10 均衡交通分配模型的扩展

一般来讲，各个 OD 对之间的需求函数具有基本一致的结构形式，但函数的参数可能不相 同。这些参数取决于起点的人口规模、收入分布和车辆拥有量，以及讫点的就业能力和吸 引水平。最典型的需求函数形式是重力模型形式：qrs = Ar Bs f (u rs ) 。 Ar 和 Bs 分别是与 r 和 s 相关的参数， f (⋅) 是 u rs 的函数。 f (⋅) 一般是单调下降函数（至少不是上升） ，即随着
min z (x, q) = min {z1 ( x) − z 2 (q )}
由于 x a = x a ( f ) ，因此可构造拉格朗日函数如下：
−1 L(f , q, u) = ∑a ∫ t a (ω )dω − ∑rs ∫ Drs (ω )dω + ∑rs u rs (qrs − ∑k f krs )
在算法的第 n 步，即在点 f k
{ }上，下降方向通过解如下的等价线性规划获得
rs n
n
−1 n min z n ( g ) = ∑∑∑ (ckrs (f n ) − Drs (qrs )) g krs r s k
（3.1） （3.2）
s.t. g k ≥ 0
rs
∑g
k
rs k
≤ qrs
注意：LP 规划（3）中的 q rs =
xa 0
s.t.
∑
k
rs f krs = qrs，∀(r , s ) ∈ W ； f krs ≥ 0，∀(r , s) ∈ W ； x a = ∑r ∑s ∑k f krs δ ak ，∀a ∈ A
其中：OD 对之间的 OD 量是常数，即 OD 量不会随着走行时间的延长而发生减小的变化。 UE 模型可用 F－W 算法求解。
n
∑f
k
rs n k
根据 LP 规划（3）的解 g k
n
{ }可以计算得到辅助的路段流量和辅助的 OD 需求，即：
rs n n vrs = ∑ g krs （ ∀r , s ）
n
n rs ya = ∑∑ g k δ ars , k （ ∀a ） r ,s k
k
因此，问题的关键在于如何来求解等价的 LP 规划（3） 。该规划采用单纯形法来求解时要 进行路径列出，非常复杂，下面考虑用其它的方法求解之。 在 LP 规划（3）中， (ck (f ) − Drs (qrs )) 为常数，与 g k 无关；且约束条件
−1
z = ∫ (1 + ω )dω − ∫ (5 − ω )dω = x +
0 0
x
x
∂z = 2 x − 4 = 0 ⇒ x = 2, t = 1 + x = 3, q = 5 − t = 5 − 3 = 2 = x 。 ∂x
由此可见，根据模型求得的均衡点与实际的均衡点一致。 注意： t a 是路段上的时间； Drs (⋅) 是路线上的时间。
10.1.3 模型求解算法①－方向搜索算法 同样可以使用 Frank-Wolfe 算法求解 VUE 模型。 （回顾求解固定需求问题的步骤） 与固定需求情况不同的是，弹性需求情况中， q rs 是一变量，并且待求。 重写弹性需求用户均衡交通分配模型为：
−1 min z (x, q) = ∑a ∫ t a (ω )dω − ∑rs ∫ Drs (ω )dω
{ }& {x }& {q } 、相应的辅助变量应为 {g }& {y }& {v }（辅
rs a rs rs k a rs
助路径流、辅助边流和辅助 OD 需求） ，且满足 ya =
n
∑∑ g
r ,s k
rs k
rs δ ars , k 、 vrs = ∑ g k 。 k
设算法目前迭代到第 n 步，此时的路径流为 f 、相对应的路段流为 x 、相对应的 OD 需求 为 q 。那么应根据等价的线性规划来确定下降方向、依据一维搜索来确定移动的步长。 先回顾下 F-W 算法的原理：
−1 −1
10-3
d 模型解的唯一性证明 VUE 模型的约束集合是凸集。只要能证明目标函数是严格凸的，就说明该数学规划有唯一的解。 第一部分： z1 ( x) =
∑∫
a
xa
0
t a (ω )dw ，如果 t a ( x a ) 是关于 x a 的严格单调递增函数，则 z1 ( x) 必定
是关于 x 严格凸的。 第二部分： z 2 ( q ) =
xa q rs 0 0
（1.1） （1.2）
s.t.
∑
k
f krs = q rs
f krs ≥ 0
qrs ≤ qrs
其中：约束条件 qrs ≤ qrs 是额外加入的，该约束给每个 OD 对之间的需求量设定一个上限 值（在 VUE 问题中这是合理的） ，这样设计纯粹是出于计算上的考虑，并没有改变原问题 的性质。事实上，这个上限值可以定得任意大。 统一数学规划（1）中目标函数的变量 显然有： xa = xa (f ) =
n
n
min f ( x) ⇔ min f ( x) = f ( x 0 ) + ∇ x f ( x 0 )T ( x − x 0 ) ⇔ min ∇ x f ( x 0 )T x
要确定等价的线性规划，必先计算数学规划（2）中的目标函数对于路径流变量的梯度， 该梯度即是等价线性规划的系数：
∂z (f ) ∂z ( x(f ), q(f )) = =∑ ∂f krs ∂f krs a
其中： Drs (⋅) 为需求函数的反函数（也是一个降函数） 、 ⋅ ⋅, qrs ,⋅ ⋅ ⋅) ， 路段流与路径流的相关关系仍然为 x a =
−1
∑∑∑ f
r s k
rs k
δ ars ,k 。
VUE 模型与 UE 模型的比较：OD 量 q rs 为目标函数中的变量。
q rs ( f rs )
0
−1 Drs (ω )dω
（2.1） （2.2）
∑
k
f krs = q rs
qrs ≤ qrs
10-4

在 UE 问题中， 变量为 f k
{ }& {x } 、相应的辅助变量为 {g }& {y }（辅助路径流、辅助边流）
rs a rs k a
在 VUE 问题中， 变量为 f k
n
（4.1） （4.2）
n rs
k
s.t. g k ≥ 0
rs
∑g
k
rs k
≤ qrs
显然，这一问题是易于求解的，并且我们总可以保证目标函数 z rs ( g ) 是非正的。 (1) 将尽可能多的 OD 需求量放在 (ck (f ) − Drs (qrs )) 最小的路径上。
第十章
10.1 弹性需求交通分配模型 10.1.1 弹性需求下的均衡分配模型
均衡交通分配模型的扩展
在现实中，OD 交通量的大小会受到网络运行情况的影响。例如，在交通拥堵严重时有些 出行者会放弃自己开车而改乘地铁，甚至取消原有的出行计划。因此，OD 交通量并不是 固定不变的，交通分配应考虑弹性出行需求问题。
a
∂ ∑ ∫ t a (ω )dω
a 0
xa
∂xa
∂xa − ∂f krs
−1 ∂ ∑ ∫ Drs (ω )dω rs 0
qrs
∂qrs
∂qrs ∂f krs
−1 rs −1 = ∑ t a ( xa )δ ars , k − Drs ( qrs ) = ck (f ) − Drs ( qrs )

10-2
−1
1 2 1 x − 5x + x 2 = x 2 − 4 x 2 2
10.1.2 模型解的等价性和唯一性证明 c 模型解的等价性证明 下面证明 VUE 模型的解是弹性需求下均衡问题的解。
xa ⎧ z ( x) = t a (ω )dw ∑ 1 ∫ 0 ⎪ ⎪ a ⎨ q rs −1 ⎪ z 2 (q) = ∑ ∫ Drs (ω )dw 0 ⎪ rs ⎩
∑∑∑ f
r s k xa ( f )
rs k
rs rs δ ars ； qrs = qrs (f ) = ∑ f k （ ∀r , s ） , k （ ∀a ） k
因此，数学规划（1）可以统一为以路径流 f 为变量的等价极小值问题，即：
min z (f ) = ∑a ∫
s.t.
0
t a (ω )dω − ∑rs ∫ f krs ≥ 0
u rs 的增加 q rs 必然下降。另外，需求函数 q rs 一般是有上界的。

弹性需求下的均衡交通分配问题，就是要求得一组满足 Wardrop 第一原理的路段交通量和 OD 交通量，同时，OD 交通量还要满足给定的需求函数。
首先回顾一下 UE 交通分配模型：
min z ( x) = ∑a ∫ t a (ω )dω
−1
∑∫
rs
q rs
0
−1 Drs (ω )dw ，需求函数 Drs (urs ) 是关于 u rs 的单调下降函数，那么其反
函数 Drs (⋅) 也为一单调降函数， 降函数的积分是严格凹的， 即 z 2 (q ) 是严格凹的， 其负值 [ − z 2 ( q )] 则是严格凸的。 因此，目标函数 z ( x, q ) 是两个严格凸函数的和，仍然是严格凸的。 弹性需求分配问题的数学规划有唯一的路段流量解和 OD 需求量， 但路径流量解不一定是唯一的。
如果 qrs > 0 ，那么 u rs = Drs (qrs ) ，即 qrs = Drs (urs )，∀( r , s ) ∈ w ，满足需求函数。 如果 q rs = 0 ，那么 u rs ≥ Drs ( qrs ) ，说明路线行驶时间太长，不能诱发任何 OD 量。 因此，模型的解满足均衡条件和需求函数（前两个 K-T 条件就是 UE 均衡准则） 。