量子力学(周世勋)课后答案-第七章
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量子力学教程(周世勋)课后习题详细解答
量子力学课后习题详细解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
[工学]量子力学第7章 周世勋_OK
![[工学]量子力学第7章 周世勋_OK](https://img.taocdn.com/s1/m/fc7937e8ff00bed5b8f31d91.png)
Lˆz nlmmS m nlmmS m nlm mS
Sˆz nlmmS mS nlmmS mS nlm ms 31
代入以上方程，写成
2
2
2
2es2 r
eBS
2c
(m
2ms
)
nlmm
S
E nlmmS nlmmS
本征能量：
Enlmm S
Enl
eBS
2c
(m 2mS )
当 Sz 2
1 2
t
时刻，x, y, z 处找到自旋
Sz
2
的电子的几率密度。
2
1 2
2
(0,
*2
)
0 2
2
2
t
时刻，x,
y, z
处找到自旋
Sz
2
的电子的几率密2度4
1 2 d
在整个空间发现电子自旋SZ
的几率 2
2 2 d
在整个空间发现电子自旋SZ
的几率 2
1 2
(1*
* 2
)12
略时，1 和 2 对空间位置的依赖关系是一样的，
这时可引入自旋函数 (Sz )
(x, y, z, Sz ,t) (x, y, z,t)(Sz )
(Sz )
1
2
(1)
2
1
0
1 2
(
1) 2
0
1
26
自旋函数的正交归一性
1
2
1
(1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0)
0
1
0
1
2
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1
Sˆz
2
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代入以上方程，写成
2
2
2
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2c
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)
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本征能量：
Enlmm S
Enl
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2c
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当 Sz 2
1 2
t
时刻，x, y, z 处找到自旋
Sz
2
的电子的几率密度。
2
1 2
2
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*2
)
0 2
2
2
t
时刻，x,
y, z
处找到自旋
Sz
2
的电子的几率密2度4
1 2 d
在整个空间发现电子自旋SZ
的几率 2
2 2 d
在整个空间发现电子自旋SZ
的几率 2
1 2
(1*
* 2
)12
略时，1 和 2 对空间位置的依赖关系是一样的，
这时可引入自旋函数 (Sz )
(x, y, z, Sz ,t) (x, y, z,t)(Sz )
(Sz )
1
2
(1)
2
1
0
1 2
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26
自旋函数的正交归一性
1
2
1
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2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0)
0
1
0
1
2
1 (1
2
1
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0
1
1
Sˆz
2
周世勋量子力学习题答案(七章全).
由
有
⎡ 1 dρ (λ ) x 5e x ⎤ dx =0 = A⎢5 x 4 x − x dλ e − 1 (e − 1) 2 ⎥ ⎦ dλ ⎣
x (1 − )e x = 1 5 于是，得：
该方程的根为
x = 4.965
因此，可以给出， 即
λmT =
hc hc = 0.2014 xk k
λmT = b （常数）
而
p2 1 A2ω 2 μ 2 cos 2 (ωt + δ ) 1 2 2 E= + μω q = + μω 2 A2 sin 2 (ω t + δ ) 2μ 2 2μ 2
= 1 μω 2 A 2 = nhv 2
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有
由此可以求出波长在 λ 与 λ + dλ 之间的能量密度 ρ (λ ) dλ
由于
ν = c/λ ,
ρ ( λ ) dλ =
dν = +
c
λ2
1
dλ
8πhc
因而有：
λ
5
e
hc kTλ
dλ −1
令
x=
hc kTλ
所以有：
ρ (λ ) = Ax 5
dρ ( λ ) =0 dλ
1 x e −1
（
A=
8πk 5T 5 h 4c 4 常数）
1⎞ ⎛ E n = ⎜ n + ⎟hv 2 ⎠ 相比较，我们 ⎝ ③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量 E0 = 1 hv 2 。 但能级间的间隔则完
&& + ω 2 q = 0 q
其解为
量子力学(周世勋)课后答案-第七章
7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 7.2 求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系： ?)()(22=y x S S ∆∆解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχxxS S 4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S y yχχ 4)(2222=-=∆yyy S S S16)()(422=∆∆y x S S ①讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]zS i ˆ = 要求 4)()(2222z y x S S S ≥∆∆在)(21z S χ态中，2=z S ∴ 16)()(422≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。
7.3.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。
解：x S ˆ的本征方程为01102a a b b λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭移项得: 202a b λλ⎛⎫- ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭xS ˆ的久期方程为022=--λλ可得 20)2(22 ±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2±。
量子力学教程习题答案周世勋
《量子力学教程 (jiàochéng)》
习题解答
1
精品PPT
《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
2.3 一粒子在一维势场
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U (x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
在各区域的具体形式为
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx2
1
(
x)
E A2 2 nh nh ， n 0,1,2, 2T
6
精品PPT
（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB v2 ，得 R v
R
eB
再由量子化条件 pdq nh,n 1,2,3,，以, p Rv R2 eBR 2分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
0
0.024A （电子的康普顿波长）。
8
精品PPT
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
(r，t)
( r )f
(t)
( r )e
i
Et
J
i
( * * )
2m
i
[
( r )e
i
Et
（
( r )e
i
习题解答
1
精品PPT
《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
2.3 一粒子在一维势场
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U (x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
在各区域的具体形式为
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx2
1
(
x)
E A2 2 nh nh ， n 0,1,2, 2T
6
精品PPT
（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB v2 ，得 R v
R
eB
再由量子化条件 pdq nh,n 1,2,3,，以, p Rv R2 eBR 2分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
0
0.024A （电子的康普顿波长）。
8
精品PPT
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
(r，t)
( r )f
(t)
( r )e
i
Et
J
i
( * * )
2m
i
[
( r )e
i
Et
（
( r )e
i
《量子力学教程》周世勋 课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教学教程》周世勋课后答案解析
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程周世勋_课后答案
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解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc e kThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
《量子力学教程》周世勋_课后答案
7
类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上 告诉我们， 当涉及到粒子的衰变， 产生， 转化等问题， 一般所需的能量是很大的。 能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是 世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
E = 1.5 × 100 × 1.6 × 10 −22 J = 2.4 × 10 −20 J
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？ 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程， 如两个光子以怎样的概 率转化为正负电子对的问题， 严格来说， 需要用到相对性量子场论的知识去计算， 修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用 那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时， 转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 E = hv = μ e c 2
k ,
= nh
其中 h =
h 2π 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次， 这量子化的能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
μ
⇒
υ2
R
= qυB
p = μυ = qBR
2π
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
∫
⇒ ⇒
又因为动能耐 E =
0
qBRd ( Rθ ) = nh
hc 2μ核c 2 E
3
=
1.24 × 10 −6
类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上 告诉我们， 当涉及到粒子的衰变， 产生， 转化等问题， 一般所需的能量是很大的。 能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是 世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
E = 1.5 × 100 × 1.6 × 10 −22 J = 2.4 × 10 −20 J
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？ 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程， 如两个光子以怎样的概 率转化为正负电子对的问题， 严格来说， 需要用到相对性量子场论的知识去计算， 修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用 那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时， 转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 E = hv = μ e c 2
k ,
= nh
其中 h =
h 2π 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次， 这量子化的能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
μ
⇒
υ2
R
= qυB
p = μυ = qBR
2π
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
∫
⇒ ⇒
又因为动能耐 E =
0
qBRd ( Rθ ) = nh
hc 2μ核c 2 E
3
=
1.24 × 10 −6
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章
（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
量子力学答案课后 习题答案详解(周世勋)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教程》周世勋_课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋量子力学课件第七章
( 7 .1 3 )
由（7.1-2）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
M Sz M Sz e e , ( SI ); , (CGS ) sz sz c
e e ML L, ( SI ); M L L, (CGS ) 2 2c
即轨道运动的回转磁比率是
得到的泡利矩阵是
（7.2-20）
泡利矩阵
ˆ x 0 1 1 0 ˆ y 0 i i 0 ˆ z 1 0 0 1
ˆ sx
0 2 1
1 0
0 ˆ sy 2i
1 1 2 2
( 7.2 13)
ˆ S z 的 本征
1 0 ˆ z 0 1
值是 2
1 1 0 2
1 2
0 分别是s z 的本征矢量。 1 2
令
由
ˆ x
a c
b d
即
ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z
2
3. 物理意义（玻恩统计解释）
2 1 r , t r , , t 表示t时刻， r 处找到电子自旋z 的几率密度 s 2 2 2 2 r , t r , , t 表示t时刻， r 处找到电子自旋z 的几率密度 s 2 2
(2)每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量s的关系是
e M s s , ( SI );
e M s s , (CGS ) c
(7.1 2)
Ms在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
e M sz M B , ( SI ) 2 e M sz M B , (CGS ) 2 c M B玻尔磁子。
《量子力学教程》周世勋课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学答案课后 习题答案详解(周世勋)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学曾谨言习题解答第七章
第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。
量子力学周世勋习题解答第七章
∴
h4 (∆S x ) 2 (∆S y ) 2 ≥ 16
可见①式符合上式的要求。 可见①式符合上式的要求。
ˆ = h 0 1 及S = h 0 ˆy 7.3. 求 S x 1 0 2 2− i
所属的本征函数。
ˆ 解： S x 的久期方程为
−λ h 2
∴
− i 的本征值和 0
的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：ψ可改写成
1 0 1 3 ψ = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) − 0 2 R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) 1 2
1 3 = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − 2 2 2 2
+
h 0 1 h 0 1 1 h 2 ˆ S x2 = χ 1+ S x2 χ 1 = (1 0) 1 0 2 1 0 0 = 4 2 2 2
(∆S x ) 2 = S x2 − S x
+
2
h 0 − i 1 ˆ S y = χ 1 S y χ 1 = (1 0) i 0 0 = 0 2 2 2
ˆ 的本征值为 ± h 。 所以 S n 2
h λ=± 2
则
cos γ h 2 cos α + i cos β
cos α − i cos β a h a = b 2 b − cos γ
⇒ a (cos α + i cos β ) − b cos γ = b cos α + i cos β b= 1 + cos γ
量子力学周世勋第二版课后习题解答第7章
7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 7.2 求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系： ?)()(22=y x S S ∆∆解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχx x S S4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S y y χχ4)(2222=-=∆yyy S S S 16)()(422=∆∆y x S S讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系[x S ˆ，y S ˆ]z S i ˆ = 要求4)()(2222zy x S S S ≥∆∆ 在)(21z S χ态中，2=z S ∴ 16)()(422≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。
16)()(422=∆∆y x S S7.3.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。
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7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 7.2 求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系： ?)()(22=y x S S ∆∆解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχxxS S 4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S y yχχ 4)(2222=-=∆yyy S S S16)()(422=∆∆y x S S ①讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]zS i ˆ = 要求 4)()(2222z y x S S S ≥∆∆在)(21z S χ态中，2=z S ∴ 16)()(422≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。
7.3.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。
解：x S ˆ的本征方程为01102a a b b λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭移项得: 202a b λλ⎛⎫- ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭xS ˆ的久期方程为022=--λλ可得 20)2(22 ±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2±。
设对应于本征值2的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/1b a χ 由本征方程 2/12/12ˆχχ =x S ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得1),(11*1*1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a 即 1221=a ∴ 21 2111==b a对应于本征值2 的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--222/12/12ˆb a S x χχ 222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件，得1),(22*2*2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a 即 1222=a ∴ 21 2122-==b a对应于本征值2 -的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11212/1χ 同理可求得yS ˆ的本征值为2 ±。
其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i 12121χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ #7.4 求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆzy x n S S S S ++= 的本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量z S ˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zS ˆ的平均值是多少？ 解：在z S ˆ 表象，nS ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= i i S n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n 其相应的久期方程为0cos 2)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγ i i 即0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγλ )1cos cos cos (222=++γβα利用得0422=- λ ⇒ 2±=λ 所以nS ˆ的本征值为2 ±。
设对应于2=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2 γβαβαγ b b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos得γβαcos 1cos cos ++=i b由归一化条件，得22**),(12121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ1cos 1cos cos 222=+++a i a γβα1cos 122=+a γ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n12112210()01()()n z z S S S χχ-⎫⎫=⎪⎪⎭⎭=可见， zS ˆ的可能值为 22 - 相应的几率为 2cos 1γ+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++γγγcos 22cos 122cos 12=--+=z S同理可求得 对应于2-=n S 的本征函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n 在此态中，zS ˆ的可能值为 2 2 - 相应的几率为 2cos 1γ- 2cos 1γ+γcos 2-=z S#7.5设氢的状态是 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=),()(23),()(2110211121ϕθϕθψY r R Y r R①求轨道角动量z 分量z L ˆ和自旋角动量z 分量zS ˆ的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ˆˆ2ˆμμ--=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩表示）。
解：ψ可改写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10),()(2301),()(2110211121ϕθϕθψY r R Y r R z z S Y r R S Y r R (),()(23)(),()(21211021211121--=χϕθχϕθ从ψ的表达式中可看出zL ˆ的可能值为 0 相应的几率为41 43 4=⇒z L zS ˆ的可能值为 2 2 - 相应的几率2i C 为41 4344324122-=⨯-⨯==∑zi i z S C S )4(422 -⨯-⨯-=--=μμμμe e S e L e M z z z B M e 4142=⨯= μ 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。
设两个单粒子态为i φ，j φ，则体系可能的状态为)()()(3211q q q i i i φφφ=Φ )()()(3212q q q j j j φφφ=Φ3123132231()()()()()()()()()]i i j i i j i i j q q q q q q q q q ϕϕϕϕϕϕϕϕϕΦ=++4123132231()()()()()()()()()]j j i j j i j j i q q q q q q q q q ϕϕϕϕϕϕϕϕϕΦ=++7.8 设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是221()2U r r μω=。
如果电子之间的库仑能和)(r U 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
解：体系的哈密顿算符为122223222221ˆˆˆ11ˆˆ2222i i i i i ij j ij H H H H T U r r r μωμωμμ==+⎛⎫∂=+=-∇+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭∑不考虑空间-自旋相互作用，电子波函数写为空间部分和自旋部分之积。
电子波函数的空间部分12(,)r r ψ满足定态S-方程1212ˆ(,)(,)H r r E r r ψψ=可以用分离变量法得到12(,)r r ψ为每个电子在每个空间维度的波函数之积12(,)()ij ijr r r ψψ=∏，ij ijE E =∑其中 22221()()22ij ij ij ij ij r r E r r μωψψμ⎛⎫∂-+= ⎪ ⎪∂⎝⎭即为一维谐振子势下的S-方程。
可得 ()1()2ijij nE n ω=+，()()ij nij ij r r ψψ=。
一个电子处于基态，即三个方向n j =0，波函数为000()()()x y z ψψψ 另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，1,0x y z n n n ===，波函数为100()()()x y z ψψψ。
总空间波函数为 010*********()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ'=或110101020202()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ''=考虑电子的全同性，电子为费米子，波函数要求满足交换反对称性。
所以空间波函数应为对称或反对称波函数。
1. 空间对称波函数12(,)()/s r r ψψψ'''=+总波函数为12(,)s A r r ψχ2. 空间反对称波函数12(,)()/A r r ψψψ'''=- 总波函数为12(,)1,2,3A Sr r αψχα=下面有01,ψψ的具体形式，不作要求。
)()()()(22r E r r U r ψψψμ=+∇-)()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+∂∂+∂∂+∂∂- )()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+∂∂+∂∂+∂∂- 考虑到 2222z y x r ++=，令)()()()(z Z y Y x X r =ψEXYZ XYZ z y x XYZ zy x =+++∂∂+∂∂+∂∂-)(21)(222222222222μωμ E z x Z Z y x Y Y x x X X =+∂∂-++∂∂-++∂∂-)2112()2112()2112(222222222222222μωμμωμμωμx E x x X X =+∂∂-⇒)2112(22222μωμ y E y x Y Y =+∂∂-)2112(22222μωμ z E z x Z Z =+∂∂-)2112(22222μωμ z y x E E E E ++=)()(2221x H e N x X n x n n αα-=⇒)()(2221y H e N y Y m y m m αα-=)()(2221z H eN z Z z αα -=)()()()(2221z H y H x H e N N N r m n r m n nm αααψα -= )()()()(2221z H y H x H eN N N r m n r m n nm αααψα -=ω )(23+++=m n E nm其中 !22/1n N n n πα=，μωα=对于基态0=== m n ，10=H22212/30000)()(rer απαψψ-==⇒对于沿χ方向的第一激发态01=== m n ，， x x H 2)1α=（22212/30000)()(re r απαψψ-==22214/32/5100122)(r xer απαψψ-==两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为))](()()([21),(2011211021r r r r r r S ψψψψψ+=][)(211)(2122/342221222212r r r r ex e x +-+-+=ααπα)(21122/3422212)(r r e x x +-+=απα)]()()()([21),(1120211021r r r r r r A ψψψψψ-=)(21122/3422212)(r r e x x +--=απα而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即)3(S )2(S )1(S χχχ、、和A χ综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 独态： A S r r χψ),(211=Φ三重态： ⎪⎩⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ)3(214)2(213)1(212),(),(),(S A S A S A r r r r r r χψχψχψ。