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核心考点·精准研析考点一平面向量的基本概念1.下面说法正确的是( )A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.2.给出下列命题:①零向量是唯一没有方向的向量;②零向量的长度等于0;③若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线. 其中错误的命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为与都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.1.解答向量概念型题目的要点(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.2.(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.考点二平面向量的线性运算【典例】1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD 的中点,则= ( )A.-B.-C.+D.+2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为. 世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1 由“则=”及选项,想到平面向量线性运算.由“=λ1+λ2”,想到平面向量线性2运算【解析】1.选A.如图所示=-=-=-·(+)=-.【一题多解】选A.在△ABC中,找到向量,,对于选项A,作出向量,,再作-,与向量比较,发现相等,所以选A.2.=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.答案:1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.三种运算法则的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.1.(2020·榆林模拟)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则= ( )A.+B.+C.+D.+【解析】选C.如图,因为=2,所以=,所以=+=+=+(-)=+.2.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ;y= .【解析】由已知,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.答案:-考点三共线向量定理及其应用命题精解读1.考什么:(1)判断向量共线,三点共线问题,含参数综合问题;(2)考查数学运算核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与解析几何,三角函数图像与性质,三角恒等变换结合考查求参数,最值等.3.新趋势:以考查共线向量定理的应用为主.学霸好方法1.证明向量共线的方法:应用向量共线定理.对于向量a,b(b≠0),若存在实数λ,使得a=λb,则a与b共线.2.证明A,B,C三点共线的方法:若存在实数λ,使得=λ,则A,B,C三点共线.3.解决含参数的共线问题的方法:经常用到平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得到参数值.向量共线问题【典例】(2019·西安模拟)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb 与-(b-2a)共线,则λ=. 世纪金榜导学号【解析】因为a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以解得k=,λ=-.答案:-三点共线问题【典例】(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=k e1+e2,=3e1-2k e2,若A,B,D三点共线,则k的值为. 世纪金榜导学号【解析】因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=k e1+e2,=3e1-2k e2,所以=-=3e1-2k e2-(k e1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以解得k=-.答案:-解决三点共线问题应注意什么问题?提示:应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线.含参数综合问题【典例】(2020·唐山模拟)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】由已知AD=1,CD=,所以=2.因为点E在线段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).因为=+,又=+μ=+2μ=+,所以=1,即μ=.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.答案:1.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )A.-2B.-C.-D.【解析】选A.=+=+=-+=-,所以λ=1,μ=-,因此=-2.2.(2019·大同模拟)△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是( )A. B. C. D.【解析】选C.因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式知,==.3.P是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,若S△ABC=6,则△PAB的面积为( )A.2B.3C.4D.8【解析】选A.因为++=2=2(-),所以3=-=,所以∥,方向相同,所以===3,S△PAB==2.1.已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则( )A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上【解析】选D.由=+得-=,所以=·,所以点P在射线AB上.2.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是( )A.-=B.+=C.-=D.+=【解析】选A.由已知,-=-===,所以A正确;+=+==,所以B错误;-=-==,所以C 错误;+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,所以D错误.3.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若点M满足|λ--|=0且S△ABC=3S△ABM,则实数λ=.【解析】如图,设D为BC的中点,则+=2,因为|λ--|=0,所以λ--=0,所以λ=+=2,于是A,M,D三点共线,且=,又S△ABC=3S△ABM,所以=,又因为S△ABD=S△ABC且==,所以==×,解得λ=±3.答案:±3关闭Word文档返回原板块莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
第1讲 平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.了解向量的实际背景；2。
理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义；3。
理解向量的几何表示;4。
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义;6。
了解向量线性运算的性质及其几何意义．知 识 梳 理1．向量的有关概念名称 定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量零向量 长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±错误!平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫作共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量运算定 义法则（或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.（2）结合律：(a＋b）＋c＝a＋（b＋c)续表减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差a－b＝a＋（－b）数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）|λa|＝｜λ｜|a|；（2)当λ＞0时,λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反;当λ＝0时，λa＝0λ（μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa;λ（a＋b)＝λa＋λb3。
共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b＝λa.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)零向量与任意向量平行．（）(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(）（3）向量错误!与向量错误!是共线向量,则A,B，C,D四点在一条直线上．（)(4）当两个非零向量a，b共线时,一定有b＝λa，反之成立．（)（5）在△ABC中，D是BC中点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!）．（)解析（2）若b＝0，则a与c不一定平行．(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行,则A，B，C，D四点不一定在一条直线上．答案（1)√（2）×(3）×（4）√(5)√2．给出下列命题：①零向量的长度为零,方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量错误!与错误!相等．则所有正确命题的序号是()A．①B．③C．①③D．①②解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量AB，→与错误!互为相反向量，故③错误．答案 A3。
第一节平面向量的概念与线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的模.(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 提醒：1．辨明两个易误点(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的充要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )(3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1， |b |＝1，则|a ＋b |＝2.( ) (4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ 2．(教材习题改编)下列结论正确的是( ) A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →解析：选C 根据向量的概念可知选C ．3．(2018·临沂检测)如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝ ( )A ． －BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →解析：选A 因为CD →＝CB →＋BD →，CB →＝－BC →，BD →＝12BA →，所以CD →＝－BC →＋12BA →.4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形D ．正方形解析：选B 由AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|知，四边形ABCD 为平行四边形且邻边相等，所以四边形ABCD 为菱形．故选B ．5．(教材习题改编)向量和式(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于________． 解析：(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →平面向量的有关概念 [明技法]对于向量的概念的三点注意(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．[提能力]【典例】 给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选D ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行． [刷好题](金榜原创)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零； ④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①错误，两向量是否共线要看其方向，而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故两个向量不能比较大小，但两个向量的模均为非负实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，无论λ为何值，均有λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C ．平面向量的线性运算 [明技法]向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[提能力]【典例】 (1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →解析：选A AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A ．(2)(2018·威海检测)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．－13B ．－23C ．13D ．23解析：选D 据向量运算的几何意义，画图如图所示．其中D ，E 分别是AB 和AC 的三等分点，以EC 和ED 为邻边作平行四边形， 得CF →＝23CB →. 故λ＝23，所以选D ．[刷好题]1．(2018·唐山统一考试)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A ．12AB →＋12AD →B ．34AB →＋12AD →C ．34AB →＋14AD →D ．12AB →＋34AD →解析：选B 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B ． 2．(2018·洛阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选A 由OA →＋OB →＋CO →＝0得OA →＋OB →＝OC →，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故∠CAB ＝30°.平面向量共线定理的应用 [明技法]注意：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． [提能力]【典例】 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)解：因为k a ＋b 与a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0. 所以k ＝±1.[母题变式] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1，所以k ＝±1.又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线． [刷好题]1．(2018·宜宾检测)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b . 如果c ∥d .那么k ＝________，且c 与d ________(填 “同向”或“反向”)解析：由c ∥d ，知存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ－λ＝1，解得k ＝－1，∴c ＝－a ＋b ，即c 与d 反向．答案：－1 反向2．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ， ∴⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．答案：12。
