二次函数中的系数a-b-c符号

完整版)二次函数知识点复习二次函数知识点一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。

2.y=ax²+c的性质：上加下减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。

3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。

性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值。

ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值。

4.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值k。

ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值k。

三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

精品文档二次函数a ，b ，c 符号问题1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（1）a>0 ；（2）b>•0；（3）c<0；（4）0ab < ；（5）0ab <； （6）0bc <；；（7）2a+b>0 ；（8）4a+b<0 ；（9）abc ＜0；（10）0a b c ++>；（11）；a-b ＋c ＜0 ；（12）a ＋c ＞b ；（13）9a-3b ＋c ＜0；(14）4a-2b ＋c ＜0 ；（15）240b ac -> ； (16） 0＜a b 2；（17），（的实数） ；（18）3a+c<0 ；（19）；（20）（a+c ）2<b 22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个4、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +> ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）A . 1 B . 2 C . 3 D . 411O y精品文档 5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤。

二次函数图象与系数的关系二次函数的图象与二次函数的系数a 、b 、c 有内在联系。

由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系(1)a 的符号由 决定： ①开口向 ⇔ a 0；①开口向 ⇔ a 0.(2)b 的符号由 决定：① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 是 ⇔b 0.(3)c 的符号由 决定：①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；①点（0，c ）在原点 ⇔c 0；①点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.知识点2 二次函数与一元二次方程的关系[归纳概括]如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02=++c bx ax 的一个根.[归纳概括]函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交点的个数(1)当042>-ac b 时，有 交点；(2)当042=-ac b 时，有 交点；(3)当042<-ac b 时，没有交点；二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，试确定代数式①a ；②b ；③c ；④b 2-4ac ；⑤2a+b ；⑥a+b+c ；⑦a-b+c ；⑧4a+2b+c 的符号.练习1：根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ； （5）2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽ ； （7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；练习2：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1．（1）试确定代数式的符号①abc ______0；②3a +c ______0；③（a +c ）2﹣b 2______0； ④b 2-4ac ______0 ⑤a +b +2c _____0（2）证明：a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．练习3.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，证明： a ﹣b ≤m （am +b ）（m 为实数）；例2二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，（1）试确定代数式的符号4a +b 0；（2）9a +c 3b ；（2）证明：8a +7b +2c ＞0；（3）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小（4）若方程a （x +1）（x ﹣5）＝﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，判断﹣1，5，x 1，x 2的大小变式1：利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程23ax bx c ++=-的根为__________；（3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式20ax bx c ++>的解集为 ；（5）不等式20ax bx c ++<的解集为 ；（6）若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为 ，变式2.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x ＝1．下列结论中：①方程ax 2+bx +c ＝3有两个不相等的实数根；②抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；③若点A （m ，n ）在该抛物线上，则am 2+bm +c ≤a +b +c ．其中正确的有变式3.（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴上方的条件是（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是 例3.如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），（1）求代数式（a +c ）2﹣b 2的值（2）若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，求这四个根的和（3）求a 的取值范围 （4）求b 的取值范围例4.在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax 与二次函数y ＝ax 2+a 的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ． 三、课后作业1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，下列判断中，错误的是（）A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞2时，y随x的增大而减小C．当﹣1＜x＜1时，y＜0D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和32.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣3，0），顶点为P（﹣1，n）．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．b2＞4acC．4a+2b+c＞0D．2a+b＝04.在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．5.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示（1）.判断正误并说明理由：①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b（2）证明：（a+c）2＜b26.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1．其中正确的是7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①﹣2b+c＝0；；②4a+2b+c＜0；③若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；④b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．其中正确的是8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．其中正确的是9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，求证：无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）10.已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个。

二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数基础知识二次函数的概念是指形如22y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数。

其中，a、b、c是常数。

与一元二次方程类似，二次函数的定义域是全体实数。

二次函数的结构特征是等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二次函数的各种形式之间可以通过变换相互转化。

例如，用配方法可将二次函数y=ax^2+bx+c化为y=a(x-h)^2+k的形式，其中h=(-b/2a)，k=(4ac-b^2)/4a。

二次函数的解析式可以表示为一般式、顶点式或两根式。

其中，一般式是2y=ax^2+bx+c，顶点式是y=a(x-h)^2+k，两根式是y=a(x-x1)(x-x2)。

二次函数的图象可以用五点绘图法画出。

首先将二次函数化为顶点式，然后确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，最后在对称轴两侧左右对称地描点画图。

二次函数y=ax^2的性质与a的符号有关。

当a>0时，开口向上，顶点坐标为(0,0)；当a<0时，开口向下，顶点坐标为(0,0)。

顶点坐标为b/2ac−b2/4a以上是二次函数的基本性质，其中y轴和对称轴是直线，顶点是一个点，开口方向和最值是由a的符号决定的。

在具体应用中，可以利用这些性质来帮助我们解决问题。

例如，求函数的最值、确定函数的图像等等。

顶点决定抛物线的位置。

对于几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向和大小完全相同，只是顶点位置不同。

在二次函数2y=ax^2+bx+c中，a、b、c 与函数图像的关系是：抛物线。

二次项系数a在函数中起着决定性的作用。

当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大。

因此，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。

课次教学方案教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定：〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，那么a ＞0；否那么a ＜0． 〔2〕b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，那么c ＞0；否那么c ＜0．〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． 〔6〕由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、根底练习1、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论中，正确的选项是〔 D 〕 A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出以下结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，那么正确的结论是〔 D 〕 A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号确实定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为〔21，1〕，以下结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是〔 C 〕1\2\3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，对称轴为直线x=1，那么以下结论正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ，b ，c 为常数，a ≠0〕的图象如下图，有以下结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是〔A4 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、〔如下图的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： 〔1〕b 2-4ac ＞0；〔2〕c ＞1；〔3〕2a-b ＜0；〔4〕a+b+c ＜0．你认为其中错误的有〔D2〕 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下说法正确的选项是〔C 〕 A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，现有以下结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，那么其中结论正确的个数是〔B 〕1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、二次函数y=ax 2的图象开口向上，那么直线y=ax-1经过的象限是〔D 〕 A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下判断不正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么a ，b ，c 满足〔A 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0 D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，有以下4个结论，其中正确的结论是〔B 〕 A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0〔a ≠0〕有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有〔C 〕 A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如下图为二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象，在以下选项中错误的选项是〔C 〕 A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，以下结论错误的选项是〔B 〕 A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕 A 、a ＞0 B 、c ＜0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，以下结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有〔 C 〕个．1/2/3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4三、能力练习c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，那么a 、b 、c 满足〔 〕 A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞02.二次函数c bx ax y ++=2(a≠0〕且a ＜0，a －b+c ＞0，那么一定有〔 〕A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，那么点〔b ，c a〕在〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．假设二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么ac_____0〔“＜〞“＞〞或“=〞〕第4题图5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，那么以下关于a 、b 、c 间的关系判断正确的选项是〔 〕 A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：例题．抛物线c bx ax y ++=2过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l 〕．〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式； 〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回忆：〔09佛山〕19．〔1〕请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；〔2〕在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； 〔3〕直接写出平移后的图象的解析式. 注：图中小正方形网格的边长为1.〔1〕画图〔略〕注：根本反映图形的特征〔如顶点、对称性、变化趋势、平滑〕给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； 〔2〕画图、写解析式〔略〕注：画图总分值2分，同〔1〕的标准；写解析式2分〔无过程不扣分〕．〔11·佛山〕21.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A 〔－1，－1〕、B 〔0，2〕、C 〔1，3〕； 〔1〕求二次函数的解析式； 〔2〕画出二次函数的图像；【答案】解：〔1〕根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分〔2〕二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑〔各1分〕〔12佛山〕xyO第19题图xyoABC1xyoABC122.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的局部数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③函数c bx ax y ++=2的图象的一局部〔如图〕． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：〔1〕方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y 〔三种选其一即可〕〔2〕1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点 4、交 y 轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像〔2021•佛山〕24．如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，C 〔4，3〕．x -1 0 1 2 3 y343〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；〔3〕把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S〔图②中阴影局部〕．分析：〔1〕把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；〔2〕把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；〔3〕根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影局部的面积等于平行四边形的面积，列式进展计算即可得解．解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔0，3〕，B〔3，0〕，C〔4，3〕，∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；〔2〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，对称轴为直线x=2；〔3〕如图，∵抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，∴PP′=1，阴影局部的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影局部的面积=2．点评：此题考察了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，〔3〕根据平移的性质，把阴影局部的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。

【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质； 二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。

考点一：二次函数的概念及三种解析式概念 形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝【答案】C【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意；故选：C ．考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2.1） B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣＝﹣＝2.y ＝＝＝1.二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ．3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大 当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-． 当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值D．顶点坐标是（1.2）【答案】D【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上.故A错误；当x＝1时.函数有最小值2.故B错误；对称轴为直线x＝1.故C错误；顶点坐标为（1.2）.故D正确．故选：D．4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中.一次函数y＝ax与二次函数y ＝ax2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：选项A.直线下降a＜0.抛物线开口向上.a＞0.不符合题意．选项B.直线下降.a＜0.抛物线开口向下a＜0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.不符合题意．选项C.直线上升.a＞0.抛物线开口向上a＞0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.符合题意．选项D.直线上升.a＞0.抛物线开口向下a＜0.不符合题意．故选：C．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3【答案】C【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m.∴抛物线的开口向下.对称轴是直线x＝﹣1.∴当x＞﹣1时.y随x的增大而减小.∵（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点.∴点（﹣3.y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1.y3）.∵1＜5.∴y1＝y2＞y3.故选：C6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k.因为a＝﹣1＜0.所以抛物线开口向下.所以当x＞k时.y的值随x值的增大而减小.而x＞2时.y的值随x值的增大而减小.所以k≤2．故选：B．考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤常数项系数c决定抛物线与y 轴的交点的位置⑴ 当0c >时.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方⑵ 当0c =时.抛物线与y 轴的交点为坐标原点⑶ 当0c <时.抛物线与y 轴的交点在x 轴下方ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点 决定抛物线与x 轴的交点个数关系式 实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负【答案】C【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b.将（﹣1.0）.（1.1）代入y＝kx+b得.∴y＝x+.如图.当抛物线与线段AB相切时.令x+＝x2+c.整理得x2﹣x﹣+c＝0.∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0.解得c＝.c减小.抛物线向下移动.当抛物线经过点A（﹣1.0）时.将（﹣1.0）代入y＝x2+c得0＝1+c.解得c＝﹣1.∴﹣1≤c≤满足题意．故选：C．8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵0＜﹣＜1.∴b＜0.2a﹣b＞0.①不正确.不符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.②不正确.不符合题意．∵x＝1时.y＜0.∴a+b+c＜0.③正确.符合题意．∵x＝﹣1时.y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确.符合题意．∵x＝2时.y＞0.∴4a+2b+c＞0.⑤正确.符合题意．故选：C1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2【答案】B【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1.故选：B．2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧【答案】C【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3.∴当x＝0时.y＝﹣1.故选项A错误.该函数的对称轴是直线x＝﹣1.当x＜﹣1时.y随x的增大而减小.故选项B错误.图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）.故选项C正确.图象的对称轴在y轴的左侧.故选项D错误.故选：C．3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2.∴二次函数图象开口向下.对称轴为直线x＝﹣1.顶点为（﹣1.0）.∵A（﹣4.4.y1）和B（﹣3.3.y2）.∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|.∴y1＜y2＜0.故选：C．4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5.∴该抛物线的顶点M的坐标为（1.﹣5）.∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1.5）.故选：C．5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1.∴b＝﹣2a＜0.∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.①错误．∵抛物线与x轴有2个交点.∴b2﹣4ac＞0.∴b2＞4ac.②正确．∵b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.由图象可得x＝﹣1时y＞0.∴a+2a+c＝3a+c＞0.③正确．∵c＜0.∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0.∵x＝﹣1时y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确．故选：C．1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.∴可画出上图.∵抛物线对称轴x＝＝1.∴点（0.﹣5）的对称点是（2.﹣5）.∴当x＝2时.y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.∴a﹣1＞0.∴a＞1.故选：B．4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上.∴a＞0.故A错误.∵图象对称轴为直线x＝﹣2.且过B（﹣1.0）.∴A点的坐标为（﹣3.0）.故B错误.D正确.由图象知.当x＜0时.由图象可知y随x的增大先减小后增大.故C错误.故选：D．5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知.a＞0.b＜0.c＝1.对称轴为直线x＝﹣.由直线可知.a ＞0.b＜0.直线经过点（﹣.0）.故本选项符合题意；B、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；C、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；D、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；故选：A．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【解答】解：由图象可知.抛物线开口向下.所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2.所以b＝﹣4a.所以b＞0.故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点.所以b2﹣4ac＞0.故B正确．由图象和对称轴公式可知.抛物线与x轴交于点（5.0）和（﹣1.0）.所以方程ax2+bx+c ＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1.故C正确．由图象可知.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5.故D错误．故选：D．7．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3.解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝.把x＝2代入y＝x+1得y＝3.∴函数最大值为y＝3．故选：C．8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1.0）.B（3.0）代入二次函数y＝ax2+bx+c.可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a.∵该函数图象开口方向向下.∴a＜0.∴b＝﹣2a＞0.c＝﹣3a＞0.∴ac＜0.3a+c＝0.①错误.③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1.∴x＜1时.y随x的增大而增大.x＞1时.y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时.函数取得最大值.即对于任意的m.有a+b+c≥am2+bm+c.∴a+b≥am2+bm.故④正确．综上.正确的个数有2个.故选：B．9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．【答案】（1）y＝+2 （2）6 （3）4【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上.A、B的横坐标分别为﹣2、4.∴A（﹣2.1）.B（4.4）.设直线AB的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中.令x＝0.则y＝2.∴C的坐标为（0.2）.∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点.作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2.此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半.作直线P1P2关于直线AB的对称直线.交抛物线两个交点P3、P4.此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半.所以这样的点P共有4个.故答案为4．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【答案】A【解答】解：A．是二次函数.故本选项符合题意；B．是一次函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；C．是反比例函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式.不是整式.不是二次函数.故本选项不符合题意；故选：A．2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2【答案】D【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1.∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1.∴抛物线顶点为（m.﹣1）.当﹣1≤m≤1时.∵﹣1＞﹣2＞﹣5.∴顶点在线段AB的上方.不符合题意；当m＜﹣1时.若二次函数的图象与线段AB交于点B.则当x＝﹣1时.y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5.解得：m1＝﹣3.m2＝1（舍去）.∴要使二次函数的图象在线段AB的下方.则需要将图象向左平移.∴m＜﹣3.当m＞1时.若二次函数图象与线段AB交于点A.则当x＝1时.y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2.解得：m1＝2.m2＝0（舍去）.∴而要使二次函数始终在线段AB下方.则需要将图象向右平移.∴m＞2.综上所述：m＜﹣3或m＞2．故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵对称轴为直线x＝1.∴b＝﹣2a.∵B（﹣1.0）.∴A（3.0）.∴a﹣b+c＝0.∴c＝﹣3a.∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；①当x＝1时.函数的最大值是a+b+c.故①不正确；②当x＝﹣2时.y＜0.∴4a﹣2b+c＜0.故②不正确；③∵函数与x轴有两个不同的交点.∴Δ＝b2﹣4ac＞0.故③正确；④由图象可知当y＜0时.x＜﹣1或x＞3.故④正确；故选：B．。

九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。

一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。

抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。

（2）c 符号的确定。

因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。

（3）b 符号的确定。

b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。

二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。

分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。

（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。

（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。

（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。

2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。

因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。

3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式abx 2-=判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0． （4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．一．选择题（共9小题） 1．（2014•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（ ） A ． ③④ B ． ②③ C ． ①④ D ． ①②③ 3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．（2014•襄城区模拟）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论：①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2． 其中说法正确的是（ ）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤11、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案：CBDCD DCDDD 11、C一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0 ∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；答：②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a ﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c ＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a ≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。

专题02 二次函数与系数a 、b 、c 的关系【知识梳理】知识梳理一、二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的基本认知b 2-4ac =0知识梳理二、关于a 、b 、c 代数式的取值问题．a 、b 、m知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类）（1）通过给出的系数系数信息，判断图像共存（2）通过给出的图像判断系数，再判断图像共存（3）不给出任何系数信息，通过题意判断【例题精讲】例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．例3．函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．例4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．例5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．例6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），例7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．例8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号．例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．例10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有：．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．【专项训练】1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（）A．B．C．D．7．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝6ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于（）A．﹣1B．1C．D．13．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．14．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．15．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．17．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．18．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．20．下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（）A．B．C．D．21．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．第21题图第22题图22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．23．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．其中结论正确是．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ab c＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．26．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的番号）27．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是（填序号）．30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）。

模块三 函数第五讲 二次函数图象与a 、b 、c 的关系知识梳理 夯实基础二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征a >0开口向上aa <0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4acb 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,hx =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。

（3）赋值法：在二次函数c bx ax y ++=2中，令1=x ，则c b a y ++=；令1-=x ，则c b a y +-=；令2=x ，则c b a y ++=24；令2-=x ，则c b a y +-=24；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。

直击中考 胜券在握1．（2021·山东日照中考）抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++…，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】解：①Q 抛物线图象开口向上，0a \>，Q 对称轴在直线y 轴左侧，a \，b 同号，0b >，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b \+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+Q ，\点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y \>，故③错误．④Q 抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m \…，2ax bx c m \++…，21ax bx c m \++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++¹中a ，b ，c 与函数图象的关系．2．（2021·四川巴中中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论：①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0；④7a +c ＜0．其中正确的有（ ）x…﹣3﹣2﹣112…y … 1.8753m 1.8750…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B 【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a ，b ，c 的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点(3,1.875)-和点(1,1.875)，Q 点(3,1.875)-与点(1,1.875)是关于二次函数对称轴对称的，\二次函数的对称轴为直线3112x -+==-，\设二次函数解析式为2(1)y a x h =++，代入点(2,3)-，(2,0)得，390a h a h +=ìí+=î，解得38278a h ì=-ïïíï=ïî，\二次函数的解析式为：2327(1)88y x =-++，Q 233384y x x =--+，3c \=，\①是错误的，2934430168b ac -=+´´>Q ，\②是正确的，方程20ax bx +=为233084x x --=，即为220x x +=，12x \=-，20x =，\③是正确的，3377()3088a c +=´-+=>Q ，\④是错误的，\②③是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．3．（2021·牡丹江中考）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c>0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12ba-=，∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0，∴abc>0；故①正确；∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a ∴c =32b，∴-3＜32b＜-2，∴﹣2＜b 43<-，故②错误；∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a ∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．4．（2021·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】解：Q 抛物线开口向下a \<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=ìí++=î2am bm a b\+=+20am bm a b \+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-Q 0am a b \++=,(1)am c a m b\=+=-0c \>110m \-<+<10m +<Q 11022m +\-<<1022b a\-<-<10b a\>>0a b \<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am D =+--222(1)44a m a m a=+-+2244a bb a a a--=-⋅+22444b a ab a=+++24()4b a a b a=+++2440b ac a =-+>244ac b a \-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a 、b 、c 关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·辽宁丹东中考）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且13,22a b c a b c ++=--+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x ££时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【分析】由题意易得1,12b c a ==--，则有0c <，进而可判定①②，当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线104x a =-<，则有当23x ££时，y 随x 的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵13,22a b c a b c ++=--+=-，∴两式相减得12b =，两式相加得1c a =--，∴0c <，∵0,0,0a b c >><，∴0abc <，故①正确；∴12222102a b c a a a ++=+´--=>，故②正确；∵当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，∴当0y =时，则方程20ax bx c =++的两个根一个小于-1，一个根大于1，∴抛物线与x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线1024b x a a=-=-<，∴当23x ££时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，有最小值，即为424113y a b c a a a =++=+--=，故④正确；联立抛物线2y ax bx c =++及直线y x c =-可得：2x c ax bx c -=++，整理得：22012ax x c -+=，∴1804ac D =->，∴该抛物线与直线y x c =-有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ¹）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：Q 抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c \<>，Q 抛物线的对称轴为122b x a =-=，0b a \=->，0abc \<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将a b =-代入得：20b c -+=，则结论②正确；Q 抛物线的对称轴为12x =，32x \=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ，又Q 当12x ³时，y 随x 的增大而减小，且3522<，12y y \>，则结论④错误；由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+，12m ¹Q ，214b c am bm c +>++\，即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．7．（2021·四川广安中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -³+，④30a c +<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-，∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．8．（2021·湖南株洲中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >【答案】D【分析】由图像可得0a <，0c >，当1x =，y a b c =++，并与x 轴交于OP 之间，得0a b c ++<，据悉可得()0M ac a b c =++>，据此求解即可．【详解】解：由图像可知，图像开口向下，并与y 轴相交于正半轴，∴0a <，0c >，当1x =，211y a b c a b c =++=++g g ，∵1OP =，并由图像可得，二次函数2y ax bx c =++与x 轴交于OP 之间，∴0a b c ++<∴()0M ac a b c =++>，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．9．（2021·齐齐哈尔中考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图像可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a-=-，根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．10．（2021·湖北鄂州中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．【详解】解：①由图象可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x = 2b a-=1，且图象与x 轴交于点（﹣1，0），∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a ，∴根据图象，当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，故②错误；③根据图象，当x =﹣2时，y =4a ﹣2b +c =4a +4a +c =8a +c ＜0，故③正确；④∵抛物线经过点()3,n -，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()5,n ，∴抛物线2y ax bx c =++与直线y =n 的交点坐标为（﹣3，n ）和（5，n ），∴一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C ．本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．11．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、于x 轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，故①正确；∵抛物线与x 轴没有交点∴24b ac -＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）1933a b c a b c ++=ìí++=î∴8a+2b=2∴4a +b =1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x 交于这两点∴()21ax b x c +-+＜0可化为2ax bx c x ++<，根据图象，解得：1＜x ＜3故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．12．（2021·四川达州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图像开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <0abc \>故①正确；②122b x a =-=得=-a b 0a b \+=③2y ax bx c =++Q 经过()2,0420a b c \++=又由①得c <04230a b c \++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等\ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b=-Q 20a c \+=即12c a=- \ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确；⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++0a >Q\ 函数有最小值1142a b c ++\ 21142am bm c a b c ++³++化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．13．（2021·湖北随州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c ->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ^．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可【详解】①从图像观察，开口朝上，所以0a >，对称轴在y 轴右侧，所以0b <，图像与y 轴交点在x 轴下方，所以0c <0,0a b a b c--><\，所以①不正确；②点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点(0,)C c ，且2OB OC=设(2,0)B c -代入2y ax bx c =++,得：2420ac bc c -+=0c ¹Q \241b ac -=，所以②正确；③Q ()2,0A -，(2,0)B c -设抛物线解析式为：(2)(2)y a x x c =++过(0,)C c 4c ac \= 14a \=，所以③正确；④如图：设,AN BM 交点为P ，对称轴与x 轴交点为Q ，顶点为D ，根据抛物线的对称性，APB △ 是等腰直角三角形，()2,0A -Q ，(2,0)B c -22AB c \=-，112PQ AB c ==- 又对称轴2(2)12c x c -+-==+ (1,1)P c c \+- 由顶点坐标公式可知24(1,)4ac b D c a-+ 14a =Q 2(1,)D c cb \+- 由题意21c b c -<-，解得1b > 或者1b <-由①知0b <\1b <-，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0），a 的符号由抛物线的开口决定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．14．（2021·天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1，∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a -a -2＞0，∴a ＞2＞0，∴b =a +2＞0，∴abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∴△=24(3)b a c --=28b a +＞0,∴230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；∵b =a +2，a ＞2，c =1，∴a +b +c =a +a +2+1=2a +3，∵a ＞2，∴2a ＞4，∴2a +3＞4+3＞7，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．15．（2021·四川遂宁中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ¹）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y 轴的交点得到a ，b ，c 的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x 轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得12b a-=，则12a b =-，根据1x =-可得0a b c -+<，代入变形可对③进行判断；当1x =时，y a b c =++的值最大，即当(1)x m m =¹时，即a b c ++>2am bm c ++，则可对④进行判断；由于方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴b ＞0，∴abc ＜0，①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点∴24b ac ->0∴24b ac >，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴12b a-=，∴12a b =-由图象得，当1x =-时，0y a b c =-+<，∴102b bc --+<∴23c b <，故③正确；④当1x =时，y a b c =++的值最大，∴当(1)x m m =¹时，a b c ++>2am bm c ++，∴()a b m am b +>+（1m ¹），∵b ＞0，∴2()a b m am b +>+（1m ¹），故④正确；⑤∵方程|ax 2+bx +c |=1有四个根，∴方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，∴所有根之和为2×（-b a）=2×2a a =4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．（2013·山东德州中考）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．。

二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。

它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c分别代表函数的系数。

二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。

本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。

在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。

标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。

另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。

顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。

顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。

顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。

此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。

描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。

描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。

描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。

总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。

通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系若抛物线与 x 轴交于（1，0），则a + b + c = 0；若抛物线与 x 轴交于（-1，0），则a - b + c = 0． （1） 当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 0，则a + b + c < 0 （2） 当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．5 例1（重庆2004年）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则点M （b ，ac ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b > 0；∴ac < 0；∴点M 在第四象限选D例2、（2004陕西）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则下列关系判断正确的是（ ）A ．ab < 0B ．bc < 0C ．a + b + c > 0D ．a - b + c < 0分析：∵开口向下，∴a < 0； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴ab > 0， bc > 0 故A 、B 均错 ∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0，故C 错 ∵x = -1时，y < 0，∴a - b + c < 0．故选D例3（2004呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ． A ．a > b > c > d B ．a > b > d > c C ．b > a > c > dD ．b > a > d > c分析：∵③、④的图像开口向下，∴c < 0，d < 0； ∵④的张口比③的张口小，∴∣d ∣ > ∣c ∣， ∴c > d ； ∵①、②的图像开口向上，∴a > 0，b > 0；∵①的张口比②的张口小，∴∣a ∣ > ∣b ∣， ∴a > b例4、已知二次函数()02≠++=a c b aχχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ．a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴选A 例5 二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，13χ=为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可)． 解： ①∵开口向上，∴a > 0；②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0； ③∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b < 0； ④∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0；⑤∵x = -1时，y > 0，∴a - b + c > 0．例１、已知y=ax 2+bx+c 图象如图1，则下列关系中成立的是( )120.<-<a bA 220.<-<abB 221.<-<a bC12.=abD 剖析 特别位置判定法，若抛物过O(0，0)(2，0)则x=12=-a b 这里221<-<ab ，所以选C ．求值判定法，设抛物线过(α，0)(0<α<2)，(2，0)，则α2a+αb+c=0①，4a+2b+c=0②，①②(α2-4)a+(α-2)b=0∵α-2≠0∴(α+2)a+b=0b=-(α+2)a.121222)2(2>+=+=+=-∴αααa a a b 221<-<∴ab求中点坐标判定法，设抛物线与x 轴交于点A(α，0)(0<α<2)，B(2，0)， 则A 、B 中点坐标是12122>+=+αα 221<-<∴ab所以选 C ． 注意：若题目为“已知抛物线y=ax 2+bx+c 过A(1，5)，B(4，5)，求对称轴直线”应怎样求？例２为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y=ax 2+bx+c 如图2，则下列结论： ①601-<a ，②0601<<-a ，③a-b+c>0，④a<b<-12aA ．①③ B． ①④ C ． ②③ D ． ②④剖析 排除法判定，易知c=2．4把(12，0)代入y=ax 2+bx+c 中得： 144a+12b+2．4=0，11205a b ++=，由图象知a<0，对称轴2b x a-=11120560a a ∴+<<-，， 即①成立， ②不成立，故不可能选C 与D ． 111201201255a b a b b a++=∴+-<<- ，，，000022b ba b a a<->∴<> ，，，．,12a b a -<<∴④正确，故在A ，B 中只能选B ．例3、已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)经过点(-1，0)且满足4a+2b+c>0以下结论：①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④b 2-2ac>5a 2其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 特殊值判定法，∵抛物线过(-1，0)点，∴a-b+c=0， c=b-a 代入4a+2b+c>0中得．a+b>0，①正确．∵a<0，a+b>0，∴b>0，∵a-b+c=0，∴a+c=b>0，a+c>0，②正确．∵a<0，b>0，∴c=b-a>0，-a>0，∴-a+b+c>0，③正确．∵a-b+c=0，∴a+c=b ，2a+c=a+b>0，2a+c>0，∵a<0，c>0，∴c-2a>0， ∴(c-2a)(c+2a)>0，c 2-4a 2>0，c 2>4a 2，∵b=a+c ，∴b 2=c 2+a 2+2ac ，c 2=b 2-a 2-2ac ，b 2-a 2-2ac>4a 2，b 2-2ac>5a 2， ④正确． 所以选D ．注意 ：有时利用x=±1时，y=a±b+c ，x=±2时，y=4a±2b+c 中，y 符号判定a±b+c 和4a±2b+c 的符号．例4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴交于(-2，0)(x ，0)且1<x 1<2，与y 轴正半轴交点在(0，2)下方，下列结论，①a<b<0，②2a+c>0，③4a+c<0，④2a-b+1>0其中正确个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 数形判定法，根据题意可画草图3， 1122b b x a a=->-∴< 对称轴，， 00022b ba a a<-<∴> ，， ∴a<b<0 ①正确． ∵抛物线过(-2，0)，∴4a-2b+c=0， 2a+c=-2a+2b=-2(a-b)>0∴2a+c>0，②正确． ∵4a-2b+c=0，4a+c=2b<0∴4a+c<0，③正确． ∵4a-2b+c=0，2cb a 2-=-∴ ∵0<c<2，12c->-∴，2a-b>-1，即2a-b+1>0 ④正确． 所以选D ．补充练习：1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、a +b +c ＞0D 、a -b +c ＜05、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第 象限。

第六讲 二次函数专项一 二次函数的图象和性质知识清单一、二次函数的概念一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ）2+k 的形式，其中h=2ba-，k=244ac b a -．2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系ab ＜0（a ，b 异号）对称轴在y 轴右侧 c决定抛物线与y 轴的交点c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0交点在y 轴负半轴考点例析例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ）A ．-5B ．-3C ．-1D ．5分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ）A B C D分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x=12B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0C ．a+c=bD ．a+b ＞-c图2分析：由图可知，对称轴是x=1+22-=12，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误．例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝12，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；图1⑤14b +c ＞m （am +b ）+c （其中m ≠12）．其中正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个图3分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而可得abc 的正负；由对称轴x=2b a -=12，得b=-a ，由图象易知当x=-1时，y=a-b+c=﹣2b+c ＝0；根据抛物线经过点（2，0），可得4a+2b+c=0；根据“开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”可判断y 1与y 2的大小；由图象知当x ＝12时，y 有最大值为14a+12b+c=14b +c ，由此可判断14b +c 与m （am +b ）+c 的大小关系．归纳：（1）几种常见代数式的判断①2a ±b 2b a-与±1比较②a ±b +c 令x ＝±1，看纵坐标 ③4a ±2b +c 令x ＝±2，看纵坐标 ④9a ±3b +c令x ＝±3，看纵坐标⑤3a +c ，3b -2c 等关于a ，c 或b ，c 的代数式 一般由②③④式与①式结合判断（2①当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．ꎻ②利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小． ③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小． 跟踪训练1.已知二次函数y=（a-1）x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a≠1 D ．a ＜12.二次函数y=x 2+4x+1的图象的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=4C ．x=-2D ．x=-4 3.关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．有下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第5题图6.定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．专项二确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5分析：由抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线的顶点坐标，用待定系数法求出新抛物线的解析式．跟踪训练1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P 关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（-2，4）C．（-2，-4）D．（2，-4）2.在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了如图所示直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为（）A．52B．32C．56D．12第2题图专项三二次函数图象的平移知识清单二次函数图象的平移规律平移前的解析式平移方向及距离平移后的解析式口诀顶点坐标y=a（x-h）2+k （a≠0）向左平移m个单位长度y=a（x-h+m）2+k左加右减纵坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h-m）2+k向上平移m个单位长度y=a（x-h）2+k+m上加下减横坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h）2+k-m平移前后ａ值不变例将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过（）A．（-2，2）B．（-1，1）C．（0，6）D．（1，-3）分析：先将y=-x2-2x+3转化成顶点式y=a（x-h）2+k，再利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，最后把各选项的点代入判断即可．跟踪训练1.将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变2.抛物线的函数解析式为y=3（x-2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（）A．y=3（x+1）2+3 B．y=3（x-5）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-13.已知抛物线y=a（x-h）2+k与x轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线y=a（x-h-m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．-1 C．5或1 D．-5或-14.已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．-5或2 B．-5 C．2 D．-25.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．6.如图，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为x=2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．第6题图专项四二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系Δ>0有两个不等的实数根有两个不同的公共点Δ=0有两个相等的实数根只有唯一的公共点Δ<0无实数根没有公共点考点例析例已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解．分析：（1）由方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，列不等式即可求出m的取值范围；（2）根据二次函数图象的对称性，可得二次函数y=x2+x-m的图象与x轴的另一个交点，从而得到一元二次方程x2+x-m=0的解．解：跟踪训练1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或22.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，有下列结论：①c=2；②b2-4ac＞0；③方程ax2+bx=0的两根为x1=-2，x2=0；④7a+c＜0．其中正确的有（）3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=．4.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．5.武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0．下列四个结论：①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是．（填序号）专项五二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数解析式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？分析：（1）根据“该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件”列出y与x的函数解析式；（2）设每个月的销售利润为w元，根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质求解．解：例2某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为y=-16（x-5）2+6．（1）求雕塑高OA；（2）求落水点C，D之间的距离；（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．分析：（1）根据给出的抛物线的函数解析式，令x=0，求出点A的纵坐标，可得出雕塑高OA；（2）根据给出的抛物线的函数解析式，令y=0，求出点D的横坐标，可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）将x=10代入函数解析式y=-16（x-5）2+6求出y的值，将求出的y值与1.8比较后即可得出顶部F是否会碰到水柱．解：跟踪训练1.某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）设销售收入为p（万元），求p与x之间的函数解析式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出）第2题图3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．① ②第3题图专项六 二次函数中的分类讨论思想分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法．我们在运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则. 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面:①由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；②由数学变形所需要的限制条件引起的讨论；③由图形的不确定性引起的讨论；④由于题目含有字母引起的讨论等等． 考点例析例 已知关于x 的二次函数y 1=x 2+bx+c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的解析式； （2）若b 2-c=0，当b-3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2=2x 2+x+m ，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．分析：（1）将（0，4）代入二次函数y 1=x 2+bx+c ，可求得c ，由对称轴为x=-2b=1，可求出b ；（2）二次函数y 1=x 2+bx+c 图象的对称轴为x=-2b ，需要分三种情况：b ＜-2b ，b-3＞-2b 和b-3≤-2b≤b 进行分类讨论；（3）设函数y 3=y 2-y 1，根据二次函数图象的增减性进行求解． 解：跟踪训练科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数解析式；（2）求出y2与x之间的函数解析式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 A 例2 D 例3 D 例4 B1．B 2．C 3．D 4．C 5．B6．①②③专项二确定二次函数的解析式例 A1．A 2．A专项三二次函数图象的平移例 B1．D 2．C 3．C 4．B 5．y=2x2+4x6. 解：（1）因为y=（x-1）（x-a）=x2-（a+1）x+a，图象的对称轴为x=2，所以+12a=2，解得a=3．（2）由（1），知a=3，则该二次函数的解析式为y=x²-4x+3．所以二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点．所以平移后图象所对应的二次函数的解析式是y=x²-4x．专项四二次函数与一元二次方程的关系例（1）由题意，知Δ＞0，即1+4m＞0，解得m＞-14．（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为x=-12，所以该函数图象与x轴的两个交点关于直线x=-12对称．由图可知抛物线与x轴的一个交点为（1，0），所以另一个交点为（-2，0）．所以一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2．1．C 2．B 3．1 4．①②④专项五二次函数的应用例1 （1）y=300-10（x-60）=-10x+900．（2）设每个月的销售利润为w元．由（1），知w=（x-50）y=（x-50）（-10x+900）=-10x2+1400x-45 000=-10（x-70）2+4000．因为-10＜0，所以当x=70时，w有最大值为4000．所以该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元．x2=11．所以OD=11 m．．因为从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，所以OC=OD=11 m．所以CD=OC+OD=22 m1．12642．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b．w（万元）．（3）设销售利润为所以原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．3. 解：（1）根据题意，知点F的坐标为（6，-1.5），可设拱桥侧面所在抛物线的函数解析式为y1=a1x2．=a2（x-6）2+1．（2）①根据题意，知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y2②设彩带的长度为L m．所以当x=4时，L 最小值=2．答：彩带长度的最小值是2 m ．专项六 二次函数中的分类讨论思想例 （1）因为二次函数的图象经过点（0，4），所以c=4．（2）当b 2-c=0时，b 2=c ，此时函数的解析式为y 1=x 2+bx+b 2． 根据题意，分三种情况：所以（b-3）2+b （b-3）+b 2=21，解得b 3=4，b 4=-1（舍去）．（3）由（1），知二次函数的解析式为y 1=x 2-2x+4．设函数y 3=y 2-y 1=x 2+3x+m-4． 所以当x=0时，y 3即y 2-y 1有最小值m-4，所以m-4≥0，即m≥4．所以m 的最小值为4． 跟踪训练解：（1）y 1=5x+30．（2）当x=6时，y 1=5×6+30=60．因为y 2的图象是过原点的抛物线，所以可设y 2=ax 2+bx ． 因为点（1，35），（6，60）在抛物线y 2=ax 2+bx 上，所以=35366=60.a b a b ++⎧⎨⎩，解得=5=40.a b ⎩-⎧⎨，所以y 2=-5x 2+40x ．所以y 2与x 的函数解析式为y 2=-5x 2+40x ． （3）设小钢球和无人机的高度差为y 米． 令y 2=0，则-5x 2+40x=0，解得x=0或x=8．因为6＜x≤8，所以当x=8时，y的最大值为70．70米．。

课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间 学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标 掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回顾： （09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； （2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ， 解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。