4.2.2圆与圆的位置关系-例题

4．2.2 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含． 温馨提示：两不相等的两圆有以上五种位置关系，它们的公切线情况如下 (1)两圆相外离，有四条公切线； (2)两圆相外切，有三条公切线； (3)两圆相交，有两条公切线； (4)两圆相内切，有一条公切线； (5)两圆相内含，没有公切线． 2．圆与圆的位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2(r 1≠r 2)，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切内含图示D 与r 1、R 2的关系d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2|0<d < |r 1－r 2| C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0.方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含圆系方程：(1)P 、Q 两点，则过交点P 、Q 的圆的方程可设为(x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F )＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )这些圆的圆心均在公共弦PQ 的垂直平分线上且以PQ 为直径的圆最小．(2)过C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1＞0)，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2＞0)交点的圆的方程可设为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．当λ＝－1时，所设方程为两已知相交圆的公共弦所在的直线方程．类型一 圆与圆位置关系的判断【例1】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2－15＝0，C 2：x 2＋y 2－4ax －2y ＋4a 2＝0(a ＞0)． 试求a 为何值时两圆C 1、C 2(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[思路探索] 求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a 的值． 解 对圆C 1、C 2的方程，经配方后可得： C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16， C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4；C 2(2a,1)，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切， 当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切； (2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交； (3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离；(4)当0＜|C 1C 2|＜3，即0＜a ＜3时，两圆内含．[规律方法] 判断两圆的位置关系一般有两种方法：一是代数法，一是几何法，但因代数法运算繁琐，且容易出错，因此一般采用几何法．【活学活用1】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0. (1)m ＝1时，圆C 1与圆C 2有什么位置关系？ (2)是否存在m 使得圆C 1与圆C 2内含？解 (1)∵m ＝1，∴两圆的方程分别可化为： C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， C 2：(x ＋1)2＋y 2＝1.两圆的圆心距d ＝(1＋1)2＋(－2)2＝2 2. 又∵r 1＋r 2＝3＋1＝4，r 1－r 2＝3－1＝2， ∴r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相交．(2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含， 则d ＝ (m ＋1)2＋(－2)2＜3－1， 即(m ＋1)2＜0，显然不等式无解． 故不存在m 使得圆C 1与圆C 2内含．类型二 两相交圆的公共弦问题【例2】 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[思路探索] 将两圆方程相减，先得到公共弦所在直线的方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦长．也可以利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形这一性质求解．解 联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 法一 设两圆相交于点A ，B 则A ，B 两点满足方程组 ⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.[规律方法] 求两圆的公共弦所在的直线方程时，若采用相减法，必须注意两圆方程中二次项的系数是否相同，只有二次项的系数相同时，才能利用相减法来处理．若二次项的系数不相同，需先将两圆的二次项的系数调整为相同．【活学活用2】 (1)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．解析 (1)两圆方程相减得公共弦所在直线为y ＝1a(a ＞0)．由如图可知弦长|AB |＝23，又OB 为圆x 2＋y 2＝4的半径， ∴|OB |＝2，则|OC |＝1，即公共弦为y ＝1，即1a＝1，故a ＝1.(2)由题意圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 为x ＋y －1＝0.圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12.由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234， ∴弦长为2×232＝23. 答案 (1)1 (2)23类型三 两圆的公切问题【例3】 已知圆O 1：x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆O 2：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0.求圆O 1和圆O 2的公切线方程．[思路探索] 先判定两圆位置关系以确定公切线的条数，再设出公切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径求得公切线的方程，并注意考虑公切线斜率不存在的情况．解 圆O 1的圆心坐标为O 1(－1，－3)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标O 2(3，－1)，半径r 2＝3，则|O 1O 2|＞r 1＋r 2，∴两圆相离，有四条公切线，设公切线的方程为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|－3＋k －b |1＋k 2＝1，①|3k ＋1＋b |1＋k 2＝3，②解得⎩⎨⎧k ＝0，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝－52，当斜率不存在时，x ＝0也和两圆相切，∴所求切线的方程为y ＋4＝0或4x －3y ＝0或x ＝0或3x ＋4y ＋10＝0.[规律方法] (1)此类问题首先根据两圆的位置关系确定公切线有几条，然后设出公切线方程再利用几何性质求出公切线方程． (2)当求出的公切线数目不够时，注意考虑斜率不存在的特殊情况，并找回特殊的公切线．【活学活用3】 (1)圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条． (2)已知动圆M 与y 轴相切且与定圆A ：(x －3)2＋y 2＝9外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是________． 解析 (1)∵C 1(－2,2)，r 1＝1，C 2(2,5)，r 2＝4 ∴|C 1C 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5 ∴圆C 1、C 2外切，公共线有3条． (2)设点M (x ，y )，动圆的半径为r ， 由题意，得|MA |＝r ＋3且r ＝|x |，∴ (x －3)2＋y 2＝|x |＋3.当x ＞0时，两边平方化简得y 2＝12x (x ＞0)； 当x ＜0时，两边平方化简得y ＝0(x ＜0)． 答案 (1)3 (2)y 2＝12x (x ＞0)或y ＝0(x ＜0) 类型四 圆系方程的应用【例4】 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点的圆的方程． [思路探索] 既可以先通过解方程组得到两圆的交点坐标再求解，也可以通过经过两圆交点的圆系方程求解． 解 法一 解方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，得交点坐标分别为(0,2)，(－4,0)． 设所求圆心坐标为(a ，－a )，则有a 2＋(－a －2)2＝(a ＋4)2＋a 2＝r ， 解得a ＝－3，r ＝10，因此所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.法二 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0，因为这个圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， 所以(2λ－2)＋(2λ＋10)＝0，解得λ＝－2. 所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.[规律方法] 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程问题利用圆系方程可避开求交点的复杂计算，因而常被采用． 【活学活用4】 (1)求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程． (2)若圆C 过点(0,2)及直线x －2y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点，求圆C 的方程．解 (1)设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.(2)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －4＋λ(x －2y )＝0.又圆C 过点(0,2)，代入上述方程得－8－4λ＝0，即λ＝－2.故圆C 的方程为x 2＋y 2－4＝0.易错辨析 因忽略内切情形而致错【示例】 求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．[错解] 由题意，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝16，因为圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，故b ＝±4，所以圆心坐标为C (a,4)或C (a ，－4)．又已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，设圆心坐标为A (2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA |＝4＋3＝7.(1)当取C (a,4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72，故a ＝2±210，此时圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.(2)当取C (a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72，故a ＝2±26，此时圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.[错因分析] 上述解答由于思维定势，想当然认为两圆外切只考虑|CA |＝4＋3＝7，遗漏掉了|CA |＝4－3＝1的情况，本例另一种常见错误是忽略圆心在x 轴下方的情况从而导致所求方程个数丢失一半．[正解] 由题意，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝16，因为圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，故b ＝±4，所以圆心坐标为C (a,4)或C (a ，－4)．又已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，设圆心坐标为A (2,1)，半径为3.若两圆相切，则|CA |＝4＋3＝7或|CA |＝4－3＝1.(1)当取C (a,4)时，(a －2)2＋(4－1)2＝72或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±210，此时圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.(2)当取C (a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±26，此时圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.[防范措施] (1)涉及到两圆相切的情况，要考虑分清是内切还是外切，切莫将外切等同于相切，以免出现知识性错误． (2)可通过作图思考有哪些情况，以避免遗漏某些情形.课堂达标1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝ 42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．答案 B2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( )． A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)解析 由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0.答案 C3．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为________．解析 设两圆相交于A 、B 两点，则A 、B 两点满足⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x －1)2＋y 2＝1.两式相减得－2x ＋1＝0，即x ＝12.答案 x ＝124．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4相切，则m 的值为________．解析 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为 2.当C 1、C 2外切时有(－2－m )2＋(m ＋1)2＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5；当C 1、C 2内切时有(－2－m )2＋(m ＋1)2＝3－2，即m 2＋3m ＋2＝0解得m ＝－1或m ＝－2. 答案 －5，－2，－1,25．求以点(－3,4)为圆心且与圆x 2＋y 2＝4相外切的圆的标准方程． 解 设所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)， 由两圆相外切可知 (－3)2＋42＝2＋r ，解得r ＝3. 故所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9.§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C. 答案 C【点评】 本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观.2．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1. 分别令x ＝0，y ＝0得A (1x 0，0)，B (0，1y 0)，∴|AB |＝1x 02＋1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2. 答案 C3．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围( )． A ．－2－5＜a ＜－2＋ 5 B ．－2－5≤a ≤－2＋ 5 C ．－5≤a ≤ 5D ．－5＜a ＜ 5 解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1， 解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 B4．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )． A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，将点(4,1)代入得a 2－10a ＋17＝0，解得a＝5±22，设C 1(5－22，5－22)，则C 2(5＋22，5＋22)，则|C 1C 2|＝32＋32＝8. 答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.[]－3，3D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析 如图，若|MN |＝23，则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1.∵ 直线方程为y ＝kx ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k2＝1，解得 k ＝±33.若|MN |≥23，则－33≤k ≤33. 答案 B6．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( ) A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C 7.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是（ ） A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案 B 二、填空题8．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析 由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a >0，则圆C 的半径为|a －1|，圆心到直线l 的距离为|a －1|2，根据勾股定理可得，(|a －1|2)2＋(2)2＝|a －1|2，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)，所以圆C 的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案 x ＋y －3＝09．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________． 解析 将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，∴|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，∴k ＝1或k ＝177.答案 1或17710．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．解析 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m 2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|OA →＋OB →|≥|AB →|即|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|，平方得OA →·OB→≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|OA →＋OB →|≥|AB →|等价于向量OA →，OB →的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B是直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2. 答案 (－2，－2]∪[2，2)11．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________． 解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π【点评】 数形结合法是把题中的“数”与“形”有效结合，相辅相助，解题方便、直观，在圆的有关问题中较为常见.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案 (－13,13) 三、解答题13．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB . 设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( ) A．1条B．3条C．4条D．以上均错[答案] B[分析] 先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数．[解析] ∵C1(－2,2)，r1＝1，C2(2,5)，r2＝4，∴|C1C2|＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切，因此公切线有3条，因此选B．规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析] 设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x －5)2＋(y＋1)2＝25.3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析] 利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝( )A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析] 设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是( )A．－1 B．2C．3 D．0[答案] C[解析] 两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1.∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，∴c＝－2，∴m＋c＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析] 半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是_________.[答案] 外切[解析] ∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2， ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．[解析] 方法1：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ)．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0. 10．(2015·某某天一中学模拟)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆C 过点(－5,0)， 故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5，故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2.当r 满足r ＋5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5＞d ，即r ＞52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个． 综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．能力提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[答案] D[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝0[答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16|，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y －2)2≤a －1}，且A ∩B ＝B ，则a 的取值X 围是( )A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤5[答案] D[解析] A ∩B ＝B 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x2＋(y －2)2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径长小于等于2时符合题意．由0<a －1≤4，得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素(0,2)，满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，当a ≤5时符合题意．4．(2015·某某某某模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，322B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22[答案] C[解析] 圆(x －a )2＋(y －a )2＝4的圆心C (a ，a )，半径r ＝2，到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点O ，半径R ＝1，则这两个圆相交，圆心距d ＝a 2＋a 2＝2|a |，则|r －R |<d <r ＋R ，则1<2|a |<3，所以22<|a |<322， 所以－322<a <－22或22<a <322.二、填空题5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝_________. [答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 6．(2015·某某某某月考)已知两点M (1,0)，N (－3,0)到直线的距离分别为1和3，则满足条件的直线的条数是_________.[答案] 3[解析] ∵已知M (1,0)，N (－3,0)，∴|MN |＝4，分别以M ，N 为圆心，1,3为半径作两个圆，则两圆外切，故有三条公切线．即符合条件的直线有3条．三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r .∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2， 即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.① ∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，② ∴②－①，得两圆的公共弦方程为 (2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③ ∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215.∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解． 如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点． ∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ， ∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值． ∵A 是定点，B 是l 上的动点， ∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小． 于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)，即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B (－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是 (x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．[解析] (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k －3－4|1＋k2， 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， ∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0， 即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件．。