导数复习

导数复习

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ﻩ第三章 导数

目录

一．本章知识结构

二．学习内容与要求

(一)学习目标:

(二)本章知识精要

(1）导数的概念

(2）常见函数的导数

(3）导数的运算

(４）函数的单调性

(５)函数的极值

(６)函数的最大值与最小值

三.学习方法与指导

(一)学习方法点拨

1．导数的概念:

2.曲线的切线

３．导数运算

4.函数的单调性

5．可导函数的极值

６.函数的最大值与最小值

(二）典型例题讲解

1.导数的概念

2．几种常见函数的导数

3.函数和、差、积、商的导数

４．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数

５.函数的单调性和极值

6.函数的最大值和最小值

(三)能力培养与测试

参考答案

四.全国各地高考数学卷导数应用题型集锦

ﻬ一．本章知识结构

二．学习内容与要求

(一)学习目标：

(１）了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导数的概念。

(2）熟记函数ｙ=c (ｃ为常数)，ｙ=ｘm，y=siｎx，ｙ=ｃosx,y=ex,y=aｘ,y=ｌnx,y＝ｌoｇax的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数;

（３)会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;掌握函数极值的定义,了解可导函数的极值点的必要条件与充分条件,会求一些实际问题（一般指单峰函数)的最大值和最小值。

(二）本章知识精要

(1）导数的概念:

1.导数的定义:对函数y=f(x）,在点x=x０处给自变量x以增量x,函数y相应有增量y=f(x0+ｘ)-f（x0），若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则此极限称为ｆ(ｘ）在点ｘ＝x0处的导数，记为ｆ ’(x0)，或ｙ’｜0xx；

2.导函数：如果函数y=f(x）在区间(a,b)内每一点都可导，就说y＝f(x)在区间(a,b)内可导.即对于开区间（a,b)内每一个确定的ｘ0值，都相对应着一个确定的导数f ’（x0)，这样在开区间(a,b）内构成一个新函数,把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数.简称导数.记作f ’(x)或y’．

即ｆ ’(x)＝y’=0limxyx=0()()limxfxxfxx。

3．导数的几何意义：函数y＝f（x)在点ｘ0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(ｘ)在P(ｘ0，f(x0))处的切线的斜率,即曲线y＝f（x)在点Ｐ(x0，f(x0)）处的切线斜率为k=ｆ ’(x0).函数 y=f（x)在点 Ｐ(ｘ0,f(x0))处的切线方程为 y－y0＝导数的概念

导数的运算

函数导数的四则运算 几种常见函数的导数

函数的单调性

函数的极值

函数的最大值与最小值

实际应用 复合函数的导数 ｆ ’（ｘ0)·(x－x０).函数ｙ＝f（ｘ)在点P(x0,f（x０)）处的法线方程为ｙ－y０＝－01'()fx(ｘ-x０)或x＝ｘ０．

(2）常见函数的导数：

(c)’=０, (c为常数);（xm）’=mｘ1m;(sｉnx)’=ｃｏsx;

(cｏsｘ)’=-sinx;(eｘ)’=ex;（ax)’＝ax·lna;(lnx)’＝1x;(ligax)’=1logaex．

（3)导数的运算:

1.函数的和或差的导数

法则：两个函数的和或差的导数,等于两个函数的导数的和或差,即(u±ｖ)’=u’±ｖ’.

2.函数的积的导教

法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即 （ｕv）’=u’v+v’ｕ.

３.函数的商的导。

法则:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即（uv)’＝2''uvvuv (v≠０)。

４．复合函数的导数

法则:设函数u＝g(ｘ)在点ｘ处有导数u’x=g’(x),函数ｆ(u)在点x处的u处有导数y’ｕ=f ’(u);则复合函数y=f[（x)]在点x处也有导数，且 y’ｘ=y’u·ｕ’x,也可简述为：复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

（4）函数的单调性

设函数y=f(ｘ)在某个区间内可导，如果f ’( ｘ)>0时，则函数y=f( x）为增函数;如果f ’(x)<０时，则函数y=ｆ(ｘ)为减函数;如果恒有f ’( x)＝0，则y=ｆ(ｘ)为常函数．

(5)函数的极值

1.设函数y=ｆ(x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点ｘ都有f（x)＜f(ｘ0)，则称f（x0）是函数f(ｘ)的一个极大值,记作y极大值=f(x０)；

2.如果对ｘ0附近的所有点x，都有f(ｘ)>f（x0)称ｆ(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值＝f(x０），极大值与极小值统称为极值。

3．判断法则:

① 对于在x０处连续的函数，如果在ｘ0附近的左侧ｆ ’(x）>0，右侧f ’(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

② 如果在x0附近的左侧f ’（ｘ)<０，右侧f ’(x)>0，那么f(x0)是极小值． (6)函数的最大值与最小值

1.定义:最值是一个整体性概念,是指函数在给定区向(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值,最小的值叫最小值,通常最大值记为Ｍ，最小值记为m.

2.存在性:在闭区间[a，ｂ]上连续函数ｆ（x)在[ａ，ｂ]上必有最大值与最小值．

3.求最大（小)值的方法:函数ｆ(x)在闭区间[a，ｂ]上最值求法:

① 求出ｆ（x）在（a，ｂ)内的极值;

② 将函数f(ｘ)的极值与f(a)，f(b）比较，其中较大的一个是最大值,较小的一个是最小值.

ﻬ三．学习方法与指导

(一)学习方法点拨

1.导数的概念：

设f(x)在点x＝ｘ０ 附近有定义,若极限000()()limxxfxfxxx存在，则称其为f(x)在点x＝x0处的导数f ’（x0)．可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的.

另外,若lim()0xagx，且存在a的邻域(α,β）,当x∈(α, x0)∪(x０, β)时,有g(ｘ)≠0，则00(())()'()lim()xafxgxfxfxgx,又若0lim()xagxx,且存在a的邻域(α，β），当x∈(α, x０)∪(x０, β)时,有g（x)≠x0，则000[()]()'()lim()xafgxfxfxgxx.

设f(x)=(),(),gxxahxxa≥ 那么g(a）=h(a)=Ａ,且()()limlimxaxagxAhxABxaxa

为ｆ(x）在点x=a处可导的充要条件，此时f ’(a)＝B．

由此可知,若分段函数f（x)的表达式中的g(x)、h(x）可分别看做含有a的区间(α，β)上的函数，且g(a)＝h(a)，g’(ａ)=h’（a),则ｆ（ｘ)在点ｘ=a处可导;且有ｆ ’(a)=＝g’（a)＝h’(a).

2.曲线的切线:

设曲线S:y=ｆ(x），若f ’(ｘ0)存在，则S在点P(ｘ0,f(x0)处的切线方程为

l：y-ｆ（ｘ0)=ｆ’(x0)(x－x０)．

可见l的方程被ｘ0所唯一确定；若ｆ（ｘ)在区间（α,β）内可导,则当点x０在(α,β)内变动时,点Ｐ(x０，ｆ(x0))在S上变动,而l“贴着”曲线S转动．所以要求具有某种性质的切线,可转化为这种性质对点ｘ０的要求,解出ｘ０，即可求出对应的切线方程．

应当了解可能一曲线在某点处不可导；但在这一点的切线还是存在的,例如曲线y=13x在点ｘ＝0处不可导，但在原点处有切线x＝０.

３.导数运算

要熟练掌握基本导数公式以及函数的和、差、积、商的求导法则．

对复合函数求导法则,应首先搞清楚函数的复合过程，方法是研究运算顺序，例如给定函数y=ｌn(sｉｎex)，所谓运算顺序是指对自变量ｘ，应先计算u＝ex，再计算v=ｓinu,最后算出y＝lnv，然后倒过来即得复合过程y=lnv,v=sｉnｕ，u=ex,从而有y’=11coscos()cot()sin()xxxxxxueeeeeve．

对复合函数求导法则的掌握，要熟练到可以不写出复合过程而直接写出求导结果．

4．函数的单调性

应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续.我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．

f(x)在区间I上可导，那么ｆ ’(ｘ)> ０是f（ｘ)为增函数的充分条件，例如f(ｘ)=x３是定义于R的增函数，但f ’（0)＝０，这说明ｆ ’(ｘ)>０非必要条件.

我们也可利用导数来证明一些不等式.如f(ｘ）、g(x)均在[a、b］上连续,(ａ,b)上可导，那么令h(ｘ)＝f(ｘ)-ｇ(x),则ｈ(x）也在［a,ｂ]上连续,且在(ａ，b)上可导，若对任何x∈(ａ,ｂ)有 ｈ’（x）＞0且 h（a)≥０，则当x∈（a，b）时 h（x)>h(a)=0,从而f(ｘ)>ｇ(x)对所有x∈（a，b）成立．

５．可导函数的极值

从函数的极值定义看，极值的存在与可微性无必然联系.如f（ｘ)=|x－1|，易见当ｘ=1时f(x)取得极小值，但f ’(1)不存在.所以用研究导数的方法探求函数的极值，实际上是将研究的范围局限于可导函数．

对可导函数f(ｘ），在ｘ＝x0取极值的必要条件是f(x0)＝0．又设f（x)在点ｘ＝x0处取得极小值，是否一定存在x0的邻域(α，β)，使当x∈(α,ｘ0)时f ’（x)<0，且当ｘ∈(x0,β）时f ’(x)>0，答案是否定的，即f ’（x）在x0的“左侧附近”为负,且在x0“右侧附近”为正仅是f(x0)为极小值的充分条件,为说明这一情况，我们考察函数f(ｘ）＝21(2sin)000xxxx，由于00()(0)1limlim(2sin)00xxfxfxxx,故有112(2sin)cos0'()00xxfxxxx，

即ｆ(x）在R上可导．又当x≠0时ｆ(ｘ）>0,而f(0)＝0，故当ｘ=0时f(x)取得极小值0，但对任何α<0,总可取到充分小的 k∈Ｚ,使 x1=12k∈（α，