导数及其应单元复习与巩固

导数及其应用单元复习与巩固

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念；

 熟记基本导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；

 掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；

 能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数的最大值、最小值.对多项式函数一般不超过三次；

 了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的概念和几何意义.直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分；

 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题.

重点难点：

 重点：导数的概念及几何意义；用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数的最大值、最小值；正确计算定积分，利用定积分求面积.

 难点：复合函数的导数；利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习；将实际问题化归为定积分问题.

学习策略：

 导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等函数问题提供了一般的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间、极值与最值以及有关的实际问题等，在具体问题中，应根据问题的具体条件适当选用方法.

二、学习与应用

知识点一：导数的相关概念

（一）导数的定义： “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习

看看你的知识贮备过关了吗？

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx7#235244 对函数()yfx，在点0xx处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量y

.若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则此极限称为()fx在点x0处的 ，记作0'()fx或0'|xxy，此时也称()fx在点x0处可导.

即：0'()fx

（二）导函数：

如果函数()yfx在开区间(,)ab内的每点处都有导数，此时对于每一个(,)xab，都对应着一个确定的导数/()fx，从而构成了一个新的函数/()fx， 称这个函数/()fx为函数()yfx在开区间内的 ，简称 .

注意：函数的导数与在点0x处的导数不是同一概念，0'()fx是 ，是函数'()fx在0xx处的 ，反映函数()fx在0xx附近的变化情况.

（三）导数的几何意义：

过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的 就是f(x)在x处的导数.也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的 是0()fx，切线方程为 .

知识点二：导数的运算

（一）常见基本函数的导数公式

（1）()fxC（C为常数），则'()fx

（2）()nfxx（n为有理数），则'()fx

（3）()sinfxx，则'()fx

（4）()cosfxx，则'()fx

（5）()xfxe，则'()fx

（6）()xfxa，则'()fx

（7）()lnfxx，则'()fx

（8）()logafxx，则'()fx

（二）函数四则运算求导法则

设()fx，()gx均可导 （1）和差的导数：[()()]'fxgx

（2）积的导数：[()()]'fxgx

（3）商的导数：()[]'()fxgx （()0gx）

（三）复合函数的求导法则

一般地，复合函数[()]yfx对自变量x的导数'xy，等于已知函数y对中间变量()ux的导数'uy，乘以中间变量u对自变量x的导数'xu，即'xy

或'[()]xfx

知识点三：导数的应用

（一）确定函数的单调区间

设函数y=f(x)在某个区间内可导，则

当'()0fx时，y=f(x)在相应区间上为 函数；

当'()0fx时，y=f(x)在相应区间上为 函数；

当恒有'()0fx时，y=f(x)在相应区间上为 函数.

注意：在区间(a,b)内，'()0fx是f(x)在(a,b)内单调递增的 条件！

（二）函数的极值

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，

（1）如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)

值，记作 ；

（2）如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个

值，记作 .

注意：极大值与极小值统称 .在定义中，取得极值的点称为 ， 是自变量的值， 指的是函数值.

（三）函数的最值

函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有 最大值和 最小值，但是 可以不唯一；但在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值和最小值. 注意：最值与极值的区别与联系：

（1）函数

是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的

则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；

（2） 可以有多个， 若存在只有一个；

（3） 只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得 点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（4）有 的函数不一定有 ，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.

知识点四：定积分

（一）定积分的概念

如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121nnaxxxxxb将区间[,]ab分为n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点i（i=1,2,3…,n），作和式11()()nniiiibafxfn，当n时，上述和式无限趋近于某个常数，

这个常数叫做()fx在区间[,]ab上的 .记作 .即

()bafxdx＝1lim()ninibafn，这里，a与b分别叫做积分 与积分 ，区间[,]ab叫做 ，函数()fx叫做 ，x叫做 ，()fxdx叫做 .

（二）定积分的几何意义

设函数()fx在区间,ab()ab上连续.

在,ab上，当()0fx时，定积分()bafxdx在几何上表示

；

在,ab上，当()0fx时，定积分()bafxdx在几何上表示

；

在,ab上，当()fx既取正值又取负值时，定积分()bafxdx在几何上表示 ；

（三）定积分的性质

（1）()bakfxdx （k为常数）；

（2）12()()bafxfxdx ；

（3）()bafxdx （其中acb）；

（4）利用函数的奇偶性求积分：

若函数()yfx在区间,bb上是奇函数，则()bbfxdx ；

若函数()yfx在区间,bb上是偶函数，则()bbfxdx .

（5）基本公式：()bafxdx ()abfxdx，()aafxdx ，1badx

知识点五：微积分基本定理

微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）：

如果()fx在,ab上连续，且'()()Fxfx，则()bafxdx .

其中()Fx叫做()fx的一个 .

知识点六：定积分的应用

（一）应用定积分求曲边梯形的面积 （1）如图，由三条直线xa，xb()ab，x轴及一条曲线()yfx(()0fx)围成的曲边梯形的面积为S，则S ；

（2）如图，由三条直线xa，xb()ab，x轴及一条曲线()yfx(()0fx)围成的曲边梯形的面积为S，则S ；

（3）如图，由曲线11()yfx22()yfx12()()0fxfx及直线xa，xb()ab围成的图形的面积为S，则S .

（二）利用定积分解决物力问题

（1）变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数()(()0)vvtvt在时间区间[,]ab上的定积分，即S .

（2）变力作功

物体在变力()Fx的作用下做直线运动，并且物体沿着与()Fx相同的方向从xa移动到xb()ab，那么变力()Fx所作的功W .

类型一：导数的运算与导数的几何意义

例1．已知点M为曲线31()3fxx上一点，直线l满足：（1）过点M；（2）与曲线经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源ID: #jdlt0#235244 ()yfx在点M的切线垂直；（3）在y轴的正半轴上的截距最小.求点M.

解：

举一反三：

【变式1】已知曲线4()fxx的一条切线l与直线480xy平行，求切线l.

解：

【变式2】在曲线C：3266yxxx上，求斜率最小的切线所对应的切点.

解：

类型二：函数的单调性、极值、最值

例2．设函数3221()233fxxaxaxb(,)abR，求()fx的单调区间和极值.

解：