第11讲齐次线性方程组解的结构

线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。

线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。

线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。

线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。

线性空间是指一个能进行线性运算的集合。

线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。

线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。

首先，线性方程组的解是一个向量空间。

向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。

在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。

其次，线性方程组的解是一个子空间。

子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。

线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。

1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。

2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。

3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。

总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。

线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。

线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。

线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。

齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。

例：求线性方程组
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 3 x4 5 的通解．
x1 x2 5 x3 + 7 x4 0
1
解：容易看出
*
1
是方程组的一个特解
．
0
0 其对应的齐次线性方程组为
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 0 x4 0
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
(x1 ,x2 ,
b11
b21
,xnr
)
br 1
,1
0
0
b12 b22
br ,2 0 1
0
b1,nr
b2 , n r
br ,nr
0
0
1
n−r列
前r行 后n−r行
故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
br ,nr xn .
xr+1 1 0
令
xr
+2
0
,
1
,
xn
0 0
0
x1 b11 b12
,
0
，则
x2
,
b21
,
b22
,
1
xr br1 br2
b1,nr
,
b2,nr

性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs

r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2

1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0

0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )