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第10讲3.6 线性系统的稳态误差计算3.6.1 稳态误差的定义3.6.2 系统类型3.6.3 扰动作用下的稳态误差以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。
事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。
例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。
这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。
对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。
但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。
因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。
考虑图3-23的系统，图中)(s R 为系统的参考输入，)(s N 为系统的扰动作用。
为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器）图3-23 控制系统N(s)C(s))()()(1)()()()(212s H s G s G s G s N s C s M N +== (3-71))()()(21s G s G s G = 由扰动产生的输出为)()()()(1)()()()(212s N s H s G s G s G s N s M s C N n +==(3-72)系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为)()()()(1)()(0)(212s N s H s G s G s G s C s E n n +-=-=(3-73) 根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为)()()()(1)()(lim 2120s N s H s G s G s sG s sE e n s ssn +-==→ (3-74) 若令图3-23中的21)()(,)()(222111ννs s W K s G s s W K s G == (3-75)为讨论方便起见假设1)(=s H 则系统的开环传递函数为νs s W K s W K s G s G s G )()()()()(221121==(3-76)1)0()0(,2121==+=W W ννν。
第十讲线性时不变系统的标准形1. 可控标准形定理3-1：设系统(3-1)可控，则可通过等价变换将其⎡变成如下所示的可控标准形(第二可控标准形)：010*******⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥ ###%##x x u 000010⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎦"1211211[]−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣=+"n n n n n a a a a y x duββββ3求可控标准形的方法一：先求变换阵P11)[n −U=b Ab A b];"计算可控性矩阵12);U h −计算，并记其最后一行为h ⎡⎤hA ⎢⎥⎢⎥23)P hA ⎢⎥=⎢⎥#给出变换阵：；1hA −×⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n4为可逆阵只要证明对任意给定的P这样构造的是否可逆？：问题P为证明为可逆阵，只要证明对任意给定的αααα="h⎡⎤12[]n20hAPα⎢⎥⎢⎥hAα⎢⎥==⎢⎥#1hA−⎢⎥⎢⎥⎣⎦n112h hA hAααα−⇔+++="nn7⇒≡α即可。
为此，我们考虑右乘上式并考虑到1120(*)h hA hAααα−+++="n n b 1)用右乘上式，并考虑到21000−−(34)0,0,0,1hb hAb hAb hA b ====，(3-4)n n 有右乘（*）式，并考虑到（3-4）及0;n α=0Ab =2)用右乘（*）式，并考虑到（34）及之事实，有n α10α−=#n 依次类推，有8依次类推有0i αα=⇒≡0求可控标准形的方法二：先求变换阵P −11211−−⎡⎤⎢⎥"n n a a a 1). 令基底为：23110[]0−−−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎥P b Ab A b ""##$#-1n n n a a 12:[]q q q ="n 110100⎢⎢⎥⎣⎦"a d t()−−1212det(n n n ns s a s a s a −=++++I A "注意到显然有q bn =1112q b Ab A bA n n n a a −−−−=+++"而221212()q q A b A b q Aq n n n n n n a a a −−−=+++=+"9211Aq q q n n a −=−⇒2223q b Ab Ab −−−=+++"n n n a a 32323()q A b A b q Aq −−−−=+++=+" n n n n n n a a a 依次有3q 322Aq q q n na −⇒=−121A 依次，有-1,1,2,,1,q =q +Aq i n i n i a i n +=−"i =−=−"最后由1n −+++11,2,,,1Aq q q i i n n i n a +−⇒最后，由−112q b Ab A b n n a a −−="考虑到凯莱哈密尔顿定理，有12−−−=++=−++Aq Ab A b A b A b "n n a a a a 102111q q n n n n讨论：P .由变换阵的唯一性可给1出)为：11211h −−−⎡⎤⎛⎞⎡⎤"n n a a a 231210[]00hA P b Ab A b hA −−−⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟==⎢⎥$"#$$n n n a a 1110−⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎜⎟#n a 1100P hA −⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎣⎦13例题:设系统状态方程为2210−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=− 02011401x x u +⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解先判断可控性再计算变换矩阵将状态方试将系统状态方程化为第二可控标准形。
：先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。
3⎡2014124−⎤⎢⎥⎡⎤==−⎣⎦⎢⎥U b A b A b 1411det 0,−⎢⎥⎣⎦≠U 故系统可控。
16现构造变换矩阵P210⎡[]1522211Uh −⎤⎢⎥=−=−⎢⎥211−⎢⎥⎣⎦2TTT T=则变换矩阵为[()()]P h hA hA 1211210322121−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−=P P 即423201⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦17求可观标准形的方法一：先求变换阵P−1⎡⎤c A1);⎢⎥⎢⎥⎢⎥cA V=#计算可观测性矩阵1n −⎢⎥⎣⎦cA 12);V h −计算，并记后一列其最为113)[]Ph Ah Ah n n n −−×="给出变换阵：；20求可观标准形的方法二：先求变换阵P1−−⎡⎤"a a a 1212310−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥c cA "$n n n n a a 1100−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥P ###a n 1cA 100⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦"以上两种求P 阵的方法的分析均与可控标准形阵的方法类似求P 阵的方法类似。
21下面介绍变换的具体做法。
1）.不失一般性，假设B =[b 1b 2,……b p ]列满秩；2）.列出可控性矩阵：111n n n −−−A 1121212[]n p p p −=BA BA BU b b b A b A b A b b A b A b """"按上面的排列顺序，自左向右挑选出n 个线性无关向量再重新排列如下：量，再重新排列如下：12111111222μμμ−−−b Ab Ab b Ab Ab b Ab Ab """"P p p p12μμμ+++="n26显然有p11−=P 令3).12111111222[]P p p p μμμ−−−b Ab A b b Ab A b b Ab A b """"12pμμμ4）.求出P 1，以h i 表示P 1阵的1121pi μμμμ+∑"、、及行，×⎡⎤⎢⎥×⎫⎪1h ⎢⎥⎢⎥⎢⎥#1⎪⎬⎪⎪⎭μ行1P ⎢⎥⎢⎥×=⎢⎥⎢⎥##1μ⎢⎥×⎢⎥×⎢⎥p μ⎫⎪⎪⎬27h p ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦#⎪⎪⎭1pi n μ∑=第行讨论：1）P 2的可逆性证明：200P =⇒≡只要证明：若有列向量，满足即可。
ααα⎡⎤11A ⎢⎥⎢⎥h h a ）由111A μ−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥#h 2221PA μαα−⎢⎥==⎢⎥⎢⎥#h h 2⎢⎥⎢⎥⎢⎥#ph 1A μ−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦#P p h 290,1,2,,;0,1(),,11h A ij i i i i p a j ⇔==−−=""αμ特别，有1h ⎡⎤2h ⎢⎥⎢⎥#0=αh ×⎢⎥⎢⎥⎣⎦p p n11[]h h P A b μ−"-11,,的零空间恰恰是由中除去易见，i T T T p ib)后的向量b −−−1222211(222)1Ab A b b Ab A b b Ab A b ×−""""μμμP n p p p p n α所张成的，因而必可表示为这些向量的线性组合。
302p =这是由于(以为例说明）×⎡⎤⎢⎥×⎢⎥⎢⎥#112111111222[]−−⎢⎥⎢⎥=h b Ab A b b Ab A b I "" μμ010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=%""11−⎢⎥×⎢⎥×⎢⎥P 0001⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦%"⎢⎥⎢⎥#21112111110,0,,0,000111h b h Ab h A b A h b −−−===="μμN 12⎣⎦P h 11212120,0,,0;2h b h Ab h A b ==="μ10,0,,0;1h b h Ab h Ab −==="μ2121212222222221,,;0,0,,10,22h b h Ab AAh h b b −−===="μμ311[]h h "这说明,,的零空间确实是由这些向量所张成的。
T T T p一般地，我们有11,1,2,,h Ab i i i i pμ−=="及0,21.h A b ji k k i k i a =≠=−−<或者c)将表示为这些向量的线性组合：α(),i j 若但μ12222p iii−−−=∑"μμμ1)左乘上式两边并注意到式式有11220A b A b A b i i pi pa a a +++∑∑α1(-1)(-2)h A 现用左乘上式两边，并注意到式、式，有a a 3210=h A α122221111112121−−−+++=+++∑∑∑ h Ab h Ab h Ab "p i i i i i pi pa a a μμμ01111121112100h A b a a −−−=⇒=⇒=；μμμ2h A 再左乘，有222122222200h Ab μμμ−−−=⇒="，，a a 330≡依次类推，我们可以证明。
α证完。
×⎡⎤2p =以为例：−⎢⎥×⎢⎥#10=h B 10=h AB 111[1]μ=×12b ]h A [b 12111μμ−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=h b Ab A b b Ab A b I ""1010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=%""11111222[]−⎢⎥×⎢⎥×P 0001⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦%"⎢⎥⎢⎥⎢⎥#11210μμ−−"由此推得：N12⎣⎦P h 1110,[01,;]h A B h A h B B ×===#22220,,0;h A h B B μ−=="3521122122h AB h A [b b ]μμ−−=？2112222120,,0;222h B h A B h A B h A[b b ]−−−==="为？讨论μμμ注意到基底的选取法则注意到基底的选取法则：222111121212b b Ab Ab Ab Ab Ab Ab μμμ−−−"""22110Ab h A b 1μμ−−=p p1222122h AB h A [b b ]=[01]μ−⇒=121出现在上述列中，必有）若；2112Ab μ−不出现在上述各列中，）若则必可表示为2222121212b b Ab Ab Ab A b Ab μμ−−""p 的线性组合，故仍有21210h Ab μ−=361222122h A B h A [b b ]=[01]μ−⇒=P.85 例题3-2设系统动态方程(A , B , C )为0001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥100200001221140010010−⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B C 2360613⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦2试求其可控标准形。
