2016年度江西地区百校联盟高考数学模拟试卷(理科解析版)

[]()()2255210105510103sin sin cos cos )(cos cos =⋅+⋅=-+-=--=ϕθθϕθθϕθθϕ江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考数学试卷（理科）答案1-6 DBACBC 7-12 DCACBA 13. 3 14. 2 15. 86112.提示：()2ln 22,x g x x '=-令()2ln 22,(0)ln 20,(1)2ln 220x m x x m m =-=>=-<2()2(ln 2)20x m x '=-<∴()m x 在[0,1]只有一个零点0x ，∴()g x 在0[0,)x 单增，在0(,1]x 单减，∴022000021()()22ln 2xx g x g x x x ≤≤=-=-< ，令()u g x =，2()03f u a u u ≥⇒≤-+ ∴2a ≤17.解：（1）()()0cos 2sin cos ,12,sin =-=⋅-=⋅θθθθb a，2tan =∴θ，34tan 1tan 22tan 2-=-=∴θθθ….6分（2）∵22ππθϕ-<-<∴cos()0θϕ->…………12分18.解：（1）()024.5634001535203051010255022>=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，故在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别是有关的；………4分（2）X 可取的值为0,1,2,3()247031037===C C X P ，()402113101327===C C C X P ， ()40723102317===C C C X P ，()1201331033===C C X P()101203402401240=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ………12分 19.解：（1）在等腰梯形ABCD 中，︒=∠60ABC ，AB AC ⊥∴，同理AB AC ⊥1， 而据题意可知：二面角1C AB C --为︒90，则平面角为︒=∠901CAC ，即1AC AC ⊥ 又A AC AB =1 ，1ABC AC 平面⊥∴，AC BC ⊥∴1；………6分（2）以A 为坐标原点，分别以1AC AC AB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()0,3,1M ，()0,32,0C ，()3,0,11-D()0,3,1=∴，()3,0,11-=AD ，设()1,,AMD z y x n 平面⊥=，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0303z x y x ，令3=x，则()1,1,3-=n ，又有()AMC m平面⊥=1,0,0， 5551,cos =>=<∴n m，故所求二面角余弦值为55 (12)分 20.(1)22225,35b ca b a a==⇒==∴椭圆C 的方程为22153x y += ……4分 （2）由（1）知F 若直线AB 的斜率不存在，则,M F不合题意，所以直线AB 的斜率存在且不为0，设其方程为(y k x = 并代入22153x y +=中，整理得：2222(53)10150k x x k +-+-=，212253x x k +=+，12253y y k -+=+……6分 ∴222(,)5353M k k -++ ∵AB MD ⊥∴1MD k k =-∴220153Dk k --=-+∴2253D x k =+即22(,0)53D k +∵MFD OED ∆∆∴2221220)||||S MD S DO +-=== 2919(1)44k +> 12221212211S S S S S S =++36(0,)97∈ ……12分 21. （1）令()21ln 20()x g x a f x x +=⇒==，()312ln 2xf x x --'=，定义域为(0,)+∞ 当121(0,)2x e -∈时，()0f x '>，当121(,)2x e -∈+∞时，()0f x '<∴()f x 在121(0,)2e -上递增，在121(,)2e -+∞上递减∴()12max1()22f x f e e -==，当0x +→时，()f x →-∞当x →+∞时，()0f x →（当112x e ->时，()0f x >）∴当2a e >时，()g x 没有零点当2a e =或0a ≤时，()g x 只有一个零点 当02a e <<时，()g x 有两个零点 ……6分（2）不妨设12x x <，由（1）知()f x 在()1,+∞递减，∴()()12f x f x >ln y x x =在()1,+∞上递增，∴1122ln ln x x x x <则不等式可化为()()111222ln ln f x kx x f x kx x +>+令()()ln h x f x kx x =+，则问题等价于()h x 在()1,+∞存在减区间()312ln 2()(ln 1)(ln 1)0xh x f x k x k x x--''=++=++≤有解 即312ln 2(ln 1)x k x x +≤+有解，令312ln 2()(ln 1)xm x x x +=+，2222626(ln 1)3ln 6ln 2ln 4()0(ln 1)x x x x x x x x m x x x -+---'=<+∴()m x 在()1,+∞递减，∴()(1)12ln 2m x m <=+∴12ln 2k <+........12分22．解：(解法1)（1）连接BC ,则90=∠=∠APE ACB ,即B 、P 、E 、C 四点共圆．∴CBA PEC ∠=∠又A 、B 、C 、D 四点共圆,∴PDF CBA ∠=∠∴PDF PEC ∠=∠ ∵PDF PEC ∠=∠ ……5分（2）∵PDF PEC ∠=∠∴180PDF PEA ∠+∠= ∴F 、E 、C 、D 四点共圆, ∴PD PC PF PE ⋅=⋅,又24)102(2=+⨯=⋅=⋅PA PB PD PC , 24=⋅PF PE ． …… 10分 解法2:（1）连接BD ,则AD BD ⊥,又AP EP ⊥∴90=∠+∠=∠+∠EAP PEA PDB PDF , ∵EAP PDB ∠=∠,∴PDF PEC ∠=∠ ……5分（2）∵PDF PEC ∠=∠,DPF EPC ∠=∠,∴PEC ∆∽PDF ∆,∴PD PEPFPC =, 即PD PC PF PE ⋅=⋅,又∵24)102(2=+=⋅=⋅PA PB PD PC , ∴24=⋅PF PE …… 10分23.解(1) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x -y -6=0， ∵曲线2C的直角坐标方程为：22()12y+=，∴曲线2C的参数方程为：()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数. …… 5分(2) 设点P的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：0d ==， ∴当0sin(60)1θ-=-时，点P 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时max d ==…… 10分24．解：（1）当1a ＝时，不等式为|||2|12x x ≥－＋－ ， 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到点1、2的距离之和大于等于2. ∴52x =或12x =．∴不等式的解集为15|22x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……..5分 （注：也可用零点分段法求解．） （2）∵|x －2a |＋|x －1|≥2a ∴原不等式的解集为R 等价于21a-≥2a .又a >0，∴a ≥ 4 ∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)．……..10分。

实用文档2016年江西省百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x2＞0}，则A∩B=（）A={y|y=2 ﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x1．已知集合A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）的模为为虚数单位，则复数z =1﹣2i，其中i2．若复数z的共轭复数为，且满足：）（4．．3 C．DA．1 B ）0”的函数是（（﹣x）=0且f′（x）≤．下列满足“3?x∈R，f（x）+f|x|=x+sinxf（x=x）﹣xe）B．A．f（2|x|）=x= D．f（xxC．f（））+S=18，则S=（是等差数列4．已知S{a}的前n项和，S53nn65 D．B．10 C．9 A．14个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字35，6这6个数字中任取5．从1，2，3，4，）比个位数字和百位数字都大的概率为（．．A．B．C D2B：ly=m（x﹣1）与抛物线交于A为坐标原点，6．已知OF为抛物线y，=4x 的焦点，直线在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m）的值为（两点，点A．DBA．3．C．）7．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（．以上都不正确．﹣1 DCA．2 B．的外接球的体积为CADD的中点，若三棱锥E﹣为线段DBABCD8．在正方体﹣AC中，EB111111）36π，则正方体的棱长为（ 4 3．D．C．A．2 B22﹣=2xf9．已知（）sinxcosxsinx+ ）cos2x+，则下列结论错误的是（A．）上单调递增f（x）在区间（0，实用文档），0．f（x）的一个对称中心为（﹣B，[1x∈[0，]时，fx）的值域为]．当C倍，再向左平移）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的（xD．先将函数f 个单4x+）的图象位后得到函数y=2cos（）4810．如图所示为某几何体的三视图，其体积为π，则该几何体的表面积为（C．60πD．78πA．24πB．36π为坐标原点，，F，O＞．已知双曲线C：﹣=1（a0，b＞0）的左、右焦点分别为F1121，|是双曲线在第一象限上的点，P =，直线PF交双曲线C于另一点N，若|PF|=2|PF212且∠MFN=120°，则双曲线C的离心率为（）2．C．D．A．B恒成立，则b﹣2x+1 的最小值为（）12．已知不等式ln（）﹣（a+2）x≤A．﹣2 B．2﹣．C．1﹣e D1﹣2e分小题，每小题二、填空题：本题共452（，13．向量||=1||=，+）（﹣）=．的夹角为，则向量与______﹣1m254 m的展开式中xy的系数为，则（x+．）dx=______）（yx14．已知（﹣）x+y22的最2ba2a+bQ15．若点（，﹣）在不等式组z=a表示的平面区域内，则+b ．大值为______的面积为ABC最小时，△AD的中点，则当BCAB+中，ABC16．已知△为D，BC=4，AC=6 ______．实用文档三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤成等差+aa，S+＞0，S+a，S，17．已知等比数列{a}的前n项和为Sa=，公比为q213n21n13数列．；（Ⅰ）求a n T．，求数列）{c}的前n项和（Ⅱ）设b=，c=b（b﹣b nnn+1nn+2nn“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”18．随着手机的发展，人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数的态度进行调查，随机抽取了50 如表：列联表，并判断是否．由以上统计数据完成下面的2×2（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：岁的人数合计年龄不低于45岁的人数年龄低于45 赞成不赞成合计（Ⅱ）若从年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查．记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望参考数据如下：2≥k）P（K 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8282=，（n=a+b+c+d）参考公式：K．19．如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．实用文档，椭圆0）F（c，（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点20．已知椭圆C：=1的距离为B，原点到直线AB．的右顶点为A，上顶点为I）求椭圆C的方程；（与≠0）的直线l的一点G，满足过点G且斜率为k（k（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于FG、P三点共线，若存在，求出点M关于x轴的对称点，N、F两点，椭圆C交于M、NP是点坐标；若不存在，说明理由．）=blnx．21．已知函数f（x2上的最值；（x）在区间[，x）当b=1时，求G（）=xe]﹣x﹣f（1x的取值范围．）＜﹣成立，求实数b）若存在一点x∈[1，e]，使得x﹣f（（2000：4-1[选修则按所做的第一题计分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，]几何证明选讲交，ADCO，以B、为切点的圆O的两条切线交于点D22．如图，等边三角形ABC 内接于圆E．圆O于点ABDC为菱形；（Ⅰ）证明：四边形的面积．（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC[选修4-4：坐标系与参数方程]．轴的正半轴为为参数）t，以坐标原点为极点，x23．已知直线l的参数方程为（的极坐标方程为ρ=2cosθ．极轴建建立极坐标系，曲线C l的极坐标方程；（I）求曲线C的直角坐标方程与直线|AB|的值．B，与直线l交于点，求（不同于原点）与曲线（Ⅱ）若直线θ=C交于点A．4-5：不等式选讲]选修[ x=|x+2|+|xf24．设函数（x）﹣2|，∈R．的解集；xf（Ⅰ）求不等式（）≤6 xfx（Ⅱ）若关于的方程（）a1|﹣=a|x恰有两个不同的实数根，求的取值范围．实用文档实用文档2016年江西省百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足33=-+iz iz ,i 是虚数单位,则=z （ ） A.i 31+ B.i 31- C.i 3 D.i 3-2.已知集合{}01|2=++=x x x A ，{}22|<≤-=x x B ，则()RA B =（ ）A.[]1,1-B.[)2,2-C.[)2,1-D.∅ 3.下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A.1ln 1x y x -=+B.1y x x=+ C.1y x=D. cos y x x = 4.执行右边的程序框图，当2,n n N *≥∈ 时，()n f x 表示1()n f x -的导函数，若输入函数1()sin cos f x x x =-，则输出的函数()n f x 可 化为（ ） A. 2sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. 2sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭C. 2sin 4x π⎛⎫-+⎪⎝⎭D. 2sin 4x π⎛⎫--⎪⎝⎭5.已知0k >，,x y 满足约束条件24(4)x x y y k x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若z x y =-的最大值为4，则k 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.(0,1]C. (1,)+∞D. [1,)+∞6.设数列{}n a 是首项为1，公比为(1)q q ≠-的等比数列，若11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则233420152016111111()()()a a a a a a ++++++=（ ） A.4024 B.4026 C.4028 D.40307. 4位外省游客来江西旅游，若每人只能从庐山、 井冈山、龙虎山中选择一处游览，则每个景点都有 人去游览的概率为 A.89 B. 916 C. 34 D. 498.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.16 B.13 C.23 D. 569.对于下列命题：①若命题:,p x R ∃∈使得tan x x <，命题2:,lg lg 10q x R x x +∀∈++> 则命题“p 且q ⌝”是真命题；②若随机变量(,)B n p ξ,6,3,E D ξξ==则3(1)4P ξ==③“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的充要条件；④已知ξ服从正态分布2(1,2)N ，且(11)0.3P ξ-≤<=，则(3)0.2P ξ≥=其中真命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D. 4个10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于点A 、B ，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积为3，则p =（ ）A ．1B ． 32C.2D.311.已知向量,,a b c 满足||||2a b a b ===，()(2)0a c b c --=，则||b c -的最小值为（ ）A.312- B.237-C.23 D.2712.函数22()3,()2xf x x x ag x x =-+-=-,若[()]0f g x ≥对[0,1]x ∈恒成立,则实数a 的范围是（ ）A.(,2]-∞B.(,]e -∞C.(,ln 2]-∞D.1[0,)2二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.已知抛物线214y x =的焦点为F ，点(2,2)A ，点P 在抛物线上，则||||PA PF +的最小值为______14.已知45)21()1(x ax -+的展开式中2x 的系数为16-，则实数a 的值为15.已知(1)2n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下 的数从小到大排成数列{}n b ，则21b =__________16.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为ABCD 的中心，1A E 与球相交于FE ，则EF 的长为_________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分） 已知向量()2,sin -=θa，()θcos ,1=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈；（1）求tan 2θ的值；（2）若()20,1010sin πϕϕθ<<=-，求ϕcos 的值. 18.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 合计 男 25 5 30 女10 10 20 合计35 15502()P K k ≥0.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）（1）能否在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的10名女生中任意抽取3人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙、丙三位女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望EX19.（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，122AD BC ==， 60ABC ∠=，M 是BC 的中点，将梯形 ABCD 绕AB 旋转90，得到梯形11ABC D （如图）（1）求证：1BC AC ⊥(2)求二面角1D AM C --的余弦值B 120.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>,垂直于x 轴的焦点弦的弦长为655 ，直线220x y -+=与以原点为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切. （1）求该椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记∆MFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．求122212S S S S +的取值范围 21.（本小题满分12分）已知()21ln 2xf x x+=． （1）若()2ln 21g x ax x =--()a R ∈，讨论()g x 的零点个数（2）存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()121122ln ln f x f x k x x x x -≥-成立，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分） 如图,圆O 的直径10=AB ,P 是AB 延长线上一点, 2=BP ,割线PCD 交圆O 于点C ,D ,过点P 作AP 的垂线,交直线AC 于点E ,交直线AD 于点F ．（1）求证:PDF PEC ∠=∠； （2）求PF PE ⋅的值． 23．（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线2C ,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 24．（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式|x －2a |＋|x －1|≥2a(0a >)． （1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．[]()()2255210105510103sin sin cos cos )(cos cos =⋅+⋅=-+-=--=ϕθθϕθθϕθθϕ江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考数学试卷（理科）答案1-6 DBACBC 7-12 DCACBA 13. 3 14. 2 15. 861 16.312.提示：()2ln 22,xg x x '=-令()2ln 22,(0)ln 20,(1)2ln 220xm x x m m =-=>=-<2()2(ln 2)20x m x '=-<∴()m x 在[0,1]只有一个零点0x ，∴()g x 在0[0,)x 单增，在0(,1]x 单减，∴022000021()()22ln 2xx g x g x x x ≤≤=-=-< ，令()u g x =，2()03f u a u u ≥⇒≤-+ ∴2a ≤17.解：（1）()()0cos 2sin cos ,12,sin =-=⋅-=⋅θθθθb a，2tan =∴θ，34tan 1tan 22tan 2-=-=∴θθθ….6分 （2）∵22ππθϕ-<-<∴cos()0θϕ->…………12分18.解：（1）()024.5634001535203051010255022>=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，故在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别是有关的；………4分（2）X 可取的值为0,1,2,3()247031037===C C X P ，()402113101327===C C C X P ， ()40723102317===C C C X P ，()1201331033===C C X P()101203402401240=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ………12分19.解：（1）在等腰梯形ABCD 中，︒=∠60ABC ，AB AC ⊥∴，同理AB AC ⊥1， 而据题意可知：二面角1C AB C --为︒90，则平面角为︒=∠901CAC ，即1AC AC ⊥ 又A AC AB =1 ，1ABC AC 平面⊥∴，AC BC ⊥∴1；………6分（2）以A 为坐标原点，分别以1AC AC AB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()0,3,1M ，()0,32,0C ，()3,0,11-D()0,3,1=∴AM ，()3,0,11-=AD ，设()1,,AMD z y x n平面⊥=， 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0303z x y x ，令3=x ，则()1,1,3-=n ，又有()AMC m 平面⊥=1,0,0， 5551,cos =>=<∴n m，故所求二面角余弦值为55……12分 20. (1)2222652,5,35b ca b a a==⇒==∴椭圆C 的方程为22153x y += ……4分 （2）由（1）知(2,0)F 若直线AB 的斜率不存在，则,M F不合题意，所以直线AB 的斜率存在且不为0，设其方程为(2)y k x =- 并代入22153x y +=中，整理得：2222(53)10210150k x k x k +-+-=，212102k x x += ，1262k y y -+=6分 ∴2225232(,)5353k kM k k -++ ∵AB MD ⊥ ∴1MD k k =- ∴232053152Dkk k kx --+=--∴22253D k x k =+即2222(,0)53k D k + ∵MFDOED ∆∆ ∴22222122225222320)||535353||22()k k k S MD k k k S DO k --++++=== 2919(1)44k +> 12221212211S S S S S S S S =++36(0,)97∈ ……12分21. （1）令()21ln 20()x g x a f x x +=⇒==，()312ln 2xf x x--'=，定义域为(0,)+∞ 当121(0,)2x e -∈时，()0f x '>，当121(,)2x e -∈+∞时，()0f x '<∴()f x 在121(0,)2e -上递增，在121(,)2e -+∞上递减∴()12max1()22f x f e e -==，当0x +→时，()f x →-∞当x →+∞时，()0f x →（当112x e ->时，()0f x >） ∴当2a e >时，()g x 没有零点当2a e =或0a ≤时，()g x 只有一个零点 当02a e <<时，()g x 有两个零点 ……6分（2）不妨设12x x <，由（1）知()f x 在()1,+∞递减，∴()()12f x f x >ln y x x =在()1,+∞上递增，∴1122ln ln x x x x <则不等式可化为()()111222ln ln f x kx x f x kx x +>+令()()ln h x f x kx x =+，则问题等价于()h x 在()1,+∞存在减区间()312ln 2()(ln 1)(ln 1)0xh x f x k x k x x--''=++=++≤有解 即312ln 2(ln 1)x k x x +≤+有解，令312ln 2()(ln 1)xm x x x +=+， 2222626(ln 1)3ln 6ln 2ln 4()0(ln 1)x x x x x x x x m x x x -+---'=<+ ∴()m x 在()1,+∞递减，∴()(1)12ln 2m x m <=+∴12ln 2k <+........12分22．解：(解法1)（1）连接BC ,则90=∠=∠APE ACB ,即B 、P 、E 、C 四点共圆．∴CBA PEC ∠=∠又A 、B 、C 、D 四点共圆,∴PDF CBA ∠=∠∴PDF PEC ∠=∠ ∵PDF PEC ∠=∠ ……5分（2）∵PDF PEC ∠=∠∴180PDF PEA ∠+∠=∴F 、E 、C 、D 四点共圆, ∴PD PC PF PE ⋅=⋅,又24)102(2=+⨯=⋅=⋅PA PB PD PC , 24=⋅PF PE ． …… 10分解法2:（1）连接BD ,则AD BD ⊥,又AP EP ⊥∴90=∠+∠=∠+∠EAP PEA PDB PDF , ∵EAP PDB ∠=∠,∴PDF PEC ∠=∠ ……5分（2）∵PDF PEC ∠=∠,DPF EPC ∠=∠,∴PEC ∆∽PDF ∆,∴PD PEPF PC =, 即PD PC PF PE ⋅=⋅,又∵24)102(2=+=⋅=⋅PA PB PD PC , ∴24=⋅PF PE (10)分23.解(1) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x -y -6=0， ∵曲线2C 的直角坐标方程为：22()()123x y +=，∴曲线2C 的参数方程为：3cos ()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数. …… 5分(2) 设点P 的坐标(3cos ,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：0|23cos 2sin 6||4sin(60)6|55d θθθ----==， ∴当0sin(60)1θ-=-时，点P 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时max |46|255d +==.…… 10分24．解：（1）当1a ＝ 时，不等式为|||2|12x x ≥－＋－， 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到点1、2的距离之和大于等于2. ∴52x =或12x =．∴不等式的解集为15|22x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……..5分 （注：也可用零点分段法求解．） （2）∵|x －2a |＋|x －1|≥2a ∴原不等式的解集为R 等价于21a -≥2a.又a >0，∴a ≥ 4∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)．……..10分。

2016年江西省九校高三联合考试理科数学一、选择题：共12题1．复数的共轭复数对应的点在复平面内位于A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限【答案】A【解析】主要考查复数代数形式的乘除运算和复数的代数表示法及其几何意义.复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为,在第一象限。

故选D.2．某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的N＝3,则输出i＝A.6 B。

7 C。

8 D。

9【答案】C【解析】主要考查直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键。

执行程序框图,可得N＝3是奇数，满足条件:不满足条件：返回循环;是偶数，不满足条件,不满足条件,返回循环;是奇数,满足条件不满足条件,返回循环;是偶数,不满足条件，不满足条件，返回循环;是偶数，不满足条件，不满足条件,返回循环；是偶数,不满足条件,不满足条件，返回循环；是偶数，不满足条件，满足条件,结束循环,输出i的值为8。

故选C。

学必求其心得，业必贵于专精3．设集合，则等于A。

B. C.D。

【答案】B【解析】本题主要以分式不等式的解法及指数函数的值域为载体,考查集合的补集和交集运算.由集合,,,又全集是,故选B.4．函数的图像的一个对称中心为A.B。

C. D.【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质以及二倍角公式.因为函数,令求得可得它的图象的对称中心为故选C。

5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是A。

B.4 C。

D。

3【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和直观图,及简单几何体的体积.由三视图知余下的几何体如图所示:其中都是侧棱的中点,∴上、下两部分的几何体相同，∴上、下两部分的体积相等,∴几何体的体积故选B.6．在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（—1,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为A。

2016年江西省东乡一中、都昌一中、丰城中学等八校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i是虚数单位）的模长是（）A．B．C．D．2．（5分）下列命题是真命题是（）A．∃x∈R，使得|x|≤0成立B．￢p为真，则p∨q一定是假C．x﹣y＝0成立的充要条件是＝1D．∀x∈R，都有e x＞x e3．（5分）若非空集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，集合B＝{x|1≤x≤16}，则满足A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是（）A．[0，7]B．[7，15]C．[3，7]D．[3，15]4．（5分）设函数f（x）＝，若f（a）+f（﹣1）＝4，则a＝（）A．±1B．9C．﹣9D．±95．（5分）（x2﹣）6的展开式中，常数项是（）A．B．C．﹣D．﹣6．（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2＝4x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．7．（5分）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A．240种B．192种C．120种D．96种8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．B．0C．D．9．（5分）将函数f（x）＝2sin x+cos x的图象向右平移φ（φ∈（0，π））个单位后，所得图象是一个偶函数的图象，则tanφ的值是（）A．B．C．﹣2D．210．（5分）已知A，B是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右顶点，点C在该椭圆上，在△ABC中，tan A＝，tan B＝，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，M，N分别是边BC，CD上的点，且MN＝2，则的最小值是（）A．12B．24C．36D．4812．（5分）如图，在四面体ABCD中，点B1，C1，D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1∥平面BCD，A1为△BCD内一点，记三棱锥A1﹣B1C1D1的体积为V，设，对于函数V＝F（x），则下列选项正确的是（）A．函数F（x）在上是减函数B．函数F（x）的图象关于直线对称C．当时，函数F（x）取得最大值D．存在x0，使得（其中V A﹣BCD为四面体ABCD的体积）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知：cos（+α）＝，其中α∈（，），则tanα＝．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y+6的取值范围是．15．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为．16．（5分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BCD＝60°，AC＝，CD＝2，BD＝2AD，则AD＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1＝3，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（﹣1）n a n（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，点P是CD上一点，PC＝tPD．（1）若t＝，求证：A1C⊥平面PBC1；（2）设t＝1，t＝3所对应的点P分别为点P1，P2，求二面角P1﹣BC1﹣P2的平面角的余弦值．19．（12分）某数学兴趣小组为了验证视觉和空间能力与性别是否有关，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30人，女20人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表所示：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）从这50名同学中随机选取男生和女生各1人，求他们选做的题不同的概率；（3）已知选择做几何题的8名女生有3人解答正确，从这8人中任意抽取3人对他们的答题情况进行研究，被抽取的女生中解答正确的人数记为X，求X 的分布列及数学期望E （X）．附表及公式：K2＝．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，其上顶点到直线3x+4y ﹣1＝0的距离等于．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，交x轴的负半轴于点E，交y轴于点F（点E，F 都不在椭圆上），且＝λ1，＝λ2，λ1+λ2＝﹣8，证明：直线l恒过定点，并求出该定点．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1），g（x）＝．（1）讨论函数G（x）＝f（x）﹣g（x）的单调性；（2）若数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（a n+2）．证明：对任意n∈N+，恒有≤1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接P A并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC＝BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆C，直线l的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos（θ﹣）＝2．（1）求圆C与直线l的直角坐标方程，并求出直线l与圆C的交点的直角坐标；（2）设点P为圆C的圆心，点Q为直线l被圆C截得的线段的中点．已知直线PQ的参数方程为（t为参数，t∈R），求实数m，n的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）已知关于x的不等式3x﹣|﹣2x+1|≥a，其解集为[2，+∞），求实数a的值；（2）若对∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求实数a的取值范围．2016年江西省东乡一中、都昌一中、丰城中学等八校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i是虚数单位）的模长是（）A．B．C．D．【解答】解：复数的模，即：＝＝＝．故选：D．2．（5分）下列命题是真命题是（）A．∃x∈R，使得|x|≤0成立B．￢p为真，则p∨q一定是假C．x﹣y＝0成立的充要条件是＝1D．∀x∈R，都有e x＞x e【解答】解：A．当x＝0时，|x|≤0成立，故A正确，B．￢p为真，则p为假命题．，当q为真命题时，p∨q为真，则p∨q一定是假错误，故B 错误，C．由＝1得x﹣y＝0，（y≠0），则＝1是x﹣y＝0成立充分不必要条件，故C错误，D．当x＝e时，e e＝e e，则e x＞x e不成立，故D错误，故选：A．3．（5分）若非空集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，集合B＝{x|1≤x≤16}，则满足A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是（）A．[0，7]B．[7，15]C．[3，7]D．[3，15]【解答】解：∵A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，且A是非空集合，∴a+1≤3a﹣5，解得a≥3；又B＝{x|1≤x≤16}，且A⊆（A∩B），∴A⊆B，即，解得3≤a≤7；∴实数a的取值范围是[3，7]．故选：C．4．（5分）设函数f（x）＝，若f（a）+f（﹣1）＝4，则a＝（）A．±1B．9C．﹣9D．±9【解答】解：由分段函数可知f（﹣1）＝＝1，则由f（a）+f（﹣1）＝4，得f（a）＝﹣f（﹣1）+4＝4﹣1＝3，若a＜0，则＝3，解得a＝﹣9，若a≥0，则＝3，解得a＝9，故a＝±9；故选：D．5．（5分）（x2﹣）6的展开式中，常数项是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：T r+1＝（x2）6﹣r＝x12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴此常数项为：＝．故选：A．6．（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2＝4x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．【解答】解：由题意可知，双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线，设等轴双曲线C的方程为y2﹣x2＝λ，（1）抛物线y2＝4x，则2p＝4，p＝2，∴，∴抛物线的准线方程为x＝﹣1．设等轴双曲线与抛物线的准线x＝﹣1的两个交点A（﹣1，y），B（﹣1，﹣y）（y＞0），则|AB|＝|y﹣（﹣y）|＝2y＝4，∴y＝2．将x＝﹣1，y＝2代入（1），得22﹣（﹣1）2＝λ，∴λ＝3，∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝3，即，∴C的实轴长为．故选：D．7．（5分）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A．240种B．192种C．120种D．96种【解答】解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33＝192，故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．B．0C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2016＝336×6，所以S＝sin+sin+…sin＝336×（sin+sin+…+sin）＝0．故选：B．9．（5分）将函数f（x）＝2sin x+cos x的图象向右平移φ（φ∈（0，π））个单位后，所得图象是一个偶函数的图象，则tanφ的值是（）A．B．C．﹣2D．2【解答】解：∵f（x）＝2sin x+cos x＝sin（x+θ），（其中tanθ＝），∴右平移φ（φ∈（0，π））个单位后，所得函数的解析式为：y＝sin（x+θ﹣φ），（其中tanθ＝），∵是偶函数则关于y轴对称，可得：θ﹣φ＝kπ+，k∈Z，∴tanφ＝tan（θ﹣kπ﹣）＝﹣tan（kπ+﹣θ）＝﹣cotθ＝﹣2．故选：C．10．（5分）已知A，B是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右顶点，点C在该椭圆上，在△ABC中，tan A＝，tan B＝，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（﹣a，0），B（a，0），C（m，n），（m＞0，n＞0），由△ABC中，tan A＝，tan B＝，可得直线CA的斜率为＝，直线CB的斜率为＝﹣，解得m＝a，n＝a，将C（a，a）代入椭圆方程，可得：+＝1，化简可得a＝2b，即b＝a，可得c＝＝a，即e＝＝．故选：D．11．（5分）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，M，N分别是边BC，CD上的点，且MN＝2，则的最小值是（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：如图，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），D（0，4），C（），设M（），N（c，4），则，由MN＝2，得，令c＝，b＝4+2sinα，则＝＝．∴当sin（）取最小值﹣1时，有最小值是48．故选：D．12．（5分）如图，在四面体ABCD中，点B1，C1，D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1∥平面BCD，A1为△BCD内一点，记三棱锥A1﹣B1C1D1的体积为V，设，对于函数V＝F（x），则下列选项正确的是（）A．函数F（x）在上是减函数B．函数F（x）的图象关于直线对称C．当时，函数F（x）取得最大值D．存在x0，使得（其中V A﹣BCD为四面体ABCD的体积）【解答】解：如图，设四面体ABCD的底面积为S，高为h．∵平面B1C1D1∥平面BCD，∴△B1C1D1∽△BCD，又，∴，∴，设A到平面B1C1D1的距离为h′，由，得h′＝hx，∴平面B1C1D1与平面BCD间的距离，即A1到平面B1C1D1的距离为h（1﹣x）．则V＝＝（0＜x＜1），V′＝，由V′＝0，得x＝，当x∈（0，）时，V′＞0，当x∈（）时，V′＜0，∴当x＝时，V有最大值等于．故A，B错误，C正确；又，∴不存在x0，使得，D错误．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知：cos（+α）＝，其中α∈（，），则tanα＝．【解答】解：∵cos（+α）＝sinα＝＞0，又∵α∈（，），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝．故答案为：．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y+6的取值范围是[3，11]．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+2y+6得y＝﹣x+z﹣3，平移直线y＝﹣x+z﹣3，由图象可知当直线y＝﹣x+z﹣3经过点A时，直线y＝﹣x+z﹣3的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（﹣1，3），代入目标函数z＝x+2y+6得z＝11．即目标函数z＝2x+y的最大值为6．当直线y＝﹣x+z﹣3经过点B时，直线y＝﹣x+z﹣3的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣1），代入目标函数z＝x+2y+6得z＝3．即目标函数的最小值为3．目标函数z＝x+2y+6的取值范围是[3，11]．故答案为：[3，11]15．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为．【解答】解：由三视图得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，其中截面是平面ABC，且棱柱和棱锥底面是俯视图：等腰直角三角形，棱柱高为2，棱锥的高是1，∴底面面积S＝×2×2＝2，∴几何体的体积V＝＝，故答案为：．16．（5分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BCD＝60°，AC＝，CD＝2，BD＝2AD，则AD＝或1．【解答】解：设AD＝x，则BD＝2x，AB＝3x．在△ACD中，由余弦定理得cos A＝＝．在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2+AB2＝2AC•AB•cos A＝7+9x2﹣2＝6x2﹣2．在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD＝，即＝，解得x＝1或x＝．故答案为：1或．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1＝3，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（﹣1）n a n（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由，可知：数列是公差为1，首项为2的等差数列，∴＝2+（n﹣1）＝n+1，∴a n＝n2+2n．（2）由（1）得：b n＝（﹣1）n（n2+2n），∴（n≥2），n为偶数时，T n＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b n﹣1+b n）＝5+9+…+（2n+1）＝；n为奇数时，T n＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b n﹣2+b n﹣1）+b n＝5+9+…+（2n﹣1）﹣（n+1）2+1＝．∴．18．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，点P是CD上一点，PC＝tPD．（1）若t＝，求证：A1C⊥平面PBC1；（2）设t＝1，t＝3所对应的点P分别为点P1，P2，求二面角P1﹣BC1﹣P2的平面角的余弦值．【解答】解法一：证明：（1）当时，得，在矩形ABCD中，，则AC⊥PB又∵PB⊥AA1，∴PB⊥平面AA1C，∴A1C⊥PB，…（3分）∵，∴BC1⊥平面A1B1C，故BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面PBC1…（6分）解：（2）过C作CH⊥BC1交BC1于H，连接P1H，P2H，∵BC1⊥平面A1B1C，∴BC1⊥P1H，BC1⊥P2H，则∠P1HP2就是所求二面角的一个平面角α…（9分）∵P1C＝1，，’∵CD⊥CH在Rt△P 1CH中，，在Rt△P2CH中，…（10分）tanα＝tan（∠P2HC﹣∠P1HC）＝，故二面角P1﹣BC1﹣P2的平面角的余弦值．…（12分）解法二：证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，B（1，2，0），C1（0，2，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣1），＝（﹣1，0，1），则，∴A1C⊥PB，BC⊥A1C，∵PB∩BC＝B，∴A1C⊥平面PBC1…（6分）（Ⅱ）P1（0，1，0），，∴，∴设平面BC1P1与平面BC1P2的法向量分别是则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），，取x＝3，得，设二面角P1﹣BC1﹣P2的平面角为θ，则cosθ＝＝．∴二面角P1﹣BC1﹣P2的平面角的余弦值为．…（12分）19．（12分）某数学兴趣小组为了验证视觉和空间能力与性别是否有关，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30人，女20人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表所示：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）从这50名同学中随机选取男生和女生各1人，求他们选做的题不同的概率； （3）已知选择做几何题的8名女生有3人解答正确，从这8人中任意抽取3人对他们的答题情况进行研究，被抽取的女生中解答正确的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）． 附表及公式：K 2＝．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得K 2的观测值：所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．…（3分） （Ⅱ） 记他们选做的题不同的事件为A ， ∵从这50名同学中随机选取男生和女生各1人， ∴他们选做的题不同的概率…（6分）（Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，X 可能取值为0，1，2，3，，…（7分），…（8分），…（10分）X的分布列为：…（10分）∴．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，其上顶点到直线3x+4y ﹣1＝0的距离等于．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，交x轴的负半轴于点E，交y轴于点F（点E，F 都不在椭圆上），且＝λ1，＝λ2，λ1+λ2＝﹣8，证明：直线l恒过定点，并求出该定点．【解答】解：（1）设椭圆的上顶点为（0，b），由点到直线的距离公式可得，＝，解得b＝1，由2a＝4，即a＝2，所以椭圆C的方程为；（2）证明：设A（x1，y1），E（m，0）（m＜0，m≠﹣2），F（0，n），由，得（x1，y1﹣n）＝λ1（m﹣x1，﹣y1），即x1＝λ1（m﹣x1），y1﹣n＝﹣λ1y1，可得，同理由，得，把，分别代入得，，即有λ1，λ2是关于x的方程（4﹣m2）x2+8x+4﹣4n2＝0的两根，可得λ1+λ2＝﹣＝﹣8．解得m＝﹣，则直线l恒过定点（﹣，0）．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1），g（x）＝．（1）讨论函数G（x）＝f（x）﹣g（x）的单调性；（2）若数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（a n+2）．证明：对任意n∈N+，恒有≤1．【解答】（1）解：依题意可知：x＞1，且，当a≤0时，G′（x）≥0，故G（x）在（1，+∞）上是增加的；当a＞0时，x∈（1，1+a）时，G′（x）≤0，此时G（x）是减少的，当x∈（1+a，+∞）时，G′（x）≥0，此时G（x）是增加的；（2）证明：依题意：a n+1＝ln（a n+1），先用数学归纳法证明0＜a n≤1，①易知n＝1时，0＜a n≤1成立，②假设n＝k（k∈N*）时，有0＜a k≤1成立，则0＜ln（a k+1）≤ln2＜1，则0＜a k+1＜1，故n＝k+1时，0＜a n≤1也成立，综上知0＜a n≤1对任意n∈N*恒成立．由（1）知当a＝1时，在（2，+∞）上是增加的，又∵G（2）＝0，∴对任意x≥2恒有，即任意n∈N*恒有，∵a n+1＝ln（a n+1），，∴，即，故n＞1时，有，所以，即，又∵当n＝1时，a n＝1，∴，故成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接P A并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC＝BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2＝PN2＝NA•NB，∴＝，又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA，．∵MC＝BC，∴∠MAC＝∠BAC，∴∠MAP＝∠P AB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD＝∠PBN，∴∠ACD＝∠PBN＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA＝∠BP A∵PM是圆O的切线，∴∠PMA＝∠MCP，∴∠PMA＝∠BP A＝∠MCP，即∠MCP＝∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆C，直线l的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos（θ﹣）＝2．（1）求圆C与直线l的直角坐标方程，并求出直线l与圆C的交点的直角坐标；（2）设点P为圆C的圆心，点Q为直线l被圆C截得的线段的中点．已知直线PQ的参数方程为（t为参数，t∈R），求实数m，n的值．【解答】解：（1）由圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2＝4y，配方为x2+（y﹣2）2＝4．直线l的极坐标方程为：ρcos（θ﹣）＝2，展开为（ρcosθ+ρsinθ）＝2，化为：x+y﹣4＝0．把y＝4﹣x代入圆的方程化为：x2﹣2x＝0，解得x＝0，或2．∴交点坐标分别为（0，4），（2，2）．（2）由（1）知：P（0，2），Q即（1，3），∴直线PQ的方程为：y＝x+2，化直线PQ的参数方程为普通方程：，对比系数得：，m＝﹣4，n＝4．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）已知关于x的不等式3x﹣|﹣2x+1|≥a，其解集为[2，+∞），求实数a的值；（2）若对∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由3x﹣|﹣2x+1|≥a得：|2x﹣1|≤3x﹣a，∴﹣3x+a≤2x﹣1≤3x﹣a得：，故a＝3…（5分）（Ⅱ）由已知得|x﹣a|≥x﹣1≥0，∴（x﹣a）2≥（x﹣1）2…（6分）∴（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，a＝1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立…（7分）a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得a≥2x﹣1，从而a≥3…（8分）a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得a≤2x﹣1，从而a≤1…（9分）综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）…（10分）。

分宜中学 玉山一中 临川一中2016年江西省 南城一中 南康中学 高安中学 高三联合考试彭泽一中 泰和中学 樟树中学数学试卷（理科）命题：泰和中学、高安中学、分宜中学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一. 选择题:本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数21iZ i-=+的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i ＝（ ） A.6 B.7 C.8 D.93.设集合},12|{},12|{A x y y B xx A x ∈-==>=， 则()R A C B ⋂等于（ ） A.)2,3(B. )2,3[C. )3,0(D. )2,0(4.函数2sin y x =的图像的一个对称中心为（ ） A. (0,0) B. (,0)4πC. 1(,)42π D. (,1)2π5. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A.314B.4C.310D.3 ★启用前绝密（3月19日）6、在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.1 193B.1 359C.2 718D.3 4132(,)2X X X μσμσμσμσμσ<<+<<+ 附：若，则P(-)=0.6826P(-2)=0.95447.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若161116117a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是( ) A.1 B. 22C . 22-D. 8.已知实数y x ,满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是（ ）A.13B. 1 C . 3 D. 9 9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若cos 2B ＋cos B ＝ 1－cos A cos C 则（ ）A 、a ，b ，c 成等差数列B 、a ，b ，c 成等比数列C 、a ，2b ，3c 成等差数列D 、a ，2b ，3c 成等比数列10.某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ）A.11112620332210C C C C C ⋅⋅-B. 111121264126332210C C C C C C C ⋅⋅+⋅- C. 11122112646126332210()C C C C C C C C ⋅⋅++⋅- D. 333221016332210C C C C C --- 11.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ,则双曲线的离心率是( )A.32B. 12C. 12D. 32+ 12.已知()||xf x x e =⋅，又=)(xg )2()()10f x tf x t R ++=∈()2()()10f x tf x t R ++=∈，若满足1)(-=x g 的x 有四个，则t 的取值范围为( )A ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ B ．21(,)e e ++∞ C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题共90分，其中22-24题三选一）二．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设204sin n xdx π=⎰，则n xx x x )2)(2(-+的展开式中各项系数和为_________.14.正ABC ∆中，AB 在BC方向上的投影为1-，且2A D D C = ,则BD AC ⋅= ________. 15.已知P,A,B,C 是球O 球面上的四点，ABC ∆是正三角形，三棱锥ABC P -的体积为439，且︒=∠=∠=∠30CPO BPO APO ,则球O 的表面积为______________. 16、下列说法中所有正确的序号是________①、""""p q p q ∧∨为真的一个必要不充分条件是为真. ②、若11:0,:0.p p x x>⌝≤则 ③、1,1, 1.2a b a b =≤+≤若实数则④、数列*22{}()(21)n n n N ∈+的最大项为2.9 三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S *()n N ∈，且满足21n n a S n +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：21223111112223n n n a a a a a a ++++< ．18. （本小题满分12分）已知正方形CD AB 的边长为2，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、C B 、CD 、D A 的中点．（1）在正方形CD AB 内部随机取一点P ，求满足1PE <的概率；（2）从A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE ．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱错误！未找到引用源。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1。

设函数()⎩⎨⎧<-≥=0,0,x x x x x f ，()()21=-+f a f ，则=a （ )3.-A3.±B 1.±C1.-D【答案】C考点：已知函数值求自变量。

2。

已知ABC ∆的内角A 满足322sin =A ,则=+A A cos sin ( ）315.A315.-B35.C35.-D 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意有sin 22sin cos A A A =，所以有225(sin cos )133A A +=+=，结合三角形内角的取值范围,可知sin 0,cos 0A A >>，解得=+A A cos sin 15选A 。

考点:倍角公式,正余弦和与积的关系.3.已知集合{}{2,22-≤=+<<-=x x B a x a x A 或}4≥x ,则φ=B A 的充要条件是( )20.≤≤a A22.<<-a B20.≤<a C20.<<a D【答案】A 【解析】试题分析：结合数轴，根据交集为空集的条件,可得2224a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，故选A 。

考点：应用数轴解决集合问题。

4.下列命题中,真命题是（ ） A.存在R x ∈，使得0≤xe B 。

任意R x ∈，22x x>C.1,1>>b a 是1>ab 的必要条件 D 。

322≥+xx对任意正实数x 恒成立 【答案】D 【解析】试题分析：根据指数函数的性质，可知指数函数的值域为(0,)+∞，故A 不正确,因为3223<，所以B 不对，1,1>>b a 是1>ab 的充分条件，所以C 不对，322≥+xx 对任意正实数x 恒成立可以利用基本不等式求得，故选D.考点：命题的真假判断.5.函数()()2234log x x x f -+=的单调递减区间是( )⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,.A⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23.B⎥⎦⎤ ⎝⎛-23,1.C⎪⎭⎫⎢⎣⎡4,23.D 【答案】D考点：复合函数的单调区间的确定。

百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第九模拟）一、选择题：共12题1．设直角坐标系xOy内的一点P(m,n),且满足1+i2−i =m+n i5(i是虚数单位),则mn=A.-2B.2C.-3D.3 【答案】D【解析】本题主要考查考生对相关概念的理解和复数的运算.因为1+i2−i =(1+i)(2+i)5=1+3i5=m+n i5,所以m=1,n=3,mn=3.选择D.2．已知集合A={y|y=x−1x+1,x∈(0,2)},B={x|y=lg(2x+1)},则A∪B=A.(-1,-12) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)∪[-12,+∞) D.(-1,-12]【答案】B【解析】本题主要考查函数的定义域、值域,集合的并运算,考查考生对基础知识的掌握情况,属于容易题.因为y=x−1x+1=1-2x+1在(0,2)上是增函数,所以y∈(-1,13),即A=(-1,13),由已知得B=(-12,+∞),所以A∪B=(-1,+∞).3．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.63B.1011C.211D.10311【答案】C【解析】本题考查由三视图还原直观图的方法、三棱锥的体积,考查考生的空间想象能力及计算能力.由三视图可知该几何体的直观图如图所示,所以该几何体的体积为V=13×12×3×4×11=211,选择C.4．设点P是△ABC所在平面内的一点,PA+2PB+3PC=4AB,且△ABC的面积为S,则下列判断正确的是A.点P在△ABC外,且△APC的面积为13S B.点P在△ABC外,且△APC的面积为12SC.点P在△ABC内,且△APC的面积为13S D.点P在△ABC内,且△APC的面积为12S【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理.寻找点P的位置及合理利用三角形的面积公式是求解本题的关键.由PA+2PB+3PC=4AB,得AP=-13AB+12AC,根据平面向量基本定理,作出图形,由此知△APC与△ABC的底相同,都是AC,高的比等于|AB′||AB|=13,则它们面积的比也是13,即△APC的面积为13S,故选择A.5．设0<a<1,0<b<1,曲线C1:y=e x+a,C2:y=x+1+b,则曲线C1与C2有交点的概率是A.22B.32C.23D.13【答案】D【解析】本题主要考查几何概型与定积分,考查考生对几何概型的理解与应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.曲线C1与C2有交点等价于方程e x-x-1=b-a有解,因为e x-x-1≥0在[0,+∞)上恒成立,所以b-a≥0,即b≥a.易知基本事件空间Ω={(a,b)|0<a<10<b<1},记事件A为“曲线C1与C2有交点”,则A对应的集合为{(a,b)|b≥a},又10x12d x=23x321=23,所以P(A)=1−231=13,选择D.6．已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,π2<|φ|<π)的部分图象如图所示,则满足|f(x)|<1的f(x)的单调递减区间是A.(3+4kπ,4+4kπ),k∈ZB.(1+2k,2+2k),k∈ZC.(3+4k,4+4k),k∈ZD.(1+2kπ,2+2kπ),k∈Z【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象与性质,考查考生灵活应用知识的能力.T 4=52-32=1,∴T=4,ω=2πT=π2,又π2×32+φ=kπ(k∈Z),π2<|φ|<π,∴φ=-3π4,又A sin(0-3π4)=-1,∴A=2,∴f(x)=2sin(π2x-3π4).易知满足题意的条件为34π+2kπ<π2x-34π<5π4+2kπ,k∈Z,化简得3+4k<x<4+4k,k∈Z,故选择C.7．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,直线PO、PF2分别交双曲线C的左、右两支于另一点M、N,且|PF1|=2|PF2|,∠MF2N=60°,则双曲线C的离心率为A.2B.3C.7D.233【答案】B【解析】本题考查双曲线的几何性质、余弦定理等知识,考查考生的计算能力与数形结合能力,属于中档题.由题意得|PF1|=4a,|PF2|=2a,由∠MF2N=60°,可得∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos 60°,即可求出双曲线C的离心率.∵|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,∵∠MF2N=60°,∴∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos 60°,∴c=3a,∴e=ca=3.故选B.8．设实数x,y满足x+2y≤62x+y≤6x≥0,y≥0,定义:max{a,b}=a,a≥bb,a<b.记z=max{x+2y+2,2x+3y-1},则z的最大值与最小值的和为A.11B.7C.8D.14【答案】A【解析】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域,考查考生分析和处理问题的能力.当2x+3y-1-(x+2y+2)=x+y-3≥0时,z=2x+3y-1,作出x+2y≤62x+y≤6x+y−3≥0x≥0,y≥0所表示的平面区域如图1中的阴影部分所示,分析可知5≤z≤9;当x+y-3≤0时,z=x+2y+2,作出x+2y≤62x+y≤6x+y−3≤0x≥0,y≥0所表示的平面区域如图2中的阴影部分所示,分析可知2≤z≤8.综上所述,2≤z≤9,所以z的最大值与最小值的和为9+2=11.选择A.图1图29．已知二项式(x2-3x+2)4=x8+a1x7+…+a6x2+a7x+a8,则a6+a8=A.264B.256C.248D.246【答案】A【解析】本题考查二项式定理,考查考生的运算求解能力.通解因为(x2−3x+2)4=(1-x)4(2-x)4,先计算a6的值,由通项知T r1+1=C4r1(−x)r1,T r2+1=C4r224−r2(−x)r2,所以T r1+1·T r2+1=24−r2C4r1C4r2(−x)r1+r2.依题意,令r1+r2=2,则r1=0r2=2或r1=1 r2=1或r1=2r2=0,所以a6=4C40C42+8C41C41+16C42C40=248,同理可求得a8=16,则a6+a8=264.选择A.优解(x2−3x+2)4=(x-1)4(x-2)4=(x4-4x3+6x2-4x+1)(x4-8x3+24x2-32x+16),则a6=6×16+(-4)×(-32)+1×24=248,a8=1×16=16,所以a6+a8=264.10．在一个有穷数列中,每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一次“H扩展”后得到1,3,2;第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2.那么第十次“H扩展”后得到的数列的项数为A.1 023B.1 025C.513D.511【答案】B【解析】本题考查了数列的新情境问题及等比数列的判断与应用,解题的关键在于构造等比数列.设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为a n,则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为a n+1=2a n-1,∴a n+1−1a n−1=2,又a1-1=3-1=2,∴{a n-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n-1=2·2n-1=2n,∴a n=2n+1,∴a10=210+1=1 025.故选B.11．若存在实数m,n(m<n),使得e-x≥ax的解集恰好为[m,n],则实数a的取值范围是A.(1e2,1e) B.(0,1e2] C.(-∞,1e] D.(0,1e)【答案】C【解析】本题考查不等式的有解区间与在区间上存在解的差别,考查考生综合运用所学知识分析、解决问题的能力.当x>0时,a≤xe x 存在解集区间,则a≤(xe x)max,令F(x)=xe x,F'(x)=1−xe x,易得F(x)≤F(1)=1e,故a≤1e;当x<0时,a≥xe x 存在解集区间,则a≥(xe x)min,又(xe x)min无限趋近于-∞.结合题意,得a的取值范围是(-∞,1e].12．设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若△ABC的面积为2,AB边上的中线长为2,且b=a cos C+c sin A,则△ABC中最长边的长为A.2或22B.4C.4或22D.22【答案】C【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等,考查了考生的推理能力与计算能力.由正弦定理可得sin B=sin A cos C+sin C sin A=sin(A+C),展开化简可得tan A=1,结合A∈(0,π),可得A=π4,利用S△ABC=12bc sin A=2,可得bc=42,在△ACD中,由余弦定理解得b,c,进而在△ABC中利用余弦定理得出结果.如图所示,设D为AB的中点.∵b=a cos C+c sin A,∴由正弦定理可得sin B=sin A cos C+sin C sin A=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,∴sin C sin A=cos A sin C,∵sin C≠0,∴tan A=1,又A∈(0,π),∴A=π4.∵S△ABC=12bc sin A=2,∴bc=42.在△ACD中,由余弦定理可得(2)2=b2+(c2)2-2b×c2cosπ4,化简得4b2+c2=24,与bc=42联立可得b=2,c=4或b=2,c=22.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cosπ4,解得a=10或2.∴△ABC的边长分别为10,2,4或2,2,22.故△ABC的最长边的长为4或22.二、填空题：共4题13．已知函数f(x)=2+xx,x<0log21x,x>0,则f(x)+2≤0的解集为.【答案】[-23,0)∪[4,+∞)【解析】本题考查分段函数的应用、不等式的解集等.不等式f(x)+2≤0等价于x<02+xx≤−2或x>0log21x≤−2,解得-23≤x<0或x≥4,故不等式f(x)+2≤0的解集为[-23,0)∪[4,+∞).14．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是.【答案】29【解析】本题主要考查程序框图,考查考生的识图能力,属于中档题. 执行题图中的程序框图,列表如下:15．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直,EA =EB =3,AD =2,∠AEB =60°,则四棱锥E-ABCD 的外接球的表面积为 . 【答案】16π【解析】本题考查四棱锥E-ABCD 的外接球的表面积,考查考生的计算能力,正确求出四棱锥E-ABCD 的外接球的半径是关键.设球心到平面ABCD 的距离为d ,∵△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直,EA =EB =3,∠AEB =60°,∴点E 到平面ABCD 的距离为3 32,∴R 2=( 4+92)2+d 2=12+(3 32-d )2,∴d = 32,R 2=4,∴四棱锥E-ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=16π.16．设直线l 与抛物线C :y 2=4x 相交于A ,B 两点(两点可以重合),已知O 为坐标原点,若直线OA 和OB 的倾斜角互余,则抛物线C 的焦点F 到直线l 的距离的取值范围是 . 【答案】(0, 5]【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、点到直线的距离公式等,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.易知直线OA ,OB 的斜率存在,且均大于零,设直线OA :y =kx (k >0),则直线OB :y =1k x ,联立 y =kx y 2=4x,得k 2x 2-4x =0,得A (4k 2,4k ),同理得B (4k 2,4k ).当k =1时,A (4,4)和B (4,4)重合,此时直线l 是抛物线的切线,则l 的方程为x-2y+4=0,此时点F (1,0)到直线l 的距离为|1+4| 5= 5.当k ≠1时,k AB =4k −4k 4k 2−4k 2=k k 2+1,直线AB :y-4k =kk 2+1(x-4k 2),令y =0,得x =-4,即直线AB 过定点(-4,0),点F (1,0)到直线l 的距离d =|k (1−4k 2)k 2+1+4k | 1+k 2(k 2+1)2=5 1k 2+1k 2+3,由函数f (t )=t+1t+3在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,易知f (t )min =f (1)=5,所以d max = 5.故点F 到直线l 的距离的取值范围为(0, 5].三、解答题：共8题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2+n .(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{S n(n +1)·2n}的前n 项和T n . 【答案】(1)因为S n =n 2+n , 所以S n-1=n 2-n (n ≥2).所以a n =S n -S n-1=2n (n ≥2), 当n =1时,a 1=S 1=2也满足上式, 所以a n =2n .(2)由(1)知S n =n (n+1),所以S n(n +1)·2n =n (n +1)(n +1)·2n=n2n ,所以T n =121+222+323+…+n2n , 所以12T n =122+223+324+…+n2n +1,两式相减得12T n =121+122+123+…+12n -n2n +1,所以12T n =12(1−12n )1−12-n2n +1,所以T n =2-2+n2n .【解析】本题主要考查a n 与S n 的关系、错位相减法求和等,考查考生的运算求解能力,属于基础题.(1)由a n 与S n 的关系求出a n ;(2)利用错位相减法求和.【备注】数列是高考的热点内容,但是无论怎样命题,肯定少不了考查数列(包括等差数列与等比数列)的基本概念、基本公式,如通项公式、前n 项和公式(公式法、错位相减法、裂项相消法)的理解与记忆,与函数、不等式、方程等知识交汇仍然是这类问题的常见命题规律,万变不离其宗,考生在复习备考中只要把数列部分的基础知识落实好,就能在高考中游刃有余,解题时得心应手.18．如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 是正三角形,底面ABCD 是平行四边形,AB =AD =2a ,BD =2 3a ,点M 是PC 的中点.(1)求证:PC⊥AD;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角P-AD-M的大小. 【答案】(1)∵AB=AD=2a,BD=23a,∴平行四边形ABCD是菱形,AC⊥BD,∴cos∠ABC2=3a2a=32,则∠ABC=π3,∴△ABC和△ACD都是正三角形,取AD的中点为N,连接PN,CN,∴CN⊥AD.又△PAD为正三角形,∴PN⊥AD,又CN∩PN=N,∴AD⊥平面PNC,∵PC⊂平面PNC,∴PC⊥AD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD, ∴PN⊥平面ABCD,∵CN⊂平面ABCD,∴PN⊥N C.∴建立如图所示的空间直角坐标系N-xyz,则N(0,0,0),C(3a,0,0),A(0,-a,0),D(0,a,0),P(0,0,3a),M(32a,0,32a),则NM=(32a,0,32a),设平面ADM的一个法向量为n=(x,0,1),∴NM·n=32ax+0+32a=0,得x=-1,因此n=(-1,0,1).∵x轴⊥平面PAD,∴平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0).设二面角P-AD-M的大小为θ,由图可知0<θ<π2,则cosθ=|n·m||n||m|=12×1=22,故二面角P-AD-M的大小为π4.【解析】本题考查线线垂直的证明及二面角的求解,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.(1)利用线面垂直的判定定理和性质即可证明;(2)利用空间向量法求解.【备注】高考立体几何部分的题目难度不会太大,其考查方向主要有以下几点:(1)直接结合给出的几何体的直观图,考查线线、线面、面面的位置关系(平行、垂直为主),考查空间角的求解;(2)以三视图为背景,要求考生先还原几何体的直观图,再考查第(1)点的内容;(3)将立体几何知识与实际问题相结合,利用数学知识解答实际问题.19．在研究塞卡病毒某种疫苗的过程中,为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现P症状的情况,做接种试验.试验设计为每天接种一次,连续接种3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现P症状的概率为14,假设每次接种后当天是否出现P症状与上次接种无关.(1)若出现P症状即停止试验,求试验至多持续一个接种周期的概率;(2)若在一个接种周期内出现2次或3次P症状,则这个接种周期结束后终止试验,试验至多持续3个周期.设接种试验持续的接种周期数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)记“试验持续j(j=1,2,3)天”为事件A j,记事件A为“试验至多持续一个接种周期”,所以P(A1)=14,P(A2)=34×14=316,P(A3)=34×34×14=964,因此P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=3764.(2)随机变量ξ=1,2,3,记事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次P症状”,则P(ξ=1)=P(C)=C32(14)2×34+C33(14)3=1064=532,P(ξ=2)=(1-P(C))×P(C)=(1-532)×532=1351024,P(ξ=3)=(1-P(C))×(1-P(C))×1=(1-532)×(1-532)×1=7291024.所以ξ的分布列是ξ的数学期望是Eξ=1×532+2×1351024+3×7291024=26171024.【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用.(1)利用互斥事件的概率加法公式即可求出试验至多持续一个接种周期的概率;(2)随机变量ξ可以取1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.【备注】解决概率问题时,一定要根据有关概念,判断事件是等可能事件、互斥事件、相互独立事件,还是某一事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的情况,以便选择正确的计算方法,同时还要注意上述各类事件的综合问题.20．已知两点F 1(- 3,0)和F 2( 3,0),点P (x ,y )是平面直角坐标系xOy 内的一动点,且满足|OF 1+OP |+|OF 2+OP |=4,设点P 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程;(2)设曲线C 上的两点M ,N 均在x 轴的上方,且F 1M ∥F 2N ,点R (0,2)是y 轴上的定点,若以MN 为直径的圆恒过定点R ,求直线F 1M 的方程.【答案】(1)因为OF 1+OP =(x- 3,y ),OF 2+OP =(x+ 3,y ),由|OF 1+OP |+|OF 2+OP |=4,得 (x − 3)2+y 2+ (x + 3)2+y 2=4,表示点P (x ,y )到点F 1(- 3,0),F 2( 3,0)的距离之和为定值4,由椭圆的定义得轨迹C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线F 1M :x =my- 3,且与曲线C 的另一个交点为N',设M (x 1,y 1),N'(x 2,y 2),由于F 1M ∥F 2N ,结合椭圆的对称性知,N (-x 2,-y 2), 联立x =my − 3x 2+4y 2=4⇒(m 2+4)y 2-23my-1=0,Δ=16(m 2+1)>0,则 y 1+y 2=2 3mm 2+4,y 1y 2=-1m 2+4,y 1-y 2=|y 1-y 2|=4 m2+1m 2+4.因为RM =(x 1,y 1-2)=(my 1- 3,y 1-2),RN =(-x 2,-y 2-2)=(-my 2+ 3,-y 2-2), 所以RM ·RN=(my 1- 3)(-my 2+ 3)+(y 1-2)(-y 2-2)=0,即-(m 2+1)y 1y 2+ 3m (y 1+y 2)-2(y 1-y 2)+1=0, 于是m 2+1+6m 2-8 m 2+1+m 2+4=0,解得m =±4 10−24,所以直线F 1M 的方程是x =±4 10−24y- 3.【解析】本题考查椭圆方程的求解及直线与椭圆的位置关系,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.(1)根据点的坐标及已知条件运算即可求解;(2)设出直线F 1M 的方程,联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系求解.【备注】高考对圆锥曲线的考查往往是根据圆锥曲线的定义或几何性质求解圆锥曲线的标准方程,并在此基础上联立直线与圆锥曲线的方程,由根与系数的关系得到含有参数的等式或不等式,进一步研究参数的取值范围、中点弦问题、弦长或面积的最值问题等.21．设函数f (x )=cos x-1+mx 2(x ∈R ,m ∈R ).(1)当m =12时,讨论函数f (x )的单调性;(2)若当x ≥0时,f (x )≥0恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)当m =12时,f (x )=cos x-1+12x 2,则f'(x )=-sin x+x ,设g (x )=-sin x+x ,因为g'(x )=-cos x+1≥0,所以g (x )在(-∞,+∞)上是增函数,且g (0)=0,所以当x ≥0时,f'(x )=g (x )≥g (0)=0,所以f (x )在[0,+∞)上是增函数;当x<0时,f'(x)=g(x)<g(0)=0,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.(2)由(1)知,当x≥0时,sin x≤x,于是f'(x)=-sin x+2mx≥-x+2mx=(2m-1)x,,当x≥0时,f'(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,(i)若2m-1≥0,即m≥12因此当x≥0时,f(x)≥f(0)=0.(ii)若m≤0,则存在x>0,使得f(x)=cos x-1+mx2≤cos x-1<0,因此当x≥0时,f(x)≥0不恒成立.,f'(x)=-sin x+2mx,令φ(x)=-sin x+2mx,则φ(0)=0,(iii)若0<m<12),且cos x0=2m,由φ'(x)=-cos x+2m=0,得cos x=2m∈(0,1),则存在x0∈(0,π2当x∈(0,x0)时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,f'(x)=φ(x)<φ(0)=0,所以f(x)在(0,x0)上单调递减,所以存在x∈(0,x0),使得f(x)<f(0)=0,因此当x≥0时,f(x)≥0不恒成立.,+∞).综上,实数m的取值范围是[12【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等.(1)求导,利用导函数的符号确定函数f(x)的单调性;(2)利用(1)的结论及不等式恒成立对m分类讨论,进而求出m 的取值范围.【备注】利用导数解决不等式恒成立问题的基本方法是转化,把问题转化为研究函数的单调性或最值问题,通过单调性或最值得出结论.本题就是本着这种思想命制的,其背景x2的结论,并且结合了考试中心的命题选自2012年辽宁卷中选择题的选项x≥0,cos x≥1-12风格.22．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆O与BC交于点E.(1)求证:CE·CB=AD·DB;(2)若BE=4,点N在线段BE上移动,∠ONF=90°,NF与☉O相交于点F,求NF长度的最大值.【答案】(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∴CD2=AD·DB.∵CD是圆O的切线,由切割线定理得CD2=CE·CB,∴CE·CB=AD·DB.(2)连接OF,∵ON⊥NF,∴NF= OF2−ON2,∵线段OF的长度为定值,∴需求线段ON长度的最小值,易知弦中点到圆心的距离最短,此时N为BE的中点,点F与点B或点E重合,∴(NF)max=12BE=2.【解析】本题考查两组线段乘积相等的证明、线段长度最大值的求法,属于中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用.(1)由∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,得到CD2=AD·DB,由此利用切割线定理即可证明CE·CB=AD·DB;(2)由NF= OF2−ON2,线段OF的长度为定值,知需求线段ON长度的最小值,由此即可求出结果.23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2−2ty=−1+2t(t为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=21+3sin2θ.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)试判断曲线C1与C2是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由.【答案】(1)对于曲线C1有x+y=1,对于曲线C2有x24+y2=1.(2)显然曲线C1:x+y=1为直线,则其参数方程可写为x=2−22αy=−1+22α(α为参数),与曲线C2:x24+y2=1联立,可得5α2-122α+8=0,可知Δ>0,所以C1与C2存在两个交点,由α1+α2=1225,α1α2=85,得两交点间的距离d=|α2-α1|=(α1+α2)2−4α1α2=825【解析】无24．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+x.(1)解不等式f(x)-g(x)≥|x+1|;(2)若存在x∈R,使得a+|x+1|≥f(x)-g(x)成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)依题意,得g(x)=-f(-x)=-x2+x,则f(x)-g(x)=2x2,于是原不等式为2x2≥|x+1|,等价于x<−12x2+x+1≥0或x≥−12x2−x−1≥0,解得x<-1或-1≤x≤-12或x≥1,因此原不等式的解集为(-∞,-12]∪[1,+∞).(2)存在x∈R,使得a+|x+1|≥f(x)-g(x)成立,等价于a≥[f(x)-g(x)-|x+1|]min, 令h(x)=f(x)-g(x)-|x+1|=2x2-|x+1|,则h(x)=2x2−x−1=2(x−14)2−98,x≥−12x2+x+1=2(x+14)2+78,x<−1,所以h(x)min=h(14)=-98.所以a≥-98,即实数a的取值范围是[-98,+∞).【解析】本题考查绝对值不等式的求解及不等式的存在性问题,考查考生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.(1)分类讨论求解;(2)转化为函数的最值求解.。

2016年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2} 2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．145．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣17．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，若f（α）=，则sinα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．9．将来自四个班级的8名同学（每班2名同学）分到四个不同小区进行社会调查，每个小区2名同学，刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有（）A．48种B．72种C．144种D．288种10．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g （x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A．B．C． D．312．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算∫（1+sinx）dx的结果为．14．已知（x+1）2（x+）n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n=．15．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是．16．从1，2，3，…，n中这n个数中取m （m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（30，5）等于．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．18．某人准备投资盈利相互独立的甲、乙两个项目，投资甲项目x万元，一年后获利x万元，万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4；投资乙项目x万元，一年后获利x万元、0万元、﹣x万元的概率分别是0.4，0.2，0.4．（1）若这两个项目各投资4万元，求一年后这两个项目和不低于0万元的概率；（2）若这两个项目共投资8万元，你认为这两个项目应该分别投资多少万元？说明理由．19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）在棱A1D1上是否存在一点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是？若存在，求，若不存在，说明理由．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．2016年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2} 【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的值域，确定出A，求出集合B中不等式的解集，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，得到﹣1≤y≤1，∴A=[﹣1，1]，由集合B中的不等式＜（）x＜3，解得：﹣1＜x＜2，∴B=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，1]．故选：C．2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i【考点】复数相等的充要条件．【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后再根据复数相等求出答案即可．【解答】解：x∈R，y为纯虚数，设y=ai，∵（x﹣y）i=2﹣i，∴xi+a=2﹣i，∴x=﹣1，a=2，∴x+y=﹣1+2i，故选：C．3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题““对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的”的否定是：存在x0∈（1，+∞），使x≤，故选：D．4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．14【考点】频率分布直方图．【分析】求出概率，然后求解频数．【解答】解：样本数据在区间[15，20）内的概率为：1﹣0.04×5﹣0.1×5=0.3．样本数据在区间[15，20）内的频数是：100×0.3=30．故选：C．5．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（log3）=f（﹣log35）=f （log35），利用log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log3）=f（﹣log35）=f（log35）．∵log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，∴f（log35）＜f（log35）＜f（log53），∴f（log35）＜f（log3）＜f（log53），故选：D．6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣1【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，s=22﹣2，k=2；当k=2时，满足进行循环的条件，s=23﹣2，k=3；当k=3时，满足进行循环的条件，s=24﹣2，k=4；当k=4时，满足进行循环的条件，s=25﹣2，k=5；当k=5时，满足进行循环的条件，s=26﹣2，k=6；当k=6时，满足进行循环的条件，s=27﹣2，k=7；当k=7时，满足进行循环的条件，s=28﹣2，k=8；当k=8时，满足进行循环的条件，s=29﹣2，k=9当k=9时，满足进行循环的条件，s=210﹣2，k=10；当k=10时，满足进行循环的条件，s=211﹣2，k=11；当k=11时，不满足行循环的条件，故输出的s值为211﹣2，故选：A7．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，若f（α）=，则sinα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数f（x）的图象求出周期T以及ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再根据三角恒等变换求出sinα的值．【解答】解：在同一周期内，函数f（x）在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数f（x）的周期T满足=﹣=2π，由此得T==4π，解得ω=，∴函数表达式为f（x）=sin（x+φ），又当x=时f（x）取得最大值，∴×+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）；又f（α）=sin（α+）=，∴cos（α+）=1﹣2sin2（α+）=1﹣2×=，∴sinα=﹣cos（α+）=﹣．故选：A．9．将来自四个班级的8名同学（每班2名同学）分到四个不同小区进行社会调查，每个小区2名同学，刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有（）A．48种B．72种C．144种D．288种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先从4个班级中选2个，分陪到4个小区的2个，再从剩下的两个班级中各选一人，分配剩下2个小区的一个，根据分步计数原理可得．【解答】解：先从4个班级中选2个，分到4个小区中的2个，（保证恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级），再从剩下的两个班级中各选一人，分配剩下2个小区的一个，故有C42C42C21C21C21=288种，故选：D10．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g （x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设B的坐标，求出A，B的中点坐标C，利用C在g（x）上，建立方程关系，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：令点B（x，|log2x|），x＞0，A，B的中点C（， |log2x|）．由于点C在函数g（x）=（）x的图象上，故有|log2x|=（）=•（）x，即|log2x|=•（）x，故函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是，即为函数y=|log2x|和曲线y=•（）x的交点的个数．在同一个坐标系中，画出函数y=|log2x|和y=•（）x的的图象，由图象知两个函数的交点个数为2个，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是2，故故选：B．11．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A．B．C． D．3【考点】简单线性规划．【分析】分别作出不等式组表示的平面区域和直线3x+y=0，通过图象观察，求得A（0，1）到直线的距离，即可得到所求最小值．【解答】解：画出不等式组所确定的平面区域，直线3x+y=0，则|﹣|=||，由A（0，1）到直线3x+y=0的距离为d==，可得|﹣|的最小值为，故选：A．12．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】去绝对值可得x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，数形结合可得曲线必相交于（±2，0），分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．【解答】解：由2|x|﹣y﹣4=0可得y=2|x|﹣4，当x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，∴函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0）∴为了使函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2﹣16λx+16λ﹣4=0，当λ=﹣时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；y=﹣2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2+16λx+16λ﹣4=0当λ=﹣时，x=﹣2满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣，）故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算∫（1+sinx）dx的结果为2π．【考点】定积分．【分析】利用定积分真假求解即可．【解答】解：∫（1+sinx）dx=（x﹣cosx）=π+1+π﹣1=2π．故答案为：2π．14．已知（x+1）2（x+）n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n=7．【考点】二项式定理的应用．【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2时方程无解，检验求得n的值．【解答】解：∵（x+1）2（x+）n=（1+2x+x2）（x+）n的展开式中没有x2项，∴（x+）n的展开式中不含常数项，不含x项，不含x2项．∵（x+）n的展开式中展开式的通项为T r+1=C n r x n﹣r x﹣3r=C n r x n﹣4r，r=0，1，2，3…n，方程n﹣4r=0，n﹣4r=1，n﹣4r=2，当n∈N*，5≤n≤8时，无解，检验可得n=7，故答案为：7．15．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是20π．【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到原几何体，然后利用补形思想得到四面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图得原直观图如图，原几何体为三棱锥A﹣BCD，满足AD⊥底面BCD，底面BDC为等腰直角三角形，则该几何体的外接球即为以DA、DB、DC为棱的长方体的外接球，外接球的直径D满足D2=DA2+DB2+DC2=4+8+8=20，∴外接球O的半径为，∴球O的表面积是4π×．故答案为：20π．16．从1，2，3，…，n中这n个数中取m （m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（30，5）等于98．【考点】数列与函数的综合．【分析】设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*．确定d的可能取值为1，2，3，…，7，运用等差数列的求和公式，即可求f（30，5）．【解答】解：设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*．∵a5=a1+4d，∴d=≤，∴d的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d，a1=a5﹣4d≤30﹣4d，当a1分别取1，2，3，…，30﹣4d时，可得递增等差数列30﹣4d个（如：d=1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，27，…，30，其它同理）．∴当d取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：f（30，5）=26+22+…+2=×（2+26）×7=98．故答案为：98．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）在△BCP中，使用余弦定理求出BP，再使用正弦定理计算sin∠PBC；（2）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系，设P（cosθ，sinθ），求出，的坐标，代入数量积的坐标运算求出•的取值范围．【解答】解：（I）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，∠BCP==，又BC=AB=3，CP=1，∴BP==．在△BCP中，由正弦定理得，即，解得sin∠PBC=．（II）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系如图：则A（，0），B（0，3），设P（cosθ，sinθ），则=（，﹣sinθ），=（﹣cosθ，3﹣sinθ），∴=cosθ（cosθ﹣）+sinθ（sinθ﹣3）=﹣cosθ﹣3sinθ+1=﹣2sin（θ+）+1．∵﹣1≤sin（）≤1，∴1﹣2≤≤1+2．18．某人准备投资盈利相互独立的甲、乙两个项目，投资甲项目x万元，一年后获利x万元，万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4；投资乙项目x万元，一年后获利x万元、0万元、﹣x万元的概率分别是0.4，0.2，0.4．（1）若这两个项目各投资4万元，求一年后这两个项目和不低于0万元的概率；（2）若这两个项目共投资8万元，你认为这两个项目应该分别投资多少万元？说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）先求出投资甲项目4万元，一年后获利1万元、万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4，投资乙项目4万元，一年后获利2万元、0万元、﹣1万元的概率分别是0.4，0.2，0.4，由此能求出一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率．（Ⅱ）设投资项目甲x万元，投资项目乙8﹣x万元，求出盈利期望和y=，从而得到应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．【解答】解：（Ⅰ）投资甲项目4万元，一年后获利1万元、万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4，投资乙项目4万元，一年后获利2万元、0万元、﹣1万元的概率分别是0.4，0.2，0.4，…所以一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率是：p=0.4×1+0.2×0.6+0.4×0.2=0.6．…（Ⅱ）设投资项目甲x万元，投资项目乙8﹣x万元，盈利期望和y=+0.4×（﹣1）+0.4×（8﹣x）+0.4×（﹣）（8﹣x），化简得y=，…所以当x=1时，y最大，最大值是万元，综上：应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．…19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）在棱A1D1上是否存在一点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是？若存在，求，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理求出，从而利用勾股定理得到B1A⊥AB，由侧面AA1B1B⊥底面ABCD，得B1A⊥BD，由ABCD是正方形，得AC⊥BD，从而BD⊥平面AB1C，由此能证明平面AB1C⊥平面BDC1．（Ⅱ）以AB、AD、AB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由向量法能求出在棱A1D1上存在点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是， =．【解答】（Ⅰ）证明：∵ ==3，∴，∴B1A⊥AB，又∵侧面AA1B1B⊥底面ABCD，∴B1A⊥底面ABCD，∴B1A⊥BD，…又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴BD⊥平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BDC1．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1A⊥AB，B1A⊥AD，如图以AB、AD、AB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），B1（0，0，），平面AB1C的法向量为=（﹣1，1，0），设=λ，平面ACE的法向量=（x，y，z），则==（0，λ，0），=+==（﹣1，λ，），由=0，得﹣x+=0，由=0，得x+y=0，令x=1，则y=﹣1，z=，即=（1，﹣1，），…∴cos＜＞=，∴=，解得，∴在棱A1D1上存在点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是， =．…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），代入椭圆方程可得=1， =1由AD⊥AB，可得k AD=﹣，利用斜率计算公式可得：=， =，相乘可得：，又a2﹣b2=3，联立解出即可得出．（2）=k，可得直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），分别令x=0，y=0，可得S△OMN==|x1y1|，由1=+利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），则=1， =1∵AD⊥AB，∴k AD=﹣，因此=， =，∴==，化为，又a2﹣b2=3，解得a2=4，b2=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）∵=k，∴直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0得x M=3x1，令x=0，得y N=﹣，∴S△OMN==|x1y1|，∵1=+≥|x1y1|，且当|x1|=2|y1|时，取等号，∴△OMN面积的最大值是．21．已知函数f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设出切点，求出原函数的导函数，由f′（t）=0且f（t）=0列式求得m值；（2）把存在实数x1，x2∈[0，1]使得2f（x1）＜f（x2）成立，转化为当x∈[0，1]时，函数f（x）max＞2f（x）min，然后分m≥1、m≤0、0＜m＜1分类求得m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]，得f′（x）=﹣e﹣x[x2+（1﹣m）x+1]+e﹣x（2x+1﹣m）=e﹣x[﹣x2+（m+1）x﹣m]=﹣e﹣x（x ﹣m）（x﹣1），设切点为（t，0），则f′（t）=0，f（t）=0，即，解得：或，∴m的值是3或﹣1；（2）依题意，当x∈[0，1]时，函数f（x）max＞2f（x）min，①当m≥1时，当x∈[0，1]时，f′（x）≤0，函数f（x）单调递减，∴f（0）＞2f（1），即1，得m；②当m≤0时，x∈[0，1]时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增，∴f（1）＞2f（0），即，得m＜3﹣2e；③当0＜m＜1时，当x∈（0，m）时，f′（x）＜0，当x∈（m，1）时，f′（x）＞0，，f（x）max=f（0）或f（1），记函数，g′（m）=，当m≥0时，g′（x）≤0，g（m）单调递减，∴m∈（0，1）时，g（m）＞g（1）=，∴，，不存在m∈（0，1），使得f（x）max＞2f（x）min，综上：实数m的取值范围是（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得∠BDH=∠BFH，可得B、D、F、H四点共圆，可得AB•AD=AF•AH．（2）由已知结合切割弦定理求得AD，进一步求得BD，然后利用△AFB∽△ADH求得DH，则由勾股定理可得△BDF外接圆的半径．【解答】（1）证明：设圆B交线段AB于点C，∵AB为圆O一条直径，∴BF⊥FH．又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，∴B、D、F、H四点共圆．∴AB•AD=AF•AH．（2）解：∵AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AC=AB﹣BD=2，AF2=AC•AD，即，AD=4，∴，BF=BD=1．又△AFB∽△ADH，则，得，连接BH，由（1）可知BH为DBFH的外接圆直径，，故△BDF的外接圆半径为．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，把代入即可得出直角坐标方程．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，利用|AB|=|t2﹣t1|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=2y﹣2x．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，∴t1+t2=2，t1t2=0．∴|AB|=|t2﹣t1|==2．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论即可求出不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax+1|≤1，即﹣≤a≤0，根据x的范围，求出﹣的范围，即可得到a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0}．2016年6月14日。

1俯视图3332016届高三第一次联考数学（理）试卷命题人：万炳金 审题人:廖涂凡2015.12一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意。

） 1．已知集合{|5},{|20}A x Z x B x x =∈<=-≥,则AB 等于（)A ．（2,5）B ．[)2,5C ．{2,3,4｝D ．｛3，4，5}2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y ＝e xB ．y ＝ln x 2C ．y ＝错误!D ．y ＝sin x3．已知｛a n ｝是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为（ )A ．－错误!B ．－错误!C ．错误!D ．错误! 4．已知函数f （x )＝错误!则[()]4f f π=( )A ．2B ．1C ．2-D ．1-5．若命题“∃x 0∈R ，使得x 错误!＋mx 0＋2m －3〈0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,6]B ．[6,2]--C ．(2,6)D ．(6,2)-- 6．将函数y ＝sin(2x ＋φ）的图像沿x 轴向左平移错误!个单位后，得到一个函数()f x 的图像，则“()f x 是偶函数”是“φ＝π4"的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．18 8．已知nS 是等差数列{}na 的前n 项和，且675SS S >>，给出下列五个命题： ①0d <；②110S>；③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤67a a >。

其中正确命题的个数是( ）A ．5B ．4C ．3D ．19．过双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点F 作圆2222:a y x C=+的切线，设切点为M ,延长FM 交双曲线1C 于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ）A ．5B ．25C ．5+1D ．215+ 10．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且6AC BC ==，4AB =，则球面面积为（ ）A ．42πB ．48πC ．54πD ．60π11．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠角的平分线，I为PC 上一点，满足)0||||>+=λλAP APAC ACBA BI ，||||4PA PB -=,||10PA PB -=，则||BI BA BA ⋅的值为（ ）A. 2B. 3 C 。

2016年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数z＝1+i，则＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i3．（5分）执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．4．（5分）离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2＝1B．＝1C．x2﹣3y2＝1D．5．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n＝a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则＝（）A．2B．3C．4D．56．（5分）设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x ﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）＝1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数y＝f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx＝（）A．2B．﹣2C．1D．﹣18．（5分）甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36B．39C．42D．459．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，BC ＝2，P A⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|＝3|FB|，则|PF|＝（）A．7.5B．7C．8.5D．811．（5分）某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为（）A．48B．64C．96D．12812．（5分）对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）＝g（x），若关于x的方程g（x）+sin x＝0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5B．6C．8D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．（5分）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则＝．14．（5分）设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ＝．15．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，6）都在曲线y＝bx2﹣附近波动．经计算x i＝11，y i＝13，x i2＝21，则实数b的值为．16．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝3，公差d＝2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos B+（cos A ﹣2sin A）cos C＝0．（Ⅰ）求cos C的值；（Ⅱ）若a＝，AB边上的中线CM＝，求sin B及△ABC的面积．18．（12分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD＝D＝2，求平面A 1BD与平面B1BD所成角的大小．20．（12分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a＝2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cos x恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：＝1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y＝0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|＝4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+＝2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．2016年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}＝[﹣1，2]，∵lg（x+1）＜1＝lg10，∴﹣1＜x＜9，∴B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B＝{0，1，2}，故选：D．2．（5分）已知复数z＝1+i，则＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：∵复数z＝1+i，∴＝＝＝2，故选：A．3．（5分）执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【解答】解：第一次执行循环体，k＝1，p＝A11，满足继续循环的条件，k＝2；第二次执行循环体，k＝2，p＝A22，满足继续循环的条件，k＝3；第三次执行循环体，k＝3，p＝A33，满足继续循环的条件，k＝4；…第N次执行循环体，k＝N，p＝A N N，满足继续循环的条件，k＝N+1；第N+1次执行循环体，k＝N+1，p＝A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C．4．（5分）离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2＝1B．＝1C．x2﹣3y2＝1D．【解答】解：可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），由题意可得e＝＝2，一个焦点（c，0）到一条渐近线y＝x的距离为1，可得＝b＝1，又c2＝a2+1，解得a＝，即有双曲线的方程为﹣y2＝1．故选：A．5．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n＝a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵对任意n，m∈N*，都有a m+n＝a m•a n，∴对任意nN*，都有a n+1＝a1•a n，又∵a1＝2，∴a n+1＝2a n，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴S n＝＝2（2n﹣1），∴＝＝5，故选：D．6．（5分）设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x ﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）＝1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．【解答】解：若满足事件A发生的概率P（A）＝1，则2x﹣y≥1对应的平面区域在平面区域E内，A．平面区域E不都在直线2x﹣y＝1的下方区域，不满足条件．B．平面区域E都在直线2x﹣y＝1的下方区域，满足条件．C平面区域E不都在直线2x﹣y＝1的下方区域，不满足条件．．D．平面区域E不都在直线2x﹣y＝1的下方区域，不满足条件．故选：B．7．（5分）已知函数y＝f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx＝（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：当0≤x≤1，f（x）＝x﹣1，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝﹣x﹣1，则dx＝（x+1）（x﹣1）dx+（x+1）（﹣x﹣1）dx＝（x2﹣1）dx﹣（x2+2x+1）dx＝（）|﹣（）|＝﹣1+（﹣+1﹣1）＝﹣1，故选：D．8．（5分）甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36B．39C．42D．45【解答】解：第一类，甲在10月5日值班，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有A42＝12种，第二类，甲不在10月5日值班，则甲再10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3＝27种，根据分类计数原理可得，共有12+27＝39种，故选：B．9．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，BC ＝2，P A⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图取BC中点为E，连接AE，∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，BC＝2，∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，在Rt△AEB中，由BE＝1，∠BAE＝60°，得AF＝＝，又在Rt△AFG中，得，过G作P A的平行线与P A的中垂线HO交于O，则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，即R＝OA，由4πR2＝8π，得R＝，∵P A⊥平面ABC，∴OG⊥AG，在Rt△AGO中，求得OG＝，∴三棱锥P﹣ABC的高P A＝2OG＝，则三棱锥的体积为V＝．故选：B．10．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|＝3|FB|，则|PF|＝（）A．7.5B．7C．8.5D．8【解答】解：设直线AB的方程为：y＝k（x﹣2），联立，化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴x A+x B＝，x A x B＝4．∵|AF|＝3|FB|，∴x A+2＝3（x B+2），联立解得：k＝．∴P．∴|PF|＝＝8．故选：D．11．（5分）某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为（）A．48B．64C．96D．128【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4＝96，故选：C．12．（5分）对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）＝g（x），若关于x的方程g（x）+sin x＝0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5B．6C．8D．9【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3的对称轴为x＝1，∴由f（x2﹣2x+3）＝g（x）得g（x）关于x＝1对称由g（x）+sin x＝0得g（x）＝﹣sin x，作出函数y＝﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x＝0只有5个根，则其中一个根x＝1，其余四个根两两关于x＝1对称，则关于对称的根分别为x1，和x2，x3和x4，则，，则x1+x2＝2，x3+x4＝2，则这5个根之和为2+2+1＝5，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．（5分）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则＝﹣2．【解答】解：＝＝2•2cos120°＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ＝﹣．【解答】解：∵θ为第二象限角，若＞0，∴θ+为第三象限角，由＝，sin（θ+）＜0，cos（θ+）＜0，+＝1，求得sin（θ+）＝﹣，则sinθ+cosθ＝2sin（θ+）＝﹣，故答案为：﹣．15．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，6）都在曲线y＝bx2﹣附近波动．经计算x i＝11，y i＝13，x i2＝21，则实数b的值为．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y＝bx2﹣的方程，即y1＝b﹣，y2＝b﹣，…，y6＝b﹣，∴y1+y2+…+y6＝b（++…+）﹣×6；又y i＝13，x i2＝21，∴13＝b×21﹣6×，解得b＝．故答案为：．16．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝3，公差d＝2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为200．【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185＝9•a中，故a中＝20（舍去）；故设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，其中（0＜m＜9，m∈N*）故10a n+×2﹣a m+n＝185，即10（2n+1）+90﹣2（m+n）﹣1＝185，故m＝9n﹣43，故n＝5，m＝2；故10×a5+×2＝110+90＝200；故答案为：200．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos B+（cos A ﹣2sin A）cos C＝0．（Ⅰ）求cos C的值；（Ⅱ）若a＝，AB边上的中线CM＝，求sin B及△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为cos B＝﹣cos（A+C）＝﹣cos A cos C+sin A sin C，…（1分）又已知cos B+（cos A﹣2sin A）cos C＝0，所以sin A sin C﹣2sin A cos C＝0，…（2分）因为sin A≠0，所以sin C﹣2cos C＝0，…（3分）于是tan C＝2，…（4分）所以．…（6分）（Ⅱ）因为，…（7分）两边平方得b2+2b﹣3＝0，解得b＝1，…（8分）在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4，所以c＝2，…（10分）由此可知△ABC是直角三角形，故，…（11分）可得：△ABC的面积．…（12分）18．（12分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图：由茎叶图得到：（1）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度．（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度）．（2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定）．（3）甲品种树苗的高度的中位数为27mm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5mm．（4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀．（注：以上四点答对任意两点均给分）…（6分）（Ⅱ）由题意得X＝1，2，3，，，，…（10分）∴X的分布列为：EX＝＝．…（12分）19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AD＝60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD＝D＝2，求平面A 1BD与平面B1BD所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1＝AB＝AD，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B＝A1D…（1分）设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD…（2分）又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（3分）而A1O∩AC＝O，所以BD⊥平面A1AC…（4分）而BD⊂平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC…（5分）解：（Ⅱ）由A 1B＝A1D及，知A1B⊥A1D…（6分）又由A1D＝AD，A1B＝AB，BD＝BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD＝90°…（7分）于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD得A1O⊥底面ABCD…（8分）如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），，…（9分）设平面B 1BD的一个法向量为，由得，令x＝1，得…（10分）平面ABD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，则…（11分）解得θ＝45°，故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．…（12分）20．（12分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y＝x﹣c，代入椭圆方程得…（5分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）21．（12分）设函数f（x）＝e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a＝2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cos x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f（x）的定义域为（﹣1，+∞），…（1分）记，则当x＞0时，e x＞1，，此时g'（x）＞0…（2分）当x＜0时，e x＜1，，此时g'（x＜0…（3分）所以f'（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…（4分）故f'（x）≥f'（0）＝0，从而f（x）在（﹣1，+∞）上递增…（5分）（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）＝2﹣a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…（6分）故f（x）≥f（0）＝1≥cos x恒成立…（7分）当a＞2时，记φ（x）＝f（x）﹣cos x，则记，则当x＞1时，…（8分）显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…（9分）又φ'（0）＝2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得φ'（x0）＝0…（10分）所以φ（x）在（0，x0）上递减，所以当x∈（0，x0）时，φ（x）＜φ（0）＝0，即f（x）＜cos x，不符合题意…（11分）综上，实数a的取值范围是a≤2…（12分）请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD＝，CE＝，知：△ABD≌△BCE，…（2分）∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC+∠BEC＝π．所以四点P，D，C，E共圆．…（5分）（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由正弦定理知∠CED＝90°．…（8分）由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，所以AP⊥CP．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：＝1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y＝0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|＝4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y＝0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）＝0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|＝4得ρ'•ρ＝4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）＝4，故C3的直角坐标方程为x+y＝4；（Ⅱ）设M（a cosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以＝，解得．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+＝2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+＝2．∴a、b为正实数，且+＝2≥2（a＝b时等号成立）．即ab（a＝b时等号成立）∵a2+b2≥2ab＝（a＝b时等号成立）．∴a2+b2的最小值为1，（2）∵且+＝2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b为正实数，∴ab＝1。

九江七校2016届第一次联考数学(理)试卷一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=( ) A ．3 B ．2 C D ．5 2．设集合{}512|≥-=x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x B 7cos |，则B A 等于( ) A ．()3,7 B ．[]3,7 C ．(]3,7 D ．[)3,73．抛物线x y 42=的焦点到双曲线222=-y x 的渐近线的距离是( )A ．22 B ．2 C ．21D ．2 4．函数x x x f 2log )(+=π的零点所在区间为( ) A ．11[]42, B ．11[]84,C ．1[0]8, D ．1[1]2,5．某三棱锥的三视图如右上图所示,则该三棱锥的各 个面中,最大的面积是( ) A. 1 B.6．在ABC ∆中， ac b =2，且33,cos 4a c B +==，则BC AB ⋅=( ) A ．32 B ．32- C ．3 D ．-3 7．已知⎰-=20)cos (πdx x a ，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为( ) A ．638 B ．6316 C ．221- D ． 638-8．在递增的等比数列{}n a 中，已知134n a a +=，3264n a a -⋅=，且前n 项和为42n S =，则n =A ．6B ．5C ．4D ．3 9．已知()3sin 2cos 2f x x a x =+，其中a 为常数.()f x 的图象关于直线6x =π对称，则()f x 在以下区间上是单调函数的是( ) A ．31[,]56--ππ B ．71[,]123--ππC ．11[,]63-ππD ．1[0,]2π10．右图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图, P 表示估计 结果,则输出P 的近似值为( )A ．41B ．21C ．43D ．8711．对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”． 给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-； ④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④ 12．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球.设x AP =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为)(x f ，则函数)(x f 的图象最有可能的是()A B C D 二、填空题：（本大题共4小题，本小题5分，共20分）13．设向量(21)a =- ，，(34)b = ，，则向量a 在向量b 方向上的投影为 。

江西省上高二中2016届高三年级全真模拟数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数.若复数z 满足29)52(=-z i ，则=z （ ） A. i 52+ B. i 52- C. i 52+- D. i 52--2.设集合A ={}22(,)1x y x y +=,B ={}(,)2x x y y =,则A B ⋂子集的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 83.已知命题p ：“存在[)01,x ∈+∞，使得02(log 3)1x≥”，则下列说法正确的是（ ）A.p 是假命题；:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”B.p 是真命题；:p ⌝“不存在[)01,x ∈+∞，使得1)3(log 02<x”C.p 是真命题；:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”D.p 是假命题；:p ⌝“任意()1,∞-∈x ，都有2(log 3)1x <” 4．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“”的（ ）条件A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5.已知函数()2sin f x x x =，则函数()f x 在区间[]2,2ππ-上的零点个数为（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ．66.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的n m ,分别是（ ） A. 12,38==n m B. 26,12m n == C. 12,12m n == D. 24,10m n ==7．某射击手射击一次击中目标的概率是0.7，连续两次均击中目标的的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）A ．710B ．67C ．47D ．258.已知平面向量22(2sin ,cos )a x x =，22(sin ,2cos )b x x =- ，()b a x f ∙=.要得到3sin 2cos2y x x =-的图象，只需将()y f x =的图象（ ） A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度C.向左平移3π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度 9．若等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足，则=（ ）A ．﹣2B ．2C ．D ．10．设函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ） A （，1）B ．∪（1，+∞） C ．（）D ．（﹣∞，，+∞）11.已知数列{}n a 是等差数列，1tan 225a = ，5113a a =，设n S 为数列{(1)}n n a -的前n 项和，则2015S =（ ） A.2015B.2015-C. 3024D.3022-12.F 1、F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，已知AF 1⊥BF 1，∠ABF 1=30°，则椭圆的离心率为 ( ) 62- 63- 62 63二、填空题（每小题5分，共20分）13．若二项式()*1(2)n x n N x+∈的展开式中的第5项是常数项，则n =_______.14.某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为______15．已知矩形 A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ． 16．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 .三、解答题（共70分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a 和sinC 的值；（Ⅱ）求cos （2A+）的值．18．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图． （I ）试估计该校数学的平均成绩；（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若 X ～N （μ，σ2），则P （u ﹣3σ＜X ＜u+3σ）=0.9974．19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB=2，AA 1=2，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥ABB 1A 1平面． （1）证明：BC ⊥AB 1；（2）若OC=OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：=1，设R （x 0，y 0）是椭圆C 上任一点，从原点O 向圆R ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=8作两条切线，切点分别为P ，Q ．（1）若直线OP ，OQ 互相垂直，且R 在第一象限，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率都存在，并记为k 1，k 2，求证：2k 1k 2+1=0．21．设函数f （x ）=ax ﹣2﹣lnx （a ∈R ）．（I ）若f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线为x ﹣ey+b=0，求a ，b 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若g （x ）=ax ﹣e x ，求证：在x ＞0时，f （x ）＞g （x ）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，共1小题，满分10分[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙相交于点C 、D ，AC=4，∠BOD=∠A ，OB 与⊙O 相交于点． （1）求BD 长；（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO=AD ．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分10分） 23．在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为（t 为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C 2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C 1的普通方程和圆C 2的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线C 1和圆C 2的交点为A ，B ，求弦AB 的长．24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）＜4的解集； （Ⅱ）设函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的最小值2016届高三全真模拟数学（理科）答案5.221-5.BCCDC 6-10.BCDAA 11-12.D A 13.6 14.3 15. 13π．16. 340x y ±+= 17.解：（Ⅰ）在三角形ABC 中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC 的面积为3，可得：，可得bc=24，又b ﹣c=2，解得b=6，c=4，由a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos （2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．18.（I 解：（1）由频率分布直方图可知[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112 （2）由于根据正态分布：P （120﹣3×5＜X ＜120+3×5）=0.9974故所以前13名的成绩全部在130分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10 所以X 的取值为0，1，2，3． 所以P （X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==；X 0 1 2 3P数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．19.证明：由题意，因为ABB 1A 1是矩形，D 为AA 1中点，AB=2，AA 1=2，AD=，所以在直角三角形ABB 1中，tan ∠AB 1B==，在直角三角形ABD 中，tan ∠ABD==，所以∠AB 1B=∠ABD ， 又∠BAB 1+∠AB 1B=90°，∠BAB 1+∠ABD=90°， 所以在直角三角形ABO 中，故∠BOA=90°，即BD ⊥AB 1，又因为CO ⊥侧面ABB 1A 1， AB 1⊂侧面ABB 1A 1，所以CO ⊥AB 1所以，AB 1⊥面BCD ，因为BC ⊂面BCD ， 所以BC ⊥AB 1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣，0），B （﹣，0，0），C （0，0，），B 1（0，，0），D （，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC 的法向量为=（x ，y ，z ），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC 的一个法向量，设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则sinα=，所以直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为．…20解：（1）由题圆R 的半径为，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且与圆R 相切，所以，即，①又R （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以，②由①②及R 在第一象限，解得，所以圆R 的方程为：；（2）证明：因为直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，所以，化简得，同理有，所以k 1，k 2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以，即，所以，即2k 1k 2+1=0．21解：（I ）∵f （x ）=ax ﹣2﹣lnx （a ∈R ）∴f′（x ）==（x ＞0），∵f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线为x ﹣ey+b=0，即f （x ）在点（e ，f （e ））的切线的斜率为，∴f′（e ）==，∴，∴切点为（e ，﹣1），将切点代入切线方程x ﹣ey+b=0，得b=﹣2e ，所以，b=﹣2e ；（II ）由（I ）知：f′（x ）=（x ＞0），下面对a 的正负情况进行讨论：①当a≤0时，f′（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，的变化情况如下表：由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x）的单调递增区间为（，+∞）；（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣e x，∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：e x﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=e x﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，∵g（1）=e﹣1＞0，=，∴g（1），∴g（x）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=，即（），由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，所以当x＞0时，，又，故等号不成立，∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．22. 解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO …23. 解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为x﹣y+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（﹣1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d==，所以AB=2=．解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣3|=，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．。

考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|0},{|ln }1xM x N y y x x -=≥==+，则.M N ⋂=（ ） A ．]2,0( B ．]2,1(- C ．),1(+∞- D ．R【答案】B 【解析】试题分析：R N x x M =≤<-=},21|{. (]1,2M N ∴=-.故B 正确.考点：集合的运算.【易错点晴】本题主要考查的是分式不等式和集合交集的运算，属于容易题．解分式不等式时一定要注意其分母不为0,且对数的真数大于0，否则很容易出现错误． 2．若复数()21+2aii -（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．1±【答案】B考点：复数的运算.【易错点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和i 的性质，属于容易题．解题时一定要注意21i =-和运算的准确性.当复数为纯虚数时一定要注意其实部等于0,虚部不等于0,否则极易出错. 3．式子)(sin 21cos 2122R ∈-+-θθθ的最小值为（ ）A.43 B.23 C. 34 D. 32 【答案】C考点：三角函数化简求最值.4．如图，在正方形OABC 内，阴影部分是由两曲线)10(,2≤≤==x x y x y 围成，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．61 B ．31 C ．21 D ．32【答案】B 【解析】试题分析：阴影部分面积dx x x S ⎰-=102)(3101|)3132(323=-=x x ,所以所求概率为113113P ==⨯.故B 正确..考点：1定积分;2几何概型概率.5．已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程43x =-，则双曲线C 的方程是（ ）A . 214x -=B ．22145x y -= C ．22125x y -=- D．212x =- 【答案】B考点：双曲线的简单几何性质.6．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为5, 则输出s 的值为（ ）A ． 9B ．10C ．11D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环后:1,2s i ==； 第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==； 第四次循环后:7,5s i ==；第五次循环后:6,11==i s ，所以输出11. 故C 正确. 考点：算法.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“5i ≤”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．7．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B考点：等差数列的性质.【思路点睛】本题主要考查等差数列的性质,难度一般.根据95S S =可得67890a a a a +++=.再根据等差数列的性质可得780a a +=,由首相为正可知0,087<>a a .从而可知所有正数相加可取得最大值.即可知前7项和最大.8．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ） A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种 【答案】A 【解析】试题分析：分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车 ，则有12121223=C C C . 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C . 共有24种. 故A.正确.考点：排列组合. 9．5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ） A ．252 B ．－252 C ．160 D ．－160 【答案】A 【解析】 试题分析：105)1()21(x x x x -=-+.展开式通项公式rr r r rr r r xC xxC T ---+-=-=51021)10(21101)1()1(令5r =当且仅当5=r 时，252-为常数项. 故A 正确.考点：二项式定理. 10．命题)40(sin 1tan tan 1sin :πθθθθθ<<-=-p 无实数解，命题 x x ex x e q 1ln ln 1:+=+无实数解. 则下列命题错误的是（ ） A ．p 或q B ．（¬p ）或()q ⌝ C ．p 且（¬q ） D ．p 且q 【答案】D考点：命题的真假.11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）A ．61 B ． 31 C ．21 D ．34【答案】D考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可．12．已知)(x f 是定义域，值域都为(0,)+∞的函数， 满足2()()0f x xf x '+>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2016(2016)2015(2015)f f > B ．2016(2016)2015(2015)f f < C. 332015(2015)2016(2016)f f < D. 332015(2015)2016(2016)f f > 【答案】C 【解析】试题分析：构造函数0)()(2)(),()(22>'+='=x f x x xf x g x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞单调递增，所以)2016(2016)2015(201522f f <，结合不等式性质. 故C 正确. 考点：用导数研究函数的单调性.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量1(,(1,0)2a b==r r，则br在ar上的投影等于______________.【答案】1 2考点：向量投影问题.14．x，y满足约束条件20220220x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y+的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】试题分析：作出可行域如图:22x y+表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y≤+≤.考点：线性规划.【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．15．已知边长为的菱形ABCD中，60BAD∠=，沿对角线BD折成二面角为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.【答案】π28考点：棱锥的外接球问题.16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，),3a cb A C π-=-=，则角B =______________.【答案】3B π=【解析】试题分析：2sin2cos 2cos 2sin )22sin(sin CA C A C A C A C A C A A -++-+=-++=, 2sin2cos 2cos 2sin )22sin(sin CA C A C A C A C A C A C -+-+=-+=－－, 两式相减得2sin2cos2sin sin CA C A C A -+=-, 由正弦定理得BC A sin )sin (sin 3=-2cos 2sin 22sin 2cos3B B C A C A =-+⇒3232cos π=⇒=⇒B B . 考点：1正弦定理;2两角和差公式,二倍角公式.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数()21f x x =+，数列{},{}n n a b 分别满足1(),()n n n a f n b f b -==，且11b =. 定义[]()x x x =+，[]x 为实数x 的整数部分，()x 为小数部分，且0()1x ≤<.（1）分别求{},{}n n a b 的通项公式； （2）记n c =()1nn a b +，求数列{}n c 的前项n 和. 【答案】（1）12,12-=+=n n n b n a ;（2）1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩.（2）依题意，11131,2 2a c b ==；22251,44a cb ==； 当3n ≥时，可以证明0212n n <+<，即21012nn +<<， 所以2121c ()3)22n n n n n n ++==≥（， 则112S =，2113244S =+=，117921...(3)248162n n n S n +=+++++≥． 令7921...(3)8162n n W n +=+++≥，117921...(3)216322n n W n ++=+++≥， 两式相减得291219253)42242n n n n n W n -++=---≥=（．∴2533)2n nnS n+=-≥（，检验知，1n=不合，2n=适合，∴1,12253,22nnnSnn⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩．考点：1构造法求数列的通项公式;2错位相减法求数列的和.【方法点睛】本题主要考查数列通项公式和前n项和问题,难度一般.求数列通项公式的常用方法有:公式法(包括等差数列的通项公式,等比数列的通项公式,()()11,1,2nn nS naS S n-=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩),累加法,累乘法,构造法等.数列求和的常用方法有:公式法,分组求和法,倒序相加法,裂项相消法,错位相减法.18. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是菱形，且120ABC∠=︒．点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若2PA PD AD===，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析; （2.∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=是平面PAF 的一个法向量，∵cos ,39n GB<n GB >n GB ⋅===⋅，∴平面PAF 与平面AFE ． 考点：1线面平行,线面垂直;2用空间向量法解决立体几何问题.【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面平行关键是证明线线平行,证明线明平行常用方法有:中位线,平行四边形,平行线分线段成比例逆定理等.19．某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．（1）恰有2人选修物理的概率；（2）选修科目个数ξ的分布列及期望．【答案】（1）827;（2）详见解析. （II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733P C C C C C C P P ξξξ===+-======或 12123342434444(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或综上知，ξ有分布列从而有114465123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯=考点：1二项分布;2分布列,期望. 20．已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（1）212y x =;（2）0a <时，A 不是“稳定点”; 3a =时，t 与m 无关.（Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，设直线MN 的方程为x my a =+，联立212x my a y x=+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，2144480m a ∆=+>， 1212y y m +=， 1212y y a =-， 由对称性，不妨设0m >，考点：直线与抛物线的位置关系问题.21. 已知函数()ln(1)x f x x =+. （1）当0x >时，证明：1()12f x x <+； （2）当1x >-，且0x ≠时，不等式(1)()1kx f x x +>+成立，求实数k 的值.【答案】（1）详见解析; （2）12k =. 【解析】试题分析：（1）当0x >时,11x +>,则()ln 10x +>,则原不等式等价于2ln(1)2xx x <++.令2()ln(1)2x h x x x =+-+．则只需其最小值大于0即可.先求导,讨论导数的正负,得函数()h x 的单调区间,可得()h x 的最小值. （2）原不等式可化为2(1)ln(1)0x x x kx x++--<．令2()(1)ln(1)g x x x x kx =++--．求导,将导数再一次求导,讨论k 的值可得()'g x 的正负,从而可得函数()g x 的单调性.根据单调性可得()g x 的最值.试题解析：证明：（1）0,ln(1)0x x >+>2ln(1)2x x x +⇔<+2ln(1)2x x x ⇔<++令2()ln(1)2x h x x x =+-+． 22()0(1)(2)x h x x x '=>++，则()h x 在(0,)+∞上是增函数． 故()(0)0h x h >=，即命题结论成立………………5分考点：用导数研究函数的性质.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =.（1）求证：CE AD ⊥;（2）求BC 的长.【答案】（1）详见解析; （2）BC =.考点：1圆的切线;2相似三角形.23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 的极坐标方程；（2）过点1(4M -任作一直线交曲线C 于,A B 两点，求||AB 的最小值.【答案】（1）sin +4πρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭;（2）7||min =AB . 【解析】 试题分析：（1）将曲线C 化为直角坐标方程,再求其在点()1,1处的切线方程.根据公式cos ,sin x y ρθρθ==可得其极坐标方程. （2）考点：1极坐标与直角坐标间的互化;2弦长问题.24．选修4-5：不等式选讲： 设函数)0(|||4|)(>++-=a a x ax x f . （I ）证明：4)(≥x f ；（II ）若5)2(<f ，求a 的取值范围.【答案】（I ）详见解析; （II ）21711+<<a . 【解析】 试题分析：（I ）根据公式a b a b ±≤+及基本不等式可证得. （II ）()25f <即4225a a -++<,根据找零点法取绝对值,转化为a 的一元二次不等式.试题解析：解：（I ）()()44444f x x x a x x a a a a a a a ⎛⎫=-++≥--+=+=+≥ ⎪⎝⎭. （II ）当2=a 时，5|2||42|<++-a a 显然满足； 当20≤<a 时，54<+⇒a a ，即410452<<⇒<+-a a a ，，联立求解得21≤<a ;考点：1绝对值公式;2基本不等式;3找零点法去绝对值.。