二次函数中的系数符号问题(专题 )

二次函数系数a、b、c与图像的关系知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜37．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c ＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专数形结合．题：分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c ＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系填空题专题练习1、二次函数y=-x2+bx+c 的图象如图所示，试确定b 、c 的符号；b ____________ 0, c ________ 0.(填不等号)5、已知函数y 二ax"+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中:®abc>0；②b 二2。

；③a+b+c<0；④a-b+c>0.正 确的是 _________ •0； (4) b 2-4ac_ 0.如图，已知抛物线y 二ax'+bx+c(aH0)经过原点和点(-2, 0),则2a -3b0.(填 >、V 或二) 象限.0； (3)c则直线y=abx+c 不过第6、已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（—1, 0）和点B,化简：如夕★如护的结杲为：①c;②b;③b—a;④a —b + 2c.其中正确的有________________ .7、二次函数y=-x2+bx + c的图象如图，则一次函数y=bx+c的图象不经过第_______________ 象限.8、若二次函数x2+bx+c的图象如图，则ac 0 （“V” “>”或“二”）9、已知二次函数y二ax'+bx+c（aH0）的图象如图所示，则在下列代数式：①ac；②a+b+c；③4a-2b+c；④2a+b；⑤圧-4ac中，值大于0的序号为__________________10、如图是二次函数y=ax2 + bx + c（a^0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b + c二0；②b>2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为一3 和1:④a—2b+c>0.其中正确的命题是 ______________ ・（只要求填写正确命题的序号）有以下结论：①abc>0；②a - b+c<0；③2d二b；④4a+2b+c>0；⑤若点（・2, y（）和（・3, y2）在该图象上，则yi>y2.其中正确的结论是 ______________ （填入正确结论的序号）.12、如图是二次函数ypx'+bx+c 的部分图像,在下列四个结论中正确的是 _________________① 不等式 ax 2+bx+c>0 的解集是-l<x<5；②a-b+c>0；③b 2-4ac>0；④4a+b<0.下列结论：①4a+b 二0；②9a+c>3b ；③8a+7b+2c>0；④当x>・1时，y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有 ______________________ （填序号）14>二次函数y=ax^+bx+c （aHO ）的图象如图所示，下列结论：①2a+b 二0；②a+c>b ；③抛物线与 x 轴的另一个交点为（3, 0）；④abc>0.其中正确的结论是 _____________________ （填写序号）.15、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图彖的一部分，图彖过点A （ - 3, 0）,对称轴为直线X 二・1,给 出四个结论:①b 2>4ac ；②2a+b 二0；③a+b+c>0；④若点B （ - 2. 5, yj , C （ - 0. 5, y 2）为函数图象上的两 点，则yi<y2.其中正确结论是 __________________ ・图象过点（-1, 0）,对称轴为直线x=2,16、如图，是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象的一部分，给出下列命题：①abc<0；②b>2a；③a+b+c二0④ax'+bx+c二0的两根分别为・3和1；⑤8a+c>0. 其中正确的命题是____________________________ ・17>二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①2a+b>0；②abc<0；③b2 - 4ac>0；④a+b+c<0；⑤la・2b+c<0,其中正确的个数是______________________ .y八18、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-l.且过点(0.5, 0),有下列结论：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a・ 10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a - b^m (am - b)；其中所有正确的结论是___________________ .(填写正确结论的序号)19、己知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，纟合出以下结论: ®b2>4ac；②abc>0③2a-b=0；④8a+c<0；⑤9a+3b+c<0.其中结论正确的是___________ .(填正确结论的序号)x=l20、在二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示，下列说法中：①b‘・4ac<0；②2占>0；③abc>0；®a-b-c>0,说法正确的是(填序号).21>已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，有下列5个结论：①c二0；②该抛物线的对称轴是直线x二・1；③当x=l时，y=2a；④am2+bm+a>0 (mH - 1)；⑤设A (100, yi) , B (・100, y2)在该抛物线上，则yi>y2.其中正确的结论有・(写出所有正确结论的序号)22、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c<0；②a - b+c<0；③b+2a<0；④abc>0,其屮正确的是_________________ (填编号)23、如图是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)图彖的一部分，现有下列结论：①abc<0；②b?・4ac+5> 0；③2a+b<0；④a-b+c<0；⑤抛物线y=ax2+bx+c (a^O)与x轴的另一个点坐标为(・1, 0), 其屮正确的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)y八24、己知实数m, n满足m - n2=l,则代数式n/+2n2+4ni - 1的最小值等于_____________ •25、如图所示，己知二次函数y二ax'+bx+c的图象经过（-1, 0）和（0, -1）两点，则化简代数式_ 乎 + 4 + + 乎 _ 4 二 _______________ .\26如图，抛物线y二ax'+bx+c与x轴交于点A （・1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：①当x>3时，y<0；②3a+b>0；③_2④3WnW4中，正确的是_______________27、已知二次函数y二ax'+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+cVO；②a - b+c> 1；③abc>0；④4a - 2b+c<0；其中正确的结论是 ______________28、已知二次函数ypx'+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1, 0） , （3, 0）.对于下列命题：①b-2a=0；②abc<0；③a-2b+4c<0；④8a+c>0.其中正确的有___________________________ .29、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①bV0；②4a+2b+c<0； (3)a・b+c>0；④(a+c) 2<b2.其中正确的是___________________ (把所有正确结论的序号都填在横线上).30^己知二次函数y二ax'+bx + c的图象如图所示，则下列结论：①c二2；②b2—4ac<0；③当x=l时，y的最小值为a+b+c中，正确的有___________________31、已知二次函数y=ax'+bx+c(a^O)的图像如图所示，(1)给出三个结论：①『-4眈>0；②c>0；③b>0,其中正确结论的序号是： ___________ ・(2)给出三个结论：①9a+3b+c〈0：②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是：________________32、已知抛物线y=ax2+bx+c(a^0)经过点(一1, 0),且顶点在第一象限.有下•列三个结论：①a<0；②a+b+c>0；③一2a >0.其中止确的结论有______________ .丄33>如图，抛物线yi=a (x+2) 2 - 3与2 (x・3) ?+1交于点A(l, 3),过点A作x轴的平行线, 分别交两条抛物线于点B, C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②沪1；③当x=0 时，y2 - yi=4④2AB=3AC.34、如图，抛物线"曲"窈-3与卩飞“耳+1交于点八（］,3）,过点A作x轴的平行_2线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x収何值，乃的值总是正数；②■亍；③当x二0时，y2-yi二6；④AB+AC二10；⑤刃时乃°,其中正确结论的个数是： ________________ .35>函数y二x'+bx+c与y二x的图象如图所示，有以下结论：①b'-4c>0；②3b+c+6=0；③当lVx< 3时，x2+ （b - 1） x+c<0；④JQ+C? = 3迥.其屮正确的有 _______________ .36、如图抛物线y=ax2+bx+c与只轴的一个交点A在点（-2, 0）和（-1, 0）之间（包括这两个点）, 定点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，贝9：（1）_____________ abc 0（填或“〉”；（2）___________________________ 8的取值范围是.1、答案为：V >;2、答案为：(1)> (2)< (3)> (4)>；3、答案为：>；4、答案为：四;5、答案为：①③④.6、答案为：①③④;7、答案为：四；8、答案为：<；9、答案为:10、答案为11、答案为12、答案为13、答案为14、答案为15、答案为16、答案为17、答案为18、答案为19、答案为20、答案为21、答案为22、答案为23、答案为24、答案为25、答案为26、答案为27、答案为28、答案为29、答案为30、答案为31、答案为32、答案为33、答案为34、答案为35、答案为①②⑤；①③；②④.①③；①③；①④.①④.①③④⑤.3.①③⑤.①②⑤；②③④.①②④⑤.②③.②、④.2a；①③.①③.©:①③④.①③；①；①③①②③；①④.①②④⑤,②③④；参考答案36、答案为：<。

二次函数图象特点与系数关系专题一.常识要点：二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)系数符号的肯定1.a 由抛物线启齿偏向肯定⎩⎨⎧⇔⇔00 a a 开口向下开口向上 2.b 由对称轴x= -a 2b 和a 的符号肯定⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-⎩⎨⎧000002000002b - b a b a a b b a b a a ，则，则，则，则 3.c 由抛物线与y 轴的交点肯定：交点在y 轴的⎩⎨⎧00c c 负半轴，则正半轴，则4.b2-4ac 的符号由抛物线与x 轴（或坐标轴）的交点个数肯定： ①与x 轴的交点个数⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=-时，方程无实数根；没有交点，数根时，方程有两个相等实；个交点，实数根时，方程有两个不相等；个交点，004b 0y 0410042222y ac ac b y ac b ②与坐标轴交点个数⎪⎩⎪⎨⎧-=--；个交点，；个交点，；个交点，0410******** ac b ac b ac b5.依据函数图象的具体情形取特别值,肯定代数式符号：罕有①x=1时,a +b +c 的符号;②x=-1时,a -b+ c 的符号;③x=2时,4a+2b+c 的符号;④x=-2时,4a-2b+c 的符号;…….6.由对称轴公式x= -a 2b ,可肯定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是肯定相干代数式的符号;如：x= -a 2b =-32时,可肯定4a-3b 的符号;有时与相干成立的等式或不等式联合,肯定运算子女数式的符号.二.专题演习1. 如图1,是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象,依据图中信息,下列结论准确是（）①abc>0;②b<a+c;③2a+b=0;④a+b<m(am+b)（m≠1）．（1）（2）（3）（4）2.如图2,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象,依据图中信息,下列结论准确是（）①b2-4ac＞0;②abc＞0;③8a+c＞0;④9a+3b+c＜03.如图3,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,依据图中信息,下列结论准确是（）（1）b2-4ac＞0;（2）c＞1;（3）2a-b＜0;（4）a+b+c＜0．4如图4, 二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）依据图中信息,下列结论准确是（）①abc＞0,②b2-4ac＜0, ③a-b+c＞0,④4a-2b+c＜0,5.已知正比例函数y=m x (m≠0),y随x的增大而减小,则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是( )A B C D6.函数与在统一平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D7.二次函数的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数在统一平面直角坐标系中的大致图象为( )A B C D8.已知正比例函数y=ax与反比例函数在统一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数的大致图象是( )A B C 9.二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在统一平面直角坐标系内的图象大致为( )A B C10.设a,b是常数,且b＞0,抛物线为下图中四个图象之一,则a的值为( )A. 6或-1B. -6或1C. 6D. -111.已知a≠0,在统一向角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．12.函数y=ax2+1与y=（a≠0）在统一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．13.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在统一坐标系内的图象如图,个中准确的是（）A．B．C．D．14.已知反比例函数y=的图象如图,则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A B C D15.如图,抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1,且经由点P（3,0）,则a﹣b+c的值为（）A. 0B. -1C. 1D. 216.下列图中暗影部分的面积相等的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④17.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示,当y＞0时,x的取值规模是（）A.-2＜x＜2B.-4＜x＜2C.x＜-2或x﹥2D.x＜-4或x﹥218.如图,直角坐标系中,两条抛物线有雷同的对称轴,下列关系不准确的是（）A.h=mB.k=nC.k﹥nD.k﹥0,h﹥019.已知抛物线,直线y2=3x+3,当x任取一值时,x对应的函数值分离为y1,y2．若y1≠y2,取y1,y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2．下列断定个中准确的是（）①当x＞0时,y1＞y2;②使得M大于3的x值不消失;③当x＜0时,x值越大,M值越小; ④使得M=1的x值是或．A.①③B.②④C.①④D.②③20.在﹣3≤x≤0规模内,二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个规模内,有结论：①y1有最大值1.没有最小值;②y1有最大值1.最小值﹣3;③函数值y1随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=2无解;⑤若y2=2x+4,则y1≤y2．个中准确的是（）21.如图,平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1,y=0.5x2﹣1所截,当直线l向右平移3个单位时,直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平地契位．A.3B.4C.6D.无法断定22.如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的极点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或2。

专题02 二次函数与系数a 、b 、c 的关系【知识梳理】知识梳理一、二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的基本认知b 2-4ac =0知识梳理二、关于a 、b 、c 代数式的取值问题．a 、b 、m知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类）（1）通过给出的系数系数信息，判断图像共存（2）通过给出的图像判断系数，再判断图像共存（3）不给出任何系数信息，通过题意判断【例题精讲】例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．例3．函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．例4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．例5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．例6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），例7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．例8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号．例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．例10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有：．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．【专项训练】1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（）A．B．C．D．7．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝6ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于（）A．﹣1B．1C．D．13．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．14．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．15．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．17．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．18．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．20．下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（）A．B．C．D．21．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．第21题图第22题图22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．23．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．其中结论正确是．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ab c＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．26．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的番号）27．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是（填序号）．30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）。

专题训练(二)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系知识储备二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c 之间的关系:项目字母字母的符号图象的特征a a>0 开口向上a<0 开口向下bb=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有一个交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c若a+b+c>0,则当x=1时,y>0若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0当对称轴为直线x=1时,2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,2a-b=0;判断2a+b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=1的位置关系;判断2a-b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=-1的位置关系▶类型一利用二次函数图象考查以上表格中的问题1.[2020·宁波江北区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列关系式错误的是()A.a<0B.b>0C.b2-4ac>0D.a+b+c<0图 1 图22.[2020·宁波]如图2,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是A.abc<0 B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c3.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()图 3▶类型二利用二次函数图象考查ma+nc或mb+nc(m,n为非零整数)与0的关系4.如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1.给出下列结论:①ac<0;②b2-4ac>0;③2a-b=0;④a-b+c=0.其中,正确的结论有()图4A.1个B.2个C.3个D.4个5.[2020·遵义改编]抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2,抛物线与x轴的一个交点在点(-4, 0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图5所示,下列结论中正确的有()①4a-b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;④b2+2b>4ac.图5A.1个B.2个C.3个D.4个▶类型三利用二次函数图象考查am2+bm+c(a≠0,a,b,c为常数)与a+b+c的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,其图象如图6所示,现有下列结论:①abc>0,②b-2a<0,③a-b+c>0,④a+b>n(an+b)(n ≠1),⑤2c<3b.其中正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤图6 图77.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分如图7所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=1,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c.其中正确的有() A.5个B.4个C.3个D.2个▶类型四利用二次函数图象解一元二次方程或不等式8.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=59.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图8所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解是()图8A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3▶类型五利用一次函数、二次函数的图象解一元二次方程或不等式10.如图9所示,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解为()图9A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥911.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图10所示,则方程ax2+（32b x+c=0的两根之和()图10A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定专题二教师详解详析1.D[解析] 抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0,所以C选项的关系式正确;当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.故选D.2.D[解析] ∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,∴-b2a=-1,∴b=2a.又∵a>0,∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴交于点C,∴c>0,∴abc>0,故A错误;∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故B错误;∵b=2a,∴当x=-1时,y=a-b+c=c-a<0,故C 错误;当x=-n2-2(n为实数)时,y=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=a(-n2-2)2+2a(-n2-2)+c=a( n2+1)2-a+c.∵n为实数,∴n2≥0,(n2+1)2≥1.又∵a>0,∴a(n2+1)2-a≥0,∴y≥c,故D正确,因此本题选D.3.C4.C[解析] ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴-b=2a,∴2a+b=0,故③错误;∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,∴点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0),即抛物线经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故④正确.综上可知,正确的结论有①②④,共3个.5.C[解析] 由-b2a=-2,得4a-b=0,故①正确;由抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,当x≤-2时,y随x的增大而增大,可知当x=-3时,y>0,由抛物线的对称性可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0.又4a=b,∴a-4a+c>0,即c>3a.故②错误; 由图象得,关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根正确; 由4ac-b24a=3,得4ac-b2=12a,∴4ac=12a+b2=3b+b2.易知a<0,b<0,c<0,∴4ac<2b+b2 ,故④正确.故选C.6.D[解析] ①由图象可知:a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故此选项错误;②当x=-2时,y=4a-2b+c<0,即b-2a>c2>0,故此选项错误;③当x=-1时,y=a-b+c<0,故此选项错误;④当x=1时,y的值最大,此时,y=a+b+c,而当x=n 时,y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c(n≠1),故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b)(n≠1),故此选项正确.⑤由抛物线的对称性可知当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴a=-b2,代入9a+3b+c<0,得9-b2 +3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;故④⑤正确.因此本题选D.7.B8.D9.D[解析] 根据图象可知,当y=0时,对应的x的值分别为x1=-1,x2=3.当y>0时,函数的图象在x轴的上方,由左边一段图象可知x<-1,由右边一段图象可知x>3.因此,当函数值y>0时,x的取值范围是x<-1或x>3.故选D.10.A[解析] 由图象可以看出:二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的图象的交点的横坐标分别为-1,9.而当y1≥y2时,对应的图象正好在两交点之间,所以-1≤x≤9.故选A.11.A。

二次函数图象与系数的关系数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

一、二次函数图象与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【典例1】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B (4,0)，则下列结论中：①abc>0②4a+b>0；③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点，若0<x1<x2，则y1>y2；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m―3)(m+3)<b(3―m)；⑤AB≥3，则4b+3c>0，正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，a<0，c<0，b>0，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线x=2右侧，即―b2a>2，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出b=―6a，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与x轴的交点B(4,0)，整理得出a =―4b+c 16，再根据AB ≥3，得到y =a +b +c ≥0，进而得出4b +5c ≥0，再结合c <0，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．解：∵抛物线开口线下，与y 轴交于负半轴，∴a <0，c <0，∵对称轴在x 轴正半轴，∴a 、b 异号，∴b >0，∴abc >0，①结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴对称轴在直线x =2右侧，即―b 2a >2，∴2―<0，∴4a+b2a <0，∵a <0，∴4a +b >0，②结论正确；M (x 1,y 1)与N (x 2,y 2)是抛物线上两点，且0<x 1<x 2，∵0<x <―b 2a 时，y 随x 的增大而增大；x >―b2a 时，y 随x 的增大而减小；∴无法判断y 1和y 2的大小，③结论错误；∵抛物线的对称轴是直线x =3，∴―b 2a =3，即b =―6a ，∴ a (m ―3)(m +3)―b (3―m )=a (m ―3)(m +3)+6a (3―m )=a (m ―3)(m +3―6)=a (m ―3)2，∵a <0，(m ―3)≥0，∴a (m ―3)2≤0，∴ a (m ―3)(m +3)≤b (3―m )，④结论正确；∵抛物线与x 轴正半轴交于A 、B 两点，且点B (4,0)，∴当x =4时，y =16a +4b +c =0，∴a =―4b+c 16，∵AB ≥3，∴点A 的横坐标0<x A ≤1，∴当x =1时，y =a +b +c ≥0；∴―4b+c 16+b +c ≥0，整理得：4b +5c ≥0，∴4b +3c ≥―2c ，∵c <0，∴2c >0，∴4b +3c >0，⑤结论正确；∴正确的结论有①②④⑤，共4个，故选：B ．1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象关于直线x =―1对称，与x 轴的一个交点在原点和(1,0)之间，下列结论错误的是（ ）A ．abc <0B ．b =2aC ．4a ―2b +c >0D ．a ―b ≤m (am +b )（m 为任意实数）【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y 轴交点位置，即可判断选项A ；根据抛物线对称轴即可判断选项B ；根据“对称轴为直线x =―1，0<x 1<1”可判断选项C ； 当x =―1时，y =ax 2+bx +c =a ―b +c 为最小值，据此可判断选项D．【解题过程】解：A．∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc<0，原题结论正确，故此选项不符合题意；B．∵对称轴为直线x=―1，=―1，∴―b2a∴b=2a，故选项正确，不符合题意；C．∵对称轴为直线x=―1，0<x2<1，∴―3<x1<―2，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0原题结论错误，故此选项符合题意；D．当x=―1时，y=ax2+bx+c=a―b+c为最小值，∴a―b+c≤am2+bm+c，∴a―b≤am2+bm，∴a―b≤m(am+b)，原题结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=―1，则下列结论中：>0②am2+bm≤a―b（m为任意实数）③3a+c<1①bc④若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤―3．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即可判断①，x=―1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得x1+x2=―2即可判段④，即可求解．【解题过程】解：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=―1，=―1∴x=―b2a∴b=2a<0∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0<0，故①错误，∴bc∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=―1,∴当x=―1时，y取得最大值，最大值为a―b+c∴am2+bm+c≤a―b+c（m为任意实数）即am2+bm≤a―b，故②正确；∵x=1时，y<0即a+b+c<0∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1，故③正确；∵M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点，∴M,N关于x=―1对称，∴x1+x22=―1即x1+x2=―2故④不正确正确的有②③故选：B3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若―2<c<―1，则―83<a+b+c<―43，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c=―3a，进一步得到1 3<a<23，又根据b=―2a得到a+b+c=a―2a―3a=―4a，即可判断④.【解题过程】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴―b2a=1，∵b=―2a，∴x=―1时，y=0，∴a―b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵―2<c<―1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=(―1)×3=―3=ca，∴c=―3a，∴―2<―3a<―1，∴13<a<23，∵b=―2a，∴a+b+c=a―2a―3a=―4a，∴―83<a+b+c<―43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，若c<0，则下列结论中错误的是（）A．ab<0B．4ac―b2<4aC．3a+b<0D．点2+m，1必在该抛物线上【思路点拨】根据抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，可得a<0，c<0，b>0，即可判断A；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到4ac―b24a>1，结合a<0即可判断B；由点3，0在抛物线上得到3a+b=―c3，再由c<0即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，∴a<0，c<0，―b2a>0，∴b>0，∴ab<0，故A正确，不符合题意；∵y=ax2+bx+c=a x++4ac―b24a ，抛物线的顶点在第一象限，经过点1，1，对称轴为直线x=m+32>1，∴4ac―b24a>1，∵a<0，∴4ac―b2<4a，故B正确，不符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点3，0，∴9a+3b+c=0，∴3a+b=―c3，∵c<0，∴―c3>0，∴3a+b=―c3>0，故C错误，符合题意；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点1，1，m，0，3，0，∴对称轴为直线x=m+32，∵1+2+m2=m+32，∴1，1和2+m，1关于对称轴对称，∴点2+m，1必在该抛物线上，故D正确，不符合题意；故选：C．5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a―2b+c=0；④方程ax²+bx+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am²+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】由开口方向及与y轴的交点可判断，a<0，c>0，再根据“左同右异”的方法可判断b的符号，从而可判断可判断②；由图象得x2=4和对称轴可求x1=―2，可得抛物线与x的另一个交点为①；由对称轴x=―b2a(―2,0)，代入即可判断③；设y1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，=a+b+c，即可判断⑤．可判断④；当x=1时，y最大【解题过程】解：由图得：a<0，c>0，∵对称轴在y轴右侧，∴b>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴―b=1，2a∴2a+b=0，故②正确；由图象得x 2=4，∴1―x 1=4―1解得：x 1=―2，∴抛物线与x 的另一个交点为(―2,0)，∴a ×(―2)2+(―2)b +c =0，即：4a ―2b +c =0，故③正确；设y 1=2，则图象为过(0,2)且垂直于y 轴的一条直线，与抛物线有两个交点，∴方程ax²+bx +c =2有两个不相等的实数根；故④正确；∵抛物线的对称轴是直线x =1，且a <0，∴当x =1时，y 最大=a +b +c ，∴ am²+bm +c ≤a +b +c ，故⑤正确；综上所述：正确的有②③④⑤，共4个；故选：C ．6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点(2,0)．下列说法：①abc <0；②―2b +c =0；③4a +2b +c <0；④若―52,y 1y 2是抛物线上的两点，则y 1<y 2；⑤14b >m (am +b )（其中m ≠12），其中说法正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②④⑤D ．②③④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用抛物线的开口方向、对称轴和与y轴的交点位置来判定①，利用抛物线与x轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点(2,0)代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，抛物线对称轴为x=―b2a =12，∴b=―a>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；对称轴为x=12，且经过点(2,0)，抛物线与x轴的另一个交点为(―1,0)，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为2和―1，∴2×(―1)=ca，整理，得c=―2a，∴―2b+c=2a+(―2a)=0，所以②正确；抛物线经过(2,0)，∴当x=2时，y=0，∴4a+2b+c=0，所以③错误；∵a<0，∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，∵1 2―(―52)>52―12，∴y1<y2所以④正确；∵对称轴为x =12，∴当x =12时，y 有最大值，y 的最大值=14a +12b +c ，∴当x =m ≠12时，14a +12b +c >am 2+bm +c ，整理，得14a +12b >am 2+bm =m(am +b)，∵b =―a ，即a =―b ，∴14a +12b =―14b +12b =14b ，即14b >m (am +b )，所以⑤正确．其中说法正确的是①②④⑤．故选：C ．7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc <0；②a +b +c >0；③2a ―c >0；④点(―2,y 1)，(4,y 2)都在抛物线上，则有y 1>y 2；⑤不等式ax 2+bx +c <―c x 1x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，a ＞0；对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，得到b ＜0，c ＞0，判断abc <0；结合图像，a +b +c ＜0；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵对称轴在原点的右边，―b 2a ＞0，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴交点位于坐标轴上，∴c ＞0，∴abc <0；故①正确；结合图像，a +b +c ＜0；故②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于两点(x 1,0)、(2,0)，其中0＜x 1＜1．∴1＜x 1+22＜32，4a +2b +c =0，∴1＜―b 2a ＜32，2b =―c ―4a ，∴―3a ＜b ＜―2a ，2b =―c ―4a ，∴2b ＞―6a ，b +2a ＜0，∴―4a ―c ＞―6a ，∴2a ―c >0，故③正确；∵点(―2,y 1)，(4,y 2)∴y 1=4a ―2b +c,y 2=16a +4b +c ，∴y 1―y 2=4a ―2b +c ―(16a +4b +c )=―6(2a +b )，∵b +2a ＜0，∴―6(2a +b )＞0∴y 1>y 2；故④正确；设直线y =―cx 1x +c ，根据题意，直线经过点(x 1,0)和(0,c )，故直线y =―c x 1x +c 与y =ax 2+bx +c 的交点为点(x 1,0)和(0,c )，画草图如下，x+c的解集为0＜x＜x1．故不等式ax2+bx+c<―c x1故⑤正确；故选D．8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分如图所示，该函数图像经过点(5，0)，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①b>0；②a+c<b；③多项式ax2+bx+c 可因式分解为(x+1)(x―5)；④无论m为何值时，代数式am2+bm―4a―2b的值一定不大于0．其中正确个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】=2可得抛物线与x轴的另一个交先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为x=x1+x22点为(―1,0)，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为x=2可知x=2时y有最大值，由此可判断④．本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，>0，∵对称轴为直线x=―b2a∴b>0，∴结论①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(5，0)，且对称轴为直线x=2，由5+x 22=2，得x 2=―1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(―1,0)，即当x =―1时，y =0，∴a ―b +c =0，∴a +c =b ，∴结论②错误；∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为(―1,0)，(5，0)，∴多项式ax 2+bx +c 可因式分解为a(x +1)(x ―5)，∴结论③错误；∵对称轴为直线x =2，且函数开口向下，∴当x =2时，y 有最大值，由y =ax 2+bx +c 得，x =2时，y =4a +2b +c ，x =m 时，y =am 2+bm +c ，∴无论m 为何值时，am 2+bm +c ≤4a +2b +c ，∴am 2+bm ―4a ―2b ≤0∴结论④正确；综上：正确的有①④．故选：B9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (―1,0)，顶点坐标为(1,n )，与y 轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点）．正确结论的个数是（ ）①当x >3时，y <0；②3a +b >0；③―1≤a ≤―23；④83≤n ≤4．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．①根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=1，得到另一个交点坐标，结合函数图象即可对于①作出判断；②根据抛物线开口方向得出a<0，由对称轴x=―b求得b与a的关系，代入3a+b，即可判定3a+b的符2a，号；③根据二次函数与x轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解，结合一元二次方程两根之积x1⋅x2=ca 得到c与a的关系，然后根据c的取值范围，利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解c，根据c的取值范围，利用不等式的性质来求得n的取值范围．析式得到n=a+b+c=43【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，∴对称轴直线是x=1，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0)，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴根据图象可得，当x>3时，y<0；故①正确；②a<0；=1，∵对称轴x=―b2a∴b=―2a；∴3a+b=3a―2a=a<0，即3a+b<0；故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(―1,0)，(3,0)，即方程ax2+bx+c=0的解是x1=―1和x2=3，∴x1⋅x2=―1×3=―3，=―3，即ca；则a=―c3∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴―1≤―c3≤―23；即―1≤a≤―23；故③正确；④∵a=―c3；b=―2a∴b=―2a=23c，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，即n=a+b+c=43c∵2≤c≤3，∴8 3≤43c≤4，即83≤n≤4；故④正确；综上所述，正确的说法有①③④．故选：C．10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交于―12,0，对称轴为直线x=1．有以下结论∶①abc<0；②3a+c>0；③若点(―3,y1)，(3,y2)，(0,y3)均在函数图象上，则y1>y3>y2；④若方程a(2x+1)(2x―5)=1的两根为x1、x2，且x1<x2则x1<―1 2<52<x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为a≥23．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．【解题过程】解：∵对称轴为直线x =1，函数图象与x 轴负半轴交于 ―12,0，∴x =―b 2a =1，∴b =―2a ，由图象可知 a >0，c <0，∴b =―2a <0，∴abc >0，故①错误；由图可知，当x =―1时，y =a ―b +c >0 ，∴a +2a +c >0，即3a +c >0，故②正确；∵点(―3,y 1)，(3,y 2)，(0,y 3)均在函数图象上，对称轴为直线x =1，开口向上，∴|―3―1|>|3―1|>|0―1|，则 y 1>y 2>y 3，故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x ,0，∴抛物线解析式为：y =a x令a x ―=14，则a (2x +1)(2x ―5)=1，如图，作y =14，由图形可知x 1<―12<52<x 2 ，故④正确；由题意可知：M ，N 到对称轴的距离为32，当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于 32时，在x 轴下方的抛物线上存在点P ，使得PM ⊥PN ，即4ac―b 24a ≤―32，∵y =a x =ax 2―2ax ―54a ，∴c =―54a ，b =―2a ，≤―32，解得：a ≥23，故⑤正确，综上可知②④⑤正确，共3个，故选：C ．11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，顶点坐标为―12,m ．对于下列结论：①abc <0；②a +b +c =0；③若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，则m <3；④am 2+bm <14(a ―2b )）（其中m ≠―12）﹔⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有（ ）A ．②③④B ．②③⑤C ．②③D ．④⑤【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【解题过程】解：∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∵抛物线的对称轴为直线x =―12，∴―b 2a =―12∴b =a <0∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，∴c >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(1,0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：a +b +c =0，故②正确；∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ―3=0无实数根，∴二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象与直线y =3无交点，∵抛物线的顶点坐标为―12,m ，抛物线开口方向向下，∴m <3，故③正确；∵am 2+bm =am 2+am =a m +―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a m <0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，故选：A ．12．（2024·四川达州·三模）如图，函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，请思考下列判断：①abc <0；②4a +c <2b ；③b c +1m =1；④am 2+(2a +b )m +b +c <0；⑤|am +a |=确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据x =―2时，y <0即可判断；③根据m 是方程ax 2+bx +c =0的根，结合两根之积―m = c a ，即可判断；④根据两根之和―1+m =― b a ，可得ma =a ―b ，可得am 2+(2a +b)m +b +c =2a ―b <0；⑤根据抛物线与x 轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a <0，∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c >0，∵― b 2a >0，∴b >0，∴abc <0，故①正确，∵x =―2时，y <0，∴4a ―2b +c <0，即4a +c <2b ，故②正确，∵ y =ax 2+bx +c 的图象过点(―1,0)和(m,0)，∴―1×m = c a ，am 2+bm +c =0，则am c =―1，∴ b c =0，∴ b c +1m =1，故③正确，∵―1+m =― ba ，∴―a +am =―b ，∵am2+(2a+b)m+b+c=am2+bm+c+2am+b=2a―2b+b=2a―b∵a<0，b>0∴2a―b<0，故④正确，对于ax2+bx+c=0，可得：x=由函数图象交点可知x=m或x=―1，∴m+1=，∴m+1=，∴|am+a|=⑤正确，故选：D．13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(―1,0)下列结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b；④―3b+c=0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程ax2 +bx+c=5没有实数根．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】本题主要考查二次函数与系数a，b，c相关代数式的判断问题，会利用对称轴求b与a的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a<0，将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a―b+c=0，由图象可得对称轴为x=2，可得b=―4a，代入上式可得c=―5a，再将五个结论分别分析即可由得到答案．【解题过程】解：将点(―1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，∵图象可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2，开口向下，=2，a<0，∴―b2a即b=―4a>0，将b=―4a代入a―b+c=0，可得c=―5a>0．①∵b=―4a、c=―5a，∴b2=(―4a)2=16a2，4ac=4a×(―5a)=―20a2，∴16a2>―20a2，∴b2>4ac，故①正确．②∵b=―4a，∴4a+b=4a―4a=0，故②正确．③∵b=―4a、c=―5a，∴4a+c=4a―5a=―a，2b=―8a，∵a<0，∴―a<―8a，∴4a+c<2b，故③错误．④∵b=―4a、c=―5a，故―3b+c=―3×(―4a)―5a=12a―5a=7a，∵a<0，∴7a≠0，∴―3b+c≠0，故④错误．⑤将(2,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即4a+2b+c=4，再将b=―4a、c=―5a代入上式，化简可得a=―2，∴b=―4a=8，c=―5a=10，将a=―2，b=8，c=10，代入则方程ax2+bx+c=5中，即―2x2+8x+5=0，根据根的判别式Δ=82―4×(―2)×5=104>0，可得方程ax2+bx+c=5没有两个不相同的实数根，故⑤错误．综上作述，正确的结论有两个，故选A．14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点(―1,0)，与y轴的交点在(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①a+b+c<0；②若点M(0.5,y1)、N(2.5,y2)在图象上，则y1<y2；③若m为任意实数，则a(m2―4)+b(m―2)≥0；④―24≤5 (a+b+c)<―16．其中正确结论的序号为．【思路点拨】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(―1,0)，对称轴为直线x=2，∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)x轴相交于点A(―1,0),(5,0)，∵二次函数与y轴的交点B(0,―2)与(0,―3)之间（不包括这两点），大致图象如图：当x=1时，y=a+b+c<0，故结论①正确；∵二次函数的对称轴为直线x=2，且a>0,2―0.5=1.5,2.5―2=0.5，∴y1>y2，故结论②不正确；∵x=2时，函数有最小值，∴am2+bm+c≥4a+2b+c（m为任意实数），∴a(m2―4)+b(m―2)≥0，故结论③正确；∵―b2a=2，∴b=―4a，∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为―1和5，∴―1×5=ca，∴c=―5a，∵―3<c<―2，∴2 5<a<35，∴当x=1时，y=a+b+c=―8a，―245<―8a<―165，∴―24<5(a+b+c)<―16，故结论④正确；故答案为：①③④．15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，且交y轴的正半轴于点N，下列结论：①abc<0；②4a+2b+c=0；③若直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，则x T=1；④抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，P在Q的左边，若x1+x2>2，则y1<y2；⑤b2―4ac<―4a，请将所有正确的序号填在横线上．【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线的对称性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键．【解题过程】解：∵图象过点A(―2023,n)，B(2024,n)，M(―1,0)，∴抛物线对称轴为直线x=12，a―b+c=0，∴与x轴交于点(2,0)，即有4a+2b+c=0，故②正确；∵交y轴的正半轴于点N，∴抛物线开口向下，∴a<0，c>0，b>0，则abc<0，故①正确；由抛物线对称轴为直线x=12，∴―b2a =12，则b=―a，∴代入a―b+c=0得：c=―2a，∴抛物线y=ax2―ax―2a，直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x T,y T)，∴ax2―ax―2a=ax+d，整理得：ax2―2ax―2a―d=0∴(―2a)2―4a(―2a―d)=0，解得：d=―3a，∴直线y=ax―3a，代入得：x=1，∴x T=1，故③正确；∵抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴y1=ax12―ax1―2a，y2=ax22―ax2―2a，∴y1―y2=a(x1+x2)(x1―x2)―a(x1―x2)=a(x1―x2)(x1+x2―1)，∵x1<x2，a<0，x1+x2>2，即y1―y2>0，∴y1>y2，故④错误；∵b2―4ac=(―a)2―4a×(―2a)=a2+8a2=9a2>0，∴b2―4ac<―4a错误，∴①②③正确；故答案为：①②③．16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x=1．有以下结论：①abc<0，②a+c>0，③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，若am2+bm+c=p，则p(m―x1)(m―x2)≤0．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【思路点拨】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，可判断①；通过取特殊值可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与x轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．【解题过程】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与y轴的交点在y轴正半轴，∴c>0，∵对称轴为直线x=1，=1，即b=―2a，∴―b2a∵a<0，∴b>0，∴abc<0，故结论①正确；当x=1+y=a(12―2a(1++c=a+c，即当x=1(a+c)与0的大小关系，故结论②错误；∵a<0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，∵点P(x1,y1)和Q(x2,y2)在抛物线上，且x1<1<x2，x1+x2>2，∴x2―1>1―x1，即x2到1的距离大于x1到1的距离，∴y1>y2，故结论③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像与x轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为x1，右边交点的横坐标为x2，即x1<x2，如图所示，若m<x1，则p<0，m―x1<0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)<0，若x1≤m<x2，则p≥0，m―x1≥0，m―x2<0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，若m≥x2，则p≤0，m―x1>0，m―x2≥0，∴p(m―x1)(m―x2)≤0，综上所述，p(m―x1)(m―x2)≤0，故结论④正确，∴正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②9a+6b+c=0，③(4a+c)2<4b2；④方程cx2+bx+a=0的解为x1=1,x2=―1；3⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．其中正确的结论有（填序号）．【思路点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断a<0，c>0，b>0，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可．【解题过程】解：由图象可知：a<0，c>0，>0，∵―b2a∴b>0，∴abc<0，故①错误；=1，∵对称轴为x=―b2a∴b=―2a，∵a<0，c>0，∴9a+6b+c=9a―12a+c=c―3a>0，故②错误，∵抛物线与x轴的交点在―1与0之间，对称轴为x=1，另一个交点在2与3之间，∴当x=―2时，y=4a―2b+c<0，当x=2时，y=4a+2b+c>0，∴(4a―2b+c)(4a+2b+c)<0，∴(4a+c)2―4b2<0，∴(4a +c )2<4b 2，故③符合题意；∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当x =1时，有最大值，∴a +b +c >0，若方程cx 2+bx +a =0的解为x 1=1，则a +b +c =0，∴④错误；当x =1时，y 的值最大．此时，y =a +b +c ，而当x =m (m ≠1)时，y =am 2+bm +c ，∴a +b +c >am 2+bm +c ，∴a +b >am 2+bm ，即a +b >m (am +b )，故⑤正确；综上：正确的有③⑤，故答案为：③⑤．18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(―2,0)，对称轴为直线x =―12．对于下列结论：①abc <0；②b 2―4ac >0；③a +b +c =0；④am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12）；⑤若A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)均在该函数图象上，且x 1>x 2>1，则y 1>y 2．其中正确结论有 ．（填写序号）【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与x 轴的一个交点(―2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x 轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数法得到b =a,c =―2a ，再根据抛物线开口朝下，可得a <0，进而可得b <0，c >0，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与x 轴两个交点可以判断出②正确，根据am 2+bm =a (m +12)2―14a ，14(a ―2b)=―14a ，a <0，m ≠―12，可以得到a(m +12)2<0，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解．【解题过程】解：∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线与x 轴的一个交点坐标为(―2,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，把(―2，0)，(1，0)代入y =ax 2+bx +c(a ≠0)，可得：4a ―2b +c =0a +b +c =0 ，解得b =a c =―2a ，∴a +b +c =a +a ―2a =0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴a <0，∴b =a <0，c =―2a >0，∴abc >0，故①错误；∵抛物线与x 轴两个交点，∴当y =0时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴b 2―4ac >0，故②正确；∵am 2+bm =am 2+am =a(m +12)2―14a ，14(a ―2b)=14(a ―2a)=―14a ，∴am 2+bm ―14(a ―2b)=a(m +12)2，又∵a <0，m ≠―12，∴a(m +12)2<0，即am 2+bm <14(a ―2b)（其中m ≠―12)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x =―12，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x >―12时，y 随x 的增大而减小，∵x 1>x 2>1>―12，∴y 1<y 2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：②③④．19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 的坐标为―13,n ，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过点(―6,y1),(5,y2)，则y1> y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确结论是（请填写序号）．【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出a=32b，根据图象可得当x=1时，y=a+b+c<0，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．【解题过程】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为―13,n，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，即ab>0，由图可知，抛物线开口方向向下，即a<0，∴b<0，当x=0时，y=c>0，∴abc>0，故①正确，符合题意；②∵直线x=―13是抛物线的对称轴，∴―b2a =―13，∴b 2a =13>0，∴a=32b由图象可得：当x=1时，y=a+b+c<0，b+c<0，即5b+2c<0，故②正确，符合题意；∴52是抛物线的对称轴，③∵直线x=―13设(―6,y1),(5,y2)两点横坐标与对称轴的距离为d1，d2，则d1=|―6―=173，d2=|5――=163，∴d2<d1，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，∴y1<y2，故③错误，不符合题意；④如图，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，∴n<4，故④正确，符合题意．故答案为：①②④20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)，>1；③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：①b<0；②4ac―b24at>1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤1，其中正确的是3(填序号即可)．【思路点拨】①根据图象经过1，1，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在3，0或3，0的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a<0，再把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断①错误；>1，根②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点1，1的右侧，得出4ac―b24a据4a<0，利用不等式的性质即可得出4ac―b2<4a,即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出1，1到对称轴的距离大于2，t到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=(b―1)2―4ac=0，把1，1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1―b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn=ca =1，即n=1m，根据n≥3，得出1m≥3，求出m的取值范围，即可判断④正确．【解题过程】解：①图象经过1，1，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x 轴的交点都在1，0的左侧，∵(n,0)中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a<0，把1，1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1，即b=1―a―c=1―(a+c),∵a<0，c<0，∴a+c<0,∴b>0，故①错误；②∵a<0，b>0，c<0，ca>0，∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，∵n≥3，∴m>0，∴m+n2>1.5，即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点1，1的上方或者右上方，。