浙江省杭州市西湖高级中学2022-2023学年高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23M x x =-≤≤，{}ln 1N x x =≥，则M N ⋂=（）A ．[]2,0-B ．[)2,e -C ．[]2,e -D ．[]e,3【正确答案】D【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N ，根据交集运算求解即可.【详解】因为{}ln 1{|e}N x x x x =≥=≥，{}23M x x =-≤≤,所以[e,3]M N ⋂=，故选：D 2．已知02πα<<，02βπ<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意02πα<<，02βπ<<，若αβ=，则22αβ=，故sin 2sin 2αβ=，即“αβ=”可推出“sin 2sin 2αβ=”；若sin 2sin 2αβ=，结合02απ<<，02βπ<<，则有22αβ=，或者22αβπ+=，故αβ=或2παβ+=，即“sin 2sin 2αβ=”推不出“αβ=”.故“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A.3．ABC 中，角,A B的对边分别为,a b ，且3A π=，a 4b =，那么满足条件的三角形的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出c 的值即可求解.【详解】因为在ABC 中，3A π=，a =，4b =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，所以214164c c =+-，也即2420c c -+=，解得：2c =2个，故选.C4．已知曲线12π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（）A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1C B ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C C ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1C D ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C 【正确答案】C【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．【详解】已知曲线2:sin C y x =，把曲线2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线sin 2y x =，再把曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度，得到曲线π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线1C .故选：C.5．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=，30.6250.24414=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．已知函数()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，若函数()()g x f x m =-恰有两个零点，则实数m 不可．．能．是（）A ．1-B ．-10C ．1D ．-2【正确答案】C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，所以m 不能为1，故选：C.7．已知sin cos sin cos m αααα+==，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1D ．不存在【正确答案】B【分析】由()2sin cos 12sin cos αααα+=+，代入已知条件解方程即可.【详解】()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+，由sin cos sin cos m αααα+==，则212m m =+，解得1m =由三角函数的值域可知，sin cos 1αα+=1m =故选：B8．已知22log 2023log 2022a =-，11cos 2023b =-，12022c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a c b>>【正确答案】D【分析】比较a c 、，等价成比较()()2log ,1f x x g x x ==-，在20232022x =时的大小，结合函数的单调性，由数形结合即可判断；比较b c 、，构造单位圆A 如图所示，12023BAC Ð=，BD AC ⊥于D ，则比较b c 、转化于比较CD 、 BC的长度即可.【详解】2222033log 2023log 2022log 2022a =-=，203312022c =-，设()()2log ,1f x x g x x ==-，函数图象如图所示，()()f x g x 、均单调递增，且()()()()11,22f g f g ==，结合图象得在()1,2x ∈，()()f x g x >，即()2log 10x x -->，故220332033log 10020222022a c ⎛⎫-->⇒-> ⎪⎝⎭，故a c >；如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则 BC的长度l θ=，sin BD θ=，1cos CD θ=-，则由图易得，l BC BD >>，当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 1BD C BD CD CD =>Þ>，故当1π20232θ=<时，有11sin 1cos 1cos 20232023BC BD CD θθθ>>Þ>>-Þ>-，∴1111cos 202220232023c b >>-Þ>.综上，a c b >>.故选：D.（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.二、多选题9．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(),2P x -，且tan 2α=，则（）A ．1x =-B．sin 5α=-C．cos 5α=D ．tan02α<【正确答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得2tan 2xα-==，则1x =-，A 选项正确；sin α=-B选项正确；cos α==，C 选项错误；由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()3π2ππ,2πZ 2k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，则()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以tan02α<，D 选项正确.故选：ABD.10．下列说法正确的是（）A ．若()2x k k ππ≠+∈Z ，则1cos 2cos x x+≥B ．若x y ≠，则22x y xy +>恒成立C ．若正数a ，b 满足8a b ab +=-，则ab 有最小值D ．若实数x ，y 满足2sin 1x y +=，则sin x y -没有最大值【正确答案】BC【分析】对A 举反例πx=即可判断，对B 利用配方法即可判断，对C 利用基本不等式得8a b ab +=-≥ab 范围即可，对D ，利用正弦函数的有界性求出x 的范围，再结合二次函数的最值即可判断.【详解】对A ，若πx =，则cos 1x =-，则1cos 22cos x x+=-<，故A 错误；对B ，22223024y x y xy x y ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为2202304y x y ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，但x y ≠，故220x y xy +->恒成立，即22x y xy +>恒成立，故B 正确；对C ，若,0a b >，则8a b ab +=-≥4≥2≤-（舍去）所以16ab ≥，当且仅当4a b ==时等号成立，则()min 16ab =，故C 正确；对D ，2sin 1x y += ，则21sin 1y x =-≤，又1sin 1y -≤≤ ，2111x ∴-≤-≤，解得x ≤，()22215sin 1124x y x xx x x ⎛⎫-=--=+-=+- ⎪⎝⎭，当x =时，()2max 15sin 124x y ⎫-=+-+⎪⎭，故D 错误.故选：BC.11．设函数3()f x x bx c =-+，[,]x a a ∈-，c ∈Z ，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能分别为（）A ．3与1B ．4与3-C ．8与2D ．6与1【正确答案】AC【分析】()f x 可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为0进行分析即可.【详解】记3()h x x bx =-，[,]x a a ∈-，定义域关于原点对称，由33()()()()h x x bx x bx h x -=-+=--=-，于是()h x 为奇函数，设()h x 在[,]x a a ∈-上的最大值和最小值分别为,p q ，根据奇函数性质，0p q +=，而()()f x h x c =+，故,M p c m q c =+=+，于是2M m c +=，注意到c ∈Z ，经检验，AC 选项符合故选：AC12．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出ω的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出ω范围后判断D.【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，因为2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=，因为π3T ≥，所以2π6Tω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中Z k ∈，解得123125k k ω+≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当0k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．设函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()()2f f -=______.【正确答案】12【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.【详解】函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()222lo 3g f -=+，2322log +>，()()()223log 2o 22l 3g 2log 222341232f f f +-===⨯==+⨯.故12.14．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为原来的距离为_______海里.【正确答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A ，20分钟后轮船位置为B ，灯塔位置为C，如图所示由题意得，120BAC ∠= ，11863AB =⨯=，BC =由余弦定理得222cos1202AB AC BC AB AC︒+-=⋅，即213676212AC AC +--=，解得4AC =．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故4．15．已知函数()log ,021,2a x x f x x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.若函数()f x 存在最大值，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合()f x 存在最大值即可求解【详解】当01a <<时，函数不存在最大值，故1a >，当02x <≤时，()log a f x x =在区间(]0,2上单调递增，所以此时()(],log 2a f x ∞∈-；当2x >时，()1f x x =在区间()2,+∞上单调递减，所以此时()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若函数()f x 存在最大值，则1log 22a ≥，解得4a ≤，又1a >，所以a 的取值范围为(]1,4故(]1,416．已知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则222(1)x y --的最大值为________.【正确答案】2π2π22-+【分析】由tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，通过研究函数tan sin y x x =+单调性可得02πx y <+≤，后设x y m +=，则222(1)x y --()22422y m y m =-+-+-，其中02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02m <≤.【详解】因tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则1122sin ππtan sin cos tan sin tan tan x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫++≤=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因函数tan ,sin y x y x ==均在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则函数tan sin y x x =+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故有.02πx y <+≤设x y m +=，其中π02m <≤，则()()22222(1)21x y m y y --=---()()()()2222242222121y m y m y m m m ⎡⎤=-+-+-=---+-≤-⎣⎦，当且仅当2y m =-时取等号，则此时022πm <-<，得222ππm -<≤又函数()()221f m m =-在212π,m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时单调递减，在12π,m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，222ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22212222πππf m m f ⎛⎫=-≤=-+ ⎪⎝⎭，此时222π，π-y x =-=.故2π2π22-+关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x ，y 式子后，通过构造函数得到02πx y <+≤.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)+【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC 4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为+.18．已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.(1)求()cos αβ-的值；(2)求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【正确答案】(1)10(2)1-，3π4【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【详解】（1）π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，sin 10α∴=，cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=，cos β∴，cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+（2）由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-< ，3π24αβ∴-=.19．已知函数2()2sin cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)当02x π≤≤时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z (2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解；（2）由余弦函数的性质得出()f x 的值域.【详解】（1）()11cos 2cos 21cos 2sin 2cos 2cos 213223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，T π∴=，由2223k x k ππππ-≤+≤可得236k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）02x π≤≤ ，42333x πππ∴≤+≤，1cos(2)1,32x π⎡⎤+∈-⎢⎣⎦故()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB 长为4km ，四边形的另外两个顶点C ，D 设计在以AB 为直径的半圆O 上.记02COB παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.(1)为了观赏效果，需要保证3COD π∠=，若薰衣草的种植面积不能少于(3+km 2，则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形ABCD 的周长最大，并求出此最大值.【正确答案】(1)62ππα≤<(2)3πα=，10km【分析】（1）由ABCD OBC OCD OAD S S S S =++ ，利用三角形面积公式得到πsin 62α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭求解；（2）由BC =AD 得到,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，进而得到AB BC CD DA +++=28sin 8sin 822αα-++，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：11π1222sin 22sin 22sin π22323ABCD OBC OCD OAD S S S S αα⎛⎫=++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，π2sin sin 26αααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，由题意，π36α⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，sin()6πα+因为02πα<<，所以ππ2π363α≤+<，解得ππ62α≤<；（2）由BC =AD 可知，,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，故π2422sin 22sin 22sin 48sin 4cos 2222AB BC CD DA ααααα-+++=+⋅+⋅+⋅=++，222148sin 412sin 8sin 8sin 88sin 10222222ααααα⎛⎫⎛⎫=++-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而四边形ABCD 周长最大值是10km ，当且仅当1sin22α=，即π3α=时取到.21．已知函数11()1x x f x axa -=-++，其中a 为常数，且1a >.(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为0x ，证明.011log 2a x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭【正确答案】(1)2a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；（3）把零点代入函数解析式，有00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由零点所在区间得011(1)221x a a a +>+=-，化简变形可得结论.【详解】（1）由题意，0x ∀≠，()()f x f x -=-恒成立，即1111()11x x x x ax axa a -----+=--+-++，化简得21a=，解得2a =.（2）由题意，111()1x f x ax a a =--++，∵1a >，∴11x a -+和1ax-在(0,)+∞上都是连续增函数，∴()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，又1(1)01f a =-<+，22211(1)(2)0212(1)a f a a a a -=-+=++，所以，由零点存在定理可知()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点.（3）由0()0f x =可知0001101x x ax a --+=+，即00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由（2）可知012x <<，∴011(1)221x a a a +>+=-，021x a a ∴>-，即0log (21)a x a >-，所以011log (2)a x a->-.思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.22．已知函数()f x 满足：对x ∀∈R ，都有1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+.函数3()log (54)x x g x =-.(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈.是否存在实数λ，使得()()()()g h x f h x >恒成立?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)8(2)存在，01λ<<【分析】（1）根据题意代入0x =，运算求解即可；（2）先根据对数函数的定义求得1λ-<<，进而可得当1λ-<<时，则可得0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，结合恒成立问题结合函数单调性分析可得()0h x >恒成立，列式运算求解.【详解】（1）由题意可得：1(3)(0)2f f =-，则21332m m --+=-，解得m =8.（2）令540x x ->，可得5(14x >，即0x >，∴()g x 定义域为(0,)+∞，∵5544()14x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，则对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，可得112255()1()14044,04x x x x <<<-<-，故11225504(14()144x x x x ⎡⎤⎡⎤<-<-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即112205454x x x x <-<-，且3log y x =在(0,)+∞是增函数，则()()112233log 54log 54x x x x -<-，即12()()<g x g x ，∴3()log (54)x x g x =-在(0,)+∞是增函数，若要使(())(())g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，则22(0)30(1)130h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得1λ-<，则22233()(333244h x x λλλ=---+≤-+≤，故当1λ-<<时，则0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，令()t h x =(03)t <≤，则()()g t f t >恒成立，即()()0g t f t ->恒成立，而()g t 在(0,3]上是增函数，()f t 在(0,3]上是减函数，∴()()g t f t -在(0,3]上是增函数，又32()log (54()8)t t f t t g t t =+-+--，(2)(2)0g f -=，故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。

杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

2023-2024学年浙江省杭州市高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．若角α的终边经过点()()3,0P a a ≠，则A ．sin 0α>B ．sin 0α<C ．cos 0α>D ．cos 0α<【正确答案】C根据三角函数定义可得sin α=cos α=.【详解】解：由三角函数的定义可知，sin α=符号不确定，cos 0α>，故选：C ．任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x x ααα===≠；（2）角α终边任意一点(,)P x y ，则sin tan (0)yx xααα===≠.2．“a ＞b 2”是b >”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若0,1a b ==-b >，而201a b=<=b >不能推出2a b >，当2a b >b >，当0b ≥b >，当0b <b b >->，所以当2a b >b >，所以“a ＞b 2”是b >”的充分不必要条件，故选：A3．若扇形的周长为16cm ，圆心角为2rad ，则扇形的面积为（）A ．212cmB ．214cmC ．216cm D ．218cm 【正确答案】C【分析】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =，再计算面积得到答案.【详解】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =；扇形的面积2124162S =⨯⨯=.故选：C4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A ．0.5v t=B ．()20.51v t =-C ．0.5log v t =D ．2log v t=【正确答案】D【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数2log v t =的图象类似，所以选项D 最能反映,t v 之间的函数关系.故选：D.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．2022【正确答案】B【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f =可得答案.【详解】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.6．函数()ay x b x c =--的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（）A ．a<0，0b >，0c =B ．0a >，0b >，0c =C ．a<0，0b =，0c >D ．a<0，0b =，0c =【正确答案】A【分析】分0,0b c =>、0,0b c >=两种情况讨论即可.【详解】函数()ay x b x c =--的定义域为{},x x b x c ≠≠①当0,0b c =>时，ay x x c=-，当()0,x c ∈时，y 与a 同号，当(),x c ∈+∞时，y 与a 同号，与图中信息矛盾；②当0,0b c >=时，()ay x b x =-，由图可得，当()x b ∈+∞,时，0y <，所以a<0，然后可验证当0,0b c >=，a<0时，图中信息都满足，故选：A7．已知3log 2a =，11log 5b =，lg 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．c b a <<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为23335125,11121，所以112311log 5lo 2113g b =>=，因为32823339=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为346423310100=232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>，所以a c >，即c<a<b ，故选：B关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．已知函数()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,且123x x x <<，则()()()()()()2123222f x f x f x +++的值为（）A ．4B ．2C ．()22a +D ．2a +【正确答案】A【分析】令()f x t =，结合函数的图象，将方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,转化为()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，进而由()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222t t=++，利用韦达定理求解.【详解】因为函数()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩图像如下：令()f x t =，则()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，由韦达定理知：122t t a +=--,1222t t a =+则()11f x t =，()()232f x f x t ==，所以()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++，()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++，()2224244a a =+--+=.故选：A 二、多选题9．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的有（）A ．1ab ≤B ≤C ．222a b +≥D ．212a b+>【正确答案】ACD根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，2a b =+≥1ab ≤，故A 正确；对于B ，令1,1a b ==>不成立，故B 错误；对于C ，由A 选项得1ab ≤，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，故C 正确；对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅= ⎪⎭>⎝，故D 正确；故选：ACD ．易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．已知非零实数a ，b ，若()f x ，()g x 为定义在R 上的周期函数，则（）A ．函数()f ax b +必为周期函数B ．函数()af x b +必为周期函数C ．函数()()f g x 必为周期函数D ．函数()()f x g x +必为周期函数【正确答案】ABC【分析】()f ax b +是周期为ma的函数，A 正确，()af x b +是周期为m 的函数，B 正确，(())f g x 是周期为n 的函数，C 正确，当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.【详解】设()f x 周期为,()m g x 周期为,0n m ≠，0n ≠，对选项A ：()()m f ax b f ax b m f ax b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f ax b +是周期为m a 的函数，正确；对选项B ：则()()af x b af x m b +=++，所以()af x b +是周期为m 的函数，正确；对选项C ：(())(())f g x f g x n =+，所以(())f g x 是周期为n 的函数，正确；对选项D ：当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，若()()f x g x +是周期函数，设周期为T ，则π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠，π是无理数，所以上式无解，所以此时()()f x g x +不是周期函数，错误.故选：ABC11．已知函数()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x 为偶函数，点()1,1A x -，()2,1B x -是()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为2，则下列说法正确的是（）A ．π2=ωB ．π2ϕ=C ．()11f =-D ．()f x 在()111,1x x -+上单调递增【正确答案】AC【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由()1f x =-，得()4sin 11ωϕ+-=-x ，即()sin 0x ωϕ+=，12x x - 的最小值为2，22T ∴=,即4T =，即2π4ω=，则π2=ω，故选项A 正确；对于B ，()f x 为偶函数，ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k ，πϕ≤ ，0k ∴=时π2ϕ=，1k =-时π2ϕ=-，故选项B 错误；对于C ，综上()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f 或者()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x ，则()11f =-，故选项C 正确；对于D ，()1,1- A x ，()2,1B x -，14cos 11π2-=-x ，即10π2cos =x ，即1x 是函数πcos 2y x =的零点，()111,1-+ x x 的区间长度为2，是半个周期，则函数在()111,1x x -+上不具备单调性，故选项D 错误.故选：AC.12．设函数()()4,,f x x t g x x =+=-若存在[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，使得121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++，则t 的值可能是（）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4【正确答案】BCD【分析】根据题意可得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ，令4()()()F x f x g x x t x=-=++([1,4]x ∈)，结合对勾函数的性质可得函数()F x 的单调性，则4()5t F x t +≤≤+，进而有(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，结合4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 使得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 成立，令4()()()F x f x g x x t x=-=++，[1,4]x ∈，因为对勾函数4y x x=+在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以函数()F x 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，由(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+，得4()5t F x t +≤≤+，即*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤，所以(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，又4()()5n n t f x g x t +≤-≤+，则4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩，即952942nt n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，因为N ,3n n *∈≥，951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得64t -≤≤-.故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数3y x αα=-，则此函数的定义域为________．【正确答案】()(),00,∞-+∞U .【分析】根据幂函数的定义，求得13a =-，得到y .【详解】由幂函数3y x αα=-，可得31α-=，解得13a =-，即13y x -==则满足0x ≠，即幂函数3y x αα=-的定义域为()(),00,∞-+∞U .故答案为.()(),00,∞-+∞U 14．已知θ是第二象限角，()3cos π25θ+=，则tan θ=________．【正确答案】2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得tan 2θ=或tan 2θ=-，再根据θ是第二象限角即可得tan 2θ=-.【详解】由诱导公式可得()3cos π2cos 25θθ+=-=，所以3cos 25θ=-；根据二倍角公式可得222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，解得tan 2θ=或tan 2θ=-，又因为θ是第二象限角，所以tan 2θ=-.故2-15．如图所示，摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每30min 转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5min 后距离地面的高度为________m ．【正确答案】37.5##752【分析】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，然后根据条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，因为摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，所以12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩，解得55,65A k ==，因为每30min 转一圈，所以2π30T ω==，15πω=，当0=t 时，10h =，所以sin 1ϕ=-，所以可取π2ϕ=-，所以ππ55sin 65152h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以当5t =时，π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故37.516．设,a b ∈R .若当||1x ≤时，恒有2|()|1x a b -+≤，则a b +的取值范围是____.【正确答案】[【分析】构造函数2()()f x x a =-，则将题目转化为当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤，分1a ≤-，1a ≥，10a -<≤，01a <<讨论，即可得到结果.【详解】设函数2()()f x x a =-，则当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤.当1a ≤-时，()f x 在[1,1]-上递增，则2(1)(1)1f a b =--≤，且2(1)(1)1f a b -=----≥，从而22222a a b a a ----≤≤，则22222a a a a ----≤，于是12a ≥-，矛盾；同理，当1a ≥，()f x 在[1,1]-上递减，则2(1)(1)1f a b =-≥--，且2(1)(1)1f a b -=--≤-，从而22222a a b a a -+---≤≤，则22222a a a a -+-≤--，于是12a ≤，矛盾；当10a -<≤，212b a a --≤≤,则22110a a a -≥-⇒-≤，10b -≤≤当01a <<，212b a a ---≤≤，则22110a a a --≥-⇒-≤，10b -≤≤由此得，a b +的取值范围是[.当且仅当1a =1b =-时，a b +=，当且仅当0a b ==时，0a b +=.故答案为:[四、解答题17．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin αβ-π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.【正确答案】(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin 55αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin αβ-=()cos αβ-==，则()sin sin 2βααβ=--==⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.18．已知集合{A x y ==，集合{}121B x m x m =+≤≤-，集合{}310,C x x x Z =≤<∈.（1）求A C 的子集的个数；（2）若命题“x A B ∀∈⋃，都有x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）8个；（2）3m .（1）求出集合{|25}A x x =-和{3,4,5,6,7,8,9}C =，再求A C ，根据集合子集的个数2n 可得答案；（2）由题意可得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论可得答案.【详解】（1）由23100x x -++≥解得25x -，所以{|25}A x x =-，又因为{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z ，所以{3,4,5}A C ⋂=，所以A C 的子集的个数为328=个.（2）因为命题“x A B ∀∈⋃都有x A ∈”是真命题，所以A B A ⋃=，即B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩解得23m ，综上所述.3m 19．已知函数()()2sin f x x ω=，其中常数0ω>．(1)若()y f x =在π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围；(2)令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在区间[],a b 上至少含有30个零点，求b a -的最小值．【正确答案】(1)30,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)43π6【分析】（1）求条件可得π2πππ,[2π,2π]4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，由此可求ω的取值范围，（2）由函数图象变换结论求函数()y g x =的解析式，要使b a -最小，则130,a x b x ==，研究1sin 2t =-的零点进而可以求出结果．【详解】（1）由题设2ππ11ππ34122T ω+=≤=，∴1211ω≤，∴304ω<≤，当π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，Z k ∈，解得3034k ω<≤+，Z k ∈．综上，ω的取值范围为30,4⎛⎤⎥⎝⎦．（2）由题设()2sin 2f x x =，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位得ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令()0g x =得π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令π43t x =+，设()y g x =在区间[],a b 上的30个零点分别为1230,,,x x x ，则113030ππ4,,433t x t x =+=+ ，1sin 2t =-在ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上有30个零点，要使b a -最小，则130,a x b x ==，因为sin y t =在每个周期内各有两个函数值为12-，所以15个周期里面有30个零点，则b a -最小时，若113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=，则301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以30143π6x x -=，即b a -的最小值为43π6．20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．【正确答案】(1)()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010xg x x x =⋅+-=-；当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．已知函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R a ∈．(1)若方程()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；(2)设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x ，[]2,1x b b ∈+时，满足()()12ln 4f x f x -≤，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}31,2,32⎛⎤⎥⎝⎦．(2)4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得2(3)(4)10a x a x -+--=，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于0即可求解；（2）易知函数1()ln()f x a x=+为定义域上为减函数，将问题转化成()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，再构造二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由[]1ln ln (3)24a a x a x⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭得2(3)(4)10a x a x -+--=；即[(3)1](1)0a x x --+=当3a =时，=1x -，经检验，满足题意；当2a =时，121x x ==-，经检验，满足题意；当2a ≠且3a ≠时，12121,1,3x x x x a ==-≠-，若1x 是原方程的解，当且仅当11230a a x +=->，即32a >，若2x 是原方程的解，当且仅当2110a a x +=-+>，即1a >，故当1x 是原方程的解，2x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且，无解，当2x 是原方程的解，1x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且，解得31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上，a 的取值范围为{}31,2,32⎛⎤⎥⎝⎦．（2）不妨令121b x x b ≤≤≤+，则1211a a x x +>+，由于ln y x =单调递增，1y a x=+单调递减，所以函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[b ,1]b +上为减函数；()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，因为当1x ，2[x b ∈,1]b +，满足12|()()|ln4f x f x -≤，故只需11ln ln ln41a ab b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，因为0a >，所以函数()233(1)1g b ab a b =++-为开口向上的二次函数，且对称轴为102a a+-<，故()g x 在1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，当14b =时，y 有最小值33151(1)1164164a a a ++-=-，由1510164a -≥，得415a ≥，故a 的取值范围为4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．2023-2024学年浙江省杭州市高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．命题“(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +≥”的否定是（）A ．(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +<B ．(0)x ∀∉+∞，，总有212x x +<C ．(0)x ∃∈+∞，，使得212x x +<D ．(0)x ∃∉+∞，，使得212x x +≥【正确答案】C全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论【详解】解：因为命题“(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +≥”，所以其否定为“(0)x ∃∈+∞，，使得212x x +<”故选：C2．若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角2α是第（）象限角．A ．二B ．三C ．一或三D ．二或四【正确答案】D【分析】先判断角α所在的象限，再判断角2α所在的象限.【详解】由条件知sin α与tan α异号，则α为第二或第三象限角；又cos α与tan α异号，则α为第三或第四象限角所以α为第三象限角，即3π2ππ2π,Z 2k k k α+<<+∈，∴π3πππ,Z 224k k k α+<<+∈，∴2α为第二或第四象限角.故选：D.3．函数()2()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则（）A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c ><>C ．0,0,0a b c >><D ．0,0,0a b c ><<【正确答案】D【分析】通过函数的定义域可求出c 的范围，由(0)f 可判断b 的范围，由函数图象与x 轴的交点可判断a 的范围【详解】函数的定义域为{}x x c ≠-，由图可知0c ->，则0c <，由图可知2(0)0bf c =<，所以0b <，由()0f x =，得0ax b +=，b x a=-，由图可知0ba ->，得0b a<，所以0a >，综上，0a >，0b <，0c <，故选：D4．设5log 2a =，sin 53(sin 37)b ︒=︒，1c =，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．c b a <<D ．a c b<<【正确答案】D【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的单调性，分别计算三个式子的取值范围，比较大小.【详解】551log 2log 2a =<，因为0sin 371<︒<，所以()sin 531sin 37sin 37sin 302b ︒=︒>︒>︒=，(111121222c -====，所以a c b <<.故选：D.5．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某两只股票，在接下来的交易时间内，一只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，另一只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，则该股民在这两只股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A ．一只盈利、一只亏损B ．两只都亏损C ．两只都盈利D ．无法判断盈亏情况【正确答案】B【分析】根据题意一只股票的价钱为原来的33(10.1)(10.1)-+，另一支股票的价钱为原来的33(10.1)(10.1)+-通过计算来判断盈亏即可．【详解】解：该市民在经历了一支股票3次跌停，又经历了3次涨停后股票价格为原来的333(10.1)(10.1)0.990.971-+=≈<，所以该股民在这只股票上是略有亏损，另一支股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停后股票的价格为原来的333(10.1)(10.1)0.990.971+-=≈<，所以该股民在这只股票上是略有亏损，则两个股票都亏损了.故选：B ．6．已知0a >，0b >，则“a b >”是“23a b e a e b +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】若23a b e a e b +=+，则()220a b e a e b b +-+=>，利用函数()2xf x e x =+的单调性可得a b >．反之不一定成立，例如取100a =，1b =．即可得出其不成立．【详解】解：若23a b e a e b +=+，则()220a be a e b b +-+=>，∴22a b e a e b +>+，又当0x >时，()2xf x e x =+单调递增，∴a b >．反之不一定成立，“a b >”不一定得出“23a b e a e b +=+”，例如取100a =，1b =．则“100220033a b e a e e e b +=+>+=+”．∴“a b >”是“23a b e a e b +=+”的必要不充分条件．故选B ．本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．7．已知函数()()()πcos tan π2R 2f x x k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--++∈，若π13f ⎛⎫⎪⎭=-⎝，则π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=（）A ．5B ．3C ．1D ．0【正确答案】A【分析】根据诱导公式，结合函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设()()πcos tan πtan 2sin g x x k k x x x ⎛⎫=- ⎪⎝-⎭=-+，因为()()sin tan x g x k x g x +-=-=-，所以函数()g x 是奇函数，πππ1213333f g g ⎛⎫⎛⎫=-⇒+=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎪⎭⎭⎛⎫ ⎝因此πππ22325333g g f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A8．设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤=⎨->⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（）A ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．109,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】画出()f x 的图象，结合对称性求得()3412114x x x x ++的取值范围.【详解】2log (1)13x x -=⇒=或32x =.画出()f x 的图象如下图所示，依题意()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则123432342x x x x <<<<<<<，12234111111,1,248111x x x x x x x x -==+=+=⨯=---，()13411121111112214x x x x x x x x x -++=+=-+，函数132122y x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭上递增，32101921,22123322⨯-+=⨯-+=，所以11110921,32x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，即()3412114x x x x ++的取值范围是109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．()f x x =与()ln e xg x =为同一函数B ．函数()()22131mm f x m m x+-=++⋅是幂函数，则0m =C ．用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过7次二分法后精确度达到0.01D ．函数()2311x f x x =+-有两个零点，且其中一个零点在区间()1,2内【正确答案】ACD【分析】利用函数相等的概念可判断A 选项；利用幂函数的定义求出m 的值，可判断B 选项；利用二分法的定义可判断C 选项；利用数形结合思想判断出函数()f x 的零点个数，结合零点存在定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，对任意的x ∈R ，e 0x >，所以，函数()ln e xg x =的定义域为R ，又因为函数()f x x =的定义域为R ，且()()ln e xg x x f x ===，所以，函数()f x x =与()ln e xg x =为同一函数，A 对；对于B 选项，因为函数()()22131mm f x m m x+-=++⋅是幂函数，则2311m m ++=，解得3m =-或0，B 错；对于C 选项，用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，假设需要()n n *∈N 次二分法后精确度达到0.01，则112100n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可得2100n ≥，因为6721002<<，故至少经过7次二分法后精确度达到0.01，C 对；对于D 选项，由()23110x f x x =+-=可得2311x x =-，作出函数3x y =、211y x =-的图象如下图所示：由图可知，函数3x y =与函数211y x =-的图象由两个交点，所以，函数()f x 有两个零点，因为函数3x y =、211y x =-在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()2311x f x x =+-在()0,∞+上为增函数，因为()131110f =+-<，()22232110f =+->，所以，函数()f x 的一个零点在区间()1,2内，D 对.故选：ACD.10．下列结论中，正确的是（）A ．若x ，0,2y x y >+=，则22x y +的最小值为2B ．若0,2xy x y xy >+=，则2x y +的最小值为8C ．若(),0,,3x y x y xy ∈+∞++=，则xy 的最大值为1D ．若3x <-，则函数13y x x =++的最小值为1-【正确答案】BC【分析】利用基本不等式结合指数幂的运算即可判断A ；根据0,2xy x y xy >+=，可得0,0x y >>，且121x y+=，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B ；利用基本不等式可将已知转化为3x y xy xy =++≥，从而可判断C ；利用配凑法结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A ，由x ，0,2y x y >+=，得224x y +≥==，当且仅当22x y =，即1x y ==时取等号，所以22x y +的最小值为4，故A 错误；对于B ，因为0,2xy x y xy >+=，所以0,0x y >>，且121x y+=，则()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y=，即24y x ==时取等号，所以2x y +的最小值为8，故B 正确；对于C ，由(),0,,3x y x y xy ∈+∞++=，则3x y xy xy =++≥+，即30xy +≤，所以01<≤，所以01xy <≤，当且仅当1x y ==时取等号，所以xy 的最大值为1，故C 正确；对于D ，若3x <-，则30x +<，则30x -->，则()()11333533y x x x x ⎡⎤=+=---+-≤-=-⎢⎥+--⎣⎦，当且仅当()()133x x --=--，即4x =-时取等号，所以函数13y x x =++的最大值为5-，故D 错误.故选：BC.11．已知关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是1212(,)()x x x x <，则下列结论正确的是（）A ．122x x +=B ．123x x <-C ．1213x x -<<<D ．214x x ->【正确答案】ABD【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论．【详解】关于x 的不等式(1)(3)10(0)a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，所以0a <，且12,x x 是一元二次方程(1)(3)10a x x +-+=即22130ax ax a -+-=的两根，所以122x x +=，选项A 正确；1213133a x x a a-==-<-，选项B 正确；214x x -==>，选项D 正确；由214x x ->，可得：1213x x -<<<是错误的，即选项C 错误．故选：ABD ．12．已知函数(),y f x x D =∈，若存在实数m ，使得对于任意的x D ∈，都有()f x m ≥，则称函数(),y f x x D =∈有下界，m 为其一个下界，类似的，若存在实数M ，使得对于任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数(),y f x x D =∈有上界，M 为其一个上界．若函数(),y f x x D =∈既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数．下列四个命题中为真命题是（）A ．若函数()y f x =有下界，则函数()y f x =有最小值；B ．若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，则该函数是有界函数；C ．对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，则该函数是有界函数D ．若函数()y f x =的定义域为闭区间[],a b ，则该函数是有界函数【正确答案】BC【分析】举特例说明AD 不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断B ；根据已知推导出()M f x M -≤≤，即可判断C ；【详解】对于A ，设()1f x x=()0x >，则()0f x ≥恒成立，即函数()y f x =有下界，但函数()y f x =没有最小值，故A 错误；对于B ，若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，设上界为M ，则0M >，根据题意有，x ∀∈R ，有()f x M ≤成立.所以当0x >，()f x M ≤成立，则当0x <时，0x ->，则()f x M -≤，所以()f x M -≤，所以()f x M ≥-；当0x <时，()f x M ≤成立，则当0x >时，0x -<，则()f x M -≤，所以()f x M -≤，所以()f x M ≥-；当0x =时，由奇函数性质，可得()()00f f =-，所以()00f =.所以当0x >时，()M f x M -≤≤成立；当0x <时，()M f x M -≤≤成立；当0x =时，()00f =，显然满足()0M f M -≤≤.所以x ∀∈R ，都有()M f x M -≤≤成立，所以函数是有界函数，故B 正确；对于C ，对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，设()f x M ≤，则()M f x M -≤≤，该函数是有界函数，故C 正确；对于D ，令()1,01,01x f x x x=⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则函数()y f x =的定义域为闭区间[]0,1，则函数()f x 的值域为[)1,+∞，则()f x 只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故D 错误；故选：BC 三、填空题13．将280︒化成弧度为_________．【正确答案】14π9##14π9【分析】根据弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【详解】π14π280280rad rad 1809︒=⨯=，故14π914．若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+=________.【正确答案】108【分析】设2362log 3log log ()a b a b +=+=+k =，反解,a b ，结合指数运算和对数运算，即可求得结果.【详解】可设3262log 3log log ()a b a b k +=+=+=，则22k a -=，33k b -=，6k a b +=；所以232323116(23)231082323k kk k k k a b a b ab ----+⨯+====⋅=⋅⋅.故108.15．用{}max ,a b 表示a ，b 两个数中的最大值，设函数()()1max 1,0f x x x x x ⎧⎫=+->⎨⎬⎩⎭，若()1f x m ≥+恒成立，则m 的最大值是_________．【正确答案】12##0.5【分析】根据题中定义，结合函数的单调性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为0x >，所以()11,112max 1,max 1,11,02x x f x x x x x x x x x x⎧+≥⎪⎪⎧⎫⎧⎫=+-=+-=⎨⎬⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭⎪-<<⎪⎩，根据函数单调性的性质可知当102x <<时，函数单调递减，而当12x >时，函数单调递减，故当12x =时，函数有最小值，最小值为1322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该函数图象如下图所示：所以要想()1f x m ≥+恒成立，只需31122m m +≤⇒≤，因此m 的最大值是12，故12关键点睛：根据题中定义把原函数解析式化简成分段函数的解析式形式，结合函数的单调性进行求解是解题的关键.16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若[)12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()21210mf m m f m --->的解集为_________．【正确答案】()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】设函数()()g x xf x =，由条件可知函数()g x 是偶函数，并且在[)0,∞+单调递减，然后利用函数的性质解抽象不等式即得.【详解】令()()g x xf x =，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，故()g x 为定义在R 上偶函数，由112212()()0x f x x f x x x -<-，得()g x 在[)0,∞+为减函数，由()()()21210mf m m f m --->，可得()()()2121mf m m f m >--，即()()21g m g m >-，故()()21g m g m >-，所以21m m <-，即23410m m -+>，解得13m <或1m >，所以不等式的解集是()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故答案为.()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知函数()()ln 3f x x =++的定义域为A ，集合{}11B x a x a =-<<+(1)当2a =时，求()R A B ð；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围．【正确答案】(1)()(][]R 3,13,4A B =--⋃ ð(2)(],3-∞【分析】（1）分别求出两个集合，再根据补集和交集的定义即可得解；（2）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，再结合B A ⊆列出不等式，解之即可.【详解】（1）由()()ln 3f x x ++，得4030x x -≥⎧⎨+>⎩，所以34x -<£，即{}34A x x =-<≤，当2a =时，{}13B x x =-<<，所以(][)R ,13,B =-∞-⋃+∞ð，所以()(][]R 3,13,4A B =--⋃ ð；（2）当11a a -≥+，即0a ≤时，B A =∅⊆，符合题意，当B ≠∅时，因为B A ⊆，所以111314a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03a <≤，综上所述，a 的取值范围为(],3-∞．18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合．(1)若角α的终边所在的方程为()20y x x =-≤2tan αα-的值；(2)若角()10,π,sin cos 5ααα∈+=，求tan α的值；【正确答案】(1)3；(2)43-.【分析】（1）在角α的终边取一点(1,2)Q -，然后根据定义计算可得；（2）根据同角关系式结合条件可得7sin cos 5αα-=，进而即得.【详解】（1）在角α的终边取一点(1,2)Q -，则r OQ ==，由三角函数的定义知cos tan 2αα==-，2tan 143αα-=-+=；（2）因为1sin cos 5αα+=，所以()21sin cos 25αα+=，即221sin cos 2sin cos 25αααα++=，解得12sin cos 025αα=-<，因为0πα<<，所以2απ<<π，可得sin 0,cos 0αα><，sin cos 0αα->，所以()2221249sin cos sin cos 2sin cos 122525αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5αα-=，因为1sin cos 5αα+=，所以4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4tan 3α=-.19．已知函数()()2log 221a f x x ax a =++-．(1)当12a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 在(),2-∞-上单调递减，求a 的取值范围．【正确答案】(1)单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()0,∞+；(2)31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【分析】（1）根据题意，先求定义域，结合复合函数单调性，即可求解；（2）根据题意，结合复合函数单调性，分别讨论1a >和01a <<两种情况，即可求解.【详解】（1）根据题意，当12a =时，()()212log f x x x =+，由20x x +>，解得1x <-或0x >，故()f x 的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞,令221124t x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，则该函数在(),1-∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，因为函数12log y t =为减函数，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()0,∞+；（2）令函数()()22222121g x x ax a x a a a =++-=+-+-，该函数在(),a -∞-上单调递减，在(),a -+∞上单调递增．①当1a >时，要使()f x 在(),2-∞-上单调递减，则()g x 在(),2-∞-上单调递减，且()0g x >恒成立，故()2244210a g a a -≥-⎧⎨-=-+-≥⎩，又1a >，所以312a <≤；②当01a <<时，要使()f x 在(),2-∞-上单调递减，则()g x 在(),2-∞-上单调递增，且()0g x >恒成立，因为()g x 在(),a -∞-上单调递减，故函数()g x 在(),2-∞-上不能单调递增，此种情况不可能；综上，a 的取值范围为31,2⎛⎤⎥⎝⎦．20．宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角θ（弧度）.（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出y 的最大值.【正确答案】（1）10210xxθ+=+，()0,10x ∈；（2）255010(17)x x y x --=-+，y 的最大值为310.【详解】试题分析：（1）根据扇环的周长等于两段弧长加两段线段，可得()()3010210x x θ=++-，解得10210xxθ+=+，根据题意求自变量取值范围；（2）分别求出花坛的面积2550x x -++与装饰总费用17010x +，从而可得y 关于x 的函数关系式为()25501017x x y x --=-+，再变量分离3913241010y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，17t x =+，最后利用基本不等式求最值，注意等于号是否在定义区间.试题解析：（1）由题可知()()3010210x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，()0,10x ∈.（2）花坛的面积为()()()2221105105502x x x x x θ-=+-=-++（010x <<），装饰总费用为()()91081017010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用之比为()22550550170101017x x x x y x x -++--==-++.令17t x =+，()17,27t ∈，则39132439131010101010y t t ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当18t =时取等号，此时1x =，1211θ=.故花坛的面积与装饰总费用之比为()25501017x x y x --=-+，且y 的最大值为310.21．已知函数log a y x =过定点(),m n ，函数()2xf x n x m=++的定义域为[]1,1-.（Ⅰ）求定点(),m n 并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 在[]1,1-上的单调性；（Ⅲ）解不等式()()210f x f x -+<.【正确答案】（Ⅰ）定点为()1,0，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭.（Ⅰ）根据解析式可求得定点为()1,0，即可得()f x 的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；（Ⅱ）利用定义法即可证明()f x 的单调性；（Ⅲ）根据()f x 的单调性和奇偶性，化简整理，可得()()21f x f x -<-，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（Ⅰ） 函数log a y x =过定点(),m n ，∴定点为()1,0，()21xf x x ∴=+，定义域为[]1,1-，()()21xf x f x x -∴-==-+.∴函数()f x 为奇函数.（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增.证明：任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122112121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x xx +-+---===++++++.[]12,1,1x x ∈-，12x x <，120x x ∴-<，1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数.（Ⅲ）()()210f x f x -+<，即()()21f x f x -<-，函数()f x 为奇函数()()21f x f x ∴-<-()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，12111121x x x x -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩，011113x x x ⎧⎪≤≤⎪∴-≤≤⎨⎪⎪<⎩，解得.103x ≤<故不等式的解集为：1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.22．已知函数2()log (41)x f x kx =+-（其中R k ∈），函数24()log (2)3xh x b b =⋅-（其中b ∈R ）.(1)若2k =且函数()()1g x f x a =-+存在零点，求a 的取值范围；(2)若()f x 是偶函数且函数()y f x =的图象与函数()y h x =的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.【正确答案】(1)(1,)+∞；(2){1b b 或3}b =-.【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得()f x 的值域，即可求得参数a 的取值范围；（2）根据()f x 是偶函数求得参数k ，再根据题意，求解指数方程即可求得b 的取值范围.【详解】（1）由题意知函数()g x 存在零点，即()1f x a =-有解.又()222411()log 412log log 144x xx x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()f x 在R 上是减函数，又1114x +>，241log 04x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >，所以1(0,)a -∈+∞，所以a 的取值范围是(1,)∈+∞a .（2）()2()log 41xf x kx =+-的定义域为R ，若()f x 是偶函数，则(1)(1)f f -=，即221log 1log (41)4k k ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭解得1k =.此时()()22()log 41log 22x x x f x x -=+-=+，()()22()log 41log 22x x xf x x ---=++=+，。

杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。