由“阿基里斯追不上乌龟”得出的三个假说

阿基里斯悖论公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。

当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

目录:1悖论内容、2产生原因、3哲学辨析、4简单证明、5推翻悖论1、悖论内容关于阿基里斯悖论的一个解释是：阿基里斯的确永远也追不上乌龟。

虽然现实中我们知道阿基里斯超越乌龟非常简单，但是它是如何超过乌龟的在过去却一直存在争论。

现代物理学已经证明了时间和空间不是可以无限分割的，所以总有最为微小的一个时间里，阿基里斯和乌龟共同前进了一个空间单位，从此阿基里斯顺利超过乌龟。

2、产生原因芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。

在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。

这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。

通俗一点讲，我们都知道一条线是由无数个点组成的，但这个“无数个点”并不能说我们无法画出一条线。

也就是说就是芝诺偷换了概念，（1+0.1+0.01+……）t 其实是一个有限的时间，但他认为这个时间是无限大的，只要时间超过（1+0.1+0.01+……）t 阿基里斯就追上了乌龟。

3、哲学辨析阿基里斯悖论分离了运动与静止，把运动绝对化，否定客观标准。

是相对主义诡辩论。

黑格尔在《小逻辑》中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。

诡辩的本质在于孤立起来看事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的。

”辩证唯物主义认为，运动与静止是对立统一的辩证关系。

一方面，运动与静止的对立表现在：运动是绝对的，静止是相对的，二者相互区别，不可混淆。

追乌龟悖论的正确解释
嘿，你知道那个追乌龟悖论不？就那个阿喀琉斯和乌龟赛跑的事儿。

阿喀琉斯可是个超级厉害的跑步健将啊，可按照这个悖论说，他居然
追不上一只乌龟！这不是很荒唐吗？比如说，阿喀琉斯让乌龟先跑一
段路，等他开始追的时候，在他跑到乌龟原来的位置时，乌龟又往前
爬了一段。

等他再追到乌龟新的位置时，乌龟又爬了一点。

这么一直
下去，好像阿喀琉斯就永远也追不上乌龟了。

但这怎么可能呢！这简
直就像说大象会被蚂蚁绊倒一样不可思议啊！
其实啊，这个悖论的关键就在于它把时间和距离无限细分了。

可在
现实中，时间和距离可不是能无限细分下去的呀！咱就拿生活中的例
子来说吧，你追一辆公交车，难道真的会因为它每次往前开一点你就
永远追不上了？那岂不是太可笑了！
而且啊，这个悖论有点故意“刁难”人的感觉呢。

它只强调了那一点
点的差距，却忽略了阿喀琉斯的速度优势是实实在在的呀！就好像你
和朋友比赛跑步，他先跑几步，难道你就真追不上了？肯定不会嘛！
所以啊，追乌龟悖论并不是说阿喀琉斯真的追不上乌龟，而是它在
理论上玩了个小花招。

我们不能被这个小花招给骗了呀！我们得看到
事情的本质，不能被那些看似有理实则荒谬的说法给迷惑了。

我们要
相信自己的判断力，不要轻易就被一些奇怪的理论给绕进去了。

总之，追乌龟悖论就是个纸老虎，看似厉害，其实一戳就破！。

作为一个的女王，她把键牛皮切成细细的 条子，并决定用它围成面积最大的土地。
伟大的类比——开普勒
2、“阿基里斯追鬼”悖论
阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄，让乌龟在 阿基里斯前100米处，与阿基里斯一同起跑，阿基里 斯的速度是乌龟的10倍。最初起跑时，阿基里斯与乌 龟的距离为100米，当阿基里斯跑完100米时，乌龟前 进了10米，这时阿基里斯与乌龟的距离为10米，当阿 基里斯跑完100米时，乌龟前进了1米，这时阿基里斯 与乌龟的距离为1米 …..，这样阿基里斯与乌龟的距离 渐次为100，10，1，0.1，0.01，…..按线段无限可分 理论，他们之间的距离永远不为零。因此善跑的阿基 里斯追不上乌龟。
解析：拥有最高德行的人如同水一样，具 有宽广的胸怀、谦逊的品德、与世无争的情 操、宽厚诚实的作风。具体地讲就是心胸要 像水渊一样，宽广无边、清湛悠然；要像水 的流势一样谦虚卑下，不可处处与人争高低， 要择地而居。对人要亲切自然，以诚相待， 老厚道。为人处世重诺守信，如同潮汐一般， 起落守时。
《道德经》第二十七八章 善行无辙—— “瞒天过海”
芝诺悖论
1、“二分说”悖论：运动是不可 能的 一个物体从甲地到乙地，永远不能到达。 因为从甲地到乙地，首先要通过道路的一半， 但是要通过一半，必须通过一半的一半，即 道路的四分之一，要通过道路的四分之一， 必须通过八分之一。这样分下去，永无止境。 芝诺的结论是此物体根本不能开始运动，因 为它被道路的无限分割阻碍着。
“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
意大利的裴波那契在《算盘书》中写了这 样一个问题： 7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹 骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带 有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各 有多少？
古代的数学迷宫——图形数

我想，如果你说的是埃利亚的芝诺，但是令我不解的是，芝诺何时与存在主义有了直接的联系了呢？现今的哲学界，对芝诺的研究主要是关于他的四个悖论，题中谈到的是其中三个：其一，阿基里斯追不上乌龟。

资料如下：阿基里斯(Achilles，并非荷马史诗《伊里亚特》中的英雄阿基里斯，而是古希腊奥运会中的一名长跑冠军)追龟说．“这个论点的意思是说：一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人．因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点，因此走得慢的人永远领先．”伯内特解释说，当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了．这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它．亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事．“区别只在于：这里加上的距离不是用二分法划分的．由这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上．而这个结论是根据和二分法同样的原理得到的——因为在这两个论证里得到的结论都是因为无论以二分法还是以非二分法取量时都达不到终结．在第二个论证里说最快的人也追不上最慢的人，这样说只是把问题说得更明白些罢了——因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法．认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的．因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的．”其二，飞矢不动。

资料如下：如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时(没有越出它)，它是静止着．如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的．”亚里士多德接着批驳说：“他的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样．”又说：“这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的．”其三，运动场悖论。

资料如下：“第四个是关于运动场上运动物体的论点：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点．它们以相同的速度沿相反方向作运动．芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等”．亚里士多德接着指出：“这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间．事实上这两者是不相等的．”他的证明可用下面的图解来表示，其中A，B，C代表大小相同的物体．A A A A A A A AB B B B—→ B B B B—→←—C C C C ←—C C C CAAAA为一排静止物体，而BBBB和CCCC分别代表以相同速度作相反方向运动的物体．于是当第一个B到达最末一个C的同时，第一个C也达到了最末一个B．这时第一个C已经经过了所有的B，而第一个B只经过了所有的A中的一半．因为经过每个物体的时间是相等的，所以一半时间和整个时间相等．这个错误结论是从上述错误假定得出的．事实上，芝诺的三个悖论都根源于第一个悖论，即著名的“二分说”：（资料）“运动不存在．理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处．”J．伯内特(Burnet)解释说：即不可能在有限的时间内通过无限多个点．在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷．亚里士多德批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触．须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限．因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的．因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的．”如果以我们现在的哲学思路，从唯物辩证法里很容易找到芝诺提出四个悖论的原因：芝诺单纯强调量变，忽略了度和质变，从而走向形而上学，使自己的理论在逻辑上成立，却不符合事实。

希帕索斯悖论
希帕索斯悖论是古希腊哲学家希帕索斯提出的一个悖论，它涉及到无穷的概念。

悖论的表述如下：
希帕索斯悖论：如果一只乌龟和阿基里斯进行赛跑，乌龟获得了一个头开始，阿基里斯必须追赶乌龟。

然而，在阿基里斯追到乌龟所在的位置之前，乌龟已经向前移动了一小段距离。

当阿基里斯追到这个位置时，乌龟又向前移动了一小段距离。

这个过程可以无限重复下去，阿基里斯似乎永远无法追上乌龟。

这个悖论揭示了无穷的概念中的一些令人困惑的问题。

尽管每次迭代中，阿基里斯都能够追近乌龟，但乌龟总是能够在阿基里斯追到它之前向前移动。

这似乎暗示了无穷的过程永远无法完成。

希帕索斯悖论在古代哲学中引发了对无穷的思考和讨论。

它挑战了对
无穷和连续的理解，以及我们对时间和空间的直觉。

这个悖论也激发了数学上对无穷的研究，如实数和无穷级数的理论。

在现代数学中，希帕索斯悖论的问题被解决了。

通过使用极限和无穷级数的概念，我们可以证明阿基里斯最终会追上乌龟。

然而，希帕索斯悖论仍然是一个有趣的思考问题，它引发了对无穷和连续的深入思考，并对我们对时间和空间的直觉提出了挑战。

追龟悖论
“追龟悖论”是古希腊人芝诺提出的多个悖论之一。

原话是“阿基里斯追不上乌龟”（阿基里斯是跑得最快的人）。

这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。

M：当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。

M：但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。

海龟：你别想抓住我，老朋友。

只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。

这个追龟悖论本身的假设就有问题：芝诺的假设就是阿基里斯追不上乌龟。

因为他总假设阿基里斯只追到乌龟当前在的那个点，而乌龟又往前走了一点……虽然他们之间的距离在不断缩小，乃至趋于零，但仍旧无法追上。

芝诺的假设存在问题之处就在于他去除了时间的概念（要知道阿基里斯的速度是比乌龟快的，有了速度，就是引入了时间，引入了时间，阿基里斯就一定能追上乌龟……事实也是如此），但芝诺的假设不考虑时间，只在空间（不含时间的空间）上考虑问题。

就如给你一条线段，首先截去1/2，然后把剩下的一半再截1/2，再取剩下的一半截1/2……如此重复下去。

最终的结果呢?线段能截玩吗？答案显而易见：截不完，无论剩的多么少，都截不完。

这和追龟悖论是一样的，只在空间上考虑问题，没有时间的概念。

综上，芝诺的追龟悖论本身的假设存在问题……在没有时间的空间里去讨论实际上存在时间约束问题的“阿基里斯追龟”是没有意义的。

个人见解
2013.10.15。

三个诡辨的故事
1､芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家｡他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟"的诡辩是这样的:阿基里斯是古希腊神
话中善跑的英雄｡假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它｡芝诺认
为阿基里斯永远追不上乌龟｡因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点,可是,这时后者又向前爬了一段路了｡于是前者又必须赶上这段路,可是这时后者又向前爬了｡由于阿基里斯和乌龟之间的
距离可依次分成无数小段,因此阿基里斯虽然越追越近,但永远追不
上乌龟｡
2､在古希腊,还有一更妙的诡辩是这样的:1粒谷子落地时没有响声,两粒谷子落地时也没有响声,3粒谷子落地时还是没有响声,以此类推,1整袋谷子落地时也不会有响声｡
3､武则天执政时期,人们争献祥瑞｡有个人得到一块石头,剖开一看,中间是红色,于是将这石头献给武则天,并说:“看啊,这块石头中间是一赤色的,这块石头对大王也是一片赤心啊!”大臣李德昭不以为然,反驳道:“这块石头有赤心,难道其余的石头都谋反了啊!
4､古希腊著名诡辩家欧布利德斯有一次对一个人说:”你没有失掉的东西,就是你有的东西,对不对?”那人回答:“当然对呀!”接着欧布利德斯又说:“你没有失掉头上的角,那你就是头上有角的人了｡”那个人被弄得莫名其妙,知道受了愚弄,又说不出所以然,不知怎样反驳欧布利德斯｡
欧布利德斯的诡辩就在于,前一个“没有失掉”指的是你原来就
有的东西仍然存在,后一个“没有失掉”指的是你根本没有的东西也仍然存在｡这是强加于人,因为从来没有的东西,不存在“失掉"或“没有失掉”的问题｡可以看出,在欧布利德斯的议论中,“没有失掉”这个词,前后表达的是两个不同的概念,犯了偷换概念的错误｡。

阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
思考：你认为芝诺悖论存在吗？

结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答

假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9


既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··

假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001S，此时乌龟又跑了0.0001M； 阿基里斯跑完这0.0001M需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................

3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论;希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑;乌龟说;如果它比阿基里斯先跑10米;那么阿基里斯永远都追不上它;因为只要阿基里斯跑了10米;这时乌龟就又多跑了几米;若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点;乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理;但要怎么说明为何如此呢第二个是二分法悖论;是说你永远不可能抵达终点;因为你为了抵达终点;必得先跑完全程的一半;而要跑到全程的一半;你又得跑完一半的一半……如此一来;你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑;因为若要起跑一小段距离;你就得移动那一小段距离的一半;似乎永远无法开步跑第三则是飞矢悖论;在任一时刻;飞矢会占据着与它同等长度的空间;就这个瞬间而言;飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动;那么飞矢应该一直不动..怎么可能如此飞矢应该不断往前飞啊第四是竞技场悖论;假设时间有最小不可分割的单位这是自古以来的基本假设;现在有3辆车子;在单位时间内;一号车向左移一个车身;二号车不动;三号车向右移一个车身;于是一号和三号便相差两个车身;那么一号和三号车在过程中相差一个车身时;需要花费基本单位元时间的一半;但这与基本的单位时间假设相冲突..林兹要阐释这四个芝诺悖论;所持的基本论点是;对运动中的物体而言;并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”;因为物体的位置会随时间不停地改变..他解释道︰“这样想应该比较能够理解;无论时间间隔多么小;或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢;它还是在运动状态中;位置还是不断在改变;因此;无论时间间隔有多短;运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事..”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家;在讨论运动的本质时;无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”;而林兹则认为;便是因为假设时间可以冻结在任一时刻;此时运动中的物体位在一个确定的位置上;因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立..林兹也指出;无论如何;某段时间间隔一定可以用一个时间范围来表示;不能只说是“一瞬间”的单一时刻：“举例来说;如果有两个独立事件分别测得发生在1小时或10秒钟;这两个数值应是指两事件分别发生在1-1.99999……小时之间;以及10-10.0099999……秒之间..”因此;林兹可以很直接地解决类似“飞矢悖论”的问题..一位着名的牛津大学数学家评论道：“这真令人既惊讶又意外;不过他是对的..”林兹继续将他所提出的概念推到物理学的其它方面;包括量子力学及霍金所建构的宇宙学..物理学的物质是量子论的;分到一定程度后;就得到了量子元;而量子元是不可再分的..物理学的物质能量有两种物理形式组成;一种是量化物质;即后面提到的电磁质量；一种是连续物质;这种物质是无限可分的;可以永无穷尽的分割下去;即后面提到的引力质量..量化物质和连续物质可以相互转化并且守恒不灭;这就与数学思想的有限和无限;局部无限和整体无限联系起来了..汤川秀树认为：在古代印度有将时间本身也作为“不知道它是什么实体”来考虑的倾向..并且;还同样地认为;时间也存在有不可分割的最小单位;将它称之为“刹那”..将这种“刹那”用今天的时间单位来度量的话;大约为十分之一秒……基本粒子理论今后进一步的发展;说不定会是古印度物质观的思想经过某种形式的复活吧..把印度的极微观与古希腊的原子论观点相比较;不难看出;前者要较后者更为接近现代科学的观点..。

结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答

假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9


既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”

“芝诺时间”

芝诺悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远， 在于芝诺与我们采取了不同的时间系统—— 人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解 释则采取了离散的时间系统。换句话说，连续时间是离散 时间将时间间隔取为无穷小的极限。

假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001SM需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................

古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论古希腊哲学家芝诺的四大数学悖论 1，二分法悖论:任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB 中点E。

依此类推。

这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。

所以，该物体永远也到不了终点B。

不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。

因为在进行后半段路程之前，必须先完成前半段路程，而在此之前又必须先完成前1/4路程......因此，物体根本不能开始运动，因为它被道路无限分割阻碍着。

2,阿基里斯追龟悖论:如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。

乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。

但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。

而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。

3、飞矢不动悖论:任何一个东西呆在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不也是呆在一个地方吗,既然飞矢在任何一个时刻都能呆在一个地方，那飞矢当然是不动的。

4、运动场悖论: 芝诺提出这一悖论可能是针对时间存在着最小单位一说,现在的普朗克—惠勒时间 Planck-Wheeler time)。

对此，他做出如下论证:设想有三列实体，最初它们首尾对齐。

设想在最小时间单元内，C列不动，A列向左移动一位，B列向右移动一位。

相对B而言，A移动了两位。

就是说，我们应该有一个能让B相对于A移动一位的时间。

自然，这时间是单元时间的一半，但单元时间是假定不可分的，那么这两个时间就是相同的了，即最小时间单元与他的一半相等。

著名的芝诺悖论悖论是指逻辑学上可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题或理论体系。

古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。

其中最著名的、也最顽固难破的两个是“追乌龟”和“飞矢不动”悖论：追乌龟阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。

在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米起跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。

因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。

就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！芝诺当然知道阿喀琉斯一定能追上和超过乌龟，但按照悖论的逻辑阿喀琉斯就永远也追不上乌龟的。

飞矢不动设想一支飞行的箭。

在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。

由于时刻无持续时间，箭在每个时刻只能是静止的。

鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。

但上述结论与事实相反，即射出的箭一定会到达终点的。

上述悖论据说在量子理论发现前，均未得到完善的解决。

芝诺的著作早已失传，亚里士多德在著作中关于芝诺悖论的引述及批评基本是权威的。

直到19 世纪中叶，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。

19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。

他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的描述。

学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。

芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系明确表述出来，并进行了辨证的考察。

在哲学上，黑格尔在他的哲学史演录中指出：“芝诺主要是客观的辨证的考察了运动，是辩证法的创始人”。

芝诺悖论——阿基里斯与乌龟悖论是有趣的，而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明，在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要．在数学中，我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面，例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的，但它也可能导致危险．我们务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在．公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它．那么芝诺的理由正确吗？如果阿基里斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追上呢？(见附录“阿基里斯与乌龟”的解答)欧布利德悖论与芝诺悖论希腊哲学家欧布利德断言，一个人绝不可能有一堆沙．他的见解是：一粒沙不能构成一堆沙，如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆．如果你没有一堆沙，那么即使给你加上一粒沙，也同样没有一堆，从而你永远不会有一堆沙．依着同样的思路，芝诺把眼光瞄在线段上．他断言，如果点是没有大小的，那么加上另一个点依然不会有大小．这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体，因为这些物体是由点结合而成的．接着他进一步推断说，如果一个点有大小，那么一条线段就必然有无限的长度，因为它是由无穷数量的点所芝诺的悖论芝诺是古希腊著名的数学家和哲学家,他曾提出过三个著名的诡辩，其中最具迷惑性的一个是"阿基里斯追不上乌龟"，大意如下：阿基里斯是希腊神话里跑得最快的人,但如果在他前面有一只乌龟(正从A点向前爬) ，他永远也追不上这只乌龟，理由如下：他要追上乌龟,必须要经过乌龟出发的地方(A点) ，但是在他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了一段距离,到了B点，他要追上乌龟,又必须经过B点，但当他追到B点的时候，乌龟又爬到了C点,他追到C点的时候,乌龟又到了D点 ......阿基里斯永远也追不上乌龟!!!这只是一个诡辩,当然是错误的,但你知道问题出在哪儿吗？意想不到的老虎公主: 父亲,你是国王.我可以和迈克结婚吗?国王: 我亲爱的,如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎,你就可以和他结婚.迈克必需顺次序开门,从一号门开始.他事先不知道哪个房间里有老虎,只有开了那扇门才知道.这只老虎将是料想不到的.迈克看着这些门对自己说---迈克: 如果我打开了四个空房间的门,我就知道老虎在第五个房间.可是,国王说我事先不可能知道它在哪里.所以老虎不可能在第五个房间里，五被排除了,所以老虎必然在其余的四个房间之一，那么在我开了三个空房间以后，又怎么样了?老虎必然在第四个房间里。

错觉的例子
一、视觉错觉
1. 莫比乌斯环：一条有限长的带子经过一半个圆周后，另一半却变成了内侧，看起来像是一个环，但实际上是一个带子。

2. 似曾相识：当我们看到某个场景时，感觉曾经在某个地方见过，但实际上并没有。

3. 日蚀眼镜：当我们戴上日蚀眼镜观察日蚀时，会感觉太阳变成了绿色或紫色，但实际上是眼镜的滤镜造成的错觉。

4. 三维图像：在二维图像中，通过色彩和线条的变化，我们可以看到一个立体的图像，但实际上是不可能的。

5. 阿基里斯悖论：阿基里斯和乌龟赛跑，阿基里斯每次追乌龟时，乌龟又向前移动了一段距离，永远追不上乌龟，但实际上这是一个悖论。

6. 模糊错觉：一些细节模糊的图像，会让我们产生错觉，如看到一个人的脸，但无法看清其面部特征。

7. 立体错觉：通过画面的透视和阴影，我们可以看到一个三维立体的图像，但实际上是平面的。

8. 旋转错觉：在画面中出现旋转的图案，会让我们感觉自己也在旋转，但实际上是画面的错觉。

9. 伸缩错觉：当我们看到一些变形的图像时，会让我们感觉图像在伸缩变化，但实际上是画面的错觉。

10. 在梯子上的人：当我们站在一个倾斜的梯子上时，会感觉自己
处于一个角度，但实际上是我们的视觉错觉。

由“阿基里斯追不上乌龟”得出的三个假说芝诺是古希腊著名哲学家.他提出四个非常著名的论证,即“阿基里斯追不上乌龟”“二分法飞矢不动”“.一半的时间等于一倍的时间”.其中最有代表性的是“阿基里斯追不上乌龟. ”阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。

假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。

芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。

因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。

于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。

由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。

黑格尔认为：“‘运动’则意味着物体在一个地点同时又不在一个地点；这就是时间与空间的非间断性，——正是这种非间断性才使运动成为可能”。

在同一瞬间物体既不在第一个地方，又不在第二个地方，也不在两个地方之间的一个地方。

恩格斯也有类似的表述：运动本身就是矛盾，运动的物体同时既在一个地方又不在这个地方。

以我无比浅薄的学识当然不敢轻易质疑黑格尔与恩格斯的观点,但是否能提出与两位先贤不同的观点?我尝试提出三个假说来解释芝诺的悖论.第一类模型:19世纪末,人类发明了电影.对某一物体进行连续的拍照,然后用播放器按照先后的顺序投影到屏幕上,人们就可以看到物体运动的画面了.以电影技术为原理进行一些推广,电影需要表达的内容被记录在一张张胶片上.这些胶片有一个固定的播放顺序,首尾顺次相连的两张胶片是比较相似的.但又有一些差别,拍摄匀速运动的物体第n-1幅与第n幅的差别是一个常量.电影有正常的拍摄速度,例如每秒钟20画格.拍摄一物体从B处沿直线运动到C处.B处与C处距离为1m,物体A速度为1m/s..第一张胶片上A离B处0.05m,而第二张胶片A离B处0.1m.依此类推.我们在电影屏幕上看到的同一物体做连续运动的图像,实际上是不连续的,当放慢播放速度,例如每秒一画格,这时画面就变成了断断续续的变化.第0秒到第1秒图片上显示物体A距离B处0.05m,一秒后到第二秒显示物体A距离B处0.1m.从这里看“时间”变得不连续, 而且“时间”变得不可无限细分.例如拍摄m张胶片[m.>=10].存在第9张胶片,也存在第10张胶片.但没有第9.5张胶片,即使在第9张和第10张插入n张,则第10张就变成第10+n张,但无论如何,只要细分到一定程度时,胶片就不可再细分了.以上只是这种“时间”的一种特性,还有另一种特性是,在之前讨论的范围内一般意义上的运动不存在.很显然,每张胶片上的的图像都没有运动.而是不同胶片在同一屏幕上的依次投影.第一张先投影,然后移开第一张,再将第二张投影,然后移开第二张,依此类推.在我们看来物体A无论在任一时刻都是它“本身”,实际上一秒内屏幕上的“物体A”是第一张胶片的投影,而在第一秒到第二秒屏幕上的“物体A”是第二张胶片的投影.不同时刻的“物体A”不一样,也就是说下一刻的“我”不再是这一刻的“我”.将这种观点继续进行推广,可能存在无穷多个静止的宇宙,它们处在不同的“层面”上.就像奇数和偶数的关系一样很好理解,每一张胶片都是不同的,我们可以一张一张的区分,而且它们所处的“位置”是不同.它们的距离可以是0,可以是无穷大,或是任何一值.这样打个比方,空间中两点投影到一个面上,它们的投影可能重合也可能距离无穷大,这要看你的投影的角度如何.它们甚至可以彼此“穿过”.将这些观点引入芝诺的第一个悖论. 阿基里斯与龟赛跑,如果时间是连续的,可无限细分并且一般意义上的运动是存在的.那么阿基里斯永远也追不上龟.但如果之前的观点成立,问题有可能就迎刃而解.存在许多静止的宇宙,我们用某种方法将它门排序.在第n个宇宙阿基里斯在龟身后,而在第n+1个宇宙中“阿基里斯”已经在“龟”前面.每个静止宇宙都有“阿基里斯”和“龟”.而不同宇宙中“阿基里斯”和“龟”的相对位置都不同.依照次序是一个“阿基里斯”从落后到超越“龟”的不连续过程.将这些静止宇宙按照之前顺序透影到一个特殊“屏幕”上时,悖论似乎已不存在,此时一般意义上的运动不存在,取而代之的是一种特殊的“运动”----不同静止宇宙按照某种顺序的不连续“投影”过程.“时间”长度只是这种“影”变换的次数.并且这种“时间”是不可无限细分的.当然不同的静止宇宙还有别的排序方式, “时间”不再是一维的, “时间”还有别的前进方向.这与平行宇宙理论所预言的结果是一致的,为什么感受不到“时间”其它的前进方向,这可能要用弱人择定理理解,实际上,生活在“时间”其它前进方向上的人们同样无法感知我们的存在.第二类模型:在一本书的每一页的同一个位置画上某人的一连串动作.当人们按顺序翻动这本书时,静止的画面变成了运动的画面.它利用的是“视觉暂留”原理.视像在眼前消失以后,在视网膜上保留的时间是0.1到0.4秒,当我们翻动书页时,不动的画面就变成了运动的影像.可以进行这样的类比,存在许多“扁平”的“互相平行”的静止宇宙[就像书页一样, 扁平而且平行].由于某种原因原本平行的宇宙“暂时”出现夹角,然后再恢复“平行”.就像翻动书页一样,然后通过类似“视觉暂留”的作用变成运动的画面.之前已有学者提出平行宇宙的理论,但这里的“平形宇宙”有些不同,我所说的“平形宇宙”是静止的,而且有时会变得“不平行”而出现夹角.同样将此观点引入芝诺的悖论.例如在“书”的第一页, 阿基里斯在龟身后1m,第二页,在龟身后0.97m,依此类推.第27页, 阿基里斯在龟身后0.01 m, 第27页, 阿基里斯已经在龟身前0.02m..实际上第二类模型与第一类是很接近的.在第二类模型中一般意义上的运动也是不存在的, 一般意义上的时间也不存在, 下一刻的“我”仍然不再是这一刻的“我”.因为我们可以从“书”的页码区分并且数出每一页图像.而且每一页的图像是“同时”存在的.这里所谓的“时间”也是不连续并且不可无限细分的.与第一种模型不同的是,这种模型无须在“屏幕”上投影,而是许多“扁平”宇宙原先“平行”之后产生夹角,接着再次“平行”的过程,这种过程通过某种类似“视觉暂留”的作用产生单个宇宙连续运动的感觉.第三类模型:机场和车站的墙上都有电子显示屏.走近就会发现这种显示屏是由等大的小方格组成的,方格中有一个小灯泡,通上电就会发光.用这种屏幕来表现一个亮点A从B处沿直线运动到C 处,[假设屏幕由11个横行和11个纵行组成. B在屏幕的右上角顶点处, C在屏幕的左下角顶点处,用a1b11第一横行第十一纵行,a2b10第二横行第十纵行,依此类推].BC但走近看就会发现这是一个不连续的过程, a1b11先亮,然后a1b11变暗,紧接着a2b10亮, a2b10再暗.依此类推.最后a11b1亮.将这种观点进一不延伸,同样用之前的过程来表述.物体A从B处沿直线运动到C处的过程,一般的观点认为这种过程是同一个物体A先占据.a1b11处的空间,接着物体A离开a1b11,a1b11不再被物体A占据.而恢复原状,变成空间, 物体A离开a11b1的同时到了a2b10,此时a2b10的空间被物质所占据,物质占据着空间,空间容纳着物质,物质可在空间中穿行,任一时刻运动的物质总是物体A,下一刻的“我”仍然是这一刻的“我”.总之是同一个物体在连续的时间内做连续的运动.这种“小方格”也可以无穷小.也就是说尺寸是可以无限缩小的.但沿用之前的模型就会得出不同的观点.做这样一个类比,物质和空间是同一种实体,物质不能占据空间,也不能在空间中穿行.空间不能容纳物质,它们都是“小灯泡”.唯一的区别是“小灯泡”是否亮着,亮着的灯代表物质,没有亮的灯代表空间,我们可以用通电或是断电控制“小灯泡”的亮暗.也就是说,物质和空间在某种条件下可以互相转化.在这模型中实际不存在运动,而是,刚开始a1b11处的“小灯泡”亮着,也就是说此时a1b11处为物质,紧接着a1b11处的物质转变为空间.,也就是说让a1b11处的“小灯泡”断电变暗.而此时a2b10处的空间变成物质, ,也就是说让a2b10处的“小灯泡”通电变亮.依此类推得到一种看似运动的过程,实际上下一刻的“我”已经不再是这一刻的“我”,物质并没有从B处运动到C处,一般意义上的运动不存在,所谓运动只是顺次相接的不同区域空间与物质依次变化的过程.物体看似还是原来的物体,实际上它不断地进行“新陈代谢.”与前两类模型不同这个模型存在一般意义的时间,我们可以分辨出事件的发生先后,相同的是,在此类模型中不存在一般意义上的运动,而且时间是不连续,不可无限分割的.需要补充的是这种模型中有着时空变换的最小承载体----“-小方格”,这说明宇宙中存在一个最小尺寸,小于这种尺寸的值是没有任何意义的.福建工程学院林昀Email:lyq3822708@。

阿基里斯与龟悖论的极限问题
阿基里斯与龟悖论是一种思维实验，旨在探讨无限分割和极限的概念。

悖论的设想是，如果阿基里斯与一只乌龟进行赛跑，但是乌龟在起跑线前方的某个距离就先开始了，那么阿基里斯是否可以追上乌龟呢？
根据这个悖论，乌龟在起跑线前方的某个距离上开始，假设为1米。

当阿基里斯跑到起跑线时，乌龟已经前进了这段距离的一半，即0.5米。

然后，当阿基里斯跑到达乌龟当前所处的位置时，乌龟又前进了0.25米。

这个过程会一直持续下去，乌龟会一直在阿基里斯之前的位置上前进，只是每次前进的距离都会减半。

因此，根据这个推理，乌龟看起来永远都会在阿基里斯之前。

然而，这个悖论的关键在于无限分割的概念。

在数学中，我们可以使用极限来解决这个问题。

极限的概念是指随着操作的进行，逐渐逼近某个特定值。

在这个例子中，乌龟每次前进的距离会趋近于零。

根据极限的理论，当前进的距离趋近于零时，乌龟最终会被阿基里斯追上。

虽然阿基里斯需要无限次追赶，但乌龟总是会被追上。

这是因为在数学中，我们可以通过对无限个数的和进行求和，来得到一个有限的值。

在这个问题中，乌龟的前进距离可以表示为一个等比数列的和，而这个和是有限的。

通过阿基里斯与龟悖论，我们可以看到无限分割和极限的概念在数学中的重要性。

它们帮助我们解决了一些看似无解的问题，并且在现实生活中也有广泛的应用，例如物理学中的运动学和微积分中的积分等。

芝诺的归谬法与超级任务的观点芝诺的归谬法可真是个超级有趣又让人脑袋转圈圈的东西呢。

归谬法简单来说，就是通过假设一个命题成立，然后按照逻辑推理，得出一个荒谬的结果，从而证明这个命题是错误的。

芝诺就用这个方法提出了好几个超级有名的悖论。

就拿阿基里斯追乌龟这个悖论来说吧。

阿基里斯是个跑得特别快的人，乌龟呢，爬得很慢很慢。

芝诺说，要是让乌龟先跑一段路，阿基里斯再去追它，阿基里斯永远都追不上乌龟。

这听起来是不是很离谱？芝诺是这么想的，当阿基里斯跑到乌龟原来所在的位置时，乌龟又往前爬了一小段距离；阿基里斯再跑到乌龟新的位置时，乌龟又往前爬了一点点。

这样每次阿基里斯到达乌龟之前的位置时，乌龟都往前移动了，所以阿基里斯永远也追不上乌龟。

这就是用归谬法得出的一个看似荒谬的结论，因为我们都知道在现实生活中，阿基里斯肯定能追上乌龟的呀。

那芝诺为啥要这么说呢？其实他是想通过这种看似矛盾的结论，来挑战当时人们对于时间、空间和运动的一些看法。

再说说二分法悖论。

一个人要从A点走到B点，按照芝诺的说法，他必须先走到AB中点C，但是要走到C呢，又得先走到AC中点D，要走到D又得先走到AD中点E，这么无限地分下去，这个人就永远也走不到B点了。

这又和我们的常识相悖，我们每天走来走去的，从一个地方到另一个地方也没觉得这么困难呀。

这也是芝诺归谬法的奇妙之处，他把一个简单的运动过程分解成了无限个小过程，让我们觉得好像这件事就做不成了。

那超级任务又是什么呢？超级任务就是那种包含无限个步骤，但又要在有限时间内完成的任务。

这和芝诺的归谬法好像有点联系呢。

比如说有个任务是在1分钟内，先做第一件事用30秒，再做第二件事用15秒，再做第三件事用7.5秒，这样每次时间减半，无限地做下去。

这就是一个超级任务。

从芝诺的归谬法来看超级任务，就会发现一些很有趣的思考方向。

就像在阿基里斯追乌龟的例子里，如果把阿基里斯每次到达乌龟之前位置的过程看作一个超级任务的步骤，那这个超级任务好像就陷入了一个永远完成不了的怪圈。