第十一章 压杆稳定
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F σ cr ≤ A nst
亦即
F ≤ [σ ] st A
式中，
[σ]st=σcr/nst为压杆的稳定许用应力，nst为稳定安全因数。
第四பைடு நூலகம் 提高压杆承载能力的措施
从 计算压杆的临界力公式可以看出，临界力与杆 长，约束情况，截面的惯性矩及材料有关
π2 EI Fc r = (μ l )2
一、尽量减小压杆的杆长
第十三章 压杆稳定
第一节 轴向受压杆的临界荷载 第二节 临界应力总图 第三节 压杆稳定计算 第四节 提高压杆承载能力的措施
第一节 轴向受压杆的临界荷载
实际的受压杆件 实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
(a)
式中，
σcr－－临界应力；
i = I / A －－惯性半径；
μl /i－－长细比或柔度，记作λ，即
λ=
μl
i
根据欧拉公式只可应用于σcr≤σp的条件，由式(a)知该 应用条件就是
σ cr =
亦即
π2E
λ
2
≤σp
λ≥
π2E
σp
或写作
λ ≥ λp
λ < λp 的压杆－非细长杆，属于非弹性稳定问题
x=0，w=0代入式(c)得B=0。 x=l，w=0得到：
A sin kl = 0
因B=0，故上式中的A不可能等于零， 否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持微弯 状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可 知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0
(a)
满足此条件的kl为
kl = 0，π , 2π ， L L
1、4杆受压，图b要比图a好
二、增强支承的刚性 尽量减小长度因数 μ
μ =1
μ=2
μ = 0.7
μ = 0.5
三、合理选择截面形状 同样的截面积，选择惯性矩大的比较好。 压杆的合理截面应是： Ⅰ. 两个形心主惯性矩相等( Imax= Imin)的截面； Ⅱ. 在横截面面积相同的条件下，对形心主惯性轴的惯性半 径尽可能大的截面，亦即形心主惯性矩尽可能大的截面。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2 EI Fc r = 2 l μ =1
π2 EI Fc r = (2l ) 2 μ =2
π2 EI Fc r = (0.7l ) 2 μ = 0.7
π2 EI Fc r = (0.5l ) 2 μ = 0.5
第二节 临界应力总图
Fcr ：临界压力
压杆失稳：当细长中心压杆上的轴向压力F小于某一荷载Fcr 时，杆的直线状态的平衡是稳定的； 当F＞Fcr时会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。 Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力。
以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长 中心受压杆件(图a)为例，来导出求临界 力的公式。
或即
Fcr l = 0，π ， 2π ， L L EI
Fcr l = 0意味着临界力Fcr ＝0，也就是杆根本未受 由于 EI 轴向压力，所以这不是真实情况。在kl≠0的解中，最小解
kl＝π 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。
由kl＝π有
Fcr l=π EI
亦即
Fcr 2 l = π2 EI
1. 直线型经验公式
σ cr = a − bλ
a, b 值与材料有关 适用于合金钢、铝 合金、铸铁与松木等
( λ0 < λ < λp )
根据 σ cu = a − bλ0
a − σ cu 得 λ0 = b
小柔度杆 中柔度杆
大柔度杆
临界应力总图
13
第三节 压杆稳定计算
为保证实际压杆具有足够的稳定性，取稳定条件为
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI Fcr = 2 l
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
π2 EI Fc r = (μ l )2
μ 称为长度因数
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(a)
任意x截面的挠度为w，该截面 上的弯矩为M(x)=Fcrw。杆的挠曲线 近似微分方程为
EIw′′ = − M (x ) = − Fcr w
令k2=Fcr /EI，得
(a)
′′ + k 2w = 0 w
微分方程(b)的通解为
(a) (b)
(b)
w = A sin kx + B cos kx
(c)
作业： 13-1 13-3 13-6 13-8
Ⅰ. 欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公 式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限σp 的情况。 横截面上的应力可按σcr＝Fcr /A来计算
Fcr π 2 EI π 2E π 2E = = = 2 σ cr = 2 2 λ A ( μl ) A ( μl / i )
亦即
F ≤ [σ ] st A
式中，
[σ]st=σcr/nst为压杆的稳定许用应力，nst为稳定安全因数。
第四பைடு நூலகம் 提高压杆承载能力的措施
从 计算压杆的临界力公式可以看出，临界力与杆 长，约束情况，截面的惯性矩及材料有关
π2 EI Fc r = (μ l )2
一、尽量减小压杆的杆长
第十三章 压杆稳定
第一节 轴向受压杆的临界荷载 第二节 临界应力总图 第三节 压杆稳定计算 第四节 提高压杆承载能力的措施
第一节 轴向受压杆的临界荷载
实际的受压杆件 实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
(a)
式中，
σcr－－临界应力；
i = I / A －－惯性半径；
μl /i－－长细比或柔度，记作λ，即
λ=
μl
i
根据欧拉公式只可应用于σcr≤σp的条件，由式(a)知该 应用条件就是
σ cr =
亦即
π2E
λ
2
≤σp
λ≥
π2E
σp
或写作
λ ≥ λp
λ < λp 的压杆－非细长杆，属于非弹性稳定问题
x=0，w=0代入式(c)得B=0。 x=l，w=0得到：
A sin kl = 0
因B=0，故上式中的A不可能等于零， 否则(c)式将成为w≡ 0而压杆不能保持微弯 状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可 知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0
(a)
满足此条件的kl为
kl = 0，π , 2π ， L L
1、4杆受压，图b要比图a好
二、增强支承的刚性 尽量减小长度因数 μ
μ =1
μ=2
μ = 0.7
μ = 0.5
三、合理选择截面形状 同样的截面积，选择惯性矩大的比较好。 压杆的合理截面应是： Ⅰ. 两个形心主惯性矩相等( Imax= Imin)的截面； Ⅱ. 在横截面面积相同的条件下，对形心主惯性轴的惯性半 径尽可能大的截面，亦即形心主惯性矩尽可能大的截面。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2 EI Fc r = 2 l μ =1
π2 EI Fc r = (2l ) 2 μ =2
π2 EI Fc r = (0.7l ) 2 μ = 0.7
π2 EI Fc r = (0.5l ) 2 μ = 0.5
第二节 临界应力总图
Fcr ：临界压力
压杆失稳：当细长中心压杆上的轴向压力F小于某一荷载Fcr 时，杆的直线状态的平衡是稳定的； 当F＞Fcr时会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。 Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力。
以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长 中心受压杆件(图a)为例，来导出求临界 力的公式。
或即
Fcr l = 0，π ， 2π ， L L EI
Fcr l = 0意味着临界力Fcr ＝0，也就是杆根本未受 由于 EI 轴向压力，所以这不是真实情况。在kl≠0的解中，最小解
kl＝π 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。
由kl＝π有
Fcr l=π EI
亦即
Fcr 2 l = π2 EI
1. 直线型经验公式
σ cr = a − bλ
a, b 值与材料有关 适用于合金钢、铝 合金、铸铁与松木等
( λ0 < λ < λp )
根据 σ cu = a − bλ0
a − σ cu 得 λ0 = b
小柔度杆 中柔度杆
大柔度杆
临界应力总图
13
第三节 压杆稳定计算
为保证实际压杆具有足够的稳定性，取稳定条件为
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
π 2 EI Fcr = 2 l
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
π2 EI Fc r = (μ l )2
μ 称为长度因数
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(a)
任意x截面的挠度为w，该截面 上的弯矩为M(x)=Fcrw。杆的挠曲线 近似微分方程为
EIw′′ = − M (x ) = − Fcr w
令k2=Fcr /EI，得
(a)
′′ + k 2w = 0 w
微分方程(b)的通解为
(a) (b)
(b)
w = A sin kx + B cos kx
(c)
作业： 13-1 13-3 13-6 13-8
Ⅰ. 欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公 式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限σp 的情况。 横截面上的应力可按σcr＝Fcr /A来计算
Fcr π 2 EI π 2E π 2E = = = 2 σ cr = 2 2 λ A ( μl ) A ( μl / i )
