最新-湖南省雅礼中学2018届高三年级第三次月考物理试题 精品

高三月考试卷（一）物 理雅礼中学高三物理备课组组稿命题人：吴朝辉 审题人：程悦康时量：90分钟 满分：100分（考试范围：力→曲线运动）第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本题共10小题，第不止题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项，有的小题只有一项符合题目要求，有的小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有错选或不答的得0分，请将答案填涂在答题卡上）1．下列关于超重、失重现象的描述中，正确的是（ BD ）A ．电梯正在上升，人在电梯中一定处于超重状态B ．在国际空间站内的宇航员处于完全失重状态C ．列车在水平轨道上加速行驶，车上的人处于超重状态D ．荡秋千时当秋千摆到最低位置时，人处于超重状态2．如图所示，质量均为m 的物体A 和B 通过一劲度系数为k 的轻弹簧相连，B 放在地面上，开始时AB 都处于静止状态。

若通过细绳缓慢地将A 向上提升，B 刚要离开地面时，A 上升的距离为L 1；若通过细绳将A 加速向提升，B 刚要离要时，A 上升的距离的L 2. 假设弹簧一直在弹性限度内,则（ B ）A. L 1＝L 2＝k mg B. L 1＝L 2＝k mg 2 C. L 1＝k mg , L 2＜L 1 D. L 1＝kmg 2,L 2＜L 1 3.甲、乙两球队位于同一竖直直线上的不同高度，甲比乙高，将甲、乙两球分别发大小为v 1和v 2的初速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列情况中有可能使两球相遇的是（ D ）A ．同时抛出，且v 1＜v 2 B. 甲迟抛出，且v 1＜v 2C ．甲早抛出，且v 1＞v 2D ．甲早抛出，且v 1＜v 24.如图所示，在斜面上有两个物体A 、B 靠在一起往下滑，对于A 的受力情况，下列说法正确的是（ BCD ）A.若斜面光滑,并设物体A、B的质量分别为m A、m B，且m B＞m A,则物体A受三个力B.若斜面光滑，则物体A只受两个力C.若物体A、B与斜面间有摩擦且动摩擦因数相同，则物体A只受三个力D.若物体A、B与斜面间有摩擦，则A可能受四个力5．如图所示，在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。

湖南师大附中2018—2018学年度高三年级第三次月考物理试卷一、选择题（每小题至少有一个选项正确，4′×14=56′）1．下列所描述的运动中可能的情况有（）A．速度变化很大，加速度很小B．速度变化越来越快，加速度越来越小C．速度变化方向为正，加速度方向为负D．速度为零时，加速度不为零2．关于力和运动，下列说法中正确的是（）A．如果物体运动，它一定受到力的作用B．力是使物体做变速运动的原因C．力是使物体具有动能的原因D．力只能改变速度的大小3．质量为M的木块位于粗糙水平桌面上，若用大小为F的水平恒力拉木块，其加速度为a，当拉力方向不变，大小变为2F时，木块的加速度为a′，则（）A．a′=a B．a′＜2a C．a′＞2a D．a′=2a4．飞机以150m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A物落下，1S后又让B物落下，不计空气阻力，在以后的运动中，关于A、B两物的相对关系的说法，正确的是（）A．A球在B球的前下方B．A球在B球的后下方C．A球在B球的正下方5m处D．以上说法都不对5．当物体克服重力做功时，下列说法正确的是（）A．重力势能一定减少，机械能可能不变B．重力势能一定增加，机械能一定增加C．重力势能一定减少，机械能可能减少D．重力势能一定增加，机械能可能不变6．有一种叫做“蹦极跳”的运动中，质量为m的游戏者身系一根长为L，弹性优良的轻质柔软橡皮绳，从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则下说法正确的是（）A．速度先增大后减小B．加速度先减小后增大C．动能增加了mgL D．重力热能减少了mgL7．有关力的下述说法中正确的是（）A．合力必大于分力B．运动物体所受摩擦力一定和它的运动方向相反C．物体受摩擦力时，一定受弹力，而且这两力的方向一定相互垂直D．处于完全失重状态下的物体不受重力作用8．如图，皮带传动装置的右轮半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在转动过程中，皮带不打滑，则 （ ）A ．a 点和b 点线速度相等B ．a 点和b 点角速度相等C ．a 点和c 点周期相等D ．a 点和d 点的向心加速度大小相等9．在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R ，地面上 的重力加速度为g ，则（ ）A ．卫星运动的速度为gR 2B ．卫星运动的周期为g R /24πC ．卫星运动的加速度为g/2D ．卫星的动能为mgR/210．质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度V 0沿水平方向射入木块中，并最终留在木块内与木块一起以速度V 运动，已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离为L ，子弹进入木块的深度为S ，若木块对子弹的阻力F 视为恒定，则下列关系式中正确的是（ ）A ．221MV FL =B ．221mV FS =C ．220)(2121V m M mV FS +-=D ．2202121)(mV mV S L F -=+11．若航天飞机在一段时间内保持绕地心做匀速圆周运动，则（ ）A ．它的速度大小不变，动量也不变B ．它的动能不变，引力势能也不变C ．它的速度不变，加速度为零D ．它不断地克服地球对它的万有引力做功12．在一段半径为R 的圆弧形水平弯道上，已知地面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍（μ＜1)，则汽车拐弯时的安全速度是（ ）A ．gR v μ≤B ．μgRv ≤C ．gR v μ2≤D ．gR v ≤13．一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中， 升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（ ） A ．升降机的速度不断减小 B ．升降机的加速度不断变大C ．先是弹力的负功小于重力做的正功，然后是弹力 做的负功大于重力做的正功D ．到最低点时，升降机加速度的值一定等于重力加速度的值14．质量相等的A 、B 两球在光滑水平面上沿同一直线，同一方向运动，A 球的动量P A =9kg ·m/s ，B 球的动量P B =3kg ·m/s ，当A 球追上B 球时发生碰撞，则碰撞后A 、 B 两球的动量可能值是（ ）A ．s m kg P s m kg PB A /6,/6⋅='⋅='B ．s m kg P s m kg P B A /4,/8⋅='⋅=' C ．s m kg P s m kg P B A /14,/2⋅='⋅-=' D ．s m kg P s m kg P B A /17,/4⋅='⋅-='二、实验题（8′+8′）15．关于验证机械能守恒定律的以下实验步骤A ．用天平称重物和夹子的质量B ．将重物系在夹子上C ．将纸带穿过计时器，上端用手提着，下端夹在系住重物的夹子上，再把纸带向上拉， 让夹子静止靠近打点计时器处D ．把打点计时器接在学生电源的交流输出端，把输出电压调至6V （电源暂不接通）E ．把打点计时器用铁夹固定到桌边的铁架台上，使两个限位孔在同一竖直线上F ．在纸带上选取几个点，进行测量并记录数据G ．用稍表测出重物下落的时间H ．接通电源，待计时器响声稳定后释放纸带 I ．切断电源J ．更换纸带，重新进行两次实验 K ．在三条纸带中选取较好的一条 L ．进行计算，得出结论，完成实验报告 M ．拆下导线，整理器材本实验步骤中，不必要的有 ，正确步骤的合理顺序是 （填字母代号）16．在利用打点计时器验证机械能守恒定律的实验中，如果纸带上前面几点比较密集，不够清晰，可舍去前面的比较密集的点，在后面取一段打点较为清晰的纸带，同样可以验证，如下图所示，取O 点为起始点，各点的间距已量出并标在纸带上，所用交流电的频率为50Hz ，若重锤的质量为1kg 。

雅礼中学2025届高三月考试卷（一）物理本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟，满分100分。

一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 每次看到五星红旗冉冉升起，我们都会感到无比自豪和骄傲，在两次升旗仪式的训练中，第一次国旗运动的图像如图中实线所示，第二次国旗在开始阶段加速度较小，但跟第一次一样，仍能在歌声结束时到达旗杆顶端，其运动的图像如图中虚线所示，下列图像可能正确的是（ ）A. B. C. D.2. 无缝钢管制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。

已知管状模型内壁半径R ，则下列说法正确的是（ ）A. 铁水是由于受到离心力作用才覆盖在模型内壁上B. 模型各个方向上受到的铁水的作用力相同C. 管状模型转动的角速度D. 若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力3. 一物块静止在粗糙程度均匀的水平地面上，在0~4s 内所受水平拉力F 随时间t 的变化关系图像如图甲所示，在0~2s 内的速度图像如图乙所示，最大静摩擦力大于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）的的的v t -v t -ωA. 物块的质量为2kgB. 在4s 内物块的位移为8mC. 在4s 内拉力F 做功为18JD. 在4s 末物块的速度大小为4m/s4. 磷是构成DNA 的重要元素，2023年科学家在土卫二的海洋中检测到磷。

此发现意味着土卫二有可能存在生命。

目前探测器已经测出了土卫二的密度为，现发射一颗贴近土卫二表面的人造卫星对土卫二进一步观测，已知万有引力常量为G ，则根据题中所给数据可以计算出（ ）A. 人造卫星的周期B. 土卫二的质量C. 人造卫星的向心加速度大小D. 人造卫星与土卫二之间的万有引力大小5. 如图所示，水平轻细线bc 两端拴接质量均为m 的小球甲、乙，a 、d 为两侧竖直墙壁上等高的两点，小球甲，乙用轻细线ab 和轻弹簧cd 分别系在a 、d 两点，轻细线ab 、轻弹簧cd 与竖直方向的夹角均为，现将水平拉直的轻细线bc 剪断，在剪断瞬间，轻细线ab 上的拉力与轻弹簧cd 上的弹力之比为，小球甲、乙的加速度大小之比为，，，则下列说法正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，6. 如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度从跳台顶端A 水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B 点，运动员运动到P 点时离倾斜赛道最远，P 点到赛道的垂直距离为PC ，P点离赛道的竖直ρ37θ= :F F T 12:a a sin 370.6= cos370.8= :4:5F F =T 12:16:5a a =:4:5F F =T 12:4:25a a =T :16:25F F =12:16:5a a =T :16:25F F =12:4:5a a =0v高度为PD ，赛道的倾角为，重力加速度为g ，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）语文命题人：审题人：本试卷共四道大题，23道小题，满分150分。

时量150分钟．得分：________一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一二八定律又叫帕累托法则，最早用于描述社会财富分配不均的现象：即约20%的人掌握着80%的财富，帕累托法则的核心观点是约20%的变量操纵着80%的局面，所以，二八定律又名“80/20法则”，是一种基于“重要的少数与琐碎的多数”原则的量化标准。

该原理由19世纪意大利经济学家维弗雷多·帕累托提出，他发现20%的产品或活动通常带来了80%的收益。

在管理学中，二八定律通常用于识别和优化关键的20%因素，以获得80%的成果，从而使有限的资源发挥尽可能大的应用效益。

需要指出的是，虽然总体呈现出这样的统计规律，但占比不一定恰好是20%和80%。

长尾效应最早由美国的克里斯·安德森在2004年提出，常用于解释在线商业和经济模型，指销量较小或不被重视的产品或服务，由于种类繁多，总销量庞大，累计总收入超过了主流热门产品的收入。

从曲线的形状来看，除了较短的头部，还有一条长长的“尾巴”（如图1所示），随着互联网和产信息化的发展，数字产品存储成本的压力逐渐降低甚至抵消，消费者具有更多的选择权和自主性，长尾理论的应用蓬勃发展。

在经济学领域，二八定律早已成为重要的商业法则，企业通过重点关注核心客户、大客户和热门产品、畅销产品等，获得最大化的收益。

二八定律阐释的是稀缺经济学，其基本假设是“资源稀缺”，即有形货架、存货成本等较为缺乏，企业没有足够的货源架空间为每一个消费者提供所需的每一类产品，也无力承担滞销产品所占有的生产成本。

在此情况下，企业要实现盈利，唯一的解决办法就是采用标准化服务战略，通过单一品种的大规模生产，占据绝大部分市场，促使产品快速流通，避免长期占用货架和生产成本。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）思想政治本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟，满分100分。

第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。

每小题只有一项符合题目要求）1．研读经典，致敬伟人。

对下列两则原文相同点的解读，科学的是（）1847年，马克思在《哲学的贫困》中指出：“当文明一开始的时候，生产就开始建立在级别、等级和阶级的对抗上，最后建立在积累的劳动和直接的劳动的对抗上。

没有对抗就没有进步。

这是文明直到今天所遵循的规律。

”1848年，马克思、恩格斯在《共产党宣言》中指出：“资产阶级赖以形成的生产资料和交换手段，是在封建社会里造成的。

在这些生产资料和交换手段发展的一定阶段上……封建的所有制关系，就不再适应已经发展的生产力了……起而代之的是自由竞争以及与自由竞争相适应的社会制度和政治制度、资产阶级的经济统治和政治统治。

”①两者都依据社会基本矛盾运动规律阐释社会形态的更替问题②前者揭示社会形态更替的条件性，后者揭示其更替的必然性③依据两者都能推断资本主义终将被社会主义取代的必然趋势④两者都揭示了人类社会的发展历史就是一部阶级斗争的历史A．①③B．①④C．②③D．②④2．习近平总书记提出：“我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有‘四个自信’的孩子。

”关于“四个自信”，下列说法正确的是（）①中国特色社会主义道路是实现社会主义现代化、创造美好生活的必由之路②中国特色社会主义理论体系科学回答了建设社会主义的一系列的基本问题③中国特色社会主义制度是党和人民在长期实践探索中形成的科学制度体系④中国特色社会主义文化是激励全党全国各族人民奋勇前进的强大物质力量A．①②B．①③C．②④D．③④3．中国特色社会主义开创于改革开放时期，但了解其形成和发展的脉络，认识其历史必然性和科学真理性，应该拉长时间尺度，了解社会主义演进的历程。

湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高三下学期第二次月考物理试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，1-8题为单项选择题，9-12题为多项选择题，全部选对的得4分，选对但不选全的得2分，有错选的得0分）1．三个质点A、B、C均由N点沿不同路径运动至M点，运动轨迹如图所示，三个质点同时从N点出发，同时到达M点，下列说法正确的是( )A．三个质点从N点到M点的平均速度相同B．三个质点任意时刻的速度方向都相同C．三个质点从N点出发到任意时刻的平均速度都相同D．三个质点从N点到M点的路程相同考点：平均速度；速度．分析：位移等于物体首末位置的距离，平均速度等于位移与时间的比值．解答：解：A、三个质点A、B、C均由N点沿不同路径运动至M点，首末位置距离相等，知位移相等，所用时间相等，则平均速度相等．故A正确．B、做曲线运动某时刻的速度方向沿该点的切线方向，知质点速度方向不是任意时刻相同．故B错误．C、三个质点在任意相等时间内的位移不一定不同，则平均速度不一定相同．故C错误．D、路程是运动轨迹的长度，运动轨迹不同，路程不同，故D错误；故选：A．点评：解决本题的关键知道平均速度等于位移与时间的比值，知道路程的位移的区别．2．有一处大型游戏器械，它是一个圆筒形大型容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为( )A．游客处于超重状态B．游客处于失重状态C．游客受到的摩擦力等于重力D．筒壁对游客的支持力等于重力考点：牛顿运动定律的应用-超重和失重．专题：牛顿运动定律综合专题．分析：当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，桶壁对人的弹力提供圆周运动的向心力，转速越大，弹力越大，人在竖直方向上受重力和摩擦力平衡．解答：解：在水平方向上，桶壁对人的弹力提供向心力，在竖直方向上人受到重力和静摩擦力平衡．人并没有处于超重或失重状态．故C正确，A、B、D错误．故选C．点评：解决本题的关键搞清向心力的来源，知道人在竖直方向上处于平衡．3．从高h处以水平速度v0抛出一物体，物体落地速度方向与水平地面夹角最大的时候，h 与v0的取值应为下列四组中的( )A．h=30m，v0=10m/s B．h=30m，v0=30m/sC．h=50m，v0=30m/s D．h=50m，v0=10m/s考点：平抛运动．专题：平抛运动专题．分析：物体做平抛运动，我们可以把平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解，两个方向上运动的时间相同．解答：解：根据平抛运动的规律可知，水平方向上匀速直线运动：V=V0，x=V0t竖直方向上的速度：V y=gt，h=gt2落地时速度方向与地面的夹角为tanα=所以h越大，初速度V0越小，物体落地的速度方向与地面的夹角越大，所以D正确．故选D．点评：本题就是对平抛运动规律的考查，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解．4．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )A．乙的周期大于甲的周期B．乙的速度大于第一宇宙速度C．甲的加速度小于乙的加速度D．甲在运行时能经过北极的正上方考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系．专题：人造卫星问题．分析：甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是（解答：解：A、B、C人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有：F=F向F=GF向=m=mω2r=m（）2r因而=m=mω2r=m（）2r=ma解得：v=…①T=…②a=…③由①②③式可以知道，人造卫星的轨道半径越大，线速度越小、周期越大，加速度越小，由于甲卫星的高度大，轨道半径大，故甲卫星的线速度小、周期大，加速度小；根据①式，第一宇宙速度是近地圆轨道的环绕速度，也是圆轨道运行的最大速度；则C正确D、甲只能在赤道上空，则D错误故选：C点评：本题关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出线速度、角速度、周期和加速度的表达式，再进行讨论．5．滑板是现在非常流行的一种运动，如图所示，一滑板运动员以7m/s的初速度从曲面的A 点下滑，运动到B点速度仍为7m/s，若他以6m/s的初速度仍由A点下滑，则他运动到B 点时的速度( )A．大于6m/s B．等于6m/sC．小于6m/s D．条件不足，无法计算考点：动能定理的应用．专题：动能定理的应用专题．分析：滑板运动员从曲面的A点下滑过程中，重力和摩擦力做功，当他下滑的速度减小时，分析摩擦力如何变化，确定运动员克服摩擦力做功的大小，分析动能变化量的大小，再求出他运动到B点时的速度范围．解答：解：滑板运动员从曲面的A点下滑过程中，重力和摩擦力做功，当他下滑的速度减小时，在同一点他对轨道的压力减小，摩擦力减小，则他下滑过程中克服摩擦力做功减小，重力做功相同，根据动能定理得知，动能的变化量减小，第一次下滑过程动能变化量为零，则有＞0，得v B＞6m/s故选A点评：本题运用向心力和动能定理分析运动员下滑过程动能的变化量大小，是经常采用的思路．6．2010年10月1日18时59分57秒，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的圆轨道Ⅲ，开始对月球进行探测，如图所示．已知万有引力常量为G，月球的半径为R，则( )A．由已知条件可求月球的质量B．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅲ上小C．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度大D．卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大考点：万有引力定律及其应用．专题：万有引力定律的应用专题．分析：月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力，得出线速度与半径的关系，即可比较出卫星在轨道Ⅲ上的运动速度和月球的第一宇宙速度大小．卫星在轨道Ⅰ上经过P点若要进入轨道Ⅲ，需减速．比较在不同轨道上经过P 点的加速度，直接比较它们所受的万有引力就可得知．卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，在P点需减速．解答：解：A．由已知条件不能求月球的质量．故A错误．B．卫星在轨道Ⅰ上经过P点若要进入轨道Ⅲ，需减速，故卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅲ上大．故B错误．C．月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据G=m，得：v=，可知卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，C错误D．卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ，在P点需减速．卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大．故D正确．故选：D．点评：解决本题的关键是理解卫星的变轨过程，从低轨道到高轨道要加速，反之减速，这类问题也是2015届高考的热点问题．7．如图所示，在光滑的水平面上，有A、B两物体在F1和F2的作用下运动，已知F1＞F2，则( )A．若撤去F1，B的加速度一定增大B．若撤去F1，B对A的作用力一定增大C．若撤去F2，A的加速度一定增大D．若撤去F2，A对B的作用力一定增大考点：牛顿第二定律；加速度．专题：牛顿运动定律综合专题．分析：要分析加速度的变化，先由牛顿第二定律求出整体的加速度，再进行分析．由隔离法求出甲乙间的作用力，根据表达式进行分析．解答：解：A、B撤去作用力之前，由牛顿第二定律得：对整体：a=…①对B：F2﹣F=m B a…②联立得：A对B的作用力F=…③由①知，若撤去F1，由于F1﹣F2与F2的大小关系无法确定，加速度不一定增大，撤去F2，A的加速度一定增大；故A错误，C正确．由③知，若撤去F2，A对B的作用力一定减少．故B、D错误．故选C．点评：关于连接体的处理方法，先整体后隔离，可以求得连接体间的相互作用力的大小．8．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg（），纵轴是lg（）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T O和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是( )A．B．C．D．考点：开普勒定律．专题：压轴题．分析：根据开普勒行星运动的第三定律，按照题目的要求列示整理即可得出结论．解答：解：根据开普勒周期定律：T2=kR3，T02=kR03两式相除后取对数，得：，整理得：，所以B正确．故选B．点评：本题要求学生对数学知识要比较熟悉，并且要有一定的计算能力，主要是数学的计算问题．9．一辆汽车在平直的公路上运动，运动过程中先保持某一恒定加速度，后保持恒定的牵引功率，其牵引力和速度的图象如图所示．若已知汽车的质量m，牵引力F1和速度v1及该车所能达到的最大速度v3．则根据图象所给的信息，能求出的物理量是( )A．汽车运动中的最大功率为F1 v1B．速度为v2时的加速度大小为C．汽车行驶中所受的阻力为D．恒定加速时，加速度为考点：功率、平均功率和瞬时功率；牛顿第二定律．专题：功率的计算专题．分析：汽车先做匀加速运动，再以恒定功率运动，对汽车受力分析后根据牛顿第二定律列方程，再结合图象进行分析即可．解答：解：A、根据牵引力和速度的图象和功率P=Fv得汽车运动中的最大功率为F1v1，故A正确．B、汽车运动过程中先保持某一恒定加速度，后保持恒定的牵引功率，所以速度为v2时的功率是F1 v1，根据功率P=Fv得速度为v2时的牵引力是，对汽车受力分析，受重力、支持力、牵引力和阻力，该车所能达到的最大速度时加速度为零，所以此时阻力等于牵引力，所以阻力f=根据牛顿第二定律，有速度为v2时加速度大小为a=﹣，故B错误，C正确．D、根据牛顿第二定律，有恒定加速时，加速度a′=﹣，故D错误．故选AC．点评：本题关键对汽车受力分析后，根据牛顿第二定律列出加速度与速度关系的表达式，再结合图象进行分析求解．10．如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B栓牢一根轻绳，轻绳下端悬挂一重为G的物体，上端绕过定滑轮A，用水平拉力F拉轻绳，开始时∠BCA=160°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC．在此过程中（不计滑轮质量，不计摩擦）( )A．拉力F大小不变B．拉力F逐渐减小C．轻杆B端所受轻绳的作用力大小不变D．轻杆B端所受轻绳的作用力先减小后增大考点：共点力平衡的条件及其应用；力的合成与分解的运用．专题：压轴题；共点力作用下物体平衡专题．分析：以B点为研究对象，分析其受力情况，作出受力图，利用三角形相似法，得出各力与三角形ABC三边边长的关系，再分析其变化．解答：解：以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力T（等于重物的重力G）、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，作出力图如图，由平衡条件得知，N和F的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得==又T=G，解得：N=，F=使∠BCA缓慢变小时，AC、BC保持不变，AB变小，则N保持不变，F变小．故BC正确，AD错误．故选BC点评：本题涉及非直角三角形的力平衡问题，采用三角形相似，得到力与三角形边长的关系，再分析力的变化，是常用的方法．11．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示．由静止释放后( )A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点考点：机械能守恒定律．专题：压轴题；机械能守恒定律应用专题．分析：甲与乙两小球系统，重力势能和动能相互转化，系统机械能守恒；还可以将甲与乙当作一个整体，找出重心，机械能也守恒．解答：解：A、甲与乙两个物体系统机械能守恒，故甲减小的机械能一定等于乙增加的机械能，故A正确；B、甲与乙两个物体系统机械能守恒，甲球减小的重力势能转化为乙的势能和动能以及甲的动能，故B错误；C、若甲球沿凹槽下滑到槽的最低点，乙则到达与圆心等高处，但由于乙的质量比甲大，造成机械能增加了，明显违背了机械能守恒定律，故甲球不可能到圆弧最低点，故C错误；D、由于机械能守恒，故动能减为零时，势能应该不变，故杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点，故D正确；故选AD．点评：本题关键是甲与乙两个球系统机械能守恒，也可以找出系统重心，当作单个物体．12．如图所示，质量为M、长为L的木板置于光滑的水平面上，一质量为m的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为f，用水平的恒定拉力F作用于滑块．当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为s，滑块速度为v1，木板速度为v2，下列结论中正确的是( )A．上述过程中，F做功大小为B．其他条件不变的情况下，F越大，滑块到达右端所用时间越长C．其他条件不变的情况下，M越大，s越小D．其他条件不变的情况下，f越大，滑块与木板间产生的热量越多考点：动能定理的应用；匀变速直线运动的位移与时间的关系；牛顿第二定律；功能关系．专题：压轴题．分析：（1）由功能关系可知拉力F做功除了增加两物体动能以外还有系统产生的热量；（2）F越大，滑块的加速度就越大，而木板的运动情况不变，滑块和木板的相对位移还是L，滑块的位移也没有发生改变，所以时间越少；（3）滑块对木板的摩擦力不变，M越大，木板的加速度越小，而滑块加速度不变，相对位移一样，滑快在木板上运动时间短，所以木板运动的位移小；（4）系统产生的热量等于摩擦力和相对位移乘积，相对位移没变，摩擦力越大，产生的热量越多．解答：解：A．由功能关系可知拉力F做功除了增加两物体动能以外还有系统产生的热量，故A错误；B．滑块和木板都是做初速度为零的匀加速运动，在其他条件不变的情况下，木板的运动情况不变，滑块和木板的相对位移还是L，滑块的位移也没有发生改变，所以拉力F越大滑块的加速度越大，离开木板时间就越短，故B错误；C．由于木板受到摩擦力不变，当M越大时木板加速度小，而滑块加速度不变，相对位移一样，滑快在木板上运动时间短，所以木板运动的位移小，故C正确；D．系统产生的热量等于摩擦力和相对位移乘积，相对位移没变，摩擦力越大，产生的热量越多，故D正确．故选CD．点评：本题重点考查了功能关系，对物理过程仔细分析是解题关键，同时对物理模型要把握和熟悉．本题就是常见而重要的滑块和木板模型．二、填空题（本大题共2个小题，共12分）13．利用图（a）所示实验装置可粗略测量人吹气产生的压强．两端开口的细玻璃管水平放置，管内塞一潮湿小棉球，实验者从玻璃管的一端A吹气，棉球从另一端B飞出，测得玻璃管内部截面积S，距地面高度h，棉球质量m，开始时棉球的静止位置与管口B的距离x，落地点C与管口B的水平距离l，然后多次改变x，测出对应的l，画出l2﹣x关系图线如图（b）所示，并由此得出相应的斜率k．（1）若不计棉球在空中运动时的空气阻力，根据以上测得的物理量可得，棉球从B端飞出时速度v0=．（2）假设实验者吹气能保持玻璃管内气体压强始终为恒定值，不计棉球与管壁的摩擦，重力加速度g、大气压强p0均为已知，利用图（b）中直线的斜率k可得，管内气体压强p=p0+．（3）考虑到实验时棉球与管壁间有摩擦力，则（2）中得到的p与实际压强相比偏小（填“偏大”、“偏小”）．考点：理想气体的状态方程．专题：理想气体状态方程专题．分析：（1）棉球从B端飞出做平抛运动，可以根据平抛运动的基本公式解出速度v0；（2）根据压强公式求出压力F，运用动能定理求出l2﹣x的关系，其斜率等于k，这样就可以求出管内气体压强p；（3）考虑到实验时棉球与管壁间有摩擦，所以除了压力做功外，摩擦力对棉球做负功，再运用动能定理求出l2﹣x的关系，其斜率等于k，这样就可以比较压强偏大还是偏小．解答：解：（1）棉球从B端飞出做平抛运动，根据平抛运动的基本公式得：l=v0t，h=解得：v0=l（2）设玻璃管内气体压强始终为p，不计棉球与管壁的摩擦，对棉球从静止到B点的运动过程运用动能定理得：（p﹣p0）Sx=（p﹣p0）Sx=所以l2==kx所以解得：p=p0+（3）考虑到实验时棉球与管壁间有摩擦，设摩擦力为f，所以除了压力做功外，摩擦力对棉球做负功，再运用动能定理得：（p实﹣p0）Sx﹣fx=l2==kx所以解得：p实=p0+很明显，（2）中得到的p与实际压强相比偏小．故答案为：（1）l；（2）p0+；（3）偏小．点评：该题考查了平抛运动的基本规律与压强的相关计算，要求同学们学会熟练运用动能定理解题，比较简洁、方便，本题难度不大．14．如图所示，两个质量各为m1和m2的小物块A和B，分别系在一条跨过定滑轮的软绳两端，已知m1＞m2，现要利用此装置验证机械能守恒定律．（1）若选定物块A从静止开始下落的过程中进行测量，则需要测量的物理量有①②或①③．①物块的质量m1、m2；②物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间；③物块B下落的距离及下落这段距离所用的时间；④绳子的长度．（2）为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议：①绳的质量要轻；②在“轻质绳”的前提下，绳子越长越好；③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃；④两个物块的质量之差要尽可能小．以上建议中确实对提高准确程度有作用的是①③．（3）写出一条上面没有提到的对提高实验结果准确程度有益的建议：对同一高度进行多次测量取平均值．考点：验证机械能守恒定律．专题：实验题．分析：（1）这个实验的原理是要验证m1、m2的增加的动能和m1、m2减少重力势能是不是相等，所以我们要测量的物理量有：物块的质量m1、m2；物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间或物块B上升的距离及上升这段距离所用的时间．（2）如果绳子较重，系统的重力势能就会有一部分转化为绳子的动能，造成实验误差；绳子不宜太长，长了形变对实验的影响越大；m1、m2相差越大，整体所受阻力相对于合力对运动的影响越小．物体末速度v是根据匀变速直线运动求出的，故要保证物体在竖直方向运动．这些都是减小系统误差，提高实验准确程度的做法．（3）多次取平均值可减少测量误差，绳子伸长量尽量小，可减少测量的高度的准确度．解答：解：（1）通过连接在一起的A、B两物体验证机械能守恒定律，即验证系统的势能变化与动能变化是否相等，A、B连接在一起，A下降的距离一定等于B上升的距离；A、B的速度大小总是相等的，故不需要测量绳子的长度和B上升的距离及时间．故选①②或①③均可以．（2）如果绳子较重，系统的重力势能就会有一部分转化为绳子的动能，造成实验误差；绳子不宜太长，长了形变对实验的影响越大；m1、m2相差越大，整体所受阻力相对于合力对运动的影响越小．物体末速度v是根据匀变速直线运动求出的，故要保证物体在竖直方向运动．这些都是减小系统误差，提高实验准确程度的做法．故选：①③（3）实验误差来自测量，所以多次取平均值可减少测量误差，又绳子伸长量尽量小，可减少测量的高度时的误差故答案为：（1）①②或①③；（2）①③；（3）对同一高度进行多次测量取平均值，选取受力后相对伸长尽量小的绳子等等．点评：此题为一验证性实验题．要求根据物理规律选择需要测定的物理量，运用实验方法判断如何减小实验误差．掌握各种试验方法是解题的关键．三、计算题（本大题共4个小题，共40分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）15．在光滑的水平轨道上有两个的小球A和B（均可看作质点），质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于L时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图所示．欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？考点：牛顿运动定律的综合应用；匀变速直线运动的位移与时间的关系．专题：牛顿运动定律综合专题．分析：应用牛顿第二定律求出球的加速度，然后应用匀变速运动的运动规律求出球的位移，然后求出初速度需要满足的条件．解答：解：两球不发生接触的条件：v1=v2，L+x2﹣x1＞0．由牛顿第二定律得：A球：a1=，a2=，由速度公式得：v1=v0﹣a1t，v2=a2t，由位移公式得：x1=v0t﹣a1t2，x2=a2t2，解得：v0＜；答：v0必须满足的条件是：v0＜．点评：解决本题的关键知道两球速度相等时，有最短距离，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．16．如图所示，质量为m的物体从倾角为θ的斜面上的A点以速度v0沿斜面上滑，由于μmgcosθ＜mgsinθ，所以它滑到最高点后又滑下来，当它下滑到B点时，速度大小恰好也是v0，设物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求AB间的距离．考点：动能定理的应用．专题：动能定理的应用专题．分析：设物体m从A点到最高点的位移为x，对此过程和从A到B的全过程分别运用动能定理列出方程组即可求解．解答：解：设物体m从A点到最高点的位移为x，对此过程运用动能定理得：﹣（mgsinθ+μmgcosθ）x=0﹣①对全过程运用动能定理得：mgsinθx AB﹣μmgcosθ（2x+x AB）=0 ②由①②解得：答：AB间的距离为点评：本题是动能定理的直接应用，要求同学们能根据题目的需要选择不同的过程运用动能定理解题，难度适中．17．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=2.5W工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.25N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L=10.00m，R=0.18m，h=0.80m，x=2.00m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g=10m/s2）考点：动能定理的应用；平抛运动；功能关系．。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。

雅礼中学2023届高三月考试卷（三）物理命题人：张睿智审题人：李仪辉得分：___________本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟，满分100分。

一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.单板大跳台是一项紧张刺激的项目。

2022年北京冬奥会期间，一观众用手机连拍功能拍摄运动员从起跳到落地的全过程，合成图如图所示。

忽略空气阻力，且将运动员视为质点。

则运动员A．在空中飞行过程是变加速曲线运动B．在斜向上飞行到最高点的过程中，其动能全部转化为重力势能C．运动员从起跳后到落地前，重力的瞬时功率先减小后增大D．运动员在空中飞行过程中，动量的变化率在不断变化2.如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与直线AB重合，以A点为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，B点的坐标为0.06Bx m，若一α粒子仅在电场力的作用下由A点运动至B点，其电势能增加60 eV，该电场线上各点的电场强度大小E随位移x的变化规律如图乙所示，若A点电势为15V，下列说法正确的是A．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴正方向B ．该a 粒子沿x 轴正方向做匀减速直线运动C ． B 点电势是A 点电势的2倍D ．图乙中E 0应为212.510V m -⨯⋅3.九重之际向天问，天宫掠影惊苍穹。

“天宫”空间站中三名宇航员正环绕地球运行，与此同时，“天问”探测器在环绕火星运行。

假设它们的运行轨道都是圆轨道，地球与火星的质量之比为p ，“天宫”与“天问”的轨道半径之比为q 。

关于“天宫”空间站与“天问”探测器，下列说法不正确的是A 3q p B p q C ．加速度之比为2p q D ．动能之比为p q4.江南多雨，屋顶常常修成坡度固定的“人”字形，“人”字形的尖顶屋可以看做由两个斜面构成。

如图所示，斜面与水平方向的夹角均为α，房屋长度2x 为一定值，将雨滴从“人”字形坡顶开始的下滑过程简化为雨滴从光滑斜面顶端由静止下滑。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y 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