈R，则z∈RB.若复数z满足z2＜0，则z∈RC.若复数z满足1z∈R，则z∈RD.若复数z1、z2满足z1•z2∈R，则z1=z2【正确答案】：ABD【解析】：利用复数的运算法则，结合选项分别判断即可．【解答】：解：对于A，若z=i，则z2=i2=-1∈R，但z∉R，故A错误；对于B，复数z满足z2＜0，令z2=-b，b＞0，则z= ±√b i，则z是虚数，故B错误；对于C，设z=a+bi，则1z = 1a+bi= a−bia2−b2i2= aa2+b2- ba2+b2i，∵复数z满足1z∈R，∴b=0，∴z∈R，故C正确；对于D，若z1=i，z2=-2i，则z1z2=2∈R，但z1≠z2，故D错误．故选：ABD．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.（多选题，5分）已知四面体ABCD是球O的内接四面体，且AB是球O的一条直径，AD=2，BD=3，则下面结论正确的是（）A.球O的表面积为13πB.AC上存在一点M，使得AD || BMC.若N为CD的中点，则ON⊥CDD.四面体ABCD体积的最大值为√132【正确答案】：ACD【解析】：由已知求解AB，再求出球的表面积判断A；由空间中的线面关系判断B；由等腰三角形底边的中线垂直于底边判断C；由C到平面ABD的最大距离为球的半径判断D．【解答】：解：如图，∵AB是球O的一条直径，∴AC⊥BC，AD⊥BD，∴AB= √AD2+BD2 = √22+32 = √13，球O的半径为12 AB= √132，球O的表面积为4π×（√132）2=13π，故A正确；A、D、M均在平面ACD内，而B在平面ACD外，∴BM与AD可能异面或相交，不可能平行，故B错误；连接OC，OD，∵OC=OD，N为CD的中点，∴ON⊥CD，故C正确；点C到平面ABD距离的最大值为R= √132，∴四面体ABCD体积的最大值为13 S△ABD•R= 13× 12×2×3× √132= √132，故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查三棱锥外接球的相关问题，关键是求出球的半径，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知e1⃗⃗⃗⃗、e2⃗⃗⃗⃗是两个单位向量，λ∈R时，|e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗|的最小值为√32，则下列结论正确的是（）A. e1⃗⃗⃗⃗、e2⃗⃗⃗⃗的夹角是π3B. e1⃗⃗⃗⃗、e2⃗⃗⃗⃗的夹角是2π3C. |e1⃗⃗⃗⃗+e2⃗⃗⃗⃗|=√32D. |e1⃗⃗⃗⃗+e2⃗⃗⃗⃗|=1【正确答案】：ABD【解析】：根据已知条件，结合向量的夹角公式，以及向量模公式，即可求解．【解答】：解：设e1⃗⃗⃗⃗，e2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ（θ∈[0，π]），∵ e1⃗⃗⃗⃗、e2⃗⃗⃗⃗是两个单位向量，∴ e1⃗⃗⃗⃗•e2⃗⃗⃗⃗ = |e1⃗⃗⃗⃗|•|e2⃗⃗⃗⃗|•cosθ=cosθ，∴ |e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗| = √(e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗)2 = √1+λ2+2λcosθ = √(λ+cosθ)2+1−cos2θ，∵λ∈R，∴λ=-cosθ，∴ |e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗|的最小值为√1−cos2θ，∵ |e1⃗⃗⃗⃗+λe2⃗⃗⃗⃗|的最小值为√32，∴ √1−cos2θ=√32，解得cosθ= ±12，即θ= π3或θ= 2π3，当θ=π3时，|e1⃗⃗⃗⃗+e2⃗⃗⃗⃗| = √1+1+2cosθ=√3，当θ= 2π3时，|e1⃗⃗⃗⃗+e2⃗⃗⃗⃗|=√2+2×(−12)=1．故选：ABD ．【点评】：本题主要考查平面向量的数量积公式，考查计算能力，属于中档题． 13.（填空题，5分）设i 是虚数单位，若复数 2−a2−i (a ∈R ) 是纯虚数，则a=___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a 值．【解答】：解：∵ 2−a2−i =2−a (2+i )(2−i )(2+i ) = 2−2a+ai22+(−1)2=(2−2a 5)−a 5i 是纯虚数， ∴ {2−2a5=0a 5≠0，解得a=5．故答案为：5．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.（填空题，5分）一艘船上午9：30在A 处一测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距 8√2 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是 ___ ． 【正确答案】：[1]16（ √6 −√2 ）海里/小时【解析】：由已知结合正弦定理可求出AB 的距离，进而可求．【解答】：解：由题意得，∠BAC=30°，∠CBS=75°，AS=8 √2 ， 所以∠S=45°，由正弦定理得， AB sin45°=8√2sin105° ， 所以AB=8√2×√22√6+√24=8（ √6−√2 ）海里，所以船的速度为8(√6−√2)12=16（ √6 −√2 ）海里/小时．故答案为：16（ √6 −√2 ）海里/小时．【点评】：本题主要考查了正弦定理在与解三角形有关的实际问题中的应用，属于基础题．15.（填空题，5分）已知向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，-4）， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6，-3）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（5-m ，-3-m ）若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（- 34 ， 12 ）∪（ 12 ，+∞）【解析】：若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得 m= 12 ．求出 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m+m ＞0，可得m ＞- 34 ．由此可得当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，1） AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-m ，1-m ），若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有3（1-m ）=2-m ，解得 m= 12 ．由题设知， BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-3，-1）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1-m ，-m ）， ∵∠ABC 为锐角，∴ BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m+m ＞0，可得m ＞- 34． 由题意知，当m= 12 时， BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是 （- 34 ， 12 ）∪（ 12 ，+∞）， 故答案为 （- 34 ， 12 ）∪（ 12 ，+∞）．【点评】：本题主要考查向量的表示方法，两个向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题．16.（填空题，5分）连接正方体相邻各面的中心（中心是指正方形的两条对角线的交点）后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为a ，则该几何体的表面积为 ___ ，该几何体的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] √3a 2 ; [2] 16a 3【解析】：由已知可得，所得几何体为正八面体，每个面是全等的正三角形，求出一条棱长，得到一个侧面的面积，乘以8可得几何体的表面积；再求出正方形ABCD 的面积，可得四棱锥S-ABCD 的体积，乘以2可得几何体的体积．【解答】：解：由题意，所得几何体为正八面体，每个面是全等的正三角形，且AD=√22a，所以几何体的表面积为：S=8S△SDA=8×12×√64a×√22a=√3a2，连接AC、BD，设AC∩BD=O，连接OS，则OS=12a，OD=12BD=a，∴ S ABCD=(√22a)2=12a2，∴该几何体的体积为：V正八面体=2×13×S ABCD×OS=2×13×12a2×12a=16a3．故答案为：√3a2，16a3．【点评】：本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.（问答题，10分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1.下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB=6m，PO1=2m，求仓库的容积．【正确答案】：【解析】：求出四棱锥的体积正四棱柱的体积，然后求解几何体的体积即可．【解答】：解：PO 1=2m ，OO 1=4PO 1， ∴OO 1=8m ，V ABCD−A 1B 1C 1D 1=Sℎ=6×6×8=288m 3 ， V P−A 1B 1C 1D 1=13S ⋅PO 1=13×6×6×2=24m 3 ， V=288+24=312．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 18.（问答题，12分）设向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 满足 |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1 ，且 |3a ⃗−2b ⃗⃗|=√7 ． （1）求 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角的大小； （2）求|3a⃗⃗+b ⃗⃗||3a⃗⃗−b ⃗⃗| 的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合向量模公式，以及向量的夹角公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合向量模公式，即可求解．【解答】：解：（1）设 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为θ， ∵ |3a ⃗−2b ⃗⃗|=√7 ，∴ (3a ⃗−2b ⃗⃗)2= 9|a ⃗|2+4|b ⃗⃗|2− 12a ⃗•b ⃗⃗=7 ， ∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1 ，∴ a ⃗•b ⃗⃗=12， ∴ |a ⃗|•|b ⃗⃗|cosθ=12 ，解得 cosθ=12 ， ∵θ∈[0，π]，∴ θ=π3 ， 故 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角的大小为 π3． （2） (3a ⃗+b ⃗⃗)2= 9|a ⃗|2+6a ⃗•b ⃗⃗+|b ⃗⃗|2 =9+3+1=13， (3a ⃗−b ⃗⃗)2= 9|a ⃗|2−6a ⃗•b ⃗⃗+|b ⃗⃗|2 =9-3+1=7， 故 |3a ⃗⃗+b ⃗⃗||3a ⃗⃗−b ⃗⃗| = √13√7=√917．【点评】：本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化思想，属于基础题．19.（问答题，12分）已知O 为坐标原点，向量 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1，z 2，且 z 1=3a+5+(10−a 2)i ， z 2=21−a +(2a −5)i （a∈R ）．若 z 1+z 2 是实数．（1）求实数a 的值；（2）求以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合 z 1 +z 2为实数求得a 的值，（2）由（1）可得 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可得| OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，| OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，利用平面向量夹角公式可求cos （ OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin （ OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：（1）由 z 1=3a+5+(10−a 2)i ，得 z 1 = 3a+5 -（10-a 2）i ， 则 z 1 +z 2= 3a+5 + 21−a +[（a 2-10）+（2a-5）]i 的虚部为0， ∴a 2+2a-15=0． 解得：a=-5或a=3． 又∵a+5≠0，∴a=3．（2）由（1）可得：z 1= 38+i ，z 2=-1+i ，可得： OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 38，1）， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1），可得：| OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√738，| OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √2 ， ∴cos （ OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = −38+1√738×√2= √146 ∴sin （ OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= √1−25146 =√146∴S=| OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin （ OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=√738× √2 × √146= 118 ．【点评】：本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及几何意义和平面向量的运算，属于中档题．20.（问答题，12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量 m ⃗⃗⃗ =（cos （A-B ），sin （A-B ））， n ⃗⃗ =（cosB ，-sinB ），且 m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗=−35 ． （1）求sinA 的值；（2）若a=4 √2 ，b=5，求角B 的大小及向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量的模．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合余弦函数的两角差公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合正弦定理和余弦定理，即可求解．【解答】：解：（1）∵ m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗=−35，∴cos （A-B ）cosB-sin （A-B ）sinB=cos （A-B+B ）=cosA= −35， ∵A∈（0，π），∴ sinA =√1−cos 2A = 45 ．（2）由正弦定理可得， a sinA =bsinB ， 则 sinB =bsinAa = 5×454√2=√22， ∵a ＞b ，∴A ＞B ，则B= π4 ，由余弦定理可得， (4√2)2=52+c 2−2×5c ×(−35) ，解得c=1， 故向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为 |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cosB =ccosB= 1×√22=√22 ．【点评】：本题主要考查向量的数量积公式，考查正弦定理与余弦定理，属于中档题． 21.（问答题，12分）如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中∠BAC=30°）及其体积．【正确答案】：【解析】：求出AC= √3 R，BC=R，CO1= √32R，再求出几何体的表面积；要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．【解答】：解：如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=2R，∴AC= √3 R，BC=R，CO1= √32R，∴S球=4πR2，S圆锥AO1侧=π× √32R× √3 R= 32πR2，S圆锥BO1侧=π× √32R×R= √32πR2，∴S几何体表=S球+ S圆锥AO1侧 + S圆锥BO1侧= 11+√32πR2，∴旋转所得到的几何体的表面积为11+√32πR2．又V球= 43πR3，V圆锥AO1= 13•AO1•π•CO12= 14πR2•AO1V圆锥BO1 = 13BO1•πCO12= 14BO1•πR2∴V几何体=V球-（V圆锥AO1 + V圆锥BO1）= 56πR3．【点评】：本题考查组合体的表面积、体积的求法，能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解，熟悉圆锥和球的表面积、体积公式．22.（问答题，12分）设函数f（x）=sin（ωx+ π6）+2sin2ω2x（ω＞0），已知函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若△ABC的内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中b＜c），且f（A）= 32，△ABC面积为S=6 √3，a=2 √7，求b，c的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将三角函数进行化简，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理建立方程组即可得到结论．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx+ π6）+2sin2ω2x= √32sinωx−12cosωx+1=sin(ωx−π6)+1，∵函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为π．∴函数f（x）的周期为2π，∴ω=1，即函数f（x）的解析式f(x)=sin(x−π6)+1．（Ⅱ）由f（A）= 32，得sin (A−π6)+1=32，即sin (A−π6)=12，∴A= π3，∵△ABC面积为S=6 √3，a=2 √7，∴ 12bcsinA=6√3，即bc=24，由余弦定理得a2=（2 √7）2=b2+c2-2bccos π3=b2+c2-24，∴b2+c2=52，∵b＜c，bc=24∴解得b=4，c=6．【点评】：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用三角函数的公式将三角函数进行化简是解决本题的关键．。

2021-2022学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）将集合{（x，y）| {x+y=52x−y=1 }表示成列举法，正确的是（）A.{2，3}B.{（2，3）}C.{x=2，y=3}D.（2，3）2.（单选题，5分）命题“∃x∈R，x2-2x+1＜0”的否定是（）A.∃x∈R，x2-2x+1≥0B.∃x∈R，x2-2x+1＞0C.∀x∈R，x2-2x+1≥0D.∀x∈R，x2-2x+1＜03.（单选题，5分）设全集U=R，S={x|1x＜0}，则∁U S=（）A. {x|1x≥0}B.[0，+∞）C.（0，+∞）D. {x|1x＞0}4.（单选题，5分）已知函数f(x−1x )=x2+1x2，则f(32) =（）A. 174B.4C. 72D. 1345.（单选题，5分）下列命题为真命题的是（）A.若a＞b＞0，则ac2＞bc2B.若a＜b＜0，则1a ＜1bC.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D.若a＞b＞0，则a2＞b26.（单选题，5分）函数y=−x2的图象的大致形状是（）|x|A.B.C.D.，则下列函数中为奇函数的是（）7.（单选题，5分）设函数f（x）= 1−x1+xA.f（x-1）-1B.f（x-1）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+18.（单选题，5分）若“x＜m”是“（x-2020）（x-2021）＞2”的充分不必要条件，则实数m的最大值是（）A.2018B.2019C.2020D.20219.（多选题，5分）下列函数既是偶函数，在（0，+∞）上又是增函数的是（）A.y=x2+1B.y=2xC.y=|x|D. y=|1x−x|10.（多选题，5分）若函数f（x）=x2-4x+1在定义域T上的值域为[-3，1]，则区间T可能为（）A.（2，4]B.[1，4]C.[0，4]D.[3，4]11.（多选题，5分）已知函数f（x）的图象由如图所示的两条线段组成，则有（）A.函数f（x）在区间[1，103]上的最大值为2B.f[f（4）]=3C.f（x）=x-3+2|x-3|，x∈[0，4]D.∃a＞0，不等式f（x）≤a的解集为[32，72]12.（多选题，5分）若函数f(x)={−x2+2ax−2a，x≥1ax+1，x＜1在（-∞，+∞）上是减函数，则关于实数a的可能取值是（）A.-2B.-1C.0D.113.（填空题，5分）设a，b∈R，P={1，a}，Q={-1，-b}，若P=Q，则a-b=___ ．14.（填空题，5分）已知x＞1，那么x+1x−1取得最小值时的x值为 ___ ．15.（填空题，5分）已知f（x）是定义在[-2，2b]上的偶函数，且在[-2b，0]上为增函数，则不等式f（2x+1）≤f（1）的解集为 ___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=-x2+2x+1，x∈[0，2]，函数g（x）=ax-1，x∈[-1，1]，对于∀x1∈[0，2]，∃x2∈[-1，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知函数f(x)=x√16−x2的定义域是集合A，集合B={x|x≤1或x≥3}．（1）求A∩B，A∪B；（2）若全集U=R，求（∁U A）∩B．18.（问答题，12分）已知命题P：∃x∈R，使x2-4x+m=0为假命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设A={x|3a＜x＜a+4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=x- 4x．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）求函数f（x）=x- 4x，x∈[-4，-1]的值域．20.（问答题，12分）已知a＞0，b＞0，a+3b=1．（1）求1a +3b的最小值；（2）若m＞a2+9b2+7ab恒成立，求实数m的取值范围．21.（问答题，12分）设f（x）=ax2+（1-a）x+a-2．（1）若不等式f（x）≥-2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a-1（a∈R）．22.（问答题，12分）若函数y=f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为[2 b ，2a]，就称区间[a，b]为y=f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）=-x+3．（1）求g（x）的解析式；（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y=h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y=h（x）}∩{（x，y）|y=x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．2021-2022学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）将集合{（x ，y ）| {x +y =52x −y =1}表示成列举法，正确的是（ ） A.{2，3}B.{（2，3）}C.{x=2，y=3}D.（2，3）【正确答案】：B【解析】：本题考查的是集合的表示方法．在解答时应先分析元素所具有的公共特征，通过解方程组即可获得问题的解答．注意元素形式为有序实数对．【解答】：解：解方程组： {x +y =52x −y =1 ， 可得： {x =2y =3 ∴集合 {(x ，y)|{x +y =52x −y =1}={(2，3)} ． 故选：B ．【点评】：本题考查的是集合的表示方法．在解答的过程当中充分体现了集合元素特征的挖掘、结合元素的确定以及解方程组的知识．值得同学们体会和反思．2.（单选题，5分）命题“∃x∈R ，x 2-2x+1＜0”的否定是（ ）A.∃x∈R ，x 2-2x+1≥0B.∃x∈R ，x 2-2x+1＞0C.∀x∈R ，x 2-2x+1≥0D.∀x∈R ，x 2-2x+1＜0【正确答案】：C【解析】：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2-2x+1＜0”的否定是命题：∀x∈R，x2-2x+1≥0．故选：C．【点评】：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3.（单选题，5分）设全集U=R，S={x|1x＜0}，则∁U S=（）A. {x|1x≥0}B.[0，+∞）C.（0，+∞）D. {x|1x＞0}【正确答案】：B【解析】：求出集合S，利用补集定义能求出∁U S．【解答】：解：∵全集U=R，S={x|1x＜0} ={x|x＜0}，∴∁U S={x|x≥0}=[0，+∞）．故选：B．【点评】：本题考查集合的运算，考查补集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.（单选题，5分）已知函数f(x−1x )=x2+1x2，则f(32) =（）A. 174B.4C. 72D. 134【正确答案】：A【解析】：根据题意，利用特殊值法分析，将x=2代入f(x−1x )=x2+1x2中，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f(x−1x )=x2+1x2，令x=2可得：f（2）=4+ 14 = 174，故选：A．【点评】：本题考查函数值的计算，注意利用特殊值法分析，属于基础题．5.（单选题，5分）下列命题为真命题的是（）A.若a＞b＞0，则ac2＞bc2B.若a＜b＜0，则1a ＜1bC.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D.若a＞b＞0，则a2＞b2【正确答案】：D【解析】：对四个选项逐一举数进行判断即可．【解答】：解：A．当c=0时不成立，故A错；B．取a=-2，b=-1，则1a =−12，1b=−1，所以1a＞1b，故B错；C．取a=-2，b=-1，则a2=4，ab=2，b2=1，故C错；D．因为a＞b＞0，所以有a2＞b2，故D正确；故选：D．【点评】：本题考查了不等式的性质，对每一个选项只需列举出满足条件的数据进行判断即可，属于基础题．6.（单选题，5分）函数y=−x2|x|的图象的大致形状是（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：根据绝对值的意义，将函数表示成分段函数性质，进行判断即可．【解答】：解：函数的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，y=- x 2x=-x，当x＜0时，y=- x 2−x=x，则对应的图象为C，故选：C．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合绝对值的意义进行化简是解决本题的关键．比较基础．7.（单选题，5分）设函数f（x）= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A.f（x-1）-1B.f（x-1）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+1【正确答案】：B【解析】：先根据函数f（x）的解析式，得到f（x）的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为（0，0），从而得到答案．【解答】：解：因为f（x）= 1−x1+x = −(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f（x）的对称中心为（-1，-1），所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f（x-1）+1，该函数的对称中心为（0，0），故函数y=f（x-1）+1为奇函数．故选：B．【点评】：本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f（x）的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．8.（单选题，5分）若“x＜m”是“（x-2020）（x-2021）＞2”的充分不必要条件，则实数m的最大值是（）A.2018B.2019C.2020D.2021【正确答案】：B【解析】：对选项进行逐个分析，即可解出答案．【解答】：解：对于选项A，满足是充分条件，选项B也是充分条件，选项C、D不是充分条件；而2018＜2019，故选：B．【点评】：本题考查了充分必要条件，学生的数学运算能力，逻辑推理能力，属于基础题．9.（多选题，5分）下列函数既是偶函数，在（0，+∞）上又是增函数的是（）A.y=x2+1B.y=2xC.y=|x|D. y=|1x−x|【正确答案】：AC【解析】：由基本初等函数的性质逐一判断即可．【解答】：解：对于A，y=x2+1为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足题意；对于B，y=2x是奇函数，不满足题意；对于C，y=|x|是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足题意；对于D，y=|1x −x|是偶函数，当x∈（0，1）时，y= 1x-x为减函数，不满足题意．故选：AC．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．10.（多选题，5分）若函数f （x ）=x 2-4x+1在定义域T 上的值域为[-3，1]，则区间T 可能为（ ）A.（2，4]B.[1，4]C.[0，4]D.[3，4]【正确答案】：BC【解析】：配方法化简f （x ）=x 2-4x+1=（x-2）2-3，从而可知2∈T 且T⊆[0，4]，0，4至少一个在集合T 中，从而判断．【解答】：解：∵f （x ）=x 2-4x+1=（x-2）2-3，∴f （0）=f （4）=1，f （2）=-3，∴2∈T 且T⊆[0，4]，0，4至少一个在集合T 中，故选：BC ．【点评】：本题考查了二次函数的值域，利用了配方法及数形结合的思想，属于中档题．11.（多选题，5分）已知函数f （x ）的图象由如图所示的两条线段组成，则有（ ） A.函数f （x ）在区间 [1，103] 上的最大值为2B.f[f （4）]=3C.f （x ）=x-3+2|x-3|，x∈[0，4]D.∃a ＞0，不等式f （x ）≤a 的解集为 [32，72] 【正确答案】：ACD【解析】：根据题意求出分段函数的解析式，再根据解析式以及函数的图象依次判断四个选项，即可得到答案．【解答】：解：由题意可得，当x∈[0，3]时，设解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），因为图象经过点（3，0），（0，3），所以 {3k 1+b 1=0b 1=3，解得k 1=-1，b 1=3， 所以y=-x+3；当x∈[3，4]时，设解析式为y=k 2x+b 2（k 2≠0），因为图象经过点（3，0），（4，3），所以 {3k 2+b 2=04k 2+b 2=3，解得k 2=3，b 2=-9， 所以y=3x-9，故f （x ）=x-3+2|x-3|，x∈[0，4]，故选项C 正确；因为f （1）=2， f (103)=1 ，结合函数的图象，函数f （x ）在区间 [1，103] 上的最大值为2，故选项A 正确；根据函数的图象可得，f[f （4）]=f （3）=0，故选项B 错误；因为 f (32)=32，f (72)=32 ，所以当a= 32 ，使得不等式f （x ）≤a 的解集为 [32，72] ， 故选项D 正确．故选：ACD ．【点评】：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的图象的理解与应用，函数解析式的求解，函数的求值问题，函数的最值问题以及函数与不等式的综合应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.（多选题，5分）若函数 f (x )={−x 2+2ax −2a ，x ≥1ax +1，x ＜1 在（-∞，+∞）上是减函数，则关于实数a 的可能取值是（ ）A.-2B.-1C.0D.1【正确答案】：AB【解析】：结合一次函数与二次函数的单调性及分段函数的单调性可求．【解答】：解：因为 f (x )={−x 2+2ax −2a ，x ≥1ax +1，x ＜1 在（-∞，+∞）上是减函数，所以 {a ≤1a ＜0−1+2a −2a ≤a +1，解得，-2≤a ＜0，结合选项可知，a=-2，a=-1符合题意．故选：AB ．【点评】：本题主要考查了分段函数的单调性及一次函数和二次函数单调性的应用，要注意分段函数端点值的比较，属于中档题．13.（填空题，5分）设a ，b∈R ，P={1，a}，Q={-1，-b}，若P=Q ，则a-b=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由已知可得a=-1且-b=1，进而可以求解．【解答】：解：因为a ，b∈R ，P={1，a}，Q={-1，-b}，又因为P=Q ，则a=-1且-b=1，解得a=-1，b=-1，所以a-b=-1-（-1）=0，故答案为：0．【点评】：本题考查了元素与集合的关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知x ＞1，那么 x +1x−1 取得最小值时的x 值为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由x ＞1可得x-1＞0，则x+ 1x−1 =x-1+ 1x−1 +1，进一步利用基本不等式即可确定x+ 1x−1 取得最小值时x 的值．【解答】：解：由x ＞1，得x-1＞0，所以x+ 1x−1 =x-1+ 1x−1+1≥2 √(x −1)(1x−1) +1=3， 当且仅当x-1= 1x−1 ，即x=2时等号成立，所以x+ 1x−1 取得最小值时x 的值为2．故答案为：2．【点评】：本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）已知f （x ）是定义在[-2，2b]上的偶函数，且在[-2b ，0]上为增函数，则不等式f （2x+1）≤f （1）的解集为 ___ ．【正确答案】：[1] [−32，−1]∪[0，12] 【解析】：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】：解：由题意2b=2，即b=1，因为f （x ）在[-2，0]上单调递增，所以f （x ）在[0，2]上单调递减，由f （2x+1）≤f （1）得， {|2x +1|≥1−2≤2x +1≤2， 解得， −32≤x ≤−1 或0 ≤x ≤12 ，所以原不等式的解集[ −32 ，-1]∪ [0，12] ．故答案为：[ −32 ，-1]∪ [0，12] ．【点评】：本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．16.（填空题，5分）已知函数f （x ）=-x 2+2x+1，x∈[0，2]，函数g （x ）=ax-1，x∈[-1，1]，对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）=f （x 1）成立，则实数a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[3，+∞）【解析】：利用二次函数的性质求出f （x ）的值域，分a ＞0和a ＜0两种情况，由函数的单调性求解g （x ）的值域，将问题转化为f （x ）的值域[1，2]为g （x ）在[-1，1]上值域的子集，由集合子集的定义，列式求解即可．【解答】：解：因为f （x ）=-x 2+2x+1=-（x-1）2+2，x∈[0，2]，所以f （x ）的最小值为f （0）=1，f （x ）的最大值为f （1）=2，则f （x ）的值域为[1，2]，因为对于∀x 1∈[0，2]，∃x 2∈[-1，1]，使得g （x 2）=f （x 1）成立，则f （x ）的值域[1，2]为g （x ）在[-1，1]上值域的子集，当a ＞0时，g （x ）在[-1，1]上单调递增，所以g （-1）≤g （x ）≤g （1），则g （x ）∈[-a-1，a-1]，所以[1，2]⊆[-a-1，a-1]，故 {−a −1≤1a −1≥2，解得a≥3； 当a ＜0时，g （x ）在[-1，1]上单调递减，所以g （1）≤g （x ）≤g （-1），则g （x ）∈[a -1，-a-1]，所以[1，2]⊆[a -1，-a-1]，故 {a −1≤1−a −1≥2，解得a≤-3． 综上所述，实数a 的取值范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）．故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，函数与方程的综合应用，函数值域的求解，函数单调性的应用，集合子集定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知函数 f (x )=√16−x 2 的定义域是集合A ，集合B={x|x≤1或x≥3}． （1）求A∩B ，A∪B ；（2）若全集U=R ，求（∁U A ）∩B ．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的定义域得集合A ，根据交集与并集的定义计算即可；（2）根据补集与交集的定义计算即可．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=√16−x 2 的定义域是A={x|16-x 2＞0}={x|-4＜x ＜4}，集合B={x|x≤1或x≥3}，所以A∩B={x|-4＜x≤1或3≤x ＜4}；A∪B=R ；（2）因为全集U=R ，所以∁U A={x|x≤-4或x≥4}，所以（∁U A ）∩B={x|x≤-4或x≥4}．【点评】：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18.（问答题，12分）已知命题P ：∃x∈R ，使x 2-4x+m=0为假命题．（1）求实数m 的取值集合B ；（2）设A={x|3a＜x＜a+4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出B即可；（2）根据充分必要条件的定义得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】：解：（1）由题意，得关于x的方程x2-4x+m=0无实数根，所以Δ=16-4m＜0，解得m＞4，即B=（4，+∞）；（2）因为A={x|3a＜x＜a+4}为非空集合，所以3a＜a+4，即a＜2，因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A是B的真子集，则a＜2且3a≥4，≤a＜2，即43，2）．综上所述，实数a的取值范围为[ 43【点评】：本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是基础题．．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=x- 4x（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；，x∈[-4，-1]的值域．（3）求函数f（x）=x- 4x【正确答案】：【解析】：（1）求出函数f（x）的定义域，利用定义判断f（x）是奇函数；（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）判断函数f （x ）在（-∞，0）上也单调递增，求出x∈[-4，-1]时函数的最小与最大值，即可求出值域．【解答】：（1）解：函数f （x ）=x- 4x 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，设f （x ）的定义域为I ，任取x∈I ，则f （-x ）=-x- 4−x =-（x- 4x ）=-f （x ），所以函数f （x ）是奇函数；（2）证明：任取x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）=（x 1- 4x 1 ）-（x 2- 4x 2 ）=（x 1-x 2）-（ 4x 1 - 4x 2 ）=（x 1-x 2）（1+ 4x 1x 2 ）， 因为0＜x 1＜x 2，所以x 1-x 2＜0，且1+ 4x1x 2＞0， 所以f （x 1）＜f （x 2）， 所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（3）解：因为函数f （x ）=x- 4x 在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）在（-∞，0）上也单调递增，当x∈[-4，-1]时，f （x ）min =f （-4）=-4- 4−4 =-3，f （x ）max =f （-1）=-1- 4−1 =3，所以f （x ）在[-4，-1]上的值域是[-3，3]．【点评】：本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义和应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．20.（问答题，12分）已知a ＞0，b ＞0，a+3b=1．（1）求 1a +3b 的最小值；（2）若m ＞a 2+9b 2+7ab 恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用“乘1法”可得 1a +3b =（a+3b ）（ 1a +3b ）=10+ 3a b + 3b a ，再利用基本不等式即可求出结果．（2）m ＞a 2+9b 2+7ab 恒成立等价于m ＞（a 2+9b 2+7ab ）max ，又a 2+9b 2+7ab=1+ 13× a•3b ，所以利用基本不等式求出a•3b 的最大值，从而求出a 2+9b 2+7ab 的最大值，得到m 的取值范围即可．【解答】：解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+3b=1，∴ 1 a +3b=（a+3b）（1a+3b）=10+ 3ab+ 3ba≥10+2√3ab•3ba=16，当且仅当3ab= 3ba，即a=b= 14时，等号成立，∴ 1 a +3b的最小值为16．（2）∵m＞a2+9b2+7ab恒成立，∴m＞（a2+9b2+7ab）max，a2+9b2+7ab=（a+3b）2+ab=1+ 13×a•3b，∵a•3b ≤(a+3b)24 = 14，当且仅当a=3b，即a= 12，b= 16时，等号成立，∴a2+9b2+7ab≤1+ 13×14= 1312，∴m ＞1312，即实数m的取值范围为（1312，+∞）．【点评】：本题考查了“乘1法”与基本不等式的应用，考查了恒成立问题，属于中档题．21.（问答题，12分）设f（x）=ax2+（1-a）x+a-2．（1）若不等式f（x）≥-2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a-1（a∈R）．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得，ax2+（1-a）x+a-2≥0对于一切实数x恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解（2）由已知可得，ax2+（1-a）x-1＜0，结合二次不等式的求解可求．【解答】：解：（1）f（x）≥-2对于一切实数x恒成立等价于ax2+（1-a）x+a≥0对于一切实数x恒成立，当a=0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；当a≠0时，{a＞0△≤0即{a＞0(1−a)2−4a2≤0，解得：a ≥13；（2）不等式f（x）＜a-1等价于ax2+（1-a）x-1＜0当a=0时，不等式可化为x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}；当a＞0时，不等式可化为（ax+1）（x-1）＜0，此时−1a＜1，所以不等式的解集为{x|- 1a＜x＜1 }；当a＜0时，不等式可化为（ax+1）（x-1）＜0，① 当a=-1时，- 1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；② 当-1＜a＜0时，−1a ＞1，不等式的解集为{x|x ＞−1a或x＜1}；③ 当a＜-1时，- 1a ＜1，不等式的解集为{x|x＞1或x＜- 1a}．【点评】：本题主要考查了二次不等式与二次函数性质的相互转化，及二次不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用．22.（问答题，12分）若函数y=f（x）自变量的取值区间为[a，b]时，函数值的取值区间恰为[2 b ，2a]，就称区间[a，b]为y=f（x）的一个“和谐区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）=-x+3．（1）求g（x）的解析式；（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“和谐区间”；（3）若以函数g（x）在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y=h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y=h（x）}∩{（x，y）|y=x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）运用函数的奇偶性求出g（x）的解析式即可；（2）利用g（x）在（0，+∞）上的单调性，得到关于a和b的一个方程组，构造一个方程使得a，b恰好是其两个根，求解即可；（3）根据题意，先分析出a和b同号，然后得到h（x）的解析式，判断出抛物线y=x2+m与函数h （x ）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，由此将问题转化为方程的根的问题进行分析求解即可得到答案．【解答】：解：（1）因为g （x ）为R 上的奇函数，∴g （0）=0，又当x∈（0，+∞）时，g （x ）=-x+3，所以，当x∈（-∞，0）时，g （x ）=-g （-x ）=-（x+3）=-x-3，∴ g (x )={−x −3，x ＜00，x =0−x +3，x ＞0 ； （2）设0＜a ＜b ，∵g （x ）在（0，+∞）上递单调递减，∴ {2b =g (b )=−b +32a =g (a )=−a +3 ，即a ，b 是方程 2x=−x +3 的两个不等正根． ∵0＜a ＜b ，∴ {a =1b =2， ∴g （x ）在（0，+∞）内的“和谐区间”为[1，2]；（3）设[a ，b]为g （x ）的一个“和谐区间”，则 {a ＜b 2b＜2a ， ∴a ，b 同号．当a ＜b ＜0时，同理可求g （x ）在（-∞，0）内的“和谐区间”为[-2，-1]．∴ ℎ(x )={−x +3，x ∈[1，2]−x −3，x ∈[−2，−1]， 依题意，抛物线y=x 2+m 与函数h （x ）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此m 应当使方程x 2+m=-x+3在[1，2]内恰有一个实数根，并且使方程x 2+m=-x-3，在[-2，-1]内恰有一个实数．由方程x 2+m=-x+3，即x 2+x+m-3=0在[1，2]内恰有一根，令F （x ）=x 2+x+m-3，则 {F (1)=m −1≤0F (2)=m +3≥0，解得-3≤m≤1； 由方程x 2+m=-x-3，即x 2+x+m+3=0在[-2，-1]内恰有一根，令G （x ）=x 2+x+m+3，则 {G (−1)=m +3≤0G (−2)=m +5≥0，解得-5≤m≤-3． 综上可知，实数m 的取值集合为{-3}．【点评】：本题考查了函数的零点与方程根的关系的综合应用，涉及了函数解析式的求解、函数奇偶性的应用，解题的关键是将问题抛物线y=x 2+m 与函数h （x ）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，转化为方程的根的问题进行研究．。

2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。

广州市仲元中学高一上期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共60.0分）1.若集合，集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知集合包含三个实数-1,0,2,集合包含三个元素0,1,2,所以应该包括-1,0,1,2这四个元素,故选考点：集合的并集.2.设全集，集合，，则右图中的阴影部分表示的集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】阴影部分表示的集合为3.下列各对函数中，图象完全相同是（）A. 与 B. 与C. 与D. 与【答案】C【解析】【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．【详解】解：对于A 、∵的定义域为，的定义域为．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B 、∵的定义域，的定义域均为．∴两个函数不是同一个函数．对于C 、∵的定义域为且，的定义域为且．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．对于D 、的定义域是，的定义域是，定义域不相同，∴不是同一个函数．故选：C．【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．4.函数的定义域是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出的不等式组，求解即可．【详解】解：要使原式有意义只需：，解得且，故函数的定义域为．故选：B．【点睛】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．5.下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A. B. C.D.是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；是奇函数，在定义域内不单调；y=－x 3是奇函数，又在定义域内为减函数；是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；故选：C6.若函数的定义域和值域都为，则（）A. 或B.C.D. 不存在【答案】B【解析】由题意得,函数f(x)为一次函数，则，解得，故选B.7.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，所以，又是上的奇函数，所以，故选D.8.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5【答案】C【分析】由图中参考数据可得，，又因为题中要求精确到0.1可得答案．【详解】解：由图中参考数据可得，，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4故选：C．【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．9.若函数（且）的图象不经过第一象限，则有（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数单调递减，即，且当时，，求解不等式可得：，综上可得：且.本题选择C选项.10.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】解：，，，∵．∴．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数且的图象恒过定点________.【答案】【解析】令x=1,则y=,所以函数且的图象恒过定点.12.已知集合==,则=_______.【答案】【解析】====,所以=.13.方程的解是______．【答案】x=log23【解析】∵4x-2x+1-3=0∴（2x）2-2×2x-3=0∴（2x-3）（2x+1）=0∵2x＞0∴2x-3=0∴x=log23故答案为x=log2314.已知是上的减函数，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为数=在上是减函数,所以,求解可得,故答案为.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）15.（10分）计算下列各式：（1）（2）【答案】（1）0.09；（2）3.【解析】【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数式的运算即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.16.（12分）已知集合===.(1)求..(2)①, 当时,即. ②当时,. 综上所述,的取值范围是,即.(2)若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据数轴求集合交集（2）由得,先考虑空集的情况，再结合数轴列对应不等式关系，最后根据并集求实数的取值范围.试题解析：(1)==,17.（12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，（1）求函数的解析式，并画出函数的图象．（2）根据图象写出的单调区间和值域．【答案】(1)(2) 函数的单调递增区间为单调递减区间为，函数的值域为—【解析】试题分析：解：（1）由，当，又函数为偶函数，—————————————3’故函数的解析式为—————————————4’（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为单调递减区间为，函数的值域为——————12’考点：函数奇偶性和函数单调性的运用点评：解决该试题的关键是利用对称性作图，并能加以结合单调性的性质来求解最值。

广东仲元中学2021级高一数学期中复习卷（一）(单选和多选）高一（）________________________班：学号：________________________姓名：________________________一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设复数z满足z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则|z|＝（）[单选题] *AB.(正确答案)CD2．已知向量，，且，则λ＝（）[单选题] *A(正确答案)BCD3．如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝5，O'C'＝2，∠A'O'C'＝30°，则原图形的面积是（）[单选题] *ABC(正确答案)D4.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（） [单选题] *A,4B,5C,6(正确答案)D,75．下列四个命题中正确的是（） [单选题] *A．底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B．两两相交的三条直线必在同一平面内C．在空间中，四边相等的四边形是菱形D．不存在所有棱长都相等的正六棱锥(正确答案)6．已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不正确的选项为（） [单选题] *A．P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB．P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β＝l，且P∈lC．l∥m，m∥n⇒l∥nD．(正确答案)7．已知三棱锥A﹣BCD中，，BC＝AC＝BD＝AD＝1，则此几何体外接球的体积为（） [单选题] *A．2πB．(正确答案)C．D．π8．在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于直线OA上，当取得最小值时，∠PBA的正弦值为（）[单选题] *ABC(正确答案)D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．设z为复数，则下列命题中正确的是（）*A(正确答案)BC(正确答案)D(正确答案)10．如下图，直角梯形ABCD中AB＝2，CD＝4，AD＝2．则下列说法正确的是（）*ABC(正确答案)D(正确答案)11 * A(正确答案)B(正确答案)C(正确答案)D12．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（） *A．O2，O1，B，D1四点不共线B．r1+r2＝3(正确答案)C．这两个球的体积之和的最小值是9π(正确答案)D．这两个球的表面积之和的最大值是18π。

广东仲元中学2021学年第二学期期中考试高一年级数学学科试卷一、单选题（本大题共8小题，供40.0分，每题只有一个正确答案，错选漏选不给分）1．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)2．在ABCD Y 中，若()2,8AD = ，()3,4AB =- ，则AC =（）A ．()1,12--B ．()1,12-C ．()1,12-D ．()1,123．如果向量(),1a k =与()6,1b k =+ 共线且方向相反，那么k 的值为A ．3-B ．0C ．12-D ．2-4．已知a b ，是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面（）A ．有且仅有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．有无数个5．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A ．19B ．13C ．12D ．236．在ABC 中，向量AB 与AC满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且BA BC BA BC⋅ ABC 为（）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形7．如图，已知等腰ABC ∆中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC⋅+（）A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关8．设单位向量1e ，2e 对任意实数λ都有12122e e e e λ+≤+，则向量1e ，2e 的夹角为()A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，漏选得2分，错选或不选不给分）9．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （2-i ）=i 2020，则下列说法错误的是（）A ．复数z 的模为15B ．复数z 的共轭复数为21i55--C ．复数z 的虚部为1i5D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限10．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，以下说法中正确的是（）A ．若a b >，则sin sin A B>B ．若4a =，5b =，6c =，则ABC 为钝角三角形C ．若4a =，10b =，6A π=，则符合条件的三角形不存在D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为直角三角形11．已知直线a ，b 和平面β，γ，下列说法中不正确的有（）A ．若//a β，a γ⊂，b βγ= ，则//a bB ．若//a β，//b β，则//a bC ．若a 与b 为异面直线，且//a β，a γ//，//b β，//b γ，则//βγD ．若//a b ，//b γ，则a γ//12．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20,2PA PC QA QB +==，记APQ △的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQB ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．4S =三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知(2,7)M -、(6,1)N ，点P 是线段MN 上的点，且PN PM =-，则P 点的坐标为________．14．多项式21x +在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后有()()21i i x x x +=+-，则在复数范围内多项式245x x -+分解成一次因式乘积的结果为________．15．已知圆锥底面半径为4，则该圆锥的外接球的表面积为__________．16．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在①A =3π，a =b =；②a =1，b =A =6π；③a ，b =B =3π这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答.问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知________，解三角形.18．如图，已知正三棱锥S ABC -的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高3SO =．(1)求此正三棱锥的表面积；(2)求此正三棱锥的体积．19．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1BB 和棱1CC 的中点．(1)求证：平面1//B DF 平面ACE ；(2)试问平面1B DF 截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由．20．已知A ，B ，C 分别为ABC 三边a ，b ，c 所对的角，向量()sin ,sin m A B = ，()cos ,cos n B A = ，且sin 2m n C ⋅=．(1)求角C 的大小；(2)若sin sin 2sin A B C +=，且()18CA AB AC ⋅-=，求边c 的长．21．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别是棱1DD ，AB的中点．（1）平面PQC 与直线1AA 交于R 点，求1ARA R的值；（2）M 为线段1CC 上靠近C 点的四等分点，求证：//BM 面PQC ．22．如图所示，在ABC 中，2BD AC AD ==，2CD =，E 为CD 中点，直线AE 与BC 边交于点F．（1）若AC BC =，求AB 长度；（2）求AF 长度范围．。