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圆的切线的判定与性质【知识点精析】1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。
这条直线叫圆的切线。
2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。
例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。
圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。
（2）切线长性质从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。
例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点【解题方法指导】一切线长定理的计算例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径BC2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。
二等腰三角形在证明切线中的巧用例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．word.word.求证：AC 平分∠DAB ．4已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。
圆的切线的性质和判定(陈奥)
——龙文学校谢老师
【回顾与思考】
现实情境⎧
⎪
⎧
⎪
⎨⎨
⎩
⎪
⎪
⎩
圆的切线的性质--三角形内切圆
应用:d=r
圆的切线的判定
判定定理
圆的切线性质与判定综合应用
【例题经典】
关于三角形内切圆的问题
例1（2006年宜昌市）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若
∠BAC=80°，则∠BOC=（）
A．130° B．100° C．50° D．65°
圆的切线性质的应用
例2（2006年徐州市）已知：如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B•作BC ∥OP交⊙O于点C，连结AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若AB=2，
，求BC的长．（结果保留根号）
圆的切线的判定
例3（2005年宁夏自治区）已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，•弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．
【考点精练】
一、基础训练
1．已知⊙O的半径为8cm，如一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离
2．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．
．
．
cm D
（1）（2）（3）
3．如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•
为半径
作⊙M，•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．
4．已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O 的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．5．（2005年四川省）如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC•交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．
（4）（5）
6．（2005年武汉市）如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作
⊙O 的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE
与以点O为圆心，
5
2
为半径的圆的位置关系是________．
7．（2005年山西省）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示
方向移动．当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为多少？
8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按
角分类），并说明理由．
二、能力提升：
9．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．
试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？
•并说明理由．
（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？
•为什么？
①②
10．如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交
AB•的延长线于点C．
求：（1）∠ADC的度数；（2）AC的长．
11．（2006年包头市）在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．
（1）如图1，AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；
（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试
求tanA的值．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB•于点M，交BC于点N．
（1）求证：BA·BM=BC·BN；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．
13．（2006年北京市）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=
1
2
，∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
三、应用与探究：
14．（2006年绵阳市）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BC为⊙O的切线；
（3）若AC=3，tanB=
3
4
，求⊙O的半径长．
圆的切线的性质和判定(陈奥)答案：例题经典
例1：A 例2：（1）略（2）BC=2
3
例3：略
考点精练
1．B 2．B 3．4 4
2
6．相离 7
3
8．△DEF 是锐角三角形．连结OD、OE、OF．
综合应用圆的切线性质，四边形内角和定理和圆周角定理．
可以证得∠DEF=90°-1
2
∠A，∠DFE=90°-
1
2
∠B，∠EDF=90°-
1
2
∠C．
△DEF的三个内角都是锐角
9．（1）∠D=∠CAB，理由（略）（2）∠D=∠CAB 作直径AE、连结CE 由（1）可知： ∠E=∠CAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CAB
10．（1）∠ADC的度数为120° （2）9cm
11．（1）解：连结OC，∵AB与⊙O相切于C点，∴∠OCA=90°，∵OA=OB，∴AC=BC=12
在Rt △ACO中，
=
（2）作OF⊥AB于点F点，连结OD，∴DF=EF；AF=AD+DF=8+4=12，
在Rt △ODF中，
==3，
在Rt△AOF中，tanA=
31
124
O F
A F
==
12．（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，•
∴△ACB∽△NMB，∴
B C A B
B M B N
=，∴AB·BM=BC·BN
（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC•中点， ∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，
∵OM=OB，∴∠B=
1
2
∠MON=30°．∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
13．（1）证明：如图，连结OA，因为sinB=1
2
，
所以∠B=30°，故∠O=60°，又OA=OC，•所以△ACO是等边三角形，
故∠OAC=60°，因为∠CAD=30°，所以∠OAD=90°，所以AD•是⊙O的切线
（2）解：因为OD⊥AB，所以OC垂直平分AB，则AC=BC=5，
所以OA=5，•在△OAD中，∠OAD=90°，
由正切定义，有tan∠AOD=
A D
O A
，所以。
