最新215平面上两点间的距离课件苏教版必修2

第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.5 平面上两点间的距离
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1．掌握在平面直角坐标系下的两点间的距离公式． 2．初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题．
典例剖析
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两点间的距离问题
已知四边形ABCD各顶点坐标分别为A(－7，0)、B(2，－
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又∵AB＝3 10，AD＝3 10，AC＝6 5，BD＝6 5，
典例
∴AB＝AD，AC＝BD，即四边形 ABCD 为正方形．
规律总结：根据斜率判断对边是否平行、邻边是否 垂直，再根据对角线的长度、边的长度来确定
接
典例
►变式训练 1．已知点A(1，2)、B(3，4)、C(5，0)．求证：△ABC是 等腰三角形． 分析：求出三边之长，比较三边的大小下结论．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
15
谢谢欣赏！
规律总结：在建立平面直角坐标系时，适当的坐标系能
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使运算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，
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故在建坐标系时要有效地利用条件中的垂直、对称等关 接
典例
系．
►变式训练
2．A、B两个厂距一条河分别为400 m和100 m，且在河的同

【规范解答】 法一：∵AB＝ 3＋32＋－3－12＝ 52，AC＝ 1＋32＋7－12＝ 52，
又 BC＝ 1－32＋7＋32＝ 104，8 分 ∴AB2＋AC2＝BC2，且 AB＝AC，12 分 ∴△ABC 是等腰直角三角形.14 分
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32， kAB＝3－－3－－13＝－32， 则 kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB.6 分 又 AC＝ 1＋32＋7－12＝ 52， AB＝ 3＋32＋－3－12＝ 52，14 分 ∴AC＝AB. ∴△ABC 是等腰直角三角形．
可得x3y′′ ·x′－－2＋xy×x－3＝y′－2＋1 y＋3＝0
，
解得xy′′＝＝6－x＋8x18＋0y1＋06y6－18
.
又－8x＋106y－18－6x＋180y＋6－2＝0， 即 7x＋y＋22＝0，
故所求直线方程为 7x＋y＋22＝0.
x－y－2＝0 【解】 法一：由3x－y＋3＝0 ，
得交点 P(－52，－29)． 取直线 x－y－2＝0 上一点 A(0，－2)， 设 A 点关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 A′(x0，y0)．
则根据 kAA′·kl＝－1 且线段 AA′中点在直线 l：3x －y＋3＝0 上．
有xy00＋－20×3＝－1 3×x20－y0－2 2＋3＝0
考点三 对称问题
求曲线关于点(中心)的对称问题的一般思想是用代 入法．一般地，曲线f(x，y)＝0关于点A(a，b)的对 称曲线的方程是f(2a－x,2b－y)＝0；求点关于直线 对称问题关键是列出“垂直、平分”的方程组．
例3 求直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0 对称的直线方程．
【思路点拨】 本题属于轴对称问题，解决本题有 两种方法，一是转化为点的对称，二是利用轴对称 的条件，即应用中点公式与直线垂直的条件，代入 可得．

由两点间的距离公式得
BC＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2，
AM＝ b2－02＋2c－02＝12 b2＋c2， 所以，AM＝12BC.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.5
小结 用解析法证几何题的注意事项(1)用解析法证明几何 题时，首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系，然后根 据题中所给的条件，设出已知点的坐标；(2)再根据题设条件 及几何性质推出未知点的坐标；(3)另外，在证题过程中要不 失一般性．
解得：x＝11 或 x＝－5. 所以点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.1.5
2．求点 P(2,4)关于直线 l：2x－y＋1＝0 的对称点 P′的坐标．
解 设 P′(x，y)，∵PP′⊥l，∴xy－－24·2＝－1.
①
又∵线段 PP′的中点在直线 l 上，
小结 一般地，对于平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线
段 P1P2 的中点是 M(x0，y0)，则xy00＝＝yx11＋＋22 yx22
.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.5
问题 2 如何证明中点坐标公式？
答 当 x1≠x2 时，先证明点 M 在直线 P1P2 上．
因为 kMP1 ＝yx11－ －yx11＋ ＋22 yx22＝yx11－ －yx22，
kMP2
＝yx22－ －yx11＋ ＋22 yx22＝yx22－ －yx11，
因此
k k ＝
MP1
MP2
，所以三点
P1，M，P2
在同一直线上．
再证 MP1＝MP2.
研一研·问题探究、课堂更高效
因为 MP1＝
x1－x1＋2 x22＋y1－y1＋2 y22

有 xy00＋－20×3＝－1 3×x20－y0－2 2＋3＝0
，解得x0＝－3 y0＝－1
.
故所求直线过点(－52，－92)与(－3，－1)， 所以所求直线方程为 y＋92＝－7(x＋52)， 即 7x＋y＋22＝0. 法二：设 P(x，y)为所求直线上不同于与直线 l 的交点的任一 点，点 P 关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 P′(x′，y′)． 根据 PP′⊥l 且线段 PP′的中点在直线 l 上．
第2章 平面解析几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:50:09 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
方法归纳
本题属于轴对称问题，解决本题有两种方法，一是转化为点的
对称，二是利用轴对称的条件，即应用中点公式与直线垂直的
条件，代入可得．
(1)点关于直线对称的点的求法
点 N(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
可由方程组
xy－ －xy00·－AB＝－1AB≠0 A·x＋2x0＋B·y＋2 y0＋C＝0xy′′ຫໍສະໝຸດ －yx×3＝－1可得，

课
主 导
推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的
时 作
学
业
数学能力．对于两平行直线之间的距离，由于两平行线间的
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距离处处相等，故教学时，可采用类比化归的思想，将其转
互
动 化为点到直线的距离来解决问题．
探
究
教 师 备 课 资 源
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教 学
●教学流程
教
法
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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课 堂 互 动 探 究
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SJ ·数学 必修2
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
思 想
法
方
分
法
析
技
教
求点 P(1,2)到下列直线的距离：
巧
学
当
方 案
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y 轴．
堂 双
设
基
计
达
【思路探究】
标
课
前
自ห้องสมุดไป่ตู้主
【自主解答】 (1)将直线方程化为一般式为：x－y－3
课 时
导
作
学 ＝0，
业
课 堂 互 动
由点到直线的距离公式得 d1＝ |11－ 2＋2－－31|2＝2 2.
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2．本题条件不变，试求△APQ的边PQ上的中线长．
对称问题
3．已知A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)点A关于直线l的对称点B的坐标； (2)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (3)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
[错因与防范](1)在解题过程中，①容易忽视建立坐标系；② 建立的坐标系不适当，造成计算错误；③各几何量用坐标 表示时没有注意原图形的几何性质，设未知量太多． (2)一些平面几何问题用解析法解决时更简单，但要把坐标 系建立在适当的位置上，注意利用图形的几何性质． ①要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算． ②如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐 标轴；如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形中心作 为坐标原点；如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴 作为坐标轴．
中点坐标公式的应用
已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别是P(3，－ 2)，Q(1,6)，R(－4,2)，求点A的坐标． (链接教材P100例2)
方法归纳 (1)中点坐标公式的应用与数形结合相联系，是解题的好 途径． (2)本例关键是探求三角形各顶点和中点的关系，使用中 点坐标公式列方程组求解即可，也可以使用三角形中位 线性质求解．
5 (a－2)2＋(b－1)2＝25
5 (6,5)
两点间距离公式的应用 已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试 判断△ABC的形状． (链接教材P97引例)
方法归纳 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明 确三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑：一是 考虑角的特征，如本例的法二，主要考查是否为直角或 等角，在解析几何中一般借助于斜率；二是要考虑三角 形边的长度特征，要用到勾股定理，如本CD是矩形，则对任一点 M，等式AM2＋CM2＝BM2＋DM2成立． 证明：取矩形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x 轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设矩形ABCD 的四个顶点A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)． 在平面上任取一点M(m，n)， 则AM2＋CM2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2， BM2＋DM2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2， ∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.

F`
E` D`
A`
B` 底 面 A
C` 叫两 做侧 面 侧的 棱公 共 边
A` B` C` :
侧 面
F A B C
E
C
D
B
结论： 底面为三角形，四边形，五边形‥‥‥的棱柱 分别称为三棱柱，四棱柱五棱柱‥‥‥ 例如上图中的图形分别为三棱柱，六棱柱，并 分别记作：棱柱ABC－A′B′C′ 棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F
棱锥 当棱柱的 一个底面 收缩为一 个点时,得 到的几何 体叫做棱 锥.
棱台 用平行于 棱锥底面 的平面去 截棱锥,截 面和底面 之间的部 分叫做棱 台
定 义
分类
根据底面多边形的边数多少,可将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱等；同理，棱锥、棱台也这样分类。
性质
底面是多边形，侧 两个底面是相似的 两个底面是全等的多边形， 面是有一个公共顶 多边形，且对应边 且对应边互相平行，侧面 互相平行，侧面都 点的三角形 都是平行四边形 是梯形
食盐晶体
明矾晶体
石膏晶体
学习了这么多的几何体了 , 你能根据要求 画出它们吗?怎样来画?
例题讲解:
例1: 请你对几何体的认识,画一个四棱柱 和一个三棱台. 画图思路:画四棱柱可分三个步骤: 第一步,画上底面-----画一个四边形 第二步,画侧棱------从四边形的每一个顶点画 平行且相等的线段. 第三步,画出地面------顺次连接线段的端点。
顶点
侧面 底面
侧棱
用表示底面各顶点表示棱柱。
合作探究:
观察下列的几何体,比较上下图形发生了 什么变化？变化后有什么共同的特点？
(1)
(2)
(3)
(4)
通过观察几个图形,发现它们都是 几个棱柱的一个底面缩为一个点了.

2.如果原点在直线l上的射影为点(a,b)，则直线l的
方程为( B )
A. bx+ay=a2+b2
B. ax+by=a2+b2
C. bx-ay=a2-b2
D. ax-by=a2-b2
3.已知l1：(a+1)x+(2-a)y-3=0，
（（l2：12） ）(a当 两-2直a)x为+线(何5能a值-否1时)y平+，2行=l01 ，⊥l1？ a
相交
发散思维：
已知直线 l1:A 1xB 1yC 10和 l2:A 2xB 2yC 20
相交，那么方程 ( A 1 x B 1 y C 1 ) ( A 2 x B 2 y C 2 ) 0
（ 为任意实数）表示的直线有什么特点？
结论：此方程表示经过直线 l 1 和 l 2 交点 的直线系方程．(除去直线l 2 )
•
74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
•
75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。
•
76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
•
77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
•
78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
•
79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。
垂直，求该直线方程。
5x1y518 0
4、已知直线 l1 ，l 2 的方程分别为
Ax3yC0 2x3y40
且直线 l1 l 2 的交点在 y轴上，求C的值。
C4

业
第 2, 3, 4 ,5题 题
PP 一般地， 对于平面上两点 P(x , y ), P(x2, y2) ，线段 1 2 1 1 1 2 的中点是 M(x , y ) ，则
0 0
此即中点坐标公式 此即中点坐标公式
x1 + x2 x0 = 2
y1 + y2 y0 = 2
例3.
已知 ∆ABC 的顶点坐标为 A(−1,5), B (−2, −1), C (4, 7) , 求三角形两条中线AM和BE的长。 的长。 求三角形两条中线 和 的长
P P2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 1
2
2
2. 平面上两点 P(x , y ), P (x , y ) 对应线段
1 1 1 2 2 2
P P2 的 1
中点坐标公式
设中点
x1 + x 2 x0 = 2
y1 + y 2 y0 = 2
M ( x0 , y0 )
作
习题9-1 习题
一般地说， 一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？ 如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
如果 x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2，过P , P2 分别向 轴、 轴作 1 垂线交于点 Q，则点 Q 的坐标为 ( x2 , y1 ) .
y
x
合 作 探 究
y2
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) 间的 1 2 距离公式
P P2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 1
2
2
例题讲解 例1

你能用解析几何的方法证明此问题吗？
四、课堂小结:
1、两点间的距离公式
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2,中点坐标公式
x0
y0
x1 x2
2 y1 y2
2
五、作业布置:
平面上两点间的距离
一、复习引入:
已知：P1x1，y1 和 P2 x2，y2 ，试求：两点间的距离
1）、y1=y2
y
P•1 x1，y1
P2•x2，y2
2）、x1=x2
y
y1
• P1x1，y1
x1 o
x2 x
P1P2 | x2 x1 |
o
x
y2
• P2 x2，y2
P1P2 | y2 y1 |
x2
2 y2
2
三、数学应用:
例1 已知 ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，
C(4，7) （1）求BC边的长 ； （2）求BC边上的中线AM的长；
（3）求BC边上的中线AM所在直线的方程y。
C (4, 7)
A(1, 5)
M
O
x
B(2, 1)
练习:
(1)求线段AB的长及其中点坐标
二、构建数学:
y
3)、x 1 x2 , y1 y2
o
• P2 x2，y2
两点 P1x1，y1 P2 x2，y2 间的距离
P1 x1，y1 •
x
Qx1，y2
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
练习:
（1）两点 A1，3, B(2,5)的距离是____1_3___． （2）两点 A0，10, B(a,5) 的距离是17，则a=_±___8__．