2020年百校联盟top20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(全国ii卷)

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。

2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={1,2，3，4}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {2,3}C. {1,2}D. {2,3，4}2. 已知函数f(x)={x 2+1,x ≤1ln(x −1),x >1，则f(f(e +1))=( )A. −2B. 2C. −4D. 43. 已知a ∈R ，i 是虚数单位，命题p ：在复平面内，复数z 1=a +21−i 对应的点位于第二象限；命题q ：复数z 2=a −i 的模等于2，若p ∧q 是真命题，则实数a 的值等于( )A. −1或1B. −√3或√3C. −√5D. −√34. 点M(2,1)到抛物线y =ax 2准线的距离为2，则a 的值为( )A. 14B. 112C. 14或−112D. −14或1125. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(a >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )A. f(x)=sin(3x +π3) B. f(x)=sin(2x +π3) C. f(x)=sin(x +π3) D. f(x)=sin(2x +π6)6. 四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AB =2，AD =3，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 5B. −5C. 1D. −17. 如图是计算11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)的程序框图，若输出的S 的值为99100，则判断框中应填入的条件是( )A. n >98？B. n >99？C. n >100？D. n >101？8. 如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为( )A. 4√2B. 6C. 4√3D. 2√59. AB 是圆O 内的一条弦，圆O 半径是5，且圆心到AB 的距离为3，则弦AB 的长度为( )A. 3B. 4C. 6D. 810. 已知f(x)为奇函数，且当x ≤0时，f(z)=−e −x +1，则当x >0时，f(x)=( )A. e −x −1B. e −x +1C. −e −x −1D. e x −111. 在三棱锥D −ABC 中，已知DB ⊥平面ABC ，DB =2√3，∠ABC =60°，AC =√3，则此三棱锥外接球的体积为( )A.16π3B. 4πC.32π3D. 16π12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，若PQ ⊥PF 1，且|PF 1|=|PQ|，则双曲线的离心率e =( )A. √2+1B. 2√2+1C. √5+2√2D. √5−2√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”的概率是______． 14. 已知实数x ，y 满足{y ≤xx −4y −3≤02x +y −6≤0，则目标函数z =x +2y 的最大值为______．15. 设a =∫(π0sinx +cosx)dx ，则二项式(a √x −1√x )6展开式中含x 2项的系数是______ 16. 函数f(x)=e x −ln(x +1)的单调递增区间是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S1，S2，S4成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1，求数列{b n}的前n项和．a n a n+118.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°.PA⊥面ABCD，且PA=3.F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．(Ⅰ)若CE//面BDF，求PE：ED的值；(Ⅱ)求二面角B−DF−A的大小．19.某校高三共有1000位学生，为了分析某次的数学考试成绩，采取随机抽样的方法抽取了50位高三学生的成绩进行统计分析，得到如图所示频数分布表：分组[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数31118126(1)根据频数分布表计算成绩在[90,110)的频率并计算这组数据的平均值x(同组的数据用该组区间的中点值代替)；(2)用分层抽样的方法从成绩在[90,110)和[110,130)的学生中共抽取5人，从这5人中任取2人，求成绩在[90,110)和[110,130)中各有1人的概率．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFP与△BFQ的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=13x3−x2−8x+83．(1)求f(x)的极值；(2)求曲线在点(0,f(0))处的切线方程．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知f(x)=|x−a|(a>0)．(Ⅰ)若函数F(x)=f(x)+f(2x)的最小值为3，求实数a的值；(Ⅱ)若a=2时，函数g(x)=f(x)−f(−x)的最大值为k，且2m+3n=k(m>0,n>0).求1m +23n的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A ={1,2，3，4}， B ={x|0<x <3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选：C ．利用交集的定义能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：根据题意，由函数的解析式可得f(e +1)的值，进而计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 解：根据题意，函数f(x)={x 2+1,x ≤1ln(x −1),x >1，则f(e +1)=lne =1，则f(f(e +1))=f(1)=1+1=2； 故选：B ．3.答案：D解析：解：命题p ：在复平面内，复数z 1=a +21−i =a +2(1+i)(1−i)(1+i)=a +1+i 对应的点位于第二象限，∴a +1<0，解得a <−1．命题q ：复数z 2=a −i 的模等于2，∴√a 2+(−1)2=2，解得a =±√3． 若p ∧q 是真命题，∴{a <−1a =±√3，解得a =−√3．故选：D ．命题p ：利用复数的运算法则、几何意义可得a +1<0.命题q ：利用模的计算公式可得：√a 2+(−1)2=2，解得a.若p ∧q 是真命题，则p 与q 都为真命题，即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=1a y，a>0时，准线方程为：y=−14a，a<0时准线方程为：y=14a点M(2,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得1+14a =2，解得a=14，−14a−1=2，解得a=−112．故选：C．求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．本题考查抛物线方程的简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．5.答案：D解析：本题主要考查函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．要求熟练掌握五点对应法．根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式．解：由图象知函数的最大值为1，即A=1，函数的周期T=4(5π12−π6)=4×3π12=π=2πω，解得ω=2，即f(x)=2sin(2x+φ)，由五点对应法知2×π6+φ=π2，解得φ=π6，故，故选D．6.答案：A解析：解：根据题意，不妨假设四边形ABCD 为矩形，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−4=5， 故选：A ．不妨假设四边形ABCD 为矩形，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，结合条件求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，注意特殊化的解题思想，属于基础题．7.答案：B解析：由题意解得n 的值，结合程序框图即可得解判断框内的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解：由题意可得：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)=1−1n +1=n n +1=99100，解得：n =99，可得n =99时不满足判断框内的条件，执行循环体，当n =100时满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为99100， 故判断框内的条件为：n >99？ 故选：B ．8.答案：B解析：本题主要考查的是几何体的三视图，基础题型．可先由三视图还原几何体，再求解即可．解：由三视图可知该几何体的直观图是如图所示的四棱锥A−BCDE，在边长为4的正方体中，四边形BCDE是边长为2的正方形，最长的棱是AB，且AB=√22+(4√2)2=6，故选B．9.答案：D解析：解：由题意利用弦长公式可得AB=2√r2−d2=2√52−32=8，故选：D．由条件利用直线和圆相交的性质、弦长公式求得弦AB的长度．本题主要考查直线和圆相交的性质、弦长公式的应用，属于基础题．10.答案：D解析：本题考查利用函数的奇偶性求解析式，是简单题．x>0时，有−x<0，所以f(x)=−f(−x)=−[−e−(−x)+1]=e x−1，得答案．解：∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)=−e−x+1．当x>0时，有−x<0，所以f(x)=−f(−x)=−[−e−(−x)+1]=e x−1，即f(x)=e x−1．故选D..11.答案：C解析：本题考查的是三棱锥的外接球的体积，求出外接圆半径和外接球半径是解此题的关键，属于基础题．解：因为△ABC的外接圆半径，DB)2+r2=√3+1=2，所以外接球半径R=√(12所以此三棱锥外接球的体积为，故选C．12.答案：D解析：【试题解析】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√22∴e=√5−2√2．故选：D．由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√2，即可求出双曲线的离心率．2本题考查双曲线的离心率，考查余弦定理的运用，属于中档题．13.答案：12解析：本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．从盒子里随机摸出两个小球，基本事件总数n=C42=6，利用列举法求出事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”包含的基本事件有3个，由此能求出事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”的概率．解：盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，基本事件总数n =C 42=6，事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3个，∴事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”的概率P =36=12． 故答案为：12． 14.答案：6解析：解：作出实数x ，y 满足{y ≤xx −4y −3≤02x +y −6≤0，对应的平面区域；由z =x +2y ，得y =−12x +z2，平移直线y =−12x +z 2，由图象可知当直线y =−12x +z 2经过点B 时，直线y =−12x +z 2的截距最大，此时z 最大．由{y =x 2x +y −6=0，得B(2,2)，此时z 的最小值为z =2+2×2=6，故答案为：6．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 15.答案：−192解析：解：根据题意，a =∫(π0sinx +cosx)dx =∫s π0inxdx +∫c π0osxdx =(−cosx)|0π+sinx|0π=2，二项式(a √x −1√x )6即(2√x −1√x )6，其展开式的通项为T r+1=C 6r (2√x)6−r (−1√x )r =(−1)r ×C 6r ×26−r x 3−r ，当r =1时，有T 2=(−1)×C 61×25x 2=−192；故答案为：−192．根据题意，由定积分计算公式可得a =∫(π0sinx +cosx)dx =∫s π0inxdx +∫c π0osxdx =(−cosx)|0π+sinx|0π=2，即可得a的值，由二项式定理分析可得该二项式展开式的通项，据此分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，涉及定积分的计算，属于基础题．16.答案：(0,∞)解析：解：函数f(x)=e x−ln(x+1)的定义域为(−1,+∞)，∴f′(x)=e x−1x+1=(x+1)e x−1x+1，当f′(x)=0时，解得x=0，当f′(x)>0时，解得x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，故答案为：(0,∞)．根据导数和函数的单调性的关系即可判断．本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵S n为公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S1，S2，S4成等比数列，∴由已知，得S22=S1⋅S4，即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，整理得2a1d=d2，又由a1=1，d≠0，解得d=2，故a n=1+(n−1)×2=2n−1.n∈N∗．(Ⅱ)∵b n=1a n a n+1，a n=2n−1，∴b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{b n}的前n项和：T n=11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=1(1−1)=n2n+1，n∈N∗．解析：(Ⅰ)由已知，得S 22=S 1⋅S 4，利用等差数列前n 项和公式求出首项和公差，由此能求出a n ．(Ⅱ)b n =1a n a n+1=12(12n−1−12n+1)，由此利用裂项法能求出数列{b n }的前n 项． 本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18.答案：证明：(Ⅰ)过E 作EG//FD 交AP 于G ，连接CG ，连接AC 交BD 于O ，连接FO ．∵EG//FD ，EG ⊄面BDF ，FD ⊂面BDF ，∴EG//面BDF ，又EG ∩CE =E ，CE//面BDF ，EG ，CE ⊂面CGE ，∴面CGE//面BDF ，…(3分)又CG ⊂面CGE ，∴CG//面BDF ，又面BDF ∩面PAC =FO ，CG ⊂面PAC ，∴FO//CG ．又O 为AC 中点，∴F 为AG 中点，且AF =1，∴AF =FG =1，∵PA =3，∴FG =GP =1，∴E 为PD 中点，PE ：ED =1：1.…(6分)(Ⅱ)过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交DF 于I ，…(8分)∵PA ⊥面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ，∴BH ⊥面PAD ，由三垂线定理可得DI ⊥IB ，∴∠BIH 是二面角B −DF −A 的平面角．由题易得AH =32，BH =3√32，HD =92， 且HI HD =AF DF =√10，∴HI =9√1020， ∴tan∠BIH =3√32×209√10=√303，…(10分)∴二面角B−DF−A的大小为arcran√303.…(12分)解析：(Ⅰ)根据线面平行的性质定理进行推理得到E为PD中点即可求PE：ED的值；(Ⅱ)根据二面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角B−DF−A的大小．本题主要考查空间线面平行的性质的应用以及二面角的求解，利用相应的性质定理以及作出二面角的平面角是解决本题的关键．19.答案：(1)根据频率分布表知成绩在[90,100)内的概率为1850=0.36，x−=0.06×60+0.22×80+ 0.36×100+0.24×120+0.12×140=102.8，故答案为：0.36102.8．(2)根据分层抽样得应在[90,110)和[110,130)中分别抽取3人和2人，将[90,110)中的3人编号为1，2，3，将[110,130)中的2人编号为a，b，则此事件中的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(a,b)，共10个，记成绩在[90,110)和[110,130)中各有1人为事件A，事件A包含的基本事件有(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)共6个，则P(A)=35，故答案为：35．解析：(1)由平均数的求法得：x−=0.06×60+0.22×80+0.36×100+0.24×120+0.12×140=102.8，成绩在[90,100)内的概率为1850=0.36，(2)由古典概型的求法得：列举出基本事件的个数，再计算即可得解．本题考查了平均数的求法及古典概型，属中档题．20.答案：解：(1)由F(1,0)，得c=1，由点P到两个焦点的距离之和为4，得2a=4，即a=2，∴b2=a2−c2=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)可得S 1=12|AF|⋅|PF|sin∠AFP =32|PF|sin∠AFP ，S 2=12|BF|⋅|QF|sin∠BFQ =12|QF|sin∠BFQ 由S 1S 2=32，得|QF|=2|PF|，即y Q =−2y P (y P >0) 设直线PQ 为：x =my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y P +y Q =−6m 3m 2+4①，y P ⋅y Q =−93m 2+4②，又y Q =−2y P ③由①和③求得：{y P =6m 3m 2+4y Q =−12m 3m 2+4，代入②求得m 2=45， 由y P >0可知m >0，∴m =2√55， 所以直线PQ 的方程：x =2√55y +1，化为一般式为：√5x −2y −√5=0．解析：(1)由椭圆方程求出a ，b ，c ，即可得椭圆C 的标准方程．(2)由S 1S 2=32，得|QF|=2|PF|，即y Q =−2y P (y P >0)，设直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程，求得P ，Q 的纵坐标，进而可得m 的方程，解方程可得m ，进而得到直线l 的方程．本题考查直线的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，解方程求交点，考查存在性问题的解法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)由题意得，f′(x)=x 2−2x −8=(x +2)(x −4)，由f′(x)=0，解得x =−2或x =4， 当x ∈(−2,4)时，f′(x)<0，当x ∈(−∞,−2)，(4,+∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−2,4)上单调递减，在(−∞,−2)，(4,+∞)上单调递增，∴当x =−2时取到极大值为f(−2)=12，当x =4取到极小值为f(4)=−24．(2)∵f′(0)=−8，f(0)=83，∴曲线在点(0,f(0))处的切线方程是y −83=−8x即24x +3y −8=0．解析：(1)由求导公式和法则求出f′(x)，求出方程f′(x)=0的根，根据二次函数的图象求出f′(x)<0、f′(x)>0的解集，由导数与函数单调性关系求出f(x)的单调区间即可求得极值；(2)由导数的几何意义求出f′(0)，即切线的斜率，由解析式求出f(0)的值，根据点斜式求出曲线在点(0,f(0))处的切线方程，再化为一般式方程．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，以及导数几何意义的应用，属于基础题．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0．法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0，∴方程(∗)有两个不等的实数解．∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内，∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1， ∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ).∵a >0，∴a 2<a ，∴函数F(x)=|x −a|+|2x −a|={3x −2a(x >a)x(a 2≤x ≤a)2a −3x(x <a 2)，∴当x =a 2时，函数F(x)的最小值为F(a 2)=a 2=3，∴a =6．(Ⅱ).当a =2时，g(x)=|x −2|−|x +2|，∵|x −2|−|x +2|≤|(x −2)−(x +2)|=4，∴k =4，∴2m +3n =4，∵1m +23n=14(1m+23n)(2m+3n)=14(4+3nm+4m3n)≥14(4+2√3nm⋅4m3n)=2，∴当3nm =4m3n，即m=1，n=23，1m+23n最小值为2．解析：(Ⅰ)去绝对值，化为分段函数，即可求函数的最小值，即可求a的值；(Ⅱ)代入a的值，求出k=4，根据基本不等式的性质求出1m +23n的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是一道常规题．。

内蒙古百校联盟2020届高考数学模拟（理科）试卷（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A． B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．B．2 C．4 D．83．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x ﹣4 ﹣2 1 2 4y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1根据上述数据得到的回归方程为=x+，则大致可以判断（）A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜04．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（）A．9 B．3 C．D．35．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（）A．±512 B．512 C．±1024 D．10246．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x ﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=09．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z） D．（k∈Z）11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]二、填空题（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为（用数字填写答案）14．已知实数x，y满足则z=的取值范围为．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S2017= ．16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=bsinC ﹣ccosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周长和面积．18．（12分）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图．男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）本/年[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）频数 3 1 8 4 2 2（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；性别阅读丰富不丰富合计量男女合计（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.635 7.87919．（12分）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．23．已知函数f（x）=|3x﹣4|．（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g （x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．内蒙古百校联盟2020届高考数学模拟（理科）试卷（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A． B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出B，找出B的补集，求出A与B补集的交集即可．【解答】解：A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}=（﹣3，2），B={x|y=}=（﹣1，+∞），∴∁R B=（﹣∞，﹣1]∴A∩（∁R B）=（﹣3，﹣1]．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．B．2 C．4 D．8【考点】A8：复数求模；A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（+3i）=16i（i为虚数单位），∴z（+3i）（﹣3i）=16i（﹣3i），∴16z=16i （﹣3i），∴z=3+i．则复数|z|==4．故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x ﹣4 ﹣2 1 2 4y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1根据上述数据得到的回归方程为=x+，则大致可以判断（）A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用公式求出，，即可得出结论．【解答】解：样本平均数=0.2， =﹣1.7，∴==＞0，∴=﹣1.7﹣×0.2＜0，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．4．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（）A．9 B．3 C．D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直关系推出等式，求出x，然后求解向量的模．【解答】既然：向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），2+=（1，x﹣8），（2+）⊥，可得：1+8﹣x=0，解得x=9．则||==3．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．5．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（）A．±512 B．512 C．±1024 D．1024【考点】8G：等比数列的性质．【分析】利用已知条件求出a2a8的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．【解答】解：log2a2+log2a8=2，可得log2（a2a8）=2，可得：a2a8=4，则a5=±2，等比数列{a n}的前9项积为T9=a1a2…a8a9=（a5）9=±512．故选：A．【点评】本题考查的等比数列的性质，数列的应用，考查计算能力．6．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；S=1，i=1，S＜30；S=2，i=2，S＜30；S=4，i=3，S＜30；S=8，i=4，S＜30；S=16，i=5，S＜30；S=32，i=6，S≥30；终止循环，输出i=6．故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图．【解答】解：由题意，A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0）在xOy平面上投影坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（1，2，0）．故选：C．【点评】本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题．8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x ﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0【考点】J7：圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．9．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）•sinx，∴f（﹣x）=（﹣1）•sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）•sinx=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f（2）=（﹣1）•sin2＜0，故排除B，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z） D．（k∈Z）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HA：余弦函数的单调性．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的增区间．【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0）=2sin（ωx﹣），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，则为函数f（x）的周期，即=k•||，∴ω=±4k，k∈Z．记ω的最大值为ω0，则ω0=﹣4，函数g（x）=cos（ω0x﹣）=cos（﹣4x﹣）=cos（4k+）．令2kπ﹣π≤4x+≤2kπ，求得﹣≤x≤﹣，故函数g（x）的增区间为[﹣，﹣]，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，余弦函数的单调性，属于中档题．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立，2m≥且2m≤对x∈恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立，即2m≥且2m≤对x∈恒成立．令g（x）=，则 g′（x）=，在上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（2017•内蒙古模拟）（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为﹣260 （用数字填写答案）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】分析x3得到所有可能情况，然后得到所求．【解答】解：（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项为﹣30x2=80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，所以x3的系数为﹣260；故答案为：﹣260．【点评】本题考查了二项式定理；注意各种可能．14．已知实数x，y满足则z=的取值范围为[] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），联立，解得B（5，6），z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵，∴z=的取值范围为[]．故答案为：[]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S2017= ．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），可得（S n+1）=0，S n＞0．可得S n==﹣．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），∴（S n+1）=0，S n＞0．∴n（n+1）S n﹣1=0，∴S n==﹣．∴S1+S2+…+S2017=+…+=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE ⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为13π．【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=bsinC﹣ccosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周长和面积．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，进而变形可得1=sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B﹣），即可得B﹣的值，计算可得B的值，即可得答案；（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，进而可以变形为12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，进而计算可得△ABC的周长l=a+b+c，由面积公式S△ABC=acsinB=b2sinB计算可得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若c=bsinC﹣ccosB，由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，又由sinC≠0，则有1=sinC﹣cosB，即1=2sin（B﹣），则有B﹣=或B﹣=，即B=或π（舍）故B=；（Ⅱ）已知b=2，则b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，即b2=ac，则有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，所以△ABC的周长l=a+b+c=2+4=6，面积S△ABC=acsinB=b2sinB=3．【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出B的值．18．（12分）（2017•内蒙古模拟）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图．男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）本/年[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）频数 3 1 8 4 2 2（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；性别阅读丰富不丰富合计量男女合计（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.6357.879【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关；（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为：0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位数位于第三组，设中位数为a，由题可知：，解得a=38．∴该校女生年阅读量的中位数约为38．（Ⅱ）性别阅读量丰富不丰富合计男 4 16 20女 9 11 20合计 13 27 40≈2.849＜6.635，∴没有99%的把握认为阅读丰富与性别有关．（Ⅲ）年阅读量在的学生中，男生2人，女生4人．由题意得ξ的可能取值为0，1，2.，，．所以的分布列为ξ 0 1 2p．【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查ξ的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．19．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取EB的中点M，连接PM，QM，证明：平面PMQ∥平面BCD，即可证明PQ∥平面BCD；（Ⅱ）建立坐标系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取EB的中点M，连接PM，QM，∵P为DE的中点，∴PM∥BD，∵PM⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴PM∥平面BCD，同理MQ∥平面BCD，∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCD，∵PQ⊂平面PQM，∴PQ∥平面BCD；（Ⅱ）解：在平面DFC内，过F作FC的垂线，则∠DFC=，建立坐标系，则E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣1，﹣），A（2，﹣1，），∴=（﹣2，﹣2，），=（0，2，﹣），=（0，1，0），设平面DAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（0，，），同理平面DBE的一个法向量为=（，0，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的运用，是中档题．20．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣，）代入椭圆方程，即可求得a和b 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由=，根据函数零点的判断即可存在k∈R， =．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e===，则a2=2b2，将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：，（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得=，由a2=2b2，椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，解得：x P=﹣，则丨BP丨=×，由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=•，由=．，则2×=•，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函数f（x）存在零点，∴存在k∈R， =．【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣），累加即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥，若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，此时函数f（x）在（0，+∞）递减，当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=，x2=，显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减；综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减，a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），则ln（1+）＜（1+）﹣==（+）＜=（﹣），从而：ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）＜（1+）=，则有ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜，可得（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）（2017•东莞市二模）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•内蒙古模拟）已知函数f（x）=|3x﹣4|．（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g （x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数解析式作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，可得p，q∈（﹣，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，图象如图所示，由图象可得，x=，g（x）有最小值﹣；（Ⅱ）由题意，|3x﹣4|＜5，可得﹣＜x＜3，∴p，q∈（﹣，3），∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15，∴λ≥15．【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．。

2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i2.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}3.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a4+a10+a12=22，则S14=()A. 56B. 66C. 77D. 784.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π⩽x⩽π且x≠0)的图象大致是()．A. B.C. D.6.要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是()A. C93C52B. C103C52C. A103A52D. C104C527. 如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形．则这个三棱锥的外接球的表面积是( )A. 19πB. 28πC. 67πD. 76π8. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 39. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞) C. (−∞,−254)∪(−6,6)D. (−254,+∞)10. 已知A 、M 、B 三点共线，m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为( )．A. １２B. １３C. −１２D. −１３11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. √3D. √512. f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时f(x)+x ⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−4,0)∪(4,+∞)B. (−4,0)∪(0,4)C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0，则z =x −2y 的最小值是______．14. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=20，a 3+a 4=40，则a 5+a 6等于______ ． 15. (1)观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，，…，根据以上式子可以猜想：1+122+132+⋯+120162<______．(2)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2,…,9}.若|a −b|=1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．(3)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1(n =2,3,4，…)的分数的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，22n+1=______(n =2,3,4，…)． (4)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x 2f’(x)+1>0，f(1)=5，则不等式f(x)<1x +4的解集为______．16. 直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若a−c b−c =sinBsinA+sinC ．(1)求角A ；(Ⅱ)设m ⃗⃗⃗ =(sinB,cos2B)，n ⃗ =(2,1)，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD ． (1)证明：BC ⊥平面PDB ；(2)若AB =√2,PB 与平面APD 所成角为45°，求二面角A −PC −B 的大小．19. 动点P 到定点F(0,1)的距离比它到直线y =−2的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． (Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；20. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间(99,101]内，则为一等品；若长度在(97,99]或(101,103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)试估计该样本的平均数；(Ⅱ)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．21.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (I)写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (II)直线l 与曲线C 2交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =0时，解不等式f(x)>4；(2)若∃x ∈R ，使不等式|x −3|+|x −a|<4成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由z(1+i)=i −2， 得z =i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i 2=−12+32i ，则z .=−12−32i ． 故选：B ．由z(1+i)=i −2，得z =i−21+i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|−6<x <6}； ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质即可得出． 解：∵2a 4+a 10+a 12=22，∴4a 1+26d =22， ∴2a 1+13d =11，∴a 7+a 8=2a 1+13d =11， 则S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)=77．故选C ．4.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．5.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可．解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)是偶函数排除A．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x+cosx，令1x +cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f(π)=lnπ>1，故选D．6.答案：A解析：解：∵从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，∴每个学生被抽到的概率是615=25，∵按性别依此比例分层抽样∴应抽男生25× 10=4，应抽女生25× 5=2，∵某男生担任队长，∴不同的抽样方法数是C93C52，故选A．由题意知从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，得到每个学生被抽到的概率是615，因为按性别依此比例分层抽样，做出男女各需抽的人数，某男生担任队长，所以只抽三个男生即可，写出结果．本题是一个分层抽样与排列组合问题的综合题，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．7.答案：B解析：解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，由棱柱的底面边长为3，则底面半径为r=3×√33=√3，由棱柱的高为4，则球心距d=2，外接球的半径R=√r2+d2=√7，故这个三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=28π，故选：B由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：C解析：本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．9.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，作出函数y=g(x)=3x−|x2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，设g(x)=3x−|x2−4|，当x≥2或x≤−2时，g(x)=3x−|x2−4|，g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|，g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则m <−254或−6<m <6，即m ∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C10.答案：D解析：解：∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化为3(t +1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 与m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 比较可得：{3(t +1)=m −3t =1，解得t=−13．故答案为：−13．利用向量的三角形法则和平面向量的基本定理即可得出．本题考查了向量的三角形法则和平面向量的基本定理，属于基础题．11.答案：A解析：解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba(x−c)，与y=−ba x联立，可得交点M(c2,−bc2a)，∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，∴c24+b2c24a2=c2，∴b=√3a，∴c=√a2+b2=2a，∴e=ca=2．故选：A．已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．12.答案：D解析：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+x⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，所以ℎ(x)=xf(x)在x<0时单调递减，在x>0时递增，且ℎ(−4)=ℎ(4)=0，故选D.13.答案：−2解析：解：由x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z 2．联立{y =1x +2y −2=0，解得：C(0,1)． 由图可知，当直线y =12x −z 2过C(0,1)时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于0−2×1=−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：80解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，即40=20q 2,解得q 2=2，故a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2=40×2=80,故答案为：80．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，可得q 2=2，而a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2，代入可得．本题考查等比数列的通项公式和公比的定义，属基础题．15.答案：(1)40312016；(2)950；(3)1n+1+1(n+1)(2n+1)；(4)(0,1)．解析：(1)本题考查归纳推理的应用，根据已知不等式得到规律即可求解．)解：，，，则，故答案为40312016．(2)本题考查古典概型的概率计算，列出基本事件，代入古典概型的公式即可求解．解：总的基本事件共有10×10=100种，满足|a−b|=1，即取相邻的两个数共有9×2=18种，则概率为18100=950，故答案为950．(3)本题考查归纳推理的应用，根据所给的等式找出规律即可求解．解：25=13+13×5，3=5+12；2 7=14+14×7，4=7+12；2 9=15+15×9，5=9+12按此规律，22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1)(n=2,3,4，…)，故答案为1n+1+1(n+1)(2n+1)．(4)本题考查导数在函数单调性中的应用，根据不等式函数得到单调性即可求解．解：设g(x)=f(x)−1x ，则g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2>0，所以g(x)在单调递增，又g(1)=4，不等式可化为g(x)<g(1)，则0<x<1，故答案为(0,1)．16.答案：4√55 解析：解：如图，圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径r =1，∵圆心O 到直线y =2x +1的距离：OD =|2×0−0+1|√5=√55， ∴BD =(√55)=2√55， ∴直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长：|AB|=2|BD|=4√55． 故答案为：4√55． 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长．本题考查圆的弦长的求法，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．17.答案：解：(1)由a−c b−c =sinB sinA+sinC则a−c b−c =b a+c ，即a 2=b 2+c 2−bc ，由余弦定理，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得cosA =12， 由于A 为锐角，则A =π3；(II)m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2sinB +cos2B ，=2sinB +1−2sin 2B=−2sin 2B +2sinB +1，B ∈(0,2π3)，令t =sinB ，则t ∈(0,1]．则m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2t 2+2t +1=−2(t −12)2+32，t ∈(0,1]． ∴t =12时，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 取得最大值32．解析：(1)由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求得角A ；(II)由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式及三角换元，由二次函数的最值求法，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的求值，考查二次函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：由PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面APD ，所以BD ⊥平面APD ，又∵AD ⊂平面APD ，所以BD ⊥AD ，又AD//BC ，所以BC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又BD ∩PD =D ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以BC ⊥平面PDB ；(2)解：由(1)可知BD ⊥AD ，又AB =√2，∠DAB =45°，所以AD =BD =1，又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影，故∠BPD =45°，所以PD =BD =1，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面APC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PCB 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，得n ⃗ =(0,1,1)， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3=√32， 因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π6．解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．(1)根据题意，先判断BD ⊥平面APD ，得到PD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得出结论；(2)根据题意，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC 和平面PCB 的法向量，进行求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，动点P 在直线y =−2上方，条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离，∴动点P 的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y =−1为准线的抛物线故其方程为x 2=4y ；(Ⅱ)证明：设直线AB 的方程为y =kx +1，由{x 2=4y y =kx +1得：x 2−4kx −4=0， 设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则x A +x B =4k ，x A x B =−4，由x 2=4y 得：y =14x 2，∴y′=12x ，∴直线AM 的方程为：y −14x A2=12x A (x −x A )① 直线BM 的方程为：y −14x B2=12x B (x −x B )② ①−②得：14(x B 2−x A 2)=12(x B 2−x A 2)，即x =x A +x B2=2k ， 将x =x A +x B2代入①得：y −14x A 2=12x A x B −x A 2=14x A x B −14x A 2， ∴y =14x A x B =−1，故M(2k,−1)，∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2k,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,k(x B −x A ))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2k(x B −x A )−2k(x B −x A )=0．解析：(Ⅰ)由题意可得条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1距离，由抛物线的定义即可得到所求曲线方程；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，求得y =14x 2的导数，可得切线的斜率和方程．联立方程组，求得交点M 的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得证． 本题考查曲线方程的求法，注意运用抛物线的定义和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02．平均数估计值是96×0.02+98×0.18+100×0.38+102×0.30+104×0.10+106×0.02=100.68．(Ⅱ)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14． 用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件．故该企业生产这批零件预计可获利润3.8×10+4.8×8−1.4×6=68万元．解析：本题主要考查了频率分布直方图，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．(Ⅰ)平均数为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，计算即可；(Ⅱ)算出一等品、二等品、不合格产品的频率，进而求出产品的数量，即可算该企业生产这批零件所获得的利润；21.答案：解：f(x)的定义域是R ，(1)f′(x)=e x −a ，①a >0时，令f′(x)>0，解得：x >lna ，令f′(x)<0，解得：x <lna ，故f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；②a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 递增；综上所述，当a >0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；当a ≤0时，f(x)在R 递增；(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；先比较a与ln a的大小，构造函数y=x−lnx，则y′=1−1x =x−1x，易得当x∈(0,1)时，y=x−lnx单调递减，当x∈(1,+∞)时，y=x−lnx单调递增，所以当x=1时，y=x−lnx有最小值，即y min=1，即x−lnx>0，所以a>lna，①lna≤0即0<a≤1时，f(x)在[0,a]递增，f(x)max=f(a)=e a−a2，②当a>1时，0<lna<a恒成立，f(x)在[0,lna)递减，在(lna,a]递增，f(0)=1，f(a)=e a−a2，令ℎ(x)=e x−x2−1(x>1)，则ℎ′(x)=e x−2x，令m(x)=e x−2x(x>1)，则m′(x)=e x−2>0，即ℎ′(x)=e x−2x在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ′(x)>e−2>0，即ℎ(x)=e x−x2−1在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ(x)>e−1−1=e−2>0，所以当a>1时，e a−a2>1，即f(x)max=f(a)=e a−a2，综上所述，当a>0时，函数f(x)在[0,a]上的最大值e a−a2．解析：本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，构造函数，结合函数的单调性比较大小即可求出函数的最值即可．22.答案：解：(I)直线l的参数方程可化为普通方程为x−y+1=0，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ．曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4；(II)设A 、B 两点所对应的参数分别为t A ，t B,将{x =1+√22t y =2+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0， 化简整理可得t 2+√2t −3=0，从而{t A +t B =−√2t A t B =−3, 故|AB|=√(t A +t B )2−4t A t B =√14．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题． (I)利用坐标互化的方法即可写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(II)利用参数的几何意义，即可求得|AB|．23.答案：(本小题满分10分)解：(1)由a =0，原不等式为|x −3|+|x|>4由绝对值的几何意义可得{x|x <−12或x >72} …(5分)(2)由∃x ∈R ，|x −3|+|x −a|<4成立，得(|x −3|+|x −a|)min <4，又|x −3|+|x −a|≥|x −3−(x −a)|=|a −3|∴|a −3|<4，解得−1<a <7…(10分)解析：(1)利用绝对值的几何意义，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，求出不等式的最小值，列出不等式，转化求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力．。

2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.下列函数中，既是偶函数，又在[0,+∞)上单调递减的函数是()A. y=1x2B. y=−x2C. y=−xD. y=−x2−2x+34.过双曲线x2−y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=()A. 4√33B. 2√3C. 6D. 4√35.某几何体的三视图如图所示，则关于该几何体的形状，下列叙述正确的是()A. 该几何体是由一个长方体与半个圆柱组成B. 该几何体是由一个长方体与半个球组成C. 该几何体是由一个圆柱截去了一半后所得的几何体正(主)视图侧(左)视图D. 该几何体是一个圆柱截去了14所得的几何体6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形A 1A 2…A 6的中心，若A 1(√154,14)，则点A 3的纵坐标为( )A. −√15+√38B. √15−√38C. 3√5−18D. 3√5+187. 如图，ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体，在底面A 1B 1C 1D 1上任取一点M ，则∠MAA 1≤π6的概率P =( )A. π15 B. π12 C. π9 D. π68. 执行如图所示的程序框图，输入的n 值为4，则S =( )A. 2B. 6C. 14D. 309. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 210. 设tan(α−β)=3,tan(β+π4)=−2,则tan(α+π4)等于( )A. 17B. −17C. −35D. 3511. 设椭圆x 2a2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ，右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．则e =( )A. √32B. 12C. √22D. √3−112. 若函数f(x)=e x −ax 的极值为1，则实数a 的值为( )A. eB. 2C. √2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(2x −1)5的展开式中，含x 2的项的系数是__________(用数字填写答案)．14. 甲、乙、丙、丁4名同学参加了百米比赛的预赛．甲说：“我没进决赛”；乙说：“丙进了决赛”；丙说：“丁进了决赛’’；丁说：“我没进决赛”.若这四人中只有一人进了决赛，且只有一人说了真话，则进入到决赛的人是________．15. 在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，AC =4，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______ 16. △ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，则a+bb+c = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=15，a n +a n+1=65n+1(n ∈N +)(1)证明：{5n a n −1}是常数列；(2)设x n =(2n −1)⋅10n a n ，求{x n }的前n 项和T n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，∠BAD =60°，PD =AD =AB =2，CD =4，E 为PC 的中点．(Ⅰ)证明：BE//平面PAD；(Ⅱ)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值．19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k≥85时，产品为一等品；当75≤k<85时，产品为二等品；当70≤k<75时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.(以下均视频率为概率)甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数1015253020(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；(2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：y ={t,k ≥855t 2,75≤k <85t 2,70≤k <75，其中0<t <15，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．20. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =x −2与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求AB 弦长； (2)求△FAB 的面积．21. 设函数f(x)=(1−x 2)e x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+√32t y =12t(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． (Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的直角坐标； (Ⅱ)设点M 是曲线C 上任意一点，求△MAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)．(1)若不等式f(x)−f(x +m)≤1恒成立，求实数m 的最大值； (2)当a <12，函数g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x <−12,或x >0},B ={x|x >−12}； ∴A ∩B ={x|x >0}． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：B解析：本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题． 根据函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．解：对于A ，令f(x)=1x 2，则f(−x)=f(x)，定义域是{x|x ≠0}，所以函数为偶函数，但x ≠0，故A 不符合题意；对于B ，令f(x)=−x 2，则f(−x)=f(x)，定义域是R ，所以函数是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，B 符合题意；对于C ，令f(x)=−x ，且f(−x)=−f(x)，定义域是R ，所以函数是奇函数，C 不符合题意； 对于D ，令f(x)=−x 2−2x +3，f(x)为非奇非偶函数，D 不符合题意， 故选B ．解析：本题考查双曲线的性质及几何意义。

百校联盟2020届高三TOP20三月联考（全国II 卷）数学(理)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x|2x-3≥0}.B={x|x(x -2)<0}.则A∩B= 3()|2A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭… (B)3{|2}2x x <„ (C){r|0≤x<2} (D)3|02x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭„ (2)设复数z 满足21i i z+=-.则|z |等于 (A 3)2 (B)10 (C 2) (D)2(3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(A)f(x)=1-x 2 (B)1()f x x x =- (C)12)()log ||f x x = (D)f(x)=2|x|(4)已知双曲线22:13y C x -=，F 为双曲线C 的右焦点,过点F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M.则|FM|=()23A ()3B ()22C (D)4(5)如图所示。

某几何体的三视图均为直角三角形。

则围成该几何体的各面中。

直角三角形的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(6)如图，在平面直角坐标系xOy 中.扇形AOB 的圆心角为34π.半径为1.Р是¶AB 上一点,其横坐标为223则sin ∠BOP=(2)3A(B)33(C42)6+(D)326+(7)正六面体有6个面，8个顶点:正八面体有8个面，6个顶点.我们称它们互相对偶.如图.连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点,则此点取自正八面体内的概率是(1)6A(B)15(C1)4(D)13(8)执行如图所示的程序框图,若输入a的值为2019,则输出S的值为(A)4 (B)10 (C)79 (D)93(9)设x,y 满足不等式组 2..0.x y y x a y +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪⎪≈⎪⎩„„且4y x +的最大值为12则实数a 的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(10)设0<1,tan()tan 2cos a πβαβββ<<-+=.则 ()22A παβ+= (B)22παβ-= ()22C a πβ+= (D)22παβ-=(11)已知椭圆C 2222:1(0x y a b a b+=>>的右焦点为F.点A.B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点.且||||,0.AO AF FA FB =⋅=u u u r u u u r 则椭圆C 的离心率为(1A()2B(C)2(D)3(12)若函数f(x)=alnx-e x 有极值点,则实数a 的取值范围是(A)(-e,+∞)(B)(1,e) (C)(1,+∞) (D)(0,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. (13)261()x x +的展开式中含x 3项的系数是____(用数字作答).(14)甲、乙,丙、丁4人站在一栋房子前·甲说:"我没进过房子":乙说:"丙进去过":丙说:"丁进去过":丁说:"我没进过房子".这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话.则进过这栋房子的人是__. (15)在△ABC 中,∠A=60∘,AB=3.24, 33BD BC AD BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AC=______. (I6)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,且b+c=a(cosB+cosC).若△ABC 的周长的最大值为4+则a=___.三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,12111,,21(2)3n n n a a a a n a +===+∈且*N … (I)证明:1{}na 为等差数列: (II)求数列3{}nna 的前n 项和T n .(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥A-BCDE 中,底面BCDE 为直角梯形,ED ∥BC,∠EDC=90°，22EB EC ==，AB=AE=ED=2,F 为AB 的中点.(Ⅰ)证明:EF ∥平面ACD;(Ⅱ)若23AC =，求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值.（19）（本小题满分12分）近几年。

2020届百校联盟高三TOP20三月联考（全国II卷）理科数学试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 设复数满足，则等于（）A．B．C．D．2(★★) 3 . 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A．B．C．D．(★) 4 . 已知双曲线：，为双曲线的右焦点，过点作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点.则（）A．B．C．D．4(★★) 5 . 如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成该几何体的各面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4(★★) 6 . 如图，在平面直角坐标系中，扇形的圆心角为，半径为1. 是上一点，其横坐标为，则（）A．B．C．D．(★★) 7 . 正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点，我们称它们互相对偶.如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点，则此点取自正八面体内的概率是（）A．B．C．D．(★★) 8 . 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值可能为（）A．4B．10C．79D．93(★★) 9 . 设满足不等式组，且的最大值为，则实数的值为（）A．1B．2C．3D．4(★★) 10 . 设，，则（）A．B．C．D．(★★) 11 . 已知椭圆的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两个点，且，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 若函数有极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 在的展开式中，含项的系数为 _________ .（用数字填写答案）(★★)14 . 甲、乙、丙、丁4人站在一栋房子前，甲说：“我没进过房子”；乙说：“丙进去过”；丙说：“丁进去过”；丁说：“我没进过房子”，这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话，则进过这栋房子的人是_______.(★★) 15 . 在中，，，，，则_______.(★★) 16 . 的内角的对边分别为，且，若的周长的最大值为，则_______.三、解答题(★★) 17 . 已知数列的前项和为，，，（且）. （Ⅰ）证明：为等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和.(★★) 18 . 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥ ，，，，为的中点.（Ⅰ）证明： ∥平面 ； （Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.(★★) 19 . 近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等级标准，统一使用综合指标值 进行衡量，如下表所示.某花卉生产基地准备购进一套新型的生产线，现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取30个样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图.综合指标质量等级三级二级一级（Ⅰ）根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结论即可）； （Ⅱ）若从等级为三级的样品中随机选取3个进行生产流程调查，其中来自新型生产线的样品个数为，求的分布列；（Ⅲ）根据该花卉生产基地的生产记录，原有生产线加工的产品的单件平均利润为4元，产品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如下表：三级花二级花一级花销售率单件售价12元16元20元预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为10元，日产量3000件.因为鲜切花产品的保鲜特点，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.如果仅从单件产品利润的角度考虑，该生产基地是否需要引进该新型生产线？(★★★★) 20 . 已知抛物线，直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）若，求以为直径的圆被轴所截得的弦长；（Ⅱ）分别过点作抛物线的切线，两条切线交于点，求面积的最小值.(★★★★) 21 . 已知函数.（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若方程没有实数解，求实数的取值范围.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线与轴的正、负半轴分别交于两点.（Ⅰ）为上的动点，求线段中点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与分别交于点，且在的左侧，的面积是面积的2倍，求的值.(★★) 23 . 已知函数.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.。

2020届百师联盟全国高三模拟考（二）全国Ⅱ卷数学（理）试题一、单选题1．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B【解析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1 B C D ．5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255i i i iz i +-+===-，1z ∴==，故选：A 【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 3．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】命题p ：函数()x x f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，即可判断出真假．命题q ：在ABC ∆中，利用余弦函数单调性判断出真假． 【详解】解：命题p ：函数()x x f x e e -=+，所以()x x f x e e -=-'，当0x <时，()0f x '<，即函数在(,0)-∞上单调递减，因此是假命题．命题q ：在ABC ∆中，,(0,),cos A B y x π∈=在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B A B >⇔<，是真命题．则下列命题为真命题的是()p q ⌝∧． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C【解析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-,故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列前n项和nS的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.5．已知131412,log,sin(1)5a b c-===-，则（）A．b c a>>B．a b c>>C．c b a>>D．b a c>>【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】解：1030221-<<=Q，14441log log5log415=>=，(0,1),1,sin(1)0a b c∴∈>=-<，即b a c>>，故选：D【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB中点，F为CD的三等分点（靠近D）若AF x AC yDE=+u u u r u u u r u u u r，则y x-的值为（）A．12-B．23-C．13-D．1-【答案】D【解析】使用不同方法用表示出AFu u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AF AD DF AB AD=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A【解析】由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求． 【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ， Q CA AB ⊥u u u ru u u r，BD AB ⊥u u u r u u u r，∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ，1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r，故选：A ． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D【解析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为22R ==，∴三棱锥外接球表面积为()()222221445124a b a ππππ⎛⎫=++=-+⎪ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．12．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴=那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min min 242()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题13．5(13)(1)x x -+展开式中3x 项的系数是__________ 【答案】-20【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解． 【详解】解：555(13)(1)(1(13))x x x x x -=-+++展开式中3x 项的系数： 二项式5(1)x +由通项公式515()r r r T C x -+= 当3r =时，3x 项的系数是3510C =，当2r =时，2x 项的系数是2510C =， 故3x 的系数为3255320C C -=-；故答案为：20- 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x =与直线2x x =+围成的平面图形，向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________【答案】35【解析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：联立22y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，()222321111922232S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯=9321552ABCDS P S ∴===阴影故答案为：35【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.15．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即b a =，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，∴一条渐近线的斜率为1，即b a =，c ∴=，ce a∴==，． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为,,,A B C D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测： 甲说：第1个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是C 乙说：第2个盒子里放的是B ，第3个盒子里放的是D 丙说：第4个盒子里放的是D ，第2个盒子里放的是C 丁说：第4个盒子里放的是A ，第3个盒子里放的是C 小明说：“四位朋友你们都只说对了一半” 可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________ 【答案】A 或D【解析】分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可． 【详解】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B 是对的， 则乙说：第3个盒子里面放的是D 是对的， 丙说：第2个盒子里面放的是C 是对的， 丁说：第4个盒子里面放的是A 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是A ； 假设甲说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 则丙说：第4个盒子里面放的是D 是对的， 乙说：第2个盒子里面放的是B 是对的， 丁说：第3个盒子里面放的是C 是对的， 由此可知第4个盒子里面放的是D ． 故第4个盒子里面放的电影票为D 或A ．故答案为：A 或D 【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．三、解答题17．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，满足cos cos )cos 0(C A A B +=（1）求内角B 的大小（2）已知a c =，设点O 是ABC ∆外一点，且24OA OB ==，求平面四边形OACB 面积的最大值.【答案】（1）3B π=（2）8【解析】（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到sin (sin )0A B B =，再由同角三角三角的基本关系得到tan B ，即可求出角B ；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈，由余弦定理可得：216416cos AB θ=+-，则21sin 23ABC S AB π∆=，142sin 2AOB S θ∆=⨯⨯得到()4sin OACB S θθ=四边形，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值； 【详解】解：（1）由cos cos )cos 0(C A A B +-=，cos()(cos )cos 0A B A A B ∴-++-=，cos cos sin sin (cos )cos 0A B A B A A B ∴-++=，sin (sin )0A B B ∴=，sin 0A ≠Q ，tan B ∴=，()0,B π∈Q ， 3B π∴=；（2）由（1）知，ABC ∆是正三角形，设()0,AOB θπ∠=∈， 由余弦定理得：216416cos AB θ=+-，21sin 23ABC S AB πθ∆∴== 142sin 4sin 2AOBS θθ∆=⋅⋅=Q ，()4sin 8sin()3OACB S πθθθ∴=-=-四边形，所以当56πθ=时有最大值8【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.18．健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：（1）估计1位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望()E X【答案】（1）25（2）22.5（3）见解析，249200【解析】（1）根据频数计算频率，得出概率；（2）根据优惠标准计算平均利润；（3）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．【详解】解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率2510521005p++==；（2）第1次消费利润600.953027⨯-=；第2次消费利润600.903024⨯-=；第3次消费利润600.853021⨯-=；第4次消费利润600.803018⨯-=；这4次消费获得的平均利润：2724211822.54+++=（3）1次消费利润是27，概率是35；2次消费利润是272425.52+=，概率是14；3次消费利润是272421243++=，概率是110；4次消费利润是22.5，概率是120；由题意：390,,3,22X =3311111187(0)554410102020200P X ==⨯+⨯+⨯+⨯=33111119()2()254410102025P X ==⨯+⨯+⨯=311129(3)2()510420200P X ==⨯+⨯=9313()2252050P X ==⨯⨯=故分布列为：X32392P8720092529200350期望为: 87392993249()03200225200250200E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（2）163【解析】（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证．（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O ePA BC ∴⊥BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， BC ∴⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ；（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系， 则(0,0,0),3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r则00n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即33040x y y tz -=-+=⎪⎩，令3x 43,1,n t ⎫∴=⎪⎭r如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，则234cos 124m n t m nθ⋅==-+⋅u r ru r r ，4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为155，则tan θ16【点睛】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线24y x =有共同的焦点，且离心率为22，设12,F F 分别是,A B 为椭圆的上下顶点 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,2与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，当弦MN 的中点P 落在四边形12F AF B 内（含边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）61k ≥+61k ≤--【解析】（1）由已知条件得到方程组，解得即可；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由>0∆得到2k 的范围，设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 则120022,0221x x x y k +==>+，所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为()1,0，离心率为22，2221121b a a b ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪∴⎨⎝⎭⎪-=⎩，21a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+联立22222x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消元整理得22(21)860k x kx +++=，12122286,2121k x x x x k k ∴+=-=++， 由2264421)60k k ∆=-+⨯>（，解得232k > 设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 120022,0221x x x y k +∴==>+， 所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，即满足00001010x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，即2224102410k k k k ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得1k ≥+或1k ≤-- 【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数2()64ln f x x x x =-+ （1）求()f x 单调区间和极值；（2）若存在实数,,(0)a b c a b c <<<，使得()()()f a f b f c ==，求证：2c a -< 【答案】（1）()()0,12,x ∈⋃+∞时，函数单调递增，(1,2),x ∈，函数单调递减，min max ()4ln 28;()5f x f x --；（2）见解析【解析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；（2）易得(4ln 28,5)m ∈--且012a b c <<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+，即(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立，构造函数()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为2()64ln f x x x x =-+定义域为()0,∞+， 所以2(1)(2)()x x f x x--'=，()()0,12,x ∴∈⋃+∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,1和()2,+∞上单调递增，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，即函数()f x 在(1,2)单调递减，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值；()(2)4ln 28f x f ∴==-极小值，()(1)5f x f ==-极大值；（2）易得(4ln 28,5),012m a b c ∈--<<<<<，要证明2c a -<，即证2c a <+，即证()()(2)f c f a f a =<+ 即证(2)(2)0f a f a +-+>对()0,1a ∀∈恒成立， 令()(2)()g x f x f x =+-，(0,1)x ∈，则224[(1)3]()(2)()02x g x f x f x x x+-'''=+-=>+令()0g x '>，解得11x >>，即()g x在)1,1上单调递增；令()0g x '<，解得01x <<，即()g x在()1上单调递减；则()g x在1x =取得极小值，也就是最小值，min ()1)121)1)g x g ∴==+-124ln 2)0e >+-=从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：22t tt te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（其中t 为参数），直线l的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中m 为参数）（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）5【解析】（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】解：（1）曲线C ：22t t t te e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2222cos sin 1((,))44ππρθρθθ-=∈-所以2cos 21((,))44ππρθθ=∈-（2）255x m y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=，233055m m ∴--= 设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：215PA PB m m ∴⋅==【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题． 23．已知函数()|2|f x x a =-（1）若1a =，不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集； （2）若,(2)2x R f x x ∀∈-≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）(,8]-∞-【解析】（1）依题意可得41|21|2x x --+≥，再用零点分段法分类讨论可得； （2）依题意可得42x a x -≥+对x R ∀∈恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为R ，得到不等式即可解得； 【详解】解：（1）若1a =，()|21|f x x =-，则(2)(1)2f x f x -+≥，即41|21|2x x --+≥，当12x ≤-时，原不等式等价于14212x x -++≥，解得12x ≤- 当1124x -<<时，原不等式等价于14212x x ---≤，解得13x ≤-，所以1123x -<≤-； 当14x ≥时，原不等式等价于41212x x ---≥，解得2x ≥； 综上，原不等式的解集为[)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）(2)2f x x -≥即42x a x -≥+，得42x a x -≥+或42x a x -≤--，由42x a x -≥+解得23a x +≥， 由42x a x -≤--解得25a x -≤，要使得(2)2f x x -≥的解集为R ，则2253a a -+≥ 解得8a ≤-，故a 的取值范围是(,8]-∞-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。

2020届百校联盟（全国卷）高三第二次模拟考试数学试题（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．i是虚数单位，41i z i=- 则||z =( )A. 2B.C. 4D. 2．集合{}|2lg 1A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =( )A.[3,3]-B.(C.(]0,3D.⎡-⎣3．已知向量2a =，1b =，2)2(=-⋅b a a,则a 与b 的夹角为 ( )A.o 30B.o 60C.o 90D.o 1504.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本, 其中：城镇户籍与农村户籍各100人；男性120,女性80人, 绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示）, 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例, 则下列叙述中错误的是（ ）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别无关C ．倾向选择生育二胎的人群中, 男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数5.设变量y x ,满足约束条件,042001⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≤--y x y x y x 则y x z 2-=的最大值为 （ ） A.23B.-12C.0D. 1 6.正项等差数列}{a n 的前n 项和为n S ，已知==+-+92573,015S a a a 则( )A.35B.36C.45D.547.b a ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,βα⊥⊂b a , ,则 “βα//”是 “b a ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知实轴长为22的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的 左,右焦点分别为)0,2(),0,2(21F F - 点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则21F BF ∆的重心到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ） A.32 B. 32 C. 33D. 31 9．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为( )C.1D.1210.在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为,2,3,,,-=⋅=B c b a π且满足,sin 2sin sin B C A =+则该三角形的外接圆的半径为（ ）A.334 B.332 C.3 D. 11.已知点A 是抛物线y x 42= 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA = ，若m 取得最大值时，点P 恰好在以F A ,为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A.13-B.12-C.215- D.212-12.已知函数a x x ax x f +-=221ln )(有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是 （ ）A. {}0<a aB. {}0>a aC. {}1<a aD. {}1>a a 二、填空题（每小题5分，共20分）13．二项式51)x的展开式中2-x 的系数是_______________.14.已知)(x f 为奇函数，当0≤x 时，,3)(2x x x f -=则曲线)(x f y =在点)4,1(-处的切线方程为_______________.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为_______________.16. 三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为_______________.三、解答题17．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（I ）求证：MN//平面ABCD ； （II ）求二面角11D -AC B -的正弦值18. （本小题满分12分）支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”， 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I ）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II ）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率. 附：参考公式与参考数据如下，其中.19.（本小题满分12分） 已知数列}{n a 满足n n n n n a b N n a a a a 4112321log ),(2222=∈=++++*+- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列}b 1{1n +⋅n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分12分）椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)P 做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于,A B 两点，当直线l 垂直于y 轴时||AB =． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．21.（本小题满分12分） 已知).ln()(2a x ex f x++=.（Ⅰ）当1a =时，①求()f x 在()0,1处的切线方程；②当0≥x 时，求证：()()21f x x x ++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.选考题：本小题满分共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，).(1212:2为参数t t y t x C ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=（Ⅰ）求曲线1C 上的点到曲线2C 距离的最小值；（Ⅱ）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍，得到曲线1C '.设()1,1P -，曲线2C 与1C '交于A ，B 两点，求PA PB +.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.,322)(R m m x x x f ∈+++= （Ⅰ）当2-=m 时，求不等式3)(≤x f 的解集；（Ⅱ）),0,(-∞∈∀x 都有xx x f 2)(+≥恒成立，求m 的取值范围.数学试题（理科答案）1B 2C 3B 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10B 11B 12A 13.-10 14.5x+y-1=0 15.1375 16.3.17【解析】(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin,n n =所以二面角11D AC B --. 18(1)(2)2813 19（Ⅰ）当1n =时，41=a 当2n ≥时由132121+23222n nn a a a a +-+++=- 312122+23222nn n a a a a --+++=- 两式相减得122nn n a -=，即212n n a -=………………………4分 且上式对于1n =时不成立．所以数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧≥==-2,21,412n n a n n …… 6分 （Ⅱ）因为2122,111-=≥==n b n b n n 时，当时，，…………………………………………8分114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+所以12231111n n n T b b b b b b +=+++=12234+-n …………………………………………12分20（Ⅰ）由已知椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭，可得22222271143a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，.………………………………………………3分 解得229,4a b ==所以椭圆的E 方程为22194x y +=. ……………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)C x y由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，所以120002294, 124949x x k x y kx k k +-===+=++. …………………7分 当0k ≠时，设过点C 且与l 垂直的直线方程22194()4949k y x k k k =-++++ 将(,0)M m 代入得：549m k k=-+……………………………9分若0k >，则49k k +≥， 若0k <，则449[(9)]12k k k k -+=-+-≤- 所以5012m -≤<或5012m <≤………………………………………11分当0k =时，0m =综上所述，存在点M 满足条件,m 取值范围是551212m -≤≤.……………12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)xf x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分 ①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10x F x e x x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分（2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-<设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a'=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（） ()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=- 1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分 2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+ 设11()ln(),(0)22h x x x x =--+> 112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =--->2()221x g x e x '=-- 2()42420x g x e ''=->-> ()g x '∴在(0,)+∞单调递增 ()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分 22．（1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分 所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分 将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=-----23.解：当m=-2时，, 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为.当时，当时，不等式化为.由当且仅当即时等号成立.，.当时，不等式化为.，令，.，在上是增函数.当时，取到最大值为..综上.。

2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。

2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）欧拉公式：e πi +1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A ＝{e ，π，i ，1，0}，则集合A 不含无理数的子集共有（ ） A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个2．（5分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．153．（5分）已知cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=（ ） A ．35B ．45C ．−35D ．−454．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．25．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．456．（5分）（文科做）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离7．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，AE →=13AD →，则BE →=（ ） A ．13AB →−23AC →B ．13AC →−16AB →C ．16AB →−56AC →D ．16AC →−56AB →8．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．√34D ．√229．（5分）若点P 是椭圆x 24b +y 2b =1(b ＞0)上的点，且点I 是焦点三角形△PF 1F 2的内心，∠F 1PF 2的角平分线交线段F 1F 2于点M ，则|PIIM |等于（ ） A ．2√33B ．√22C ．√32D ．1210．（5分）设（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 50x 50，则a 3等于（ ） A ．C513B ．C514C ．2C503D ．C50411．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．14π3B ．7πC ．28π3D ．14π12．（5分）已知函数f （x ）＝x 4lnx ﹣a （x 4﹣1）（a ∈R ），若f （x ）≥0在0＜x ≤1恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ≥12C ．a ≥14D ．a ≥√28二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8（k ∈R ），若f （x ）为偶函数，则k ＝ ；若f （x ）在[2，5]上是单调函数，则k 的取值范围是 ．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0，则目标函数z ＝3x +y 的最大值为 ．15．（5分）已知点N 在圆x 2+y 2﹣4x +4y +7＝0上，点M 在直线3x ﹣4y +6＝0上，则|MN |的最小值为 ．16．（5分）已知甲、乙两地距丙的距离均为10km ，且甲地在丙地的北偏东25°处，乙地在丙地的南偏东35°处，则甲乙两地的距离为 km ．三．解答题（共7小题）17．设数列{a n}前n项和为S n，满足S n+1＝4a n+2（n∈N+），且a1＝1，（1）若c n=a n2n，求证：数列{c n}是等差数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且MB=4√3 3．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．19．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ 面积的最小值．20．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x（单位：只）如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可．这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数7a （14≤a ≤18），送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x ＜a 时，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝15，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）若a ＝16，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值；（Ⅲ）a ＝17时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率． 21．已知f （x ）＝（lnx ）2+2x ﹣ae x ．（l ）证明f （x ）在x ＝l 处的切线恒过定点； （2）若f （x ）有两个极值点，求实数a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣2a |﹣a ． （1）当a ＝2时，解不等式f （x ）＜3；（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≤|3x |恒成立？若存在求出实数a 满足的条件，不存在说明理由．2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）欧拉公式：e πi +1＝0被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A ＝{e ，π，i ，1，0}，则集合A 不含无理数的子集共有（ ） A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个【解答】解：集合A ＝{e ，π，i ，1，0}， ∵集合A 中不是无理数的有i ，1，0， ∴集合A 不含无理数的子集共有：23＝8． 故选：A ．2．（5分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．15【解答】解：由z （1﹣i ）2＝i ，得z =i (1−i)2=i −2i =−12，∴|z |=12． 故选：B ．3．（5分）已知cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=（ ） A ．35B ．45C ．−35D ．−45【解答】解：∵cos(π6−α)=35，∴sin[π2−(π6−α)]＝sin （π3+α）=cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=sin （π﹣α+2π3）＝﹣sin （α+π3）=−35， 故选：C ．4．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．2【解答】解：由程序框图可得第一次：S ＝2，k ＝1， 第二次，S ＝﹣1，k ＝3，不满足退出循环的条件； 第三次，S =12，k ＝5，不满足退出循环的条件； 第四次，S ＝2，k ＝7，不满足退出循环的条件； 第五次，S ＝﹣1，k ＝9，不满足退出循环的条件； 第六次，S =12，k ＝11，不满足退出循环的条件； …观察可知S 的值成周期为3的间隔存在， 第20162=1008次，S =12，k ＝2015，满足退出循环的条件；第1009次，S ＝2，k ＝2017，满足退出循环的条件； 故输出S 值为2， 故选：D ．5．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，基本事件总数n =C 52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数m =C 21C 31=6，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是p =m n =610=35． 故选：C ．6．（5分）（文科做）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离【解答】解：如图，设以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆的圆心坐标分别为B ，O ，半径分别为R ，r在三角形PF 1F 2中，圆心距|OB |=|PF 2|2=|PF 1|−2a 2=|PF 1|2−a =R ﹣r∴分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定是内切7．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，AE →=13AD →，则BE →=（ ） A ．13AB →−23AC →B ．13AC →−16AB →C ．16AB →−56AC →D ．16AC →−56AB →【解答】解：如图，∵D 为BC 的中点，AE →=13AD →，∴AE →=13AD →=16(AB →+AC →)，∴BE →=BA →+AE →=−AB →+16(AB →+AC →)=16AC →−56AB →． 故选：D ．8．（5分）已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C ．√34D ．√22【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）=sin 2x +(12sinx +√32cosx)2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin(2x −π6)+1， 当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f(x)min =1−12=12． 故选：A ．9．（5分）若点P 是椭圆x 24b +y 2b =1(b ＞0)上的点，且点I 是焦点三角形△PF 1F 2的内心，∠F 1PF 2的角平分线交线段F 1F 2于点M ，则|PIIM|等于（ ） A ．2√33B ．√22C ．√32 D ．12【解答】解：令P 到F 1F 2的高为h ，则S △PF 1F 2=12×2c ×ℎ， 由内切圆的定义知：S △IF 1F 2=12×2c ×r ，S △IPF 2+S △IPF 1=12×2a ×r ， 故S △PF 1F 2=12×2c ×ℎ=12×(2a +2c)×r ，则r ℎ=MI MP =√32+√3， ∴PI IM=√3=2√33，故选：A ．10．（5分）设（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 50x 50，则a 3等于（ ） A ．C513B ．C514C ．2C503D ．C504【解答】解：依题意，a 3=C 33+C 43+C 53+⋯+C 503＝（C 44+C 43）+C 53+⋯+C 503 ＝（C 54+C 53）+C 63+⋯+C 503 =C 504+C 503 =C 514．故选：B ．11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．14π3B ．7πC ．28π3D ．14π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且△P AD为正三角形，设△P AD的中心为G，过G作GO⊥平面P AD，且GO＝1，则O为该几何体的外接球的球心，连接OD，则OD为该几何体的外接球的半径．∴OD2=DG2+OG2=(2√33)2+12=73．∴该几何体的外接球的表面积为4π×73=28π3．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝x4lnx﹣a（x4﹣1）（a∈R），若f（x）≥0在0＜x≤1恒成立，则a的取值范围为（）A．a≥1B．a≥12C．a≥14D．a≥√28【解答】解：f(x)=x4[lnx−a(x4−1)x4]，又0＜x≤1，故x4＞0，则f（x）≥0等价为lnx−a(x4−1)x4=lnx−a+ax4≥0，设g(x)=lnx−a+ax4，x∈(0，1]，则g′(x)=1x−4ax5=x4−4ax5，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1]上单调递增，而当x→0时，g（x）→﹣∞，此时不满足题意；②当a＞0时，令g′（x）＞0，解得x＞(4a)14，令g′（x）＜0，解得0＜x＜(4a)14，（i）若(4a)14＜1，即0＜a＜14时，g（x）在(0，(4a)14)上单调递减，在((4a)14，1]上单调递增，则g(x)min=g((4a)14)=14ln(4a)−a+14=14[ln(4a)−(4a−1)]，由lnx ≤x ﹣1可知，ln （4a ）﹣（4a ﹣1）≤0恒成立，即始终存在x 0=(4a)14，使得g （x 0）＜0，不符合题意；（ii ）若(4a)14≥1，即a ≥14时，g （x ）在（0，1]上单调递减，此时g （x ）min ＝g （1）＝0，则g （x ）≥0在（0，1]上恒成立，满足题意． 综上，实数a 的取值范围为[14，+∞)． 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8（k ∈R ），若f （x ）为偶函数，则k ＝ 0 ；若f （x ）在[2，5]上是单调函数，则k 的取值范围是 （﹣∞，16]∪[40，+∞） ． 【解答】解：∵f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴x =k8，开口向上， 若f （x ）为偶函数，则k8=0即k ＝0，由f （x ）在[2，5]上是单调函数可得，k 8≥5或k8≤2，解可得，k ≥40或k ≤16．故答案为：0；（﹣∞，16]∪[40，+∞）．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0，则目标函数z ＝3x +y 的最大值为6 ．【解答】解：画出约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0表示的平面区域，如图阴影所示；平移目标函数z ＝3x +y 知，当目标函数过点C 时，z 取得最大值； 由{2x +y =4x +2y −2=0，求得C （2，0）； 所以z 的最大值为z max ＝3×2+0＝6． 故答案为：6．15．（5分）已知点N在圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0上，点M在直线3x﹣4y+6＝0上，则|MN|的最小值为3．【解答】解：化圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0为（x﹣2）2+（y+2）2＝1，则圆心坐标为（2，﹣2），半径为1．|6+8+6|=4＞1，圆心到直线3x﹣4y+6＝0的距离d=√3+(−4)2∴直线与圆相离，如图：由图可知，|MN|的最小值为4﹣1＝3．故答案为：3．16．（5分）已知甲、乙两地距丙的距离均为10km，且甲地在丙地的北偏东25°处，乙地在丙地的南偏东35°处，则甲乙两地的距离为10km．【解答】解：由题意，如图所示OA＝OB＝10km，∠AOB＝60∴△OAB为等边三角形；甲乙两地的距离为AB＝10km；故答案为：10三．解答题（共7小题）17．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足S n +1＝4a n +2（n ∈N +），且a 1＝1， （1）若c n =a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列． （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．【解答】证明：（1）数列{a n }前n 项和为S n ，满足S n +1＝4a n +2（n ∈N +），则：S n ＝4a n ﹣1+2，所以a n +1＝4a n ﹣4a n ﹣1，整理得a n−12+a n+12=4a n−12+4a n −4a n−12=2a n 2，所以数列{c n }是等差数列．解：（2）由于S 2＝4a 1+2，由于a 1＝1， 所以a 2＝3a 1+2＝5，所以数列{c n }是等差数列，且首项为c 1=a 12=12，公差为34，所以c n =3n−14， 所以a n =c n ⋅2n =3n−14⋅2n， 则：S n +1＝4a n +2＝（3n ﹣1）•2n +2， 所以S n =(3n −4)⋅2n−1+2..18．如图，在直角△AOB 中，OA ＝OB ＝2，△AOC 通过△AOB 以直线OA 为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC ＝120°），点D 为斜边AB 上一点，点M 为线段BC 上一点，且MB =4√33． （1）证明：OM ⊥平面AOB ；（2）当直线MD 与平面AOB 所成的角取最大值时，求二面角B ﹣CD ﹣O 的正弦值．【解答】（1）证明：△OBM 中，由余弦定理可得：OM 2＝22+(4√33)2−2×2×4√33×cos30°=43，解得OM =2√33． ∴OM 2+OB 2＝MB 2．∴OM ⊥OB ．由题意可知：OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB ∩OC ＝O ，∴OA ⊥平面OBC ，∴OA ⊥OM ． 又OB ∩OA ＝O ，∴OM ⊥平面AOB ．（2）解：由（1）可得：OM ⊥平面AOB ．∴OD 是斜线MD 在平面OAB 的射影． ∴∠ODM 是直线MD 与平面AOB 所成的角，取取最大值时，OD ⊥AB ，垂足为D ． ∴点D 为线段AB 的中点．建立如图所示对空间直角坐标系． O （0，0，0），B （0，2，0），D （0，1，1），C （√3，﹣1，0）， OC →=（√3，﹣1，0），OD →=（0，1，1），设平面OCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →•OC →=n →•OD →=0， ∴√3x ﹣y ＝0，y +z ＝0，取n →=（1，√3，−√3）， 同理可得平面CDB 的法向量m →=（√3，1，1）． ∴cos ＜m →，n →＞=√37×5=√10535．∴二面角B ﹣CD ﹣O 的正弦值为4√7035． 19．如图，F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点M ．（1）求证：点M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C 作抛物线的切线分别交直线AM ，BM 于点P ，Q ，求△FPQ 面积的最小值．【解答】解：（1）证明：抛物线x 2＝4y 的焦点F （0，1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12＝4y 1，x 22＝4y 2，直线AB 的方程为y ＝kx +1，联立抛物线方程可得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 可得x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，由y =14x 2的导数为y ′=12x ，可得A 处的切线的方程为y ﹣y 1=12x 1（x ﹣x 1）， 即为y =12x 1x −14x 12，同理可得B 处切线的方程为y =12x 2x −14x 22， 解方程可得M （x 1+x 22，x 1x 24），即M （2k ，﹣1），即点M 在抛物线的准线y ＝﹣1上；（2）设C （x 3，y 3），可得C 处的切线PQ 的方程为y =12x 3x −14x 32，则点F 到直线PQ 的距离为d =1+x 324√1+x 34，由（1）可得P （x 1+x 32，x 1x 34），Q （x 2+x 32，x 2x 34），可得|PQ |=|x 1−x 2|2√1+x 324， 则S △FPQ =12d |PQ |=|x 1−x 2|4（1+14x 32）≥|x 1−x 2|4=√x 12+x 22−2x 1x 24=√x 12+x 22+84≥√2(−x 1x 2)+84=1，当且仅当x 1＝﹣2，x 2＝2，x 3＝0时取得等号．则△FPQ面积的最小值为1．20．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x （单位：只）如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可．这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数7a （14≤a ≤18），送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x ＜a 时，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝15，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）若a ＝16，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值；（Ⅲ）a ＝17时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当x ＜a 时，y ＝（70﹣40）x +（56﹣a ﹣40）（a ﹣x ）＝（14+a ）x +16a ﹣a 2，当x ≥a 时，y ＝30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2，x ＜a 30a ，x ≥a (x ∈N ∗)，由a ＝15，得y ={29x +15，x ＜15450，x ≥15(x ∈N ∗)；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a ＝16，y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N *），300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值为1300×(420×45+450×60+195×480)=465（元）．（Ⅲ）当a ＝17时，y ={31x −17，x ＜17510，x ≥17(x ∈N ∗)，当x ＝16时，鸡厂当天在A 饭店得到的利润y ＝479元， ∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率为60300+60300=25．21．已知f （x ）＝（lnx ）2+2x ﹣ae x ．（l ）证明f （x ）在x ＝l 处的切线恒过定点； （2）若f （x ）有两个极值点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f ′(x)=2(lnx+x)−axe xx，∴f ′（1）＝2﹣ae ， 又f （1）＝2﹣ae ，∴f （x ）在x ＝1处的切线方程为y ﹣（2﹣ae ）＝（2﹣ae ）（x ﹣1），即y ＝（2﹣ae ）x ， ∴f （x ）在x ＝1处的切线恒过定点（0，0）；（2）f ′(x)=2(lnx+x)−axe x x，其中x ＞0，设g （x ）＝2（lnx +x ）﹣axe x ，则g ′(x)=(x+1)(2−axe x )x， 当a ≤0时，g ′（x ）＞0，则g （x ）在（0，+∞）上单调递增，g （x ）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f ′（x ）在（0，+∞）上至多有一个零点， ∴f （x ）至多只有一个极值点，不合题意，舍去；当a ＞0时，设h （x ）＝2﹣axe x ，h ′（x ）＝﹣a （x +1）e x ＜0，则h （x ）在（0，+∞）上单调递减，又ℎ(0)=2＞0，ℎ(2a )=2−2e 2a ＜0，∴存在x 0∈(0，2a )，使得h （x 0）＝0，即ax 0e x 0=2，且当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＞0，此时g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，x 0）上单调递增， 当x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）＜0，此时g ′（x ）＜0，g （x ）在（x 0，+∞）上单调递减， ∴g （x ）在（0，+∞）上存在极大值g （x 0），即g(x)max =2(lnx 0+x 0)−ax 0e x 0=2(lnx 0+x 0)−2=2(lnx 0+x 0−1)，若lnx 0+x 0﹣1≤0，则g （x ）≤0，f ′（x ）≤0， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；若lnx 0+x 0﹣1＞0，设p （x ）＝lnx +x ，则p ′(x)=1x +1＞0，∴p （x ）在（0，+∞）上单调递增，且p （1）＝0， ∴x 0＞1，∵（xe x ）′＝（x +1）e x ＞0， ∴y ＝xe x 在（0，+∞）单调递增，∴2a =x 0e x 0＞e ，即0＜a ＜2e ，此时g （x 0）＞0，f ′（x 0）＞0，∵g(1e )=2(−1+1e )−a ⋅1e ⋅e 1e =−2+2e −ae 1e −1＜0，g （x ）在（0，x 0）单调递增，g （x 0）＞0，∴存在x 1∈(1e ，x 0)，使得g （x 1）＝0，且当x ∈（0，x 1）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）在x ∈（0，x 1）上单调递减， 当x ∈（x 1，x 0）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）在x ∈（x 1，x 0）上单调递增， ∴f （x ）在x ＝x 1处取得极小值， 又∵e x ≥x +1＞x ﹣1≥lnx ，e x ≥x +1＞x ，∴g(4a )=2(ln 4a +4a )−4e 4a =2[(ln 4a −e 4a )+4a−e 4a ]＜0，∴g （x ）在（x 0，+∞）单调递减，g （x 0）＞0， 又∵x 0∈(0，2a)， ∴4a ＞x 0，∴存在x 2∈(x 0，4a )，使得g （x 2）＝0，且当x ∈（x 0，x 2）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，x 2）单调递增， 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）在（x 2，+∞）单调递减， ∴f （x ）在x ＝x 2处取得极大值．综上所述，若f （x ）有两个极值点，则实数a 的取值范围为(0，2e )．22．在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =|2cosθ+sinθ−3√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣2a |﹣a ． （1）当a ＝2时，解不等式f （x ）＜3；（2）是否存在实数a ，使得f （x ）≤|3x |恒成立？若存在求出实数a 满足的条件，不存在说明理由．【解答】解：（1）．当a ＝2时，f （x ）＝|2x ﹣4|﹣2={−2x +2，x ≤22x −6，x ＞2，当x ≤2时，﹣2x +2＜3，解得x ＞−12，∴−12＜x ≤2． 当x ＞2时，2x ﹣6＜3，解得x ＜92，∴2＜x ＜92．综上所述，a ＝2时，不等式f （x ）＜3的解集为：(−12，92)． （2）．f （x ）≤|3x |恒成立，即|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a ≤0恒成立．当a ＜0时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a ={x +a ，x ≤a 5x −3a ，a ＜x ＜0−x −3a ，x ≥0，此时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a 的最大值﹣3a ≤0，解得a ≥0，不成立；当a ≥0时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a ={x +a ，x ≤0−5x +a ，0＜x ＜a −x −3a ，x ≥a，此时，|2x ﹣2a |﹣|3x |﹣a 的最大值a ≤0，结合条件，∴a ＝0． 综上所述，存在a ＝0，使f （x ）≤|3x |恒成立．。