第七章 缝隙流动

3. 流经圆环平面缝隙的流量
如图所示为液体在圆环平面缝隙间的流动。这里，圆环与平面之 间无相对运动，液体自圆环中心向外辐射流出。设圆环的大、小 半径为r2和r1，它与平面间的缝隙值为h，则由公式，并令u0=0， 可得在半径为r、离下平面z处的径向速度为
1 dp ur (h z )z 2 dr
§7-1 平行平板缝隙
如图所示为在两块平行平板所 形成的缝隙间充满了液体，缝 隙高度为h，缝隙宽度和长度 为b和l，且一般恒有b>>h和 l>>h。若缝隙两端存在压差 Δp=p1-p2，液体就会产生流动； 即使没有压差Δp的作用，如果 两块平板有相对运动，由于液 体粘性的作用，液体也会被平 板带着产生流动。
πdh0 πdh0 3 q (1 1.5 ) p u0 12 l 2
2
当内外圆之间没有轴向相对移动，即u0=0时，其流量公式为
πdh30 (1 1.5 ) q p 12 l
2
由上式可以看出，当ε =0时，它就是同心环形缝隙的流量公式； 当ε =1，即有最大偏心量时，其流量为同心环形缝隙流量的2.5倍。 因此在液压与气动元件中，为了减小缝隙泄漏量，应采取措施， 尽量使其配合处于同心状态。
同心环形缝隙间的液流 a）缝隙较小 b）缝隙较大
将b=πd代入，可得同心环形缝隙的流量公式
πdh3 πdh q0 p u0 12 l 2
当圆柱体移动方向与压差方向相反时，上式第二项应取负号。 若圆柱体和内孔之间没有相对运动，即u0=0，则此时的同心环形 缝隙流量公式为
πdh3 q0 p 12 l
经过整理并将
du 代入后有 dy
d 2 u 1 dp 2 dy dx

h

0 y h
很明显，只有在 u0
间才不会有液流通过。
h2 = p 时，平行平板缝隙 6 l
当平行平板间没有相对运动时，通过的液流纯由压 差引起，称为压差流动，其值为
bh p q 12 l
3
当平行平板两端不存在压差时，通过的液流纯
由平板运动引起，称为剪切流动，其值为
u0 q bh 2
1 dp 2 y C1 y C 2 2 dx
1、边界条件
y0
u u0
yh
u0
2、流速 y p dp y y u u0 1 1 h 2 dx h h
3、流量
bhu0 bh3 dp q b udy 0 2 12 dx
l>>h。
沿流动方向（x轴）列平衡方程如下
p pbdy ( p dx)bdy bdx ( dy)bdx 0 x y
p 化简后 x y
d dp dy dx
由牛顿粘性定律
du dy
d d 2u 2 dy dy
d 2u 1 dp 1 Δ p 2 dx l dy
任意过水断面上的速度是按抛物线规律分布的。
h y 2
u max
p 2 h 8 l
3、通过缝隙的流量
bh3 q p 12 l
4、平均流速
q h2 v p bh 12 l
5、平均流速与最大流速比
v umax 2 3
6、压力损失
12lv p 2 h 96 Re
6 u0 1 1 6 q 1 1 p2 p1 ( 2 2) ( ) btg h2 h1 tg h2 h1

第7章缝隙流动一、学习目的和任务1．掌握求解平行平板间缝隙流动、同心圆环缝隙流动问题的方法，分析缝隙大小对流量泄漏和功率损失的影响。

2．掌握平行圆盘间缝隙流动的特性以及圆盘对缝隙的作用力的计算。

3．了解变间隙宽度缝隙流动。

二、重点、难点重点：平行平板间缝隙流动、平行圆盘间缝隙流动难点：平行圆盘间缝隙流动求解方法、偏心圆盘缝隙流动在机械和液压装备中存在着充满油液的各种缝隙，如滑板与导轨间的缝隙、活塞与缸筒间的缝隙、轴与轴承间缝隙、齿轮泵中齿顶与泵壳之间的缝隙等。

这些缝隙流动对机械性能有很大的影响，特别是在液压传动中的影响更为显著。

液压泵、液动机、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动的问题。

缝隙过小则增大了摩擦，缝隙过大又会增加泄漏，所以缝隙大小的选择在液压元件设计中是一个重要问题。

本章主要介绍平行平板间的缝隙流、环形缝隙流、变间隙宽度中的流动、两平行圆盘间的缝隙流以及球面缝隙流。

由于缝隙一般很小，缝隙流动的雷诺数都不大，在大多数情况下缝隙流动可看作是层流。

7.1 平行平板间的缝隙流平行平板间流体运动微分方程导出方法有两种，一是由N －S 方程简化而来，二是基于牛顿力学的动力平衡分析，并且因坐标系选择不同，得出速度分布方程也有所不同，但结论在本质上无差异。

7.1.1 由N －S 方程简化分析平行平板间的缝隙流动是其他各种缝隙流动的基础，通常把流体两边的平面简化成水平放置的无限大平板。

如图7-1所示；设一平行平板缝隙流的平板长为L ，宽为B ，缝隙高度为h 。

下面s 首先应用N －S 方程来讨论平行平板间流体运动，首先粘性力处于主导地位，故惯性力可不计，即0===dtdu dt du dt du zy x ；因缝隙甚小，质量力可不计0x y z f f f ===；假定流动为一维流，即0==z y u u ，x u u =。

在上述条件下，由N－S 方程可得如下方程。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-0)(10)(10)()(1222222zu y u x u z v z p z u y u x u y v y p z u y u x u x v z u y u x u v x p zy zy zy ρρρ (7.1-1) 对于不可压缩流体0=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u z y ，又0==z y u u ，则⇒=∂∂0x u022=∂∂xu ，则上式进一步简化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-000)(12222zp y pz uy u v xp ρ (7.1-2) 图 7-1 平行平面缝隙流由式(7.1-2)知，压力p 仅为x 的函数，与y 和z 无关；即dxdpx p =∂∂；另外对于平行平面，单位长度上的压力损失是相同的，或者说压力减小服从线性分布规律，即Lpdx dp ∆-=（其中12p p p ∆=-）；再者，对于充分宽的平行平面，任意宽度坐标z 处的流动状态都是相同的，即0=∂∂zu。

第7章缝隙流动流体在缝隙中产生流动的原因：1、由于缝隙两端存在压强差，液体在压强差作用下产生流动。

称为压差流。

2、由于构成缝隙的壁面之间具有相对运动，粘性液体在剪切力的作用下产生流动。

称为剪切流。

§7-1 平行平板缝隙与同心环形缝隙在求出缝隙中流速分布规律的基础上，讨论缝隙流量的计算，以便分析和找出减少泄漏的途径。

一、缝隙中的速度分布考查平行平板缝隙中的一元、定常、平行流动。

缝隙尺寸如图。

B>>δ, l>>δ。

并建立如图坐标系。

从缝隙液流中取出宽度为一个单位，长度为dy，厚度为dz 的流体单元。

列出其y方向的力平衡方程：pdz+ ( τ+dτ) dy= ( p+ dp )dz + τdy整理得：dzd dy dp τ=dz d y υμτ=由切应力表达:得：dz dzd d y 22υμτ=代入得：dydp dz d y μυ122=2122C z C dy dp z y ++=μυ得：注意到与z 无关，则将上式对z 积分两次dydp由边界条件确定积分常数：1、当z = 0 时v y = 0 得C 2=02、当z = δ时v y = ±v 0将C 1 和C 2 代入得：δυμδ012±-=dy dp C 得:()z z z dy dp y δυδμυ021±-=上式为平行平板缝隙断面上的流速分布规律，包括压差流和剪切流。

分别呈二次抛物线和直线规律分布。

则得到：δυδμυz z z l p y 02)(2+-∆=——这就是平行平板的速度分布规律P361公式7-6如下图所示：假设流动为不可压缩流体的定常流动，且忽略质量力，则，压强只沿y 方向变化，且变化率为均匀的。

平行平板间的缝隙流动上图中（4）（3）与（1）（2）互成对称，所以完全不同的分布图形只有（1）（2）两种，（1）为压强差方向与平板运动方向一致的情况，（2）是压强差方向与平板运动方向相反的情况二、切应力与摩擦力()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∆=δυδμμτz z z l p dz d 022()δμυδ022+-∆=z l p δμυδτδδ02+∆-==l p z 上平板下表面切应力由得dz d yυμτ=和δυδμυz z z l p y 02)(2+-∆=则流体作用在平板上的切应力与摩擦力为它们的反作用力：δτδμυδτ-=-∆=02'l p 第一项：Bl B p Bl F μδυδτ02''-∆==2/δpB ∆压差合力的一半第二项：δυ/0速度梯度由上式可见，对运动平板的摩擦力也是由两种运动造成的，压差流所产生的摩擦力与压差的方向相同，而剪切流所产生的摩擦力则与V 0方向相反。