2020年百校联盟高考数学模拟试卷1(5月份)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|4x 2−3x ≤0}，B ={x|y =√2x −1}，则A ∩B =( )A. [0,34]B. ⌀C. [0,12]D. [12,34]2. 设复数z =4−2i7−3i ，则复数z 的虚部为( )A. −1729B. 1729C. −129D. 1293. 为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4. 若双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√133，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√22x C. y =±23xD. y =±32x5. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n <2019，则输出A 的值为( )A. 12 B. 2 C. −1 D. −26. 《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1丈=10尺．)A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=769，若a2=83，则数列{a n}的公比为()A. 12B. 13C. 23D. 348.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331611.记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6=18，S11=121.若3a2，a14，S m成等比数列，则a m=()A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知首项为1的数列{a n}满足a n+1=5a n−9，则数列{a n}的通项公式为a n=______．15.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2,π]上的取值范围为______．16.已知函数f(x)=x3−6x2+11x−3，若直线l与曲线y=f(x)交于M，N，P三点，且|MN|=|NP|，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，∠BAC=π4，AB=2，BC=√172，M是线段AC上的一点，且tan∠AMB=−2√2．(Ⅰ)求AM的长度；(Ⅱ)求△BCM的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知△PF 1F 2中，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|.(Ⅰ)求点Q 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若点M ，N 在曲线E 上，且M ，N ，F 1三点共线，求△F 2MN 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =3+3sinθ(θ为参数)，点M 是曲线C 上的任意一点，将点M 绕原点O 逆时针旋转90°得到点N.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点N 的轨迹C′的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线y =−√33x(y >0)与曲线C ，C′分别交于点A ，B ，点D(−6,0)，求△ABD的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|+|3x+5|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m≤2x2+|3x+5|在R上恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：依题意，A={x|4x2−3x≤0}={x|0≤x≤34}，B={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，故A∩B=[12,34 ]．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i58=1729−129i，∴复数z的虚部为−129．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得n=1，A=12满足条件n<2019，执行循环体，A=−1，n=2满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=3满足条件n<2019，执行循环体，A=12，n=4…观察规律可知A的取值周期为3，且2018=672×3+2，可得n=2018时，满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=2019此时，不满足条件n<2019，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：进行分割如图所示，故V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−PQFD1)+V BCGH−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=769，a2=83，∴83q+83+83q=769，解得：q=23，或32(舍去)．则数列{a n}的公比为23．故选：C．设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，由S3=769，a2=83，可得：83q+83+83q=769，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：S=2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得E(−1,y2)，可得k EF=y2−1−1=4，所以y2=−8，将y2=−8代入抛物线中，64=4x2，x2=16，及B(16,−8)，所以k BF=16−1−8=−158，所以直线AB的方程为：y=−158(x−1)，与抛物线联立可得225x2−706x+225=0，所以x1x2=1，所以x1=116，所以|AF|=x1+1=1716，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，由a4+a6=18，可得2a1+8d=18，即a1+4d=9，由S11=121，可得11a1+55d=121，即a1+5d=11，解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1，S n=12n(2n−1+1)=n2，若3a2，a14，S m成等比数列，则a142=3a2S m，即为272=9m2，可得m=9，则a m=a9=17．故选：C．等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4，根据三角函数的值cos34>sin34，则c=43cos34>b=43sin34，由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−5n 4+94【解析】解：∵a n+1=5a n −9， ∴a n+1−94=5(a n −94)，又a 1−94=−54，∴数列{a n −94}是首项为−54，公比为5的等比数列， ∴a n −94=(−54)×5n−1=−5n 4，∴a n =−5n 4+94，故答案为：−5n 4+94．由a n+1=5a n −9可得a n+1−94=5(a n −94)，所以构造出等比数列{a n −94}，再利用等比数列的通项公式即可求出a n ．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x −6×1−cos2x2+3=3√3sin2x +3cos2x=6(√32sin2x +12cos2x)=6sin(2x +π6)，当π2≤x ≤π时，π≤2x ≤2π，7π6≤2x +π6≤13π6，则当2x +π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sin π6=6×12=3，当2x +π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin 3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]， 故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.【答案】(2,3)【解析】解：函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，若直线l 与曲线y =f(x)交于M ，N ，P 三点，且|MN|=|NP|，所以N 是MP 的中点， 因为函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，可得f′(x)=3x 2−12x +11，f″(x)=6x −12，令f″(x)=6x −12=0，解得x =2， 此时f(2)=3，所以函数的对称中心的坐标(2,3)． 所以N(2,3)， 故答案为：(2,3)．利用已知条件说明N 是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan∠AMB =−2√2；∴sin∠AMB =2√23，cos∠AMB =−13；由正弦定理，BMsin∠A =ABsin∠AMB，即BM√22=22√23，解得BM=32；由余弦定理，cos∠AMB=AM2+BM2−AB22AM⋅BM ，即−13=AM2+94−42×AM×32，解得AM=√2−12；(Ⅱ)∵cos∠CMB=cos(π−∠AMB)=−cos∠AMB=13，∴sin∠CMB=2√23，在△BCM中，由余弦定理，有BC2=BM2+CM2−2BM⋅CM⋅cos∠CMB∴CM=2，∴S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB=12×32×2×2√23=√2．【解析】(Ⅰ)先求出∠AMB的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM的长；(Ⅱ)利用正弦定理求出sin∠CMB的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB求出△BCM的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.【答案】解：(1)取AB的中点E，连接PE，DE，∵AB=2CD=2，∴DC=BE，又∠ABC=∠BCD=90°，∴DC//BE，则四边形DCBE为平行四边形，可得BC//DE．∵DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，则BC//平面PDE；(2)∵BC⊥PD，BC⊥CD，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又BC⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，可得PF⊥平面ABCD，在Rt△PFA与Rt△PFD中，∵PA=PD，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD =V B−PAD ，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，可证四边形DCBE 为平行四边形，得BC//DE ，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE ；(2)由已知证明BC ⊥平面PCD ，可得平面PCD ⊥平面ABCD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ，得PF ⊥平面ABCD ，求解三角形求得AF =DF =PF =1，再由等体积法求点B 到平面PAD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K 2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关． (2)表2中的数据整理如下， ∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)． (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟， 当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设Q(x,y)，y ≠0，∵|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|，∴|PF 1|=4=|QF 1|+|QF 2|>|F 1F 2|=2 ∴点Q 为焦点在x 轴上，长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆上的点，且b 2=4−1=3，∴点Q 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1(y ≠0)；(Ⅱ)设直线MN 的方程为x =ky +1，联立{x =ky +1x 24+y 23=1可得(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4． ∵|MN|=√1+k 2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12(k 2+1)3k 2+4，点F 2到直线MN 的距离d =2√1+k 2，∴S △MNF 2=12|MN|⋅d =12√k 2+13k 2+4，令√k 2+1=t ≥1，则S △MNF 2=12t3t 2+1=123(t+13t)在[1,+∞)上单调递减，故当t =1也即k =0时，△F 2MN 面积的最大值为3．【解析】(Ⅰ)先设点Q 的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；(Ⅱ)先设出直线MN 的方程与椭圆方程联立求得y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4，进而求得|MN|与点F 2到直线MN 的距离d ，找出△F 2MN 面积的表达式，最后解决其最值问题． 本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C的普通方程为x2+(y−3)2=9，即x2+y2−6y=0，整理可得：ρ2=6ρsinα，故曲线C的极坐标方程为ρ=6sinα，设N(ρ,φ)，则M(ρ,φ−π2)，则有ρ=6sin(φ−π2)=−6cosφ，故点N的轨迹C′的极坐标方程为ρ=−6cosφ．(Ⅱ)曲线y=−√33x(y>0)的极坐标方程为θ=5π6(ρ>0)，D到曲线θ=5π6的距离为d=6sinπ6=3，曲线θ=5π6与曲线C交点A(3,5π6)，曲线θ=5π6与曲线C′交点B(3√3,5π6)，∴|AB|=3√3−3，故△ABD的面积S=12×|AB|×d=9√3−92．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x−1|+|3x+5|>8，当x<−53时，原式化为1−x−3x−5>8，解得x<−3，故x<−3，当−53≤x≤1时，原式化为1−x+3x+5>8，解得x>1，故无解，当x>1时，原式化为x−1+3x+5>8，解得x>1，故x>1，综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)．(Ⅱ)依题意，|x−1|+|3x+5|+m≤2x2+|3x+5|，则|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ， 即{2x 2+x −(m +1)≥02x 2−x +(1−m)≥0， 则只需{1+8(m +1)≤01−8(1−m)≤0，解得m ≤−98，∴实数m 的取值范围是(−∞,−98]．【解析】(Ⅰ)依题意，|x −1|+|3x +5|>8，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)依题意可得|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020届百师联盟全国高三模拟考（一）全国Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 2．已知集合{}20,2131x A x B x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭则()R C A B ⋂（ ）A ．[]1,2B ．()[),21,2-∞-UC ．()[],21,2-∞-⋃D ．(]1,2【答案】C【解析】解不等式确定集合,A B 中的元素，再由集合的运算法则计算． 【详解】由201x x +≤-得(2)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，∴21x -?，即[2,1)A =-，又{|2}(,2]B x x =≤=-∞，∴(,2)[1,)R A =-∞-+∞U ð，()(,2)[1,2]R A B =-∞-I U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 3．已知命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．[]02,2x ∃∉-，2430x x -+<B ．[]02,2x ∀∉-，2430x x -+<C ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+< D ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+≥【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥的否定是：:p ⌝[]2,2x ∀∈-，2430x x -+<.故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值， 5sin sin 1246ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和的正弦公式计算即可. 【详解】Q α为锐角，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin 45απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴51sin sin cos 1246424ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆()22314x y +-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．2 C 23D 6【答案】C【解析】先根据双曲线的方程求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，代入221be a=+.【详解】渐近线方程为0bx ay -=，2232ar a b ==+，2213b a ∴=，222313b e a ∴=+=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C【解析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．【详解】由32sin()()xx xf x f xe-+-==-，知()f x为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe-=<，排除C；322732sin3822fe-⎛⎫=>⎪⎝⎭，排除A．故选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D【解析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．12．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x ex a->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数xe y a=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题13．已知a =ra r 在b r ，则a r 与b r的夹角为_________.【答案】6π 【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】a r 在b r方向上的投影为cos ,cos ,2a a b a b <>=∴<>==r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．14．抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】2y =-【解析】根据题意先求出p 的值，然后再写出准线方程即可. 【详解】焦点到准线的距离为4p =，准线方程为22py =-=-. 故答案为：2y =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.15．已知ABC ∆内角、、A B C 的对边分别为,4,a b c a b ABC ==∆、、外接圆的面积为4π，则ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角,A B ，从而有C ，于是可得三角形边长，可得面积． 【详解】设外接圆半径为r ，则24,2S r r =π=π=，由正弦定理24sin sin a b r A B ===，得sin ,sin 12A B ==，,,,326A B C πππ∴===∴2c =，a =12S ac ==．故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.【答案】14π【解析】设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，∴2r ==当1x =时，2min min 2,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭表． 故答案为：14π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．三、解答题17．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为213a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T. 【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn + 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出1a 和d 的值，进而写出通项公式即可； （2）()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题得()23213177137492a a a a a S ⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-； （2）令()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111112113355721212121n n T n n n n =-+-+-+-=-=-+++. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，PE ⊥面ABCD ，3AD AE =，22AB BC AE ===，3PC =.（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求三棱锥C PAE -的体积.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）23. 【解析】（1）取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，易得//AB CQ ，//QF AP ，然后可证面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ；（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，分别求出EC ，PE 的长度，在梯形ABCD 中，作EH BC ⊥于H ，再求出EH 的长度，利用等体积法C PAE P ACE V V --=计算得解.【详解】（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB ， 证明如下，取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，//AD BC Q ，3AD AE =，2BC =，2AE =，AQ BC ∴=，即易得//AB CQ ，AB Ì面PAB ，CQ ⊄面PAB ， 所以//CQ 面PAB ，同理可得//QF AP ，AP ⊂面PAB ，QF Ë面PAB ， 所以//QF 面PAB ，又CQ QF Q ⋂=，CQ ，QF ⊂面CQF ，所以面//CQF 面PAB ，又CF ⊂面CQF ，所以//CF 面PAB ； （2）过E 作//EH AB 交BC 于H ，PE ⊥Q 面ABCD ，2ABC π∠=，EH BC ∴⊥在Rt PEC ∆中，225EC EH HC +=222PE PC EC +=， 所以11121223323C PAE P ACE ACE V V S PE --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证法，考查利用等体积法求三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计100（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？ （2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率. 附：()20P K k ≥0.050 0.0100.001()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）没有；（2）1021. 【解析】（1）（i ）根据题意补全22⨯列联表； （ii ）代入数据计算2K ，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】 （1）（i ）（ii ）由22⨯列联表得()2210035261425 5.229 6.63560404951K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”； （2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为735549⨯=，女用户人数为714249⨯=， 男用户编号a ，b ，c ，d ，e ，女用户编号m ，n ，则抽取的两位幸运用户有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c e ，(),c m ，(),c n ，(),d e ，(),d m ，(),d n ，(),e m ，(),e n ，(),m n ，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为1021，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为1021. 【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点为12F F 、，点P 为C 上任意一点，若1PF 的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点2F 与C 交于P Q 、两点，在x 轴上是否存在定点A ，使22PAF QAF ∠=∠成立，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；详见解析【解析】（1）由椭圆的性质得3,1a c a c +=-=，解得,a c 后可得b ，从而得椭圆方程； （2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n ，当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入AP AQ k k +＝0由恒成立问题可求得n ．验证l 斜率不存在时也适合即得． 【详解】解：（1）由题易知1max 1min31PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 方程为22143x y +=（2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-与椭圆方程联立得()22224384120kx k x k +-+-=，显然>0∆所以221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++ 因为22,0AP AQ PAF QAF k k ∠=∠∴+=()()()()()()1221121212110k x x n k x x n y yx n x n x n x n --+--∴+==---- 化简()()()222121222281824682120,0434343n k k n nk x x n x x n k k k --+-+++=∴-+=+++ 解得6240n -=即4n =所以此时存在定点()4,0A 满足题意 当直线l 斜率不存在时，()4,0A 显然也满足综上所述，存在定点()4,0A ，使22PAF QAF ∠=∠成立 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法． 21．已知函数1()ln 1a f x x x+=-+，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）若当0x >，()3f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1ln 214y x =++；（2）(],1e -∞--. 【解析】（1）先求导，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，对a 进行分类讨论， 求()f x 的最小值，解不等式求出范围即可. 【详解】（1）当2a =-时，1()ln 1f x x x=++，21()x f x x -'=，1(2)4f '∴=，()32ln 22f =+，所以切线方程为1ln 214y x =++；（2）当0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，()21'()1x a f x x ++=+，当1a ≥-时，即10a --≤，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上增，无最小值，舍去， 当1a <-时，即10a -->，()0f x '>，得1x a >--，()0f x '<，得01x a <<--， 此时()f x 在()1,1a ---上减，在()1a --+∞,上增，即()()min ()12ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤--， 综上(],1a e ∈-∞--. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12:12x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2211x y -+=（21 【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=（2）点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t将12:1x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与22:20C x y x +-=联立得)21212110,1,1t t t t t t +++=∴+=⋅=120,0t t ∴<<12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题． 23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）114m ≤-【解析】（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为2321m x x x ≤++--，求出2()321g x x x x =++--在3[,)2-+∞上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值． 【详解】解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩， 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数，∴当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2，3，5，8}，B={1,3，5，7，9}，则(∁U A)∩B=()A. {6,9}B. {6,7，9}C. {7,9}D. {7,9，10}2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则z1+i=()A. −32+32i B. −32+12i C. −12+32i D. 12+32i3.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =()A. 15B. 16C. 17D. 184.已知等比数列{a n}的公比q=2，前100项和为S100=90，则其偶数项a2+a4+⋅⋅⋅+a100为()A. 15B. 30C. 45D. 605.已知a=215，，，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a6.黄山市某年各月的日均最高气温(℃)数据的茎叶图为：，则这组数据的中位数是()A. 11B. 12C. 13D. 147.将函数y=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是()A. y=sin4xB. y=sinxC. y=sin(4x−π6) D. y=sin(x−π6)8.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为()A. √24B. √23C. 12D. 349.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△ABO的面积为()A. 5B. 52C. 32D. 17810. 已知sinθ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=( )A. 23B. 12C. √33D. √2211. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=4：3：5，则双曲线的离心率为( )A. √13B. √15C. 2D. √512. 函数f(x)=x ·e x 的最小值是( )A. −1B. −eC. −1eD. 不存在二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 口袋内有大小、形状完全相同的红球、白球各两个，现从中随机摸出两个球，则摸出的两球颜色恰好相同的概率为________．14. 若函数y =f (x )在(0,2)上是增函数，且函数的图象关于直线x =2对称，则f (1)，f (3.5)的大小关系是__________．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =−35，sinC =12，c =1，则△ABC 的面积为______ ．16. 如图一个水平放置的无盖透明的正方体容器，高12cm ，将一个球放在容器口，在向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为______ cm 3．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．18.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)证明：a1，a5，a41成等比数列；(2)求数列{a n⋅3n}的前n项和T n．19. 基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份 2017.8 2017.9 2017.10 2017.11 2017.12 2018.1 月份代码 x 1 2 3 4 5 6 市场占有率y(%)111316152021(1)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；(2)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：∑i=16 (x i −x )2=17.5，∑i=16 (x i −x )(y i −y )=35，√1330≈36.5.回归直线方程为ŷ=b̂x +a ̂，其中b ̂=i −x )n i=1i −y )∑(x −x )2n ，a ̂=y −b̂x ．20. 已知函数f(x)=(a +1a )ln x −x +1x ，其中a >0．(1)若f(x)在(0,+∞)上存在极值点，求a 的取值范围;(2)设a ∈(1,e]，当x 1∈(0,1)，x 2∈(1,+∞)时，记f(x 2)−f(x 1)的最大值为M(a).那么M(a)是否存在最大值?若存在，求出其最大值;若不存在，请说明理由．21. 在平面直角坐标系中，动点A(x,y)到F 1(−1,0)与F 2(1,0)的距离之和为4．(1)求动点A 的轨迹方程M ；(2)若斜率为12的直线l 与轨迹M 交于C ，D 两点，P(1,32)为轨迹M 上不同与C ，D 的一点，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，试问k 1+k 2是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由．22. 平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =√3+2cosαy =1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P 在射线l ：θ=π3上，且点P 到极点O 的距离为4． (1)求圆C 的普通方程与点P 的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知关于x的不等式x+|x−2c|−2≥0的解集为R．(1)求实数c的取值范围；(2)若实数c的最小值为m，p>0，q>0，r>0，且p+q+r=9m，求证：p2+q2+r2≥27．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：U={n∈N|1≤n≤10}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A={4,6，7，9，10}，则(∁U A)∩B={7,9}，故选：C．求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．由已知求得z，代入z1+i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，z=−1+2i，则z1+i =−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12+32i．故选：D．3.答案：A解析：【试题解析】解：2a⃗+b⃗ =(1,8)；∴(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =1⋅(−1)+8⋅2=15．故选A．先求出向量2a⃗+b⃗ 的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．向量坐标的加法运算，以及向量数量积的坐标运算．4.答案：D解析：本题考查等比数列前n项和公式．利用等比数列前n项和公式即可求出．解：因为S100=90，即a1(2100−1)2−1=90，则a1(2100−1)=90，所以a2+a4+⋅⋅⋅+a100=2a1[(22)50−1]22−1=23a1(2100−1)=23×90=60，故选D．5.答案：C解析：解：a=215>1，0<b=log352<log33=1，，∴a>b>c．故选：C．利用指数函数性质和对数函数性质，判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．本题主要考查利用指数函数性质和对数函数性质比较大小，是基础题．6.答案：B解析：本题考查了茎叶图，以及数据的中位数的判断，属于基础题．由茎叶图中的数据得到中位数为：11+132=12．解：由茎叶图可知：中位数为：11+132=12．故选B．7.答案：D解析：本题考查三角函数的平移变换，基本知识的考查，直接利用三角函数图象的平移变换规律求解即可．解：将函数y =sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位，可得y =sin[2(x −π6)+π6)=sin(2x −π6), 再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到y =sin(x −π6). 故选D ．8.答案：A解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D 为原点，DC 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与BD 所成角的余弦值． 解：四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 为边长2的等边三角形，BD =DC ，BD ⊥CD ， 以D 为原点，DC 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,1，√3)，C(2,0，0)，B(0,2，0)，D(0,0，0)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 设异面直线AC 与BD 所成角为θ， 则cosθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅2=√24． ∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为√24．故选：A ．9.答案：B解析：本题给出抛物线经过焦点F 的弦AB ，在已知AF 长的情况下求△AOB 的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．解：根据题意，抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0).设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)y 2=4x消去x ，得y 2−4k y −4=0， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由根与系数的关系可得y 1y 2=−4． 根据抛物线的定义，得|AF|=x 1+p2=x 1+1=5，解得x 1=4，代入抛物线方程得：y 12=4×4=16，解得y 1=±4，∵当y 1=4时，由y 1y 2=−4得y 2=−1；当y 1=−4时，由y 1y 2=−4得y 2=1， ∴|y 1−y 2|=5，即AB 两点纵坐标差的绝对值等于5． 因此△AOB 的面积为：S △AOB =S △AOF +S △BOF =12|OF|⋅|y 1|+12|OF|⋅|y 2| =12|OF|⋅|y 1−y 2| =12×1×5=52． 故选B .10.答案：C解析：本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．解：∵sinθ+sin(θ+π3)=1，∴sinθ+12sinθ+√32cosθ=1，即32sinθ+√32cosθ=1，得√3(12cosθ+√32sinθ)=1，即√3sin(θ+π6)=1，得sin(θ+π6)=√33故选：C．11.答案：D解析：解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|−|AF1|=|BF1|−|BF2|=2a，即5x−t=(4x+t)−3x=2a，解得t=2x，x=23a，即|AF1|=4a3，|AF2|=10a3，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2=|AB||AF2|=45，可得cos∠F2AF1=−45，△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1|⋅|AF2|cos∠F2AF1=169a2+1009a2−2×43a×103a×(−45)=20a2，可得|F1F2|=2√5a，即c=√5a，因此，该双曲线的离心率e=ca=√5．故选：D．设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=23a，Rt△ABF2中算出cos∠BAF2=|AB||AF2|=45，可得cos∠F 2AF 1=−45，在△F 2AF 1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题． 12.答案：C解析：此题考查函数的单调性与最值，属于基础题，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的极小值．解：y′=e x +xe x ，令y′=0可得x =−1，令y′>0，可得x >−1，令y′<0，可得x <−1，∴函数在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，∴x =−1时，函数y =xe x 取得最小值，最小值是−1e ．故选C ．13.答案：13解析：本题考查古典概型的概率公式，属于基础题．根据古典概型的公式直接求解即可．解：由题意可得所求概率为C 22+C 22C 42=13． 故答案为13． 14.答案：∵函数f (x )的图象关于直线x =2对称，∴f (3.5)=f (4−3.5)=f (0.5)∵函数y =f (x )在(0,2)上是增函数，而0.5<1∴f (1)>f (0.5)=f (3.5)故答案为：f (1)>f (3.5)解析：∵函数f (x )的图象关于直线x =2对称，∴f (3.5)=f (4−3.5)=f (0.5)∵函数y =f (x )在(0,2)上是增函数，而0.5<1∴f (1)>f (0.5)=f (3.5)故答案为：f (1)>f (3.5)15.答案：8√3−625解析：解：∵2R=csinC =2，则a=2RsinA=2×45=85，又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=45×√32+(−35)×12=4√3−310，∴S=12acsinB=12×85×1×4√3−310=8√3−625．故答案为：8√3−625．利用正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：2197π6解析：解：根据几何意义得出：边长为12的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：6，∵球面恰好接触水面时测得水深为8cm，∴d=12−8=4，∴球的半径为：R=√(R−4)2+62，R=132∴球的体积为43π×(132)3=2197π6cm3故答案为：2197π6根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积本题考查了球的几何性质，球的体积，属于中档题．17.答案：(1)证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又∵BC⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA，同理CD⊥PA，又∵BC∩CD=C，BC，CD⊂平面ABCD，∴PA ⊥平面ABCD ；(2)解： 分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(2,2，0)，E(0,1，1)，B(2,0，0)，P(0,0，2)，D(0,2，0)，设m →=(x,y ，z)为平面ABE 的一个法向量，又AE →=(0,1，1)，AB →=(2,0，0)，∴{y +z =02x =0，令y =−1，z =1，得m →=(0,−1,1)， 同理n →=(1,0，2)是平面BCE 的一个法向量，则cos <m →,n →>=√2×√5=√105， ∴二面角A −BE −C 的余弦值为√105．解析：本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．(1)证明CD ⊥PA ，BC ⊥PA.即可得 PA ⊥平面ABCD ；(2)分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，求出平面BCE 的一个法向量、平面ABE 的一个法向量即可．18.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 17=33，S 7=49，则：{a 1+16d =337a 1+21d =49，解得：a 1=1，d =2，所以：a n =2n −1．则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，即：a 52=a 1⋅a 41．所以：a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)解：由(1)得：a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，则：T n =1⋅31+3⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n ①，则：3T n =1⋅32+3⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n+1②①−②得：−2T n =3+2(32−3n+11−3)−(2n −1)⋅3n+1，整理得：T n =(n −1)⋅3n+1+3．故数列的前n 项和为：T n =(n −1)⋅3n+1+3解析：(1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． 19.答案：解：(1)∵y =11+13+16+15+20+216=16，∴i =1∑6(y i −y)2=76,∴r =n i=1i −x)(y i −y)√∑(x i −x)i=1∑(y i −y)i=1=√17.5×76=√1330=3536.5≈0.96， ∴两变量之间具有较强的线性相关关系，∴可用线性回归模型拟合两变量之间的关系，∴b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n =3517.5=2， 又x =1+2+3+4+5+66=3.5，∴â=y −b ̂x =16−2×3.5=9， ∴回归直线方程为y ^ =2x +92018年2月的月份代码x =7，∴y=2×7+9=23，∴估计2018年2月的市场占有率为23%；(2)用频率估计概率，A 款单车的利润X 的分布列为：∴E(X)=−500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2=350(元)，B 款单车的利润Y 的分布列为：∴E(Y)=−300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1=400(元)，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B 款车型．解析：本题考查回归直线方程的求法及利用分布列和期望解决问题．(1)作出散点图，判断是否线性相关，根据公式求出回归方程即可；(2)用频率估计概率，分别列出A和B的利润分布列，求出期望，比较期望的大小即可求出．20.答案：解：(1)f′(x)=(a+1a )·1x−1−1x2=−(x−a)(x−1a)x2，x∈(0,+∞)．①当a=1时，f′(x)=−(x−1)2x2≤0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，不存在极值点;②当a>0且a≠1时，f′(a)=f′(1a)=0，经检验，a，1a均为f(x)的极值点，∴a∈(0,1)∪(1,+∞);(2)存在.当a ∈(1,e]时，0<1a <1<a ，由(1)知，当f ′(x)>0时，1a <x <a;当f ′(x)<0时，x >a 或x <1a ，∴f(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a ,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．∴∀x 1∈(0,1)，有f(x 1)≥f(1a )，∀x 2∈(1,+∞)，有f(x 2)≤f(a)，∴[f(x 2)−f(x 1)]max =f(a)−f(1a )，，a ∈(1,e]．M′(a)=2(1−1a 2)lna +2(a +1a )1a +2(−1−1a 2)=2(1−1a 2)lna ，a ∈(1,e]．∴M′(a)>0，即M(a)在(1,e]上单调递增．∴M(a)max =M(e)=2(e +1e )+2(1e −e)=4e ．∴M(a)存在最大值4e ．解析：本题考查利用导数研究函数的极值及最值．(1)求出导数，然后分类讨论函数的单调性求解即可;(2)由(1)得M(a)的表达式，然后利用导数研究单调性求解即可．21.答案：解：(1)由题知|AF 1|+|AF 2|=4，|F 1F 2|=2，则|AF 1|+|AF 2|>|F 1F 2|，由椭圆的定义知点A 轨迹M 是椭圆，其中a =2，c =1，因为b 2=a 2−c 2=3，所以轨迹M 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线l 的方程为y =12x +t ，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立直线l 的方程与椭圆方程，消去y 可得3x 2+4(12x +t)2=12，化简得x 2+tx +t 2−3=0，当Δ>0时，即t 2−4(t 2−3)>0，也即|t|<2时，直线l 与椭圆有两交点，由韦达定理得x1+x2=−t，x1x2=t2−3，所以k1=y1−3 2x1−1=12x1+t−32x1−1，k2=y2−3 2x2−1=12x2+t−32x2−1，则k1+k2=12x1+t−32x1−1+12x2+t−32x2−1=x1x2+(t−2)(x1+x2)+3−2t(x1−1)(x2−1)=t2−3+(t−2)(−t)+3−2t(x1−1)(x2−1)=0，所以k1+k2为定值．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．(1)由题知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2，则|AF1|+|AF2|>|F1F2|，由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆其中a=2，c=1，从而能求出椭圆M的方程；(2)设直线l的方程为y=12x+t，C(x1,y1)，D(x2,y2)，联立直线l的方程与椭圆方程，得x2+tx+ t2−3=0，当Δ>0时，即t2−4(t2−3)>0，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理，得x1+x2=−t，x1x2=t2−3，由此能够得到k1+k2为定值．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式x +|x −2c|−2≥0的解集为R⇔函数y =x +|x −2c|在R 上恒大于或等于2，∵x +|x −2c|={2x −2c,x ≥2c 2c,x <2c， ∴函数y =x +|x −2c|，在R 上的最小值为2c ，∴2c ≥2⇔c ≥1．所以实数c 的取值范围为[1,+∞)；(2)证明：由(1)c min =1，即m =1．∴p +q +r =9，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p ×1+q ×1+r ×1)2=(p +q +r)2=81，即p 2+q 2+r 2≥27．当且仅当p =q =r =3等号成立．解析：本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的最值的求法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．(1)由题意可得函数y =x +|x −2c|在R 上恒大于或等于2，求得x +|x −2c|的最小值，解不等式即可得到c 的范围；(2)由(1)知p +q +r =9，运用柯西不等式，可得(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p ×1+q ×1+r ×1)2，即可得证．。

2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．345．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．函数f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线l 也是函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的一条切线，则k ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．若0≤α≤β≤π4，sin α+cos α＝a ，sin β+cos β＝b ，则以下结论正确的个数是（ ） ①ab ≥1；②ab ≤2；③2a ﹣b 的最大值为√2；④2a ﹣b 的最大值为2√2−1． A ．0 B ．1C ．2D ．312．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ）A．√24B．√22C．√33D．√32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和S n，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a2n−n}的前n项和T n大于2020的最小自然数n．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为−3 4．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证k MA+k MB= 43k OD．21．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝kx﹣cos x在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x轴．（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数F（x）＝g（x）﹣f（x）的零点的个数．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i+i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z=1+i，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a→+b→，再根据数量积的坐标运算法则表示出a→•（2a→+b→），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵a→=（﹣2，m），b→=（1，2），∴2a→+b→=(−3，2m+2)，∴a→•（2a→+b→）＝6+m（2m+2）=112，即m2+m+14=0，解得m=−12，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．34【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项的结果为15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），这2项来自影响稍弱区的结果为：（A，B），（A，C），（B，C），共3种，∴这两项来自影响稍弱区的概率为P=315=15．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素： （1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加； （3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加； （4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（ ） A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（1），进而推得甲丙丁都参加，即可得到答案解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加， 而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加， 但是无法确认小周是否参加， 故选：A ．【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属于中档题．6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k 的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f （x ）为R 上的增函数，由对数的运算性质可得log 234＜log 445＜log 889，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k ＝1，即f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，其导数f ′（x ）＝e x +e ﹣x +2cos x ≥2√e x ×e −x +2cos x ＝2+2cos x ≥0，则函数f （x ）为R上的增函数，又由log 445=log 2√45=log 2√5，log 889=log 2√893=log 2√93，则有log 234＜log 445＜log 889，又由函数f （x ）为R 上的增函数， 则a ＜b ＜c ； 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）． ∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．函数f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线l也是函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】分别求得f（x）＝2+k sin x和y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数，可得f（x）在（0，2）处的切线的斜率和方程，再设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k，m，n的方程组，解方程可得所求值．解：函数f（x）＝2+k sin x的导数为f′（x）＝k cos x，y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数为y′＝3x2﹣2x﹣3，可得f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线的斜率为k，切线的方程为y＝kx+2，设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k＝3m2﹣2m﹣3，n＝m3﹣m2﹣3m﹣1＝km+2，解得m＝﹣1，n＝0，k＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若0≤α≤β≤π4，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为√2；④2a﹣b的最大值为2√2−1．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质的应用求出a和b的范围，进一步利用线性规划的知识求出结论．解：a ＝sin α+cos α=√2sin(α+π4)，b ＝sin β+cos β=√2sin(β+π4)， 由于0≤α≤β≤π4，所以π4≤α+π4≤β+π4≤π2，所以sin(α+π4)≤sin(β+π4)， 所以1≤a ≤b ≤√2． 则：1≤ab ≤2． 故①②正确．由1≤a ≤b ≤√2，构造平面区域如图所示： 令2a ﹣b ＝t ，可得b ＝2a ﹣t ． 由{b =√2a =√2，可得A （√2，√2）， 当直线b ＝2a ﹣t 经过点A 时，t 取得最大值t ＝2√2−√2=√2．故③正确． 故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ） A ．√24B ．√22C ．√33D ．√32【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，即c =√3a ， 因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是 1118．【分析】求出符合条件的区间范围，根据长度比即可求解结论．解：由题意可得：该学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为90分钟，等待直播的时间不超过30分钟的，需在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为55；由测度比为长度比．可得所求概率为：5590=1118．故答案为：1118．【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ．【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0，∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，S 3＝15，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a 2n −n }的前n 项和T n 大于2020的最小自然数n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），由题设条件列出d 的方程，解出d ，a 1，求出通项公式； （2）由（1）求得a2n −n ，再使用分组求和求出T n ，研究其单调性，求出满足T n 大于2020的最小自然数n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则S 3＝3a 1+3×22d =15， ∴a 1+d ＝5，a 4＝5+2d ，a 13＝5+11d ， ∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴（5+2d ）2＝（5﹣d ）（5+11d ），解得d ＝0（舍）或d ＝2， 故a 1＝5﹣d ＝3．所以a n ＝3+（n ﹣1）×2＝2n +1； （2）根据（1）知a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＝2n +1﹣（2n ﹣1），∴T n ＝（22+23+…+2n +1）﹣[1+3+…+（2n ﹣1）]=4(1−2n)1−2−(1+2n−1)n 2=2n +2﹣n 2﹣4．∵2n ﹣n ＞0， ∴a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＞0，∴T n 单调递增，又∵T9＜2020，T10＞2020，所以T n大于2020的最小自然数n为10．【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前n项和的单调性，属于中档题．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．【分析】（1）由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，则AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．再由已知在可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，求出△P′AD的面积，得到∠P′AD＝120°或60°．再由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，得P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，求得P′到平面ABCD的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥P′﹣ABCD 的体积．【解答】（1）证明：由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，则AB⊥P′D．∵E为P'D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，∴S△P′AD=12×1×1×sin∠P′AD=12sin∠P′AD=√34，∴sin∠P′AD=√32，即∠P′AD＝120°或60°．由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，得点P′到平面ABCD的距离d=1×sin∠P′AD=√32．∴四棱锥P′﹣ABCD的体积V P′−ABCD=13×√32×12×(12+1)×1=√38．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，分别计算出P （A 1）和P （A 2）的值，再比较即可． 解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200由列联表可知：K 2=200×(50×70−30×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，由表知P （A 1）=10100+20100+45100=0.75，P （A 2）=15100+35100+40100=0.90， 因为P （A 1）＜P （A 2），所以小李应选择A 型出租车．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与过其右焦点F （1，0）的直线交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−34． （1）求C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为M ，k MA ，k MB 如分别表示直线MA ，MB 的斜率，求证k MA +k MB =43k OD． 【分析】（1）设A ，B 的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB ，OD 的斜率之积，由题意可得a ，b 的关系，再由右焦点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M 的坐标，将直线l 的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM ，BM 的斜率之和，再由直线AB ，OD 的斜率之积可证得k AM +k BM =43k OD ． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），将点A ，B 坐标代入椭圆的方程{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0，所以k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2， 因为D 为AB 的中点，所以k OD =y 1+y2x 1+x 2，所以k AB •k OD =−b 2a2=−34，所以b 2a =34，又a 2﹣b 2＝1，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得左顶点M （﹣2，0），由题意设直线AB 的方程：x ＝my +1， 联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 23=1整理可得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 所以k AM +k BM =y1x 1+2+y2x 2+2=y 1(my 2+3)+y 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m⋅−94+3m 2+3(−6m 4+3m2)m 2⋅−94+3m 2+3m(−6m 4+3m2)+9=−m ，因为k AB •k OD =−1m•k OD =−34，所以m =−43k OD ， 所以k AM +k BM =43k OD ．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，函数g （x ）＝kx ﹣cos x 在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x 轴．（1）求函数f （x ）的极值；（2）讨论函数F （x ）＝g （x ）﹣f （x ）的零点的个数．【分析】（1）利用函数f （x ）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值； （2）因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ，设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，分类讨论：（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减，此时可得F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，此时F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减，此时F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点．解：（1）因为函数f （x ）＝xlnx 的定义域为（0，+∞）， 所以f '（x ）＝lnx +1，令f '（x ）＜0，即lnx +1＜0，解得0＜x ＜1e， 所以f （x ）的单调递减区间为（0，1e ），令f '（x ）＞0，即lnx +1＞0，解得x ＞1e， 所以f （x ）的单调递增区间为（1e ，+∞），综上，f （x ）的极小值为f （1e）=−1e，无极大值；（2）由g '（x ）＝k +sin x ，得g '（−π2）＝k ﹣1＝0，故k ＝1，所以g （x ）＝x ﹣cos x ， 因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ， 设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减， 又F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （32π）=32π（1﹣ln 32π）＜0，故F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，因为F '（e ）＝sin e ﹣lne ＝sin e ﹣1＜0，F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以存在x 0∈（π2，e ]，使得F '（x 0）＝0，且在（π2，x 0）上F '（x ）＞0，在（x 0，e ]上F '（x ）＜0，所以F （x 0）为F （x ）在（π2，e ]上的最大值，又因为F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，所以F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈[1，π2]时，h '（x ）＝cos x −1x=xcosx−1x， 设t （x ）＝x cos x ﹣1，所以t '（x ）＝cos x ﹣x sin x ≤cos x ﹣sin x ＜0， 所以t （x ）在[1，π2]上单调递减，所以t （x ）＜t （1）＝cos1﹣1＜0，即h '（x ）＜0， 所以F '（x ）在（0，π2]上单调递减，因为F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以F （x ）在（0，π2]上单调递增，因为F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，F （1e ）=2e −cos 1e ＜2e −cos π6=2e −√32=4−√3e 2e＜0，所以F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点， 综上，F （x ）有且仅有2个零点．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k 1+k2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ， 则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1． 所以：|PD |=√|PC 1|2−1， 当|PC 1|最小时，|PD |最小，由于|PC 1|的最小值为圆心C 1到直线C 2的距离． 根据|PC 1|=|−1+0−4|2=5√22， 所以|PD|min =√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6． 【分析】（1）由f （x ）≥0，可得f （x ）+|f （x ）﹣9|＝|f （x ）|+|f （x ）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M ；（2）由条件可得（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020届百师联盟高三5月月考（全国卷I）数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P＝{x|1<x<3},集合Q＝{x|y＝ln(x－2)},则P∩(RðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x≤2}D.{x|1<x<2}2.高一2班有45名学生,学号为01－45,为弘扬中国古诗词文化,现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛,从随机数表第5行第15个数开始向右数,如图为随机数表的第5行和第6行,则抽取的第7个同学的学号是A.26B.35C.20D.433.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,0]上单调递增,且满足f(2)＝1,则不等式f(x2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞,－2)∪(－1,＋∞)B.(1,2)C.(－∞,1)∪(2,＋∞)D.(－2,－1)4.已知点F是双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点,点P是该双曲线渐近线上一点,若△POF是等边三角形(其中O为坐标原点),则双曲线C的离心率为。

○…………外…………○学○…………内…………○2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷（全国I 卷)文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．()()()1232i i i -+-=（ ） A ．113i + B ．93i + C ．113i -+D ．93i -+3．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>4．某学校有高中学生2200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700、700、800.为调查学生参加“春游活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为110的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30B ．35C ．38D ．405．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．…………○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※…………○…………装…………○…………订…6．cos525=（ ） A ．4-B ．4C ．4D ．4- 7．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A ．()4,6B ．()4,6--C ．1313⎛ ⎝⎭D ．,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．3……○…………订…………______班级：___________考号：_________……○…………订…………10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A B C ．12D 11．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．函数()11xe f x x+=+的图象在0x =处的切线方程为______.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F A 、B （B 在右侧），2AF 的中点为D ，若2BD AF ⊥，则该双曲线的离心率是______.15．第七届世界军人运动会（以下简称武汉军运会）专题新闻发布会在武汉举行，武汉军运会会徽、吉祥物正式公布.武汉军运会将于2019年10月1827日举行，赛期10天.若将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆至少2名志愿者，则其中志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆的概率为______. 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若sin 2n a n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2019S 的值为_________. 三、解答题17．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，…………订…………班级：___________考号：_______…………订…………每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.18．在公比大于1的等比数列{}n a 中，327a =，且2a 、318a +、4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设32log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ； （2）求直线AB 到平面PCD 的距离.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()()ln 21f x a x a x a R =+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a ≥且()2f x x ≤，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积. 23．已知函数()412f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()52y f x x =++的最小值为k ，正实数a 、b 满足69ka b +=，求证：参考答案1．A 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()()()()123252113i i i i i i -+-=+-=-+. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<；指数函数2xy =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=； 指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==. 综上所述，b a c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】计算出总体的入样比，进行可求得样本中高一年级学生的人数. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1101220020=，则高一年级应抽取的人数是17003520⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用分层抽样求样本中各层的容量，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的， 由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 6．A 【解析】 【分析】利用诱导公式得()cos525cos15cos 4530=-=--，结合两角差的余弦公式可计算出结果. 【详解】()()()cos525cos 360165cos165cos 18015cos15cos 4530=+==-=-=--()21cos 45cos30sin 45sin 3022224⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】设(),a x y =，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a 的坐标.【详解】设(),a x y =，且()4,6m =，()5,1b =-，由//a m 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--.故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】 由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-. 由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=. 若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．D【解析】【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.11．B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】 由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确； 令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈，故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则4SD CD ===则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又143OE DF OE OF =====由勾股定理得OD ==所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13．20x y +-=【解析】【分析】求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】()11x e f x x+=+，()()211x xe f x x -∴=+'，则切线的斜率为()01f '=-， 又()02f =，所以函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程为()20y x -=--，即20x y +-=.故答案为：20x y +-=.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，一般要求出切线的斜率和切点坐标，并利用点斜式得出切线方程，考查计算能力，属于基础题.14【解析】【分析】由2BD AF ⊥可得出2AB BF =，利用双曲线的定义求得12AF a =，24AF a =，且有123AF F π∠=，在12AF F ∆利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得双曲线C的离心率.【详解】 因为2AF 的中点为D ，2BD AF ⊥，所以BD 既是2ABF ∆的中线，又是2ABF ∆的高，所以2ABF ∆是等腰三角形且2AB BF =. 由双曲线定义得1212BF BF AF a -==，212AF AF a -=，24AF a ∴=，又直线AB 123AF F π∠=.在12AF F ∆中，由余弦定理得222244161cos 3032222a c a e e a c π+-==⇒--=⨯⨯，解得12e -=（舍去），12e +=.【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，在涉及焦点三角形时，一般利用双曲线的定义来求解转化，考查运算求解能力，属于中等题.15．710【解析】【分析】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5，列举出所有的基本事件，并确定事件“志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算得出所求事件的概率.【详解】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5.以()123,45表示场馆1、场馆2分别分配123、45的志愿者服务.将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()145,23、()234,15、()235,14、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()14,235、()15,234、()23,145、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共20种，其中，志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的情况如下：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共14种， 故志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的概率为1472010P ==. 故答案为：710. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.16．0【解析】【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果.【详解】 解：由于数列的通项公式为：sin 2n a n π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当1n =时，1sin 12a π==， 当2n =时，22sin 02a π==. 当3n =时，33sin 12a π==-， 当4n =时，44sin 02a π==， 当5n =时，55sin 12a π==， …所以：数列的周期为4，故：123410100a a a a +++=+-+=，所以：201920172018201950401010S a a a =⨯+++=+-=.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了数列的周期的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题. 17．（1）4.4小时；（2）0.4.【解析】【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=.由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天，又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4.【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.18．（1）3n n a =；（2）44n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，根据题中条件求得q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得321log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n S . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，因为2a 、318a +、4a 成等差数列，所以()324218a a a +=+.即()272271827q q +=+，整理得231030q q -+=，解得13q =（舍去）或3q =. 故3332733n n n n a a q --==⨯=；（2）由（1）得，2323log log 32n n n b a n ===，则()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.故1111111111422314144n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.19．（1）见解析；（2.【解析】【分析】（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ABEF 为平行四边形，可得出//BE AF ，并推导出AF ⊥平面PCD ，进而可得出BE ⊥平面PCD ；（2）推导出//AB 平面PCD ，可得知直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，即为AF ，进而得解.【详解】（1）如下图，取PD 的中点F ，连接AF 、EF .又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线，所以//EF CD 且12EF CD =. 又//AB CD 且12AB CD =，所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ，所以BE ⊥平面PCD ；（2）因为//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD . 所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.由（1）得AF ⊥平面PCD ，则AF 等于点A 到平面PCD 的距离. 因为122AB AD AP CD ====，所以12AF PD ===故点A 到平面PCD，即直线AB 到平面PCD.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了直线到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）216y x =；（2）4.【解析】【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离.【详解】（1）易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =. 联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭. 故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y x x my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）见解析；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数()()21a a x f x x+-'=，对实数a 进行分类讨论，分析导数在()0,∞+上的符号变化，进而可得出函数()y f x =在其定义域上的单调区间； （2）由题意得不等式()2ln 210a x a x x +--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()()2ln 21g x a x a x x =+--，可得出()max 0g x ≤，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，求得函数()y g x =的最大值，然后解不等式()max 0g x ≤即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()()ln 21f x a x a x =+-()a R ∈的定义域是()0,∞+.()()()2121a a x af x a x x+-'=+-=. ①当210a -≥，即12a ≥时，()210a a x +->，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当210a -<，即12a <时，（i ）若102a <<，则012a a>-. 令()0f x '<，得12a x a >-；令()0f x '>，得012ax a<<-， 此时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减；（ii ）若0a ≤，则()210a x -<，则()210a a x +-<，则()210a a xx+-<.则()0f x '<对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减；当102a <<时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减； 当12a ≥时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； （2）()2f x x ≤等价于()2ln 21a x a x x +-≤，即()2ln 210a x a x x +--≤. 令()()2ln 21g x a x a x x =+--，则()0g x ≤.()()()()21221x a x ag x x a x x-+'=-+-=-， ①当0a =时，()20g x x x =--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，符合题意； ②当0a >时，令()0g x '=，得x a =或12x =-（负根舍去），令()0g x '>，得0x a <<；令()0g x '<，得x a >， 所以函数()y g x =在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减. 故()()2max ln 0g x g a a a a a ==+-≤，因为0a >，所以ln 10a a +-≤，令()ln 1h a a a =+-，则函数()y h a =单调递增. 又()10h =，故由ln 10a a +-≤得()()1h a h ≤，得01a <≤. 综上，实数a 的取值范围为[]0,1. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．（1）:230l x y +-=，22:40C x y y +-=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）计算出直线l 截圆C 所得弦长AB ，并计算出原点O 到直线l 的距离d '，利用三角形的面积公式可求得OAB ∆的面积. 【详解】（1）由32x ty t=⎧⎨=-⎩得32y x =-，故直线l 的普通方程是230x y +-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，代入公式222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩得224x y y +=，得2240x y y +-=，故曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=；（2）因为曲线22:40C x y y +-=的圆心为()0,2，半径为2r，圆心()0,2到直线230x y +-=的距离为d ==，则弦长5AB ===.又O 到直线:230l x y +-=的距离为5d '==，所以1122555OAB S AB d ∆'=⨯=⨯=. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）分2x -≤、124x -<<、14x ≥三种情况解不等式()2f x >，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数()52y f x x =++的最小值为9k =，进而可得出61a b +=，再将代数式61a b +与6a b +相乘，利用基本不等式求得61a b+的最小值，进而可证得结论成立. 【详解】（1）当2x -≤时，由()2f x >，得1422x x -++>，即130x ->，解得13x <，此时2x -≤；当124x -<<时，由()2f x >，得1422x x --->，即530x +<，解得35x <-，此时325x -<<-；当14x ≥时，由()2f x >，得4122x x --->，即350x ->，解得53x >，此时53x >. 综上所述，不等式()2f x >的解集为35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()524142414841489y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=， 当且仅当()()41480x x -+≤时取等号，所以9k =，61a b +=.所以()6161366661224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当36b a a b =，即12a =，112b =时等号成立，所以6124a b+≥.≥≥【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U R =，{|(1)(2)0}A x x x =+->，{|22}x B x =„，则()(U A B =I ð)A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x 剟C ．{|11}x x -剟D ．{|1}x x -„2．（5分）已知i 为虚数单位，复数()12az i a R i=+∈+在复平面内所对应点(,)x y ，则( )A ．21y x =-+B ．21y x =-C ．25y x =-+D ．31y x =-3．（5分）已知向量(2,)a m =-r ，(1,2)b =r ，11(2)2a ab +=r r r g ．则实数m 的值为( )A ．1-B ．12-C ．12D ．14．（5分）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是1RO =+确诊病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO 据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为( ) A ．81B ．243C ．248D ．3635．（5分）已知23log 4a =，4848log ,log 59b c ==，则( ) A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<6．（5分）2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于( )A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组7．（5分）已知函数()sin()6f x x π=+图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2]π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是( ) A ．138[,)63B ．138(,]63C ．318[,)123D ．318(,]1238．（5分）已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，COD ∆为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为()A ．14B C D 9．（5分）已知椭圆221:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线l 过点1F ，设P 是直线l 与椭圆1C 的交点，Q 是线段2PF 与抛物线2C 的一个交点，则2||(QF = )A ．12(3-B ．12(4-CD ．10．（5分）已知实数a ，b ，满足22182a b +=θθ取最大值时，tan (θ=)A ．12B ．1CD ．211．（5分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且2212MF MN MN =u u u u r u u u u r u u u u r g ，以下结论正确的个数是( )①双曲线C ②双曲线C 的渐近线方程y =；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）已知定义在R 上的奇函数()2sin x x f x e ae x -=-+满足(3)()(0)(16)()(0)f y f x f f y f x f -⎧⎨-⎩剟剟，则z x lny =-的最小值是( )A ．6ln -B ．2-C ．6lnD ．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．（5分）2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为 ．14．（5分）已知函数||1()()2x a f x -=关于1x =对称，则(22)(0)f x f -…的解集为 ．15．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，cos (2)cos b C a c B =-，则B ∠= ，若2b =，则ABC ∆的面积为 ．16．（5分）在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为285cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为 2cm ． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图已知Rt PCD ∆、PD CD ⊥，A ，B 分別为PD ，PC 的中点22PD DC ==，将PAB ∆沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD '-，E 为P D '的中点． （1）证明：P D '⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA u u u r的方向相同时，P ABCD '-的正视图为直角三角形，求此时二面角A BE C --的余弦值．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，*n N ∈，56a =，627S =，数列{}n b 的前n 项和n T ，*2()n n T b n n N =-∈．（1）判断{1}n b +是等比数列，并求n b ； （2）求数列{}n n a b g 的前n 项和．19．（12分）2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A ，B 两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年 6年 7年 8年 总计 A 型出租车（辆) 10 20 45 25 100 B 型出租车（辆)15354010100（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计 A 型 B 型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A 和B 的车型中各随机抽1车，以X 表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X 的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ． 故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091． 故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析： 本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可． 解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。

绝密★启用前2020届百校联盟高三5月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＞0}，B ＝{x |2x ≤2}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣1} 答案：C先解出关于集合A ，B 的不等式，求出A 的补集，从而求出其补集与B 的交集. 解：因为()(){}{1202A x x x x x =+-=>或}1x <-所以}1|2{U A x x =-≤≤ð，{|}22{}1|x B x x x ==≤≤， ∴(){}11U A B x x ⋂=-≤≤ð，故选：C.点评：本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A ，B 是解决本题的关键，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数()12a z i a R i =+∈+在复平面内所对应点（x ，y ），则（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝3x ﹣1 答案：A利用复数的运算法则，化简复数为代数形式，求出复数的实部与虚部，列出方程组，消去参数，即可求解.解： 由题意，复数()122112555a i a a a z i i i i -⎛⎫=+=+=+- ⎪+⎝⎭， 因为复数()12a z i a R i=+∈+在复平面内所对应点(,)x y ， 可得5215a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去参数a ，可得y ＝﹣2x +1. 故选：A.点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3．已知向量()2,a m =-r ，()1,2b =r ，()1122a ab ⋅+=r r r ，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12- D ．-1 答案：C求出向量2a b +r r 的坐标，由()1122a ab ⋅+=r r r ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数m 的值.解：()()()2,,1,2,23,22a m b a b m =-=∴+=-+r r r r Q .()()()()11112,232222a ab m m ⋅+=∴-⨯-+⨯+=r r r Q ， 解得12m =-. 故选：C .点评：本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO .它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是：1RO =+确认病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，确认病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO 数据计算，若甲得这种传染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）A ．81B ．243C ．248D ．363答案：D先求出传播指数RO ，再计算出每轮感染的人数，相加即得．解：记第1轮感染人数为1a ，第2轮感染人数为2a ，…，第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 是等比数列，公比为q RO =，由题意140%53RO =+⨯=，即3q =，所以13a =，29a =，327a =，481a =，5243a =，总人数为5S =392781243363++++=人，故选：D ．点评：本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前5项和．5．已知23log 4a =，44log 5b =，88log 9c =，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b << 答案：B 根据对数的运算性质，将44log 5b =，88log 9c =改写为以2为底的对数，然后利用对数函数的单调性比较即可.解： 12242224log 41445log log log 5log 4255b ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，123822228log 81889log log log log 9log 8399c ⎛⎫===== ⎪⎝⎭因为94165<<123445⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以1222234log log log 45⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以a b c <<. 故选：B.点评：本题主要考查对数的运算性质，对数函数的单调性应用，属于基础题.6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计60岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组答案：C 先阅读题意，然后求出数据的极差，再确定组距，然后结合中位数的概念求解即可. 解：解：由如图所示的茎叶图可得：数据的极差为15.18.8 6.3-=，将数据分成7组，则组距为0.9，则第5组的范围是[]12.4,13.3，又由茎叶图可知中位数为12.5，则中位数应位于第5组内.故选：C.点评：本题考查了茎叶图，重点考查了中位数的概念，属基础题.7．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ）A ．13863⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．13863⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．318123⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．318123⎛⎤ ⎥⎝⎦， 答案：A 先求出图象变换后的函数解析式，再由题意利用正弦函数的图象和性质，可得9112,622πππωπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，由此可得结果． 解： 解：∵函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后， 得到的函数为sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值；,2666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∴9112,622πππωπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 则正实数13863ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，， 故选：A ．点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．3D ．22 答案：B设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，找出异面直线OC 与PD 所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.解：设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，则OE OC CD OD r ====，2PC PD r ==，所以PDE ∠为异面直线OC 与PD 所成的角，在三角形PDE 中，2PE PD r ==，DE r =，所以22cos 2rPDE r∠==. 故选：B.。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=a1+2i+i(a∈R)在复平面内所对应点（x，y），则（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝﹣2x+5D．y＝3x﹣1 3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．3635．已知a=log234，b=log445，c=log889，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组7．已知函数f(x)=sin(x+π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2) B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．211．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．312．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ） A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为 ．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n，n∈N*，a5＝6，S6＝27，数列{b n}的前n项和T n，T n=2b n−n(n∈N∗)．（1）判断{b n+1}是等比数列，并求b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线l ：y =mx −m 22(m ≠0)与椭圆C ：ax 2+by 2＝1交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−14，若直线x ＝t 与直线l 交于点P ，与直线OD 交于点M ，且M 为直线y =−14上一点． （1）求P 点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFGS △PDM的最大．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＞0}，B ＝{x |2x ≤2}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣1}【分析】先解出关于集合A ，B 的不等式，求出A 的补集，从而求出其补集与B 的交集． 解：因为∁U A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}＝{x |﹣1≤x ≤2}， B ＝{x |2x ≤2}＝{x |x ≤1}， ∴（∁U A ）∩B ＝{x |﹣1≤x ≤1}； 故选：C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A ，B 是解决本题的关键． 2．已知i 为虚数单位，复数z =a1+2i +i(a ∈R)在复平面内所对应点（x ，y ），则（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝3x ﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案． 解：∵z =a 1+2i +i =a(1−2i)5+i =a 5+(1−2a5)i ， ∴{x =a5y =1−2a 5，得y ＝﹣2x +1．故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量a →=（﹣2，m ），b →=（1，2），a →•（2a →+b →）=112．则实数m 的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a →+b →，再根据数量积的坐标运算法则表示出a →•（2a →+b →），从而得到关于m 的方程，解之即可．解：∵a →=（﹣2，m ），b →=（1，2），∴2a →+b →=(−3，2m +2)，∴a →•（2a →+b →）＝6+m （2m +2）=112，即m 2+m +14=0，解得m =−12，故选：B ．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO ＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO 据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A ．81B ．243C ．248D ．363【分析】根据题意求出RO 的值，再计算得病总人数． 解：由题意知，RO ＝1+40%×5＝3， 所以得病总人数为：3+32+33+34+35=3×(1−35)1−3=363（人）．故选：D ．【点评】本题考查了等比数列的前n 项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知a =log 234，b =log 445，c =log 889，则（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b =log 445=12log 245=log 2√5，c =log 889=13log 289=log 2√93， 因为916＜45＜√813，所以34√5√93，所以a ＜b ＜c 故选：B ．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题． 6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内． 故选：C ．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）．∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10．已知实数a ，b ，满足a 28+b 22=1，当√acosθ+√2bsinθ取最大值时，tan θ＝（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2【分析】根据辅助角公式可得√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，进而可求得答案解：由a 28+b 22=1得a 2+4b 2＝8，利用辅助角公式可得：√acosθ+√2bsinθ=√a +2b sin （θ+φ）≤√a +2b ≤√2√a 2+4b 22=2，其中tan φ=√a 2b ， 所以最大值为2，当且仅当a ＝2b ＝2时成立， 所以√acosθ+√2bsinθ=2sin （θ+π4）， 则θ=π4+2k π，k ∈Z ，则tan θ＝1， 故选：B ．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示a 、b ．11．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，以下结论正确的个数是（ ）①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1． A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论． 解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，e =ca =√3，故①正确； 又√1+b 2a 2=c a=√3，可得ba =√2，故②正确；因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22，故③错误． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x +2sin x 满足{f(y −3)≤f(x)≤f(0)f(1−6y)≤f(x)≤f(0)，则z ＝x ﹣lny 的最小值是（ ）A ．﹣ln 6B ．﹣2C ．ln 6D ．2【分析】由已知可求a ，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x ，y 的不等式组，结合线性规划知识即可求解． 解：由题意f （0）＝1﹣a ＝0可得a ＝1，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，f′(x)=e x +1e x+2cosx ≥2+2cos x ≥0， 故f （x ）在R 上单调递增，则{y −3≤x ≤01−6y ≤x ≤0，作出可行域如图所示，其中A （0，16），B （0，3），C （−177，47）， 设y ＝e x ﹣z ，则由图象可知，设y ＝x +3与y ＝e x ﹣z 相切于点D （x 0，y 0），由y ′＝e x ﹣z ，令e x 0−z =1可得x 0＝z ，y 0=1∈(47，3)，故y ＝x +3与y ＝e x ﹣z 相切于点D （﹣2，1）时，z 取得最小值z min ＝﹣2． 故选：B ．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现 了转化思想及数形结合思想的应用． 二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为15．【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项， 则这两项来自影响稍弱区的概率是： P =C 32C 62=315=15． 故答案为：15．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ． 【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称， ∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0， ∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt △PCD 、PD ⊥CD ，A ，B 分別为PD ，PC 的中点PD ＝2DC ＝2，将△PAB沿AB 折起，得到四棱锥P '﹣ABCD ，E 为P 'D 的中点． （1）证明：P 'D ⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA →的方向相同时，P '﹣ABCD 的正视图为直角三角形，求此时二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【分析】（1）由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ，得到AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ，再由已知可得AE ⊥P ′D ．由直线与平面垂直的判定可得P ′D ⊥平面ABE ； （2）由P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形，得P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC 的一个法向量与平面ABE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：由平面图可知，AB ⊥P ′A ，AB ⊥AD ， 又P ′A ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面P ′AD ，得AB ⊥P ′D ． ∵E 为P ′D 的中点，P ′A ＝AD ，∴AE ⊥P ′D ． ∵AE ∩AB ＝A ，∴P ′D ⊥平面ABE ；（2）解：∵P '﹣ABCD 的正视图与△P ′AD 全等，为直角三角形， 故P ′A ⊥AD ，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP ′所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则A （0，0，0），D （0，1，0），P ′（0，0，1）， B （12，0，0），C （1，1，0），E （0，12，12），P′D →=(0，1，−1)，BE →=(−12，12，12)，BC →=(12，1，0)． 设平面BEC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅BE →=−12x +12y +12z =0n →⋅BC →=12x +y =0，取x ＝2，得n →=(2，−1，3)．∴P′D →为平面ABE 的一个法向量，设二面角A ﹣BE ﹣C 为θ，∴cos ＜P′D →，n →＞=P′D →⋅n→|P′D →|⋅|n →|=−2√77． ∵二面角A ﹣BE ﹣C 为钝角，∴cos θ=−2√77，故二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值为−2√77．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，n ∈一、选择题*，a 5＝6，S 6＝27，数列{b n }的前n 项和T n ，T n =2b n −n(n ∈N ∗)． （1）判断{b n +1}是等比数列，并求b n ； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和．【分析】（1）T n =2b n −n(n ∈N ∗)．n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1，化为：b n ＝2b n ﹣1+1，变形为：b n +1＝2（b n ﹣1+1），进而证明结论．利用通项公式考点b n ．（2）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 5＝6，S 6＝27，利用通项公式可得：a 1+4d ＝6，6a 1+15d ＝27，联立解得：a 1，d ，可得a n ．可得a n •b n ＝（n +1）•2n ﹣（n +1）．利用错位相减法与等差数列得求和公式即可得出． 解：（1）T n =2b n −n(n ∈N ∗)．∴n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝2b n ﹣n ﹣（2b n ﹣1﹣n +1），化为：b n ＝2b n ﹣1+1， ∴b n +1＝2（b n ﹣1+1），n ＝1时，b 1＝2b 1﹣1，解得b 1＝1．∴b 1+1＝2．∴{b n+1}是等比数列，首项与公比都为2，∴b n＝2n﹣1．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5＝6，S6＝27，∴a1+4d＝6，6a1+15d＝27，联立解得：a1＝2，d＝1，∴a n＝2+n﹣1＝n+1．∴a n•b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）．∴数列{（n+1）•2n}的前n项和A n＝2×2+3×22+4×23+……+（n+1）•2n．∴2A n＝2×22+3×23+……+n•2n+（n+1）•2n+1．相减可得：﹣A n＝4+22+23+……+2n﹣（n+1）•2n+1＝2+2(2n−1)2−1−（n+1）•2n+1．化为：A n＝n•2n+1．∴数列{a n•b n}的前n项和＝n•2n+1−n(3+n)2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（1）先补充完整2×2列联表，然后根据K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X 的可能取值为0，1，2，先求出两种车型使用寿命不低于7年和低于7年的占比数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200∴K 2=200×(50×30−70×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关． （2）由题可知，A 型车使用寿命不低于7年的车数占710，低于7年的车数占310；B 型车使用寿命不低于7年的车数占12，低于7年的车数占12． ∴X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）=310×12=320，P （X ＝1）=710×12+310×12=12，P （X ＝2）=710×12=720． ∴X 的分布列为X12P32012720∴数学期望E（X）=0×320+1×12+2×720=65．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命年数5年6年7年8年A型6×5﹣11＝196×6﹣11＝256×7﹣11＝316×8﹣11＝37B型6×5﹣8＝226×6﹣8＝286×7﹣8＝346×8﹣8＝40用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为1100×(19×10+25×20+31×45+37×25)=30.1（万元），这100辆B型出租车的平均利润为1100×(22×15+28×35+34×40+40×10)=30.7（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m），且x＝0是f（x）的极值点．（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式e x＜bx+f（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合导数单调性及最值的关系即可求解；（2）由已知不等式代入整理可得ln（1+x）＜bx，可考虑构造函数h（x）＝ln（x+1）﹣bx ，结合导数与单调性的关系对b 进行分类讨论可求．解：（1）f′(x)=e x −1x+m， 由x ＝0是f （x ）的极值点可得1−1m =0，即m ＝1，经检验m ＝1符合题意， f′(x)=e x −11+x =e x (x+1)−1x+1， 设g （x ）＝e x （x +1）﹣1，则g ′（x ）＝e x （x +2）＞0在x ＞﹣1时恒成立，故g （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增且g （0）＝0，所以，当x ＞0时，g （x ）＞0即f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜0时，g （x ）＜0即f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，故当x ＝0时，f （x ）取得最小值f （0）＝1，（2）由e x ＜bx +f （x ）在（0，+∞）上恒成立可得ln （1+x ）＜bx ，设h （x ）＝ln （x +1）﹣bx ，则h′(x)=11+x −b ， （i ）若b ≥1，则x ＞0时，h′(x)=11+x−b ≤0，h （x ）单调递减， 所以h （x ）＜h （0）＝0，符合题意，（ii ）若b ≤0，则x ＞0时，h′(x)=11+x −b ＞0，h （x ）单调递增，h （x ）＞h （0）＝0，不符合题意，（iii ）若0＜b ＜1，则h′(x)=11+x −b =0时，x =1b −1， 当x ∈(0，1b −1)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，此时h （x ）＞h （0）＝0，不满足题意，综上，b 的范围[1，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线l ：y =mx −m 22(m ≠0)与椭圆C ：ax 2+by 2＝1交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−14，若直线x ＝t 与直线l 交于点P ，与直线OD 交于点M ，且M 为直线y =−14上一点．（1）求P 点的轨迹方程；（2）若F(0，12)为概圆C 的上顶点，直线l 与y 轴交点G ，记S 表示面积，求S △PFG S △PDM 的最大． 【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立两方程，结合韦达定理可得x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b 2bm 2+2a，再带回直线方程进而得到b ＝4a ，从而t ＝m ，消去m 后可得x 2＝2y ；（2）结合（1）表示出P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m +1，−m 22(4m 2+1)），M （m ，−14），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），联立{y =mx −m 22ax 2+by 2=1得（bm 2+a ）x 2﹣m 2bx +bm 44−1＝0， 则x 1+x 2=m 3b bm 2+a ，则x 0=x 1+x 22=m 3b 2bm 2+2a， 将其代入y ＝mx −m 22得y 0=−m 2a 2bm 2+2a， 因为y 0x 0•m =−a b ，所以−a b=−14，即b ＝4a ， 故OD 方程为y =−14m x ， 则−14=−14mt ，故t ＝m ， 代入y ＝mx −m 22，得P （m ，m 22），消去m ， 可得P 点的轨迹方程为x 2＝2y （x ≠0）；（2）由题得b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 2+4y 2＝1，由（1）知x 0=x 1+x 22=2m 34m 2+1，y 0=−m 22(4m 2+1)， 对于直线l ，令x ＝0，y =−m 22，则G （0，−m 22）， 所以P （m ，m 22），F （0，12），D （2m 34m 2+1，−m 22），M （m ，−14）， 所以S △PFG =12|GF ||m |=14|m |（m 2+1）S △PDM =12|PM |•|m ﹣x 0|=|m|(2m 2+1)28(4m 2+1)， 则S △PFGS △PDM =2(4m 2+1)(m 2+1)(2m 2+1)2，令n ＝2m 2+1，则S △PFGS △PDM=(2n−1)(n+1)n 2=−1n 2+1n +2， 当1n =12，即n ＝2时，S △PFGS △PDM 取得最大值94，此时m ＝±√22，满足△＞0． 【点评】本题考查点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合，转化思想、换元思想、函数思想等，综合性强，属于难题请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k 1+k 2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k 2y =2(1−k 2)1+k 2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k1+k 2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k 2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）． （2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ，则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1．所以：|PD|=√|PC1|2−1，当|PC1|最小时，|PD|最小，由于|PC1|的最小值为圆心C1到直线C2的距离．根据|PC1|=2=5√22，所以|PD|min=√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=13（x+1）2．（1）求f（x）+|f（x）﹣9|的最小值M；（2）若正实数a，b，c满足了f（a）+f（b）+f（c）＝M，求证：a+b+c≤6．【分析】（1）由f（x）≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M；（2）由条件可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

百师联盟2020届高三月考五 全国卷I文科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P ＝{x|1<x<3}，集合Q ＝{x|y ＝ln(x －2)}，则P ∩(R ðQ)＝A.{x|2≤x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x ≤2}D.{x|1<x<2}2.在递增等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 2＋a 4＝5，a 1·a 5＝4，则S 7＝ A.1272 B.212 C.632 D.6383.已知函数f(x)＝221211x x x x x ≤+-⎪>⎧⎪⎨⎩，，，则满足不等式f(1－a 2)≥f(a －1)的实数a 的取值范围为A.[－1，2]B.[－2，1]C.(－∞，－2]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)4.已知定义在R 上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且满足f(2)＝1，则不等式f(x 2＋3x)＋1<0的解集为A.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B.(1，2)C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－2，－1)5.已知点F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 是该双曲线渐近线上一点，若△POF 是等边三角形(其中O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为A.3B.2C.3D.236.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若p和p＋2均是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数。