平面向量单元复习课件

利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
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五.应用举例
向量的有关概念
例 1 给出下列命题：
①若 a·b = 0 ，则 a、b 中至少有一个为 0 .
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确的序号是___②__③___．
b a +b
Aa
B
3.向量减法的三角形法则
共起点
r r uuur uuur uuur a b AB AD DB
首同尾连向被减
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二.基本运算（向量途径） 4.实数与向量的积 a 是一个向量
a是一个与a
共线的向量
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二.基本运算（向量途径）
rr
5.两个非零向量
rr r
a与r b
的数量积
a b | a | | b | cos
分析：先求OM、ON.
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五.应用举例 平面向量的数量积
例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知
uuur
uuur
，| AB | 4，| AD | 3
DAB ，60求o ：
（1） uuur ；uuur （2） AD BC
uu；ur uuur AB DA
D
F
C
E
解：
（1）因为
uuur AD
∥
uuur BC
课题：
平面向量复习课
学习导航:向量是近代数学重要工具,准确掌握向量 的运算及其性质是利用向量为工具解决平面几何, 三角,空间几何等其它分支学科的基础.故同学们应 重视复习和巩固向量的知识,并强化建系处理问题 或基底处理向量问题的意识.
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一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法
B
1)图形表示
A
(5)0 a a 0 a
(6)0 0 (7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0
|a| 3
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上
b
B
[0, ]
θ O
向量夹角：首要的是通过向
a B1
A
量平移,使两个向量共起点。
向量数量积的几何意义
r
rr
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
ab |a|
可正可负可为零
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平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=|a|·|b|
4 3 ( 1) 6
2
思考：若E、F分别是BC，DC的中点，
试求AE AF的值。 20 15
r
r
1ar.向// br量a和有非唯零一向的量实b数，使ar
r b
xr 1
y
r
2
x2
y1
0
2r .非r零向r量ar和b
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
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四.一个基本定理
平面向量基本定理
如 果e1、e 2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不共 线 的 向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数1 , 2 , 使a 1e1 2 e2 把 不 共 线 的 向 量e1、e 2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组基 底.
有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r uuur
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
ar OuuAuur (x, y) 点A(x, y)
a MN (xN xM , yN yM )
2
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
a2
a2=a·a=|a|2(a·a= )
ab
④cosθ= |a||b|
⑤|a·b|≤|a|·|b|
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二r.基本运算（r坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr
2)a b r
(x1 x2 , y1 y2 )
3)a
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五.应用举例
向量加减法则
例2 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM
（2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论
AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解：（1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB
且方向相同，
A
B
uuur
uuur
所以 AD 与 BC 夹角是 0
uuur uuur uuur uuur
所以 AD BC | AD || BC | cos 0o 3 31 9
uuur uuur （2）因为 AB 与 AD
uuur 的夹角是60o ，所以 AB
与
uuur DA
的夹角为120o
所以
uuur uuur uuur uuur AB DA | AB || DA | cos120o
rr
(x1, y1 )
4)a b x1 x2 y1 y2
r rr 5) | a | a a
rr
x12 y12
6) cos uaurbr x1 x2 y1 y2
|a||b|
x12
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y
2 1
x
2 2
y
2 2
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三.两个等价条件
若a (x1, y1),b (x2 , y2 ),则
6.相反向量 (a) a,a (a) 0
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 4
二.基本运算（向量途径）
C
1.向量加法的三角形法则
r r uuur uuur uuur
a +b b
a b AB BC AC A首a尾相连B 首尾连
2.向量加法的平行四边形法则 D
C
r r uuur uuur uuur ，a b AB AD AC
（2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
= 0－BA = AB
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五.应用举例
平面向量基本定理
例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有 点N满足CD=3CN,
uuur r uuur r r r uuuur 设OA a,OB b,试用a,b表示MN