2009届镇海中学高三年级数学第一学期期中考试数学(理)试题

镇海中学2008学年第一学期期中考试高三年级数学（理科）答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共28分）11. 135° 12. -1 13.51214. 32p15. 16 16. 12- 17. 2<a<3三、解答题：本大题共5小题；共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. （本小题14分）已知平面内三点A(3,0),B(0,3),C()sin ,cos αα,O 为坐标原点。

（1） 若1AC BC?-uuu r uuu r,求sin()4pa +的值。

（2） 若与，求且｜),0(,13|πα∈=+的夹角。

【解】：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-=⋅∴αααα…………………3分 得1)sin (cos 3sin cos 22-=+-+αααα,32sin cos =+∴αα……………………5分 32)4sin(=+∴πα…………………………7分 （2）13|=+｜ 。

,21cos ,13sin )cos 3(22=∴=++∴ααα ,23sin ,3),,0(==∴∈απαπα ……………………9分),23,21(C ∴2OB OC\?uu u r uuu r 11分 OB OC q uu u r uuu r设与的夹角为， 则233233||||cos ===OC OB θ 6),0(πθπθ=∴∈ 即为所求。

……………………14分19．（本小题14分）已知：二次函数c bx ax x f ++=2)(同时满足条件：①);()3(x f x f =-②;0)1(=f ③对任意实数2141)(,-≥a x f x 恒成立. （1）求：)(x f y =的表达式；（2）数列}{},{n n b a ，若对任意n 均存在一个函数()n g x ，使得对任意的非零实数x 都满足1()(),(*)n n n n g x f x a x b x n N +?+=?，求：数列}{}{n n b a 与的通项公式。

2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x ∈Z |﹣7＜2x ﹣3＜4}，B ＝{﹣1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，3}C ．{3，5}D ．{﹣1，3，5}2．设a ＝30.5，b =(13)−0.4，c ＝log 0.30.4，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c3．函数f(x)=2x 32x −2−x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知a ，b 为正实数，且满足1a+2b+1a+3=12，则a +b 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．52D ．25．已知函数f(x)=log 12(x 2+ax −2a)在[1，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．[﹣2，+∞）C ．[﹣2，1）D ．（﹣∞，﹣2]6．已知x ，y ∈R ，则“x +|x ﹣1|＜y +|y ﹣1|”是“x ＜y ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数f(x)=x −√x 2−4x +3的值域为（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[1，3]C ．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，3]8．已知f （x ）＝﹣x 2+2|x |+1，若方程[f （x ）]2+mf （x ）+n ＝0（m ，n ∈R ）恰好有三个互不相等的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣3B ．m ≤﹣2C ．m ＜﹣3或m ＞﹣2D ．m ＝﹣2或m ＜﹣3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

浙江省镇海中学2008-2009学年高三第一学期期中试卷数学（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 1．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）（A ）)0(log 2>-=x x y （B ）3,()y x x x =+?R（C ）)(3R ∈=x y x（D ）)0,(1≠∈-=x x xy R 2. 在锐角△ABC 中，若lg (1＋sinA) = m , 且lgA sin 11-= n ，则lgcosA 等于（ ）（A ）21(m －n) （B ）m －n （C ）21( m ＋n 1) （D ）m ＋n13.在等差数列{}n a 中，38133120a a a ++=，则3138a a a +-= ( ) （A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-4.过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ）（A ）16条 （B ） 17条 （C ） 32条 （D ） 34条5．已知向量OZ uuu r 与OZ 'u u u u r 关于x 轴对称，j =(0,1)，则满足不等式0/2≤•+ZZ j 的点Z (x ,y )的集合用阴影表示为下图中的（ ）6．设log log 3aax y +=，这时a 的取值集合为（（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}7.若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） （A ）221a b +≤ （B ）221a b +≥ （C ）22111a b +≤ （D ）22111a b+≥8. 设(43)，=r a ，r a 在r b 上的投影为2，r b 在x 轴上的投影为2，且||14≤r b ，则r b 为（ ）（A ）(214)， （B ）2(2,)7- （C ）2(2,)7- （D ）(28)，9.将函数)42sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移ϕ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21倍,所得图象关于直线4π=x 对称,则ϕ的最小正值为 ( )（A ） π81 （B ） π83 （C ） π43 （D ） π2110．已知()1f x bx =+为关于x 的一次函数，b 为不等于0的常数，且满足1 (0)()[(1)] (1)n g n f g n n ì=ïï=íï-?ïî, 设*()(1),n a g n g n n N =--?则数列{}n a 为（ ）（A ）等差数列 （B ）等比数列 （C ）递增数列 （D ）递减数列 二、填空题：（本大题共7小题；每小题4分，共28分．） 11．曲线在32153yx x =-+在x =1处的切线的倾斜角为 . 12. )(x f 是定义在R 上的奇函数，若x ≥0时，)1(log )(3x x f +=，则=-)2(f ______． 13．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=n x n x N m x m x M 32|,43|，且N M ,都是集合{}10|≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤|的“长度”，那么集合N M I 的长度的最小值是 。

镇海中学2018学年第一学期期中考试高三年级数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U R =，集合{}{}|,|053A x x B x x ==≤<≥，则集合()U C A B （ ）A ．{}|03x x ≤≤B ．{}|03x x <<C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤<2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．83π-B ．163C ．86π-D ．2033．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若93845,12S a a =+=，则7a 等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．满足线性约束条件23230,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（ ）A ． 1B ．32C ．2D ．35．已知函数()2||In x f x x x=-，则函数()f x 的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若,αβ是两个相交的平面，则下列命题中，真命题的序号为（ ） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线 ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直 ③若直线m α⊆，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线 ④若直线m α⊆，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④7．已知sin 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，那么cos22αα=（ ） A ．109B ．109-C ．59-D ．598．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）A ．32B ．114C ．83D ．1039．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右交点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线渐近线C 上一点，,P Q 均位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF →→→→=⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B 1C 2D 210．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为边长为2的正三角形，1B 在底面的射影为AC 中点且1B 到,E F 分别是线段1AB 与1CA 上的动点，记线段EF 中点M 的轨迹为L ，则L 等于（ ）(注：L 表示L 的测度，本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、A ．1BCD二、填空题：（本大题共7个小题,多空题每题6分，单空题每小题4分,共36分．）11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________. 12．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为_________________，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向左最小移动_________________个单位13．已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，若12l l ⊥，则a =_________________，若12//l l ，则a =_________________.14．已知,x y R ∈，且2241x y xy ++=，则224x y +的最小值_________________，此时x 的值为_________________.15．已知两个不共线的非零向量,a b →→，满足2,1a a b →→→=-=，则向量,a b →→夹角的最大值是_________________.16．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论：①100a =②10S 最小③712S S =④190S =，正确的有_________________.17．设函数()()2|124|1,12,1x x f x x x a x -+≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在互不相等的4个实数1234,,,x x x x，使得()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====，则a 的取值范围为_________________. 三、解答题：（本大题共个5小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．(本小题满分14分)已知函数()2sin cos 333x x x f x =+ （1）求函数()f x 图象对称中心的坐标；（2）如果ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为B ，求()f B 的取值范围．19．(本小题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32,2n n n S a n N *=-∈，12n n nb a =- （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，对任意,m n N *∈，不等式m nS b λ>恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．-的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，20．(本小题满分15分)如图，四棱锥P ABCDPB PC ABC︒=∠=，点E是线段PA上靠近点A的三等分点,45⊥（1）求证：AB PC∆是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值（2）若PAB21．(本小题满分15分)如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线()21:20C x py p =>的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切线与圆222:1C x y +=相切于点Q（1）当直线PQ的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程； （2）当正数p 变化时，记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12S S 的最小值22．(本小题满分15分)已知a R ∈，函数()1x f x e ax -=-在点()1,1a -处与x 轴相切 （1）求a 的值，并求()f x 的单调区间（2）当1x >时，()()1f x m x Inx >-，求实数m 的取值范围参考答案：1——5DDBCD 6——10CABCD11.5;70 12.56ππ； 13.0或3-；2或-1 14.45±； 15.030 16.①③④ 17.(6,18)18.（1）2()sin()33f x x π=++，对称中心3(,0),22k k Z ππ-+∈（2）()f B ∈+⎦19.（1）证明略；1122n n na -=+（2）92λ<20.（1）略 （2）sin θ=21.（1）21:C x =（2）解析如下：2001110111200022111111001200011221121121(,),(,)20100:1:02-1==-=-=-222=-11=-2Q P P Q x P x Q x y px x y Q l x x y y x x P l x y p p l l x p px px px y y x x x x x x x x p px x y p y x x <<⎧>⎨<⎩+=--=⎧⎪⎪⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩⎪⎪⎩⎧+=⎪⎨⎪⎩∴设根据对称性：仅取和研究过处切线方程过处切线方程与重合221)p=10101111112111122)()1222()()PQ x x x x x x x x y x px x ==-=-=-=-=-=-F 到PQ l距离为：221141p x d +==2211121121221122211112222111221121122421112211224222211112122()(1)2412212()(1)442(1)(1)441=-2141,(1)4421421(1)(1)4(1p S x x px x p S x p x x S px x p x p S p x x x x y p y x p x x x x p S S p x x p x x p =⨯-⨯+=⨯⨯-⨯+∴==-⨯+⨯⎧+=⎪⎨⎪⎩∴+==-∴=-⨯=-⨯-221121(1)1)x x =-⨯-将21221)x p=带入上式：122222222212221(1)221)11)1)1,1(1)21331111,S S p p t p t S t t t t t S t t t t p 令当且仅当：=-⨯-=-⨯==>=-++===-++≥---==22.（1）解析过程略()()11,,1a =+∞-∞增区间：减区间：（2）12m ≤解析如下：11''1''''''12''11(1)ln ()(1)ln ,1(1)0()0,(1)01()1ln ,1(1)0(1)0,(1)0(),11(1)120,212()(1)ln x x x x x x e x m x xh x e x m x x x h h x h x h x e m x m x x h h h m mh x e x x x h m m m h x e x m x x ----->->-=--->=>≥-=--->=>≥=-->∴=-≥∴≤≤=---时，令由于欲使需要欲使需要接下来证明：'1''12'''123,11()1ln ,1(),12(),1x x x x x h x e m x m x x m mh x e x x x m mh x e x x x --->-=--->=-->=++>①当102m <≤时'''123''1''2'1'12()0()(1)1201()1ln (1)0()(1)ln (1)0102x x x x mm h x e x x m mh x e h m x x x h x e m x m h x h x e x m x x h m ----=++>∴=-->=-≥-∴=--->=∴=--->=∴<≤成立②当0m ≤时1()0,(1)ln 0()(1)ln ,112x f x e x m x x f x m x x x m -=->-≤∴>->≤综上：备注：此题考查的是导数的端点效应。

2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设全集U=R.集合A={x|x≥3}.B={x|0≤x ＜5}.则集合（∁U A ）∩B=（ ）A.{x|0＜x ＜3}B.{x|0≤x ＜3}C.{x|0＜x≤3}D.{x|0≤x≤3}2.（单选题.5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）.图中的四边形都是边长为2的正方形.两条虚线互相垂直.则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. 163B. 203C. 8−π6D. 8−π3 3.（单选题.5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若S 9=45.a 3+a 8=12.则a 7等于（ ）A.10B.9C.8D.74.（单选题.5分）满足线性约束条件 {2x +y ≤3x +2y ≤3x ≥0y ≥0.的目标函数z=x+y 的最大值是（ ）A.1B. 32C.2D.3.则函数y=f（x）的大致图象为（）5.（单选题.5分）已知函数f(x)=x2−ln|x|xA.B.C.D.6.（单选题.5分）若α.β是两个相交的平面.则下列命题中.真命题的序号为（）① 若直线m⊥α.则在平面β内.一定不存在与直线m平行的直线② 若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直③ 若直线m⊆α.则在平面β内.不一定存在与直线m垂直的直线④ 若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线A. ① ③B. ② ③C. ② ④D. ① ④7.（单选题.5分）已知 sin (π6−α)=−√23 .那么 cos2α+√3sin2α =（ ） A. 109B. −109C. −59D. 598.（单选题.5分）已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5.若存在两项a m 、a n .使得a m a n =16a 12.则 1m + 9n 的最小值为（ ）A. 32B. 83C. 114D.不存在9.（单选题.5分）已知双曲线C ： x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0.b ＞0）的左右焦点分别为F 1.F 2.P 为双曲线C 上一点.Q 为双曲线C 渐近线上一点.P.Q 均位于第一象限.且2 QP ⃗⃗⃗⃗⃗ = PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则双曲线C 的离心率为（ ）A. √3 -1B. √3+1C. √13 -2D. √13 +210.（单选题.5分）如图.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.底面为边长为2的正三角形.B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为 √3 .已知E.F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点.记线段EF 中点M 的轨迹为L.则|L|等于（ ）（注：|L|表示L 的测度.本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体.分别对应为其长度、面积、体积）A.1B. √102C. √32D. √39411.（填空题.4分）中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营.月入益功疾（注：从第2月开始.每月比前一月多入相同量的铜钱.3月入25贯.全年（按12个月计）共入510贯“.则该人每月比前一月多入___ 贯.第12月营收贯数为___ ．12.（填空题.4分）y=sin（2x+ π6）的最小正周期为___ .为了得到函数y=sin（2x+ π6）的图象.可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动___ 个单位．13.（填空题.4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0.l2：x+ay+2=0.其中a∈R.若l1⊥l2.则a=___ .若l1 || l2.则a=___ ．14.（填空题.4分）已知x.y∈R.且4x2+y2+xy=1.则4x2+y2的最小值___ .此时x的值为___ ．15.（填空题.4分）已知两非零向量a，b⃗满足|a|=2 . |a−b⃗|=1 .则向量a，b⃗夹角的最大值是___ ．16.（填空题.4分）已知数列{a n}为等差数列.其前n项和为S n.且2a1+3a3=S6.给出以下结论：① a10=0 ② S10最小③ S7=S12④ S19=0.正确的有___ ．17.（填空题.4分）设函数f(x)={|12x−4|+1，x≤1x(x−2)2+a，x＞1.若存在互不相等的4个实数x1.x2.x3.x4.使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7 .则a的取值范围为___ ．18.（问答题.12分）已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3．（1）求函数f（x）图象对称中心的坐标；（2）如果△ABC的三边a.b.c满足b2=ac.且边b所对的角为B.求f（B）的取值范围．19.（问答题.15分）已知数列{a n}的前n项和为S n.且S n=2a n−32n ，n∈N∗ . b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.对任意m.n∈N*.不等式S m＞λb n恒成立？若存在.求出λ的取值范围.若不存在请说明理由．20.（问答题.15分）如图.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形.平面PAB⊥平面ABCD.PB=PC.∠ABC=45°.点E是线段PA上靠近点A的三等分点．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形.求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．21.（问答题.15分）如图.O为坐标原点.点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点.且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为x-y- √2 =0时.求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时.记S1.S2分别为△FPQ.△FOQ的面积.求S1S2的最小值．22.（问答题.15分）已知a∈R.函数f（x）=e x-1-ax在点（1.1-a）处与x轴相切．（1）求a的值.并求f（x）的单调区间；（2）当x＞1时.f（x）＞m（x-1）lnx.求实数m的取值范围．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设全集U=R.集合A={x|x≥3}.B={x|0≤x＜5}.则集合（∁U A）∩B=（）A.{x|0＜x＜3}B.{x|0≤x＜3}C.{x|0＜x≤3}D.{x|0≤x≤3}【正确答案】：B【解析】：先根据补集的定义求出集合A的补集∁U A.然后和集合B进行交集运算.可求（∁U A）∩B．【解答】：解：因为A={x|x≥3}.所以∁U A={x|x＜3}.所以（∁U A）∩B={x|0≤x＜3}．故选：B．【点评】：本题的考点是集合的补集和交集运算.比较基础．2.（单选题.5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）.图中的四边形都是边长为2的正方形.两条虚线互相垂直.则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 163B. 203C. 8−π6D. 8−π3【正确答案】：B【解析】：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的.根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积.从而得到答案．【解答】：解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的.该四棱锥的底为正方体的上底.高为1.如图所示：所以该几何体的体积为23- 13 ×22×1= 203．故选：B．【点评】：本题考查三视图.考查柱体、锥体的体积计算.解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体.画三视图的要求为：“长对正.高平齐.宽相等”．3.（单选题.5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和.若S9=45.a3+a8=12.则a7等于（）A.10B.9C.8D.7【正确答案】：B【解析】：利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d.∵S9=45.a3+a8=12.∴9a1+ 9×82d=45.2a1+9d=12.联立解得a1=-3.d=2.则a7=-3+6×2=9．故选：B．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．4.（单选题.5分）满足线性约束条件 {2x +y ≤3x +2y ≤3x ≥0y ≥0.的目标函数z=x+y 的最大值是（ ）A.1B. 32C.2D.3【正确答案】：C 【解析】：先根据约束条件画出可行域.再利用几何意义求最值.只需求出直线z=x+y 过点B （1.1）时.z 最大值即可．【解答】：解：先根据约束条件画出可行域.当直线z=x+y 过点B （1.1）时.z 最大值为2．故选：C ．【点评】：本题主要考查了简单的线性规划.以及利用几何意义求最值.属于基础题．5.（单选题.5分）已知函数 f (x )=x 2−ln|x|x .则函数y=f （x ）的大致图象为（ ）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：可得函数为奇函数.排除选项.利用特殊点的位置判断选项即可．【解答】：解：由题意可得函数的定义域为（-∞.0）∪（0.+∞）.函数f(x)=x2−ln|x|x.可得f（-x）≠±f（x）.故函数为非奇非偶函数.排除：B、C；当x=- 1e 时.y= 1e2+lne−11e= 1e2−e＜0.排除D；综上可得选项A符合题意.故选：A．【点评】：本题考查函数的性质.由函数的性质入手是解决问题的关键.属中档题．6.（单选题.5分）若α.β是两个相交的平面.则下列命题中.真命题的序号为（）① 若直线m⊥α.则在平面β内.一定不存在与直线m平行的直线② 若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直③ 若直线m⊆α.则在平面β内.不一定存在与直线m垂直的直线④ 若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线A. ① ③B. ② ③C. ② ④D. ① ④【正确答案】：C【解析】：若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直；若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线．【解答】：解：由α.β是两个相交的平面.知：在① 中.若直线m⊥α.则在平面β内.存在与直线m平行的直线.故① 错误；在② 中.若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直.故② 正确；在③ 中.若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线.故③ 错误；在④ 中.若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线.故④ 正确．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．7.（单选题.5分）已知sin(π6−α)=−√23.那么cos2α+√3sin2α =（）A. 109B. −109C. −59D. 59【正确答案】：A【解析】：由题意利用辅助角公式、诱导公式.二倍角公式.求得cos2α+√3sin2α的值．【解答】：解：∵已知sin(π6−α)=−√23.∴ cos2α+√3sin2α =2sin（2α+ π6）=2cos（π3-2α）=2[1-2 sin2(π6−α) ]=2（1-2× 29）= 109.故选：A．【点评】：本题主要考查辅助角公式、诱导公式.二倍角公式的应用.属于基础题．8.（单选题.5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5.若存在两项a m、a n.使得a m a n=16a12.则1m + 9n的最小值为（）A. 32 B. 83 C. 114 D.不存在 【正确答案】：C【解析】：设{a n }的公比为q （q ＞0）.由等比数列的通项公式化简a 7=a 6+2a 5.求出q.代入a m a n =16a 12化简得m.n 的关系式.由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围.验证等号成立的条件.由m 、n 的值求出式子的最小值．【解答】：解：设正项等比数列{a n }的公比为q.且q ＞0. 由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+2a 6q. 化简得.q 2-q-2=0.解得q=2或q=-1（舍去）. 因为a m a n =16a 12.所以 (a 1q m−1) (a 1q n−1) =16a 12. 则q m+n-2=16.解得m+n=6.所以 1m +9n = 16 （m+n ）（ 1m +9n ）= 16 （10+ nm +9m n ）≥ 16(10+2√nm•9m n ) = 83. 当且仅当 nm=9mn时取等号.此时 {nm =9m nm +n =6.解得 {m =32n =92 . 因为m n 取整数.所以均值不等式等号条件取不到.则 1m +9n ＞ 83 . 验证可得.当m=2、n=4时. 1m +9n 取最小值为 114 . 故选：C ．【点评】：本题考查等比数列的通项公式.利用“1”的代换和基本不等式求最值问题.考查化简、计算能力.注意等号的成立的条件.属于易错题． 9.（单选题.5分）已知双曲线C ： x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0.b ＞0）的左右焦点分别为F 1.F 2.P 为双曲线C 上一点.Q 为双曲线C 渐近线上一点.P.Q 均位于第一象限.且2 QP ⃗⃗⃗⃗⃗ = PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则双曲线C 的离心率为（ ） A. √3 -1 B. √3+1 C. √13 -2 D. √13 +2【正确答案】：C【解析】：设Q （m. bam ）.（m ＞0）.P （s.t ）.F 1（c.0）.F 2（c.0）.由向量共线的坐标表示.以及点满足双曲线方程.向量垂直的条件：数量积为0.可得a.b.c 的关系.再由离心率公式.计算可得所求值．【解答】：解：设Q （m. ba m ）.（m ＞0）.P （s.t ）.F 1（-c.0）.F 2（c.0）.QP ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .可得 m+12c 1+12=s. bma1+12=t. 由P 在双曲线上.可得 (m+12c)294a 2 -b 2m 294a 2b 2=1.化为c 2+4mc=9a 2. m=9a 2−c 24c. 由 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.可得 bma m−c • bm am+c =-1. 即c 2-m 2=b 2m 2a 2. 即c 2=m 2•a 2+b 2a 2=m 2• c 2a 2 . 可得m=a. 则4ca=9a 2-c 2.由e= ca 可得e 2+4e-9=0. 可得e=-2+ √13 （负的舍去）. 故选：C ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.主要是渐近线和离心率的求法.考查向量共线和垂直的条件.考查运算化简能力.属于中档题．10.（单选题.5分）如图.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.底面为边长为2的正三角形.B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为 √3 .已知E.F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点.记线段EF 中点M 的轨迹为L.则|L|等于（ ）（注：|L|表示L 的测度.本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体.分别对应为其长度、面积、体积）A.1B.√102C. √32 D.√394【正确答案】：D【解析】：取特殊点得到M 的轨迹为平行四边形区域.建立空间直角坐标系.再由三角形面积求解．【解答】：解：当E 位于B 1.A.而F 在A 1C 上移动时.M 的轨迹为平行于A 1C 的两条线段. 当F 位于A 1.C.而E 在AB 1上移动时.M 的轨迹为平行于AB 1的两条线段． 其它情况下.M 的轨迹构成图中平行四边形内部区域．以O 为坐标原点.分别以OC.OB 1所在直线为x.z 轴建立空间直角坐标系. 则A （-1.0.0）.B 1（0.0. √3 ）.C （1.0.0）.A 1 （-1. √3 . √3 ）. ∴ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3) . CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，√3，√3) . 则 |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 . |CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10 .cos ＜AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ = AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √1020 ．则异面直线AB 1与CA 1所成角的正弦值为sinθ= √1−(√1020)2=√39020． ∴|L|=2× 12 × |12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | × |12CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1×√102×√39020=√394． 故选：D ．【点评】：本题考查棱柱的结构特征.考查空间想象能力和思维能力.利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键.是中档题．11.（填空题.4分）中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营.月入益功疾（注：从第2月开始.每月比前一月多入相同量的铜钱.3月入25贯.全年（按12个月计）共入510贯“.则该人每月比前一月多入___ 贯.第12月营收贯数为___ ．【正确答案】：[1]5; [2]70【解析】：由题意可知.每个月的收入构成等差数列{a n}.由已知列式求得首项与公差.再由等差数列的通项公式求得a12．【解答】：解：由题意可知.每个月的收入构成等差数列{a n}.设公差为d．则a3=25.S12=510．∴a1+2d=25.12a1+ 12×112d=510.解得a1=15.d=5.∴a12=15+11×5=70．∴该人每月比前一月多入5贯.第12月营收贯数为70．故答案为：5；70．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力.是基础题．12.（填空题.4分）y=sin（2x+ π6）的最小正周期为___ .为了得到函数y=sin（2x+ π6）的图象.可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动___ 个单位．【正确答案】：[1]π; [2] 56π【解析】：根据正弦图象性质即可求出最小正周期.结合三角函数平移变换规律即可得到结论【解答】：解：函数y=sin(2x+π6)的最小正周期T= 2π2=π；将函数y=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向左平移φ个单位（φ＞0）.可得：y=sin（2x+2φ+π2）；∴2φ+ π2 = π6+2kπ.则φ=k π−π6.φ＞0∴k=1时.可得φ= 5π6故答案为：π；5π6．【点评】：本题主要考查三角函数性质和平移变换的规律应用.属于基础题．13.（填空题.4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0.l2：x+ay+2=0.其中a∈R.若l1⊥l2.则a=___ .若l1 || l2.则a=___ ．【正确答案】：[1]0或-3; [2]-1或2【解析】：利用直线与直线垂直、直线与直线平行的性质直接求解．【解答】：解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0.l2：x+ay+2=0.其中a∈R.l1⊥l2.∴a×1+（a+2）a=0.解得a=0或a=-3；当l1 || l2时. a1=a+2a≠12.解得a=-1或a=2．故答案为：0或-3.-1或2．【点评】：本题考查实数值的求法.考查直线与直线垂直、直线与直线平行的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．14.（填空题.4分）已知x.y∈R.且4x2+y2+xy=1.则4x2+y2的最小值___ .此时x的值为___ ．【正确答案】：[1] 45 ; [2] ±√1010【解析】：由重要不等式4x2+y2≥4xy.解不等式可得4x2+y2的最小值和x的值．【解答】：解：由4x2+y2≥4xy.即有xy≤ 4x 2+y2 4.由4x2+y2+xy=1.可得1≤4x2+y2+ 4x2+y24.可得4x2+y2≥ 45.当且仅当2x=y即x=± √1010时.取得等号.则4x2+y2的最小值为45.故答案为：45 .± √1010．【点评】：本题考查基本不等式的运用：求最值.考查不等式的解法和运算能力.属于基础题．15.（填空题.4分）已知两非零向量a，b⃗满足|a|=2 . |a−b⃗|=1 .则向量a，b⃗夹角的最大值是___ ．【正确答案】：[1] π6【解析】：设向量a，b⃗夹角为θ.由余弦定理求得cosθ= 3+x24x.再利用基本不等式求得cosθ取得最小值.即可求得θ的最大值．【解答】：解：∵两非零向量a，b⃗满足|a|=2 . |a−b⃗|=1 .设向量a，b⃗夹角为θ.由于非零向量a，b⃗以及a−b⃗构成一个三角形.设| b⃗ |=x.则由余弦定理可得1=4+x2-4x•cosθ.解得cosθ= 3+x24x =3x+x4≥ √32.当且仅当x= √3时.cosθ取得最小值为√32.角θ取得最大值为π6.故答案为π6．【点评】：本题主要考查两个向量的加减法的法则.以及其几何意义.余弦定理以及基本不等式的应用.属于中档题．16.（填空题.4分）已知数列{a n}为等差数列.其前n项和为S n.且2a1+3a3=S6.给出以下结论：① a10=0 ② S10最小③ S7=S12④ S19=0.正确的有___ ．【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：先求出a1=-9d.再表示出求和公式.即可判断．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d.∵2a1+3a3=S6.∴5a1+6d=6a1+15d.化为：a1+9d=0.即a10=0.给出下列结论：① a10=0.正确；② S 10=10a 1+10(10−1)d2=-45d.可能大于0.也可能小于0.因此不正确；③ S 12-S 7=12a 1+ 12×112 d-7a 1- 7×62d=5a 1+45d=5（a 1+9d ）=0.正确． ④ S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10=0.正确； 其中正确结论的个数是 ① ③ ④ ． 故答案为： ① ③ ④【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（填空题.4分）设函数 f (x )={|12x −4|+1，x ≤1x (x −2)2+a ，x ＞1.若存在互不相等的4个实数x 1.x 2.x 3.x 4.使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=f (x 3)x 3=f (x 4)x 4=7 .则a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（6.18）【解析】：由题意可得f （x ）=7x 有4个不同实根.讨论x≤1时.x ＞1时.由解方程和运用导数判断单调性和极值、最值.解不等式即可得到所求范围．【解答】：解：由f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=f (x 3)x 3=f (x 4)x 4=7 .可得f （x ）=7x 有4个不同实根. 当x≤1时.f （x ）=|12x-4|+1=7x. 解得x= 35 或x= 519 .故当x ＞1时.f （x ）=7x 有2个不同实根. 设g （x ）=f （x ）-7x=x （x-2）2-7x+a （x ＞1）. g′（x ）=（3x+1）（x-3）.当1＜x ＜3时.g′（x ）＜0.g （x ）递减； 当x ＞3时.g′（x ）＞0.g （x ）递增． 则g （x ）min =g （3）=a-18.又g （1）=a-6. 由a-18＜0.且a-6＞0. 解得6＜a ＜18． 即a 的范围是（6.18）． 故答案为：（6.18）．【点评】：本题考查函数和方程的转化思想.考查分类讨论思想方法.以及导数的运用：求单调区间和极值、最值.考查运算能力.属于中档题．18.（问答题.12分）已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3．（1）求函数f（x）图象对称中心的坐标；（2）如果△ABC的三边a.b.c满足b2=ac.且边b所对的角为B.求f（B）的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式.由正弦函数的对称中心.解方程可得所求；（2）运用三角形的余弦定理和基本不等式.可得12≤co sB＜1.即有0＜B≤ π3.运用正弦函数的图象和性质.即可得到所求范围．【解答】：解：（1）f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3．= 12sin23x+√32(cos23x+1) .=sin（23x+π3）+ √32.令23x+π3=kπ（k∈Z）.解得：x= 3kπ2−π2（k∈Z）.所以函数的图象的对称中心为：（3kπ2−π2，√32）（k∈Z）．（2）由于b2=ac.所以：cosB= a 2+c2−b22ac≥2ac−ac2ac=12.则：0 ＜B≤π3．所以：π3＜2B3+π3≤5π9.则：√32＜sin(2B3+π3)≤1 .所以：√3＜f(B)≤1+√32．则：f（B）的取值范围为：（√3，1+√32]．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换的运用.考查正弦函数的图象和性质.同时考查解三角形的余弦定理和基本不等式的运用．19.（问答题.15分）已知数列{a n}的前n项和为S n.且S n=2a n−32n ，n∈N∗ . b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.对任意m.n∈N*.不等式S m＞λb n恒成立？若存在.求出λ的取值范围.若不存在请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式.进一步证明数列为等比数列．（2）利用（1）的结论.进一步利用分组法和恒成立问题求出实数λ的取值范围．【解答】：证明：（1）已知数列{a n}的前n项和为S n.且S n=2a n−32n，n∈N∗ . ①当n=1时. a1=32.则：当n≥2时. S n−1=2a n−1−32n−1. ②① - ② 得：a n=2a n-2a n-1- 32n + 62n.整理得：a n=2a n−1−32n.所以：a n−12n =2(a n−1−12n−1) .故：a n−12na n−1−12n−1=2（常数）.故：数列{a n}是以a1−12=1为首项.2为公比的等比数列．故：a n−12n=1•2n−1=2n−1 .所以：a n=2n−1+12n．由于：b n=a n−12n=2n−1 .所以：b nb n−1=2n−12n−2=2（常数）．故：数列{b n}为等比数列．（2）由（1）得：a n=2n−1+12n.所以：S n=(1+21+22+⋯+2n−1) +（121+122+⋯+12n）.= (2n−1)2−1+12(1−12n)1−12.= 2n−12n.假设存在实数λ.对任意m.n∈N*.不等式S m＞λb n恒成立.即：λb n＜(S m)min .由于：S m=2m−12m为增函数 .故当m=1时. S1=32.所以：λ＜2n−1•32.当n=1时. λ＜32．故存在实数λ.且λ＜32．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.分组法在数列求和中的应用.主要考查学生的运算能力和转化能力.属于中档题．20.（问答题.15分）如图.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形.平面PAB⊥平面ABCD.PB=PC.∠ABC=45°.点E是线段PA上靠近点A的三等分点．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形.求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）作PO⊥AB于O.连接OC.可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC.∠ABC=45°.得OC⊥AB.即得AB⊥面POC.可证得AB⊥PC．（Ⅱ）以O 为原点建立空间坐标系. P(0，0，√3)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(−1，0，0) .利用向量求解．【解答】：解：（Ⅰ）作PO⊥AB 于O… ① .连接OC.∵平面PAB⊥平面ABCD.且面PAB∩面ABCD=AB.∴PO⊥面ABCD ．…（2分）∵PB=PC .∴△POB≌△POC .∴OB=OC .又∵∠ABC=45°.∴OC⊥AB… ②又PO∩CO=O .由 ① ② .得AB⊥面POC.又PC⊂面POC.∴AB⊥PC ．…（6分）（Ⅱ）∵△PAB 是边长为2的等边三角形.∴ PO =√3，OA =OB =OC =1 ． 如图建立空间坐标系. P(0，0，√3)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(−1，0，0)设面PBC 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) .PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，−√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0) .由 {n ⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −√3z =0n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0.令 x =√3 .得 n ⃗ =(√3，√3，1) ；AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13，0，√33) . CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0) ． DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43，−1，√33) .设DE 与面PBC 所成角为θ.sinθ=|cos〈n ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=n⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√33−√3+√33√169+1+39×√3+3+1=√37∴直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值 √37 ．…（12分）【点评】：本题考查了空间线线垂直的判定.向量法求线面角.属于中档题．21.（问答题.15分）如图.O 为坐标原点.点F 为抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点.且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2+y 2=1相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为x-y- √2 =0时.求抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数p 变化时.记S 1.S 2分别为△FPQ .△FOQ 的面积.求 S1S 2 的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设点P （x 0. x 022p ）.代入直线PQ 的方程得一方程.再根据抛物线在P 处切线斜率为1列一方程.解方程组即可求得p 值；（Ⅱ）易表示出点p 处切线方程.据线圆相切得一方程.再与圆联立方程组可表示出Q 坐标.据弦长公式可表示出|PQ|.利用点到直线的距离公式可表示出点F 到切线PQ 的距离d.则S 1可表示.又 S 2=12|OF ||x Q | = p 2|x 0| .所以 S1S 2 可表示为关于x 0的函数.据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值．【解答】：解：（Ⅰ）设点P （x 0. x 022p ）.由x 2=2py （p ＞0）得.y= x 22p .求导y′= x p . 因为直线PQ 的斜率为1.所以 x 0p =1且x 0- x 022p - √2 =0.解得p=2 √2 .所以抛物线C 1 的方程为 x 2=4√2y ．（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：y- x 022p = x 0p（x-x 0）.即2x 0x-2py- x 02 =0. 根据切线与圆切.得d=r.即 02√4x 02+4p 2 =1.化简得 x 04=4x 02+4p 2 .由方程组 {2x 0x −2py −x 02=0x 2+y 2=1x 04−4x 02−4p 2=0.解得Q （ 2x 0 . 4−x 022p ）. 所以|PQ|= √1+k 2 |x P -x Q |= √1+x 02p 2 |x 0−2x 0| = √p 2+x 02p |x 02−2x 0| . 点F （0. p 2 ）到切线PQ 的距离是d=202√4x 02+4p 2 = 12 √x 02+p 2 . 所以 S 1=12|PQ |•d = 12 ×√p 2+x 02p |x 02−2x 0| × 12 √x 02+p 2 = x 02+p 24p |x 02−2x 0| . S 2=12|OF ||x Q | = p2|x 0| .而由 x 04=4x 02+4p 2 知.4p 2= x 04−4x 02＞0 .得|x 0|＞2.所以 S 1S 2 = x 02+p 24p |x 02−2x 0|×2|x 0|p = (x 02+p 2)(x 02−2)2p 2 = (4x 02+x 04−4x 02)(x 02−2)2(x 04−4x 02) = x 02(x 02−2)2(x 02−4) = x 02−42+4x 02−4 +3≥2 √2 +3.当且仅当 x 02−42=4x 02−4 时取“=”号.即 x 02=4+2√2 .此时.p= √2+2√2 ．所以 S1S 2 的最小值为2 √2 +3．【点评】：本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系.同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.综合性强.难度大．22.（问答题.15分）已知a∈R .函数f （x ）=e x-1-ax 在点（1.1-a ）处与x 轴相切．（1）求a 的值.并求f （x ）的单调区间；（2）当x ＞1时.f （x ）＞m （x-1）lnx.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.利用已知条件列出方程.求出a.判断导函数的繁符号.然后求解单调区间．（2）令g （x ）=f （x ）-m （x-1）lnx.x ＞0.求出 g′(x )=e x−1−m (lnx +x−1x )−1 .令h （x ）=g'（x ）.求出导数.通过（i ）若 m ≤12 .（ii ）若 m ＞12 .判断函数的单调性求解最值.然后求解m的取值范围．【解答】：解：（1）函数f （x ）的定义域为R.f'（x ）=e x-1-a 因为f （x ）在点（1.1-a ）处与x 轴相切.所以f'（1）=e 1-1-a=1-a=0∴a=1f'（x ）=e x-1-1当f'（x ）=e x-1-1＞0时.x ＞1.当f'（x ）=e x-1-1＜0时.x ＜1.故函数f （x ）的递增区间为（1.+∞）.递减区间为（-∞.1）；（2）令g （x ）=f （x ）-m （x-1）lnx.x ＞0.则 g′(x )=e x−1−m (lnx +x−1x )−1 .令h （x ）=g'（x ）. ℎ′(x )=e x−1−m (1x +1x 2)（i ）若 m ≤12 .因为当x ＞1时.e x-1＞1. m (1x +1x 2)＜1 .所以h'（x ）＞0.所以h（x）即g'（x）在（1.+∞）上单调递增.又因为g'（1）=0.所以当x＞1时.g'（x）＞0.从而g（x）在[1.+∞）上单调递增.而g（1）=0.所以g（x）＞0.即f（x）＞m（x-1）lnx成立．.可以h'（x）在（0.+∞）上单调递增.（ ii）若m＞12因为h'（1）=1-2m＜0.h'（1+ln（2m））＞0.所以存在x1∈（1.1+ln（2m））.使得h'（x1）=0.且当x∈（1.x1）时.h'（x）＜0.所以h（x）即g′（x）在x∈（1.x1）上单调递减.又因为g′（1）=0.所以当x∈（1.x1）.g′（x）＜0.从而g（x）在[1.x1）上单调递减.而g（1）=0.所以当x∈（1.x1）时.g（x）＜0.即f（x）＞m（x-1）lnx不成立．]．综上所述.m的取值范围为(−∞，12【点评】：本题考查函数的导数的应用.函数的单调性、切线方程函数的最值的求法.考查分析问题解决问题的能力．。

镇海中学2008学年第一学期期中考试高三年级数学（理科）试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 1．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）（A ）)0(log 2>-=x x y （B ）3,()y x x x =+?R（C ）)(3R ∈=x y x （D ）)0,(1≠∈-=x x xy R 2. 在锐角△ABC 中，若lg (1＋sinA) = m , 且lg A sin 11-= n ，则lgcosA 等于（ ）（A ）21(m －n) （B ）m －n （C ）21( m ＋n 1) （D ）m ＋n13.在等差数列{}n a 中，38133120a a a ++=，则3138a a a +-= ( ) （A ）24 （B ）22 （C ）20 （D ）8-4.过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ）（A ）16条 （B ） 17条 （C ） 32条 （D ） 34条5．已知向量OZ 与OZ '关于x 轴对称，j =(0,1)，则满足不等式0/2≤∙+ZZ j 的点Z (x ,y )的集合用阴影表示为下图中的（ ）6．设log log 3aax y +=，这时a 的取值集合为（（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}7.若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） （A ）221a b +≤ （B ）221a b +≥ （C ）22111a b +≤ （D ）22111a b+≥8. 设(43)，=a ，a 在b 上的投影为2，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ） （A ）(214)， （B ）2(2,)7- （C ）2(2,)7- （D ）(28)，9.将函数)42sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移ϕ个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的21倍,所得图象关于直线4π=x 对称,则ϕ的最小正值为 ( )（A ） π81 （B ） π83 （C ） π43 （D ） π2110．已知()1f x bx =+为关于x 的一次函数，b 为不等于0的常数，且满足1 (0)()[(1)] (1)n g n f g n n ì=ïï=íï-?ïî, 设*()(1),n a g n g n n N =--?则数列{}n a 为（ ）（A ）等差数列 （B ）等比数列 （C ）递增数列 （D ）递减数列二、填空题：（本大题共7小题；每小题4分，共28分．） 11．曲线在32153yx x =-+在x =1处的切线的倾斜角为 . 12. )(x f 是定义在R 上的奇函数，若x ≥0时，)1(log )(3x x f +=，则=-)2(f ______． 13．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=n x n x N m x m x M 32|,43|，且N M ,都是集合{}10|≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤|的“长度”，那么集合N M 的长度的最小值是 。

镇海中学高三数学试题及答案2024一、选择题1. 下列和式中，正确的是：a)$2\\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$b)$- \\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$c)$2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$d)$-2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$答案：a) $2\\sqrt{2} + 3\\sqrt{3} + \\sqrt{5}$2. 已知等腰三角形底边的长为6cm，顶角的大小为$60^\\circ$，则该等腰三角形的周长为：a)$6\\sqrt{3}$ cmb)$12\\sqrt{3}$ cmc)$9\\sqrt{3}$ cmd)$18\\sqrt{3}$ cm答案：b) $12\\sqrt{3}$ cm二、填空题1.共有5个白球和3个红球，现从中随机取出3个球，则其中至少有1个红球的概率为 \\\\\_。

答案：0.8752.方程2x2−5x−3=0的实数根之和为 \\\\\_。

答案：2.5三、解答题1.求函数y=2x2−4x+3的顶点坐标。

解：首先，函数y=2x2−4x+3是一个抛物线，求顶点坐标即求抛物线的最低点或最高点，即y的最小值或最大值。

抛物线的顶点坐标为$(\\frac{-b}{2a}, c - \\frac{b^2}{4a})$。

代入a=2,b=−4,c=3可得：顶点横坐标$x=\\frac{-(-4)}{2 \\cdot 2} = 1$顶点纵坐标$y=2 \\cdot 1^2 - 4 \\cdot 1 + 3 = 1$所以，函数y=2x2−4x+3的顶点坐标为(1,1)。

2.若一边长为a的正方体的体对角线长为$\\sqrt{20}$，求该正方体的边长。

解：已知体对角线长为$\\sqrt{20}$，根据勾股定理，设正方体的一边长为a，则有a2+a2=20。

镇海中学2013学年第二学期期初考试高三年级数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，答案请填在答题卷的表格中．．．．．．．．．．．．. 1.设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－12.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足z (1＋i )＝2i ，则z ＝ ( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－2＋2i D ．－2－2i3. 下列命题正确的是（ ）A ．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αB ．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面αC ．若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lD ．若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l4．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310-=S S ，则11S 的值为（ ） A.12 B.18 C.22 D.445.已知展开式232321201212(6)(6)=x x x x a a x a x a x --+-++++,则159a a a ++的值为( )A.66 B.66- C.1 D.06．过双曲线12222=-by a x （)00>>b a ，的左焦点F )0(，c -作圆222)(c y c x =+-的切线，切点为E ，且该切线与双曲线的右支交于点A ．若)(21+=，则该双曲线的离心率为（ ）A.213+ B.3 C.13+ D.2 7.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，点C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为 ( ）A．22+ B．12 C ．1 DαlODCBA8. 已知函数)(,1sin 21sin 2R x x x y ∈+-=，若当x α=时，y 取最大值；当x β=时，y 取最小值，且,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin()αβ-=（ ）A ．14-B ．14 C．4- D49. 某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（ ） A.24 B.26 C.30 D.3210.设抛物线2=4x y 的焦点为F ，M 是抛物线上异于顶点的一点，且点M 在准线上的射影为N ，则在MNF 的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

镇海中学 2018 学年第一学期期中考试高三年级数学试卷一、选择题：（本大题共 10 个小题 ,每小题 4 分 ,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U R ，集合A x | x 3 , B x | x 0 5 ，则集合C U A B （）A ．x | 0 x 3B ．x | 0 x3C．x | 0 x 3 D ．x | 0x 32．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A ．8B ．1620C．86D ．3333．记S n为等差数列A． 104．满足线性约束条件A ．1a n的前n项和，若 S9B ．92x y3x2y 3 的目标函数x0, y 0B ．3C．2245,a3a8 12 ，则 a7等于（）C．8 D ．7z x y 的最大值是（）D．35．已知函数f xx2In | x |，则函数f x 的图象为（）xA．B．C．D．6．若,是两个相交的平面，则下列命题中，真命题的序号为（）①若直线 m，则在平面内，一定不存在与直线m 平行的直线②若直线 m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m 垂直③若直线 m，则在平面内，不一定存在与直线m 垂直的直线④若直线 m，则在平面内，一定存在与直线m 垂直的直线A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④7．已知 sin2，那么 cos23sin 2 =（）6310B ．1055A ．9C ．D ．9998．已知正项等比数列a n 满足 a 7 a 6 2a 5，若存在两项 a m , a n ，使得 a m a n 16a 12 ，则 19 的最小mn值为（ ）311810 A ． 2B ． 4C ． 3D ． 3x 2y 21 a 0, b0 的左右交点分别为F 1 , F 2 ， P 为双曲线 C 上一点， Q 为双曲9．已知双曲线 C :2b 2a线渐近线 C 上一点， P,Q 均位于第一象限， 且2QP PF 2 ,QF 1 QF 20 ，则双曲线 C 的离心率为 （）A ．31B ．31C ．132D ．13210．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1 中，底面为边长为 2 的正三角形， B 1 在底面的射影为 AC 中点且 B 1 到底面的距离为 3 ，已知 E, F 分别是线段 AB 1 与 CA 1 上的动点， 记线段EF 中点 M 的轨迹为 L ，则 L 等于（）(注： L 表示L 的测度，本题中 L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）A ． 110B ．2339C ．D ．24二、填空题： （本大题共 7 个小题 ,多空题每题 6 分，单空题每小题 4 分,共 36 分．）11 ．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开 始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯 “，则该人每月比前 一月多入 _________________贯，第 12 月营收贯数为 _________________.12 ． ysin 2x的最小正周期为 _________________ ，为了得到函数y sin 2x的图象， 可以66将函数 y cos2x 的图象向左最小移动 _________________ 个单位13 ．已知直线 l 1 : axa 2 y 1 0,l 2 : x ay 20 ，其中 a R ，若 l 1 l 2 ，则 a =_________________ ，若 l 1 / /l 2 ，则 a =_________________.14．已知 x, yR ，且 4x 2 y 2 xy 1 ，则 4x 2 y 2 的最小值 _________________ ，此时 x 的值为 ________.15．已知两个不共线的非零向量a, b ，满足 a2, a b1，则向量 a, b 夹角的最大值是 _________.16．已知数列 a n 为等差数列，其前 n 项和为 S n ，且 2a 13a 3 S 6 ，给出以下结论：① a 10 0② S 10 最小③ S 7S12④S190 ，正确的有 _________________.17．设函数 f x|12x4 | 1, x14 个实数 x , x , x , x ，使得2，若存在互不相等的x x 2 a, x11 234f x 1 f x 2 f x 3 f x 47 ，则 a 的取值范围为 _________________.x 1x 2x 3x 4三、解答题： （本大题共个 5 小题 ,共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18． (本小题满分 14 分)已知函数 f xsin x cosx3 cos 2x33 3（ 1）求函数 f x图象对称中心的坐标；（ 2）如果ABC 的三边 a,b,c 满足 b 2ac ，且边 b 所对的角为 B ，求 f B 的取值范围．19． (本小题满分 15 分)已知数列n 的前n 项和为 S n ，且 S n 2a n3 , n N ， b n a n 1a2n2n（ 1）求证：数列b n 为等比数列，并求出数列a n的通项公式；（ 2）是否存在实数，对任意 m, nN ，不等式 S m恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存b n在请说明理由．20．(本小题满分15 分 )如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB平面ABCD，PB PC, ABC 45 ，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（ 1）求证：AB PC ；（ 2）若PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值 .21．(本小题满分 15 分 )如图，O为坐标原点，点 F 为抛物线C1: x2 2 py p 0 的焦点，且抛物线 C1上点 P 处的切线与圆C2: x2y2 1 相切于点 Q（ 1）当直线PQ的方程为x y20时，求抛物线 C1的方程；（ 2）当正数p变化时，记S1, S2分别为FPQ , FOQ 的面积，求S1的最小值S222． (本小题满分15 分)已知a R ，函数 f x e x 1ax在点 1,1 a 处与x轴相切（ 1）求a的值，并求 f x 的单调区间（ 2）当x 1 时，f x m x 1 Inx ，求实数m的取值范围参考答案：1—— 5DDBCD 6—— 10CABCD5 13.0 或3；2 或 -14 10 3011.5;7012. ；14. ；15. 16.①③④651017.(6,18)2 x3 ，对称中心 ( 3k ,0), k Z318.（ 1） f ( x) sin()2（2） f (B)3,1332 2 219.（ 1）证明略； a n2n 121.（ 1） C 1 : x 2 4 2 y（ 2）：设 P( x 0 ,x 02), Q (x 1,y 1 ) 2 p根据对称性：仅取 0 x 1y 1 01 9 20.（ 1）略（2）sin 32n（2）721和 x 0 0研究过 Q 处切线方程 l Q : x 1x y 1 y 1过 P 处切线方程 l P: x0 x y x 0 2 0p 2 p l P 与 l Q 重合x 0p -1 y =-px1=-px 12=- pxx 1 =y 12x 0x 0 21x 0x 0x 12 1x 0 x 1 2p = 2px 1-1x 1 2 y 121y 1 =- px 12222 ( 1 p21)x 1 p 2PQ(x x )2( y y )21 k2x x1 01 01 0py 11p221x 0 2x 1 x 01x 022x 1 )1x 12 2x 1 ) F 到 l PQ 2 1 4x1p 2p 2(2(距离为： dy 121x 1y 1 x 1x 12 1 ( 2 x 1 ) 2 2 ( 2x 1 ) y 1 x 1px 1 x 1S 11 22p 2 22 px 1 2(x 1 ) (1x 1 )x 1 4S 2 1 p x 12 2x 1 ) (1p 2S1 2 (2x 12 )2p2pxx442111pp 2 x 12 (x 121) (14 x 1 )S 2x 14x 1 2y 12 1y 1 =- px 122p 2 2 1 4421 4 x 1 x2 , x1p2(1 x 1 )1S 1 421 4 212 1S 2p 2 (x 121) x 14p 2 ( x 121)4(1 2( x 121) 1 x 12p 2 x 1 )22p 21) 代入上式：将 x 1p 2 ( 1S 1 ( 221)1S 2( 1 p 21)2( 1 p21)p 21 p 2(p 2 1)p 21 p21p22 1 p22(1 p 2 2 1 p 21) 1 p 2p 2令 t 1 p 21, p 2 t 2 1S 1 (t1)2 tt 2t12 3 2 23S 2t 21tt11t 当且仅当： t2 1, p 2 2 2a 122.（ 1） 增区间： 1,减区间：,1（ 2） m12时， x 1x m(x 1)ln xx 1e令h(x) e x 1 x m( x 1)ln x, x 1由于 h(1) 0 欲使 h( x) 需要 ' 00, h (1)h ' (x) e x 1 1 m ln xm x 1 , x1h ' (1)x 0欲使 ' (1)需要''h 0,h (1)h ''( x) x 1m m1exx 2 , xh ''(1) 1 2m 0,1 m2接下来证明： m12x 1h ' (x) e x 1 1 m ln x1)ln x, x 1x 1m, x 1h ''( x) x 1 m m1exx 2 , xh ''' ( x) e x 1m 2m , x 1x 2 x 3①当 0m 1 时2h ''' ( x) e x 1m 2m 0x 2 x 3 ''x 1m m ''h ( x) ex x 2h (1) 1 2mh '( x) e x 1 1 mln x mx1 h ' (1) 0xh(x)e x1x m(x 1)ln x h(1) 00 m 1成立2②当 m0 时f ( x)e x 1x 0,m( x 1)ln x 0 f ( x) m( x 1)ln x, x11综上： m2备注：此题考查的是导数的端点效应。