高中数学2019学年镇海中学高三下开学考

2019学年镇海中学高三下开学考数学 试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=L球的表面积公式台体的体积公式24S R π=()1213V S S h =⋅球的体积公式其中1S 、2S 表示台体的上、下底面积，h 表示 343V R π=棱台的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、 选择题：每小题4分，共40分1. 设集合{}2|230A x x x =∈--<Z ，集合{}1,0,1B =-，则集合A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2. 已知双曲线()22210y x b b-=>）A ．3B ．2 CD3. 设实数x ，y 满足25100050x y x x y +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则实数42x y z =的最小值是（ ）A ．1024B ．14 C ．132 D ．11024 4. 设0ω>，将函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移3π个单位长度后与函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．52 D ．15. 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ②若m α⊥，m n ⊥，则n α∥；③若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n α⊥； ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥．其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个红球和2个白球，现从中有放回的摸取6次，每次随机摸一球，设摸得红球个数为X ，白球个数为Y ，则（ ） A ．()()E X E Y >，()()D X D Y = B ．()()E X E Y >，()()D X D Y >C ．()()E X E Y >，()()D X D Y <D ．()()E X E Y <，()()D X D Y <7. 下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x ≥”是“1x >”的充分不必要条件 B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈RC ．“若1x >，则10x ->”的否命题是“若1x >，则10x -≤”D ．“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的必要不充分条件8. 已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和等于（ ） A ．30272 B ．1514 C ．30292 D ．15159. 已知长方形ABCD 中，AB BC >，现将ABC △沿AC 翻折至AB'C △（B'与B 不重合），设直线AB'与CD 所成角为α，二面角A B'C D --为β，则（ ）A ．αβ<B ．αβ>C ．αβ=D ．以上都不对10. 已知向量m ，n 满足()()20+-=m n m n ，()()210-++=m n m n ，则n 的最小值为（ ）A ．14B ．12CD ．1非选择题部分（共110分）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知i 是虚数单位，且112i z =-，23+i z m =()m ∈R ，则1z = ，若21z z 是实数，则实数m = ．12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，表面积是 ．13. 若()()()()727012732111x a a x a x a x --=+++++⋅⋅⋅++，则127=a a a ++⋅⋅⋅+ ，6=a ．（用数字表示）14. 已知向量a ，b ，c 满足++=a b c 0，=c ，c 与-a b 所成的角为56π，若t ∈R ，则()1t t -a +b 的最小值是 ；此时()1t t --=a +b c ．15. 学校水果店有苹果、梨、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西柚等7种水果，西柚数量不多，只够一个人购买，甲乙丙丁戊5位同学去购买，每人只能选择其中一种，这5位同学购买后，恰好买了其中三种水果，则他们购买水果的可能情况有 种．16. 已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>，△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++= ．17. 已知函数()()cos sin f x x a x x =--，对于任意的()10,x π∈，存在[]20,x π∈，使得()122cos 3f x x x >+-，则a 的取值范围是 ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）已知函数()sin cos f x x x -．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1f B =，a 1b =，求c 的值．19. （本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，AB DE P ，ACD △为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：AF P 平面BCE ；（2）求直线AD 和平面BCE 所成角的正弦值．FEDCB A20. （本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()222220n n S n n S n n -+-++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列n b =，证明：121n b b b ++⋅⋅⋅+≤．21. （本题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为12，并且经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）一条斜率为k 的直线交椭圆于A ，B 两点（不同于P ），直线AP 和BP 的斜率分别为1k ，2k ，满足123k k +=，试判断直线AB 是否经过定点，请说明理由．22. （本题满分15分）已知函数()()ln 1sin f x x a x =+-，a ∈R ．（1）若()y f x =在()0,0处的切线为30x y -=，求a 的值； （2）若存在[]1,2x ∈，使得()2f x a ≥，求实数a 的取值范围．。

绝密★启用前2019届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}答案：A解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 解析：∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z |﹣2＜x ≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 点评：此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 2．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 3．若2m＞2n＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n＞1C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞答案：B根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 解析：若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 点评：此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l答案：D解析：试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．【考点】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．5．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.【考点】三视图6．已知x，y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 答案：B作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.解析：画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．点评：此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.7．已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-与b 的夹角为150,则b 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]答案：C试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==则AC DB a b ==-，因为a b -与b 的夹角为150，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒，所以02b <≤，故选C ．【考点】1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．8．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b + （ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞+∞答案：A 解析：由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．9．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]答案：A根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解. 解析：根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn [g （ x ）]＝1，当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn [g （ x ）]＝0，当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn [g （ x ）]＝﹣1，综合有：sgn [g （ x ）]＝sgn （x ）； 故选：A ． 点评：此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.10．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）答案：D原问题转化为221x x a a -=有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论.解析：由题意，a ＞0，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t =⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜0时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣1）＝0， 又g （1）＝0，∴只需g （t ）＝0在（0，+∞）上有两个不等于1的不等根．则210lnt t t ⎫-=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞0且t ≠1）， 则h ′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜0．∵φ（1）＝0，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（0，1）大于0，在（1，+∞）上小于0．∴h ′（t ）在（0，1）上大于0，在（1，+∞）上小于0， 则h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜1．∴实数a 的取值范围是（0，1）． 故选：D ． 点评：此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题 11．已知复数z 1a ii+=-是纯虚数，则实数a ＝_____，|z |＝_____． 答案：1 1根据复数运算法则计算复数z 1122a a i -+=+，根据复数的概念和模长公式计算得解. 解析： 复数z ()()()()()()11111111222a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+====+--+， ∵复数z 是纯虚数，∴102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得a ＝1，∴z ＝i ，∴|z |＝1， 故答案为：1，1． 点评：此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.12．已知在△ABC 中，AB =（2sin 32°，2cos 32°），BC =（cos 77°，﹣cos 13°），则AB ⋅BC =_____，△ABC 的面积为_____．答案：2①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出22BA BC cos ABC AB BC⋅∠==，根据面积公式即可得解. 解析：①2327723213AB BC sin cos cos cos ⋅=︒⋅︒-︒⋅︒=2（sin 32°•cos 77°﹣cos 32°•sin 77°）()23277245sin sin =︒-︒=-︒=②21AB BC ==，，22BA BC cos ABC AB BC⋅∠==，∴2sin ABC ∠=，∴112122ABCSAB BC sin ABC =⋅∠=⨯⨯=．故答案为： 点评：此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.13．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________． 答案：16 4只需令x ＝0，易得a 5，再由(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3，可得a 4＝45C ＋234C ＋23C . 解析：令x ＝0，得a 5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)3[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3； 则a 4＝45C ＋234C ＋23C ＝5＋8＋3＝16. 故答案为：16,4. 点评：本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.14．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D （ξ1）＝_____，E （ξ1）﹣E （ξ2）＝_____． 答案：2 0.2分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解. 解析：设a ，b ∈{1，2，3，4，5}，则p （ξ1＝a ）1=，其ξ1分布列为：E （ξ1）15=⨯（1+2+3+4+5）＝3． D （ξ1）15=⨯[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．ξ2＝1.4|a ﹣b |的可能取值分别为：1.4，2.8，4.2，5.6， P （ξ2＝1.4）25425==，P （ξ2＝2.8）253310==，P （ξ2＝4.2）252210==，P （ξ2＝5.6）251110==，可得分布列．E （ξ2）＝1.425⨯+2.8310⨯+4.2210⨯+5.6110⨯=2.8．∴E （ξ1）﹣E （ξ2）＝0.2． 故答案为：2，0.2． 点评：此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.15．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，在其内部取点A ，在半平面α，β内分别取点B ，C ．若点A 到棱l 的距离为1，则△ABC 的周长的最小值为_____． 答案：3作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ，连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ADC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解. 解析：作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ， 连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ABC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，当M ，B ，C ，N 共线时，周长最小为MN 设平面ADE 交l 于，O ，连接OD ，OE ， 显然OD ⊥l ，OE ⊥l ，∠DOE ＝60°，∠MOA+∠AON ＝240°,OA ＝1， ∠MON ＝120°，且OM ＝ON ＝OA ＝1，根据余弦定理， 故MN 2＝1+1﹣2×1×1×cos 120°＝3， 故MN 3=． 故答案为：3．点评：此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解. 16．已知x ，y ＞0，且2811x y+=，则x +y 的最小值为_____． 答案：6处理变形x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y=++结合均值不等式求解最值. 解析：x ，y ＞0，且2811x y+=，则x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y=++≥=6， 当且仅当8xy x y==时取等号，此时x ＝4，y ＝2，取得最小值6． 故答案为：6 点评：此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.17．在正奇数非减数列{}1,3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅中，每个正奇数k 出现k 次.已知存在整数b 、c 、d ，对所有的整数n 满足n a b d =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.则b c d ++等于______. 答案：2 解析：将已知数列分组为（1）()(),3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅，() 21,21,,21k k k --⋅⋅⋅-， 共21k -个组.设n a 在第k 组，21n a k =-，则有135231135211k n k +++⋅⋅⋅+-+≤<+++⋅⋅⋅+-+， 即()22111k n k -+≤<+.注意到0k >1k <≤.所以，11k ⎤==+⎦.因此，21n a =+.故()2112b c d ++=+-+=.三、解答题18．已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ． （1）求cosC 的值；（2）若a ＝3，c =ABC 的面积．答案：（1）23；（2． （1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b ＝1或b ＝3，结合面积公式求解. 解析：（1）已知等式3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ，利用正弦定理化简得：3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab ，即a 2+b 2﹣c 243=ab ， ∴cosC 222223a b c ab +-==；（2）把a ＝3，c =3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab 得：b ＝1或b ＝3，∵cosC 23=，C 为三角形内角，∴sinC ==，∴S △ABC 12=absinC 12=⨯3×b =b ，则△ABC ． 点评：此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积. 19．如图，在AOB 中，已知2AOB π∠=，6∠=BAO π，4AB =，D 为线段AB 的中点，AOC △是由AOB 绕直线AO 旋转而成，记二面角B AO C --的大小为θ.（1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； （2）当23πθ=时，求二面角--B OD C 的余弦值. 答案：(1) 2πθ=;(2)55-. (1)平面COD ⊥平面AOB ,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角. 解析：(1) 如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴,,OB OA 所在的直线分别为y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,23),(0,2,0),3),(2sin ,2cos ,0)A B D C θθ，设1(,,)n x y z =为平面COD 的一个法向量,由1100n OD n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得sin cos 030x y y z θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取sin z θ=,则1(3cos ,3sin ,sin )n θθθ=-因为平面AOB 的一个法向量为2(1,0,0)n =由平面COD ⊥平面AOB ，得120n n ⋅=所30θ=即2πθ=.(2) 设二面角--B OD C 的大小为α，当2,3πθ=平面COD的一个法向量为12223(3cos,,sin )=(-,333222n πππ=-1212cos 53nn n n α⋅===-+‖, 综上,二面角--B OD C 的余弦值为5-. 点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.20．已知数列{a n }的各项均为正，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n 2+2a n ＝4S n +3． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n 3nna =，求数列{b n }的前n 项和． 答案：（1）a n ＝2n +1；（2）223n n +-．（1）根据题意求出首项，再由（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1，求得该数列为等差数列即可求得通项公式；（2）利用错位相减法进行数列求和. 解析：（1）∵a n 2+2a n ＝4S n +3，∴a 12+2a 1＝4S 1+3，即211230a a --=，解得：a 1＝3或a 1＝﹣1（舍）， 又∵a n +12+2a n +1＝4S n +1+3，∴（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1， 整理得：（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n ）＝2（a n +1+a n ）， 又∵数列{a n }的各项均为正， ∴a n +1﹣a n ＝2，∴数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1； （2）由（1）可知b n 2133n n n a n +==，记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝3•13+5•213++（2n +1）•13n ， 13T n ＝3•213+5•313•…+（2n ﹣1）•13n +（2n +1）•113n +， 错位相减得：23T n ＝1+2（231133+•13n +）﹣（2n +1）•113n +＝1+221111121331313n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭⨯--142433n n ++=-， ∴T n 32=（142433n n ++-）＝223n n +-．点评：此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计算.21．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F 到准线的距离为3，抛物线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2＝4．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 C ．（1）求抛物线E 的方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）y 2＝6x （2）3． （1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；（2）根据中点坐标表示出|AB |和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值. 解析：（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F （2p，0）到准线x 2p =-的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y 2＝6x ；（2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则12022x x x +==， y 0122y y +=，k AB 21212221211206366y y y y y y x x y y y --====-+-，则线段AB 的垂直平分线方程为y ﹣y 003y =-（x ﹣2），① 可得x ＝5，y ＝0是①的一个解，所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点， 且点C （5，0），由①可得直线AB 的方程为y ﹣y 003y =（x ﹣2），即x 03y=（y ﹣y 0）+2 ②代入y 2＝6x 可得y 2＝2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2﹣2y 0y +2y 02＝0 ③， 由题意y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以△＝4y 02﹣4（2y 02﹣12）＝﹣4y 02+48＞0，解得﹣y 0＜， |AB|=====又C （5，0）到线段AB 的距离h ＝|CM|== 所以S △ABC 12=|AB |h==≤=，当且仅当9+y 02＝24﹣2y 02，即y 0A，B，或A，-，B所以S △ABC ． 点评：此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值. 22．已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n nb a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.答案：(Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析.试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时的单调性证明，求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12xx x +>+，下面证明：()()ln 12n T n n <++ 解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，()()002ln100f =+⨯-=，切点为()0,0.由()()2ln 111x f x x x +=++-+'，所以()()020ln 011101f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=（Ⅱ）由()()2ln 11x f x x a x +=++-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞， 则()()()22110111x g x x x x =-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数.①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；②当2a >时，由于()020f a ='-<，()1110aa f e e-=+>'，根据零点存在定理， 必存在()0,1at e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在[)0,+∞上为增函数，故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(],2-∞（III ）证明：由24,13,1331,.22,22,21n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩ 由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12xx x +>+， 故2222ln 1212n n n n⋅⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，故1122ln 11nn k k k k ==⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∑∑.下面证明：()()ln 12n T n n <++因为1222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231nk k n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()()1245612ln 3ln ln 12ln223412n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪-⎝⎭而，4222321311n T n =+++⋅⋅⋅++++ 1222222224111111213122131233nn n k T T kn n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑所以，()()1ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1ln 12ln23n n n n T T ++>-+> 点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题．。

绝密★启用前2019年镇海中学高三最后一考数学试卷姓名准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部3至6页。

满分150分，考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h=其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，表示h 锥体的高球的表面积公式2=4S R π球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合3Z 02x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭，{}N 1,B y y x x A =∈=-∈，则A B =A.{}1,0,1,2,3-B.{}1,0,1,2-C.{}0,1,2 D.{}12x x -≤≤2.“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若221m n >>，则永临中学A.11m n> B.1m n π-> C.ln()0m n -> D.1122log log n>4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则A.//αβ且//l αB.αβ⊥且l β⊥C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l5.已知底面是正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，则该四棱锥的三视图可能是下列各图中的6.已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数96z x y =+最大值的变化范围[]20,22，则t 的取值范围A.[]2,4 B.[]4,6 C.[]5,8 D.[]6,77.已知a ，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且1a = ，a b - 与b的夹角为150 ，则b的取值范围是A.(B.(]0,1C.(]0,2D.(8.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A.(,)-∞+∞B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(D.(1,0)(0,1)-9.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是定义在R 上的减函数，()()()g x f x f ax =-（1a >），则A.[]sgn ()sgn g x x = B.[]sgn ()sgn g x x =-C.[][]sgn ()sgn ()g x f x = D.[][]sgn ()sgn ()g x f x =-10.已知函数2()ln x f x x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程()f x a =存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是A.(0,1)(1,)e B.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()0,1非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–32．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,23．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =-D ．cos cos y x x =+4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．16135．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<<D ．tan 20cos8sin1<<<6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665 B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665- 8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3CD．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 12．函数1()(2f x =________.13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2x G x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.解析宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–3 【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=()()()()005112f f f f -===∴本题正确选项：A【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,2【答案】D【解析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0. 3．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =- D ．cos cos y x x =+【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项,A C 运用二倍角公式化简再求周期，对B 化简降次求周期，对D 化简得2cos y x =直接求周期. 【详解】Q 函数21cos 2sin 2xy x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数= = = y sin x y cos x y tan x ，，的最小正周期分别为22πππ，，； (2)(=)y Asin x ωϕ＋和(=)y Acos x ωϕ＋的最小正周期为2||πω，()=y tan x ωϕ＋的最小正周期为||πω 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C【解析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr5．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<< D ．tan 20cos8sin1<<<【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号. 【详解】1Q 是第一象限，sin10∴>，2Q 是第二象限，tan 20∴<，且tan 21<-，()cos8cos 82π=-，82π-Q 是第二象限，()cos8cos 820π∴=-<， tan 2cos80sin1∴<<<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角α终边上一点P 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r【答案】C 【解析】【详解】由已知22()a b b r r r ＋＝，即220a b a ⋅r r r ＋＝.22222||2242a b a a b b b a ⋅r r r r r r r r Q ＋－＝＋＝－符号不能确定，∴A 、B 均不对． 222||224a b b a a b ⋅r r r r r r Q ＋－＝＋22220a a a <r r r ＝－＝－.故选C.7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665-【答案】D【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈Q ，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B <Q A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴= ABC π++=Q()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ【答案】B【解析】利用2a b a b ==⋅=r r r r 求出,3a b π<>=r r ，几何法作出=CA a tb -u u u r r r ,得,=a a C b A t O r r -∠<>，当1t =时，=3,a a tb OAB r r π<>∠=-,当t →+∞时//OC AC 即23OAC π∠< 【详解】由2a b a b ==⋅=r r r r ，得a r ，b r 的夹角为3π，不妨设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，()1OC tb t =≥u u r u r ，不妨设()1OC tb t =≥u u ru r ，则点C 在OB 的延长线上运动，向量a r 和a tb -r r 的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2[,)33OAC ππ∠∈， 故选：B.应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3C D ．【答案】C 【解析】∵函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数()f x 的对称轴为4x π=，且()()f x x θ=+∴422f a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴1a =∴函数()()()sin 2sin cos g x x f x x x x β=+=++∴函数()g x 故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x=的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos()sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x Q 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==， 若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-， 即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=， 由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=， 作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图： 由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <g ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】32π【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】Q 函数，cos 2sin()6y x x x π==+5sin 2sin()2sin()33y x x x x ππ==-=+，故把函数cos y x x =+的图象至少向左平移53362πππ-=个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：32π. 【点睛】 本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.12．函数1()(2f x =________.【答案】1[,)2++∞ 【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解. 【详解】Q 函数()1()2f x =，210x x ∴--≥，求得x ≤x ≥，故函数的定义域为12x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩或12x +≥⎪⎭，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为1[,)2++∞，故答案为：1[)2++∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.【答案】16949【解析】由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α及cos2α的值，则问题可解． 【详解】sin αQ 与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，则17sin cos 13αα-===. 联立7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-.则()511tan 287316912525tan 1cos 283349(1)(12)12169ααα+-===+⋅-⨯-⨯. 故答案为：16949. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.【答案】【解析】设a m =r ，b n =u u r．对2a b +=r r ，4a b -=r r 两边平方，可得2210m n +=，再利用向基本不等式的性质即可得出． 【详解】设a m =r ，b n =r ，a b θ<>=r r ，. 2a b +=Q r r ，4a b -=r r， 222cos 4m n mn θ∴++=，222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则4a b ≤+≤=r ra b ∴+r r的范围是4,⎡⎣.故答案为：4,⎡⎣.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方： 0a a a a cos r r r r g⋅=2a a a =⋅=，（2）基本不等式及其有关变形：0,0)2a ba b +>>当且仅当a b =时取等号. 15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.【解析】由已知在ABD ∆中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD ∆中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.【详解】1AB =Q ，5AD =，45ABC ∠=︒， ∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 5AB ABCADB AD⨯⋅∠∠===sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=. Q 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：2251212BD BD =+-⨯⨯⨯，即：2240BD -=， ∴解得：BD =-2BC BD ∴==，∴由余弦定理可得：AC ===故答案为：10【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用. 平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.【答案】(,0)(0,1)-∞U【解析】由条件()()12121f x f x x x ->--移项变形得112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-， 则()()g x f x x =+在R 上为增函数，再把问题不等式转化为()g x 函数不等式，利用单调性求解. 【详解】根据题意，设()()g x f x x =+，若函数()f x 满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-，则函数()g x 在R 上为增函数，又由(1)1f =，则(1)112g =+=，2222(log 31)2log 31(log 31)log 312x x x x f f -<--⇒-+-< 22(log 31)(1)log 311x x g g ⇒-<⇒-<，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为(,0)(0,1)-∞U ； 故答案为：(,0)(0,1)-∞U . 【点睛】(())(())f g x f h x >不等式的解法：利用函数性质得到(())y f g x = 函数的单调性利用利用单调性去掉“f ”原不等式化为()()g x h x >或()()g x h x <从而得解. 17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】92-【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积． 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A ，(4,0)B ，(5cos 60,5sin 60)C ︒︒，即5(,22C ； 又::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，15HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ，则H的纵坐标15y HE ===； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒= 设HAE α∠=，则sin 2HA α=，…①sin(60)HA α︒-=…②sin(60)2sin αα︒-∴=，即1sin 222sin ααα-=求得sin tan s co ααα==， ∴点H的横坐标tan 52HE x AE α====，(25H ∴，5(,22HA ∴=--u u u r ，(0,HC =u u u r ， 50()322HA HC ∴⋅=-⨯+-⨯=-u u u r u u u r .故答案为： 3-【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题 其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin 10β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.【答案】(1)(2) 4π【解析】分析：(1) 先根据同角三角函数关系得sin α=，cos α=，cos β=，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得sin2β，cos2β，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.详解： 由于,αβ为锐角，1tan 7α=，sin 10β=∴sin 10α=，cos 10α=，cos 10β=，sin()sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⨯+=（2）3sin22sin cos 25βββ===，24cos212sin 5ββ=-=，∴()43cos 255αβ+=-=由于,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴24παβ+= 点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是π(0,)2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0,π)，选余弦函数较好；若角的范围为ππ(,)22-，选正弦函数较好 19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6π-；（2）存在，[5,1]--.【解析】（1）先根据2231b c sinx =-=-r r （，），（，），求出b c +r r的坐标，再根据()a b c ⋅+r r r ，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（2）先假设存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r ，则可得()a d b c +⋅+r u r r r()=0，再用向量数量积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则不存在. 【详解】（1）(2,2)b =-r Q ，(sin 3,1)c x =-r，(sin 1,1)b c x ∴+=--r r ，//()a b c +r r r Q ，(2sin )sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-，[,]22x ππ∈-Q ，6x π∴=-.（2）(3sin ,1)a d x k +=++r u r ，(sin 1,1)b c x +=--r r若()()a d b c +⊥+r u r r r ，即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，2sin 2sin 4sin [1,1]k x x x =+-=∈-，sin 1[0,2]x +∈，()2sin 15x +-，x ∈R ，2(sin 1)[0,4]x +∈，[5,1]k ∈--，存在[5,1]k ∈--使()()a d b c +⊥+r u r r r.【点睛】本题主要考查了平面向量、三角函数有关知识.平面向量平行、垂直与三角函数综合问题求解思路：利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1）23π；（2）2]+. 【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA ，结合A 的范围可求A 的值. （2）由正弦定理可求33c sinC b sinB ==，，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简得()23y sin B π=++，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.【详解】（1）22222202b c a ca b c b c+-+=+-+Q ， ∴由余弦定理可得：2cos 02cos 2bc A cab C b c +=+，∴由正弦定理可得：sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A CA CB C+=+，整理可得：02sin cos sin cos cos sin B A C A C A =++， 02sin cos sin B A B ∴=+， sin 0B >Q ， ∴可得：1cos 2A =-，()0,A π∈Q ， 23A π∴=（2）2a =Q ，23A π=，22sin sin 3sin 3b c B C π===Q，sin 3c C ∴=，b B =， 设周长为y ，则y a c b =++2B C =+2sin()333B B π=++-22cos 3B B =++，)233B π=++， 03B π<<Q ，2333B πππ∴<+<，sin()123B π∴<+≤，)2(4,2]333y B π∴=++∈+. ∴周长的取值范围是2]+.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用. 三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】【详解】试题分析： （1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而()f x x -=+()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求．试题解析： （1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，∴()f x x -=+∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()()f x f x x =-=+∴()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ ． （2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．又因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =t ⎡∈⎣令22()23(1)4,h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =，所以()min 0f x =．又()()max 22gx g a ==-由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2.点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用． （2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．（3）形如y ax b =+±22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2xG x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）[1,1)2--. 【解析】(1)根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.(2)求出函数()Gx 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】（1）()21()sin cos 21cos 222f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+r r112cos 2222ωx ωx =-- 1sin(2)62x πω=--， Q 函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22Tππω==，得1ω=， 即()1sin(2)62f x x π=--. 则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-=；（2）函数1()1()1)]0262x G x m m x π=+=+--=，得)162m x π=---，当0x π≤≤时，5666x πππ-≤-≤， 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时，sin()6y x π=-才有两个交点，此时1sin()126x π≤-<，则)26x π≤-<即0)622x π≤--<，1)11622x π-≤---<-，即112m -≤<-，即实数m 的取值范围是[1,1)2--. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的综合问题.先将()y f x ＝化为si (n )y A x B w j ＝＋＋的形式，再借助(n )si y A x w j ＝＋的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,注意活用辅助角公式准确化简；“x ωϕ＋”整体处理；数形结合，分离参数，活用函数图象．。

江苏省扬州中学2019届高三开学数学I 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝ ．2.己知复数iz -=12，则z 的虚部为 ． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5． 函数22log (32)y x x =--的定义域为 ．6.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为 ． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。

下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 ．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。

若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线C 的离心率为 ．10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=，则m 的值为 ．11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+= 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ．13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．14.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111D C B A A B C D -中，已知平面⊥C C AA 11平面,A B C D 且3===CA BC AB ,1==CD AD .(1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .1A E CD BA1D 1B 1C 第15题16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； （2）若x ∈[0，2π]，向量BC m =，n =(1cos x -，sin 2cos x x -)，求m n ⋅的最小值及对应的x 值．17. 如图，一楼房高AB为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60︒，安装过程中，米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值．18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2=60°， 124EF EF ⋅=u u u v u u u v .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。

一. 选择题：本大题共10个小题，每小题7分，共70分•在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.3.设 a = 6°4, b = log 04 ().5, c = log 8 0.4 ,则a, b , c 的大小关系是() 4•某种商品进价为4元/件，当口均零售价为6元/件，口均销售100件，当单价每增加1元, 为多少时，利润最大（ ）5•函数f （x ） = x .e x -e^］的递增区间是（） 6•将自然数0, 1,2,…按照如下形式进行摆列:根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是（1.函数/（X ） 3 x 右+1心"）的泄义域为（A. (2,+oc)B. (1,2) C- (0,2) D. [1,2]2 •下列函数中, 既不是奇函数，也不是偶函数的是A. y = x + sin 2xB ・ y = x 2 -cosx D. y = +sinxA. a<b <cB ・ c <b <a C. c <a<b D. b <c <a日均销售量减少10件，试计算该商品在销售过程中,若每天固定成本为20元，则预计单价A. 8元/件10元/件 C. 12元/件D. 14元/件 A. (-00,幺)B. (1疋)C. (e, +00)D. (e-1,+oc)A. B. C. D.7.函数y = |兀|7丫 （a>l ）的图象的大致形状是（ )X 2 y 2&已知片，几是双曲线C ： —-^ = 1(G>0, b>0)的两个焦点，P 是C 上一点，若 a b~ \PF }\-^\PF 2\=6a,且APF’F?最小内角的大小为30。

，则双曲线C 的渐近线方程是() A. \flx±y = 0B. x±\f2y = 0C. x±2y = 0D. 2x±y = 0 [In x, x > 0, 9.已知函数/(x) =L 与g(x)Wx+d|+l 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实 数d 的取值范围是( )A. RB. (-00,-e]C. [e,-Kx>)D. 0 JT SI x i \< — (i = 1,2,3 )时，若西 + 兀2 > 0,x 2 4- x 3 > 0 ,西+%3〉0,则 f(x {) 4- f(x 2 ) 4- f\x 3 ) > 0 的值() A.恒小于零B.恒等于零C.恒大于零D.可能大于零，也可能小于零二、填空题(每题7分，满分28分，将答案填在答题纸上) 11. _________________________________ 计算：(lg 丄一览25]一100方= 412. 圆C 的圆心在兀轴上，并且过点A(-l,l)和3(1,3),则圆C 的方程为 ________________ 13.函数/(%) = ]%2_2，%-0,_____ 的零点个数是 ・ |^2x-6 + lnx,x>014. 已知函数/(x) = ln(x+Vx+l), -?(%) = /(%) +2017,下列命题：① /(X )的定义域为(YO ,+OO );② /(X )是奇函数;③ /(X )在(YO, +00)上单调递增；④ 若实数―b 满足/(Q ) + /@ —1)=0,则a + b = l ；⑤ 设函数g(x)在上的最大值为M ,最小值为加，则M+m = 20l7.其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号) 三. 解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤•)10.已知函数f(x) =—— COSX 的定义域为I 2 2)15.己知函数/(x) = %-l + 4 (awR,幺为自然对数的底数).e(1)若曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线平行于兀轴，求G的值；(2)求函数/(兀)的极值.16.已知椭圆C：二+匚=1 (a>b>0)的离心率为<3,其中左焦点为F(-2,0).a~ kr 2(1)求椭圆C的方；(2)若直线y = x + m与椭圆C交于不同的两点A , B，且线段AB的中点M在圆x2 + /=l 上，求加的值.17.己知定义在R上的函数/(%) = 2“ —*.3(1)若/(x) = -,求无的值；2(2)若2丁⑵)+吋(0X0对于©1,2］恒成立，求实数加的取值范围.2 118•设函数f(x) = x ------- a(lnx——),ae R .x x(1)讨论/(兀)的单调性；(2)当。

大庆中学2018--2019学年度下学期开学考试高三理科数学试题考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；试卷总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共12个小题，每题5分，总分60分)1．已知集合{}{}A y x A y A x y xB A ∈-∈∈==,,),(,5,4,3,2,1,则B 中所含元素的个数为（ ）3.A 6.B 8.C 10.D2．若i z 21+=，则=-⋅14z z i（ ）1.A 1.-B i C . i D -.3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知9105123=+=a a a S ，，则=1a （ ） 31.A 31.-B 91.C 91.-D 4．设D 为ABC ∆所在平面内一点，3=，则（ ）A 3431.+-=B 3431.-=C 3134.+=D 3134.-=5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种12.A 种10.B 种9.C 种8.D6．设31)4sin(=+θπ，则θ2sin （ ） 97.-A 91.-B 91.C 97.D7．已知31523425,4,2===c b a ，则（ ） c a b A <<. c b a B <<. a c b C <<. b a c D <<.8．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为128，，则输出的a =（ ）2.A 4.B 0.C 16.D9．某公司的班车在308008307：，：，：发车，小明在507：至308：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）31.A 21.B 32.C 43.D 10．圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为π2016+，则=r （ ）1.A2.B 4.C 8.D11．已知O 为坐标原点，F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，B A ,分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且x PF ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）31.A 21.B 32.C 43.D 12．设函数mx x f ⋅=πsin 3)(．若存在)(x f 的极值点0x 满足22020)]([m x f x <+，则m的取值范围（ ）),6()6,.(+∞--∞ A ),4()4,.(+∞--∞ B ),2()2,.(+∞--∞ C ),1()1,.(+∞--∞ D二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，总分20分)13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则y x z +=的最大值为_______________．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比甲多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为_______________．15．4)1)((x x a ++的展开式中的x 的奇数次幂项的系数之和为32，则__________=a ．16．若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线)1ln (+=x y 的切线，则______=b ． 三、解答题（本题6个答题，2117-题，每题12分，2322，选做题10分，总分70分) 17．（本大题12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分ABD BAC ∆∠,的面积是ADC ∆的面积的2倍．（Ⅰ）求CB∠∠sin sin ；（Ⅱ）若22,1==CD AD ，求BD 和AC 的长．18．（本大题12分）某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：（Ⅰ）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有%95的把握认为“生产能手”称号与性别有关？（Ⅱ）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出]200,0(件的部分，累进计件单价为2.1元；超出]400,200(件的部分，累进计件单价为3.1元；超出400件以上的部分，累进计件单价为4.1元.将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附：，19．（本大题12分）如图，四棱锥ABCD P -中，PA ⊥底面ABCD ，BC AD //,3===AC AD AB ，4==BC PA ,M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明//MN 平面PAB ;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20．（本大题12分）已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点),3(m m，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21．（本大题12分）（Ⅰ）讨论函数xe x x xf 22)(+-=的单调性，并证明当0>x 时，02)2(>++-x e x x ； （Ⅱ）证明：当)1,0[∈a 时，函数)0()(2>--=x x aax e x g x 有最小值．设)(x g 的最小值为)(a h ，求函数)(a h 的值域．选做题：从22，23题中选择一题作答22．（本大题10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ，（α为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．23．（本大题10分）选修54-：不等式选讲已知函数0,21)(>--+=a a x x x f ． （Ⅰ）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；（Ⅱ）若)(x f 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．大庆中学2018--2019学年度下学期开学考试理科数学答案1. D2.C3.C4.A5.A6.A7.B8.A9.B 10B 11.A 12.C13.2314.A 15.3 16.2ln 1-17.【答案】（Ⅰ）12；【解析】试题分析：（Ⅰ）由题根据面积公式及所给条件不难得到AB=2AC,结合正弦定理可得21sin sin ==∠∠AB AC C B ；（Ⅱ）设AC x =，则2AB x =在ABD ∆与ACD ∆中，由余弦定理可得AC ．试题解析：（Ⅰ）由题BAD AD AB S ABD ∠⋅⋅=∆sin 21CAD AD AC S ACD ∠⋅⋅=∆sin 212,ABD ACD S S BAD CAD ∆∆=∠=∠AC AB 2=∴由正弦定理可知21sin sin ==∠∠AB AC C B（II ）::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =2=∴BD设AC x =，则2AB x =在ABD ∆与ACD ∆中，由余弦定理可知2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅⋅22223cos 2xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ADB ADC π∠+∠=，∴ADC ADB ∠-=∠cos cos223x -=1x =即1AC =考点：三角形面积公式；正弦定理；余弦定理 18.【答案】（1）见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】(1)由题意先完善列联表，再由计算 的观测值，进而可得出结论； (2)先设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为 ，1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为 ，由题意易得 ， 服从二项分布，进而易求出其分布列，从而可求 的分布列和数学期望. 【详解】 （1）的观测值所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件.由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为；女员工实得计件工资超过3100元的概率为.设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则.的所有可能取值为0,1,2,3，随机变量的分布列为.【点睛】本题主要考查独立性检验，以及离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题型.19.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MN AT，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以A为坐标原点，AE的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN的方向向量与平面PMN的法向量的夹角的余弦值来求解AN与平面PMN所成角的正弦值．试题解析：（Ⅰ）由已知得.取的中点T ，连接，由为中点知，.又，故=TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT .因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，()0,2,4PM =-， 52PN ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 52AN ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则0,{0,nPM n PN ⋅=⋅=即240,20,y z y z -=+-= 可取()0,2,1n =. 于是85cos ,25n AN n AN n AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．视频20.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．【解析】试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；（2）第一步由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线，，，．∴由得，∴，．∴直线的斜率，即．即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（2）四边形能为平行四边形．∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．∴由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即∴．解得，．∵ ， ， ，∴当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形．考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即 ，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.21.【答案】（1）()f x 在(),2-∞-，()2,-+∞上单调递增，证明见解析；（2）证明见解析，21,24e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识推证；（2）借助题设运用导数的知识推证探求． 试题解析：（1）()f x 的定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞，()()()()()()222122022x x xx x e x e x e f x x x -+--'==≥++，且仅当0x =时，()0f x '=，所以()f x 在()(),2,2,-∞--+∞单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，()()01f x f >=-，所以()()()22,220x xx e x x e x ->-+-++>；（2）()()()()()22222x x e a x x g x f x a x x -+++==+，由（1）知，()f x a +单调递增，对任意[)()()0,1,010,20a f a a f a a ∈+=-<+=≥， 因此，存在唯一(]00,2x ∈，使得()00f x a +=，即()00g x '=，当00x x <<时，()()()0,0,f x a g x g x '+<<单调递减；当0x x >时，()()()0,0,f x a g x g x '+>>单调递增。

镇海中学学年第一学期期中考试高三数学试题卷一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1. 已知集合，则的元素的个数为A. B. C. D.2. 若且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.3. 已知是等差数列的前项和，且，则等于A. B. C. D.4. 函数的图像大致为5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A.B.C.D.6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B. )C. D. )7. 设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 已知，，，则A. B. C. D.9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为A. B. C. D.10. 设为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. B. C. D.二、填空题（本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分）11. 抛物线方程的焦点坐标为；准线方程为12. 已知点，点在线段上，则直线的斜率为；的最大值为13. 若实数满足约束条件，则的最小值为；的最小值为14. 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为；若空间的一条直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的最大角为15. 已知数列是等比数列且，，则的最大值为16. 已知圆，设点是恒过点的直线上任意一点，若在该圆上任意点满足，则直线的斜率的取值范围为17. 已知点为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为三、解答题（本大题共小题，共分）18. 已知的最大值为（I）求实数的值；（II）若，求的值.19. 在锐角中，角所对边分别为，已知，（I）求；（II）求的取值范围.20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，为的中点，且（I）求二面角的大小；（II）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知数列 的前 项和为 ，且满足： （I ）求数列 的通项公式；（II ）数列 满足 ， ，求数列 通项公式.22. 在平面直角坐标系中，已知 ， ，若线段 的中垂线 与抛物线B C总是相切.（I）求抛物线的方程；（II）若过点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线相交于点. 分别与轴交于点.（i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；（ii）求的外接圆面积的最小值.。

2019年浙江省数学高考试题数学（镇海中学模拟卷及答案）考生须知：（与答题卷上的要求一致）1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共4页，有3大题，22小题。

满分150分，考试时间120分钟。

3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}0A x x =>，{}(2)(1)0B x x x =-+<，则A B =A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞2. ()61x +展开式中含4x 项的系数是 A ．36CB ．46C C ．56C D ．66C3. 若,x y 满足约束条件0,3,2,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+的最大值是A ． 6B ．7C ．8D ．9 4. 已知等比数列{}n a 满足1322a a a +=-，则公比q = A ．1- B ． 1 C ． 2- D ． 2 5. 已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量ξ的分布列如右所示若2E ξ=，则D ξ的值可能是A ．43 B.32C. 2D.23（第8题图）7. 已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则A ．12ab ≥ B.22142b a +≥ C. 1122a b+≥ D.221a b +≥ 8. 如图，11122233,,OA B A A B A A B ∆∆∆是边长相 等的等边三角形，且123,,,O A A A 四点共线. 若点123,,P P P 分别是边112233,,AB A B A B 上的动点，记113I OB OP =⋅，222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则 A ．321I I I >> B.132I I I >> C.312I I I >> D.213I I I >> 9. 已知函数21()(0)f x ax bx a x=+->有两个不同的零点12,x x ，则 A ． 12120,0x x x x +<< B ． 12120,0x x x x +>>C ． 12120,0x x x x +<>D ． 12120,0x x x x +><10. 已知三棱柱ABC A B C '''-，AA '⊥平面ABC ，P 是A B C '''∆内一点，点,E F 在直线BC 上运动，若直线PA 和AE 所成角的最小值与直线PF 和平面ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．椭圆的一部分非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

镇海中学2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|0＜lnx＜2}，则A∩B的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．72．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．＜D．﹣2a＜﹣2b 3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S2＝4，S4＝18，则S6等于（）A．50 B．42 C．38 D．364．函数的图象大致为（）A5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．76 B.84 C．D．6．将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到，则y＝f（x）的函数解析式为（）A．f（x）＝﹣cos2x B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）＝cos2x D．f（x）＝cos（2x）7．设命题p：lg（2x﹣1）≤0，命题：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．，B．，C．，D．∅8．已知＜＜，sinα﹣2cosβ＝1，，则（）A．B．C．D．9．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且∠F1PF2，若椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为（）A．B．C．D．10．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为（）A．2 B．C．D．9第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．抛物线y2＝2x的焦点坐标是▲ ，准线方程是▲ ．12．已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上，则直线AB的斜率为▲ a•b的最大值为▲ ．13．若实数（x，y）满足约束条件，则2x﹣y的最小值为▲的最小值为▲ ．14．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则直线AA1与平面A1BD所成的角为▲ 若空间的一条直线l与直线AA1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成的最大角为▲ ．15．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝▲ ，a4的最大值为▲16．已知圆O：x2+y2＝1，设点P是恒过点（0，4）的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为▲ ．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为单位圆上两点，且满足，则|x1+y1|+|x2+y2|的取值范围为▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知的最大值为．（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若，求的值．19．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b＝3，a2＝c2﹣3c+9．（Ⅰ）求A（Ⅱ）求sin2B+sin2C的取值范围．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB和△ABC都为等腰直角三角形，P A⊥PB，AB⊥AC，M为AC的中点，且PM＝AC．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小（Ⅱ）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）数列{b n}满足b1＝﹣2，，求数列{b n}通项公式．22．在平面直角坐标系中，已知F（2，0），P（﹣2，t），若线段FP的中垂线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）总是相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）若过点Q（2，1）的直线l′交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线l1，l2相交于点A．l1，l2分别与y轴交于点B，C．（i）证明：当l′变化时，△ABC的外接圆过定点，并求出定点的坐标（ii）求△ABC的外接圆面积的最小值．一、1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C二、11．（，0）x12．﹣2 13．1 14．60015．5 16．[，+∞）∪（﹣∞，] 17．[，]三、18、（Ⅰ），由于函数的最大值为，故，解得a．（Ⅱ）由于f（x），所以，整理得．所以，所以或．或，所以或，故，所以当时．．当时，，所以原式．19．（Ⅰ）在锐角△ABC中，∵b＝3，a2＝c2﹣3c+9，∴可得c2+b2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cos A，∴由A为锐角，可得A．（Ⅱ）∵sin2B+sin2C＝sin2B+sin2（B）＝sin2B+（cos B sin B）2＝1（sin2B cos2B）＝1sin（2B），又∵＜＜＜＜，可得＜B＜，∴2B（，），∴sin（2B）（，1]，∴sin2B+sin2C＝1sin（2B）（，]，即sin2B+sin2C的取值范围是（，]．20．（1）分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有在等腰直角△P AB中，O是中点，则有AB⊥PO﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②由①②可知，AB⊥平面PON，又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．又AB＝2，则MN＝1，又PM＝AC＝2，则有PN，又OP＝ON＝1，由三角形余弦定理可知，∠，∴∠PON＝120°，即二面角P﹣AB﹣C的大小为1200．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作PD⊥ON交NO延长线于点D，设AB ＝AC＝2，则有A（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0），由（1）可知，∠POD＝180°﹣∠PON＝60°，又∵OP＝1，∴，．∴，，，，，．∴，，，设平面PBC的一个法向量为，，，则有，又∵，，，，，，∴，∴，，．设直线PM与平面PBC所成角为θ，则有：．故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为．21．（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．当n≥2时，a n＝﹣3S n﹣1+2，两式相减得：a n+1＝﹣2a n，所以数列{a n}是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以．（Ⅱ）由于，所以，由于，所以，所以．22．（Ⅰ）F（2，0），P（﹣2，t），可得FP的中点为（0，），当t＝0时，FP的中点为原点，当t≠0时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为，可得中垂线l的方程为y x，代入抛物线方程y2＝2px，可得x2+（4﹣2p）x0，由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p）2﹣16＝0，解得p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x；（Ⅱ）（i）证明：可设过点Q（2，1）的直线l′的方程为x﹣2＝m（y﹣1），即x＝my+2﹣m，代入抛物线的方程y2＝8x，可得y2﹣8my﹣16+8m＝0，设M（，y1），N（，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，由y2＝8x，两边对x求导可得2y•y′＝8，即y′，可得M处的切线方程为y﹣y1（x），化为y1y＝4x，①同理可得N处的切线方程为y2y＝4x，②由①②可得y4m，x m﹣2，即A（m﹣2，4m），又l1，l2分别与y轴交于点B（0，），C（0，），设过A，B，C的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2﹣4F＞0），即有，结合y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，可得D＝﹣m﹣2，E＝﹣4m，F＝4m﹣8，可得△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣（m+2）x﹣4my+4m﹣8＝0，可得m（4﹣x﹣4y）+（x2+y2﹣2x﹣8）＝0，由可得或，则当l′变化时，△ABC的外接圆过定点（4，0）和（，）；（ii）△ABC的外接圆的半径r，可得当m时，r的最小值为，则△ABC的外接圆面积的最小值为π．。