2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)

2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.若复数z=2i+4i−1，则z=()A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3.下列函数为奇函数的是()A. y=x3+3x2B. y=e x+e−x2C. y=xsinx D. y=log23−x3+x4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3a1+a2，则S4S2=()A. 2B. 3C. 4D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为A. 83B. 43C. 8D. 46.设函数f(x)=√3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)(|φ|<π2)，且图象关于直线x=0对称，则()A. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为增函数B. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数C. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为减函数7. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠DAB =60°，E 是BC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 在区间[0,5]上随机地取一个数x ，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为( )A. 25B. 15C. 12D. 149. 已知函数f(x)=log 2(2−ax)在区间[0,1]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (1,2)C. (0,2)D. (0,+∞)10. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −611. 在三棱锥D −ABC 中，已知AB =BC =AD =√2，BD =AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥D −ABC外接球的表面积为( )A. 6πB. 12πC. 6√3πD. 6√2π12. 函数f(x)=√3−x 2x−1的定义域是( )A. [−3,3]B. [−√3,√3]C. (1,√3]D. [−√3,1)∪(1,√3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某校从999个学生中，采用系统抽样的方法抽取27个学生参加某项活动，则抽样的分段间隔为__________．14. 直线y =3x +b 与函数f(x)=e x +x 的图象相切，则实数b =________． 15. 函数f(x)=x −1−lnx x 的零点为_________；最小值为_________．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y =√33(x +c)与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(1)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求△ABC 的面积； (2)若6cosA =a 2，且b =√3，求角A ．18.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位中抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．下面的临界值表仅供参考：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．20.已知圆x2+y2=9，A(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠PAQ=90°，M是PQ的中点．(1)求点M的轨迹曲线C的方程；(2)设E(92,12),D(12,12)对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点下，使|HE||HF|是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=e x−1−ax，g(x)=x(lnx−3)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对于任意x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2时，不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.己知函数f(x)=|x+m|+|2x−4|(m>0)的最小值等于3．(1)求m的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=3m，求√a+√b+√c的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义逐个判断即可．解：函数y=x3+3x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y=e x+e−x2是偶函数，排除B；函数y=xsinx是偶函数，排除C；函数y=log23−x3+x 的定义域是(−3,3)，且f(−x)=log23+x3−x=−f(x)，是奇函数，D正确．故选D．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．由S 3=3a 1+a 2，可得q 2=2，根据等比数列的前n 项和可得S4S 2=1+q 2，即可求解．解：由S 3=3a 1+a 2可得a 3=2a 1，所以q 2=2，又因为S4S 2=a 1+a 2+a 3+a 4a 1+a 2=1+a 3+a4a 1+a 2=1+q 2=3，故选B ．5.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和锥体体积． 解：由三视图可知，该几何体为放倒的四棱锥， 所以V =13×2√2×2×√2=83． 故选A ．6.答案：B解析：解：f(x)=√3cos(2x +φ)+sin(2x +φ)=2[√32cos(2x +φ)+12sin(2x +φ)] =2cos(2x +φ−π6)， ∵ω=2， ∴T =2π2=π，又函数图象关于直线x =0对称，∴φ−π6=kπ(k ∈Z)，即φ=kπ+π6(k ∈Z)， 又|φ|<π2， ∴φ=π6， ∴f(x)=2cos2x ，令2kπ≤2x ≤2kπ+π(k ∈Z)，解得：kπ≤x ≤kπ+π2(k ∈Z)， ∴函数的递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)， 又(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)， ∴函数在(0,π2)上为减函数，则y =f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数． 故选B将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x =0对称，将x =0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ(k ∈Z)，再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)，可得出(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)，即可得到函数在(0,π2)上为减函数，进而得到正确的选项． 此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．7.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，使用数量积的运算法则计算． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×cos60°=1， ∵E 是BC 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3． 故选：C ．8.答案：A解析：本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．根据已知条件，求出区间[0,5]的长度，及事件“1≤2x−1≤4”对应区间的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案． 解：在区间[0,5]的长度为5，因为1≤2x−1≤4，解之得1⩽x ⩽3，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为P =3−15−0=25． 故选：A ．9.答案：C解析：本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题． 由复合函数单调性及对数函数性质即可求解． 解：令y =log 2t ，t =2−ax ，∵2>1，则函y =log 2t 是增函数，则t 为减函数，需a >0且2−a >0，此时，0<a <2， 综上：实数a 的取值范围是(0,2)， 故选C ．10.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．11.答案：A解析：解：∵AB=BC=AD=√2，BD=AC=2，BC⊥AD，∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，AB⊥BC，AD⊥AB，∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；∴BD⊥BC，AD⊥AC，∵O为DC中点，∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，O为外接球的球心，半径R=12×√22+(√2)2=√62，∴三棱锥D−ABC外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π，故选：A．利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．本题综合考查了直线平面的垂直的判断性质定理，综合运用平面知识解决空间问题的能力．12.答案：D解析：本题考查函数定义域，属于基础题，由函数f(x)=√3−x2x−1有意义，列不等式组解得即可．解：要使函数f(x)=√3−x2x−1有意义，必须{3−x2≥0x−1≠0,解得−√3≤x≤√3且x≠1，∴函数f(x)=√3−x2的定义域是[−√3,1)∪(1,√3]．x−1故选D．13.答案：37解析：本题考查了系统抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．解：根据题意可知，=37，抽样的分段间隔为99927故答案为37．14.答案：2−2ln2．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，属于基础题．设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，求出函数的导数，根据直线y=3x+b与函数f(x)= e x+x相切，可得切点坐标P(ln2,2+ln2)，代入y=3x+b，可求得b的值．解：设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，∵f(x)=e x+x，∴f′(x)=e x+1，因为直线y=3x+b与函数f(x)=e x+x相切，∴e x0+1=3，解得x0=ln2，∴y0=e ln2+ln2=2+ln2，∴P(ln2,2+ln2)，又P(ln2,2+ln2)在直线y=3x+b上，∴2+ln2=3×ln2+b，∴b=2−2ln2．故答案为2−2ln2．15.答案：1；0解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题．求出导数研究单调性即可求解．解：因为f(x)=x−1−lnxx，所以f′(x)=1−1−lnxx2=x2+lnx−1x2，当0<x<1时，x2−1<0,lnx<0，所以f′(x)<0；当x>1时，x2−1>0,lnx>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，零点为1，故答案为1；0．16.答案：√3+1解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件判断三角形的性质，结合双曲线的定义建立方程是解决本题的关键．根据直线斜率和倾斜角的关系，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|，|PF1|，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．解：如图所示，直线PF1的斜率k=√33，则对应的倾斜角为30°，即∠PF1F2=30°，则∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2=60°，即∠F 1PF 2=90°，∴|PF 2|=c ，|PF 1|=√3c ，由双曲线的定义可得：|PF 1|−|PF 2|=2a ，则√3c −c =2a ，即c a =3−1=2(√3+1)2=√3+1即双曲线的离心率e =√3+1，故答案为√3+1．17.答案：解：△ABC 中中，角A ，B ，C 成等差数列，∴2B =A +C ，又A +B +C =π，∴B =π3；(1)由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得a ⋅c ⋅cosB =ac ⋅cos π3=1，∴ac =2；∴△ABC 的面积为：S △ABC =12ac ⋅sinB =12×2×sin π3=√32； (2)由正弦定理得，a sinA =b sinB =√3sin π3=2，∴a =2sinA ，∴6cosA =a 2=4sin 2A =4(1−cos 2A)，整理得2cos 2A +3cosA −2=0，解得cosA =12或cosA =−2(不合题意，舍去)，又A ∈(0,π)，∴A =π3．解析：(1)由题意求出B =π3，再根据平面向量的数量积和三角形面积公式求面积的值；(2)由正弦定理求得a =2sinA ，代入6cosA =a 2求出cos A 的值，即可得出A 的值．本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题． 18.答案：解：(1)列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性20525女性101525合计302050(2)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值k=50×(20×15−10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．解析：(1)利用所给数据，即可得到列联表；(2)利用公式求得K2的观测值k，与临界值比较，即可得到结论．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(1)证明：∵AD=DM=2，CM=BC=2，∠ADM=∠BCM=90°，∴AM=BM=2√2，又AB=4，∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．∴AD⊥BM，AD∩AM=A，AD,AM⊂平面ADM，∴BM⊥平面ADM，∵BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)解：取AM的中点F，连接DF，CF，则，DM=MC=2，DC=√DF2+CF2=2√3，∴S△DMC=√3，设点E到平面DMC的距离为d，则V E−DMC=12V B−DMC=12V D−BMC=12×13S△BMC×ℎ=16×2×√2=√23，∴d=3V E−DMCS△DMC =√63．解析：本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)证明：BM⊥平面ADM，即可证明平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E 为线段DB 的中点，利用等体积方法求点E 到平面DMC 的距离．20.答案：解：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=12|PQ|=|PM|=√9−|OM|2， 化简得：x 2+y 2−x −y −72=0，即(x −12)2+(y −12)2=4；(2)E(92,12),D(12,12)，直线ED 的方程为y =12， 假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，|HE|2=(x −92)2+(y −12)2=(x −92)2+4−(x −12)2=24−8x ， |HF|2=(x −t)2+(y −12)2=(x −t)2+4−(x −12)2=(1−2t)x +t 2+154． 当|HE||HF|是常数时，(HE HF)2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数， ∴1−2tt 2+154=−824，解得t =32或t =92(舍)． ∴存在F(32,12)满足条件．解析：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=|PM|=√9−|OM|2，代入点的坐标整理即可得到点M 的轨迹曲线C 的方程；(2)写出直线ED 的方程为y =12，假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，分别写出|HE|2与|HF|2，得到(HE HF )2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数，可得1−2t t 2+154=−824，由此求得t 值，可得存在F(32,12)满足条件．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算能力，是中档题． 21.答案：解：(1)f′(x)=e x−1−a ，当a ≤0时，f′(x)>0，此时，函数f(x)在R 上单调递增．当a >0时，f′(x)>0，解得x >1+lna ；f′(x)<0，解得x <1+lna ．∴函数f(x)在(−∞,1+lna)上单调递减，在(1+lna,+∞)上单调递增．(2)不等式f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)恒成立，∴不等式f(x 1)−g(x 1)<f(x 2)−g(x 2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax −xlnx +3x ．由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．∴F′(x)=e x−1−a−lnx+2≥0，即：a≤e x−1−lnx+2．令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，ℎ′(x)=e x−1−1x在R上单调递增，且ℎ′(1)=0．∴函数ℎ(x)在x=1处取得极小值，即最小值，ℎ(1)=3．∴a≤3．∴实数a的取值范围是(−∞,3]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)f′(x)=e x−1−a，对a分类讨论即可得出单调性．(2)不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，∴不等式f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax−xlnx+3x.由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．可得F′(x)≥0，即：a≤e x−1−lnx+2.令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，利用导数研究其单调性即可得出．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)的最小值在x =−m 或x =2处取得，若x =−m 时取到最小值3，则f(−m)=|−2m −4|=3，解得m =−12或m =−72，舍去，若x =2时取到最小值3，则f(2)=|2+m|=3，解得m =1或m =−5，舍去，当m =1时，f(x)=|x +1|+|2x −4|，于是f(−1)=|−1+1|+|−2−4|=6>3成立，综上，m =1；(2)由上知a +b +c =3，于是√a +√b +√c =√1⋅a +√1⋅b +√1⋅c≤1+a 2+1+b 2+1+c 2=3+a+b+c 2=3+32=3，当且仅当a =b =1时取等号，∴√a +√b +√c 的最大值为3．解析：本题考查了绝对值不等式以及基本不等式，属于中档题．(1)对x 进行分类利用分段函数表示出f(x)，由最小值为3得出m 的值；(2)利用基本不等式求出最值即可．。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|4x 2−3x ≤0}，B ={x|y =√2x −1}，则A ∩B =( )A. [0,34]B. ⌀C. [0,12]D. [12,34]2. 设复数z =4−2i7−3i ，则复数z 的虚部为( )A. −1729B. 1729C. −129D. 1293. 为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4. 若双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√133，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√22x C. y =±23xD. y =±32x5. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n <2019，则输出A 的值为( )A. 12 B. 2 C. −1 D. −26. 《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1丈=10尺．)A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=769，若a2=83，则数列{a n}的公比为()A. 12B. 13C. 23D. 348.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331611.记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6=18，S11=121.若3a2，a14，S m成等比数列，则a m=()A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知首项为1的数列{a n}满足a n+1=5a n−9，则数列{a n}的通项公式为a n=______．15.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2,π]上的取值范围为______．16.已知函数f(x)=x3−6x2+11x−3，若直线l与曲线y=f(x)交于M，N，P三点，且|MN|=|NP|，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，∠BAC=π4，AB=2，BC=√172，M是线段AC上的一点，且tan∠AMB=−2√2．(Ⅰ)求AM的长度；(Ⅱ)求△BCM的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知△PF 1F 2中，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|.(Ⅰ)求点Q 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若点M ，N 在曲线E 上，且M ，N ，F 1三点共线，求△F 2MN 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =3+3sinθ(θ为参数)，点M 是曲线C 上的任意一点，将点M 绕原点O 逆时针旋转90°得到点N.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点N 的轨迹C′的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线y =−√33x(y >0)与曲线C ，C′分别交于点A ，B ，点D(−6,0)，求△ABD的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|+|3x+5|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m≤2x2+|3x+5|在R上恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：依题意，A={x|4x2−3x≤0}={x|0≤x≤34}，B={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，故A∩B=[12,34 ]．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i58=1729−129i，∴复数z的虚部为−129．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得n=1，A=12满足条件n<2019，执行循环体，A=−1，n=2满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=3满足条件n<2019，执行循环体，A=12，n=4…观察规律可知A的取值周期为3，且2018=672×3+2，可得n=2018时，满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=2019此时，不满足条件n<2019，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：进行分割如图所示，故V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−PQFD1)+V BCGH−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=769，a2=83，∴83q+83+83q=769，解得：q=23，或32(舍去)．则数列{a n}的公比为23．故选：C．设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，由S3=769，a2=83，可得：83q+83+83q=769，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：S=2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得E(−1,y2)，可得k EF=y2−1−1=4，所以y2=−8，将y2=−8代入抛物线中，64=4x2，x2=16，及B(16,−8)，所以k BF=16−1−8=−158，所以直线AB的方程为：y=−158(x−1)，与抛物线联立可得225x2−706x+225=0，所以x1x2=1，所以x1=116，所以|AF|=x1+1=1716，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，由a4+a6=18，可得2a1+8d=18，即a1+4d=9，由S11=121，可得11a1+55d=121，即a1+5d=11，解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1，S n=12n(2n−1+1)=n2，若3a2，a14，S m成等比数列，则a142=3a2S m，即为272=9m2，可得m=9，则a m=a9=17．故选：C．等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4，根据三角函数的值cos34>sin34，则c=43cos34>b=43sin34，由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−5n 4+94【解析】解：∵a n+1=5a n −9， ∴a n+1−94=5(a n −94)，又a 1−94=−54，∴数列{a n −94}是首项为−54，公比为5的等比数列， ∴a n −94=(−54)×5n−1=−5n 4，∴a n =−5n 4+94，故答案为：−5n 4+94．由a n+1=5a n −9可得a n+1−94=5(a n −94)，所以构造出等比数列{a n −94}，再利用等比数列的通项公式即可求出a n ．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x −6×1−cos2x2+3=3√3sin2x +3cos2x=6(√32sin2x +12cos2x)=6sin(2x +π6)，当π2≤x ≤π时，π≤2x ≤2π，7π6≤2x +π6≤13π6，则当2x +π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sin π6=6×12=3，当2x +π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin 3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]， 故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.【答案】(2,3)【解析】解：函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，若直线l 与曲线y =f(x)交于M ，N ，P 三点，且|MN|=|NP|，所以N 是MP 的中点， 因为函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，可得f′(x)=3x 2−12x +11，f″(x)=6x −12，令f″(x)=6x −12=0，解得x =2， 此时f(2)=3，所以函数的对称中心的坐标(2,3)． 所以N(2,3)， 故答案为：(2,3)．利用已知条件说明N 是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan∠AMB =−2√2；∴sin∠AMB =2√23，cos∠AMB =−13；由正弦定理，BMsin∠A =ABsin∠AMB，即BM√22=22√23，解得BM=32；由余弦定理，cos∠AMB=AM2+BM2−AB22AM⋅BM ，即−13=AM2+94−42×AM×32，解得AM=√2−12；(Ⅱ)∵cos∠CMB=cos(π−∠AMB)=−cos∠AMB=13，∴sin∠CMB=2√23，在△BCM中，由余弦定理，有BC2=BM2+CM2−2BM⋅CM⋅cos∠CMB∴CM=2，∴S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB=12×32×2×2√23=√2．【解析】(Ⅰ)先求出∠AMB的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM的长；(Ⅱ)利用正弦定理求出sin∠CMB的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB求出△BCM的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.【答案】解：(1)取AB的中点E，连接PE，DE，∵AB=2CD=2，∴DC=BE，又∠ABC=∠BCD=90°，∴DC//BE，则四边形DCBE为平行四边形，可得BC//DE．∵DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，则BC//平面PDE；(2)∵BC⊥PD，BC⊥CD，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又BC⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，可得PF⊥平面ABCD，在Rt△PFA与Rt△PFD中，∵PA=PD，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD =V B−PAD ，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，可证四边形DCBE 为平行四边形，得BC//DE ，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE ；(2)由已知证明BC ⊥平面PCD ，可得平面PCD ⊥平面ABCD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ，得PF ⊥平面ABCD ，求解三角形求得AF =DF =PF =1，再由等体积法求点B 到平面PAD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K 2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关． (2)表2中的数据整理如下， ∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)． (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟， 当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设Q(x,y)，y ≠0，∵|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|，∴|PF 1|=4=|QF 1|+|QF 2|>|F 1F 2|=2 ∴点Q 为焦点在x 轴上，长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆上的点，且b 2=4−1=3，∴点Q 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1(y ≠0)；(Ⅱ)设直线MN 的方程为x =ky +1，联立{x =ky +1x 24+y 23=1可得(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4． ∵|MN|=√1+k 2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12(k 2+1)3k 2+4，点F 2到直线MN 的距离d =2√1+k 2，∴S △MNF 2=12|MN|⋅d =12√k 2+13k 2+4，令√k 2+1=t ≥1，则S △MNF 2=12t3t 2+1=123(t+13t)在[1,+∞)上单调递减，故当t =1也即k =0时，△F 2MN 面积的最大值为3．【解析】(Ⅰ)先设点Q 的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；(Ⅱ)先设出直线MN 的方程与椭圆方程联立求得y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4，进而求得|MN|与点F 2到直线MN 的距离d ，找出△F 2MN 面积的表达式，最后解决其最值问题． 本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C的普通方程为x2+(y−3)2=9，即x2+y2−6y=0，整理可得：ρ2=6ρsinα，故曲线C的极坐标方程为ρ=6sinα，设N(ρ,φ)，则M(ρ,φ−π2)，则有ρ=6sin(φ−π2)=−6cosφ，故点N的轨迹C′的极坐标方程为ρ=−6cosφ．(Ⅱ)曲线y=−√33x(y>0)的极坐标方程为θ=5π6(ρ>0)，D到曲线θ=5π6的距离为d=6sinπ6=3，曲线θ=5π6与曲线C交点A(3,5π6)，曲线θ=5π6与曲线C′交点B(3√3,5π6)，∴|AB|=3√3−3，故△ABD的面积S=12×|AB|×d=9√3−92．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x−1|+|3x+5|>8，当x<−53时，原式化为1−x−3x−5>8，解得x<−3，故x<−3，当−53≤x≤1时，原式化为1−x+3x+5>8，解得x>1，故无解，当x>1时，原式化为x−1+3x+5>8，解得x>1，故x>1，综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)．(Ⅱ)依题意，|x−1|+|3x+5|+m≤2x2+|3x+5|，则|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ， 即{2x 2+x −(m +1)≥02x 2−x +(1−m)≥0， 则只需{1+8(m +1)≤01−8(1−m)≤0，解得m ≤−98，∴实数m 的取值范围是(−∞,−98]．【解析】(Ⅰ)依题意，|x −1|+|3x +5|>8，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)依题意可得|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知i为虚数单位，则（）A．i B．i C．i D．i2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁R B）＝（）A．∅B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣1，1]3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（）A．B．C．1D．1或54．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（）A．2B．C．4D．25．已知函数f（x），在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（）A．1B．2C．3D．46．下列命题为真命题的个数是（）①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；②若•0，则或；③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；④函数f（x）是偶函数．A．1B．2C．3D．47．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（）A．B．C．D．8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）与直线y＝x 有一个交点（1，f（1）），则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝（）A．﹣2B．0C．﹣1D．112．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2，则该椭圆方程为（）A．1B．1C．1D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y在x＝1处的切线方程为．14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．15．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5﹣1，则公比q＝．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点均在表面积为的同一球面上，AB＝AC＝BC＝4，则这个三棱柱的高是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20～55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n．（1）求频率分布直方图中m，n的值：（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos A sin B＝sin A+2sin C．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形且AD＝2AB＝4，平面PAD ⊥平面ABCD，且△PAD是正三角形，E是AD的中点．（1）证明：CE⊥平面PBE；（2）求点E到平面PBC的距离．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F作互相垂直的两条直线11，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值．21．已知函数f（x）＝a（x﹣e）e x﹣1（a∈R），g（x）＝﹣x﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1且x＞1时，求证：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（1）写出曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程．（2）若直线1与曲线C相交于A，B两点，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则（）A．i B．i C．i D．i【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：原式i．故选：C．2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁R B）＝（）A．∅B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣1，1]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．解：，∴，．故选：B．3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（）A．B．C．1D．1或5【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．解：由（1，λ），（﹣2，3），则2（5，λ﹣6），又∥（2），所以（λ﹣6）﹣5λ＝0，解得λ．故选：A．4．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（）A．2B．C．4D．2【分析】根据所给双曲线的方程和离心率求出m即可解：因为e2，所以m＝12，则y2＝1的焦距为22，故选：D．5．已知函数f（x），在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用等差数列的性质求出a8，然后利用分段函数求解函数值即可．解：在等差数列{a n}中，a7＝7，a9＝11，可得a89，所以f（a8）＝f（9）＝1+log39＝3．故选：C．6．下列命题为真命题的个数是（）①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；②若•0，则或；③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；④函数f（x）是偶函数．A．1B．2C．3D．4【分析】根据函数，向量，整数，命题的基本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答案．解：对于（1）中，当x时，x2＝2为有理数，故错；对于（2）若•0，可以有，故错；对于（3）∵命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“是真命题，则它的逆否命题为真命题，故对；对于（4）∵f（﹣x）f（x），且函数定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，则函数f（x）是偶函数，故对，综上真命题有2个故选：B．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用三角函数的定义可得cos（α），sin（α）的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cosα的值．解：∵角α的终边按顺时针方向旋转后得到的角为α，由三角函数的定义，可得cos （α），sin（α），∴cosα＝cos（α）＝cos（α）cos sin（α）sin（）．故选：D．8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（）A．B．C．D．【分析】从中任意选取2人，基本事件总数n10，这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，由此能求出这2人都会颠足球的概率．解：5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，基本事件总数n10，这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，∴这2人都会颠足球的概率p．故选：A．9．函数f（x）＝x2﹣x sin x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数，可排除B，利用导数研究可知当x＞0时，f（x）＞0，且f （x）单调递增，可排除C、D，由此得出正确选项．解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣x sin x＝f（x），且定义域为R，∴f（x）为偶函数，故排除选项B；f（x）＝x（x﹣sin x），设g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴g（x）单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项C、D；故选：A．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可分别以CA，CB，CC1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可得出C，D，B，E的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线BE与CD所成的角的余弦值．解：可知CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：C（0，0，0），B（0，4，0），A（4，0，0），D（2，2，0），E（0，2，5），∴，∴，∴异面直线BE与CD所成的角的余弦值为．故选：C．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）与直线y＝x 有一个交点（1，f（1）），则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝（）A．﹣2B．0C．﹣1D．1【分析】根据题意，分析可得f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，据此可得f（1）＝﹣f（3），f（2）＝﹣f（4）＝0，结合函数的周期性可得f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝f（1）+f（2）+f（3），计算可得答案．解：根据题意，f（x﹣1）为偶函数，函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，则有f （﹣x）＝f（x﹣2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（x+2）＝﹣f（x），则f（1）＝﹣f（3），f（2）＝﹣f（4）＝0，故f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝f（1）+f（2）+f（3）＝f（2）＝0；故选：B．12．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2，则该椭圆方程为（）A．1B．1C．1D．1【分析】由以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，可得AP⊥PF1，若F2B ∥AP，所以F2B⊥BF1，所以△F1F2B是等腰直角三角形，cos45°，可得a，b，c的值可得椭圆的方程．解：设椭圆的半个焦距为c，因为点P在以线段F1A位直径的圆上，所以AP⊥PF1，因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是|F2B|＝|BF1|＝a，cos45°，|F1A||AP|，可得a+c（2），解得：a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆的方程为：1，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y在x＝1处的切线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点的纵坐标和切点处的导数，最后代入点斜式求出切线方程．解：由已知，∴．所以切线方程为，即：x+2y﹣3＝0．故答案为：x+2y﹣3＝014．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．解：作出可行域如图，由z＝2x+2y知，y＝﹣2x+z，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得M（，）．结合可行域可知当动直线经过点M（，）时，目标函数取得最大值z＝2．故答案为：．15．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5﹣1，则公比q＝2或﹣1．【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．解：由题意可得q≠1，因为a1＝1，且S4＝a5﹣1，所以，则可得（1﹣q4）（2﹣q）＝0，故q＝2或q＝﹣1．故答案为：2或﹣116．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点均在表面积为的同一球面上，AB＝AC＝BC＝4，则这个三棱柱的高是8．【分析】由外接球的表面积求出球的半径R，计算△ABC外接圆的半径r；判断三棱柱为直三棱柱，再利用勾股定理求出三棱柱的高．解：外接球的表面积为S＝4πR2，解得R；因为AB＝AC＝BC＝4，所以△ABC外接圆的半径为：r；又三棱柱的各个顶点在同一球面上，所以该三棱柱是直三棱柱，如图所示；所以三棱柱的高是：h＝228．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20～55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n．（1）求频率分布直方图中m，n的值：（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出m，n．（2）由频率分布直方图能求出该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．解：（1）由频率分布直方图得：，解得m＝0.04，n＝0.02．（2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为：（22.5×0.01+27.5×0.03+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.03+47.5×0.02+52.5×0.01）×5＝36.25．∵（0.01+0.03+0.06）×5＝0.5，∴该班级这次月考语文作文分数的中位数为35．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos A sin B＝sin A+2sin C．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．【分析】（1）由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin A+2sin A cos B＝0，结合sin A≠0，可求得cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理即可解得b的值．解：（1）∵2cos A sin B＝sin A+2sin C＝sin A+2sin（A+B）＝sin A+2sin A cos B+2sin B cos A，∴sin A+2sin A cos B＝0，∵sin A≠0，∴1+2cos B＝0，解得cos B，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵a＝2，△ABC的面积为2，∴ac sin B c×sin2，解得c＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得b2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形且AD＝2AB＝4，平面PAD ⊥平面ABCD，且△PAD是正三角形，E是AD的中点．（1）证明：CE⊥平面PBE；（2）求点E到平面PBC的距离．【分析】（1）连接PE，CE，证明BE⊥CE，PE⊥平面ABCD，CE⊥BE，于是由线面垂直的判定可得CE⊥平面PBE；（2）求解三角形求出三角形PBC的面积与三角形BEC的面积，再由等体积法求点E 到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：∵ABCD为矩形且AD＝2AB，E为AD的中点，∴△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC，得∠BEC，∴BE⊥CE．连接PE，△PAD是等边三角形，E是AD的中点，∴PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD．∴PE⊥平面ABCD．又CE⊂平面ABCD，∴CE⊥PE．又BE∩PE＝E，BE，PE⊂平面PBE．∴CE⊥平面PBE；（2）解：∵AD＝2AB＝4，侧面PAD是正三角形，E是AD的中点，∴AE＝DE＝2，∴由勾股定理可得BE＝CE，PE，PB＝PC．∴，设点E到平面PBC的距离为h，由V P﹣BEC＝V E﹣PBC，得，即h．∴点E到平面PBC的距离为．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F作互相垂直的两条直线11，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值．【分析】（1）由题意可知，所以p＝4，从而得到抛物线C的方程；（2）显然直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD 的斜率为，所以直线AB的方程为y＝k（x﹣2），与椭圆方程联立，利用韦达定理得到点M的坐标，同理可得点N的坐标，进而求出|NF|，|MF|，再利用基本不等式即可求出|MF|•|NF|的最小值．解：（1）因为抛物线C上的点到准线的最小距离为2，所以，解得p＝4，故抛物线C的方程为：y2＝8x；（2）由（1）可知焦点为F（2，0），由已知可得AB⊥CD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，故直线AB的方程为y＝k（x﹣2），联立方程，消去x得：ky2﹣8y﹣16k＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为M（x M，y M）为弦AB的中点，所以，由y M＝k（x M﹣2），得，故点M（，），同理可得：N（4k2+2，﹣4k），故|NF|4，|MF|，所以|MF|•|NF|41616（|k|）≥1632，当且仅当|k|，即k＝±1时，等号成立，所以|MF|•|NF|的最小值为32．21．已知函数f（x）＝a（x﹣e）e x﹣1（a∈一、选择题），g（x）＝﹣x﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1且x＞1时，求证：f（x）＞g（x）．【分析】（1）由题意，得f′（x）＝ae x﹣1（1+x﹣e），分a＞0，a＜0，a＝0三类讨论，即可得到函数f（x）的单调性；（2）利用分析法，要证f（x）＞g（x），即证（x﹣e）e x﹣1＞﹣x﹣1，即证得1，设p（x），利用导数可得p（x）在（1，+∞）上单调递增，从而得到p（x）＞p（1）1，即1成立．解：（1）由题意，得f′（x）＝a[e x﹣1+（x﹣e）e x﹣1]＝ae x﹣1（1+x﹣e）…1分①若a＞0，令f′（x）＞0，得x＞e﹣1，令f′（x）＜0，得x＜e﹣1故函数f（x）在（﹣∞，e﹣1）上单调递减，在（e﹣1，+∞）上单调递增；…2分②若a＜0，令f′（x）＞0，得x＜e﹣1，令f′（x）＜0，得x＞e﹣1故函数f（x）在（﹣∞，e﹣1）上单调递增，在（e﹣1，+∞）上单调递减；…3分③若a＝0，令f（x）＝0，为常量函数，不存在单调性…4分（2）证明：当a＝1时，f（x）＝（x﹣e）e x﹣1，则证f（x）＞g（x），即证（x﹣e）e x ﹣1＞﹣x﹣1，不等式两端同时除以e x，即证，得1，…5分记函数p（x），则p′（x）．设q（x）•e x﹣x， (6)当x＞1时，q′（x）＝e x﹣1﹣1＞0，所以函数q（x）在（1，+∞）上单调递增．所以当x＞1时，q（x）＞q（1）•e1﹣1＝0…8分所以p′（x）＞0，所以函数p（x）在（1，+∞）上单调递增．所以p（x）＞p（1）1，即1成立，故f（x）＞g（x）得证…12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．（1）写出曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程．（2）若直线1与曲线C相交于A，B两点，求△OAB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为，（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．直线l的极坐标方程为ρsin（θ），整理得转换为直角坐标方程为x+y﹣3＝0．（2）由于原点（0，0）到直线x+y﹣3＝0的距离d，所以|AB|＝2，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤7的解集；（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，求实数a的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（x0）min≤|3﹣a|，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤7即|x﹣1|+|x+2|≤7，等价为或或，解得1≤x≤3或﹣2＜x＜1或﹣4≤x≤﹣2，则原不等式的解集为[﹣4，3]；（2）∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，可得f（x0）min≤|3﹣a|，由|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|，当（x﹣a）（x+2）≤0时，取得等号．则|a+2|≤|3﹣a|，即为a2+4a+4≤a2﹣6a+9，解得a，可得实数a的取值范围为（﹣∞，]．。

2020届百师联盟全国高三模拟考（一）全国Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 2．已知集合{}20,2131x A x B x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭则()R C A B ⋂（ ）A ．[]1,2B ．()[),21,2-∞-UC ．()[],21,2-∞-⋃D ．(]1,2【答案】C【解析】解不等式确定集合,A B 中的元素，再由集合的运算法则计算． 【详解】由201x x +≤-得(2)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，∴21x -?，即[2,1)A =-，又{|2}(,2]B x x =≤=-∞，∴(,2)[1,)R A =-∞-+∞U ð，()(,2)[1,2]R A B =-∞-I U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 3．已知命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．[]02,2x ∃∉-，2430x x -+<B ．[]02,2x ∀∉-，2430x x -+<C ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+< D ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+≥【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥的否定是：:p ⌝[]2,2x ∀∈-，2430x x -+<.故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值， 5sin sin 1246ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和的正弦公式计算即可. 【详解】Q α为锐角，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin 45απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴51sin sin cos 1246424ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆()22314x y +-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．2 C 23D 6【答案】C【解析】先根据双曲线的方程求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，代入221be a=+.【详解】渐近线方程为0bx ay -=，2232ar a b ==+，2213b a ∴=，222313b e a ∴=+=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C【解析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．【详解】由32sin()()xx xf x f xe-+-==-，知()f x为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe-=<，排除C；322732sin3822fe-⎛⎫=>⎪⎝⎭，排除A．故选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D【解析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．12．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x ex a->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数xe y a=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题13．已知a =ra r 在b r ，则a r 与b r的夹角为_________.【答案】6π 【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】a r 在b r方向上的投影为cos ,cos ,2a a b a b <>=∴<>==r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．14．抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】2y =-【解析】根据题意先求出p 的值，然后再写出准线方程即可. 【详解】焦点到准线的距离为4p =，准线方程为22py =-=-. 故答案为：2y =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.15．已知ABC ∆内角、、A B C 的对边分别为,4,a b c a b ABC ==∆、、外接圆的面积为4π，则ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角,A B ，从而有C ，于是可得三角形边长，可得面积． 【详解】设外接圆半径为r ，则24,2S r r =π=π=，由正弦定理24sin sin a b r A B ===，得sin ,sin 12A B ==，,,,326A B C πππ∴===∴2c =，a =12S ac ==．故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.【答案】14π【解析】设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，∴2r ==当1x =时，2min min 2,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭表． 故答案为：14π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．三、解答题17．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为213a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T. 【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn + 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出1a 和d 的值，进而写出通项公式即可； （2）()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题得()23213177137492a a a a a S ⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-； （2）令()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111112113355721212121n n T n n n n =-+-+-+-=-=-+++. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，PE ⊥面ABCD ，3AD AE =，22AB BC AE ===，3PC =.（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求三棱锥C PAE -的体积.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）23. 【解析】（1）取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，易得//AB CQ ，//QF AP ，然后可证面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ；（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，分别求出EC ，PE 的长度，在梯形ABCD 中，作EH BC ⊥于H ，再求出EH 的长度，利用等体积法C PAE P ACE V V --=计算得解.【详解】（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB ， 证明如下，取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，//AD BC Q ，3AD AE =，2BC =，2AE =，AQ BC ∴=，即易得//AB CQ ，AB Ì面PAB ，CQ ⊄面PAB ， 所以//CQ 面PAB ，同理可得//QF AP ，AP ⊂面PAB ，QF Ë面PAB ， 所以//QF 面PAB ，又CQ QF Q ⋂=，CQ ，QF ⊂面CQF ，所以面//CQF 面PAB ，又CF ⊂面CQF ，所以//CF 面PAB ； （2）过E 作//EH AB 交BC 于H ，PE ⊥Q 面ABCD ，2ABC π∠=，EH BC ∴⊥在Rt PEC ∆中，225EC EH HC +=222PE PC EC +=， 所以11121223323C PAE P ACE ACE V V S PE --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证法，考查利用等体积法求三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计100（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？ （2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率. 附：()20P K k ≥0.050 0.0100.001()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）没有；（2）1021. 【解析】（1）（i ）根据题意补全22⨯列联表； （ii ）代入数据计算2K ，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】 （1）（i ）（ii ）由22⨯列联表得()2210035261425 5.229 6.63560404951K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”； （2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为735549⨯=，女用户人数为714249⨯=， 男用户编号a ，b ，c ，d ，e ，女用户编号m ，n ，则抽取的两位幸运用户有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c e ，(),c m ，(),c n ，(),d e ，(),d m ，(),d n ，(),e m ，(),e n ，(),m n ，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为1021，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为1021. 【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点为12F F 、，点P 为C 上任意一点，若1PF 的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点2F 与C 交于P Q 、两点，在x 轴上是否存在定点A ，使22PAF QAF ∠=∠成立，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；详见解析【解析】（1）由椭圆的性质得3,1a c a c +=-=，解得,a c 后可得b ，从而得椭圆方程； （2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n ，当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入AP AQ k k +＝0由恒成立问题可求得n ．验证l 斜率不存在时也适合即得． 【详解】解：（1）由题易知1max 1min31PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 方程为22143x y +=（2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-与椭圆方程联立得()22224384120kx k x k +-+-=，显然>0∆所以221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++ 因为22,0AP AQ PAF QAF k k ∠=∠∴+=()()()()()()1221121212110k x x n k x x n y yx n x n x n x n --+--∴+==---- 化简()()()222121222281824682120,0434343n k k n nk x x n x x n k k k --+-+++=∴-+=+++ 解得6240n -=即4n =所以此时存在定点()4,0A 满足题意 当直线l 斜率不存在时，()4,0A 显然也满足综上所述，存在定点()4,0A ，使22PAF QAF ∠=∠成立 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法． 21．已知函数1()ln 1a f x x x+=-+，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）若当0x >，()3f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1ln 214y x =++；（2）(],1e -∞--. 【解析】（1）先求导，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，对a 进行分类讨论， 求()f x 的最小值，解不等式求出范围即可. 【详解】（1）当2a =-时，1()ln 1f x x x=++，21()x f x x -'=，1(2)4f '∴=，()32ln 22f =+，所以切线方程为1ln 214y x =++；（2）当0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，()21'()1x a f x x ++=+，当1a ≥-时，即10a --≤，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上增，无最小值，舍去， 当1a <-时，即10a -->，()0f x '>，得1x a >--，()0f x '<，得01x a <<--， 此时()f x 在()1,1a ---上减，在()1a --+∞,上增，即()()min ()12ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤--， 综上(],1a e ∈-∞--. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12:12x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2211x y -+=（21 【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=（2）点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t将12:1x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与22:20C x y x +-=联立得)21212110,1,1t t t t t t +++=∴+=⋅=120,0t t ∴<<12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题． 23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）114m ≤-【解析】（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为2321m x x x ≤++--，求出2()321g x x x x =++--在3[,)2-+∞上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值． 【详解】解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩， 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数，∴当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．。

百校联盟2020年4月高考文科数学模拟试卷文科数学试题一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）二、填空题13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案与详解一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。

○…………外…………○学○…………内…………○2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷（全国I 卷)文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．()()()1232i i i -+-=（ ） A ．113i + B ．93i + C ．113i -+D ．93i -+3．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>4．某学校有高中学生2200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700、700、800.为调查学生参加“春游活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为110的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30B ．35C ．38D ．405．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．…………○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※…………○…………装…………○…………订…6．cos525=（ ） A ．4-B ．4C ．4D ．4- 7．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A ．()4,6B ．()4,6--C ．1313⎛ ⎝⎭D ．,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．3……○…………订…………______班级：___________考号：_________……○…………订…………10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A B C ．12D 11．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．函数()11xe f x x+=+的图象在0x =处的切线方程为______.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F A 、B （B 在右侧），2AF 的中点为D ，若2BD AF ⊥，则该双曲线的离心率是______.15．第七届世界军人运动会（以下简称武汉军运会）专题新闻发布会在武汉举行，武汉军运会会徽、吉祥物正式公布.武汉军运会将于2019年10月1827日举行，赛期10天.若将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆至少2名志愿者，则其中志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆的概率为______. 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若sin 2n a n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2019S 的值为_________. 三、解答题17．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，…………订…………班级：___________考号：_______…………订…………每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.18．在公比大于1的等比数列{}n a 中，327a =，且2a 、318a +、4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设32log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ； （2）求直线AB 到平面PCD 的距离.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()()ln 21f x a x a x a R =+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a ≥且()2f x x ≤，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积. 23．已知函数()412f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()52y f x x =++的最小值为k ，正实数a 、b 满足69ka b +=，求证：参考答案1．A 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()()()()123252113i i i i i i -+-=+-=-+. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<；指数函数2xy =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=； 指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==. 综上所述，b a c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】计算出总体的入样比，进行可求得样本中高一年级学生的人数. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1101220020=，则高一年级应抽取的人数是17003520⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用分层抽样求样本中各层的容量，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的， 由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 6．A 【解析】 【分析】利用诱导公式得()cos525cos15cos 4530=-=--，结合两角差的余弦公式可计算出结果. 【详解】()()()cos525cos 360165cos165cos 18015cos15cos 4530=+==-=-=--()21cos 45cos30sin 45sin 3022224⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】设(),a x y =，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a 的坐标.【详解】设(),a x y =，且()4,6m =，()5,1b =-，由//a m 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--.故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】 由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-. 由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=. 若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．D【解析】【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.11．B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】 由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确； 令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈，故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则4SD CD ===则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又143OE DF OE OF =====由勾股定理得OD ==所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13．20x y +-=【解析】【分析】求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】()11x e f x x+=+，()()211x xe f x x -∴=+'，则切线的斜率为()01f '=-， 又()02f =，所以函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程为()20y x -=--，即20x y +-=.故答案为：20x y +-=.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，一般要求出切线的斜率和切点坐标，并利用点斜式得出切线方程，考查计算能力，属于基础题.14【解析】【分析】由2BD AF ⊥可得出2AB BF =，利用双曲线的定义求得12AF a =，24AF a =，且有123AF F π∠=，在12AF F ∆利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得双曲线C的离心率.【详解】 因为2AF 的中点为D ，2BD AF ⊥，所以BD 既是2ABF ∆的中线，又是2ABF ∆的高，所以2ABF ∆是等腰三角形且2AB BF =. 由双曲线定义得1212BF BF AF a -==，212AF AF a -=，24AF a ∴=，又直线AB 123AF F π∠=.在12AF F ∆中，由余弦定理得222244161cos 3032222a c a e e a c π+-==⇒--=⨯⨯，解得12e -=（舍去），12e +=.【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，在涉及焦点三角形时，一般利用双曲线的定义来求解转化，考查运算求解能力，属于中等题.15．710【解析】【分析】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5，列举出所有的基本事件，并确定事件“志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算得出所求事件的概率.【详解】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5.以()123,45表示场馆1、场馆2分别分配123、45的志愿者服务.将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()145,23、()234,15、()235,14、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()14,235、()15,234、()23,145、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共20种，其中，志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的情况如下：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共14种， 故志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的概率为1472010P ==. 故答案为：710. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.16．0【解析】【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果.【详解】 解：由于数列的通项公式为：sin 2n a n π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当1n =时，1sin 12a π==， 当2n =时，22sin 02a π==. 当3n =时，33sin 12a π==-， 当4n =时，44sin 02a π==， 当5n =时，55sin 12a π==， …所以：数列的周期为4，故：123410100a a a a +++=+-+=，所以：201920172018201950401010S a a a =⨯+++=+-=.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了数列的周期的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题. 17．（1）4.4小时；（2）0.4.【解析】【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=.由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天，又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4.【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.18．（1）3n n a =；（2）44n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，根据题中条件求得q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得321log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n S . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，因为2a 、318a +、4a 成等差数列，所以()324218a a a +=+.即()272271827q q +=+，整理得231030q q -+=，解得13q =（舍去）或3q =. 故3332733n n n n a a q --==⨯=；（2）由（1）得，2323log log 32n n n b a n ===，则()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.故1111111111422314144n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.19．（1）见解析；（2.【解析】【分析】（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ABEF 为平行四边形，可得出//BE AF ，并推导出AF ⊥平面PCD ，进而可得出BE ⊥平面PCD ；（2）推导出//AB 平面PCD ，可得知直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，即为AF ，进而得解.【详解】（1）如下图，取PD 的中点F ，连接AF 、EF .又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线，所以//EF CD 且12EF CD =. 又//AB CD 且12AB CD =，所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ，所以BE ⊥平面PCD ；（2）因为//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD . 所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.由（1）得AF ⊥平面PCD ，则AF 等于点A 到平面PCD 的距离. 因为122AB AD AP CD ====，所以12AF PD ===故点A 到平面PCD，即直线AB 到平面PCD.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了直线到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）216y x =；（2）4.【解析】【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离.【详解】（1）易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =. 联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭. 故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y x x my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）见解析；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数()()21a a x f x x+-'=，对实数a 进行分类讨论，分析导数在()0,∞+上的符号变化，进而可得出函数()y f x =在其定义域上的单调区间； （2）由题意得不等式()2ln 210a x a x x +--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()()2ln 21g x a x a x x =+--，可得出()max 0g x ≤，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，求得函数()y g x =的最大值，然后解不等式()max 0g x ≤即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()()ln 21f x a x a x =+-()a R ∈的定义域是()0,∞+.()()()2121a a x af x a x x+-'=+-=. ①当210a -≥，即12a ≥时，()210a a x +->，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当210a -<，即12a <时，（i ）若102a <<，则012a a>-. 令()0f x '<，得12a x a >-；令()0f x '>，得012ax a<<-， 此时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减；（ii ）若0a ≤，则()210a x -<，则()210a a x +-<，则()210a a xx+-<.则()0f x '<对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减；当102a <<时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减； 当12a ≥时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； （2）()2f x x ≤等价于()2ln 21a x a x x +-≤，即()2ln 210a x a x x +--≤. 令()()2ln 21g x a x a x x =+--，则()0g x ≤.()()()()21221x a x ag x x a x x-+'=-+-=-， ①当0a =时，()20g x x x =--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，符合题意； ②当0a >时，令()0g x '=，得x a =或12x =-（负根舍去），令()0g x '>，得0x a <<；令()0g x '<，得x a >， 所以函数()y g x =在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减. 故()()2max ln 0g x g a a a a a ==+-≤，因为0a >，所以ln 10a a +-≤，令()ln 1h a a a =+-，则函数()y h a =单调递增. 又()10h =，故由ln 10a a +-≤得()()1h a h ≤，得01a <≤. 综上，实数a 的取值范围为[]0,1. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．（1）:230l x y +-=，22:40C x y y +-=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）计算出直线l 截圆C 所得弦长AB ，并计算出原点O 到直线l 的距离d '，利用三角形的面积公式可求得OAB ∆的面积. 【详解】（1）由32x ty t=⎧⎨=-⎩得32y x =-，故直线l 的普通方程是230x y +-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，代入公式222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩得224x y y +=，得2240x y y +-=，故曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=；（2）因为曲线22:40C x y y +-=的圆心为()0,2，半径为2r，圆心()0,2到直线230x y +-=的距离为d ==，则弦长5AB ===.又O 到直线:230l x y +-=的距离为5d '==，所以1122555OAB S AB d ∆'=⨯=⨯=. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）分2x -≤、124x -<<、14x ≥三种情况解不等式()2f x >，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数()52y f x x =++的最小值为9k =，进而可得出61a b +=，再将代数式61a b +与6a b +相乘，利用基本不等式求得61a b+的最小值，进而可证得结论成立. 【详解】（1）当2x -≤时，由()2f x >，得1422x x -++>，即130x ->，解得13x <，此时2x -≤；当124x -<<时，由()2f x >，得1422x x --->，即530x +<，解得35x <-，此时325x -<<-；当14x ≥时，由()2f x >，得4122x x --->，即350x ->，解得53x >，此时53x >. 综上所述，不等式()2f x >的解集为35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()524142414841489y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=， 当且仅当()()41480x x -+≤时取等号，所以9k =，61a b +=.所以()6161366661224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当36b a a b =，即12a =，112b =时等号成立，所以6124a b+≥.≥≥【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。

百校联盟2020届高三4月（全国Ⅰ卷）（文科）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤1}，B ＝{x|x·ln(x ＋3)＝0}，则A ∪B ＝A.{－1，0，1}B.{－2，－1，1}C.{－2，0，1}D.{－2，－1，0，1}2.设z 是复数z 的共轭复数，若z ·i ＝1＋i ，则z·z ＝ 2 B.2 C.1 D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝xsinxB.y ＝xlnxC.11x x e y x e -=⋅+ D.21)ln(y x x x =+ 4.数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2＋a 3＝4，a 3＋3a 4＝2，则S 3＝ A.283 B.12 C.383D.13 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.43 B.2 C.83 D.1036.已知函数f(x)＝2cos 2x －cos(2x －3π)，则下列结论正确的个数是 ①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)在区间[0，3π]上单调递增； ③函数f(x)在[0，2π]上的最大值为2； ④函数f(x)的图象关于直线x ＝3π对称。

A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝3π，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB ⋅u u u r u u u r ＝ A.－2 B.－34 C.－54 D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。

小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.349.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 10.若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为A.2B.2411C.2811D.3 11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)＝1x a ax +-(x>0)，若a 21x -，则f(x)的取值范围是 A.[2－1，－1) B.(－2，－1) C.[－2，－1) D.(2，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）（有答案解析）2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={x|x ?ln (x +3)=0}，则A ∪B =( )A. {?1,0，1}B. {?2,?1,1}C. {?2,0，1}D. {?2,?1,0，1} 2. 设z ?是复数z 的共轭复数，若z ??i =1+i ，则z ?z ?=( )A. √2B. 2C. 1D. 0 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y =xsinxB. y =xlnxC. y =x ?e x ?1e x +1 D. y =xln(√x 2+1?x)4. 数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，则S 3=( )A. 283B. 12C. 383D. 135. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 43B. 2C. 83 D. 1036. 已知函数f(x)=2cos 2x ?cos (2x ?π3)，则下列结论正确的个数是( )①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增；③函数f(x)在[0,π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称．A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ????? ?AB= ( )A. ?2B. ?34 C. ?54D. 548. 改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )A. 13B. 12C. 25D. 349. 已知函数f(x)=log 12(x 2?ax +a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (?∞,1]B. [?12,1]C. (?12,1]D. (?12,+∞)10. 若x ，y 满足约束条件{4x ?3y ?6≤02x ?2y +1≥0x +2y ?1≥0，则z =|x ?y +1|的最大值为( )A. 2B. 2411C. 2811D. 311. 如图所示，在三棱锥P ?ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD =1，PD =2，则三棱锥P ?ABC 外接球的表面积为( )A. 9πB. 10πC. 12πD. 14π12. 已知函数f(x)=x+aax?1(x >0)，若a =√1?x 2>0，则f(x)的取值范围是( )A. [?√2?1,?1)B. (?2√2,?1)C. [?2√2,?1)D. (?√2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为______．14. 已知函数f(x)=x 3?5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为______． 15. 已知实数x ，y 满足y ≥2x >0，则yx +9x2x+y 的最小值为______． 16. F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2=b 2+bc ，且sinC +tanBcosC =1．(1)求角A ；(2)b =2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足APCP =0，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时△APC 的面积S ．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产A B说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠ABC=π，E为CD中点．将△ADE沿AE3折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P?ABCE．(1)求证：平面PAE⊥平面PBE；(2)求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．< p="">22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x?1|?a．(1)当a=4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n +2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ={?1,0，1}，B ={0,?2}，∴A ∪B ={?2,?1,0，1}．故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B解析：解：∵z ?i =1+i ，∴z ?=1+i i=(1+i)(?i)?i 2=1?i ，则z ?z ?=|z|2=(√2)2=2．故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合z ?z ?=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(?x)=xsinx =f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于B ，y =xlnx ，其定义域为(0,+∞)，既不是奇函数，也不是偶函数；对于C ，y =x ?e x ?1e x +1，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)?e ?x ?1e ?x +1=x ?e x ?1e x +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y =2+1?x)，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)ln (√x 2+1+x)=xln(√x 2+1?x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数；故选：B ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题． 4.答案：D解析：解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0，解得a 1=9,q =13，∴S 3=9(1?133)1?13=13．故选：D ．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9,q =13，由此能求出S 3的值．本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基5.答案：C解析：解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P?ABCD，体积V=13×2×2√2×√2=83．故选：C．根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．本题考查了根据三视图，求几何体的体积，属于中档题．6.答案：B解析：解：f(x)=2cos2x?cos(2x?π3)=cos2x+1?12cos2x?√32sin2x=12cos2x?√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，∴T=2π2=π，①对；由2kπ?π≤2x+π3≤2kπ，得x∈[kπ?2π3,kπ?π6]，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ? 2π3,kπ?π6]，②错；∵x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，cos(2x+π3)∈[?1,12]，函数f(x)在[0,π2]上的最大值为32，③错，∵2x+π3=kπ，x=kπ2π6，k∈Z，④对，故选：B．先根据函数化简得f(x)=cos(2x+π3)+1，根据T=2π2=π，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f(x)在在[0,π2]上的最大值，可以判断③；可求出f(x)的所有对称轴，可判断④．本题考查命题，以及三角函数的化简和化简，属于中等题．解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ?AB=12(CA +CM ? )?AB =12(?AC +12CB )?AB =12[?AC +12(AB ????? ?AC ????? )]?AB ????? =12(12AB ????? ?32AC )?AB =1AB 2?3AB ?AC =14×22?34×2×3×12=?54．故选：C ．根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 8.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P =2050=25．故选：C ．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题． 9.答案：B解析：解：∵y =log 12x 在(0,+∞)上为减函数，∴y =x 2?ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立，∴{?a 2≤12(12)2?12a +a ≥0，解得?12≤a ≤1．故选：B ．由复合函数的单调性法则可知y =x 2?ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{??a2≤12(12)212a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t =x ?y +1，得y =x +1?t 表示，斜率为1纵截距为1?t 的一组平行直线，{4x ?3y +6=0x +2y ?1=0C(1511,?211)；平移直线y =x +1?t ，当直线y =x +1?t 经过点C(1511,?211)时，直线y =x +1?t 的截距最小，此时t max =1511?(?211)+1=2811，当直线y =x +1?t 与AB 重合时，直线y =x +1?t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0?12+1=12，∴z =|x ?y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x ?y +1|的最大值为2811．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，令t =x ?y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 11.答案：D解析：解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB ?MNC ，则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102，故R =(√102)=√142，故S =4π×144=14π故选：D ．结合已知构造直三棱柱PAB ?MNC ，则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：解：由a =√1?x 2得，a 2+x 2=1，不妨设a =cosα，x =sinα，其中α∈(0,π2)，则y =sinα+cosαsin αcos α?1，令t =sinα+cosα=√2sin (α+π4)∈(1,√2],sinαcosα=t 2?12,∴1y =t 2?32t =t2?32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt?3在t ∈(1,√2]上为减函数，∴y ∈[?2√2,?1)．故选：C ．依题意，a 2+x 2=1，采用三角换元设a =cosα，x =sinα，可得y =sinα+cosαsin αcos α?1，再令t =sinα+cosα∈(1,√2]，可得y =2tt?3在t ∈(1,√2]上为减函数，由此求出f(x)的取值范围．本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．13.答案：553解析：解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为5 53，故答案为：553．根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．本题主要考查系统抽样的特征，属于基础题． 14.答案：2 解析：解：由f(x)=x 3?5x +a ，得f′(x)=3x 2?5，∵直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0,y 0)，则3x 025=?2，∴x 0=1或x 0=?1，∴y 0=a ?4或y 0=a +4，即切点坐标为(1,a ?4)或(?1,a +4)，代入直线中，得a +b =2或a +b =?2，∵a ，b 为正实数，∴a +b =2．故答案为：2．先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=?2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1?9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：(1,1+√2)解析：解：解：当x=c时，c2a2?y2b2=1，可得y=±b2a故M(c,b2a)如图只要∠MF1F2<45°即可，则tan∠MF1F2< p="">即b22c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2?a2<2ac，即c2?2ac?a2<0，则e2?2e?1<0，解得：1?√2<e<1+√2< p="">又e>1，∴1<e<1+√2< p="">故答案为：(1,1+√2)求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2<45°即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据∠MF1F2<45°转化为斜率解决问题．考查学生的转化能力．17.答案：解：(1)因为a2=b2+bc?a2+c2?b2=c2+bc；∴a2+c2?b22ac =c+b2a；∴b+c=2acosB；由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB?sinB=sin(A?B)；因为都是三角形内角；∴A=2B；又由sinC+tanBcosC=1.得sin(B+C)=cosB；∴sinA=cosB；∴sinB=12.∴B=π6，A=π．(2)由(1)可知C=π2.∴△ABC为直角三角形．又因为AP ????? ?CP=0?PA ⊥PC ；所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图：∵b =2，所以：BC =2√3，AB =4，设O 为AC 的中点，连接BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP =BO ?PO =√1+(2√3)2?1=√13?1．设∠OCP =α，则∠COP =π?2α，∴sinα=PA AC=12PA ；cosα=PC AC=12PC ；∴S =12PA ?PC =2sinαcosα=sin2α；在直角三角形BOC 中，sin ∠COB =sin (π?2α)=sin2α=BCBO =√3√13=2√3913．∴当BP 取得最小值时(√13?1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．解析：(1)先根据已知条件得到b +c =2acosB ；再结合正弦定理得到A =2B ，结合sinC +tanBcosC =1即可求得结论；(2)根据数量积为0推得点P 在以CA 为直径的圆上，进而得到当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC 的面积S 即可．本题考查了数量积运算性质以及解三角形，考查了推理能力与计算能力，综合性比较强，属于中档题．18.答案：解：(1)A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高，(2)填表如下；销售量>80 销售量≤80 总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计 81220K 2=20(2×4?6×8)28×12×10×10≈3.333<3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A ，B ，C ，D ，E ，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A,B ，C)，(A,B ，D)，(A,B ，E)，(A,C ，D)，(A,C ，E)，(A,D ，E)，(B,C ，D)，(B,C ，E)，(B,D ，E)，(C,D ，E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．解析：(1)根据题意画茎叶图，(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．本题考查独立性检验，以及求概率，属于中档题．19.答案：(1)证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE=2，BE=2√3，又∵AB=4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE?平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；(2)解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE=1，EC=2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE=EC=2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×(√102)=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P?BCE=V B?PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．解析：(1)求解三角形可得AE=2，BE=2√3，结合AB=4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；(2)设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO=√3，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA=PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH=2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x?2)2+y2=√x2+4，整理可得y2=4x(x≠0)；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ，∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2?4t 1y ?4a =0，∴y 1+y 2=?4t 1，y 1y 2=?4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1?a)2+y 12=(x 1?a)2+4x 1=x 12+(4?2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2?a)2+y 22=(x 2?a)2+4x 2=x 22+(4?2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4?2a)x 1+a 2+x 22+(4?2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4?2a)(x 1+x 2)?2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4?2a)?2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2?QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|2+1|QT|2=QS 2+QT 2QS 2?QT 2=2t 12+a2a 2(t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x ?2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2，进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a ?1x 2=ax 2?1x 2，当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√aa (舍负)，当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)由f(x)0，设?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，则?′(x)=e x ?2ax ?1，令H(x)=e x ?2ax ?1，则H′(x)=e x ?2a ，当a ≤12时，∵x ∈(0,+∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数，∴H(x)=?′(x)>?′(0)=0，∴?(x)在(0,+∞)上为增函数，∴?(x)>?(0)=0成立，即f(x)12时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ，x ∈(0,ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数，x ∈(ln2a,+∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数，∴?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，设t(a)=2a ?1?2aln2a(a >12)，则t′(a)=?2ln2a <0，∴t(a)在(12,+∞)上为减函数，∴t(a)<0< p="">∴?x 0∈(0,+∞)，当x ∈(0,x 0)时，?′(x)<0，?(x)为减函数，当x ∈(x 0,+∞)时，?′(x)>0，?(x)为增函数，又?(0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，?(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<="" 综上所述，a="">2]．解析：(1)对f(x)求导得，f′(x)=a ?1x 2=ax 2?1x 2，然后分a ≤0和a >0两个类别，讨论f′(x)的正负，即可得f(x)的单调性；(2)构造函数?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，求出?′(x)，令H(x)=?′(x)=e x ?2ax ?1，再求H′(x)=e x ?2a ，当a ≤12时，易证得?(x)在(0,+∞)上为增函数，?(x)>?(0)=0成立，即f(x)12时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ，可得函数H(x)的单调性即?′(x)的单调性，于是?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，再令t(a)=2a ?1?2aln2a(a >12)，求导可知t(a)在(12,+∞)上为减函数，t(a)<t(1< p="">2)=0，即?′(ln2a)<0，最后结合隐零点的思维可证得当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立，因此得解．< p=""> 本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，还有分类讨论、构造函数、多次求导以及隐零点等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cos θy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x ?1)2+(y ?1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0．所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2?1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2，所以构成的切线长为√(2√2)2?1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)a =4时，|x +2|+|x ?1|?4≥0，当x2；当?2≤x ≤1时，x +2?x +1?4≥0，解得x ∈?；当x >1时，x +2+x ?1?4≥0，解得x ≥32，∴函数f(x)的定义域为{x|x ≤?52或x ≥32}；(2)∵函数f(x)的定义域为R ，∴|x +2|+|x ?1|?a ≥0对任意的x ∈R 恒成立，∴a ≤|x +2|+|x ?1|，又|x +2|+|x ?1|≥|x +2?x +1|=3，∴a ≤3，∴s =3，∴12m+n+2m+3n=3，且m >0，n >0，∴3m +4n =(2m +n)+(m +3n)=13[(2m +n)+(m +3n)]?(12m+n +2m+3n )=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n]≥13(3+2√2)=1+2√23，当且仅当m =1+2√215,n =3+√215时取等号，∴3m +4n 的最小值为1+2√23．解析：(1)a =4时，得出f(x)需满足|x +2|+|x ?1|?4≥0，然后讨论x 的取值，去掉绝对值号求出x 的范围即可得出f(x)的定义域；(2)根据题意可知a ≤|x +2|+|x ?1|对x ∈R 恒成立，从而可得出a ≤3，进而得出s =3，从而得出12m+n +2m+3n =3，然后即可得出3m +4n =13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n ]，然后根据基本不等式即可得出3m +4n 的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式|a|+|b|≥|a ?b|的运用，基本不等式求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．</g(x)不恒成立，因此得解．<></t(1<><0<></e<1+√2<></e<1+√2<><></g(x)恒成立，求实数a的取值范围．<>。