镇海中学2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷

珠海市2017〜2018学年度第一学期期末普通高中学生学业质量监测高一数学试题注意事项：试卷满分为150分，考试用时120分钟。

考试内容：必修一、必修二。

参考公式：1锥体的体积公式 V =-Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.3 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上 ）1. 已知集合 A ={x Z 一2 ：：：x _3}， B ={x R0_x ：：：4}，则 A 一 B =（）C . {-1,0,123 }D . {0,1,2,3 }2. 函数y 二一—-2x ^的定义域为（ ） x —1A . {xx *-1 且x 才 1}B . {x x 1 且x +2} D . {x x 孟 一1 且 x 才 1}log 2 x -1,x 0 …3. 已知函数，则f (x )科|2x —6|,x m ，则f (f (—卩-戶()A . 2 l o^g -3 2B . log 2 7 -1C . 2D . log 2 64. 在长方体ABCD - ABGD 1中，AB^ 2,B 1C 1 =1,CG =1，则异面直线DB 1与CQ 所成角 的大小是（）A . 30B . 45 C. 60 D . 905. 定义在［0, 6］上的连续函数y = f x 有下列的对应值表：A .函数y = f x 在［0, 6］上有4个零点B .函数y = f x 在［0, 6］上只有3个零点 B . {x Z -2 ： ： x ：：： 4} C. {x -1 ：：x ：: 1}C.函数y = f x在［0, 6］上最多有4个零点D .函数y = f x在［0, 6］上至少有4个零点。

镇海中学2017学年第一学期期末考试高三年级数学试卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：V=Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径.球的体积公式：V=πR3 ，其中R表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D由题得抛物线的标准方程为.故选D.2. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B考点：双曲线．3. 直线a与平面所成角的为30o，直线b在平面内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为，则( )A. 0º<≤30ºB. 0º<≤90ºC. 30º≤≤90ºD. 30º≤≤180º【答案】C设直线a在平面α的射影为直线c，在平面α内作直线d⊥c，由三垂线定理可得直线d⊥a．因为直线a与平面α所成的角为30°，所以直线a与直线c所成的角为30°，等于平面α内的直线与直线a所成角的最小值．直线b在平面α内，当b与直线d平行或重合时，可得a⊥b，直线a与b所成的角为90°，达到最大值；当b与直线c平行或重合时，可得a、b所成的角为30°，达到最小值．因此，直线a与b所成的角为φ的取值范围为30°≤θ≤90°．故选C4. 设为向量，则“”是“”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C先讨论充分性：由得所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以，所以“”是“”的必要条件.故选C.5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若，且，，则【答案】A对于选项A，可以证明，所以选项A正确;对于选项B，画图可知，直线m和n可能平行，也可能相交，也可能异面，所以选项B错误；对于选项C，可以举反例，不垂直，满足已知条件，但是不垂直；对于选项D，可能不平行，是相交的关系.故选A.6. 椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣①同理根据=0，可得m﹣a=﹣②②，可得m2﹣a2=．③∵点P（m，n）是椭圆上的动点，∴，整理得n2=（a2﹣m2），代入③可得：m2﹣a2=（a2﹣m2），化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选B.7. 如图，小于的二面角中，，，且为钝角，是在内的射影，则下列结论错误．．的是（）A. 为钝角B.C. D.【答案】D如图,过点B作垂足为C,过点A作垂足为D.在直角△BCO中,,在直角三角形中，因为是锐角二面角，所以同理,因为故选D.：本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数.8. 已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e=．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选C．：本题的关键在于找到点Q的临界位置，从而找到它们对应的椭圆的离心率. 所以本题利用了数形结合的思想，它是一种重要的数学思想，在解题过程中注意灵活运用.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．【答案】 (1). 6 (2).由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.10. 命题“若实数满足，则”的逆否命题是________命题（填“真”或者“假”）；否命题是________命题（填“真”或者“假”）．【答案】 (1). 假 (2). 真，所以原命题是假命题，由于原命题和逆否命题的真假性是一致的，所以其逆否命题是假命题. 其否命题是“若实数满足，则”，所以其否命题是真命题. 故填(1). 假 (2). 真.11. 已知是边长为1的正三角形，平面，且，则与平面所成角的正弦值为________．若点关于直线的对称点为，则直线与所成角的余弦值是________．【答案】 (1). (2).如图，取AC中点O，连接BO，PO，∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC,∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=∴sin∠BPO==．如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（﹣，，0）cos，故答案为： (1). (2).：本题的难点在第二问，直接研究比较困难，利用空间向量来研究问题就简单了很多，所以要注意一点，如果利用几何法比较困难，可以尝试用空间向量来研究.12. 已知，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是___________．若点为轨迹C的焦点，是直线上的一点，是直线与轨迹的一个交点，且，则_____．【答案】 (1). (2).设M（x，y），∵A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，∴k AM﹣k BM=，整理，得点M的轨迹C的方程是x2=4y（x≠±1）．∵点F为轨迹C的焦点，∴F（0，1），P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3，作QM⊥y轴于M点，作PN⊥y轴于N点，则，∴MF=，∴Q（，），∴|QF|=．故答案为：(1). (2).13. 过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60角的直线有________条．【答案】4由于正四面体的所有边长都相等，所有三角形的内角都是60°，除了一组对棱AB和CD，剩下的四条棱与AB和CD所成的角都是60°，所以只要把这四条棱平移到正四面体的中心，所以有四条. 故填4.14. 已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为_________．【答案】或双曲线的两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为，即，又点P（x0，y0）满足双曲线的方程，∴b2x02﹣a2y02=a2b2，∴，即2a2+2b2=5ab，∴b=2a或b=a，则e=故填或．15. 四棱锥中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD 分成面积为的两部分，则=_______．【答案】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）. =（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，∴cos＜＞=即解得b=．∴S△ADQ=．S梯形ABCD﹣S△ADQ=．∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案为（3﹣4）：4．：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y 轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题: (1)第一问,直接由得到,化简得到一个方程,再结合对应的方程,得到a,b,c的值，即得到椭圆C的方程. （2）先利用韦达定理得到斜率k的方程，再根据点斜式写出直线的方程.试题：（Ⅰ）由题意知：，故，即，解得，又，解得，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）因为点在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为，代入椭圆方程得故，解得，故直线MN的方程为17. （本小题满分15分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．（Ⅰ）求证：①平面；②平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角．【答案】（Ⅰ）见；（Ⅱ）.试题：（1）第一问，先证明，即可证明平面；证明和，即可证明平面. (2)第二问，先证明即为直线与平面所成角．再解，即可得到直线与平面所成角．试题：（Ⅰ）①连接，，故点G即为与的交点，且G为的中点，又F为的中点，故，又GF平面，平面故平面②因为是等腰直角三角形斜边的中点，所以．因为三棱柱为直三棱柱，所以面面，所以面，．设，则．所以，所以．又，所以平面．（2）由（1）知在平面上的投影为，故在平面上的投影落在AF上．所以即为直线与平面所成角．由题知：不妨设，所以，在中，，所以，即直线与平面所成角为．18. 如图，平行四边形平面，，，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．【答案】（Ⅰ）见；（Ⅱ）.试题：（1）第一问，证明，即可证明平面.(2)第二问，先作出二面角的平面角，再解三角形，即可得到二面角的余弦值的大小.试题：（Ⅰ）过点A作，因为平行四边形平面，平行四边形平面=CD，平面ABCD，故平面CDE，又平面CDE，故，又，，平面ABCD，故平面（Ⅱ）过作⊥交于，过作⊥交于，连接.由（Ⅰ）得⊥平面，又∵平面，∴平面⊥平面. ∴平面ADE，⊥，又∵垂直，且.∴⊥平面，得角就是所求二面角的一个平面角.又∵，，∴所求二面角的余弦值为.19. 抛物线，，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。

目录§1镇海中学2017学年第一学期期末考试1§2镇海中学2018学年第一学期期末考试5§3参考答案92目录§1镇海中学2017学年第一学期期末考试1§1镇海中学2017学年第一学期期末考试第I 卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a =(λ,1),b =(λ−1,2),若a +b 与a −b 共线,则λ=()(A)−2(B)−1(C)1(D)22.已知3sin α+4cos αcos α+2sin α=2,则1−sin αcos α−cos 2α的值是()(A)−25(B)25(C)−2(D)23.在△ABC ,AB =AC =1,BC =√3,则# »AB ·# »AC =()(A)√32(B)12(C)−√32(D)−124.在△ABC 中,若# »AB 2=# »AB ·# »AC +# »BA ·# »BC +# »CA ·# »CB ,则△ABC 是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)不确定5.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c ,且c =72,a +b =112,√3tan A ·tan B −tan A −tan B =√3,则△ABC 的面积为()(A)32(B)3√32(C)3(D)3√36.如果满足a =x,b =2,B =π3的△ABC 有两个,那么x 的取值范围为()(A)0<x ⩽2(B)x >2(C)2<x <4√33(D)2<x ⩽4√337.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知2a cos C =3c cos A,tan A =12,则∠B =()(A)60◦(B)45◦(C)135◦(D)120◦8.设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,且AD =mAB,BE =23EC ,若# »DE =λ# »AB +µ# »AC ,且λ+µ=12,则实数m 的值为()(A)13(B)12(C)23(D)569.已知平面向量a ,b 满足|a |,|b |,|a −b |∈[2,3],则a ·b 的取值范围是()(A) −12,72(B) −14,7 (C) −12,7 (D) −14,7210.在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若b 2−a 2=ac ,则1tan A −1tan B的取值范围是()(A)(1,2√33)(B)(1,2)(C)(1,+∞)(D)(1,√2)2§1镇海中学2017学年第一学期期末考试第II 卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.已知钝角△ABC 的面积为12,AB =1,BC =√2,则角B =,AC =.12.若sin (α+32π)−cos (α−π2)=12,则sin 2α=,2+2tan αcos (α+32π)sin (α+π4)=.13.已知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(√3,−1),则|2a −b |的最大值是,最小值是.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若b 2+c 2=a 2−bc ,且# »AC ·# »AB =−4,则角A =,△ABC 的面积等于.15.已知半径为4的圆O 上的两点A,B 满足|# »AB |=√6,则# »AB ·# »AO =.16.在△ABC 中,∠BAC =120◦,已知∠BAC 的平分线交BC 于点D ,且AD =2,求AB +AC 的最小值.17.在Rt △ABC 中,AB =3,AC =4,BC =5,P 是△ABC 内部一点,且满足S △P AB # »P A ·# »P B =S △P BC# »P B ·# »P C=S △P CA # »P C ·# »P A ,则|# »P A |+|# »P B |+|# »P C |=.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)已知平面上两个向量a ,b ,其中a =(1,2),|b |=2.(1)若(a +2b )⊥(2a −b ),求a 与b 夹角的余弦值;(2)若a 在b 的方向上的投影为−1,求b 的坐标.§1镇海中学2017学年第一学期期末考试319.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x−π4)+sin(2x−π2).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数φ(x)=f(x)−m在[0,5π12]上仅有一个零点,求实数m的取值范围.20.(本小题满分15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b cos C=(3a−c)cos B.(1)求cos B的值;(2)若# »BC·# »BA=4,b=4√2,求边a,c的值.4§1镇海中学2017学年第一学期期末考试21.(本小题满分15分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且√5sin (A −B )=a sin A −b sin B,a =b .(1)求边c ;(2)若△ABC 的面积为2,且tan C =2,求a +b 的值.22.(本题满分15分)如图,已知点O 为直线l 外一点,直线l 上依次排列着A,B,C,D 四点,满足:①∠AOC 为锐角,∠BOC =∠COD ;②tan ∠AOB ·tan ∠AOD =tan 2∠AOC ;③1tan ∠AOC +1tan ∠BOC =2tan ∠AOB .(1)求∠AOC 的值;(2)若AB =BC =1,求CD 的值.(新状元培优整理)A B C DOl§2镇海中学2018学年第一学期期末考试5§2镇海中学2018学年第一学期期末考试第I 卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知点P (sin α,cos α)在第二象限,则角α的终边所在的象限为()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.对于向量a ,b ,c 和实数λ,下列命题中正确的是()(A)若a ·b =0,则a =0或b =0(B)若λa =0,则λ=0或a =0(C)若a 2=b 2,则a =b 或a =−b(D)若a ·b =a ·c ,则b =c3.已知向量a =(λ+1,2),b =(−2,2),若|a +b |=|a −b |,则实数λ为()(A)−2(B)−1(C)1(D)24.函数f (x )=sin x +a cos x 的图象关于直线x =π6对称,则实数a 的值是()(A)12(B)2(C)√32(D)√35.将y =f (x )的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象向右平移π4个单位,所得图象恰与y =sin (x +π3)重合,则f (x )=()(A)sin (2x +7π12)(B)sin (x 2+7π12)(C)sin (2x +π12)(D)sin (x 2+π12)6.已知函数f (x )=(1−cos 2x )cos 2x,x ∈R ,则f (x )是()(A)最小正周期为π2的奇函数(B)最小正周期为π2的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数7.若向量a =(sin 2α,sin α−1),b =(1,1+sin α),且tan (π4+α)=−3,则a ·b 的值是()(A)1(B)35(C)53(D)−18.已知tan α,tan β是方程lg (3x 2−x −2)=0的两个实数根,则tan (α+β)=()(A)2(B)15(C)16(D)129.已知单位向量a ,b 的夹角为60◦,若向量c 满足|a −2b +3c |⩽3,则|c |的最大值为()(A)1+√33(B)√33(C)1+√3(D)√310.有下列叙述,①函数y =tan x 的对称中心是(kπ,0);②若函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)对于任意x ∈R 都有f (π6+x )=f (π6−x )成立,则f (π6)=2;③函数f (x )=x −sin x 在R 上有且只有一个零点;④已知定义在R 上的函数f (x )= sin x −cos x 2+sin x +cos x 2,当且仅当2kπ−π2<x <2kπ+π(k ∈Z )时,f (x )>0成立.则其中正确的是()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个6§2镇海中学2018学年第一学期期末考试第II卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.sin 7π6的值为;sin10◦sin70◦+cos10◦sin20◦的值为.12.已知扇形的周长为2时,当它的半径为时,扇形面积最大,这个最大值为.13.已知a=(3,λ+2),b=(λ,1),若a//b,则实数λ的值是,若a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是.14.设e1,e2是单位向量,且e1,e2的夹角为2π3,若a=e1+e2,b=2e1−e2,则e1·e2=,a在b方向上的投影为.15.已知P(−√3,a)为角θ的终边上的一点,且sinθ=12,则实数a的值为.16.若函数f(x)=−3cos2x−4sin x+2a+1在[0,π)内有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.17.已知O为△ABC的外心,∠C=π3,若# »OC=λ# »OA+µ# »OB(λ,µ∈R),则λ+µ的取值范围是.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18.已知|a|=2,|b|=3,(2a−b)·(a+3b)=−34.(1)求a与b的夹角θ;(2)当x为何值时,x a−b与a+3b垂直?§2镇海中学2018学年第一学期期末考试719.已知函数f(x)=√3sin2x+sin x·cos x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在[0,π]的单调递增区间.20.设α,β∈(0,π),且sin(α+β)=513,tan(α2+π4)=3.(1)求cosα的值;(2)求cosβ的值.8§2镇海中学2018学年第一学期期末考试21.已知a 和b 的夹角为θ,且满足0<a ·b ⩽6,|a |·|b |sin θ=2√3.(1)求所有满足条件的θ所组成的集合A ;(2)设函数f (x )=√3sin 2x −cos 2x,g (x )=sin x +cos x −sin x ·cos x ,对于集合A 中的任意一个x 1,在集合A 中总存在一个x 2,使得f (x 1)>g (x 2)+a 成立,求实数a 的取值范围.22.已知实数0⩽θ⩽π,a =(cos θ,sin θ),e =(0,1),若向量b 满足(a +b )·e =0,且a ·b =0.(1)若|a −b |=2,求b ;(2)若f (x )=|b +x (a −b )|在[12,+∞)上为增函数.(i)求实数θ的取值范围;(ii)若f (x )⩽√5对满足题意的θ恒成立,求x 的取值范围.§3参考答案9§3参考答案镇海中学2017学年第一学期期末考试参考答案第I 卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.12345678910B B D C B C C B C A第II 卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.3π4,√5;12.−34,−163√2;13.4,0;14.23π,2√3;15.3;16.8;17. 25+12√3.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18.(1)−√515;(2)(−2,0)或(65,−85).19.(1)[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z );(2)√3−1⩽m <2√3或m =2+√3.20.(1)13;(2)a =2,c =6或a =6,c =2.21.(1)c =√5;(2)a +b =√5+2.22.(1)π4;(2)CD =2.。

宁波市2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由交集的定义可得：，进行补集运算可得：.本题选择C选项.2. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】注意考查所给函数的性质：A.在定义域内单调递减；B.在定义域内没有单调性；C.在定义域内单调递增；D.在定义域内没有单调性；本题选择C选项.3. 若幂函数的图像过点，则的值为（）A. 1B.C.D. 3【答案】D【解析】由题意可得：，则幂函数的解析式为：.本题选择D选项.4. 若角的终边经过点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由点P的坐标计算可得：，则：，，.本题选择A选项.点睛：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．5. 在中，点为边的中点，则向量（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：.本题选择A选项.6. 下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的最小正周期为，则，据此可得选项AC错误；考查选项BD：当时，，满足题意；当时，，不满足题意；本题选择B选项.7. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，而，则，排除选项C.本题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8. 已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，①，②.....................本题选择A选项.9. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角.设为非零向量，则下列说法错误．．的是（）A. B.C. 若，则D.【答案】B【解析】利用排除法.由题中新定义的运算结合向量的运算法则有：，A选项正确；若，则，结合可得：或，均有，C项正确；，D选项正确；本题选择B选项.10. 已知，，且，则（）A. B. 0 C. D.【答案】C【解析】，，，构造函数，很明显函数在区间上单调递增，则：，据此可得：.本题选择C选项.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11. 已知，则__________（用表示），__________．【答案】 (1). (2). 3【解析】由题意可得：，.12. 已知，，，且，则__________，__________．【答案】 (1). (2). 2【解析】由题意可得：,则..13. 已知函数一部分图像如图所示，则__________，函数的图像可以由的图像向左平移至少__________ 个单位得到．【答案】 (1). 2 (2).【解析】由函数图象可得，函数的最小正周期为，结合最小正周期公式有：；令有：，令可得：，函数的解析式为：绘制函数的图象如图所示，观察可得函数的图像可以由的图像向左平移至少个单位得到.14. 是定义在上的偶函数，当时，，且关于的方程在上有三个不同的实数根，则__________，__________．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】由偶函数的性质可得：，关于的方程在上有三个不同的实数根，方程的根为奇数个，结合为偶函数可知为方程的一个实数根，而，则：.15. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________．【答案】1【解析】设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.16. 已知向量的夹角为，，，则__________．【答案】2【解析】由题意可得：，则：，则：.17. 函数．若存在，使得，则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制函数的图象如图所示，观察可得：，且：，原问题等价于考查二次函数：在区间上的最大值，函数的对称轴，则函数的最大值为：.综上可得：的最大值为.点睛：本题的实质是二次函数在给定区间上求最值.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知集合，，，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，，.则.(Ⅱ)由题意可知，其中，而时，.求解不等式结合题意可得.试题解析：（Ⅰ）由题可得时，，.∴.（Ⅱ）∵，∴，.时，.∴，.∴.点睛：(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数的最大值以及取得最大值时的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).此时.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意整理三角函数的解析式可得，结合最小正周期公式可得函数的最小正周期.(Ⅱ)由，可得，由正弦函数的性质结合(Ⅰ)中函数的解析式可得当即时函数取得最大值2.试题解析：（Ⅰ）.∴函数的最小正周期.（Ⅱ）∵，，∴∴.此时，∴.20. 如图所示，四边形是边长为2的菱形，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若点在线段及上运动，求的最大值.【答案】(Ⅰ)6；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算法则可得.(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中建立的平面直角坐标系可知，则，由线性规划的结论可知的最大值为18.试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，∴，，，.∴.（Ⅱ），设，∴.所以当点在点处时，的值最大，最大值为18.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．21. 已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在，使得下列两个式子：①；②同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，满足①②两式成立的条件.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合同角三角函数基本关系可得，，然后利用两角和的余弦公式可得(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知，则，满足题意时，则，是方程的两个根，结合二次方程的特点计算可得存在，满足①②两式成立的条件.试题解析：（Ⅰ）∵，，，∴，.∴（Ⅱ）∵，∴，∴.∴，∵，∴.∴，是方程的两个根.∵，∴，∴，.∴，.即存在，满足①②两式成立的条件.22. 已知函数，.（Ⅰ）若为奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）；（Ⅱ）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数．．．的取值范围.【答案】(Ⅰ).在上单调递增.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)函数为奇函数，则恒成立.据此可得.此时，在上单调递增.(Ⅱ)由题意可知，而.据此分类讨论：①当时有；②当时有；③当时不成立.则正实数的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）∵为奇函数，∴恒成立.∴.此时，在上单调递增.（Ⅱ），，∴.①当时，在上单调递增，∴，，∴②当时，在上单调递减，在上单调递增.∴，，∴③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，不成立.综上可知，.。

已知点在第二象限，则角【详解】由题意，点在第二象限，对于向量，和实数，则或若，则，则或，则【答案】B；由向量的平方即，即可得到答案.，则或或，则或是正确的；，则，不能得到，所以不正确；，则，不一定得到，可能是已知向量，，若，则实数B. C. D.，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的，所以，整理得，，解得【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得推理与运算能力，属于基础题函数的图象关于直线对称，则实数B. C. D.【答案】【详解】由题意，函数又由函数的图象关于对称，所以，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，然后将图象向右平移重合，则（B. C. D.【答案】A【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换已知函数，，则是（最小正周期为最小正周期为最小正周期为最小正周期为利用三角函数的恒等变换化简函数为【详解】由函数所以函数为偶函数，且最小正周期为，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练若向量，，且B. C. D.由题意，，求得式，化简为齐次式，即可求解【详解】由题意，，所以，解得又由向量，，【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的基本关系式化已知，是方程的两个实数根，则B. C. D.，是方程，是方程的两个实数根，，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考已知单位向量的夹角为，若向量满足，则B. C. D.【答案】A，由，化简得，表示圆心为的最大值【详解】由题意，设单位向量，且，，所以，化简得，表示圆心为由图形可知，的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题①函数的对称中心是②若函数（，对于任意都有；③函数在上的函数（）时，成立.则其中正确的叙述有（个 B. C. 个 D.的导数判断单调性，结【详解】由题意，①中，函数的对称中心是，所以不正确；若函数对于任意都有可得函数关于对称，则③中，函数的导数为，可得函数在在有且只有一个零点，所以是正确的；④中，已知定义在上的函数时，即时，；时，即时，和，时，即当时，成立，所以是正确的，故选【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记的值为(2)..【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和已知扇形的周长为，当它的半径为(2).设扇形的半径与中心角分别为，可得，在利用扇形的面积为，利用基本不等【详解】设扇形的半径与中心角分别为，则，可得，可得扇形的面积为当且仅当是取等号.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长和面积公式，以及基本不等式的性质的应用，其中解答已知，，若，则实数的值是；若与的夹角为锐角，则实数或 (2).，得到方程即可解答得值，和，不同向，列出不等式，即可求解，所以，解得或，和的夹角为锐角，所以，且，所以且的取值范围为且【点睛】本题主要考查了向量的共线的应用，以及向量的数量积的应用问题，其中解答中熟，是单位向量，且，的夹角为，若，；在(2).与的模【详解】由平面向量的数量积的定义，可得，，即，所以在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推已知的终边上的一点，且，则实数的值为【答案】由三角函数的定义，即可求解，解得，所以.若函数则实数【答案】或由题意，，，把原函数转化为两个不同的零点，进而转化为方程在上有唯一的实根或在上有两相等的实根，利用二次函数的性质，即可求解.令，，则原函数转化为有两个不同的零点，在在(0,1)转化为函数，与函数有唯一交点或所以或【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据题意令有两个不同的零点，进而转化为方程在根或在(0,1)上有两相等的实根，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思已知的外心，，若（的取值范围是【答案】，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，得到法二，由奔弛定理和向量的运算，得，进而得，利用三角函【详解】法一：设圆的半径为，如图所示建立平面直角坐标系，则，法二，由奔弛定理由已知转化为：，所以变形为，.【点睛】与性质的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，把已知，（Ⅰ）求的夹角（Ⅱ）当为何值时，与（））由向量的数量积的运算，列出方程，求得，即可求解结果）由，利用向量的数量积的运算，即可求解【详解】（1）由题意，根据向量的运算，得解得：（2），..时，与垂直【点睛】本题主要考查了向量的数量积的化简、运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；在）函数的最小正周期是）利用三角函数恒等变换的公式，化简）由，根据三角函数的性质，得到）由题意，函数，即函数的最小正周期是.（2），，所以函数在的单调递增区间是【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利的解析式，，且，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求（））法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得法二：令，求得）由三角函数的基本关系式，求得的值，进而可求解.）法一：，法二：令，则，（2），，，，，.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其已知的夹角为，且满足.（Ⅰ）求所有满足条件的所组成的集合；，，对于集合中的任意一个，在集合中总存在着一个，使得成立，求实数的取值范围（））由向量的数量积的公式，求得，进而根据题设条件，得到）根据三角恒等变换的公式，化简，令，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，，；，得，故所求集合）由题意，根据三角恒等变换的公式，得；令，，由题意，得，.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解已知实数，，，若向量满足. （Ⅰ）若；（Ⅱ）若）求实数的取值范围；）若恒成立，求的取值范围或（2）（Ⅰ）设，即可得到向量的坐标；（Ⅱ）（1，又由函数也是增函数，得到，即可求解得取值范围；）由对恒成立，进而转化为，由，，所以，即，，又，所以，故或（Ⅱ）（1）根据向量的模的公式，化简得在上为增函数，即，；，对对恒成立，解得.。

2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．33．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为，渐近线方程为．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是命题（填“真”或者“假”）；否命题是命题（填“真”或者“假”）．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB 与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有条．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．3【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．3．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°【解答】解：如图，设a∩α=A，a在平面α内的射影为b′，在平面α内过A与b′垂直的直线为b″，b是平面α内与a异面的直线，当b∥b′时，a与b的角最小为30°，当b∥b″时，a与b的角最大为90°．∴30°≤φ≤90°．故选：C．4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【解答】解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵•=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣…①同理根据•=0，可得m﹣a=﹣…②①×②，可得m2﹣a2=．…③∵点P（m，n）是椭圆上的动点，∴，整理得n2=（a2﹣m2），代入③可得：m2﹣a2=（a2﹣m2）•，化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选：B．7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平行线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂足为A′，过B作BB′垂直于β，垂足为B′，连接A′B′，则有AB ∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝角，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝角．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）【解答】解：∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e==．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为6，渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，且a=，b==2，则c==3，则双曲线的焦距2c=6，渐近线方程为y=±x；故答案为：6，y=±x．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是假命题（填“真”或者“假”）；否命题是真命题（填“真”或者“假”）．【解答】解：命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是“若a2≥4，则a ＞2“，是假命题．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．故答案为假；真．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．【解答】解：如图，取AC中点O，连接BO，PO，∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=∴sin∠BPO==．如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（﹣，，0）cos=，故答案为：，．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是x2=4y（x ≠±1）．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．【解答】解：设M（x，y），∵A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，∴k AM﹣k BM=﹣=，整理，得点M的轨迹C的方程是x2=4y（x≠±1）．∵点F为轨迹C的焦点，∴F（0，1），P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，作QM⊥y轴于M点，作PN⊥y轴于N点，则=，∴MF=，∴Q（，），∴|QF|==．故答案为：x2=4y（x≠±1），．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有4条．【解答】解：如图所示，设过正四面体ABCD的中心为P．则过点P且与平面ABC平行的平面EFG分别与平面ABD，平面ACD相交于直线EF，EG．则直线EG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线EG平行的直线满足条件．同理直线FG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线FG平行的直线满足条件．同理：通过作与ACD平面平行的平面，可得两条满足条件的直线．即符合题意的平面有4条．故答案为：4．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为或．【解答】解：双曲线的两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为•=ab，即=ab，又点P（x0，y0）满足双曲线的方程，∴b2x02﹣a2y02=a2b2，∴=ab，即2a2+2b2=5ab，∴b=2a或b=a，则e===或，故答案为：或．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=（3﹣4）：4．【解答】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）.=（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则，．即，，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴=，，．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，∴cos＜＞==．即，解得b=．==．∴S△ADQS梯形ABCD﹣S△ADQ=﹣=．∵S1＜S2，∴S1=﹣，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案为（3﹣4）：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，故，即，解得b=c，又，解得，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）因为点D（﹣2，1）在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为y=k（x+2）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程得（2k2+1）x2+（8k2+4k）x+8k2+8k﹣8=0，故，解得k=1，故直线MN的方程为y=x+3．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．【解答】解：（Ⅰ）证明：①如图1，连接A1B，则A1B∩AB1=G．连接A1C，∵F，G分别是BC，AB1的中点，∴GF∥A1C．且GF⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1．∴FG∥平面ACC1A1；②等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴AF⊥BC又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面C1B，∴AF⊥B1F设AB=AA1=1，∴，EF=，，∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF又AF∩EF=F，∴B1F⊥面AEF．解：（Ⅱ）如图以A为原点，建立空间直角坐标系，设AB=AA1=1，则A（0，0，0），E（0，1，），F（），G（）．设面AEF得法向量为，则由，可得=（1，﹣1，2）．cos==．直线GF与平面AEF所成角的正弦值为，∴直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．∵平行四边形ABCD⊥平面CDE∴AH⊥平面CDE又∵DE⊂平面CDE∴AH⊥DE…①由已知AD⊥DE…②，AH∩AD=A…③由①②③得，DE⊥平面ABCD；…（7分）解：（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．由（Ⅰ）得DE⊥平面ABCD，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD．∴CM⊥AE，又∵CN垂直AE，且CM∩CN=C．∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．又∵，，∴所求二面角的余弦值为．…（8分）19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则m=||+||=x1+x2+p．又线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），∴|DA|=|DB|，即，∵x1≠x2，∴x1+x2﹣2a=﹣2p，即x1+x2=2a﹣2p，∴，即，∴a是p，m的等差中项．（Ⅱ）∵m=3p，∴a=2p．设A（2pt2，2pt），D（2p，0），则圆心为O′（p+pt2，pt），设直线l的方程为x=n，设R为圆的半径，d为圆心O′到l的距离，则R2﹣d2为定值，又R2﹣d2=[（2pt2﹣2p）2+（2pt）2]﹣（p+pt2﹣n）2=p2[（t2﹣1）2+t2]﹣（p+pt2﹣n）2=﹣3p2t2+2np+2npt2﹣n2=（2np﹣3p2）t2+（2np﹣n2）∴2np﹣3p2=0，即n=，∴直线l的方程为x=．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x 0，y0），N（x0，﹣y0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立得：，由，解得：，代入直线AM可得t=±3；（Ⅱ）将直线AM的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+27）x2+4t2x+（4t2﹣108）=0，解得，直线NB的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+3）x2﹣4t2x+（4t2﹣12）=0，解得，所以==，当，即t=±3时，．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。