江苏省宿迁市高中数学第9课时函数的表示方法导学案(无答案)苏教版必修1

第九课时分段函数【学习导航】知识网络分段函数定义分段函数分段函数定义域值域分段函数图象学习要求1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、值域；1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并 _ 集，其值域是各段值域的并集（填“并”或“交”）3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；【精典范例】一、含有绝对值的解析式例1、已知函数y=|x—1|+|x+2| （1）作出函数的图象。

（2）写出函数的定义域和值域。

二、实际生活中函数解析式问题例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4 千米的速度步行返回甲地。

写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S（千米）和时间t（小时）的函数关系式，并作出函数图象。

点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象•三、二次函数在区间上的最值问题例3、已知函数f(x)=2x2—2ax+3在区间［—1,1］上有最小值，记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式⑵求g(a)的最大值。

x2(x 0)2、已知函数f(x)= 1(x 0)0(x 0)求f(1)，f[f( —3)], f{f[f( —3)]}的值.3、出下列函数图象y= | x+2 | — | x —5 |4、已知函数f(0)1y=f(1)3则f(n1) f (n) nf(n 1)点评：二次函数在闭区间上的最值f(4)= _______ 问题往往结合图象讨论。

追踪训练21、设函数f(x)= x 2,(x 2)则2x,(x 2)f( —4)= __________ 若f(x 0)=8，贝Ux o= _______听课随笔已 知 函 数(1) 求函数定义域；(2) 化简解析式用分段函数表示; (3) 作出函数图象f(x)= , x 2 2x 1|x 1|x 1学生质疑教师释疑【师生互动】。

【金版学案】2015-20XX 年高中数学 2.1.2函数的表示方法学案 苏教版必修11．表示函数的三种常用方法分别是解析法、图象法、列表法． 2．列表法就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． 3．图象法就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法． 4．解析法就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1x，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是{a |a ≥0或a ＜－1}．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52等于(B )A.12B.32C.52D.927．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (f (－1)))＝π＋1．8．已知f (2x －1)＝x 2(x ∈R )，f (x )的解析式为f (x )＝（x ＋1）24．,一、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． (1)解析法．优点：用解析法表示函数的优点，一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可求出任意一个自变量对应的函数值．(2)列表法． 优点：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常应用到实际生产和生活中去．(3)图象法．优点：用图象法表示函数关系的优点，是能直观形象地表示出函数的变化情况． 二、求函数解析式的常见题型与解题方法 (1)已知f (x )与g (x )，求f (g (x ))类型．这种题型一般用“代入法”求解，即把f (x )中的x 代换为g (x )，并运算化简即可．(2)已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )类型．这种题型一般用“换元法”或“配凑法”求解．用“换元法”，可设t ＝h (x )，并解得x ＝h －1(t )，然后代入g (x )中可得f (t )＝g (h －1(t ))，最后将t 换成x 便得f (x )＝g (h －1(x ))．使用换元法时，要留心换元前后的等价性．用“配凑法”时，要将g (x )配凑成h (x )的多项式，并以x 替换h (x )即可．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除含有f (x )这个未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 等．这种题型一般用“解方程组法”求解．求解的关键是根据已知的等式以代换的方式构造另一个关于f (x )的等式，并与已知的等式组成方程组，解该方程组即可求得f (x )．(4)已知f (x )的结构特征，求f (x )．这种题型一般用“待定系数法”求解，依据f (x )的结构特征设出f (x )的表达式，由已知条件列出关于f (x )中未知参数的方程组，解出方程组后代回f (x )即可．(5)已知f (x )的图象，求f (x )．这类题型一般用“数形结合”的方法求解．求解时，要紧紧抓住图象特征，并留心端点值的归属问题．(6)实际问题意义下函数解析式的求法．这种题型要通过仔细阅读题目，合理引入变量，将实际问题抽象归纳出函数的问题，从而建立起相应的函数关系式．三、分段函数理解分段函数应注意以下几点：(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为函数的图象的关键所在．基础巩固1．如图，在△AOB 中，点A (2，1)，B (3，0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是(D )解析：当0≤x ≤2时，S ＝14x 2，排除B 、C ；当2＜x ≤3时，S ＝12×3×1－12(x －3)2＝12(－x 2＋6x －6)；当x ＞3时，S ＝12×3×1＝32.2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是(D )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.3．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝(C )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x2x2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.4．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2的解析式为(D )A ．f (x )＝4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]B ．f (x )＝x 2－4x，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x2x，x ∈[－2，0)∪(0，2]解析：由题知2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝（x －2）2，则f (x )＝4－x2（x －2）2－2，又4－x2≥0，∴－2≤x ≤2，则f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x，－2≤x ≤2，且x ≠0.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f （f （n ＋5）），n <10(n ∈N *)，则f (5)＝(D)A ．5B ．6C ．7D ．8解析：f (5)＝f [f (10)]＝f (7)＝f [f (12)]＝f (9)＝f [f (14)]＝f (11)＝11－3＝8.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：3个7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 关于x 的解析式是________．答案：y ＝28x8．若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24(a ，b 为常数)，则5a －b ＝________．解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3.又f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7.∴5a －b ＝2. 答案：29．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式． 解析：令1＋x 1－x ＝t ，则x ＝t －1t ＋1，∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ＋12＝2t t 2＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1. 由于t ＝1＋x 1－x ＝－1＋21－x ≠－1，∴f (x )＝2xx 2＋1(x ≠－1)．10．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .∵f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，∴9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5.比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.∴f (x )＝x 2－4x ＋8.11．已知二次函数f (x )的图象经过A (0，2)，B (1，0)，C (3，2)三点，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，把A ，B ，C 三点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 2－3x ＋2. 能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为(B )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析：当x ＝56时，y ＝5，排除C ，D ；当x ＝57时，y ＝6，排除A.∴只有B 正确．13．任取x 1、x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是(D )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．14．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C x ，x <A ，CA ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是(D )A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16 解析：：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.15．已知函数f (x )，g (x )x 1 2 3 f (x ) 1 3 1x 1 2 3 g (x ) 3 2 1则f (g (1))的值为值是________ 解析：f (g (1))＝f (3)＝1，当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不满足； 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，满足； 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝1，不满足． ∴x ＝2. 答案：1 216．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：x ＜1时，f (x )≥1⇔(x ＋1)2≥1⇔x ≤－2或x ≥0⇔x ≤－2或0≤x ＜1；x ≥1时，f (x )≥1⇔4－x －1≥1⇔x －1≤3⇔x ≤10⇒1≤x ≤10.∴x ≤－2或0≤x ≤10.答案：(－∞，－2]∪[0，10]17．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝x *(2－x )的解析式为f (x )＝________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，2－x ，x ＞1.18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q (t /天 5 15 20 30 Q /件 35 25 20 10(1)根据提供的图象(t 的函数解析式； (2)在所给平面直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解析：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N .(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．∴日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为 Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N )． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N . 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N . 若0＜t ＜25(t ∈N )，则当t ＝10时，y max ＝900； 若25≤t ≤30(t ∈N )，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．。

高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式． 【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题． 例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可． 【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ； 当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果． 【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-， 即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1， 故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥， 令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥， 故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（ ）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]， 所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（ ）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（ ）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭， 后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大， 最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（ ） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（ ）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a， 因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上， 所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（ ） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确； 因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误， 所以正确的有①①①，共3个， 故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -． 故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案 【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =， 当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=， 由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解； 由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =， 所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6， 故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解； 当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==， 则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（ ） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力． 二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556； 当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416， 综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________． 【答案】154． 【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--， 当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅， 可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤， 作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =， 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154． 故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭； （3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立 【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域； （3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+， 当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=， 解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。

2.1.2函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况，能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数，如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图，梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (6，0)，B (4，2)，C (2，2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动，到A 点为止．设直线l 与x 轴的交点为M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x )的解析式、定义域、值域．例3 将函数f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f (x )的值域．2．练习：练习1：课本32页7，9两小题．练习2：（1）画出函数f (x )＝的图象． （2） 若f (x )＝ 求f (－1)，f (0)，f (2)，f (f (－1))，f (f (0))，f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数，试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1，3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图，点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动，试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0) 1－x (x ＜0) A B C D P x y O A BC分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象；含绝对值的函数常与分段函数有关；利用对称变换构造函数的图象．六、作业课堂作业：课本32页3，7，12；课后探究：已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)，试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象．。

第 9 课时函数的周期性【学习目标】经过实例剖析来认识周期和周期函数，要点解决周期函数的定义和, 正弦、余弦函数的周期性。

【问题情境】1. 由单位圆中的三角函数线可知, 正弦 , 余弦函数值的变化体现周期现象: 每当角增添 ( 或减少)2 π整数倍 , 所得角终边与本来同样, 故两角的正弦, 余弦值也分别同样, 即:sin(2k ) sin cos(2k )cos我们称正余弦函数所拥有的这类性质称为周期性，即：若记 f (x) sin x ，则对随意的x R ,都有 f x2 f x问题 : 怎样用数学的语言来刻画函数的周期性?2. 函数周期性的定义:关于函数y=f （ x），假如存在一个不为零的常数T，使适当 x 取定义域的每一个值时，都知足______________________ 那么就把函数y=f （ x）叫做周期函数.正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期T=______________3.思虑： (1) 周期函数的图象有何特点？(2)一个函数的周期有多少个 ?4.最小正周期的观点： _______________________________________________________正弦函数和余弦函数的最小正周期是________最小正周期在图象上的意义：________________________________5 思虑：函数 f ( x)x 2能否为周期函数？假如是，周期是多少？【合作研究】例题 1：若钟摆的高度h(mm)与时间 t(s)之间的函数关系如下图:(1):求该函数的周期(2):求t=11s时钟摆的高度5010 0 90 80 70 60 50 40 30 20 10x2040608010012 014 016 0 -101024例题 2 ：设f(x)是R 上的奇函数， f (x 2) f ( x) .当 x 0,1 时， f ( x) x ，则f (7.5)_________例题 3：求以下函数的周期：（ 1 ） y=3cosx（2）y=sin(x+π/4)+1（3）y=cos2x(4) f ( x) 2sin( 1x) 26（5）y Asin( x), A, , 为常数， A 0， x R【学致使用】1. 求以下函数的周期（直接用结论做）：（1）y 1cosx 2（2）yx 3sin2（3）y cos(2x)3(4) 函数y 2 cos(x) 1 的最小正周期为4π，求32．设 y=f(x)是R上的偶函数，f(x+2)=f(x),且在[-1,0]上为减函数，则f(x)在[2,3]上的单一性是 ____________ 3. 已知 f ( n)cos n, n N , 则 f(1)+f(2)+f(3)++f(2020)=______________44. 已知周期函数 f(x) 是奇函数， 6 是它的一个周期，且 f(-1)=1,则 f(-6)=___, f(-5 ）＝___________f(11）＝ ________.5. 已知周期为 π 的偶函数 f(x),当 0≤x ≤π 时 ,f(x)=sinx,则 f (3) ___________2当2x 时， f ( x) __________6. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x) ，知足 f(x)=f (2-x),求证 :f(x) 是周期函数 .7. 证明 :是函数 f (x) | sin x | | cos x |的周期。

2.1.2 函数的表示方法【学习目标】掌握函数的三种表示方法，理解同一个函数可以用不同的方法表示；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。

【学习重点】掌握函数的三种表示方法；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。

【学习难点】会用待定系数法、换元法求函数的解析式；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用。

一、问题情境1.以下表格是我国1949-1999年人口数据 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1976 1984 1989 1994 1999 人口 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 12462.一物体从静止开始下落，下落的距离y （m ）与下落时间()s x 之间近似关系是29.4x y =。

3.右图是某城市在某一天24小时内的气温变化情况二、新知学习1．函数的三种表示方法；2．三种表示方法各自的特点。

三、例题分析例1．购买某种饮料x 听，所需钱数是y 元。

若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示为x {}()4,3,2,1∈x 的函数，并指出该函数的值域。

例2.求下列函数的解析式（1）已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x f 是二次函数，且满足()()()x x f x f f 21,10=-+=，求()x f 。

小结：例3.（1）已知函数()x f =y 满足()x x 21x f +=+，求()x f ；（2）已知函数()x f =y 满足21x 1-x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，求()x f 。

小结：例4. （1） 的定义域和值域。

（2）。

函数的表示方法1三维目标一、知识与技术1.能娴熟掌握函数的三种不一样表示.2.认识函数不一样表示法的优弊端 .3.认识分段函数及其表示 .4.会求某些函数的分析式 .二、过程与方法1.自主学习，认识函数表示形式的多样性和转变方法.2.研究与活动，理解何时的函数用何种方法表示适合.3.加强动向意识、经过察看、对照、剖析，发展辩证思想能力.三、感情态度与价值观培育学生重要数学思想方法——数形联合与分类议论思想方法，激发学生学习的热忱.教课要点函数的三种不一样表示的互相间转变.教课难点函数的分析式的表示，理解和表示分段函数.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的资料.教课过程一、创建情形，引入新课师：在前方的课中，我们已经初步研究函数的观点和表示方法.今日我们再特意研究函数的表示方法.（板书：函数的表示方法）师：请观察下边三个函数：投影胶片 1（或多媒体系作镜头 1）：预计人口数目变化趋向是我们拟订一系列有关政策的依照.从人口统计年鉴中能够查得我国从1949 年至 1999 年人口数据资料如表所示，你能依据这个表说出我国人口的变化状况吗？1949～ 1999 年我国人口数据表年份人口数 / 百万194954219546031959672196470519698071974909197997519841035198911071994117719991246师：该题是用的什么方法来表示函数的？生：这是一份表格.师：这位同学说得很好.这类用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.投影胶片 2（或多媒体系作镜头2）：一物体从静止开始着落，着落的距离y（ m）与着落时间 x（ s）之间近似地知足关系式2.若一物体着落 2 s，你能求出它着落的距离吗？师：这类用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为分析式法.这个等式往常叫做函数的分析表达式，简称分析式 .投影胶片 3（或多媒体系作镜头3）：y y= f()x ，x∈［ 0， 24］10864246O2810 12 1416 18 20 2224x- 2上图为某市一天24 小时内的气温变化图 .请问：（ 1）上午 6 时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？（2）在什么时辰，气温为 0 ℃？师：这个问题我们用图象表示了时辰与气温的关系，这类用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法 .二、解说新课1.函数的表示法（1）分析法分析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的分析式，简称为分析式，如S=60t2， S=2π rl ， y=ax+b， y=ax2+bx+c（ a≠ 0）等等，都是用分析式法表示的函数关系.分析法有两个长处：一是简洁、全面地归纳了变量间的关系；二是能够经过分析式求出随意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段所研究的主假如能够用分析式表示的函数.（2）图象法图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.图象法的长处是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋向，有益于我们经过图象来研究函数的某些性质 .图象法在生产和生活中有很多应用，如公司生产图，股市走势图等.（ 3）列表法列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.列表法的长处是不需要计算就能够直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实质生产和生活中也有宽泛应用 .如银行利率表、列车时辰表等 .2.例题解说【例 1】教科书 P22例 3.本例介绍了一个能够用三种表示方法来表示的函数.经过这个例子能够达到以下目的：（ 1）让学生领会到三种表示方法各自的长处.而且，本例后的“思虑”为学生比较三种表示方法供给了时机，教课时教师应注意不要让学生错过这个时机.对于“全部的函数能否能用分析法表示”，学生比较难以回答，教课时不如先举一些例子启迪学生，而后再由学生试着举一些例子.（ 2）使学生看到函数的图象能够是一些失散的点，这与学生从前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差异，教课时要考虑到学生的认知基础，重申y=5x（ x∈ R ）是连续的直线，但 y=5 x（ x∈ {1 ， 2， 3 ， 4 ， 5} ）倒是 5个失散的点，由此又让学生看到，函数观点中，对应关系、定义域、值域是一个整体.函数图象既能够是连续的曲线，也能够是直线、折线、失散的点等.本例边框中的问题“判断一个图形能否是函数图象的依照是什么 ?”，应在组织学生议论后获取结论“平行于y 轴的直线（或 y 轴）与图形至多一个交点” .【例 2】教科书 P23例 4.本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的各次考试成绩及各次考试的班级平均分 .由表格划分三位同学的成绩高低不直观，因此教科书选择了图象法表示 .教课时要培育学生依据实质需要选择适合的函数表示法的能力.要注意的是， 图中的虚线不是函数图象的构成部分，之因此用虚线连结散点，主假如为了划分这三个函数，而且让三个函数的图象拥有整体性，以方便比较 .教课时应指引学生观察图象，学习怎样从图象上获取实用信息，为剖析每位同学的学习状况供给依照.【例 3】 教科书 P 24 例 5.本例的主要目的有两个：一是让学生进一步领会数形联合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备 .【例 4】 教科书 P 24 例 6. 本例的主要目的有以下几点：（ 1）让学生试试用数学表达式去表达实质问题； （ 2）学习分段函数及其表示；（ 3）注意在数学模型中全面反应问题的实质意义；（ 4）让学生依据这个例题的边框要求，自行设计随意两站之间的票价表以方便售票员与乘客，领会在不一样情境中使用适合的函数表示法.由上述例 3 和例 4 归纳出分段函数的观点以下：2.分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不一样取值范围，对应关系不一样，这样的函数往常称为分段函数 .实质生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数 .【例 5】 求以下函数的分析式：（ 1）已知 f （ x ）是二次函数，且 f （ 0） =2，f （ x+1 ）－ f （ x ） =x －1，求 f （ x ）；（ 2）已知 f （ x +1）=x+2 x ，求 f （ x ），f （ x+1）， f （ x 2）；（ 3）已知 f （x 1x 2 1 1，求 f （x ）；x） =+xx 2（ 4）已知 3f （ x ） +2f （－ x ） =x+3，求 f （ x ） .方法指引：（ 1）由已知 f （ x ）是二次函数，因此可设 f （ x ）=ax 2+bx+c （a ≠ 0）想法求出 a 、b 、c 即可 .（ 2）若能将 x+2 x 适合变形，用 x +1 的式子表示就好办了 .（ 3）视x1为一整体不如设为 t ，而后用 t 表示 x ，代入原表达式求解 .x（ 4） x 、－ x 同时使得 f （ x ）存心义，用－解：（ 1）设 f （ x ） =ax 2+bx+c （ a ≠ 0），由x 代 x 成立对于 f （ x ）、 f （－ x ）的两个方程就好了 .f （ 0） =2，得 c=2.由 f （ x+1 ）－ f （x ） =x － 1，得恒等式 2ax+a+b=x － 1，得 a= 1 ， b=－ 3.故所求函数的表达式为f （ x ）2 2= 1x 2－ 3x+2.22（ 2）∵ f （ x +1 ） =x+2 x =（x ） 2+2 x +1－1=（x +1 ）2－ 1，又∵x ≥ 0， x +1≥1，∴ f （ x ） =x 2－ 1（ x ≥ 1） .（ 3）设x1=t，则 x=1， t ≠1.x t1则 f（ t） =f（x1 ）= x 21+1=1+1+1=1+ （ t－ 1）2+（t －1） =t2－t+1. x x 2x x2x∴f（ x） =x2－ x+1（ x≠ 1）.（ 4）∵ 3f（ x） +2f（－ x）=x+3 ，x 用－ x 代得 3f（－ x）+2f（ x） =－ x+3.①②解①②得f（ x） =x+ 3.5方法技巧：求函数分析式常有的题型有：（1）分析式种类已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意一般式〔 y=ax2+bx+c （a≠ 0）〕，极点式〔 y=a（ x－ h）2+k〕和标根式〔 y=a（x－ x1）（ x－ x2）〕的选择 .（ 2）已知 f［ g（ x）］求 f（ x）型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法.如本例（ 2）、（ 3） .（ 3）函数方程问题，需成立对于 f（x）的方程组，如本例（ 4）.若函数方程中同时出现f（ x）、f（1），x则一般 x 用1代之，结构另一方程 . x特别要指出的是，求函数分析式均应严格考虑函数的定义域.三、讲堂练习教科书 P27练习题 1， 2， 3.答案： 1.y=x 2 500 x2（ 0＜ x＜ 50)，图象以下 .y140012001000800600400200O102030405060x2.（ 1）题与 D 图，（2）题与 A 图，（ 3）题与 B 图符合得最好，剩下与 C 图符合的一件事可能为：我出发后感觉时间较紧，因此加快行进，以后发现时间还很丰裕，于是放慢了速度.3.y321O1234x四、讲堂小结1.本节学习的数学知识：函数的表示法、分段函数、函数分析式的求法.2.本节学习的数学方法：定义法、换元法、待定系数法、数形联合与分类议论的思想方法.五、部署作业板书设计函数的表示法（1）1.函数的表示法（1）分析法（2）图象法（3）列表法例 1例 2例 3例 42.分段函数例 5讲堂练习讲堂小结。

课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例1】 已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥+.012,012x x x x(1)求f(1),f(-2),f(a 2+1),f ［f(0)］的值；（2）画出f(x)的图象.思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2×（-2）+1=-3，f(a 2+1)=(a 2+1)2+1=a 4+2a 2+2,f ［f(0)］=f(1)=12+1=2.(2)f(x)的图象如下图所示.温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.（2）f ［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f ”这个对应法则，求f ［f(x 0)］的值应从里向外求.二、求函数解析式【例2】 （1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；（2）已知f(x +4）=x+8x ,求f(x 2).思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x 2).解析：（1）∵f(x)是二次函数，设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).由f(0)=1得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x.左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.由恒等式原理知⎩⎨⎧=+=,0,22b a a ∴⎩⎨⎧-==.1,1b a ∴f(x)=x 2-x+1. (2)设t=x +4.∴x =t-4(t ≥4).由f(x +4)=x+8x 可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t 2-16(t ≥4）.∴f(x)=x2-16(x≥4）.∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2）.温馨提示在（2）中求f(x2)，千万不能直接代入f(x+4)=x+8x，得f(x2)=x2+8|x|，这是没明白x2与x+4有同等地位，都执行“f”这个对应法则导致的.三、利用分段函数解决实际问题【例3】在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x克（0<x≤100)的信应付多少分邮资？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.解析：设每封信的邮资为y，则y是信件重量x的函数.这个函数关系的表达式为f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈],100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80xxxxx函数值域为{80，160，240，320，400}.在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.温馨提示用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x和函数y的取值是否具有实际意义.各个击破类题演练1已知函数y=f(x),f(0)=1，且当n∈N*时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).解析：f(0)=1；f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；变式提升1已知x∈N*,f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5xxfxx则f(3)=__________.解析:∵f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5xxfxx∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.答案：2类题演练 2(2004湖北卷高考理，3)已知f(x x +-11)=2211x x +-，则f(x)的解析式可取为（ ） A.21x x + B.-212x x + C.212x x + D.-21x x + 解析：设x x +-11=t ，则x=tt +-11. ∴f(t)=)11(1)11(12tt t t +-++--=2224t t +=212t t + 即f(x)=212x x +，故选C. 答案：C变式提升 2已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ(31)=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式. 解析：设f(x)=k 1x,g(x)=x k 2,则φ(x)=k 1x+xk 2, ∵φ（31）=16，φ(1)=8, ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,8,33162121k k k k 解得⎩⎨⎧==,5,321k k ∴φ（x ）=3x+x5. 类题演练 3某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y ，所走千米数设为x ，试写出y=f(x)的表示式.解析：当0<x ≤4，y=10.当4<x ≤20时，y=10+(x-4)×2=2x+2.当x>20时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.综上所述，y 与x 的函数关系为y=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<).20(22.2),204(22),40(10x x x x x变式提升 3如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BC、CD、DA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解析：函数定义域为（0，12）.当0<x≤4时，S=f(x)=21×4×x=2x；当4<x≤8时，S=f(x)=8；当8<x<12时，S=f(x)=21×4×(12-x)=24-2x,∴函数解析式为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈].12,8(224],8,4(8(0,4],x2xxxx（2）作出f(x)的图象（下图）.由图象看出［f(x)］max=8.。