初三下学期数学每日一练(二)

2．1 圆的对称性一、选择题1．下列语句中，不正确的有( )①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图K－10－1所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一条直线上，图中弦的条数为( )图K－10－1A．2 B．3 C．4 D．53．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是 ( ) A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外 D．不能确定4．半径为5的圆的弦长不可能是( )A．3 B．5 C．10 D．125．已知MN是⊙O的一条非直径的弦，则下列说法中错误的是( )A．M，N两点到圆心O的距离相等B．MN是圆的一条对称轴C．在圆中可画无数条与MN相等的弦D．圆上有两条弧，一条是优弧，一条是劣弧6．如图K－10－2所示，方格纸上一圆经过(2，6)，(－2，2)，(2，－2)，(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为( )图K－10－2A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)7.形如半圆型的量角器直径为4 cm，放在如图K－10－3所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的一个端点P，Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为( )图K－10－3A．(－1，3) B．(0，3) C．(3，0) D．(1，3)二、填空题8．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于________．9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm.(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O______；(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O______；(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O______．10．如图K－10－4所示，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2.图K－10－411．如图K－10－5所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B，C，D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB＝5，BC＝12，那么拴羊的绳长l的取值范围是________．图K－10－5三、解答题12．如图K－10－6所示，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO，并延长CO，BO分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.图K－10－613．如图K－10－7，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D.求证：AB∥CD.图K－10－714．如图K－10－8，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和⊙D的位置关系.链接听课例3归纳总结图K－10－815．图K－10－9，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.求证：(1)AB＝AC;(2)A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．1．[解析] B ①②不正确． 2．A3．[解析] A d ＝3 cm ＜4 cm ＝r ，所以点A 在⊙O 内． 4．[解析] D 圆中弦的长度小于或等于圆的直径． 5．B 6.B 7．[解析] B 连接OQ ，PO ，则∠POQ ＝120°－60°＝60°.∵PO ＝OQ ，∴△POQ 是等边三角形，∴PQ ＝PO ＝OQ ＝12×4＝2(cm )，∠OPQ ＝∠OQP ＝60°.∵∠AOQ ＝90°－60°＝30°，∴∠QAO ＝180°－60°－30°＝90°，∴AQ ＝12OQ ＝1 cm .∵在Rt △AOQ 中，由勾股定理，得OA ＝22－12＝3，∴点A 的坐标是(0，3)．故选B . 8．半径9．(1)内 (2)上 (3)外 10．[答案] π[解析] 根据圆是轴对称图形，得阴影部分的面积＝14大圆的面积＝14π(4÷2)2＝π(cm 2)．11．[答案] 5≤l＜13[解析] 根据题意画出图形如图所示：AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12，根据矩形的性质和勾股定理得到：AC ＝52＋122＝13.∵AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，而B ，C ，D 中至少有一个点在⊙A 内或上，且至少有一个点在⊙A 外，∴点B 在⊙A 内或上，点C 在⊙A 外，∴要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊的绳长l 的取值范围是5≤l＜13. 12．证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ， ∴△EOB ≌△FOC ， ∴OE ＝OF ， ∴CE ＝BF.13．证明：∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ， ∴∠OCD ＝12(180°－∠O)．∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ， ∴∠OAB ＝12(180°－∠O)，∴∠OCD ＝∠OAB ， ∴AB ∥CD.14．解：连接DM ，DN.∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝6 cm ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝12AB ＝3 cm ，BD ＝CD ＝3 3 cm .∵M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴DM ＝DN ＝12AB ＝3 cm ，∴点A ，M ，N 在⊙D 上，点B ，C 在⊙D 外． 15．证明：(1)∵AE ⊥EF, EF ∥BC ， ∴AD ⊥BC. ∵BD ＝CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC.(2)如图，连接BO ，∵AD 是BC 的垂直平分线， ∴BO ＝CO. 又∵AO ＝CO ， ∴AO ＝BO ＝CO ，∴A ，B ，C 三点在以点O 为圆心的圆上．2．2.1 圆心角知识点 1 圆心角的定义1．下面四个图中的角，表示圆心角的是( )图2－2－12．在直径为8的圆中，90°的圆心角所对的弦长为( )A ．4 2B ．4C ．4 3D ．83．在半径为2 cm 的⊙O 中，弦长为2 cm 的弦所对的圆心角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系4．如图2－2－2所示，在⊙O 中，已知AB ︵＝CD ︵，则弦AC 与BD 的关系是( )图2－2－2A ．AC ＝BDB ．AC ＜BD C ．AC ＞BD D ．不确定5．如图2－2－3，已知∠AOB ＝∠COD ，下列结论不一定成立的是( )图2－2－3A ．AB ＝CD B .AB ︵＝CD ︵C ．△AOB ≌△COD D ．△AOB ，△COD 都是等边三角形6．如图2－2－4，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD ＝80°，则∠ABC 的度数为( )图2－2－4A ．40°B ．65°C ．100°D ．105°7．如图2－2－5，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵，∠1＝50°，则∠2的度数为________．图2－2－58．如图2－2－6，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE 的度数是________．图2－2－69．如图2－2－7，已知AB ＝CD. 求证：AD ＝BC.图2－2－710．如图2－2－8，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵. (1)求∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的度数；(2)连接AB ，BC ，CA ，试确定△ABC 的形状．图2－2－811．教材习题2.2A 组第2题变式如图2－2－9所示，OA ，OB ，OC 是⊙O 的三条半径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，且MC ＝NC.求证：AC ︵＝BC ︵.图2－2－912．如图2－2－10，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，那么( )图2－2－10A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC13. 如图2－2－11，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若BC ＝CD ＝DA ＝4 cm ，则⊙O 的周长为( )图2－2－11A ．5π cmB ．6π cmC ．9π cmD ．8π cm14．如图2－2－12所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是________．图2－2－1215．如图2－2－13，已知AB 是⊙O 的直径，弦AC ∥OD.求证：BD ︵＝CD ︵.图2－2－1316．如图2－2－14，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.图2－2－1417．如图2－2－15，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F.求证：AE ＝CD.图2－2－1518．如图2－2－16，A ，B 是圆O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点． (1)试判断四边形OACB 的形状，并说明理由；(2)延长OA 至点P ，使得AP ＝OA ，连接PC ，若圆O 的半径R ＝2，求PC 的长．图2－2－16教师详解详析1．D 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7．50° 8.60°9．[解析] 要证AD ＝BC ，可证AD ︵＝BC ︵. 证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝DC ︵， ∴AB ︵－DB ︵＝DC ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵， ∴AD ＝BC .10．解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .又∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠AOC ＝360°， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，∴AB ＝BC ＝CA ，∴△ABC 是等边三角形．11．证明：∵M ，N 分别是OA ，OB 的中点， ∴OM ＝12OA ，ON ＝12OB .又OA ＝OB ，∴OM ＝ON . 在△OMC 和△ONC 中，OM ＝ON ，MC ＝NC ，OC ＝OC ，∴△OMC ≌△ONC ，∴∠COM ＝∠CON ， ∴AC ︵＝BC ︵.12．C [解析] 取AB ︵的中点M ，连接AM ，BM ，则AC ︵＝AM ︵＝BM ︵，∴AC ＝AM ＝BM .在△ABM 中，AB <AM ＋BM ，∴AB <2AC .13．D [解析] 连接OD ，OC .根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD 是等边三角形，则⊙O 的半径为4 cm ，然后由圆的周长公式进行计算．14．51° [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°.又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.15．证明：连接OC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO . ∵AC ∥OD ，∴∠OAC ＝∠BOD ，∠DOC ＝∠ACO ，∴∠BOD ＝∠COD ，∴BD ︵＝CD ︵.16．解：(1)△AOC 是等边三角形．理由如下： ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠AOC ＝∠COD ＝60°， ∴∠BOD ＝60°.又∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°，∴∠AOC ＝∠B ，∴OC ∥BD .17．证明：连接AC ，∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝30°，AC ＝CD .又∵OA ＝OC ，∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°，∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°，∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ，∴AE ＝CD .18．解：(1)四边形OACB 是菱形．理由：连接OC ，∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ，∴△AOC 与△BOC 都是等边三角形，∴AC ＝OA＝OC ＝OB ＝BC ，∴四边形OACB 是菱形．(2)∵AP ＝OA ，AC ＝OA ，∴AP ＝AC ，∴∠P ＝∠ACP ＝12∠OAC ＝30°，∴∠OCP ＝90°.∵R ＝2，∴OC ＝2，OP ＝4，∴PC ＝OP 2－OC 2＝2 3.2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1知识点 1 圆周角的定义1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )图2－2－17知识点 2 圆周角定理2．2017·衡阳如图2－2－18，点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，如果∠AOB ＝64°，那么∠ACB 的度数是( )图2－2－18A．26°B．30°C．32°D．64°3．2018·聊城如图2－2－19，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )图2－2－19A．25°B．27.5°C．30°D．35°4．2018·广东同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是________°.5．如图2－2－20，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的度数是________．图2－2－206.2017·白银如图2－2－21，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.图2－2－217．教材练习第3题变式如图2－2－22，点A ，B ，C 在⊙O 上，AC ∥OB ，若∠BOC ＝50°，求∠OBA 的度数．图2－2－22知识点 3 圆周角定理的推论18．如图2－2－23，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( )图2－2－23A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°9．如图2－2－24，经过原点O 的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 是OB ︵上一点，则∠ACB 的度数为( )图2－2－24A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定10．如图2－2－25，已知点A，B，C，D在⊙O上．(1)若∠ABC＝∠ADB，求证：AB＝AC；(2)若∠CAD＝∠ACD，求证：BD平分∠ABC.图2－2－2511．如图2－2－26，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠APB的度数为( )图2－2－26A．140°B．70°C．60°D．40°12．将量角器按图2－2－27所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数为( )图2－2－27A．15°B．28°C．29°D．34°13．如图2－2－28，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．图2－2－2814．如图2－2－29，点A，B，C在圆O上，弦AE平分∠BAC交BC于点D，连接BE.求证：BE2＝ED·EA.图2－2－2915．如图2－2－30，△ABC的两个顶点B，C在圆O上，顶点A在圆O外，AB，AC分别交圆O于点E，D，连接EC，BD.(1)求证：△ABD∽△ACE；(2)若△BEC与△BDC的面积相等，试判断△ABC的形状．图2－2－3016．如图2－2－31，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．图2－2－31教师详解详析1．C 2．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝32°.故选C.3．D [解析] ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝∠ADC －∠A ＝85°－60°＝25°.∵∠O ＝2∠B ＝50°，∴∠C ＝∠ADC －∠O ＝85°－50°＝35°.故选D.4．50 [解析] ∵弧AB 所对的圆心角是100°，∴弧AB 所对的圆周角为12×100°＝50°.5．28°6．58 [解析] 连接OB ，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵∠OAB ＝32°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝116°，∴∠C ＝58°.7．解：∵AC ∥OB ，∴∠OBA ＝∠BAC .又∠BOC ＝50°，∴∠BAC ＝25°，∴∠OBA ＝25°.8．C [解析] 连接OC .∵AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝∠AOB ＝40°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝20°.9．B [解析] ∵∠AOB 与∠ACB 都是AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝∠ACB . ∵∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝90°.故选B. 10．证明：(1)∵∠ABC ＝∠ADB ， ∴AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC .(2)∵∠CAD ＝∠CBD ，∠ACD ＝∠ABD ，∠CAD ＝∠ACD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 平分∠ABC . 11．B [解析] 由题知∠DCE ＝40°，在四边形CDOE 中，∠CDO ＝∠CEO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠APB ＝12∠AOB ＝12×140°＝70°.故选B.12．B13．解：如图，连接OC ，∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ， ∴OC ＝AC .又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴AC ＝AO ＝12AD ＝3 cm.14．[解析] 欲证BE 2＝ED ·EA ，只需证BE ED ＝EA BE，则只需证△BAE ∽△DBE .由于AE 平分∠BAC ，则∠BAE ＝∠CAE .又因为∠EBD ＝∠CAE ，则∠BAE ＝∠DBE .再由∠E 为公共角，题目可证．证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE . 又∵∠CAE ＝∠DBE ，∴∠BAE ＝∠DBE . 又∵∠E ＝∠E ，∴△BAE ∽△DBE ， ∴BE ED ＝EA BE，即BE 2＝ED ·EA .15．解：(1)证明：∵∠EBD 与∠ECD 都是DE ︵所对的圆周角，∴∠EBD ＝∠ECD . 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACE .(2)∵S △BEC ＝S △BDC ，S △ACE ＝S △ABC －S △BEC ，S △ABD ＝S △ABC －S △BDC ，∴S △ACE ＝S △ABD .由(1)知△ABD ∽△ACE ，∴对应边之比等于1，∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 16．解：(1)△ABC 是等边三角形．理由如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．(2)PC ＝PB ＋PA .证明：在PC 上截取PD ＝PA ，连接AD ，如图．∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∴∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC (AAS)，∴PB ＝DC .又∵PD ＝PA ，∴PC ＝PB ＋PA .第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质知识点 1 圆周角定理的推论2 1．如图2－2－32，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝30°，则∠B 的度数为 ( )图2－2－32 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA ，OB 在点O 处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O 靠在圆周上，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )图2－2－33A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )图2－2－34A．∠ADC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．图2－2－355．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．图2－2－36知识点 2 圆内接四边形的概念及其性质6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( ) A．60°B．120°C．140°D．150°7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )图2－2－37A．50°B．60°C．80°D．100°8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．图2－2－389．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图2－2－3910．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．图2－2－4011．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )图2－2－41A．15°B．30°C．45°D．60°12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.图2－2－4213．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－2－4315．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．图2－2－4416．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．图2－2－45教师详解详析1．D 2.B3．D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠ACD ＝∠ABD ，∴∠BAD ＋∠ACD ＝90°，故选D.4．65° [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD ＝25°，∴∠B ＝25°.∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.5．解：△ABD 是等腰直角三角形．理由：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形．6．B7．D [解析] 如图所示．在优弧BD 上任取一点A (不与点B ，D 重合)，连接AB ，AD .因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠BCD ＝180°.因为∠BCD ＝130°，所以∠A ＝50°.因为∠A 与∠BOD 都对着劣弧BD ，所以∠BOD ＝2∠A ＝2×50°＝100°.8．96°9．60 [解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝12∠BOD ＝60°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE ＝∠A ＝60°.10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE . ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°.又∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°， ∴∠A ＝∠BCE ，∴∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ， ∴△ADE 是等腰三角形．11．B [解析] 连接CD ，则CD 为⊙A 的直径，可得∠OBD ＝∠OCD ，根据点D (0，1)，C (3，0)，得OD ＝1，OC ＝3，由勾股定理得出CD ＝2，∵OD ＝12CD ，∴∠OCD ＝30°，∴∠OBD ＝30°.故选B.12．80 [解析] 连接EM ，∵AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，∴AM ⊥BC .∵AM 为⊙O 的直径，∴∠ADM ＝∠AEM ＝90°，∴∠AME ＝∠AMD ＝90°－∠BMD ＝50°，∴∠EAM ＝40°，∴∠EOM ＝2∠EAM ＝80°.13．15°或75° [解析] 作直径AD ，AD ＝2.如图①，若两条弦在AD 的同侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.∵AB ＝2，AC ＝3，∴cos ∠BAD ＝AB AD ＝22，cos ∠CAD ＝AC AD＝32，∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°－30°＝15°.如图②，若两条弦在AD的两侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.∵AB＝2，AC＝3，∴cos∠BAD＝22，cos∠CAD＝32，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝45°＋30°＝75°.故答案为15°或75°.14．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D. (2)设BC＝x，则AC＝x－2.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋7，x2＝1－7(舍去)．∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴DC＝CE.又∵DC＝BC，∴CE＝BC＝1＋7.15．解：(1)证明：如图，连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.(2)如图，连接DE，∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.易知∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴BEBA＝BDBC，即3BA＝26，∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.16．解：(1)∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°. ∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，∴四边形ABDC为正方形，∴BD＝CD＝AB＝AC＝6.(2)连接BC，OD，过点O作OE⊥BD.∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，∴BC 为⊙O 的直径，∴BC ＝6 2，∴BO ＝CO ＝DO ＝12BC ＝3 2.∵∠BAD ＝2∠DAC ，∴∠DAC ＝30°，∠BAD ＝60°， ∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝120°，∴△COD 为等边三角形，∠BOE ＝60°， ∴CD ＝CO ＝DO ＝BO ＝3 2，则BE ＝3 62，∵OE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝3 6.2.3 垂径定理一、选择题1．下列命题错误的是链接听课例1归纳总结( ) A ．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B ．平分弦的直径平分这条弦所对的弧 C ．垂直于弦的直径平分这条弦 D ．弦的垂直平分线经过圆心2．2018·菏泽如图K －14－1，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )图K －14－1A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10 cm ，最短弦长为8 cm ，则OM 的长为( )A ．9 cmB ．6 cmC ．3 cm D.41 cm4．2017·泸州如图K －14－2所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是 ( )图K －14－2A.7 B ．27 C ．6 D ．8 5.2017·金华如图K －14－3，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )图K－14－3A．10 cm B．16 cmC．24 cm D．26 cm6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )图K－14－4A．4 2B．8 2C．8D．167．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )图K－14－5A．3 B. 3 C．4 D.3 38．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )图K－14－6A．7 cm B．8 cmC．7 cm或1 cm D．1 cm二、填空题9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°.10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．图K－14－711．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 2，则∠COD的度数为________．三、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.链接听课例2归纳总结图K－14－813．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．图K－14－914．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．图K－14－1015．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．图K－14－11素养提升探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图K－14－121．B2．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵所对的圆心角，∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED ⊥AB 于点M ，则ED ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，由垂径定理知M 为AB 的中点， ∴AM ＝4 cm.∵半径OA ＝5 cm ，∴OM 2＝OA 2－AM 2＝25－16＝9， ∴OM ＝3(cm)． 4．B5．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D.∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ，∴OC ＝5 cm. 又∵OB ＝13 cm ，∴在Rt △BCO 中，BC ＝OB 2－OC 2＝12 cm ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.6．[解析] B ∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝4 2，∴CD ＝2CE ＝8 2.故选B. 7．[解析] B ∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ， ∴M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴MN 是等边三角形ABC 的中位线． ∵MN ＝1，∴AB ＝AC ＝BC ＝2MN ＝2， ∴S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝2×32＝ 3.8．C9．[答案] 55[解析] 连接OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO.又∵OD 是⊙O 的半径，弦AB ⊥OD 于点E ，∠AOD ＝70°， ∴AD ︵＝BD ︵，∠AOB ＝140°，∴∠C ＝12∠AOD ＝35°，∠A ＝∠ABO ＝20°，∴∠A ＋∠C ＝55°.故答案是55.10．[答案] 3≤OP≤5[解析] 连接OA ，作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝4.由勾股定理，得OA ＝AC 2＋OC 2＝5，则OP 的取值范围是3≤OP≤5.11．[答案] 150°或30°[解析] 如图所示，连接OC ，过点O 作OE ⊥AD 于点E.∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°.∵AD ＝2 2，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.12．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD.(2)连接OA ，OC ，由(1)可知OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝2 7，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.13．(1)确定点D 的位置略 (2，－2)(2)⊙D 的半径为2 514．解：(1)BC ∥MD.理由：∵∠M ＝∠D ，∠M ＝∠C ，∴∠D ＝∠C ，∴BC ∥MD.(2)∵AE ＝16，BE ＝4，∴OB ＝16＋42＝10，∴OE ＝10－4＝6. 连接OC ，如图①.∵CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD. 在Rt △OCE 中，∵OE 2＋CE 2＝OC 2，即62＋CE 2＝102，∴CE ＝8，∴CD ＝2CE ＝16.(3)如图②，∵∠M ＝12∠BOD ，∠M ＝∠D ， ∴∠D ＝12∠BOD. 又∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝13×90°＝30°. 15．解：(1)如图①，设E 是桥拱所在圆的圆心，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交⊙E于点D ，则F 是AB 的中点，AF ＝FB ＝12AB ＝40米， EF ＝ED －FD ＝AE －DF.由勾股定理知AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －DF)2.设⊙E 的半径是r ，则r 2＝402＋(r －20)2，解得r ＝50.即桥拱的半径为50米．①②(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．理由：如图②，设MN 与DE 交于点G ，GM ＝30米．在Rt △GEM 中，GE ＝EM 2－GM 2＝502－302＝40(米)．∵EF ＝50－20＝30(米)，∴GF ＝GE －EF ＝40－30＝10(米)．∵10米＞9米，∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．[素养提升]解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变．理由：连接AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2.∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，∴DE ＝12AB ＝5 22，其长度保持不变．。

初三春季每日一练211．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（）A．①②③④B．③④C．①③④D．①②12．（3分）如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A．﹕1B．2﹕C．2﹕1D．29﹕1416．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（）A．①②③④B．③④C．①③④D．①②【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；由对称轴为x=，点（2，0）的对称点是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．故③正确；∵（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（1，y1），∴y1=y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故选：A．12．如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A．﹕1B．2﹕C．2﹕1D．29﹕14【解答】解：∵B、C反比例函数y2=的图象上，∴S△ODB=S△OAC=×3=，∵P在反比例函数y1=的图象上，∴S矩形PDOC=k1=6++=9，∴图象C1的函数关系式为y=，∵E点在图象C1上，∴S△EOF=×9=，∴==3，∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，∴AC∥EF，∴△EOF∽△AOC，∴=，故选：A．16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2﹣2．【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=，∴AB=AC=4，∵AD为直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，∴OC==2，∴CE=OC﹣OE=2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）带入到抛物线解析式中得：，解得：．（2）作DN∥CF交CB于N，如图1所示．∵DN∥CF，∴△DEN∽△FEC，∴．∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3）．∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．令直线y=kx+1中x=0，则y=1，即点F的坐标为（0，1）．设点D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点N的坐标为（m，﹣m+3），∴DN=﹣m2+3m，CF=3﹣1=2，∴=，∵DN=﹣m2+3m=﹣+的最大值为，∴的最大值为．（3）假设存在符合题意的点Q．∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴P点的坐标为（1，4），PM的解析式为x=1，∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴M的坐标为（1，2），∵点G的坐标为（1，0），∴PM=GM=2．设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线，如图2所示．∴过点G与BC平行的直线为y=﹣x+1．联立直线与抛物线解析式得：，解得：或．∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．∵平行线间距离处处相等，且点M为线段PG的中点，∴点Q到直线BC的距离与点P到直线的距离相等．故在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等，点Q 的坐标为（，﹣）或（，﹣）．。

读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（1）1．若a ，b 都是实数，b ＝+﹣2，则a b的值为 ． 2．若最简二次根式与可以合并，则a ＝ ．3.与最简二次根式是同类二次根式，则m ＝ ．4.方程x （x ﹣3）＝x ﹣3的根是 ．5.当x ＝﹣1时，代数式x 2+2x +2的值是 ．6.关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2x +1＝0无实数根，则m 的取值范围是 ． 7.若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2016的值为 ．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF ＝1，FB ＝3，则＝ ．8.如图，利用一面长18米的墙，用篱笆围成一个矩形场地ABCD ，篱笆的长为32米，设AD 长为x 米，AB 长为y 米，矩形的面积为S 平方米． （1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）求出使矩形场地的面积为120平方米的围法． （3）求出使矩形场地的面积最大的围法．九年级限时练（2）1．若分式有意义，则x 的取值范围为 ．2．如果代数式有意义，那么x 的取值范围为 ．3.若是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ．4.若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．5.若a 是方程x 2﹣3x +1＝0的根，计算：a 2﹣3a +＝ ．6.已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，则线段c ＝ ．7.计算：（+1）（﹣1）+﹣38.计算：9.已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣3）x ﹣3＝0（m ≠0）．（1）求证：不论m 为何值，这个方程都有两个实数根； （2）若此方程的两根均为整数，求正整数m 的值．读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（3）1.计算：（3+2）（3﹣2）＝ ．2.如果两个最简二次根式与能合并，那么a ＝ ．3.与最简二次根式5是同类二次根式，则a ＝ ．4.已知，则＝ ．5.若一元二次方程（k ﹣1）x 2+3x +k 2﹣1＝0有一个解为x ＝0，则k ＝ ．6.下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm B ．1cm ，2cm ，20cm ，40 C ．2cm ，3cm ，4cm ，5cm D ．5cm ，10cm ，15cm ，20cm7.如图，直线a ∥b ∥c ，若＝，则＝ ．8.计算：9.计算：10..我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？九年级限时练（4）1．若，则a 2﹣6a ﹣2的值为 ． 2．若x ＝﹣3，则的值为 ．3.把根号外的因式移到根号内：＝ ．4.如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a +＝ ．5.已知三条线段的长分别为1.5，2，3，则下列线段中，不能与它们组成比例线段的是（ ） A ．lB ．2.25C ．D ．2 6.若＝＝（2b ﹣3d ≠0），则＝ ．7.如图，如果AE ∥BD ，CD ＝20，CE ＝36，AC ＝27，那么BC ＝ ．8.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，同时点Q 从点B 开始沿BC 这向点C 以2cm /s 的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，运动时间为x 秒（x ＞0） （1）求几秒后，PQ 的长度等于5cm ；（2）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm 2？说明理由．读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（5）1.已知12,x x 是关于x 的一元二次方程()224410x m x m +++=的两个非零实数根，问12x x 与能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由.2.已知△ABC，延长BC 到D ，使CD=BC ．取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E ． (1)求的值；(2)若AB=a ，FB=EC ，求AC 的长．3.如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC ，求AC 的长．九年级限时练（6）1计算:0622=--x x2．若一次函数23-=x y 的图象与xky =反比例函数的图象 （1）有两个不同交点，求K 的取值范围（2）有一个交点，求K 的值（3）没有交点，求K 的取值范围3.如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上一点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，GD ∥AC 交BE 于G ．（1）求证：GE=FE ；（2）若BD=BC ，CF=12，求AF 的长．读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（7）1.已知1,2,x x 是一元二次方程 24420kx kx k -++=的两个实数根．是否存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．2.已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根． （1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长．3.已知：平行四边形ABCD 的两边AB 、BC 的长是关于的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．（1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根（2）当为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？九年级限时练（8）1．如图，BC 与DF 交于点，求证：∽．2,如果，试求k 的值.3．已知关于的方程．求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根．设方程的两实数根为，，且满足，求的值和相应的，．读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（9）1．关于x 的方程21(1)(2)10m m x m x +++--=若为一元二次方程，则m = ；若为一元一次方程，则m = ；2.已知xy，则x y （>,<）3．计算：（1（24．解下列方程：（1）22((2y y +=+； （2）230x --=．5.．已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等的实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 1|+|x 2|=x 12+x 22-10，求k 的值．6．已知关于x 的一元二次方程2(3)30mx m x -++=总有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围；(2)若此方程的两根均为正整数，求正整数m 的值.九年级限时练（10）1．已知x 是实数且满足(30x -=，则相应的代数式x 2+2x ﹣1的值为______ ．2.计算：（22014（2015﹣2||）03．解方程(1) 22(1)1x x -=- (2) 22410a a -+= (用配方法解)4．已知a ＋b ＝－8，ab ＝8，化简5．关于x 的一元二次方程210x x P -+-=有两个实数根12x x ，．（1）求P 的取值范围．（2）如果1122[21][21()]9()x x x x +-+-=，求P 的值．6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+2）x+2k ＝0． （1）求证：无论k 取何值，原方程总有实数根；（2）若原方程的两实根都小于4，且k 为正整数，直接写出k 的值．读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（11）1.实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a|+﹣；2.若a 、b 是（b a ≠）的实数，且0132=+-a a ，0132=+-b b ；则221111b a +++的值是 ；3.21)2()12(18---+++ .7(52)6(52)x x x +=+4.5.已知：关于x 的一元二次方程kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．（I ）用含k 的式子表示方程的两实数根；（II ）设方程的两实数根分别是1x ，2x （其中21x x >），若一次函数y=(3k －1)x+b 与反比例函数y =xb的图像都经过点（x 1，kx 2），求一次函数与反比例函数的解析式．九年级限时练（12）1.为使有意义，x 的取值范围是 ； 2.已知x ＝， y ＝，求：（1）x 2y ﹣xy 2的值；（2）x 2﹣xy +y 2的值．3.（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）04.已知关于x 的一元二次方程01)5(2=-+-+k x k x . （1）无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根（2）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值.5.某农场要建一个饲养场（矩形)ABCD 两面靠现有墙(AD 位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形)ABCD 的一边AB 长为x 米．（1）饲养场另一边BC = 米（用含x 的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x 的值．读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（13）1.实数a 在数轴上的位置如图所示，化简()_______2|1|2=-+-a a .2. 已知关于x 的方程012=++bx ax 的两根为2121==x x ，，则方程()()01112=++++x b x a 的两根之和为 ．3.解方程：()()04151222=+---x x 的解为 ；4.已知ABC ∆的三边分别为a 、b 、c ，且满足b a b 4142=-++，则c 的取值范围是 .5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE ＝3，EF ＝6，AB ＝4． （1）求AC 的长；（2）若BE ：CF ＝1：3，求OB ：AB ．6．已知：如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AB ＝4AE ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D ，求证：BC＝2CD ．九年级限时练（14）1．已知线段AB ＝10cm ，点P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ，则P A ＝ cm ．（精确到0.1）2.（1）已知＝，求的值；（2）如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC ．如果AB ＝7， EB ＝5，FC＝4，那么AF 的长是多少？3．如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求线段BF 的长．4．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ，＝．（1）若BD ＝20，求BG 的长； （2）求的值．读安居育才做中华英才精英之源卓同首选九年级限时练（15）1．解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值2．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．3．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．4．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F ，＝，AC＝10．（1）求AB，BC的长；（2）如果AD＝7，CF＝12，求BE的长．九年级限时练（16）1．一个黄金矩形的长为2，则其宽等于．2．已知：线段a、b、c ，且＝＝．（1）求的值．（2）如线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．3．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：．5．已知：如图，在三角形ABC中，FG∥DE∥BC，且BD＝DF＝AF；求证：DE+FG＝BC读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（17）1．若＝，且3x +2y ﹣z ＝14，求x ，y ，z 的值．2．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，AD ＝2，DE ＝4，EF ＝7.5．求BC 、BE 的长．3．如图，矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝BE ，求BC 与AB 的比值．4．如图，矩形ABCD 的花坛宽AB ＝20米，长AD ＝30米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽x 与y 的比值是多少，说出你的理由．5．如图，BC ，AD 相交于点C ，△ABC ∽△DEC ，AC ＝4.8，CD ＝1.6，BC ＝9.3． （1）求CE 的长；（2）求证：BC ⊥AD ．九年级限时练（18）1．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE ∽△ACB ，且DE ＝4，BC ＝12，AC ＝8， AD 的长 ．2． 如图所示，四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，未知边x 的长度 和α的度数 ．3.已知＝＝＝＝k ，求k 值．2．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．若＝，AC ＝14，（1）求AB 的长．（2）如果AD ＝7，CF ＝14，求BE 的长．3．已知：AB ⊥BC 于B ，CD ⊥BC 于C ，AB ＝4，CD ＝6，BC ＝14，点P 在BD 上移动，当以P ，C ，D 为顶点的三角形与△ABP 相似时，求PB 的长？读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（19）1．如图，已知△ABC ∽△ADE ，AB ＝30cm ，BD ＝18cm ，BC ＝20cm ，∠BAC ＝75°，∠ABC ＝40°．求：（1）∠ADE 和∠AED 的度数；（2）DE 的长．2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，已知，E 为AD 的中点，延长BE 交AC 于F ，求的值．3．如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE ＝6cm ，EC ＝3cm ，BC ＝6cm ，∠BAC ＝∠C ＝47°． （1）求∠AED 和∠ADE 的大小；（2）求DE 的长．4．如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ．（1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝15，AD ：BD ＝2：1，求DF 的长．九年级限时练（20）1．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 延长线上的一点，AE 与CD 交于点F ．求证：△ADF ∽△EBA ．2．如图，BD 、AC 相交于点P ，连接BC 、AD ，且∠1＝∠2，求证：△ADP ∽△BCP ．3．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝，BC ＝4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F ．（1）求线段BF 的长； （2）求AE ：EC 的值．3．已知：如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且AC ＝1，CD ＝2，DB ＝4．求证：△ACP ∽△PDB ．4中，E 是DC 上一点，连接AE ．F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C求证：△ABF ∽△EAD ．九年级 数学限时练 第21页 共22页 九年级 数学限时练 第22页 共22页读安居育才 做中华英才精英之源 卓同首选九年级限时练（21）1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，点D 、E 分别在边BC 、边AB 上，且∠ADE ＝36°．求证：△ADC ∽△DEB ．3．如图，△ABC 的高AD ，BE 交于点F ．写出图中所有与△AFE 相似的三角形，并选择一个进行证明．3．如图，△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点F ，（Ⅰ）证明：△ABD ≌△BCE ； （Ⅱ）证明：△ABE ∽△F AE ； （Ⅲ）若AF ＝7，DF ＝1，求BD 的长．九年级限时练（22）1．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠ADE ＝60°． 求证：△ADC ∽△DEB ．2．如图，已知∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝18，AC ＝48，AE ＝15，AD ＝40． 求证：△ABC ∽△AED ．3．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，Q 是CD 上的点，且∠AQP ＝90°． 求证：△ADQ ∽△QCP ．。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -3.14B. $\sqrt{2}$C. $\frac{1}{3}$D. 02. 已知a，b是实数，且a+b=0，那么a和b的关系是（）A. a和b都是正数B. a和b都是负数C. a和b互为相反数D. a和b相等3. 下列方程中，解为整数的是（）A. 2x+3=7B. 3x-5=2C. 5x+2=10D. 4x-1=74. 若一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为（）A. 20cmB. 21cmC. 22cmD. 24cm5. 在一次数学竞赛中，甲、乙、丙三人的平均分分别为80分、85分和90分，那么他们的总分为（）A. 255分B. 255.5分C. 256分D. 257分6. 下列函数中，y是x的二次函数的是（）A. y=x^2+3x+2B. y=x^2+2x-1C. y=2x^2-3x+1D. y=3x^2-2x+47. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第n项为an，则第n项和为（）A. n(a1+an)/2B. n(a1+an)C. n(an-a1)/2D. n(an-a1)8. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于x轴的对称点为（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (2,3)D. (-2,-3)9. 若一个正方体的体积为64立方厘米，则它的对角线长为（）A. 4厘米B. 8厘米C. 12厘米D. 16厘米10. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对边相等B. 矩形的对角线相等C. 等腰三角形的底角相等D. 直角三角形的两条直角边相等二、填空题（每题5分，共50分）11. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$12. 简化：$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$13. 已知x+y=10，x-y=2，求x和y的值。

初三数学每日一练习题今天的练习题共有十道，涵盖了初三数学的各个知识点。

请认真阅读每个题目，并尽力解答。

每题后面都有解答，你可以在尝试解答后对照答案，看看是否正确。

开始吧！题目一：已知直角三角形的斜边长为13cm，一条直角边长为5cm，求另一条直角边的长。

解答一：根据勾股定理，可以得到：斜边² = 直角边₁² + 直角边₂²代入已知数据，得到：13² = 5² + 直角边₂²解方程可得：直角边₂² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144所以，直角边₂的长为√144 = 12cm题目二：已知等差数列的公差为3，首项为2，求第10项的值。

解答二：等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d代入已知数据，可以得到：a₁₀ = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29所以，第10项的值为29。

题目三：已知等差数列的前4项分别为2，5，8，11，求数列的公差。

解答三：根据等差数列的性质，可以得到：公差 = 后一项 - 前一项代入已知数据，得到：公差 = 5 - 2 = 3所以，数列的公差为3。

题目四：已知函数y = 2x + 3，求当x = 4时，y的值。

解答四：将x = 4代入函数，可以得到：y = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11所以，当x = 4时，y的值为11。

题目五：已知函数y = ax² + bx + c，若x = 2时，y = 7；x = -1时，y = -2；x = 3时，y = 22。

求函数的表达式。

解答五：将已知的三组数据代入函数，可以得到以下三个等式：4a + 2b + c = 7a -b +c = -29a + 3b + c = 22解上述方程组，可以得到：a = -1，b = 4，c = -3所以，函数的表达式为y = -x² + 4x - 3。

专项训练二 一元二次方程一、选择题1．一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个根为2，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－22．(X·新疆中考)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方可变形为( )A ．(x －3)2＝14B ．(x －3)2＝4C ．(x ＋3)2＝14D ．(x ＋3)2＝43．(X·厦门中考)方程x 2－2x ＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝0B ．x 1＝x 2＝2C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－24．(X·黄冈中考)若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A ．－4B ．3C ．－43 D.435．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－26．(X·丽水中考)下列一元二次方程没有实数根的是( )A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝07．(凉山州中考)关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤3B ．m ＜3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠28．(X·兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或210．(X·荆门中考)已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( )A ．7B ．10C ．11D ．10或11二、填空题11．(六盘水中考)已知x 1＝3是关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根x 2＝________．12．(X·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________．13．(X·长春中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是________．14．(X·梅州中考)用一条长40cm 的绳子围成一个面积为64cm 2的矩形．设矩形的一边长为x cm ，则可列方程为________________．15．(X·遵义中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则1x1＋1x2＝________．16．(X·十堰中考)某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．17．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝________.18．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1和x2，且(x1－2)(x1－x2)＝0，则k的值是________．三、解答题19．解方程：(1)x2＋2x－3＝0；(2)3x(x－2)＝2(2－x)．20．(X·毕节中考)为进一步发展基础教育，自X年以来，某县加大了教育经费的投入，X年该县投入教育经费6000万元，X年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算X年该县投入教育经费多少万元．21．已知关于x的一元二次方程x2－22x＋m＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x21＋x22－x1x2的值．22．(咸宁中考)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)求证：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？23．(X·赤峰中考)如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780.(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．24．★某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？参考答案与解析1．C 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.C10．D 解析：把x ＝3代入方程得9－3(m ＋1)＋2m ＝0，解得m ＝6，则原方程为x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4.因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4＋4＋3＝11；②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3＋3＋4＝10.综上所述，该△ABC 的周长为10或11.故选D.11．1 12.6 13.1 14.x (20－x )＝6415．－2 16.10% 17.8 18.－2或－9419．解：(1)x 1＝－3，x 2＝1；(2)x 1＝2，x 2＝－23. 20．解：(1)设该县投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，得6000(1＋x )2＝8640，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；(2)因为X 年该县投入教育经费为8640万元，增长率为20%，所以X 年该县投入教育经费为8640×(1＋20%)＝10368(万元)．答：预算X 年该县投入教育经费10368万元．21．解：(1)∵Δ＝(22)2－4m ＝8－4m >0，∴m <2，∴m 的最大整数值为1；(2)在(1)的条件下，原方程为x 2－22x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝22，x 1x 2＝1，∴x 21＋x 22－x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝8－3＝5.22．(1)证明：∵Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0，∴不论m 为何值时，方程总有实数根；(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m ，∴x 1＝1，x 2＝2m .∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或2.∵两根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.23．解：(1)设配色条纹的宽度为x 米，依题意，得2x ×5＋2x ×4－4x 2＝1780×5×4，解得x 1＝174(不符合题意，舍去)，x 2＝14. 答：配色条纹的宽度为14米； (2)条纹造价：1780×5×4×200＝850(元)，其余部分造价：⎝⎛⎭⎫1－1780×4×5×100＝1575(元)，∴总造价为850＋1575＝2425(元)．答：地毯的总造价是2425元．24．解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得(x －40)[180－10(x －52)]＝2000，整理，得x 2－110x ＋3000＝0，解得x 1＝50，x 2＝60.当x ＝50时，进货个数为180－10(50－52)＝200＞180，不符合题意，舍去；当x ＝60时，进货个数为180－10(60－52)＝100＜180，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个，可获利2000元．。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合基础达标训练题2（附答案详解）1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）2．如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象，则下列五个结论：①abc＜0;②b=2a＜0;③a+b+c ＜0;④240->．其中正确的有（）b acA．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→AB→BO 的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（）A．B．C．D．4．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）5．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣12x 2﹣12x+2 C ．y=﹣12x 2﹣12x+1 D ．y=﹣x 2+x+2 6．将二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若（2，0）、（4，0）是抛物线y=ax 2+bx+c 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A ．直线x=﹣ B ．直线x=1C ．直线x=2D ．直线x=38．若二次函数的图像经过点，则关于的方程的实数根为 A ．， B ．， C ．， D ．，9．二次函数2y x 2x 3=-++的图象与x 轴（ ） A ．有两个交点，且它们位于y 轴同侧 B ．只有一个交点 C ．有两个交点，且它们位于y 轴两侧D ．无交点10．抛物线()225y x =--+与y ．轴的交点．．．．坐标是（ ） A ．（2，5） B ．（2，0） C ．（0，1） D ．（0，5） 11．在直角坐标系中，函数y= 3x 与y= －x 2+1的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图是二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③3a+c=0； ④a ﹣b ＜m （ma+b ）（m≠﹣1的实数）；其中正确的命题是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④13．在直角坐标系中，将抛物线y=﹣x2﹣2x先向下平移一个单位，再向右平移一个单位，所得新抛物线的解析式为__________．14．若二次函数y＝kx2－8x＋8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______．15．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是.则他将铅球推出的距离是 m．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________17．已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取1.5、3、0时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是___________．18．函数的最大值是____________．19．抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，则有h，k满足h______0，k______0．20．抛物线的图象如图，则它的函数表达式是．当x 时，y＞0．21．已知抛物线y ="ax2" +bx +c 的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为________22．已知抛物线2y 2(1)16x k x =-++的顶点在x 轴上，则k 的值是___________． 23．已知抛物线y=x 2﹣4x+3，如果点P （0，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q 的坐标是 ．24．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________25．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），P 是线段BC 上一点，过点P 作PN ∥y 轴交x 轴于点N ，交抛物线于点M ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为2，点Q 是第一象限抛物线上的一点，且△QMC 和△PMC 的面积相等，求点Q 的坐标； （3）如果32PMPN ，求tan∠CMN 的值．26．已知二次函数y ＝a 2x －8ax(a ＜0)的图像与x 轴的正半轴交于点A ，它的顶点为P ．点C 为y 轴正半轴上一点，直线AC 与该图像的另一交点为B ，与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CB ：AB ＝1：7．（1）求点A 的坐标及点C 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）连接BP ，若△BDP 与△AOC 相似（点O 为原点），求此二次函数的关系式．27．有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1﹣12﹣1313121 23…y…25632﹣12﹣158﹣531855181783252m…标格中m的值为m=；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，32），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．28．已知抛物线215y x3x22=---()1求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；()2x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？29．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．30．对于函数，我们定义（为常数）．例如，则.已知：.（1）若方程有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程有两个正数根，则m的取值范围为．31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A(－2，0)，与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．(1)求抛物线的函数表达式；(2)经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．32．求抛物线y=x2-2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．33．把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. （1）y＝x2＋（x＋1）2；（2）y＝（2x＋3）（x－1）＋5；（3）y＝4x2－12x（1＋x）；（4）y＝（x＋1）（x－1）.34．如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场ABCD，设BC边长为x米，鸡场的面积为y平方米.（1）求y与x的函数关系式；（2）写出其二次项、一次项、常数项；（3）写出自变量x的取值范围.35．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣23），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）若（1）中抛物线的对称轴上有点P，使△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求出点P的坐标；（3）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，请说明理由．36．如图，一次函数122y x=-+分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线2y x bx c=-++过A、B两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于点M，交这个抛物线于点N.求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.参考答案1．B 【解析】每件商品降价x 元后，则每星期的销售量为(300＋20x)件，单价为(60－x)元，则y ＝(60－x)(300＋20x)，故选B. 2．C 【解析】试题解析：由函数图象可得各系数的关系：a ＜0，b ＜0，c=0， ①∵a ＜0，b ＜0，c=0， ∴abc=0，故此选项错误； ②∵对称轴方程-1=-2b a， ∴b=2a， 故此选项正确；③当x=1时，y=a+b+c ＜0， 故此选项正确；④∵抛物线与x 轴有两个不同的交点， ∴b 2-4ac ＞0， 故此选项正确； 故正确答案为：3个． 故选C ． 3．C 【解析】 【分析】在半径AO 上运动时，s=OP 2=t 2；在弧BA 上运动时，s=OP 2=4；在BO 上运动时，s=OP 2=（4π+4-t ）2，s 也是t 是二次函数；即可得出答案． 【详解】解：利用图象可得出：当点P 在半径AO 上运动时，s=OP 2=t 2； 在弧AB 上运动时，s=OP 2=4； 在OB 上运动时，s=OP 2=（2π+4-t ）2． 结合图像可知C 选项正确故选：C ． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出s 与时间t 之间的函数关系是解决问题的关键． 4．D 【解析】12ba-=- ，2b a ∴= .0a > ，0b ∴> ，0ab ∴> ，故①正确；∵当1x = 时，0y > ，0a b c ∴++> ，故②正确；∵对称轴是直线x =﹣1，x 1=0, ∴x 2=-2, ∴当﹣2＜x ＜0时，y ＜0,故③正确；故选Ｄ． 5．D 【解析】 【分析】根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项分析即可. 【详解】A 、由图象可知开口向下,故a ＜0, 故A 错误；B 、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是12, 而211222y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故B 错误； C 、211122y x x =--+的顶点横坐标是﹣12, 故C 错误；D 、22y x x =-++的顶点横坐标是12,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D 正确．故选D. 【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），当a >0时，抛物线开口向上，当a <0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线：2b x a=-；若抛物线与轴的两个交点是A (x 1，0)，B (x 2，0)，则抛物线的对称轴是：122x x x +=. 6．D 【解析】试题解析：抛物线y =x 2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为y =（x -3）2-2．故选D ．7．D【解析】试题解析：：∵（2，0）、（4，0）两点是抛物线与x 轴的两交点，∴抛物线的对称轴为x=242+=3． 故选D ．8．A【解析】试题分析：则：，故答案选A. 考点：一元二次方程的解法9．C【解析】令y =0,求二次函数与x 轴的交点,可得:2 230x x -++=,解得:121,3,x x =-=所以二次函数与x 轴的交点坐标为:(－1,0),(3,0),故选C.10．C【解析】令x=0可得y=-4+5=1，所以抛物线y=-(x-2)2+5与y 轴的交点坐标是（0，1），故选C. 11．D【解析】试题分析：由一次函数的性质可知，y= 3x 的函数图像过一、三象限，由二次函数性质可得y= －x 2+1中a <0，抛物线开口向下，故选D.12．D【解析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据=-1，推出b=2a ；由①②的结论判断③：根据a>0，（m+1)2>0，确定a （m+1）2>0，，经过整理即可得出a-b<（ma+b ）. 解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；=-1，∴b=2a ，∴②错误；由a+b+c=0和b=2a 得，3a +c=0，③正确；∵m≠-1，∴（m+1）2>0，∵a>0，∴a（m+1）2>0，∴am 2+2am+a>0，∵b=2a ，∴a -b=-a ， ∴am 2+bm>a-b ，∴a -b<m （am+b ），④正确.故选D.“点睛”本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；[a]还可以决定开口大小，一次函数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置.13．y=﹣x 2【解析】试题解析：抛物线222(1)1,y x x x =--=-++ 它的顶点坐标为(−1,1),把点(−1,1)先向下平移一个单位,再向右平移一个单位得到对应点的坐标为(0,0),所以新的抛物线解析式是2.y x =-故答案为2.y x =-14．k≤2且k≠0【解析】因为y ＝kx 2－8x ＋8为二次函数，所以k ≠0,；令y =0，得到一元二次方程kx 2－8x ＋8=0，因为与x 轴有交点，即方程有实数根，故Δ=b 2－4ac =64－32k ≥0，解得k ≤2，又因为k ≠0，所以k 的取值范围是k ≤2且k ≠0.故答案为k ≤2且k ≠0.点睛：遇到一元二次方程与x 轴交点的情况可以令y =0，将问题转化成为一元二次方程根的情况问题.15．10【解析】试题分析：当y=0时，则35321212++-x x =0，解得：x=－2或x=10，即铅球推出的距离是10米.考点：二次函数的实际应用16．15 【解析】试题解析：∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设2(,6)D x x x ，-+ ∵顶点C 的坐标为(4,3)，22435OC ，∴=+= ∵四边形OABC 是菱形，5,BC OC BC x ∴==轴，22155(63)(3)1522S BCD x x x ，∴=⨯⨯-+-=--+ 502，-< BCD S ∴有最大值，最大值为15，故答案为：15.17．y 3＞y 2＞y 1（或 y 1＜y 2＜y 3）【解析】试题解析：∵a ＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴为直线x=2，∴x 分别取1.5、3、0时，对应的函数值分别为y 1最小y 3最大，∴y 3＞y 2＞y 1．18．10【解析】∴当时，y 的最大值是10. 故答案为10.19． ＞ ＜【解析】∵抛物线y=4（x+h）2+k的顶点在第三象限，即点（-h，k）在第三象限，∴ -h<0，k<0，∴（1）h>0；（2）k<0.20．243y x x=-+；x＜1或x＞3．【解析】试题分析：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），将（0，3）代入，3=a（0﹣1）（0﹣3），解得a=1．故函数表达式为243 y x x=-+．由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．考点：待定系数法求二次函数解析式．21．y=-0.5x+2x-2.5【解析】∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(5，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(−1，0)，设抛物线的解析式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，即：y=a(x+1)(x−5)，把(1，4)代入得：4=−8a，∴a=−1 2 .∴抛物线的解析式为：y=−12x2+2x+52.故答案为y=−12x2+2x+52.22．3或-5【解析】试题解析：根据顶点纵坐标公式，抛物线y=x2-2（k+1）x+16的顶点纵坐标为()2 64214k⎡⎤--+⎣⎦，∵抛物线的顶点在x轴上时，∴顶点纵坐标为0，即()264214k ⎡⎤--+⎣⎦=0，解得k=3或-5．23．（4，5）．【解析】【分析】 首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可．【详解】∵y=x 2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴点P （0，5）关于该抛物线的对称轴对称点Q 的坐标为（4，5），故答案为（4，5）．24．11【解析】试题解析：∵y=x 2-3x+5=（x-32）2+114，当y=x 2-3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，∴y=（x-32+3）2+114+2=x 2+3x+7； ∴a+b+c=11．25．（1）抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）点Q 的坐标为（1）；（3）2.【解析】试题分析：（1）将B(3，0)，C(0，3)代入y=-x 2+bx+c ，求得b 、c 的值，即可得该抛物线的表达式；（2）设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点C (0，3)，B (3，0)代入，求得直线BC 的解析式为3y x =-+，即可得P （2，1），M （2，3） 所以2PCM S ∆=，设△QCM 的边CM 上的高为h ，则1222QCM S h ∆=⨯⨯=，可得2h =，即可得Q 点的纵坐标为1，所以2231x x -++=，解得1211x x ==舍），即可得点Q 的坐标为（1+）；（3）过点C 作CH MN ⊥，垂足为H ，设M ()2,23m m m -++，则P (),3m m -+，因为32PM PN =，可得25PN MN =，由此可得()223235m m m -+=-++，解得32m =，即可得点P 的坐标为（33,)22，所以M 315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得34MH =，所以tan 2CH CMN MH∠==. 试题解析：（1）将()3,0B ，()03C ，代入2y x bx c =-++，得 930{3b c c -++== 解得 2{3b c == ∴抛物线的表达式为223y x x =-++（2）设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点C (0，3)，B (3，0)代入得 3{30b k b =+=，解得 1{3k b =-=∴直线BC 的解析式为3y x =-+ ∴P （2，1），M （2，3）∴2PCM S ∆=，设△QCM 的边CM 上的高为h ，则1222QCM S h ∆=⨯⨯= ∴2h =∴Q 点的纵坐标为1，∴2231x x -++=解得1211x x ==舍）∴点Q 的坐标为（1+）（3）过点C 作CH MN ⊥，垂足为H设M ()2,23m m m -++，则P (),3m m -+ ∵32PM PN =，∴25PN MN =，∴()223235m m m -+=-++ 解得32m =，∴点P 的坐标为（33,)22 ∴M 315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴34MH =，∴tan 2CH CMN MH∠== 点睛：本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线、直线的解析式，三角形面积计算，方程思想，以及分类思想，综合性较强，有一定的难度．26．解：（1）A(8，0)，C(0，－8a)；（2）y＝－x+x.【解析】试题分析：（1）由y＝ax2－8ax可得A(8，0)，由CB：AB＝1：7得点B的横坐标为1，故B(1，－7a)，C(0，－8a)．（2）对称轴与x轴交于点H，过点B作BF⊥PD于点F，易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，则FD＝－3a， PF＝－9a，由相似，可知：BF2=DF·PF，从而求得a的值，故可求函数关系式.试题解析：（1）P(4，－16a)，A(8，0)，∵CB：AB＝1：7，∴点B的横坐标为1∴B(1，－7a)，∴C(0，－8a)．（2）∵△AOC为直角三角形，∴只可能∠PBD＝90°，且△AOC∽△PBD．………（5分）设对称轴与x轴交于点H，过点B作BF⊥PD于点F，易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，则FD＝－3a，∴PF＝－9a，由相似，可知：BF2＝DF·PF，∴9＝－9a·(－3a)，∴a 3a3(舍去)．∴y 3283x．27．（1）x≠0；（2）296；（3）见解析；（4）见解析【解析】【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【详解】（1）x≠0；（2）当x =3 时，211293236m =⨯+=； （3）注：要用平滑的曲线连接，图象不能与y 轴相交；（4）函数的性质有很多．如：①当x <0时，y 值随着x 值的增大而减小；②该函数没有最大值；③该函数图象与y 轴没有交点．28．见解析【解析】试题分析：二次函数的开口由二次项系数a 决定.0a >，开口向上，0,a <开口向下.对称轴2b x a =-，顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.增减性要根据开口和对称轴. 试题解析： ()110,2a -<＝53,.2b c =-＝－ 对称轴是3,2b x a =-=-24 2.4ac b a-= 顶点坐标为：()3,2.-()2在对称轴的左侧，即当3x <-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当3x >-时，y 随x 的增大而减小.因为抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当3x =-时，y 的最大值是2.点睛：二次函数的开口由二次项系数a 决定.0a >，开口向上，0,a <开口向下.对称轴2b x a =-，顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.增减性要根据开口和对称轴. 29．（1）（﹣1，0）或（5，0）；对称轴为x=2；（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax 2+4ax ﹣5（3）a=74或34 【解析】【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x 轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C 2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题【详解】（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣4x ﹣5=（x ﹣2）2﹣9，∴对称轴为x=2；∴当y=0时，x ﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C 1解析式为：y=ax 2﹣4ax ﹣5，整理得：y=ax （x ﹣4）﹣5；∵当ax （x ﹣4）=0时，y 恒定为﹣5；∴抛物线C 1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C 1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C 2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C 2解析式为：y=﹣ax 2+4ax ﹣5，（3）抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=74； 当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=34；∴a=74或34；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换30．（1）；（2）m≤且m≠．【解析】试题分析：根据题意得y′=，（1）∵方程有两个相等实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为：；（2），即=，化简得：，∵方程有两个正数根，∴，解得：m≤且m≠．故答案为：m≤且m≠．考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；新定义；综合题．31．(1) 抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 ；(2) M的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4).【解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－2，0)，∴0＝4a－2b＋4，∵对称轴是直线x ＝3，∴－＝3，即6a＋b＝0，关于a，b的方程联立解得 a＝－，b＝，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 (2)∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC＝MN.①N点在M点下方，即M点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合．设M1(x，－ x2＋x＋4)，则N1(x＋3，－ x2＋x)，∵N1在x轴上，∴－x2＋x＝0，解得 x＝0(M与C重合，舍去)，或x＝6，∴x M＝6，∴M1(6，4)；②M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．设M(x，－ x2＋x＋4)，则N(x－3，－ x2＋x＋8)，∵N在x轴上，∴－x2＋x＋8＝0，解得 x＝3－，或x＝3＋，∴x M＝3－或3＋.∴M2(3－，－4)或M 3(3＋，－4)．综上所述，M 的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4)32．见解析 【解析】 试题分析：要求二次函数的对称轴和顶点坐标，可以将题目中给出的二次函数解析式利用配方法转化为二次函数解析式的顶点形式，进而得出二次函数的顶点和对称轴. 在画二次函数的图象时，以对称轴与x 轴的交点为中心在x 轴上左右对称地取得7个点，通过解析式分别计算出相应的函数值并列出表格；在平面直角坐标系中，将表中数据所表示的点描出来；利用平滑的曲线连接各点即得二次函数的图象. 试题解析：利用配方法将该二次函数的解析式y =x 2-2x 转化为相应的顶点形式，得()()222221111y x x x x x =-=-+-=--，即()211y x =--.根据二次函数解析式的顶点形式与图象的关系可知： 该二次函数的对称轴为直线x =1， 该二次函数的顶点坐标为(1, -1). 下面画二次函数y =x 2-2x 的图象.以二次函数y =x 2-2x 的对称轴直线x =1为中心在x 轴上对称地选取7个点并计算相应的函数值，列于下表： x -2 -1 0 1 2 3 4 y 83-138根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出上述数据所表示的点，再用平滑的曲线连接各点则得到该二次函数的图象. 函数图象如图所示：点睛：本题中利用二次函数解析式的顶点形式来确定二次函数顶点和对称轴是一项需要熟练掌握的技能. 在利用配方法时，要注意转换二次函数解析式时用的配方法与解一元二次方程时用的配方法有一定的区别. 在利用配方法转换二次函数解析式的形式时，要特别注意增加的项一定要在解析式中适当的位置予以消除，保持解析式恒等.33．答案见解析【解析】试题分析：（1）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（2）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（2）根据整式的乘法计算后合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可；（4）根据平方差公式计算后即可得一元二次方程的一般形式，再指出二次项系数、一次项系数及常数项即可．试题解析：（1）∵y＝x2＋（x＋1）2＝x2＋x2＋2x＋1＝2x2＋2x＋1，∴一般形式为y＝2x2＋2x＋1，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1.（2）∵y＝（2x＋3）（x－1）＋5＝2x2－2x＋3x－3＋5＝2x2＋x＋2，∴一般形式为y＝2x2＋x＋2，二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为2.（3）∵y＝4x2－12x（1＋x）＝4x2－12x－12x2＝－8x2－12x，∴一般形式为y＝－8x2－12x，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.（4）∵y＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，∴一般形式为y＝x2－1，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－1.34．（1）Y=-12x2+15x；（2）二次项为-12x2，一次项为15x，常数项为0；（3）自变量的取值范围为：0＜x≤20.试题分析：（1）由题意表示出CD的长度，再根据矩形面积公式写出函数关系式即可；（2）将二次函数解析式写成一般式，然后判断出二次项、一次项、常数项；（3）由题意得：0＜x≤20.试题解析：（1）∵在矩形ABCD中，BC=x，∴CD=302x=15－12x，∴y=x(15－12x)=－12x2+15x；（2）二次项为－12x2，一次项为15x，常数项为0；（3）自变量的取值范围为：0＜x≤20.点睛：在判断二次函数的二次项、一次项、常数项时，首先要将二次函数的解析式化为一般式然后再进行判断.35．（1）抛物线的解析式为y=16（x﹣4）2﹣23，A（2，0），B（6，0）；（2）点P坐标（4，4）或（4，﹣4）；（3）存在，QA+QC的最小值为13．【解析】（1）抛物线的顶点坐标为（4，﹣），可以假设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣把点（0，2）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣．令y=0得到（x﹣4）2﹣=0，解得x=2或6，∴A（2，0），B（6，0）．（2）设P（4，m），由题意：•4•|m|=2××4×2，解得m=±4，∴点P坐标（4，4）或（4，﹣4）．（3）存在．理由如下：∵A、B关于对称轴对称，连接CB交对称轴于Q，连接QA，此时QA+QC最短（两点之间线段∴QA+QC 的最小值=QA+QC=QB+QC=BC==．36．（1）抛物线解析式为2722y x x =-++ ； （2）当 t=2 时，MN 有最大值为 4； （3）D （0，6）或（0，-2）或（4，4）. 【解析】试题分析： （1）先由直线122y x =-+分别交y 轴、x 轴于点A 、B 这一条件求出点A 、B 的坐标，将所求坐标代入抛物线2y x bx c =-++列出关于b c 、的值即可得到所求抛物线的解析式； （2）如图1，由题意可知点M 的横坐标为t ，根据点M 在直线122y x =-+上，点N 在（1）中所求抛物线上，可用含“t ”的代数式表达出点M 、N 的坐标，结合第一象限中，点N 在点M 的上方，可用含“t ”的代数式表达出MN 的长，把所得式子配方，即可得到所求答案； （3）由（2）中答案可得求得对应的点A 、M 、N 的坐标，如图2分析可知点D 有三种可能，其中两种情况点D 在y 轴上，结合AD=MN ，即可求得两个符合要求的点D 1、D 2的坐标；由图可知第三个符合要求点D 就是直线D 1N 和D 2M 的交点，求出两直线的解析式联立成方程组，解方程组即可求得第三个符合要求的点D 的坐标. 试题解析： (1)∵122y x =-+分别交y 轴、x 轴于A.、B 两点， ∴A 、B 点的坐标为：A(0,2)，B(4,0)， 将x=0，y=2代入y=−x²+bx+c 得c=2，将x=4，y=0，c=2代入y=−x²+bx+c 得0=−16+4b+2，解得b=72， ∴抛物线解析式为： 2722y x x =++，(2)如图1，由题意可知，直线MN 即是直线x t =， ∵点M 在直线122y x =+上，点N 在抛物线2722y x x =-++上， ∴点M 、N 的坐标分别为1-22t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，、2722t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，， ∵在第一象限中，点N 在点M 的上方， ∴MN=()222712242422t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2t =时，MN 最长=4；(3)由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5).以A. M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形，如图2所示：(i)当D 在y 轴上时，设D 的坐标为(0，a) 由AD=MN ，得|a−2|=4，解得a 1=6，a 2=−2， 从而D 1为(0，6)或D 2(0，−2)，(ii)当D 不在y 轴上时，由图可知D 3为D 1N 与D 2M 的交点，由D1、D2、M、N的坐标可求得直线D1N的解析式为：y=−12x+6，直线D2M的解析式为：y=32x−2，由162{322y xy x=-+=-解得4{4xy==，∴D3的坐标为：(4，4)，综上所述，所求的D点坐标为(0，6)，(0，−2)或(4，4).点睛：解第3小题时，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，则点D必在过△AMN的顶点A、M、N所作的平行于对边的直线上，这样结合MN∥y轴，点A在y轴上，即可画图找到D1和D2的位置，连接D1N、D2M相交，则交点就是D3，这样结合图形和已知条件就可求得所求D点的坐标.。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是等差数列，且a+c=8，a-b=2，则b+c的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 92. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a6的值为（）A. 54B. 162C. 486D. 7293. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则角B的余弦值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 3/44. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(-2)的值为（）A. -5B. 5C. 3D. -35. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点为（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (2,6)D. (-2,-3)6. 若x^2 - 3x + 2 = 0，则x的值为（）A. 1或2B. 2或3C. 1或3D. 2或47. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1+x2的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 88. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a:b:c=2:3:4，则角B的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 已知函数f(x) = |x-1| + |x+1|，则f(0)的值为（）A. 0B. 2C. 1D. 310. 若函数g(x) = kx + b（k≠0）的图象经过点(2,5)，则k+b的值为（）A. 7B. 5C. 3D. 1二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则第10项an的值为______。

12. 若等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则第5项an的值为______。

13. 在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积S为______。

14. 函数f(x) = 2x + 3在x=1时的值为______。

初三数学小测验
2024年 月 日 星期 姓名： 成绩：
18-2
一、单选题
1．顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A ．任意四边形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．矩形
二、填空题
2．如图所示，四边形PONM 是平行四边形．则x = ．
2题图 3题图 4题图
三、解答题
3．如图，在正方形网格由，每个小正方形的边长部是1，点A ，B ，C 都在格点上，点D ，E 分别是线段AC ，BC 的中点．
(1)图中的△ABC 是不是直角三角形？答：______；（填“是”或“不是”）
(2)计算线段DE 的长．
4．如图，在5×5的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出一个以AB 为边的▱ABDE ，使顶点D ，E 在格点上．
（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC 周长的直线l （至少经过两个格点）．
5．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF ．。