高中人教版数学必修2《圆与圆的位置关系》精品导学案

圆与圆的位置关系（探究）一．教学目标知识与能力目标：1、通过探究，了解圆与圆有哪些位置关系；2、通过探究，得到判断圆与圆的位置关系的方法；3、通过探究，得到求出相交圆公共弦所在直线的方法；过程与方法目标：在探究的过程中，渗透数形结合思想；形成严谨的数学逻辑思维；学会发现问题，解决问题.情感态度与价值观：在探究过程中感受数学的魅力，提高数学学习兴趣.二．课程内容探究一：圆与圆有哪些位置关系？1、请根据上面5组圆的方程，完成表1第一列 圆心与半径 位置关系 圆心距dr r '+（1）C 1（， ），r 1=________；（2）C 2（ ， ），r 2=________ （3）C 3（ ， ），r 3=________；（4）C 4（ ， ），r 4=________ （5）C 5（ ， ），r 5=________；（6）C 6（ ， ），r 6=________ （7）C 7（ ， ），r 7=________；（8）C 8（ ， ），r 8=________ （9）C 9（ ， ），r 9=________；（10）C 10（ ， ），r 10=________2、请在下面5个坐标系中分别画出以上5组圆（每个坐标系中画出两个圆） （请按比例尺取长度 ）（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+-1)2()2(:4)2()1(:1222221y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2)2-()2(:2:2224223y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=+=++9)1-(:1)1(:4228227y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=+9)1()1-(:1:52210229y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=++4)1-(2:11:3226225y x C y x C ）（）（）（1表2（3） （4）（请完成表1第二列）（5）3、小结：圆与圆的位置关系有5种。

分别是外离、外切、相交、内切、内含探究二、如何使用代数法判断圆与圆的位置关系？1、如何判断一元二次方程解的个数？2、实例探究练习：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系. 方法分析：联立方程，作差，消元3、 方法小结：①联立方程、消元得到一元二次方程②利用△判断解的个数局限性：无法区分内切与外切，内含与外离探究三、如何从几何的角度判断圆的位置关系？1、 完成表1 后3列；有什么猜想?2、 根据猜想，完成表2. 验证猜想位置关系 数量关系位置关系 数量关系外离 内切 外切 内含 相交3、使用几何法判断两个圆位置关系的步骤：（1）将两圆的方程化为标准方程；（2）求两圆的圆心坐标和半径R 、r ； （3）求两圆的圆心距d 及|R-r|，R ＋r ； （4）比较d 与|R-r|，R ＋r 的大小关系：4、练习：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.2表探究四、两圆相交时，如何求出公共弦所在直线方程？1、 练习探究：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，两圆相交于A 、B 两点，求出A 、B两点所在直线方程。

课题： 2.4.2.5圆与圆的位置关系 课 型：新授课教学目标：（1）理解圆与圆的位置关系的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．教学重点、难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．教学过程：一、新课引入：问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？怎样判断？（引入课题） 问题2：初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？（引入新课）二、新课教学：问题：判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？（学生展开讨论）例1．（课本例3）已知圆1:C 222880x y x y +++-= ，圆2C ：22442x y x y +---=0试判断圆1C 与圆2C 的关系。

分析:解法一:说明：（见第129页）解法二:小结：设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；课堂练习：1.课本130p 练习 ;2.圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -++=的公切线有 3 条3.求圆心为(2,1),且与已知圆2230x y x +-=的公共弦所在直线过点(5,-2)的圆的方程.答案:22(2)(1)4x y -+-=4.两圆224410y x y ++--=与222130x y x ++-=相交于PQ 两点,则公共弦PQ 的长为 6 .课后作业：课本132p 习题4.2A 组第7，9，10题。

课后记:。

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

4.2.2 圆与圆的位置关系（一）核心素养通过学习圆与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法. （二）学习目标1.明确两个圆之间的五种位置关系.2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.（三）学习重点圆与圆的位置关系及其判断方法.（四）学习难点1.用圆的方程解决问题.2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，明确：圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是：（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法 方法一：几何方法设两圆的圆心距d ，半径12,r r ，则： ①当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离； ②当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当<-||21r r 12d r r <+时，圆1C 与圆2C 相交； ④当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；步骤：①计算两圆半径12,r r ；②计算两圆圆心距d ；③根据d 与12,r r 的关系判断两圆的位置关系. 方法二：代数方法方程组22111222220x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 有两组不同实数解⇔相交；有两组相同实数解⇔相切（内切或外切）；无实数解⇔相离（外离或内含）. 2.预习自测（1）根据图片说出圆与圆之间的位置关系.【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆交点个数【答案】（图一至图六依次为）外离、内含、内含、外切、内切、相交. （2）判断下列两圆的位置关系()()12222=-++y x 与()()165222=-+-y x .【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合 ()()221222255r r --+-==+，所以两圆外切.【思路点拨】看圆心距和半径间的关系 【答案】外切. (二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的位置关系：相离、相交、相切；（2）判断直线与圆的位置关系的方法：根据圆心到直线的距离；根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数； （3）与圆相切的直线方程的计算方法. 2.问题探究探究一 圆与圆的位置关系★●活动① 明确概念我们知道根据圆心到直线距离的长度与圆半径长度的比较之后，明确了直线与圆有三种位置关系，分别是：相离、相切和相交. 那么圆与圆之间也同样有这样的关系，我们通过两个圆半径之间与两圆圆心之间距离的长度还有公共点的个数比较来判断两个圆的位置关系：当公共点个数为0时，若21r r d +>，则两圆外离，若21r r d -<，则两圆内含；当公共点个数为1时，若21r r d +=，则两圆外切，若21r r d -=，则两圆内切；当公共点个数为2时，2121r r d r r +<<-，则两圆相交. 【例题】【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】（图一至图五依次为）外离、外切、相交、内切、内含. 【设计意图】解决数学问题，体会概念与数形结合方法. ●活动② 给定方程，判断位置关系当我们给定两圆的方程，有几种判别两圆位置关系的方法呢？（抢答）首先是代数法：设两个圆的方程组成的方程组为22111222220,0,x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 如果方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交； 有两组相同的实数解⇔两圆外切或内切；无实数解⇔ 两圆相离或内含. 其次是几何法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2(r 1≠r 2)，则O 1O 2＞r 1＋r 2⇔相离；O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切；|r 1－r 2|＜O 1O 2＜r 1＋r 2⇔相交；O 1O 2＝|r 1－r 2|⇔内切；O 1O 2＜|r 1－r 2|⇔内含.看下面的例题判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的位置. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】第一个圆的方程07622=-++x y x 可以改写为()16322=++y x ，第二个圆的方程027622=-++y y x 可以改写为()36322=++y x ，两圆圆心的的距离为()()23030322=-+-半径和为1021=+r r ，半径差为122r r -=，故两圆相交.【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系 【答案】相交.【设计意图】通过对概念理解和计算方法的运用，加深对圆与圆位置关系的理解. 探究二 两圆相交时的公共弦方程及弦长计算 ●活动① 根据图像判断公切线的条数在直线与圆的位置关系一节中我们探究了在圆内、圆上、圆外一点做圆的切线的问题，发现在圆内没有切线、在圆上有一条切线、在圆外有两条切线. 同理我们可以探究两圆的位置关系，再以此判断两圆的公切线的条数. 那么大家可以总结出来吗？（抢答）总结公切线条数如下：若两圆外离，两圆有四条公切线；相交，两圆有两条公切线；若两圆外切，两圆有三条公切线；若两圆内切，两圆有一条公切线；若两圆内含，两圆没有公切线.●活动② 给定两圆的方程，判断公切线的条数我们想要判定公切线的条数首先需要我们判定两圆位置关系.【例题】判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的公切线条数. 【知识点】圆与圆位置关系、公切线【数学思想】数形结合【解题过程】2211(3)16,(3,0),4x y o r ++=-=，2221(3)36,(0,3),6x y o r ++=-=122121210o o r r r r =-=<<+=则，则两圆相交，所以有2条公切线 【思路点拨】两圆的位置关系是相交 【答案】2●活动③ 过两圆交点的圆系方程的应用当两圆相交时，两圆有两个交点，这两个交点所在直线就是一条公共弦，那么这条弦的方程该如何计算呢？（举手回答）法一：联立两圆方程求出两圆交点，并用两点式求出直线方程. 法二：两圆相交，则两圆相减的方程为公共弦方程.例1 圆224410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点，求直线PQ 的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】两圆的公共弦方程就是两式相减的直线方程，22(441)x y x y ++---22(213)0x y x ++-=可得260x y -+=【思路点拨】两圆方程相减得出一条直线 【答案】260x y -+=；【同类训练】求以圆1C ：22122130x y x y +---=和圆2C ：221216250x y x y +++-=公共弦为直径的圆的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】解法一：22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+++-=⎪⎩相减得公共弦所在直线方程4320x y +-=，再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩联立得两交点坐标()1,2A -、()5,6B -.∵所求圆以AB 为直径，∴圆心是AB 的中心点()2,2M -，圆的半径为152r AB ==.于是圆的方程()()222225x y -++=. 解法二：（使用圆系方程求解：120o o λ+=）设所求圆2212x y x +--()222131216250y x y x y λ-++++-=()λ参数，得圆心()()1212162,2121λλλλ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭， ∵圆心在公共弦AB 所在直线上，∴()()121216243202121λλλλ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得12λ=. 故所求圆的方程2244170x y x y +-+-=即()()222225x y -++=. 【思路点拨】圆心在公共弦上 【答案】2244170x y x y +-+-= 探究三 两圆位置关系中的参数问题 ●活动① 已知两圆位置关系，求参数范围同直线与圆位置关系一样，我们在圆与圆位置关系的题目中同样涉及到参数的求解问题，接下来就根据这一道例题来掌握这一类问题中使用的代数思想. 例2 m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的范围. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】圆0118622=--++y x y x 改写为()()364322=-++y x ，则两圆圆心距离为5，使得两圆相交，则6562121+=+<<-=-m r r m r r ，最终解出.()121,1∈m【思路点拨】根据定义即可 【答案】()121,1∈m 【同类训练】已知圆0542:2221=-++-+m y mx y x C ，圆03222222=-+-++m my x y x C ：，当m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切；(2)圆C 1与圆C 2内含？【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后()()92221=++-y m x C ：；()()41222=-++m y x C ：. (1)如果C 1与C 2外切，则有()()232122+=+++m m ,()()252122=+++m m ，01032=-+m m ，解得25=-=m m 或.(2)如果C 1与C 2内含，则有()()232122-<+++m m ，1)2()1(22<+++m m ，0232<++m m ，解得12-<<-m ，∴当25=-=m m 或时，圆C 1与圆C 2外切；当12-<<-m 时，圆C 1与圆C 2内含. 【思路点拨】根据定义建立不等式 【答案】25=-=m m 或；12-<<-m 3.课堂总结 知识梳理（1）两个圆的位置关系一共有五种：外离、外切、相交、内切、内含. （2）给定两圆方程来判断两个圆之间的位置关系可以使用代数方法和几何方法. （3）两圆相交时公共弦所在直线和弦长的计算以及该弦的圆系方程. 重难点归纳（1）圆与圆的位置关系及其判断方法. （2）圆系方程解决问题. （三）课后作业 基础型 自主突破1.两个大小不等的圆，其位置关系有几种？分别是什么？ 【知识点】考察几种圆与圆位置关系的定义 【数学思想】归类总结 【解题过程】直接根据定义回答 【思路点拨】根据定义即可【答案】五种，内含、内切、相交、外切、外离2.圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为__________.【知识点】两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】∵两圆的圆心距为17)01()22(22=-++， 又∵231723+<<-，∴两圆相交 【思路点拨】定义 【答案】相交3.已知圆0882221=-+++y x y x C ：和 圆0144:222=---+y x y x C ，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.【知识点】已知两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】圆心距：5335-<<+ 【思路点拨】定义解题 【答案】相交4.若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，求实数m 的取值范围. 【知识点】已知位置关系，求参数范围，不等式 【数学思想】不等式方程思想【解题过程】1122(0,0),;(3,4),6O r m O r =-=，125,O O = 则因为两圆相交，所以656,m m -<<+解得m ∈(11,1)(1,11)--.【思路点拨】使用相交时圆心距离与两圆半径之间的关系来求解 【答案】(11,1)(1,11)--.5.判断两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的位置关系，若相交，请求出其公共弦长 .【知识点】两圆位置关系，弦长 【数学思想】方程思想【解题过程】把两圆改写成222212:(1)1;:(2)4;o x y o x y -+=+-=122112o o -<=<+ ,所以两圆相交，两圆相减可得直线方程为20x y -=，1o d l ===到直线的弦长 【思路点拨】定义解题. 6.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A ,B 两点，则直线AB 的方程是 .【知识点】两圆相交时求公共弦的方程 【数学思想】方程思想【解题过程】()()0122442222=-++--++x y x y x y x 【思路点拨】两圆方程相减即可 【答案】260x y --=. 能力型 师生共研7.已知01r <<+，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是 .【知识点】圆与圆的位置关系判别 【数学思想】数形结合【解题过程】两圆心距离为2，与两圆半径和与两圆半径差比较 【思路点拨】定义解题 【答案】相交8.已知圆()22422010x y ax ay a +-++-=与圆224x y +=相切，则a 的值为_________.【知识点】圆与圆的位置关系 【数学思想】方程思想.、分类讨论 【解题过程】圆()22422010x y ax ay a +-++-=改写成222(2)()5(2)x a y a a -+-=-，d =圆心距相切可得22+或者22-解得1a =±.【思路点拨】定义解题，得出方程【答案】1a =±探究型 多维突破9.求过圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程. 【知识点】过两圆交点的圆系问题【数学思想】方程思想【解题过程】圆方程可设为222242(24)0x y x y x y y λ+-+++--=，求出圆心21(,)11λλλ-++，带入直线:2410l x y +-=可得13λ=，再代入所设方程可得圆的方程为22310x y x y +-+-=【思路点拨】圆系【答案】22310x y x y +-+-=10.已知圆2260x y x +-=与圆22244x y y m +-=-(0)m >，则m = 时，两圆相切.【知识点】两圆位置【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 两圆改成2211(3)9,(3,0),3x y o r -+==，22222(2),(0,2),x y m o r m +-==d =圆心距,若外切则3,3;3m m m =+=-=-，解得3m =+【思路点拨】两圆相切分为两种：内切和外切3±自助餐1.已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.【知识点】相交两圆的公共弦问题【数学思想】数形结合【解题过程】两圆相减【思路点拨】结论解题【答案】0643=+-y x ；245. 2.已知圆0342:22=+-++y x y x C .若圆Q 与圆C 关于直线03=--y x 对称，求圆Q 的方程；【知识点】圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合【解题过程】(1)将圆的方程化成标准式()()22122=-++y x ，圆心()21，-C ，半径2=r ，圆心()21，-C 关于直线03=--y x 的对称点()45-，Q ，圆Q 半径2=r ，∴圆Q 的方程为()()24522=++-y x . 【思路点拨】圆关于直线对称还是圆【答案】()()24522=++-y x ； 3.已知点(5,4)P ，圆C ：2268110x y x y +---=，过P 作圆D ，使C 与D 相切，并且使D 的圆心坐标是正整数，求圆D 的标准方程.【知识点】位置关系、圆的方程【数学思想】分类讨论思想【解题过程】点P 在圆C 内部，所以圆D 与圆C 内切，设圆D ()()222x a y b r -+-=，由点在圆上和两圆内切得到133a r =-，14r ≤≤，讨论r后只有2r =和4满足，圆D 方程为()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.【思路点拨】在圆与圆的位置关系中有内切和外切两种【答案】()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.4.圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且面积最小，求此圆的方程.【知识点】两圆位置关系、圆系方程【数学思想】数形结合【解题过程】抓住直线即为直径【思路点拨】通过圆系方程可知，该直径是公共弦 【答案】221364()()555x y ++-= 5.已知圆1C ：222210x y kx k +-+-=和圆2C ：2222(1)20x y k y k k +-+++=，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何?【知识点】两圆位置关系、最值【数学思想】函数思想【解题过程】圆1C 的方程可以改写为()122=+-y k x ，圆2C 改写为()()1122=+-+k y x 两圆圆心距离最短时1222++k k ，21-=k ，此时22min =d 【思路点拨】两圆距离最短不仅大于0而且小于2.【答案】两圆的位置关系为相交.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆4)1()3(221=-++y x C ：和圆4)5()4(222=-+-y x C ：.(1)若直线l 过点)04(，A ，且被圆C 1截得的弦长为32，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.【知识点】直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】(1)由于直线4=x 与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为)4(-=x k y ，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为32，所以1)3(222=-=d . 由点到直线的距离公式，得21)43(1k k d +---=，从而0)724(=+k k ，即0=k 或247-=k ， 所以直线l 的方程为0=y 或028247=-+y x .(2)设点),(b a P 满足条件，不妨设直线l 1的方程为0),(≠-=-k a x k b y ，则直线l 2的方程为)(1a x kb y --=-. 因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等， 即2211)4(151)3(1kb a k k b a k +--+=+----，整理得bk a k b ak k --+=-++4531， 从而bk a k b ak k --+=-++4531或bk a k b ak k ++--=-++4531， 即3)2(+-=-+a b k b a 或5)8(-+=+-b a k b a ，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a ， 解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21323b a 这样点P 只可能是点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P . 经检验点P 1和P 2满足题目条件【思路点拨】条件直译【答案】（1）0282470=-+=y x y 或；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P .。

4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0， 即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0， 即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ， 即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ， 即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解 方法一 直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二 如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)， 所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)， 则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得 －34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析 如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。

2.5.2 圆与圆的位置关系(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1.知识与技能（1）圆与圆的位置关系的判断方法．（2）圆与圆的位置关系的应用（3）轨迹方程培养学生“数形结合”的意识.2.过程与方法几何法：设两圆的连心线长为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含.代数法： 有两组不相同的实数解⇔ 两圆相交 ;有两组相同的实数解⇔两圆相切（内切或外切）;无实数解⇔两圆相离（外离或内含）.3.情态与价值观 （1）动点圆的轨迹问题，数形结合的思想.，培养数学抽象能力.（2）根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．培养数学运算能力.（3）综合应用圆与圆的位置关系解决问题．培养学生逻辑推理能力.二、教学重难点重点：掌握圆与圆的位置关系的判断方法难点：能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.l 21r r l +>1C 2C 21r r l +=1C 2C 2121r r l r r +<<-1C 2C 21r r l -=1C 2C 21r r l -<1C 2C ⎩⎨⎧=++++=++++0022********F y E x D y x F y E x D y x 方程组：三、教学过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】每逢节假日农村集市上套圈游戏盛行，商家圈起来一小片空地，撒满一元，五角和一角的硬币，玩家10元钱可套20环，看似简单套起来却没有那么容易，要求圆环落地后不能触碰硬币，毕竟硬币面值越大，想套中就越难。

问题1：（1）一次套圈中把玩家的目标硬币和圆环看成两个圆，那么这两个圆满足什么位置关系才算套中？（2）为什么硬币面值越大，想套中就越难？（3）两个圆的位置关系和圆心距以及半径存在怎样的数量关系？【预设的答案】（1）内含（2)硬币面值越大，套中时要求两个圆心距离越近，难度越大相交，外切和内切（3）类比研究判断直线与圆的位置关系的方法.【设计意图】问题的提出源于实际生活，结合学生已有的知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.【数学情境】尺规作图，请同学们在纸上分别画出半径为3cm 和5cm 的圆，以小组为单位进行汇总，看看可以画出多少种位置关系，并探讨不同位置关系的圆心距满足的条件.【设计意图】创设数学情境，通过动手画图，小组讨论的形式，让学生处于数学学习的主导地位，增强学生的学习兴趣和自主学习能力.【活动预设】学生以小组为单位总结出判断两个圆位置关系的几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，满足相应的条件，判断两圆的位置关系.设两圆的圆心距为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；d 21r r d +>1C 2C 21r r d +=1C 2C 2121r r d r r +<<-1C 2C 21r r d -=1C 2C（5）当时，圆与圆内含.问题2：如果建立平面直角坐标系，目标硬币和圆环看成两个圆，得到两个圆的方程，类比直线与圆的位置关系，是否可以通过方程组解的个数，来判断两个圆的位置关系？【设计意图】进一步引导学生用代数法判断两个圆的位置关系，把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．1.2探究典例，初步应用活动：已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2－15＝0(a ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－4ax －2y ＋4a 2＝0(a ＞0)．试求a 为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含【活动预设】根据数学情景总结出的结论，把圆的一般方程化为标准方程，比较两个圆的圆心距与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小，满足相应条件，求解参数a.【预设的答案】(1)当a ＝5时，两圆外切；当a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当a ＞5时，两圆外离．(4)当0＜a ＜3时，两圆内含．【设计意图】理论结合实际,运用几何法判断两圆位置关系.1.3具体感知，理性分析活动：已知圆C1：,圆C 2： 分别用几何法和代数法判断圆C1与圆C2的位置关系.【设计意图】（1）灵活运用判断两圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法．（2）比较两种方法判断两个圆位置关系的异同 .问题3：用代数法判断两个圆的位置关系时，如果两圆方程联立消元后得到的方程的 ，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？21r r d -<1C 2C 088222=-+++y x y x 024422=---+y x y x 0=∆【预设的答案】如果，则两圆相切；此时无法判定两圆是内切还是外切，还要根据两圆的半径与连心线的长作进一步判断.【设计意图】（1）更深入的理解判别式对两圆位置关系的影响根源在于交点个数；（2）仅仅由交点个数无法判断两个圆的位置关系.问题4：在平面直角坐标系中画出活动2中两个圆的图像，若将两个圆的方程相减，你发现了什么？并求出圆C1与圆C2的交点坐标.【预设的答案】两相交圆方程相减得公共弦方程,交点坐标.【活动预设】教师引导学生阅读教科书中的相关内容，学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.【设计意图】运用数形结合的思想，探究相交的两个圆引出的公共弦方程，以及交点坐标问题.2. 初步应用，理解概念例1．(2021·皖南八校联考)已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x －a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( )A ．{1，－1}B ．{3，－3}C ．{1，－1，3，－3}D ．{5，－5，3，－3}【预设的答案】C 两圆只有1个公共点，则两圆外切或内切．如果两圆外切，则|a|＝2＋1＝3，a ＝±3；如果两圆内切，则|a|＝1，a ＝±1.综上，a∈{1，－1，3，－3}【设计意图】巩固判断两个圆的位置关系的两种方法.A.(1，0)和(0，1)B.(1，0)和(0，-1)C. (-1，0)和(0，-1)D.(-1，0)和(0，1)0=∆012=-+y x )1,3(),1,1(--B A 的交点坐标为（）与圆圆例01221.22222=++++=+y x y x y x【预设的答案】C【设计意图】求相交圆的交点坐标:（1）代数法（2）答案带入题目检验例3.已知两圆和．求公共弦的长度．【预设的答案】解法一：两方程联立，得方程组Error!两式相减得x ＝2y －4　③，把③代入②得y 2－2y ＝0，∴y 1＝0，y 2＝2．∴Error!或Error!∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为(－4－0)2＋(0－2)2＝25．解法二：两方程联立，得方程组Error!两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝25．两圆的公共弦长为．【设计意图】探讨求公共弦长的方法.（1）代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．（2）几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长.02410222=-+-+y x y x 082222=-+++y x y x 52【设计意图】利用中点坐标公式，坐标系解决平面几何问题.3. 归纳小结，文化渗透思考：构成奥运五环中的圆之间有哪些位置关系，生活中的日用百货，建筑学领域，还有哪些涉及两个圆的位置关系？【设计意图】（1）梳理对判断两个圆的位置关系方法的理解和应用；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习两个圆位置关系的必要性 .四、归纳小结，课后作业1.判断圆与圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法2.求两个相交圆公共弦长的两种方法：几何法和代数法3.满足某种几何条件的动点圆的轨迹问题，用的是坐标法.这种方法建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合思想.例4(1)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN(M ，N 为切点)，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．(2)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．①求线段AP 中点的轨迹方程；②若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．1.教科书130页练习.习题4.2 A组第4、9、10、11题.2.步步高《圆与圆的位置关系》习题。

高二数学必修2 第四章 圆与方程第四章 圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上⇔2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外⇔2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内⇔2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径⇔点在圆外⇔_________________.2°点到圆心的距离等于半径⇔点在圆上⇔_________________.3°点到圆心的距离小于半径⇔点在圆内⇔_________________.二、合作探究例1：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的 方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆； (ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________； (ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。

情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。

二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

圆与圆的位置关系示X教案整体设计教学分析教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系．让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用．值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生，建议不学习，对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否那么本节课的教学目标完不成．三维目标1．掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力．重点难点教学重点：利用方程判定两圆位置关系．教学难点：用坐标方法讨论两圆位置关系．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系．设计 2.我们知道，日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课．推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？画图表示，并指出判断方法.讨论结果：应用示例思路1例1判断以下两个圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解：(1)两圆的方程可分别变形为(x－1)2＋y2＝22，(x－2)2＋(y＋1)2＝(2)2.由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r1＝2；圆心C2的坐标为(2，－1)，半径r2＝ 2.设两圆的圆心距为d，那么：d＝|C1C2|＝2－12＋－12＝ 2.r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－ 2.所以r1－r2<d<r2＋r2.因此这两个圆相交．(2)两圆的方程分别变形为：x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.由此可知圆心C1的坐标为(0,1)，半径r1＝1；圆心C2的坐标为(3，0)，半径r2＝3，那么两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．点评：判断两个圆的位置关系．几何法：即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．设两圆的连心线长为d，那么判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当d>R＋r时，圆C1与圆C2外离；②当d＝R＋r时，圆C1与圆C2外切；③当|R－r|<d<R＋r时，圆C1与圆C2相交；④当d＝|R－r|时，圆C1与圆C2内切；⑤当d<|R－r|时，圆C1与圆C2内含．变式训练1．在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1)，半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系．解：作出两圆，如下图．两圆半径分别记作r1和r2，那么r1＝1，r2＝2，圆心距d＝|C1C2|＝0－12＋0－12＝2，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以两圆相交．2．判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系，并画出图形．解：由得圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，其圆心C1(－1,3)，半径r1＝6；圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，其圆心C2(2，－1)，半径r2＝1.于是|C1C2|＝2＋12＋－1－32＝5.又|r1－r2|＝5，即|C1C2|＝|r1－r2|，所以两圆内切．如下图．3．x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0(x －1)2＋y 2＝1， 故圆心为(1,0)，半径为1.圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0x 2＋(y －2)2＝4， 故圆心为(0,2)，半径为2.那么圆心距d ＝1－02＋0－22＝ 5. 而2－1<5<1＋2，即两圆相交． 答案：B例2试用坐标方法讨论两圆位置关系．(此题针对学生实际选用)解：如下图所示，以O 1为坐标原点，使x 轴通过O 1，O 2，且O 2在x 轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy.这样，可设⊙O 2的圆心的坐标为(d,0)．这时两圆的圆心距等于d ，两圆的方程分别为 x 2＋y 2＝r 21 ①(x －d)2＋y 2＝r 22. ②将①②两式联立，研究此方程组的解． ①－②，整理可得x ＝r 21－r 22＋d22d .将x 值代入①，得 y 2＝r 21－r 21－r 22＋d224d2＝2dr 1＋r 21－r 22＋d 22dr 1－r 21＋r 22－d 24d2＝[r 1＋d2－r 22][r 22－r 1－d2]4d2＝r 1＋r 2＋d r 1－r 2＋dr 1＋r 2－dr 2－r 1＋d4d2＝[r 1＋r 22－d 2][d 2－r 1－r 22]4d2.由此可见，如果 |r 1－r 2|<d<r 1＋r 2那么等式右边两个因式都为正数，于是方程组有解，且有两解．这时相应的两圆相交于两点(如下图)．如果：r 1＋r 2＝d 或|r 1－r 2|＝d ，那么等式右边分子的因式中至少有一个为0，那么方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切)(上图(2)(3))．如果：r 1＋r 2<d 或|r 1－r 2|>d ，那么方程组无解，这时两圆不相交(相离或内含)(上图(4)(5))．思路2例3圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．解：设两圆交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，那么A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，①②①－②，得3x －4y ＋6＝0. 因为A 、B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.又点C 1到直线的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95. 所以AB ＝2r 2－d 2＝232－952＝245，即两圆的公共弦长为245. 点评：处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用．此题中求两圆公共弦所在直线方程可以作为结论记住．变式训练判断以下两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程．(1)(x ＋2)2＋(y －2)2＝1与(x －2)2＋(y －5)2＝16，(2)x 2＋y 2＋6x －7＝0与x 2＋y 2＋6y －27＝0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r 1＝1和r 2＝4，两圆的圆心距d ＝[2－－2]2＋5－22＝5. 因为d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x ＋3)2＋y 2＝16，x 2＋(y ＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为r 1＝4和r 2＝6， 两圆的圆心距d ＝0－32＋－3－02＝3 2.因为|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2，所以两圆相交． 两圆方程相减得公共弦的方程： 6x －6y ＋20＝0，即3x －3y ＋10＝0.例4求过点A(0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．分析：如下图．所求圆经过原点和A(0,6)，且圆心应在圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．解：将圆C 化为标准方程，得(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，那么圆心为C(－5，－5)，半径为5 2.所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y ＝0.设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a ，b)在直线x －y ＝0上，那么有⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋0－b 2＝r 2，0－a 2＋6－b 2＝r 2，a －b ＝0，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝3，r ＝3 2.于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18.点评：求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单．变式训练求经过点A(4，－1)，且与圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝5相外切于点B(1,2)的圆的方程．解：如下图，设所求的圆C′的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝R 2.因为C′既在弦AB 的垂直平分线上，又在直线BC 上，AB 中垂线方程为x －y －2＝0，BC 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，所以，圆心C′的坐标应满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b －2＝0，a ＋2b －5＝0.解得a ＝3，b ＝1.因为所求圆C′过点A(4，－1)，所以(4－3)2＋(－1－1)2＝R 2＝5.所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.知能训练1．在(x ＋k)2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2(k≠－1)所表示的一切圆中，任意两圆的位置关系是( )A ．相切或相交B ．相交C ．相切D ．内切或相交 答案：C2．圆x 2＋y 2＋m ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，那么实数m 的取值X 围为( ) A ．－10<m<0 B ．－100<m<－10 C ．m<－100 D ． 答案：C3．半径为5且与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0相切于原点的圆的方程是________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y ＝04．一圆过两圆x 2＋y 2＋6x －3＝0和x 2＋y 2－6y －3＝0的交点，圆心在直线x ＋y ＋6＝0上，求此圆的方程．答案：x 2＋y 2＋9x ＋3y －3＝05．求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －3＝0和x 2＋y 2－4y －3＝0的交点的圆的方程．解：设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0(λ≠－1)，那么其圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．∵所求圆的圆心在直线x －y －4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，λ＝－13.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.拓展提升求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，x －y ＋5＝0，求得交点(－2,3)或(－4,1)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为(0,0)，(－2 3)，(－4,1)三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋1－4D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，E ＝－95，D ＝195.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.解法二：设过交点的圆系方程为x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＋λ(x－y ＋5)＝0(λ为参数)． 将原点(0,0)代入上述方程得λ＝－215.那么所求方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.课堂小结本节课学习了：利用方程判断两圆位置关系，解决与两圆有关的问题．作业本节练习A 1,2题．设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上，对这个位置关系的进一步深化，而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的，所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系．作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，表达的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题，用几何方法处理代数问题．所以在教材处理上，对判断两圆位置关系用了几何方法，使学生对解析几何的本质有所了解．备课资料圆的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt.①并且对于t 的每一个允许值，由方程①所确定的点M(x ，y)都在一条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间的关系的变数叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．参数方程能把曲线上的点坐标通过参数直接地写出来，因此，能比较清楚地说明曲线上点的坐标的特点，尤其是借助于参数方程，可以使有的问题变得容易解决．这也正是在解有关问题时，将普通方程化为参数方程来解的原因．当然在解答有关问题时，根据问题的需要，有时也将参数方程化为普通方程，比如研究有关曲线的性质时，由于我们对普通方程下曲线性质比较熟悉，这时，常把曲线参数方程化为普通方程来研究问题．圆的参数方程参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rsinθ.其中，θ为参数，圆心为(a ，b)，r 为半径．需注意的两点：(1)标准方程含有a ，b ，r ，当a ，b ，r 确定下来时，圆的参数方程才唯一地确定下来，确定圆的参数方程同样需要三个独立条件．(2)要掌握圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rcosθ(θ为参数)之间的互化．。

4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ． 点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（ ） Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ） Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0． 点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义 二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１： 例2 变式训练２： 【作业布置】 导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。

1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。

综合检测一、选择题1.点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2内，则直线x 0x ＋y 0y ＝r 2和已知圆的公共点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案 A 解析 ∵点P在圆内，∴x 20＋y 20＜r 2.又∵圆心O (0,0)到直线x 0x ＋y 0y ＝r 2的距离d ＝|r 2|x 20＋y 2＞r ，∴直线与圆无交点.2.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2) 答案 B解析 因为直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，且直线l 1恒过定点(4,0)，所以直线l 2必过点(4,0)关于点(2,1)对称的点(0,2).3.已知在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使其绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A.32π B.52π C.72π D.92π 答案 A解析 所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥，所以所形成几何体的体积V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13πr 2(1＋1.5－1)＝13π(3)2×1.5＝32π.4.若点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2x －2y －2≤0，则点P 到直线3x ＋4y －22＝0的最大距离是( ) A.5 B.1 C.2－11 D.2＋1 答案 A解析 由题意知，点P 在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上或其内部，因为圆心到直线的距离d ＝|3＋4－22|32＋42＝3，所以点P 到直线的最大距离为d ＋r ＝5.5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于( )A. 2B.2－ 2C.2－1D.2＋1 答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|a －2＋3|22＋(3)2＝4(a ＞0)，解得a ＝2－1.6.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，若SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O的表面积为()A.4πB.3πC.2πD.π答案A解析由已知得球O的直径是以S，A，B，C为4个顶点的长方体的体对角线，即2R＝12＋(2)2＋12＝2，∴R＝1，∴球O的表面积为4πR2＝4π.①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.A.0个B.1个C.2个D.3个答案B解析①中可能有a∥b，a与b相交，a与b异面；②中可能有a∥M或a⊂M；③中a与b 可能平行、相交或异面；④正确，故选B.8.设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2答案B解析由题意可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝4a2＋a2＋a2，解得R＝62a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.9.已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，则该三棱锥的表面积为()A.339B.339＋ 3C.339＋3 3D.39＋33答案C解析由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC ＝AC＝2 3.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC.有VD＝VB2－BD2＝42－(3)2＝13，则S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝3 3.所以三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).10.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝π6，∠BP A ＝π3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3].二、填空题11.已知A (2,5，－6)，点P 在y 轴上，P A ＝7，则点P 的坐标为________. 答案 (0,8,0)或(0,2,0)解析 设点P (0，y,0)，则P A ＝22＋(5－y )2＋(－6)2＝7，解得y ＝2或y ＝8.故点P 的坐标为(0,8,0)或(0,2,0).12.直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 答案 2解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点， 则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1， 满足题意， 所以a 2＋b 2＝2.13.过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.答案 22解析 借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长.设A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2，当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦. |CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2. ∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2.14.已知△ABC 中，A ∈α，BC ∥α，BC ＝6，∠BAC ＝90°，AB ，AC 与平面α分别成30°，45°的角，则BC 到平面α的距离为________. 答案6解析 如图，分别过点B ，C 作BF ⊥α于点F ，CE ⊥α于点E .连接AF ，AE .设BC 到平面α的距离为h .∵∠BAF ＝30°，∠CAE ＝45°，∴BA ＝2h ，AC ＝2h .在Rt △ABC 中，BC 2＝BA 2＋AC 2，即(2h )2＋(2h )2＝36，解得h ＝ 6.三、解答题15.已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解 (1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)， 所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，m 2＝8m≠－n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.16.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点. (1)证明：DE ∥平面ABC ；(2)设二面角A －BC －D 为60°，求BD 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值.(1)证明 设BC 的中点为F ，连接AF ，EF ，则EF ∥BB 1，且EF ＝12BB 1.又∵AD ∥BB 1，且AD ＝12BB 1，∴EF ∥AD ，且EF ＝AD ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE ∥AF .又∵DE ⊄平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)解 连接DF ，BE .∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC .∵AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC . 又∵AA 1∩AF ＝A ，∴BC ⊥平面ADF ，∵BC ⊥DF ，∴∠AFD 为二面角A －BC －D 的平面角，即∠AFD ＝60°.∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC .AF ⊂平面ABC ，AF ⊥BC ，∴AF ⊥平面BCC 1B 1.∵DE ∥AF ，∴DE ⊥平面BCC 1B 1，∴∠DBE 为BD 与平面BCC 1B 1所成的角. 设AF ＝a ，则DE ＝a ，AD ＝3a ，AB ＝2a ，∴BD ＝5a ，∴sin ∠DBE ＝a 5a ＝55. 17.已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上. (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 的面积的最小值.解 (1)设圆M 的标准方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0).根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |，又因为|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，由点到直线的距离公式得|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，18.已知圆C 过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0).(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，设点P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标.(1)证明 由题意知，圆C 的标准方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或x ＝2t ，则A (2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或y ＝4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t . ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·|4t|＝4，为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，∴原点O 在MN 的中垂线上.设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，且直线OC 的斜率与直线MN 的斜率的乘积为－1，即直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2，∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5.当圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时直线与圆相离，故舍去.故圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 易求得点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点B ′(－4，－2)， 则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |， 又∵B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝25，∴|PB |＋|PQ |的最小值为25，又直线B ′C 的方程为y ＝12x x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－23，故|PB |＋|PQ |取得最小值时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，－23，最小值为2 5.。

《圆与圆的位置关系》教学设计1．教学目标（1）知识与技能目标：通过探索两圆的位置关系，了解两圆位置关系的定义，熟练掌握不同位置关系的性质及判定方法，并能在实际生活中运用。

发展学生分类讨论的思想、数形结合的思想、运动变化、相互联系、相互转化的思想。

（2）过程与方法目标：通过几何画板的演示和作图活动，发展学生观察、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括的能力。

（3）情感态度和价值观目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作、与人交流的良好品质，形成事物运动变化。

培养用数学的意识，感受数学的美，激发学生对数学的热爱。

2．教学重点与难点重点：圆与圆的五种位置关系的性质和判定的探究及应用。

难点：圆与圆位置关系的数量关系的发现。

3．教学方法采用“情境─问题”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。

借助几何画板、Powerpoint和自制的两张圆形硬纸板等工具，加强直观性，分散知识难点。

4. 设计思路笔者结合几何画板，制作了多媒体课件采用情境—问题的教学模式，先通过日食现象使生活中的问题联系到数学问题，引出圆与圆的位置关系，再运用课前准备好的教具让学生分组演示两圆位置关系与公共点个数的联系，然后通过几何画板进行演示，得出两圆的五种位置关系，并通过等圆情况下的位置关系进一步巩固知识点。

结合电脑演示与学生讨论，利用圆心距d、R、r分析五种两圆的位置关系。

通过习题一题多解的形式引出判断两圆位置关系的两种不同的方法：几何法、代数法，并通过课堂设计引导学生比较两种方法的优缺点，又进一步加深学习了共点圆系方程的概念及其应用，最后利用相关习题进行巩固。

5．教学过程（1）创造情景，引出主题展示日食现象的动画，问：首先我们来欣赏一段动画，你们见过这种现象吗？目的：创造现实情景，引导学生发现现实数学问题，引导学生了解知识，使学生理解生活中存在数学问题，数学源自生活。

（2）学生活动引导学生利用课前准备的教具分组试验，合作探究，分类讨论弄清两圆的各种位置关系。

4.2.2圆与圆的位置关系基础巩固1.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切2.圆C 1:x 2+y 2+4x+8y-5=0与圆C 2:x 2+y 2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离3.已知圆A 与圆B 相切,圆心距为10cm,其中圆A 的半径为4cm,则圆B 的半径为（）A .6cm 或14cmB .10cmC .14cmD .无解4.已知圆O 1的方程为x 2+y 2=4,圆O 2的方程为(x-a )2+y 2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}5.圆x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆x 2+y 2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.46.已知以C (4,-3)为圆心的圆与圆O :x 2+y 2=1相切,则圆C 的方程为（）A .(x-4)2+(y+3)2=16B .(x+4)2+(y-3)2=36C .(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D .(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=367.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.8.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m=.9.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为.10.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,半径为2的圆的方程.能力提升1.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±3.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m的最大值为（）A .7B .6C .5D .4★4.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.22⎛ ⎝⎭B.22⎛-- ⎝⎭C.,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭D.22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是.6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.7.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.★8.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.参考答案基础巩固1.【解析】圆C 1的圆心是C 1(-2,2),半径r 1=1,圆C 2的圆心是C 2(2,5),半径r 2=4,则圆心距|C 1C 2|=5.因为|C 1C 2|=r 1+r 2,所以两圆外切.【答案】D2.【解析】由已知,得C 1(-2,-4),r 1=5,C 2(-2,-2),r 2=3,则d=|C 1C 2|=2,所以d=|r 1-r 2|.故两圆内切.【答案】C3.【解析】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1,r 2,当两圆外切时,r 1+r 2=10,所以r 2=10-r 1=10-4=6;当两圆内切时,|r 1-r 2|=10,即|4-r 2|=10,r 2=14或r 2=-6(舍),即圆B 的半径为6cm 或14cm .【答案】A4.【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a 的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C .【答案】C5.【解析】两圆的圆心分别为C 1(-2,2),C 2(2,-5),则两圆的圆心距d =又半径分别为r 1=1,r 2=4,则d>r 1+r 2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r 2(r>0).因为圆C 与圆O 相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=08.【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45-=,解得m=81.【答案】819.【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB 的距离d ==故公共弦AB 的长为AB =10.【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以2222913422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得322a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以圆心C 的坐标为333,22⎛-- ⎝⎭,所求圆的方程为223422x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.能力提升1.【解析】圆心距d =,两圆半径的和为2+1=3,两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C2.【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a,又公共弦长为,所以=解得2a =±.【答案】A3.【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B4.【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a<<,所以22a-<<或22a <<.【答案】C5.【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切6.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=.①若两圆外切,则有123+=.②由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有211-=.③由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.7.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1.设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2,化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥).8.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1-),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1-)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r .因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=,①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①的距离得=,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。