2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用 2-4a Word版含解析

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 对于⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516B.89 C ．－2716 D ．18 答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2 答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝15t15(t >0)，∴f (t )＝lg t15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎨⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a C ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2 答案 A 解析⎩⎨⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a2≤x ≤1－a 2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝x ＋4x D ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x 2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a，。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72答案 B解析 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.故选B.2．(2017·武汉调研)若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)答案 B解析 ∵f (x )＝ax ＋1在R 上递减，∴a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a . ∵a <0，∴在(－∞，2)上g (x )递增．故选B.3．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞) 答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2×2－3)＝log a 5，∴y ＝log a 5>0，∴a >1.由复合函数单调性知，单调递减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3.故选A. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值，∴a >0.∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．故选A.5．(2018·太原模拟)已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6) 答案 B解析 ∵f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．∴f (－0.5)＝f (0.5)．又∵f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1)上是增函数，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)．故选B.6．(2018·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.故选C.7．(2018·天津质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )为R 上的减函数，∴由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1>f (1)得1x －1<1.解得x <1或x >2.∴x 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．故选D.8．已知a >0，设函数f (x )＝2018x ＋1＋20102018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2018B ．2019C ．4028D ．4027 答案 C解析 由题意得f (x )＝2018x ＋1＋20102018x ＋1＝2018－82018x ＋1.∵y ＝2018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， ∴f (x )＝2018－82018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4036－82018a ＋1－82018－a ＋1＝4028.故选C.9．(2017·集宁期末)函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 ∵当a ＝0时，f (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，故a ＝0舍去，∴a ≠0，此时f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2，又因为y ＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 而函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，∴1－2a <0，即a >12.故选B.10．(2018·山西联考)若函数f (x )＝log 0.2(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递减，且b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 D解析 f (x )定义域为{x |－1<x <5}，令u ＝5＋4x －x 2，y ＝log 0.2u ，u (x )在(－1,2)上单调增，且y ＝log 0.2u 为单调减函数，由复合函数单调性知f (x )在(－1,2)上为减函数，(a －1，a ＋1)⊆(－1,2)即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤2，a －1≥－1⇒0≤a ≤1，又由于b ＝lg 0.2<0，所以a >b ，c ＝20.2>20＝1，c >a >b .故选D.二、填空题11．(2017·山东济宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，0<a <1，log a 2≤(a －1)×2－2a⇒22≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.12．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝－x ＋m ＋e x 的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．答案 －1解析 由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x 保值区间为[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x ≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.13．(2017·济南期中)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，16]解析 ∵函数f (x )＝x 2＋ax 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立，∴a ≤2×23＝16.∴实数a 的取值范围为(－∞，16]．14．(2018·濮阳模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． 答案 ②③④解析 对于①，若f (x )＝x 2，则f (x 1)＝f (x 2)时x 1＝x 2，或x 1＝－x 2，故①错误；对于②，f (x )＝2x 是R 上的增函数，当f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，故②正确；对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；对于④，假若f (x 1)＝f (x 2)时，有x 1≠x 2，这与单调函数矛盾，故④正确．三、解答题15．(2017·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解 (1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0， ∴f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 16．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ， 设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意，a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.∵1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1， ∴2－1x 1x 2>0，∴h (x 1)<h (x 2)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3].。

2．4　二次函数与幂函数[知识梳理]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质[诊断自测]1．概念思辨(1)当α<0时，幂函数y ＝x α是定义域上的减函数．( )(2)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是Error!( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是.( )4ac －b 24a (4)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 44T 9)函数y ＝(x 2－3x ＋10)－1的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(5，＋∞)C. D.(－∞，32)(32，＋∞)答案　C解析　由于x 2－3x ＋10>0恒成立，即函数的定义域为(－∞，＋∞)．设t ＝x 2－3x －10，则y ＝t －1是(0，＋∞)上的减函数，根据复合函数单调性的性质，要求函数y ＝(x 2－3x ＋10)－1的递增区间，即求t ＝x 2－3x ＋10的单调递减区间，∵t ＝x 2－3x ＋10的单调递减区间是，(－∞，32)∴所求函数的递增区间为.故选C.(－∞，32)(2)(必修A1P 78探究)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c答案　B解析　幂函数a ＝2，b ＝，c ＝－，d ＝－1的图象，正好和题1213目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.3．小题热身(1)(2017·济南诊断)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点，则(12，22)k ＋α＝( )A. B ．1 C. D ．21232答案　C解析　由幂函数的定义知k ＝1.又f ＝，所以α＝，解(12)22(12)22得α＝，从而k ＋α＝.故选C.1232(2)函数f (x )＝x 2－ax －a 在[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2答案　B解析　解法一：(分类讨论)当对称轴x ＝≤1，即a ≤2时，f (x )a 2max ＝f (2)＝4－3a ＝1，解得a ＝1符合题意；当a >2时，f (x )max ＝f (0)＝－a ＝1，解得a ＝－1(舍去)．综上所述，实数a ＝1，故选B.解法二：(代入法)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x ＋1在[0,2]上的最大值为f (2)＝7≠1，排除A ；当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －1在[0,2]上的最大值为f (2)＝1，B 正确；当a ＝－2时，f (x )＝x 2＋2x ＋2在[0,2]上的最大值为f (2)＝10≠1，排除C ；当a ＝2时，f (x )＝x 2－2x －2在[0,2]上的最大值为f (0)＝f (2)＝－2≠1，排除D ，故选B.题型1　幂函数的图象与性质 (2017·长沙模拟)已知函数f (x )＝x ，则( )典例1 A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得<0f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)使得f (x 1)>f (x 2)根据幂函数性质逐项验证．答案　B解析　由函数f (x )＝x ，知：在A 中，f (x )≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0，故B 正确；在C 中，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，都有>0，故C 错误；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2在D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)使得f (x 1)>f (x 2)，故D 不成立．故选B.典例2 (2018·荣城检测)已知函数f(x)＝Error!若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．用数形结合法．答案　(0,1)解析　作出函数y＝f(x)的图象如图．则当0<k<1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根．方法技巧在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数，对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．见典例2.冲关针对训练1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )答案　D解析　因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错误；在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错误；在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错误；在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.m2－2m－32．幂函数y＝x(m∈Z)的图象如图所示，则实数m 的值为( )A．－1<m<3 B．0C．1 D．2答案　C解析　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数，∴m＝1.故选C.题型2　求二次函数的解析式典例 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．用待定系数法求解．解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得Error!解得Error!∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[条件探究]　若本例条件变为：已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解　∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.方法技巧求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：冲关针对训练　1．(2018·辽宁期末)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( )A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2答案　D解析　函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 的对称轴为x ＝a ，图象开口向下，①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1；②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝或a ＝，1＋521－52∵0<a ≤1，∴两个值都不满足；③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.故选D.2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足①不等式f (x )＋2x >0的解集为{x |1<x <3}，②方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根，试确定f (x )的解析式．解　因为f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－.由于a <0，舍去a ＝1.15所以f (x )＝－x 2－x －.156535 题型3　二次函数的图象与性质角度1　二次函数图象的识别 不等式ax 2－x ＋c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数 典例y ＝ax 2＋x ＋c 的图象大致为( )根据二次函数图形及根与系数的关系逐项排除．答案　C解析　由不等式ax 2－x ＋c >0的解集为{x |－2<x <1}可得a <0，且方程ax 2－x ＋c ＝0的两个实数根分别为－2,1，故－2＋1＝，－2×1＝，解得a ＝－1，c ＝2，故函数1a c a y ＝ax 2＋x ＋c ＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，其图象大致为C.故选C.角度2　二次函数的最值问题 已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2) 典例x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16用数形结合法．答案　C解析　令f (x )＝g (x )，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.f (x )与g (x )的图象如图．由图象及H 1(x )的定义知H 1(x )的最小值是f (a ＋2)，H 2(x )的最大值为g (a －2)，∴A －B ＝f (a ＋2)－g (a －2)＝(a ＋2)2－2(a ＋2)2＋a 2＋(a －2)2－2(a －2)2＋a 2－8＝－16.故选C.角度3　二次函数中的恒成立问题 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .典例(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．用转化法．解　(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，b2a 单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.角度4　二次函数的零点问题 已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )．典例(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．用数形结合法．解　(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得Error!即Error!所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则Error!⇒<b <，1557即实数b 的取值范围为.(15，57)方法技巧1．识别二次函数图象的策略解答二次函数的图象问题应从开口方向、对称轴、顶点坐标及图象与坐标轴的交点在坐标系上的位置等方面着手讨论或逐项排除．见角度1典例．2．二次函数在闭区间上的最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．3．二次不等式恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路；一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .见角度3典例．4．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．冲关针对训练1．(2018·陕西模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．(1,3)C ．[2－，2＋]D ．(2－，2＋)2222答案　D解析　函数f (x )＝e x －1的值域为(－1，＋∞)，g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞，1]，若存在f (a )＝g (b )，则需g (b )>－1，－b 2＋4b －3>－1，所以b 2－4b ＋2<0，所以2－<b <2＋.22故选D.2．(2017·南京模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．答案　－214解析　∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，∴Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，∴b ＝－.a 24∵关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m －4，m ＋1)，∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，即方程－x 2＋ax －＝c －1两根分别为m －4，m ＋1，a 24∵方程－x 2＋ax －＝c －1根为x ＝±，a 24a21－c ∴两根之差为2＝(m ＋1)－(m －4)＝5，1－c c ＝－.2141.(2017·昆明质检)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为，则m 的取值范围是( )[－254，－4]A ．[0,4] B.[32，4]C. D.[32，＋∞)[32，3]答案　D 解析　二次函数图象的对称轴为x ＝，且f ＝－，f (3)＝f (0)32(32)254＝－4，由图得m ∈.故选D.[32，3]2．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案　B解法一：解析　设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与212最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.221∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B.3．(2018·枣庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．答案　(－1,0)解析　函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1,0)．4．(2018·皖南模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.答案　365解析　设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，即g (5)＝0，可以解得k ＝(经检验满足题意)．365 [基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·江西九江七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x 在(0，＋∞)上为增函数，则m 的m2－6m ＋8值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案　B解析　由题意知m 2－4m ＋4＝1且m 2－6m ＋8>0⇒m ＝1，故选B.2．(2018·吉林期末)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－B ．a ≥－1414C ．－≤a <0D ．－≤a ≤01414答案　D解析　①当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3为一次函数，是递增函数；②当a >0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；③当a <0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－≥4，1a 解得a ≥－，又a <0，故－≤a <0.1414综合得－≤a ≤0.故选D.143．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)答案　D解析　由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )图象关于x ＝对称，又抛物线开12口向上，结合图象可知f (0)<f (2)<f (－2)．故选D.4．(2018·聊城检测)若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－x 2－x －1B ．f (x )＝－x 2＋x －1C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案　D解析　设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得Error!故Error!解得Error!则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.5．(2018·雅安诊断)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③答案　B解析　因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－＝－1,2a －b ＝0，②错b2a 误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1，知b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.6．(2018·济宁模拟)设函数f (x )＝Error!若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案　D解析　由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝Error!又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．故选D.7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案　C解析　由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图象在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.故选C.8．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >3答案　B解析　f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．记g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，由题意可得Error!即Error!解得x <1或x >3.故选B.9．(2018·吉林松原月考)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( )A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)＞0D ．f (m ＋1)＜0答案　C解析　∵f (x )的对称轴为x ＝－，f (0)＝a ＞0，∴f (x )的大致图象12如图所示．由f (m )＜0，f (－1)＝f (0)＝a >0，得－1＜m ＜0，∴m ＋1＞0，又∵x >－时f (x )单调递增，∴f (m ＋1)＞f (0)＞0.1210．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则x i ＝( )∑m i ＝1A ．0 B ．m C ．2m D ．4m答案　B解析　由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 1＋xm 2x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又x i ＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以∑m i ＝12x i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以x i ＝m .∑m i ＝1∑m i ＝1故选B.二、填空题11．(2017·湖北孝感模拟)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，若y ＝f (x )在区间内有零点，则实数a 的取值范围为________．[－12，12]答案　(－∞，0]解析　由f (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，可得a ＝－＋＝－2＋1.1x 22x (1x －1)若f (x )在内有零点，则f (x )＝0在区间内有解，[－12，12][－12，12]当－≤x <0或0<x ≤时，可得a ＝－＋≤0.所以实数a 的取值范12121x 22x 围为(－∞，0]．12．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案　(－12，4)解析　因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：Error!或Error!或Error!解得a ∈∅或1≤a ＜4或－<a <1，所以a 的取值范围为12.(－12，4)13．(2017·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤，则f (a )≤f (c )；④f (a )a ＋c 2a ＋c 2＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案　①②③解析　f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min ＝f .当b ＝时，＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，②正确；(a ＋b ＋c 3)a ＋c 2a ＋b ＋c 3f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )·(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝Error!设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案　(1－316，0)解析　函数f (x )＝Error!的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－2＋，得顶点坐标为.当y ＝时，(x －12)14(12，14)14代入y ＝2x 2－x ，得＝2x 2－x ，解得x ＝(舍去正值)，∴x 1∈141－34.(1－34，0)又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝，12∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<2＝.(x 2＋x 32)14又∵0<－x 1<，∴0<－x 1x 2x 3<，3－143－116∴<x 1x 2x 3<0.1－316三、解答题15．(2018·中山月考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>2－tx 在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范(1π)围．解　(1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，∴方程组Error!有且只有一解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实根．∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1，∴2a ＝1，∴a ＝.12∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2＋x .12(2)∵π>1，∴πf (x )>2－tx 等价于f (x )>tx －2.(1π)∵x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －12<0在|t |≤2时恒成立，(12x 2＋x ＋2)∴Error!即Error!解得x <－3－或x >－3＋.55∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)．5516．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝Error!求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解　(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－＝－1，b2a 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝Error!∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤－x 且b ≥－－x 在(0,1]上恒成立．1x 1x 又－x 的最小值为0，－－x 的最大值为－2.1x 1x ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．故选D.2．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( )A ．[4,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132 D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C 解析4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )答案 B解析 函数y ＝2xln |x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f (－x )＝－2x ln |x |＝－2xln |x |＝－f (x )，∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B.5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析 解法一：函数f (x )的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝11＋x＋11－x＝21－x2>0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－x －1. ∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．(2018·包头模拟)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x )＝x 2－ax －a 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x )>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x )min ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，故选B.7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b 答案 B解析 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a ，故选B.8．(2017·广东模拟)已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质监)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92 答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e xe －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝ln e xe －x＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b )＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是________．答案 [22，＋∞)解析 画出y ＝|lg x |的图象如图： ∵0<a <b ，且f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |且0<a <1，b >1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2. 当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 答案 －14解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f (x )min ＝－14.13．(2017·山西质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m ＝________.答案 9解析 ∵f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，∴m <1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9.若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意．三、解答题15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解16．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解11。

2.7函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．(2)对称变换①y ＝f (x )――――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|；②y ＝f (x )――――――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )y ＝f (ax )；②y ＝f (x )――――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． 3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称． (3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( ) (3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A1P75T10)函数y＝lg |x－1|的图象大致为()答案 B解析y＝lg |x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.(2)(必修A1P113B组T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD 是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x ＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()答案 C解析由函数的图象可知，－1<b<0，a>1，则g(x)＝a x＋b为增函数，当x＝0时，y＝1＋b>0，且过定点(0，1＋b)．故选C.题型1函数图象的画法典例1作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.运用对称变换、翻折变换、平移变换等图象变换法．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2 (2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．翻折法作图象，再结合图象解决问题．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)． 故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝10lg 1x ＝1x .故y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例 (2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |x B ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x根据函数的奇偶性、单调性判断．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例 (2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )根据函数的单调性，某点处的函数值正负等判断．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x，f ′(x )＝4x －e x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D.角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x 的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为()用特殊值法，排除法．答案 C解析如图所示，过点M作OP的垂线，垂足为D.当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C. 方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位置；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．2．由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合．故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x 答案 C解析 A 中，∵y ＝2x －x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x 2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x －x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，当x >0时，y ＝2x sin x 4x ＋1有无数个零点，与图象不符合；D 中，y ＝xln x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.题型3函数图象的应用角度1利用函数图象求解不等式(多维探究)典例(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．答案 C解析作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示．其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．故选C.[条件探究]若本典例中条件变为：关于x的不等式f(x)≥log2(x＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例 (2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8函数的零点转化为两函数的交点，再利用数形结合求解．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点．故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x ＋5的图象的交点个数为()A．3 B．2C．1 D．0答案 B解析 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(2，＋∞)答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)．故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D. 3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C ，D 重合时，易求得P A ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得P A ＋PB ＝2P A ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A.故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D 解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0.故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D.故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6， 故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4.故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与 y ＝k 的图象，如图所示： 由图可知k ∈(0,1]．故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x ·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x 是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A ，B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由f (x )＝x cos x ，得 f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B ，D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝11－x 与y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝－1x －1的对称中心是(1,0)，也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2.故选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f(x)对任意实数x满足f(x)＝－f(x＋1)，且当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，若关于x的方程f(x)＝kx有3个不同的实数根，则k的取值范围是________．答案(5－26，1)∪{－3＋22}解析因f(x)＝－f(x＋1)，故f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，画出函数y＝f(x)，x∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f(x)＝－f(x＋1)及周期性，画出函数y＝f(x)的图象如图，易知仅当直线y＝kx位于l1与l2之间(不包括l1，l2)或与l3重合时满足题意，对y＝x(1－x)求导得y′＝1－2x，y′|x＝0＝1，∴l2的斜率为1.以下求l3的斜率：当1≤x≤2时，易得f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)[1－(x－1)]＝x2－3x＋2，令x2－3x＋2－kx＝0，得x2－(3＋k)x＋2＝0，令Δ＝(3＋k)2－8＝0，解得k＝－3±22，由此易知l3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x≤3时，f(x)＝－x2＋5x－6，可得l1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k<1或k＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·江西九江七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x m 2－6m ＋8 在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 答案 B解析 由题意知m 2－4m ＋4＝1且m 2－6m ＋8>0⇒m ＝1，故选B.2．(2018·吉林期末)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14 B ．a ≥－14 C ．－14≤a <0 D ．－14≤a ≤0答案 D解析 ①当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3为一次函数，是递增函数； ②当a >0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；③当a <0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－1a ≥4，解得a ≥－14，又a <0，故－14≤a <0.综合得－14≤a ≤0.故选D.3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)答案 D解析 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f (0)<f (2)<f (－2)．故选D.4．(2018·聊城检测)若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－x 2－x －1B ．f (x )＝－x 2＋x －1C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎨⎧c ＝1，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.5．(2018·雅安诊断)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③ 答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1，知b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.6．(2018·济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3 答案 D解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4. f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2(x ≤0)，2(x >0).又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．故选D.7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图象在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.故选C.8．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >3答案 B解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．记g (a )＝(x －2)a ＋(x2－4x ＋4)，由题意可得⎩⎨⎧g (－1)>0，g (1)>0，即⎩⎨⎧g (－1)＝x 2－5x ＋6>0，g (1)＝x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B.9．(2018·吉林松原月考)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( )A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)＞0D ．f (m ＋1)＜0答案 C解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a ＞0，∴f (x )的大致图象如图所示．由f (m )＜0，f (－1)＝f (0)＝a >0，得－1＜m ＜0，∴m ＋1＞0，又∵x >－12时f (x )单调递增，∴f (m ＋1)＞f (0)＞0. 10．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m－1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又∑mi ＝1x i ＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以2∑mi ＝1x i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑mi ＝1x i ＝m .故选B.二、填空题11．(2017·湖北孝感模拟)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，若y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，0]解析 由f (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，可得a ＝－1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1.若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，则f (x )＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有解，当－12≤x <0或0<x ≤12时，可得a ＝－1x 2＋2x ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．12．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4解析 因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4， 对称轴x ＝－(a －2)， 对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：⎩⎨⎧－(a －2)<－3，f (－3)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－(a －2)≤1，Δ<0或⎩⎨⎧－(a －2)>1，f (1)>0，解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12<a <1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－12，4.13．(2017·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c 2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c 3.当b ＝a ＋c 2时，a ＋b ＋c 3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )·(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0解析函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3. 由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 322＝14. 又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116， ∴1－316<x 1x 2x 3<0. 三、解答题15．(2018·中山月考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式； (2)若不等式πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2－tx在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，∴方程组⎩⎨⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x ，有且只有一解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实根． ∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1，∴2a ＝1，∴a ＝12. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝12x 2＋x . (2)∵π>1，∴πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2－tx 等价于f (x )>tx －2. ∵12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2<0在|t |≤2时恒成立， ∴⎩⎨⎧g (2)<0，g (－2)<0，即⎩⎨⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0.解得x <－3－5或x >－3＋ 5.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)． 16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。

[基础送分提速狂刷练] 一、选择题1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是()A.1ln 10B．ln 10 C．ln e D.1 ln e答案 A解析因为y′＝1x·ln 10，所以y′|x＝1＝1ln 10，即切线的斜率为1ln 10.故选A.2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值答案 C解析由于f′(x)≥0⇒函数f(x)单调递增；f′(x)≤0⇒函数f(x)单调递减，观察f′(x)的图象可知，当x∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；当x∈(1,3)时，函数先增后减，故B错误；当x∈(4,5)时函数递增，故C正确；由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误．故选C.3．(2018·上城区模拟)函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的函数图象可能是( )答案 B解析 由图可得－1<f ′(x )<1，切线的斜率k ∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢．∴结合选项可知选项B 符合．4．(2018·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.5．(2018·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x－e －x－3x ⎝⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.6．(2017·山西名校联考)若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋x 2C ．f (x )＝1＋sin2xD ．f (x )＝e x ＋x答案 C解析 A 选项中，f ′(x )＝－3sin x ，其图象不关于y 轴对称，排除A ；B 选项中，f ′(x )＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13，排除B ；C 选项中，f ′(x )＝2cos2x ，其图象关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x )＝e x ＋1，其图象不关于y 轴对称．故选C.7．(2018·河南郑州质检二)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.故选B.8．(2017·辽宁五校联考)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132 答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.故选C.9．(2017·青山区月考)函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 由导函数的图象和y ＝f (x )的图象过原点，设f (x )＝ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，由图得a >0，b >0，则－b2a <0，4ac －b 24a ＝－b 24a <0，则函数f (x )＝ax 2＋bx 图象的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 24a 在第三象限，故选C.10．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164 答案 C解析 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0,0)是切点时，则k ＝f ′(0)＝2，直线l 方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2－2x ＋a ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋ 2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②解得x 0＝32(x 0＝0舍)， 即k ＝－14，则直线l 方程为y ＝－14x .由⎩⎨⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，联立得x 2＋14x ＋a ＝0，由Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164，综上，a ＝1或a ＝164，故选C. 二、填空题11．(2017·临川区三模)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是________．答案 －34解析 求导得：f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，即3cos x ＝sin x ，∴tan x ＝3，则tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝61－9＝－34.12．设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋ae x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为 ________．答案 ln 2解析 函数f (x )＝e x＋a e x 的导函数是f ′(x )＝e x－a e x .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x －ae x ＝－(e －x －a e x )，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x－1e x .令e x－1e x ＝32，解得e x ＝2或e x ＝－12(舍去)，所以x ＝ln 2.13．(2018·金版创新)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12，则不等式f (x )＜x ＋12的解集为________．答案 (－∞，1)解析 据已知f ′(x )＞12，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－12x ′＝f ′(x )－12＞0，即函数F (x )＝f (x )－12x 在R 上为单调递增函数，又由f (1)＝1可得F (1)＝12，故f (x )＜1＋x 2＝12＋12x ，化简得f (x )－12x ＜12，即F (x )＜F (1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)．14．(2017·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由题意知对任意实数x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则函数y ＝1e x ＋1的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a＋2]，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题15．(2017·云南大理月考)设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点 (2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.16．(2018·福建四地联考)已知函数f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5. (1)求函数f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程；(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2，易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132.∴f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程是y －132＝ 2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0.(2)令f (x )＝2x ＋m ，即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ，得13x 3－32x 2＋5＝m ，设g (x )＝13x 3－32x 2＋5，∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点， ∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点， 易得g ′(x )＝x 2－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3， 当x <0或x >3时，g ′(x )>0， 当0<x <3时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g (0)＝5，g (3)＝12，即g (x )极大值＝5， g (x )极小值＝12，∴可画出如图所示的函数g (x ) 的大致图象，∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B 解析 当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2 答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R上的偶函数f(x－2)，当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2(e为自然对数的底数)，若存在k∈Z，使方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k的取值集合是()A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}答案 D解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f (0)＝3， ∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )． 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a >0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎨⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎨⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1.三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．11 解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ， 由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5] ， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。