一般矩阵的性质

矩阵的基本性质和运算法则矩阵是线性代数中的一个重要概念，是一个由数数组成的矩形阵列。

矩阵不仅有丰富的应用，比如在物理、经济、统计等领域中，还有着自身的基本性质和运算法则。

下面我们来谈谈矩阵的基本性质和运算法则。

一、矩阵的基本性质1.维数和元素矩阵的维数是指矩阵有多少行和多少列。

用矩阵的行数和列数来表示，如m×n的矩阵表示有m行，n列。

矩阵中的元素就是矩阵中的每一个数。

2.矩阵的转置矩阵的转置就是将矩阵的行和列交换，所得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如下所示：3 2 1 3 5A = 5 4 6 A^T = 2 47 8 9 1 6矩阵的转置可以表示为Aij = Aji, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n。

3.矩阵的行列式矩阵的行列式是矩阵的一个标量值，它是由矩阵的元素按照某一特定的规律计算得到的。

矩阵的行列式常用来描述矩阵线性方程组的解的情况。

如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵是一个奇异矩阵。

二、矩阵的运算法则1.矩阵的加法矩阵的加法必须满足两个矩阵的维数相同，即都是m×n的矩阵才能进行加法运算。

对于矩阵A和矩阵B，它们的和可以表示为C=A+B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相加得到矩阵C。

如下所示：1 2 4 5 5 7C = 3 4 +D = 1 3 =E = 4 76 7 5 4 11 112.矩阵的减法矩阵的减法也必须满足两个矩阵的维数相同。

对于矩阵A和矩阵B，它们的差可以表示为C=A-B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相减得到矩阵C。

如下所示：1 2 4 5 -3 -3C = 3 4 -D = 1 3 =E = 2 16 7 5 4 1 33.矩阵的数乘矩阵的数乘指的是一个矩阵的每一个元素与一个数相乘所得到的新矩阵。

如下所示：1 2 2 42A = 3 4 -3B= -6 -126 7 -9 -154.矩阵的乘法矩阵的乘法是指由两个矩阵相乘所得到的新矩阵。

和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。

一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。

如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。

1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。

n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。

⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。

⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。

⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。

1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。

⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。

⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。

1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。

矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将从矩阵的基本性质入手，探讨矩阵的运算规则及其应用。

一、矩阵的基本性质矩阵是由数个数按照一定规则排列成的二维数组。

我们一般用大写字母表示矩阵，比如A、B等，矩阵的元素用小写字母表示，如a11、a12等。

1. 矩阵的阶：一个矩阵A有m行n列，我们称其为m×n阶矩阵，记作A(m,n)。

2. 矩阵的相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A(i,j) = B(i,j)。

3. 矩阵的转置：将矩阵A的行与列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

其中转置矩阵的元素满足(A^T)(i,j) = A(j,i)。

二、矩阵的运算规则矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘运算。

下面我们将详细介绍这些运算。

1. 矩阵的加法：若矩阵A和B的阶数相同，即A(m,n)和B(m,n)，则定义矩阵的加法为A+B = (a(i,j) + b(i,j))。

其中加法满足交换律和结合律。

2. 矩阵的减法：与矩阵的加法相对应，矩阵的减法定义为A-B = (a(i,j) - b(i,j))。

同样地，减法也满足交换律和结合律。

3. 矩阵的数乘：若矩阵A有m行n列，k是一个实数，我们可以定义矩阵A的数乘kA为kA = (k * a(i,j))。

数乘也满足结合律和分配律。

4. 矩阵的乘法：若矩阵A是一个m×n阶矩阵，矩阵B是一个n×p 阶矩阵，则定义矩阵的乘法为C = AB，其中C是一个m×p阶矩阵，C 的元素满足C(i,j) = Σa(i,k)b(k,j)。

三、矩阵运算的应用矩阵的运算在实际问题中有着广泛的应用。

下面我们通过几个具体的例子来说明矩阵运算的应用。

1. 线性方程组的求解：对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组，可以用矩阵的表示形式AX = B来求解，其中A是一个m×n阶系数矩阵，X是一个n×1阶未知数矩阵，B是一个m×1阶列向量。

矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中重要的数学结构，它广泛应用于统计学、物理学、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵的基本运算和性质，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置等运算。

一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个矩阵进行逐元素地相加或相减的运算。

假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即有相同的行数和列数。

矩阵的加法运算可以表示为C = A + B，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。

同理，矩阵的减法运算可以表示为D = A - B，其中D的每个元素等于A和B对应元素的差。

二、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算是指将一个实数或复数与矩阵的每个元素相乘的运算。

假设我们有一个矩阵A和一个实数k，矩阵A的数乘运算可以表示为B = kA，其中B的每个元素等于k乘以A对应元素的值。

三、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。

矩阵乘法的定义要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

假设我们有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么矩阵的乘法运算可以表示为C = AB，其中C的维度为m×p。

矩阵乘法的元素计算方式为C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。

四、矩阵的转置运算矩阵的转置运算是指将矩阵的行转换为列，将列转换为行的操作。

假设我们有一个矩阵A，A的转置可以表示为A^T。

A^T的第i行第j 列元素等于A的第j行第i列元素，即A^T的维度为n×m，其中A的维度为m×n。

矩阵的基本性质：1. 矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A +B) + C = A + (B + C)。

2. 矩阵的乘法满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。

3. 矩阵的加法和数乘运算满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。

矩阵的运算与性质矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于各个学科领域。

本文将介绍矩阵的运算及其性质，探讨在不同情况下矩阵的特点和应用。

一、矩阵的定义与分类1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数表，由m行n列的数构成，通常用大写字母表示，如A、B等。

2. 矩阵的分类：根据行数和列数的不同，矩阵可以分为行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对应位置元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。

2. 矩阵的数乘：一个矩阵的所有元素乘以一个常数。

3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。

4. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。

三、矩阵的性质和特点1. 矩阵的单位矩阵：对角线上元素为1，其余元素为0的方阵。

2. 矩阵的逆矩阵：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。

3. 矩阵的行列式：方阵A经过运算得到的一个标量值，记作det(A)或|A|，用于判断矩阵是否可逆及求解线性方程组等。

4. 矩阵的秩：矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

5. 矩阵的特征值与特征向量：对于方阵A，存在数值λ和非零向量x，使得A·x = λ·x，λ为A的特征值，x为对应的特征向量。

四、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：通过矩阵的运算和性质，可以将线性方程组表示为矩阵的形式，从而求解出方程组的解。

2. 矩阵在图像处理中的应用：利用矩阵的运算，可以对图像进行变换、旋转、缩放等操作。

3. 矩阵在经济学中的应用：使用矩阵可以模拟经济系统，进行量化分析、预测等。

总结：矩阵作为线性代数中的基本概念，具有丰富的运算规则和性质。

通过矩阵的加法、数乘、乘法、转置等基本运算，可以推导出矩阵的逆矩阵、行列式、秩、特征值等重要概念。

矩阵在不同学科领域有着广泛的应用，如线性方程组求解、图像处理、经济学分析等。

矩阵基本性质总结矩阵是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于多个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。

理解矩阵的基本性质对于掌握这一工具至关重要。

首先，矩阵具有加法和数乘的运算性质。

矩阵的加法是指两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置的元素相加。

例如，若有矩阵 A 和矩阵 B ，它们都是 m 行 n 列的矩阵，那么矩阵 A 和矩阵 B 的和就是一个新的 m 行 n 列的矩阵 C ，其中 C 的每个元素 Cij ＝ Aij ＋ Bij 。

数乘矩阵则是用一个数乘以矩阵中的每个元素。

如果有矩阵 A ，用数 k 去乘以矩阵 A ，得到的新矩阵 B 中每个元素 Bij ＝ k × Aij 。

矩阵加法和数乘运算满足一些规律，比如加法满足交换律和结合律，即 A ＋ B ＝ B ＋ A ，（A ＋ B) ＋ C ＝ A ＋（B ＋ C) ；数乘满足分配律，如 k ×（A ＋ B) ＝ k × A ＋ k × B 。

其次，矩阵的乘法是一个相对复杂但又极为重要的性质。

矩阵相乘不是简单地将对应元素相乘，而是有特定的规则。

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

假设矩阵 A 是 m 行 n 列，矩阵 B 是 n 行 p 列，那么它们的乘积 C 是一个 m 行 p 列的矩阵。

其中 C 的元素 Cij 是矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列元素对应相乘再相加的结果。

矩阵乘法一般不满足交换律，即 A × B 不一定等于 B × A 。

但它满足结合律和分配律，即（A × B) × C ＝ A ×（B × C) ， A ×（B ＋ C) ＝ A × B ＋ A × C 。

矩阵乘法有着广泛的应用。

比如在表示线性变换时，一个矩阵可以看作是对向量的一种变换操作。

通过矩阵乘法，可以实现多个线性变换的连续作用。

矩阵的基本性质与变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个工程领域和科学研究中都有广泛的应用。

本文将介绍矩阵的基本性质及其在数学变换中的应用。

一、矩阵的基本性质矩阵是由数字排成的矩形阵列，其中的数字称为元素。

矩阵由m行和n列组成，记作m×n的矩阵。

矩阵中的元素通常用小写字母表示，如a、b、c等。

以下是矩阵的一些基本性质：1. 矩阵的加法与减法对于两个相同维度的矩阵A和B，可以进行矩阵的加法和减法运算。

加法运算定义如下：A + B = C，其中C的每个元素等于A与B对应元素之和。

减法运算的定义与加法类似。

2. 矩阵的乘法矩阵乘法是一种矩阵之间的运算。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积记作AB，得到的结果是一个m×p的矩阵C。

C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是指交换矩阵的行与列，得到的新矩阵记作A^T。

即A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。

4. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

只有方阵才存在逆矩阵。

二、矩阵的变换矩阵不仅可以进行基本的加法、减法和乘法运算，还可以用来进行各种数学变换，包括线性变换和仿射变换。

1. 线性变换线性变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，线性变换的计算公式为y=Ax。

矩阵A定义了向量x在变换过程中的缩放、旋转和剪切等操作。

2. 仿射变换仿射变换是指将一个向量空间V里的向量x映射到另一个向量空间W里的向量y的变换。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，仿射变换的计算公式为y=Ax+b，其中b是一个常向量。

仿射变换可以进行平移、旋转、缩放和错切等操作。

正规矩阵的性质及判定彭志平,何偲钰,邓泽,刘熠*（内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112）摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用,为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质,于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件,其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件,为进一步了解正规矩阵奠定了基础.关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念,以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3],它在矩阵分析中占有重要的位置,并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].在欧氏空间中, (R)n M ∈A ,A 是正规矩阵,如果T T AA =A A . 对于实正规矩阵的研究,包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是11nnik jk ki kj k k a a a a ===∑∑. 而在酉空间中,为了讨论矩阵的酉等价,得到了复正规矩阵的概念,即：A 是复正规矩阵,如果T T A A =A A , 其中()n M C ∈A 且TA 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上,主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理定义1.1[1] 设矩阵U 是复数域上的n 阶方阵,若T T U U =UU =E ,则称U 为酉矩阵．定义1.2[2] 设矩阵A,B 是复数域上的n 阶方阵,如果存在酉矩阵U ,使得T B =U AU ,那么就称A 酉相似于B ．定义1. 3[4] 设矩阵()n M C ∈A ,如果TTA A =A A ,则称A 是正规矩阵.定义1.4[8] 设m n⨯ij A =(a ),若::⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭mnm11n 11a a B =a a 则称B 为A 的全转置矩阵,记作οB =A . 引理1.1[8] 设A ,B 为n 阶矩阵,则：(1) ()οοοA +B =A +B ; (2) ()()οTT οA =A ; (3) ()οοοAB =A B ;(4) ()()-1οο-1A =A ; (5) ()()ο**οA =A ; (6) ()οοA =A .设m n ⨯ij A =(a )是数域F 上的n 阶方阵,ij A 和ij M 分别为n 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记为()*ij A =A ,()*ij A =M .引理1.2[9,10] 设A 和C 为n 阶方阵,其中o o ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭1-11C =-1,则 （1）()**A =C A C ;（2）C 为对称正交矩阵,且**C =C =C C ;(3) ()()****A =A ,即:两种伴随矩阵的运算可交换次序;若A 可逆,则: ()()*n-2***A =A =C AAC ;(4)()()*n-2***A =A =AA ,即* ** *A =A .引理1.3[11] 设m n ⨯ij A =(a )为复数域上的n 阶方阵()2n ≥, 则()n-2*AA, n>2* A ,n=2A ={.2 正规矩阵的性质性质2.1 若()n M C ∈A 是复正规矩阵,则T A 是复正规矩阵. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TTA A =A A . 又因()TT T T A A=A A ,()TT TT AA=AA . 因此⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T AA =A A ⇒()TTT A A ()TT T=AA.所以T A 是复正规矩阵.性质2.2 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则k A 也是复正规矩阵,其中k C ∈. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TT=A . 而()()2k k k ⋅=⋅⋅=⋅TTTA A ,()2k k k ⋅=⋅TTA A A A .故()()k k k k ⋅=⋅TTA A A A . 从而k A 也是复正规矩阵.性质2.3 设()n M C ∈A 是复矩阵. 则A 为正规矩当且仅当k A E +为正规矩阵,k C ∈,E 为n 阶单位矩阵.证明 因为()()()()2k k k k k k k T T T TA E A E A E A E AA A A E ++=++=+++,()()()()2k k k k k k k T TT TA E A E AE A E A A A A E ++=++=+++.由于A 是复正规矩阵, 故TTA A =A A . 因此()()()()k k k k TTA E A E A E A ++=++E . 从而k A E +为正规矩阵.反之,若k A E +为正规矩阵,则必有()()()()k k k k T ΤA E A E A E A E ++=++, 即22k k k k k k TTTTA A A A E AA A A E +++=+++.因此T TA A =AA ,故A 为正规矩性质2.4 若A 为复数域上的n 阶方阵,A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵. 证明 若A 为正规矩阵,故TTA A =A A ,从而()()οοT T A A=A A . 由引理1(3) 知()()οοT T οοA A=AA .再由引理1.1 (2)有()()T TοοοοA A=A A , 因此οA 为正规矩阵.反之,上述过程可逆. 因此A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵.性质2.5 若A ,B 为复数域上的n 阶方阵且A ,B 均为酉矩阵,则AB ,()οAB 为正规矩阵. 证明 因A ,B 为酉矩阵, 故TTA A =A A =E ,TTB B =B B =E , 其中,E 为n 阶单位矩阵. 所以,()()∙∙∙∙∙TT TT T AB AB =B A AB =B A AB =E .同理有()()∙∙∙TT T AB AB =AB B A =E . 因此AB 为正规矩阵. 由性质2.4可知()οAB 为正规矩阵. 性质2.6 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则n A ()N n ∈是复正规矩阵.证明 若2n =时,因为A 为n 阶正规矩阵,故TT=A . 由于()()∙∙∙∙∙∙∙∙∙TT2T T T T T T T T222A =A A ==A =A =A ,故2A 是正规矩阵.对于2n >的情况可以类似地证明. 故由n A ()n N ∈是复正规矩阵. 3 正规矩阵的等价条件定理3.1 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. A 为正规矩阵当且仅当-1A 为正规矩阵.证明 (必要性) 因A 为正规矩阵,故TTA A =A A . 又因为A 可逆,因此()()-1-1T TA A=A A ,即：()()-1-1T T -1-1AA =A A. 由A 可逆知：()()*T -1T TA A=A, 而()()()T **T T-1T TA A A==A A , 故()()-1TT -1A = A . 从而()()TT-1-1-1-1A A=A A ,即-1A 为正规矩阵.(充分性) 若-1A 为正规矩阵,则()()TT-1-1-1-1A A=AA ,即()()-1-1T TA A=A A . 因为A 可逆,故TTA A =A A . 因此A 为正规矩阵.定理3.2 若A , B 均为n 阶复矩阵且A 与B 酉相似. 则A 为正规矩阵当且仅当B 为正规矩阵.证明 若A 是正规矩阵,因A 酉相似于B ,则存在酉矩阵Q , 使得：TQ AQ =B . 又因为TTQ Q =QQ =E ,故T-1Q AQ =Q AQ =B . 因此TTT B =Q A Q ,于是有TTTTTBB =Q AQQ A Q =QAA Q .同理有：T T T T T B B =Q A QQ AQ =QA AQ . 又A 为n 阶复正规矩阵, 故T T A A =A A , 于是T TBB =B B . 因此B 是复正规矩阵.若B 为正规矩阵,同理可证A 为正规矩阵.定理3.3 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当*A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为正规矩阵,则TTA A =A A . 由A 可逆知：*-1A =A A . 又()()()()∙∙∙∙∙∙∙TTTTT-1-1**-1-1-1-1A A =A A A A =A A A A=A A A A,而()()()∙∙∙∙∙TTTT-1**-1-1-1A A =A A A A =A A A . 由定理3.1知：()()TT-1-1-1-1A A =A A ,有()()∙∙TT****A A =A A ,故*A 为正规矩阵.充分性：因*A 是正规矩阵,故()()∙∙TT****A A =A A . 由于A 可逆,故*A 可逆. 故()()()∙∙∙T-1-1-1T**T *T *A A =A A A A =A A A A且()()()∙∙∙T-1-1-1T**T **TA =A A AA =A A A A .因此T T=A ,即A 为正规矩阵.推论3.1 若A 为复数域上的n 阶可逆矩阵. 则A 是正规的当且仅当⋅⋅⋅n **A 个 (2n ≥）也是正规的. 证明 就**A 进行证明,其他的可类似证明. 必要性： 由引理1.2（2）有()()∙∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A=AA AA =AAAA()()∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A =A A A A =AAA A .所以()()∙∙TT********A A =A A ,即：**A 是正规矩阵充分性: 由定理3.3可有**A 是正规矩阵等价于*A 为正规矩阵,即等价于A 为正规矩阵. 可类似证明***A ,… , ⋅⋅⋅****A 为正规矩阵.定理3.4 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当()**A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为可逆正规矩阵,所以TTA A =A A . 由引理1.2及1.3有()()()∙∙TTn-2n-2****A A =C AAC C AAC⎛⎫∙∙ ⎪⎝⎭n-2n-2T T T T n-2n-2=A CAC A=A A CA C .同理有()()∙∙∙n-2T*T Tn-2***A A =AACA A C .所以()**A 为正规矩阵.充分性：由()**A 为正规矩阵有()()()()∙∙TT********A A =A A , 即∙∙n-2n-2T TT Tn-2n-2AACA AC =AACA A C .因为A 为n 阶可逆矩阵,故0≠A 且0≠TA . 又C 可逆的,故有TTA A =A A ,即A 为正规矩阵.可类似证明()**A 为正规矩阵.推论3.2 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅()**A 为正规矩阵.推论3.3 设A 为复数域上n 阶可逆矩阵,则A 为正规矩阵,当且仅当 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭m n ****A 个个(,N)m n Î是正规矩阵.证明 我们只证明2,1m n ==时的情形,其它情况可类似证.必要性：()()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T(n-2)(n-1)TT T****(n-2)(n-1)n-2n-2********A A =A A A A =A A CA A C . 因为A 正规,可知*A 正规,从而()()T T****A A=A A . 故()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T************A A =A A ,所以()***A 为正规矩阵.充分性：因为：()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A CA A C ,()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A C A A C ,由于()***A 为正规矩阵,所以：()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭TT************A A =A A ,即()()()()(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)T TT T(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)********AA CA AC =AA C AA C .又因为A 为n 阶可逆且n-1*A =A ,故*A 可逆,从而有()()T T****A A =A A ,即*A 正规,再由定理3.3有,A 正规.可类似证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭n **m **A 个个为正规矩阵.定理3.5 设⎛⎫⎪⎝⎭12A 0A =0A 的矩阵.则1A , 2A 为n 阶正规矩阵当且仅当A 为正规矩阵. 证明必要性：⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT1111TT2222A0A 0A A 0AA ==0A 0A 0A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT 1111T T2222A 0A 0A A 0A A ==0A 0A 0A A . 又因为1A , 2A 为n 阶正规矩阵,可知：A 为正规矩阵. 充分性：A 为正规矩阵,所以TTA A =A A . 即⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T 1111TT2222A A 0A A 0=0A A 0A A , 故TT1111A A =A A ,TT2222A A =A A . 即是说：1A ,2A 为n 阶正规矩阵,故原命题成立.推论3.4设⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭123S A A 0 A = A 0 A ,其中i A 为方阵,()1,2,....,,i s s n =≤. 则A 为正规矩阵当且仅当i A ()1,2,....,i s =均为正规矩阵.参考文献[1] 张禾瑞,郝炳新．高等代数(第五版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2007.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2003. [3] 陆少华, 沈灏. 大学代数[M]. 上海：上海交通大学出版社,2001.[4] 高波．Hermite 正规矩阵性质的初探[J]．常州工学院学报,2006,19(03) : 54-55.[5] 杨震．正规矩阵的性质[J]．宜春学院学报,2004,2 6(04):18-18,35.[6] 包霞．关于实正规矩阵[J] 西北民族学院学报,1999,20(3)：30-31．[7] 卢辛全,王玉良,胡江海. 正规矩阵若干判定及性质,阜阳师范学院学报,2009,26(3):4-6.[8] 许永平.旋转矩阵的概念与一些结论[J]. 江苏广播电视大学学报,1997, 2:81-84.*的性质[J]. 工科数学,1997,13（1）：89-91.[9] 戴立辉,刘龙章,伴随矩阵A[10] 刘兵军.伴随矩阵的运算性质[J].保定师范专科学校学报,2002,15(2):6-8.[11] 林磊.方阵的伴随矩阵[J].高等数学研究,2004,7(6):21-24.Properties and Judgments of Normal MatricesPeng Zhi-ping, He Si-yu, Deng Ze, Liu Yi(College of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Sichuan Neijiang,641112) Abstract With the use of adjoint matrix and Full-transposed matrix, some properties and equivalent characterizations of normal matrices have been obtained. In addition, the sufficient condition of high-order mixed matrix to be a normal matrix are investigated.Keywords normal matrix; adjoin matrix; Full-transposed matrix; high-order mixed normal matrix.。

矩阵的性质与运算法则矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学技术发展中起到了举足轻重的作用。

在线性代数、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。

本文将讨论矩阵的性质与运算法则，包括矩阵的基本概念、运算法则、矩阵转置、矩阵乘法、矩阵求逆等内容。

矩阵的基本概念矩阵是由数个行列组成的方便计算的数学对象，一般用大写字母表示。

矩阵按照元素个数和元素类型的不同，可以分为实数矩阵和复数矩阵两种。

一个m×n的矩阵，可以用两个下标i和j（1≤i≤m,1≤j≤n）来表示矩阵中的每个元素，其中i表示该元素所在的行数，j表示该元素所在的列数。

矩阵的运算法则矩阵加减法是一种常见的矩阵运算法则。

对于同型的两个矩阵A和B，它们的和矩阵C的每个元素Cij= Aij+ Bij。

矩阵加减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

矩阵转置矩阵转置是把一个矩阵的行与列对换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵AT为一个n×m的矩阵，其中ATij= Aji。

矩阵转置有以下性质：(AT)T=A，(AB)T=BTAT，(A+B)T=AT+BT。

矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一种计算方法。

对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数（即A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵），则可以定义A和B的乘积C为一个m×p的矩阵，其中Cij=Σk=1nAikBkj。

矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。

矩阵求逆矩阵求逆是指对于一个可逆矩阵A，求出其逆矩阵A-1，使得AA-1= A-1A=I，其中I为单位矩阵。

只有方阵才能求逆，且只有行列式不为0的矩阵才是可逆矩阵。

矩阵求逆有以下性质：(A-1)-1=A，(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T。

总结矩阵的性质与运算法则一般是线性代数中必须掌握的内容。

矩阵的概念与性质矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、计算机科学、物理学等领域。

它是一种由数值排列成的矩形阵列。

在本文中，我们将介绍矩阵的基本概念以及其一些重要的性质。

一、矩阵的定义矩阵是由m行n列数值组成的矩形阵列，通常用大写字母表示。

其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个数值称为元素，表示为aij，其中i表示元素所在的行号，j表示元素所在的列号。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：[ a11 a12 ][ a21 a22 ][ a31 a32 ]二、矩阵的类型根据矩阵的性质，可以将矩阵分为以下几种类型：1. 零矩阵：所有元素都为零的矩阵，通常用0表示。

2. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

例如，一个3行3列的方阵可以表示为：[ a11 a12 a13 ][ a21 a22 a23 ][ a31 a32 a33 ]3. 对角矩阵：除了对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵称为对角矩阵。

例如，一个3行3列的对角矩阵可以表示为：[ a11 0 0 ][ 0 a22 0 ][ 0 0 a33 ]4. 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其余元素都为零的矩阵称为单位矩阵。

单位矩阵通常表示为I。

5. 转置矩阵：将矩阵的行列互换得到的矩阵称为转置矩阵。

例如，对于矩阵A的转置矩阵表示为AT。

三、矩阵的性质矩阵具有许多重要的性质，下面我们将介绍几个常见的性质：1. 加法性质：对于两个同型矩阵A和B，它们的和矩阵C等于对应元素相加得到的矩阵。

即C = A + B。

2. 数乘性质：矩阵A的每个元素都乘以一个标量k得到的矩阵称为矩阵的数乘。

即kA。

3. 乘法性质：对于两个矩阵A和B，当A的列数等于B的行数时，它们可以相乘得到一个新的矩阵C。

即C = AB。

4. 逆矩阵：如果一个方阵A存在一个矩阵B，满足AB = BA = I，那么矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。

只有可逆矩阵才能求逆矩阵。

5. 矩阵的转置性质：对于矩阵A，它的转置矩阵AT的转置矩阵等于A。

矩阵的概念与性质矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有多种性质和运算规律。

在数学和工程学科中，矩阵被广泛应用于各种问题的描述和求解中。

本文将介绍矩阵的基本概念和一些重要的性质，帮助读者更好地理解和运用矩阵。

**1. 矩阵的定义**在数学中，矩阵是由数构成的矩形阵列。

通常用大写字母表示，比如A、B、C等。

一个m×n的矩阵由m行n列的数排列在方括号 [] 中表示，如下所示：\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

**2. 矩阵的性质**- 矩阵的加法：设A和B是同型矩阵，即行数和列数相同。

则它们的和A + B是一个同型矩阵，其每个元素是对应位置元素的和。

\[ A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots &a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} \]- 矩阵的数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，矩阵A乘以标量k表示将矩阵A的每个元素乘以k。

矩阵基础知识贺国宏 编为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差基础〉，必须掌握以下所述矩阵的基础知识，同时，学习这些知识，对于学习测绘工程的其它课程，以及以后的深造，都是重要的。

1、矩阵的秩定义：矩阵A 的最大线性无关的行(列)向量的个数r ，称为矩阵A 的行(列)秩。

由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A)。

对于矩阵的秩有性质：{})(),(m in )(B R A R AB R ≤(1)2、矩阵的迹定义：方阵A 的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为∑==ni ii a A tr 1)((2)对于矩阵的迹有下面的性质：(1) tr (A T )=tr (A)(3) (2) tr (A+B)=tr (A)+tr (B) (4) (3) tr (kA)=k tr (A) (5) (4) tr (AB)=tr (BA)(6)3、矩阵的特征值和特征向量定义：对于n 阶方阵A ，若存在非零向量χ，使得x x λ=A(7)则称常数λ为矩阵A 的特征值(或特征根)，而χ称为矩阵A 属于特征值λ的特征向量。

由此可得=-χ)(A E λ0(8)因此，该齐次线性方程有非零解的条件是0)(0111=++++=-=--a a a A E f n n n λλλλλΛ(9)称λE-A 为矩阵A 的特征矩阵，而f (λ)为矩阵A 的特征多项式。

显然，矩阵A 的特征根),,2,1(n i i Λ=λ为特征方程(9)的根。

应该指出，对于一般的实矩阵A ，特征根可能是复数，从而特征向量也是复数。

以后将会看到，对于实对称矩阵，其特征根和特征向量都是实的。

这一点是很重要的。

特征值和特征向量具有下列性质：(1) 设n λλλ,,,21Λ为n 阶方阵A 的n 个特征值，则：A K 的特征值为kn k k λλλ,,,21Λ A -1的特征值为11211,,,---n λλλΛ(2) tr (A)=n λλλ+++Λ21 =A n λλλΛ21⋅(3) 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

矩阵与线性变换的性质与应用矩阵与线性变换是线性代数中的重要概念，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。

本文将介绍矩阵与线性变换的基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个由一定数量的数按照长方阵列排列而成的矩形数表。

一般表示为m×n(m行n列)。

矩阵中的元素可以是实数、复数或者其他代数元素。

2. 矩阵的运算矩阵与矩阵之间有加法和乘法运算。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。

矩阵的乘法定义为A × B = D，其中D的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

3. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置后的矩阵记作A^T。

对于方阵A，如果存在一个矩阵B使得A × B = B × A = I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。

逆矩阵可以用来解线性方程组，求解矩阵的逆矩阵需要满足一定的条件。

二、线性变换的基本性质1. 线性变换的定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射。

对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T必须满足两个性质：T(u + v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。

2. 线性变换的表示与矩阵每个线性变换都可以由一个矩阵表示。

对于向量空间V中的一组基底B = {b1, b2, ..., bn}，线性变换T定义为T(v) = Av，其中A 是一个由线性变换将基底B中的向量映射到对应的新坐标系中的向量所得到的矩阵。

3. 线性变换的性质线性变换具有以下性质：- 保持原点不变：T(0) = 0- 保持直线性质：对于直线上的点，线性变换后仍然在直线上- 保持比例关系：对于两个向量u和v，如果它们的比例关系为u = cv，那么它们的线性变换后的比例关系为T(u) = cT(v)三、矩阵与线性变换的应用1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，可以用来判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的逆矩阵。