多边形及其内角和ppt课件

2
从同一 顶点引 对角线 的条数
分割出 三角形 的个数
三角形
0 1
四边形
1
2
五边形
2
……
六边形
n边形
3
n－3
3
4
n－2
怎样求一个多边形的内角和？
2020/10/18
3
D
CD
C
C
B
A B
AE
O D
B A
（一）
（二）
（三）
怎样求一个多边形的内角和？
2020/10/18
4
练习：
（1）求一个八边形的内角和。
（2）过某个多边形的一个顶点的所有 对角线，将这个多边形分成5个三角形。 这个多边形是几边形？它的内角和是 多少度？
（3）一个多边形的内角和是1800°则 它是几边形？
2020/10/18
5
（4）观察下列多边形，它们的边、角各有什么 特点？
正三角形、正四边形（正方形）、正五 边形、正六边形、正八边形的内角各分别是 多少度？
E C
F
B AD CB2020/10/18细观察 多思考
9
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
在平面内，内角都相等，边也相等的多边形
叫正多边形。
2020/10/18
6
议一议
（1）一个多边形的边都相等，它的 内角一定都相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它 的边一定相等吗？
2020/10/18

【 获 奖 课 件 ppt】人 教版初 中数学 《多边 形及其 内角和 》_实 用课件 1-课件 分析下 载
第十一章 三角形 11.面的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构、 足球的外皮，其中都有由一些线段围成的图形的形象， 你能从下图中抽象出几个由一些线段围成的图形吗？
探究新知
多边形的概念
在平面内，由一些线段首尾顺次相接 组成的封闭图形叫做多边形.
注意：①在同一平面内；②若干条线段； ③首尾顺次相接；④封闭图形.
探究新知
如果一个多边形由n条线段组成，那么 这个多边形叫做n边形.
如图，螺母底面的边缘可以设计为六边 形，也可设计为八边形.
探究新知
多边形的内角和外角
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 如下图中的∠A,∠B,∠C,∠D,∠E是五边形 ABCDE的5个内角.
探究新知
多边形的边与它的邻边的延长线组 成的角叫做多边形的外角.
0 1 2 3 ……
n-3
共可画对角线条数
0 2 5 9 ……
n(n－3)
【 获 奖 课 件 ppt】人 教版初 中数学 《多边 形及其 内角和 》_实 用课件 1-课件 分析下 载
【 获 奖 课 件 ppt】人 教版初 中数学 《多边 形及其 内角和 》_实 用课件 1-课件 分析下 载
探究新知 A
【 获 奖 课 件 ppt】人 教版初 中数学 《多边 形及其 内角和 》_实 用课件 1-课件 分析下 载
探究新知
我们再探究从n边形的一个顶点出发作出的 对角线，把n边形分成几个三角形？
【 获 奖 课 件 ppt】人 教版初 中数学 《多边 形及其 内角和 》_实 用课件 1-课件 分析下 载
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A2
An
A5
A4
A3
A5
An
A5
A1
A2
p
An
A4
A3
A5
A1 A2
A4
A1
A3
第二十六页，课件共有49页
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于
（n－2）× 180°
第二十七页，课件共有49页
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十 边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
0 1 23
分割出的三角形的个数：
1
2
34
n边形
n－3 n－2
第八页，课件共有49页
总结2 n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3)
n边形共有对角线 n(n 3条) (n≥3) 2
第九页，课件共有49页
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
第十页，课件共有49页
边形外角和？
A5
多边形的任何一个内角加上与它相邻的内
A4 角都等于180°（平角），n个外角连同它们的 各自相邻的内角，共有n个180°，总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的和，剩下的就是
多边形的外角和了！
n 1800 (n 2) 1800
2 1800 3600
多边形的外角和等于360ْ
5
6
=108°
=120°
（8-2）×180° 8
=135°
……
正n边形
（n-2）×180° n
第二十九页，课件共有49页

∵ ∠7+∠ 8+∠9+ ∠10 +∠11+ ∠12 =（6－2）×180 °= 720°, ∴ ∠1+∠ 2+∠3+ ∠4 +∠5+ ∠6 = 6×180 °－720 ° = 360°.
对于 n 边形，结论仍然成立！
结论： 多边形的外角和等于
360°.
探索与思考
探索多边形的外角和
多边形边 数
多边形的 内角和
4、正方形的内角和是 3600 度，长方形的内 角和是 3600 度。
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你 能找到由一些线段围成的图形吗？
5.若两个多边形的比是1:2，内角和的度数比是1:3，求这 两个多边形的边数。
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容? (2)我们是怎样得到多边形内角和公式的? (3)在探究多边形内角和公式的过程中， 连接对角线起到什么作用?
∠C=108°,∠D=144° A
B
例题讲解
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形 ？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
n-2=5 n=7 内角和=(n-2)x180°
=(5-2)x180° =900°
答：这个多边形是七边形，它的内角和是900°
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，把 多边形分成＿＿n-＿2＿个三角形．
n边形的内角和等于＿(n＿-2＿) ×＿1＿8＿00

证明过程
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。

通过这节课的学习活动你有 哪些收获？
n边形内角和 = 180° ×（n-2） 边数n = n边形内角和÷ 180° +2
欢迎光临指导
（1） ∠A与 ∠1有什么关系？ （2） ∠A与 ∠2有什么关系？
C
D
A
B
一个多边形内角和是1800°,它是几边形?
解法一 1800°÷ 180°+2=12
解法二
(n-2) ×180°=1800° 解得 n=12
一个多边形内角 和是1080°,它是 几边形?
一个多边形,截去一个角后,形成了另一个多边形. 内角和是900°.求这个多边形是几边形?
多边形的内角和
0 180
3600
3600
D A 任意四边形内角和等于多少度? 你是怎样得到的? 你能找到几种方法? B
C
D A
B 180° × 2 = 360°
C
D A
.p
B
C
180°× 4 - 360° = 360°
D
A
B
.p
C
180° × 3 - 180° = 360°
D A
.p
C
解： 如图，四边形ABCD中， ∠A＋∠C＝180° B 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 ° 所以 ∠B＋∠D = 360°－（∠A＋∠C） = 360 °－180° =180°
C
这就是说： 如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
如图,直线OB⊥AB,垂足为B,直线OC ⊥ AC,垂足为C.
B
180° × 3 - 180° = 360°
选择同一种方法分别求出你能说出十二边形的内角和吗？

探究新知
素养考点 1 多边形的截角问题
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边 数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示.
探究新知
归纳总结
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
探究新知 想一想 下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
（四条边都相等）
（四个角都相等）
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不 符合各边都相等.
注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角 都相等，两个条件必须同时具备.
巩固练习
4.下列属于正多边形的特征的有( B )
解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条， 则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
课堂检测
基础巩固题
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
A
B
C
D
2. 九边形的对角线有（ C ） A. 25条 C. 27条
B. 31条 D. 30条
课堂检测
基础巩固题
11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形
导入新知
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围 成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
导入新知
导入新知
中国某一村远景图
五角大楼
素养目标
3. 掌握多边形对角线的定义及公式，并能运 用公式解决相关问题. 2. 了解什么是凸多边形和正多边形.
探究新知 思考 比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要 强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，

清晨，小明 沿一个五边 形广场周围 的小路，按 逆时针方向 跑步。
（1）小明每从一条街 道转到下一条街道时， 身体转过的角是哪个 角？ （2）他每跑完一圈， 身体转过的角度之 和是多少？
（3）在图中，你能求
出∠1+∠2+∠3+∠4+ ∠5吗？你是怎样得到 的？
A 1 A' 5 E θ
E'
B
2
α
3、十七边形内角和为（2700° ） 4、八边形内角和为（1080°）
它们的各边（ 都相等 ） 定义：在平面内，内角都相等，边都 它们的各角（ 都相等 ） 相等的多边形叫正多边形
（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都 相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都 相等吗？ （3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边 形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
O
.
小亮是利用下图求出五边形的内角和的 你知道他又是怎么做的吗？
E
B
C
D
180°× 5 – 360° = 540°
1.按照小明的做法，我们可以把六边形分成多少个三角形？ 七边形呢？n边形（n是大于或等于3的自然数）呢？
2.那你能确定出n边形的内角和吗？
多边形 的边数
图
形
从一个顶点引出 分割出的三 的对角线条数 角形的个数
多边形的 内角和
3 4 5 6 …… n
0 1 2 3
1 2
3 4
1× 180º
2× 180º
3× 180º
4× 180º
……
……
n－3
……
n－2
……
(n-2)×180º
多边形内角和定理

（1）√ （2）×（3） √ （4）×
练习2：填空． （1）一个多边形的内角和为1260°，则它的边 数为 9 ．
（2）五边形的内角和为 540°，． （3）一个多边形的每一个外角都等于30°，则 这个多边形为 十二 边形．
（4）一个多边形的每个内角都等于135°，则这 个多边形为 八 边形．
练习3：选择．
D
A
解：如图，在四边形ABCD中，
∠A＋∠C＝180°
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °
B
C
= 360 °
∴ ∠B＋∠D = 360°－（∠A＋∠C）
= 360 °－180°
=180°
这就是说： 如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
练习1：判断． （1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加． （2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加． （3）三角形的外角和与八边形的外角和相等． （4）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角 线，得到（n-2）个三角形．
问题4：回想正多边形的性质，你
知道正多边形的每个内角是多少度
吗？每个外角呢？为什么？
正n边形的每个内角= (n - 2) 180
正n边形的每个外角=360 n
n
正n边形的每个内角=180°—
360
n
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
例1
已知：四边形ABCD中∠A＋∠C=180° 求：∠B与∠D的关系．
（1）多边形的每个外角与它相邻内角的关系
A．互为余角 B．互为邻补角
C．两个角相等 D．外角大于内角 (B)
（2）多边形的内角和为它的外角和的4倍，这

五边形的外角和=5×180°-五边形内角和
探讨：多边形的外角和
1 5
五边形的外角和=5×180°-五边形内角和 =5×180°-（5-2）×180°
=2×180°
2
=360°
4
3
探讨：多边形的外角和
1 5
2
4
3
相邻的内角和外角是一对邻补角 ∠1=180°-∠N1 ∠2=180°-∠N2 …… ∠n=180°-∠Nn
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：C
【例题】 正十二边形的外角和是________.
答案：360°
【例题】 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是________.
答案：18
【例题】
已知一个多边形的各个内角都是150°，这个多边形的边数是________.
解析： 方法一：利用多边形的内角和 （n-2）×180°=n×150° 解得n=12
11.3多边形及其内角和
11.3.1 多边形 11 . 3 . 2 多 边 形 的 内 角 和
学习目标
1.多边形的定义及相关概念 2.正多边形的定义及判断 3.多边形的多角线的定义及特点 4.多边形的内角和 5.多边形的外角和
定义：多边形
在平面内，由一些线段（n≥3）首尾顺次相接组成的封闭图形叫 做多边形。
定义：正多边形
等边三角形
正方形
正五边形
正十二边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
定义：多边形的对角线
思考：过一个顶点可以做出几 条对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
定义：多边形的对角线
过n边形一个顶点，可画（n-3）条对角线 思考：n边形一共有几条对角线？