下载文档原格式
第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题⼀、练习题1．⽴⽅势箱中的粒⼦，具有的状态量⼦数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的⼀维势箱中的粒⼦，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题⽬提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光⼦、⾃由电⼦、质量为300g⼩球的波长。
( )解：光⼦波长⾃由电⼦300g⼩球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的⼀维势箱中粒⼦的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分⼦在波长⽅向460nm处出现第⼀个强吸收峰，试按⼀维势箱模型估计该分⼦的长度。
解：6．设体系处于状态中，⾓动量和有⽆定值。
其值是多少？若⽆，求其平均值。
解：⾓动量⾓动量平均值7．函数是不是⼀维势箱中粒⼦的⼀种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)⼆维⽅势箱中的9个电⼦。
(2)⼆维势箱中的10个电⼦。
(3)三维⽅势箱中的11个电⼦。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的⼀维势箱中粒⼦，证明它在区域内出现的⼏率。
当，⼏率P怎样变？解：10．在长度l的⼀维势箱中运动的粒⼦，处于量⼦数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒⼦的⼏率？(2)n为何值，上述的⼏率最⼤？(3)，此⼏率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．⼀含K个碳原⼦的直链共轭烯烃，相邻两碳原⼦的距离为a，其中⼤π键上的电⼦可视为位于两端碳原⼦间的⼀维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中⼀个π电⼦跃迁到⾼能级，求伴随这⼀跃迁所吸收到光⼦的最长波长是多少？解：12．写出⼀个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒⼦的薛定锷⽅程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知⼀维运动的薛定锷⽅程为：。
量⼦⼒学第⼀章习题答案第⼀章1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：⿊体辐射的普朗克公式为：)1(833-=kT h e c h νννπρ∵ v=c/λ∴ dv/dλ= -c/λ2⼜∵ρv dv= -ρλdλ∴ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(ehc/λkT-1)] 令x=hc/λkT ,则ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)求ρλ极⼤值，即令dρλ(x)/dx=0，得：5(e x -1)=xe x可得： x≈4.965∴ b=λm T=hc/kx≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)≈2.9*10-3（m K ）1.2√. 在0 K 附近，钠的价电⼦能量约为3电⼦伏，求其德布罗意波长。
解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J故其德布罗意波长为：07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ?1.3 √.氦原⼦的动能是E=32KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原⼦的质量约为=-26-2711.993104=6.641012kg , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K故其德布罗意波长为：λ= 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2≈01.2706A或λ= ⽽KT E 23=601.270610A λ-==?1.4利⽤玻尔-索末菲量⼦化条件，求：a ）⼀维谐振⼦的能量：b ）在均匀磁场作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
量子力学 第一章 习题一、填空题1． 普朗克（Planck ）常数h 的数值是 ，普朗克（Planck ）常数ħ和h 之间的关系是 ，普朗克（Planck ）常数ħ的数值是 。
2． 索末菲（Sommerfeld ）的量子化条件是 。
3． 德布罗意（de Broglie ）公式是 。
二、问答题1．什么是黑体（或绝对黑体）？根据普朗克（Planck ）黑体辐射规律（教材第二页1.2.1式），试讨论辐射频率很高（趋于无穷大）和很低（趋于零）时的黑体辐射规律，并与维恩公式、瑞利——金斯公式相比较。
请给出波长在λ到λ+d λ之间的辐射能量密度规律。
2．什么是光电效应？光电效应的实验特点是什么？经典物理在解释光电效应时的困难是什么？采用爱因斯坦（Einstein ）的光量子假设后，光电效应是如何解释的？3．光子有什么特点？爱因斯坦关于光子能量、动量和光子频率、波长之间的关系是什么？这个关系反映出光子的什么特征？4．什么是康普顿效应？试由Einstein 的光量子说，利用能量动量守恒，解释Compton 效应。
康普顿效应说明了什么？和光电效应相比，入射光子能量哪个大，并说明理由。
5．玻尔的氢原子模型内容是什么？试根据玻尔的氢原子模型给出里德堡（Rydberg ）常数和氢原子第一玻尔半径的表达式和数值结果。
并说明为什么玻尔的量子论是半经典的半量子的？三、多项选择题1．说明微观粒子具有波动性的现象有 说明电磁波具有粒子性的现象有(a)以太漂移说 (b)黑体辐射 (c)光电效应(d)康普顿（Compton ）效应 (e)原子结构和线性光谱 (f)电子的双缝衍射 (g)戴维逊（Davisson ）——革末（Germer ）实验(h)迈克尔逊（Michelson ）——莫雷（Monley ）实验四、计算题1． 教材习题(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)2． 设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
1量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThce kThc λλ ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
2解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有p h =λ nmm m E c hc Eh e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第一章 绪论
1.1. 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即
b T m =λ(常量)
并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字.
解: 能量密度公式 581
hc kT hc d d e λλπλ
ρλλ=-
则可由
0=λρλ
d d 解得 m λ 05111186=⎪⎭⎫
⎝⎛---=λλλλλλπλρkT hc kT hc kT hc e e kT hc e hc d d , 亦即 051
1
=--λλλkT hc kT hc e e kT hc
若令
x kT hc
m =λ, 则 051
1=--x x e xe 即 015
=-+-x e x
这是个超越方程,用计算机做出()51x f x e x -=+-的函数图,容易看出当0,5x =附近近似地满足上述方程(舍去0x =的解),用计算机编程求出其数值解为
96514.x ≈ 显然 23
8
23
6.62610 2.991028971.3810 4.9651
m hc T kx λ--⨯⨯⨯===⨯⨯⋅⋅米度微米度 绘图程序: >>clear x=0:0.01:8; y=exp(-x)+x/5-1; plot(x,y,'-k' ,'LineWidth',2)
title('\fontsize{18}\rmf(x)=e^-^x+x/5-1的图像', 'Color','k') xlabel ('\fontsize{14}\rmx', 'Color','k') ylabel ('\fontsize{14}\rmf(x)', 'Color','k') axis ([0 8 -0.8 0.8]) grid on %end 计算程序:
1.在文件编辑区建立待求方程组文件并保存： function F = myfun(x)
F = exp(-x)+x/5-1 % Compute function values at x 2. 在MATLAB 的命令窗口求解： >>clear
x0=1 %建立初始量
题1.1图
fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 0 >>clear
x0=5 %建立初始量 fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 4.9651
1.2. 在K 0附近,钠的价电子能量约为3电子伏特,求其德布罗意波长. 解: 因 E
h p
h μλ2==
而 1212
1084106133--⨯=⨯⨯==..eV E (尔格)
故
()27
2780206.626107.0827107.08279.3466610
A cm λ----⨯=
==⨯=⨯ 1.3. 氦原子的动能是kT E 2
3
=
(k 为波尔茨曼常数),求K T 1=时,氦原子的德布罗意波长. 解: 在c v <<的情况下,E p μ2=,故 E
h p h μλ2==. 对于氦原子16
103812
323-⨯⨯==.kT E (尔格),24241068610
6714--⨯=⨯⨯=..μ(克
), ()27
801.210 1.2A cm λ--==⨯=
1.4. 利用波尔-索莫菲的量子化条件,求: (1) 一维谐振子的能量;
(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径. 已知外磁场10=H 特斯拉,玻尔磁子24
10
9-⨯=B M 焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间
隔E ∆,并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较.
解: 波尔-索莫菲的量子化条件表示为 ⎰
==Λ3210,,,n h n dq p i i i i
(1) 求一维谐振子的能量
一维谐振子的能量 2222
1
2q p E μωμ+=
整理为如下形式: (
)
1222
222
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
μωμE q E
p
这是椭圆方程,长短半轴b ,a 为
E a μ2=, 2
2μωE
b =
.
于是
⎰==
==nh E
ab pdq ω
ππ2椭圆面积
由最后一个等式,立即得到:
π
ω2321h ,,n ,n E =
==ηΛ
η其中 (2) 求电子轨道的可能半径
电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定的线速度v 作半径为R 的圆运动,则角动量就是广义动量
Rv p μϕ=
对应的广义坐标为ϕ,则
()Rv d Rv d p nh πμϕμϕπ
ϕ220
==
=⎰⎰
由上式得
R
nh
v πμ2=
(1) 另一方面,电子在均匀磁场中作圆周运动的力R v 2
μ来源于电子所受到的罗仑兹力evB ,即
2
v evB R
μ=
亦即
eBR
v μ
=
(2)
比较(1)和(2),消去v 便得到
1,2,3R n =
=L 现在来研究电子的能量.先讨论电子的动能：
222222*********B e B R e B n e T v nB nBM eB μμμμμμ=====h h (2B
e M μ
=h 波尔磁子) 其次讨论电子的势能. 电子作圆周运动相当于有一个磁矩μ，取磁场方向B 为正方向. 则磁矩
222
v evR
m iA e R R ππ==-=-
2v R
π代表电子作圆周运动的频率，i 是电流强度，2
A R π=是电流环的面积. 综合上述结果得 22222222evR eR eBR e
B e B n e m R n eB μμμμ
=-=-=-=-=-h h
因此与磁场B 的作用能为
2eB
V mB n μ
=-=h
所以带电粒子总能量为
222B eB
e E T V n n
B nM B μ
μ
=+===h
h。
动能的量子化间隔为：B T BM ∆=。
具体到本题，有
242310910910T J J ∆--=⨯⨯=⨯
根据动能与温度的关系式
3
2
T E kT =
(为区别起见，此处用T E 代表动能) 以及
323110 1.610k K eV J --⋅==⨯
可知，当温度4T K =时
232233
4 1.6109.61022
T E kT J J --==⨯⨯⨯=⨯
可知，当温度100T K =时
232033
100 1.610 2.41022
T E kT J J --==⨯⨯⨯=⨯
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量间隔。
1.5. 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对.如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?
解: 反应可以表示为 +
+→e e γ2
正负电子的能量 224202p c c m E +=,设产生的正、负电子静止,即0=p ,2
0c m E =,
这能量来自光量子λνc
h
h E ==,所以光子的最大波长(对应于最小能量)为:
8
3134020024010
99821019106266A ....c m h c m hc E hc =⨯⨯⨯⨯====--λ。
