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绝密★启用前2019届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}答案：A解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 解析：∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z |﹣2＜x ≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 点评：此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 2．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 3．若2m＞2n＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n＞1C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞答案：B根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 解析：若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 点评：此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l答案：D解析：试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．【考点】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．5．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.【考点】三视图6．已知x，y满足不等式224xyx y tx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 答案：B作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.解析：画出不等式组24xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在224x y tx y+=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t--，）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．点评：此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.7．已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-与b 的夹角为150,则b 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]答案：C试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==则AC DB a b ==-，因为a b -与b 的夹角为150，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒，所以02b <≤，故选C ．【考点】1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．8．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b + （ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞+∞答案：A 解析：由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．9．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]答案：A根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解. 解析：根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn [g （ x ）]＝1，当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn [g （ x ）]＝0，当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn [g （ x ）]＝﹣1，综合有：sgn [g （ x ）]＝sgn （x ）； 故选：A ． 点评：此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.10．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）答案：D原问题转化为221x x a a -=有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论.解析：由题意，a ＞0，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t =⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜0时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣1）＝0， 又g （1）＝0，∴只需g （t ）＝0在（0，+∞）上有两个不等于1的不等根．则210lnt t t ⎫-=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞0且t ≠1）， 则h ′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜0．∵φ（1）＝0，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（0，1）大于0，在（1，+∞）上小于0．∴h ′（t ）在（0，1）上大于0，在（1，+∞）上小于0， 则h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜1．∴实数a 的取值范围是（0，1）． 故选：D ． 点评：此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题 11．已知复数z 1a ii+=-是纯虚数，则实数a ＝_____，|z |＝_____． 答案：1 1根据复数运算法则计算复数z 1122a a i -+=+，根据复数的概念和模长公式计算得解. 解析： 复数z ()()()()()()11111111222a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+====+--+， ∵复数z 是纯虚数，∴102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得a ＝1，∴z ＝i ，∴|z |＝1， 故答案为：1，1． 点评：此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.12．已知在△ABC 中，AB =（2sin 32°，2cos 32°），BC =（cos 77°，﹣cos 13°），则AB ⋅BC =_____，△ABC 的面积为_____．答案：2①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出22BA BC cos ABC AB BC⋅∠==，根据面积公式即可得解. 解析：①2327723213AB BC sin cos cos cos ⋅=︒⋅︒-︒⋅︒=2（sin 32°•cos 77°﹣cos 32°•sin 77°）()23277245sin sin =︒-︒=-︒=②21AB BC ==，，22BA BC cos ABC AB BC⋅∠==，∴2sin ABC ∠=，∴112122ABCSAB BC sin ABC =⋅∠=⨯⨯=．故答案为： 点评：此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.13．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________． 答案：16 4只需令x ＝0，易得a 5，再由(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3，可得a 4＝45C ＋234C ＋23C . 解析：令x ＝0，得a 5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)3[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3； 则a 4＝45C ＋234C ＋23C ＝5＋8＋3＝16. 故答案为：16,4. 点评：本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.14．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D （ξ1）＝_____，E （ξ1）﹣E （ξ2）＝_____． 答案：2 0.2分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解. 解析：设a ，b ∈{1，2，3，4，5}，则p （ξ1＝a ）1=，其ξ1分布列为：E （ξ1）15=⨯（1+2+3+4+5）＝3． D （ξ1）15=⨯[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．ξ2＝1.4|a ﹣b |的可能取值分别为：1.4，2.8，4.2，5.6， P （ξ2＝1.4）25425==，P （ξ2＝2.8）253310==，P （ξ2＝4.2）252210==，P （ξ2＝5.6）251110==，可得分布列．E （ξ2）＝1.425⨯+2.8310⨯+4.2210⨯+5.6110⨯=2.8．∴E （ξ1）﹣E （ξ2）＝0.2． 故答案为：2，0.2． 点评：此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.15．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，在其内部取点A ，在半平面α，β内分别取点B ，C ．若点A 到棱l 的距离为1，则△ABC 的周长的最小值为_____． 答案：3作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ，连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ADC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解. 解析：作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ， 连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ABC 的周长为AB +AC +BC ＝MB +BC +CN ，当M ，B ，C ，N 共线时，周长最小为MN 设平面ADE 交l 于，O ，连接OD ，OE ， 显然OD ⊥l ，OE ⊥l ，∠DOE ＝60°，∠MOA+∠AON ＝240°,OA ＝1， ∠MON ＝120°，且OM ＝ON ＝OA ＝1，根据余弦定理， 故MN 2＝1+1﹣2×1×1×cos 120°＝3， 故MN 3=． 故答案为：3．点评：此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解. 16．已知x ，y ＞0，且2811x y+=，则x +y 的最小值为_____． 答案：6处理变形x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y=++结合均值不等式求解最值. 解析：x ，y ＞0，且2811x y+=，则x +y ＝x （281x y +）+y 8x y x y=++≥=6， 当且仅当8xy x y==时取等号，此时x ＝4，y ＝2，取得最小值6． 故答案为：6 点评：此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.17．在正奇数非减数列{}1,3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅中，每个正奇数k 出现k 次.已知存在整数b 、c 、d ，对所有的整数n 满足n a b d =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.则b c d ++等于______. 答案：2 解析：将已知数列分组为（1）()(),3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅，() 21,21,,21k k k --⋅⋅⋅-， 共21k -个组.设n a 在第k 组，21n a k =-，则有135231135211k n k +++⋅⋅⋅+-+≤<+++⋅⋅⋅+-+， 即()22111k n k -+≤<+.注意到0k >1k <≤.所以，11k ⎤==+⎦.因此，21n a =+.故()2112b c d ++=+-+=.三、解答题18．已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ． （1）求cosC 的值；（2）若a ＝3，c =ABC 的面积．答案：（1）23；（2． （1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b ＝1或b ＝3，结合面积公式求解. 解析：（1）已知等式3sin 2A +3sin 2B ＝4sinAsinB +3sin 2C ，利用正弦定理化简得：3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab ，即a 2+b 2﹣c 243=ab ， ∴cosC 222223a b c ab +-==；（2）把a ＝3，c =3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab 得：b ＝1或b ＝3，∵cosC 23=，C 为三角形内角，∴sinC ==，∴S △ABC 12=absinC 12=⨯3×b =b ，则△ABC ． 点评：此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积. 19．如图，在AOB 中，已知2AOB π∠=，6∠=BAO π，4AB =，D 为线段AB 的中点，AOC △是由AOB 绕直线AO 旋转而成，记二面角B AO C --的大小为θ.（1）当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值； （2）当23πθ=时，求二面角--B OD C 的余弦值. 答案：(1) 2πθ=;(2)55-. (1)平面COD ⊥平面AOB ,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角. 解析：(1) 如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴,,OB OA 所在的直线分别为y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,23),(0,2,0),3),(2sin ,2cos ,0)A B D C θθ，设1(,,)n x y z =为平面COD 的一个法向量,由1100n OD n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得sin cos 030x y y z θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取sin z θ=,则1(3cos ,3sin ,sin )n θθθ=-因为平面AOB 的一个法向量为2(1,0,0)n =由平面COD ⊥平面AOB ，得120n n ⋅=所30θ=即2πθ=.(2) 设二面角--B OD C 的大小为α，当2,3πθ=平面COD的一个法向量为12223(3cos,,sin )=(-,333222n πππ=-1212cos 53nn n n α⋅===-+‖, 综上,二面角--B OD C 的余弦值为5-. 点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.20．已知数列{a n }的各项均为正，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n 2+2a n ＝4S n +3． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n 3nna =，求数列{b n }的前n 项和． 答案：（1）a n ＝2n +1；（2）223n n +-．（1）根据题意求出首项，再由（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1，求得该数列为等差数列即可求得通项公式；（2）利用错位相减法进行数列求和. 解析：（1）∵a n 2+2a n ＝4S n +3，∴a 12+2a 1＝4S 1+3，即211230a a --=，解得：a 1＝3或a 1＝﹣1（舍）， 又∵a n +12+2a n +1＝4S n +1+3，∴（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1， 整理得：（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n ）＝2（a n +1+a n ）， 又∵数列{a n }的各项均为正， ∴a n +1﹣a n ＝2，∴数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1； （2）由（1）可知b n 2133n n n a n +==，记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝3•13+5•213++（2n +1）•13n ， 13T n ＝3•213+5•313•…+（2n ﹣1）•13n +（2n +1）•113n +， 错位相减得：23T n ＝1+2（231133+•13n +）﹣（2n +1）•113n +＝1+221111121331313n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭⨯--142433n n ++=-， ∴T n 32=（142433n n ++-）＝223n n +-．点评：此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计算.21．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F 到准线的距离为3，抛物线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2＝4．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 C ．（1）求抛物线E 的方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）y 2＝6x （2）3． （1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；（2）根据中点坐标表示出|AB |和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值. 解析：（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F （2p，0）到准线x 2p =-的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y 2＝6x ；（2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则12022x x x +==， y 0122y y +=，k AB 21212221211206366y y y y y y x x y y y --====-+-，则线段AB 的垂直平分线方程为y ﹣y 003y =-（x ﹣2），① 可得x ＝5，y ＝0是①的一个解，所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点， 且点C （5，0），由①可得直线AB 的方程为y ﹣y 003y =（x ﹣2），即x 03y=（y ﹣y 0）+2 ②代入y 2＝6x 可得y 2＝2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2﹣2y 0y +2y 02＝0 ③， 由题意y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以△＝4y 02﹣4（2y 02﹣12）＝﹣4y 02+48＞0，解得﹣y 0＜， |AB|=====又C （5，0）到线段AB 的距离h ＝|CM|== 所以S △ABC 12=|AB |h==≤=，当且仅当9+y 02＝24﹣2y 02，即y 0A，B，或A，-，B所以S △ABC ． 点评：此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值. 22．已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n nb a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.答案：(Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析.试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时的单调性证明，求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12xx x +>+，下面证明：()()ln 12n T n n <++ 解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，()()002ln100f =+⨯-=，切点为()0,0.由()()2ln 111x f x x x +=++-+'，所以()()020ln 011101f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=（Ⅱ）由()()2ln 11x f x x a x +=++-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞， 则()()()22110111x g x x x x =-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数.①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；②当2a >时，由于()020f a ='-<，()1110aa f e e-=+>'，根据零点存在定理， 必存在()0,1at e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在[)0,+∞上为增函数，故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(],2-∞（III ）证明：由24,13,1331,.22,22,21n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩ 由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12xx x +>+， 故2222ln 1212n n n n⋅⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，故1122ln 11nn k k k k ==⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∑∑.下面证明：()()ln 12n T n n <++因为1222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231nk k n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()()1245612ln 3ln ln 12ln223412n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪-⎝⎭而，4222321311n T n =+++⋅⋅⋅++++ 1222222224111111213122131233nn n k T T kn n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑所以，()()1ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1ln 12ln23n n n n T T ++>-+> 点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题．。
FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A．10 B．12 C．16D．205．若实数yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+12yxyyx，则yxz82⋅=的最大值是A．4 B．8 C．16 D．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A．3228516++B．32532+C．32216+D．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A．101B．51C．103D．548．设nS是数列}{na的前n项和，且11-=a，11++⋅=nnnSSa，则5a=A．301B．031- C．021D．201-9. 函数()1ln1xf xx-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCDP-的体积为8，若⊥PA平面ABCD,且3=PA，则四棱锥ABCDP-的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为 A ．1x =- B ．3x =-C ．3x =- D ．3x =- 12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。
○…………外………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班○…………内………○…………装…………○浙江省2019 年高考模拟训练卷数学（三）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A ={0,1,2,3}，B ={1,2,3,4}，则C U (A ∩B )=（ （A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {4,5}D. ∅ 2.已知双曲线C:x 2a 2−y 2a 2=1，则C 的离心率是（ ）A. √52B. √2C. 2D. √5 3.已知a +bi =2−i 1+i（i （（（（（（（（√a 2+b 2（ （A.3√22 B. √102 C. 92 D. 524.函数f (x )=cosx x 2的图像可能是（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）答案第2页，总17页…………○……※※在※※装※※订※※线…………○……A. 2 B. √3 C. √32 D. √366.已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（ ） A. 1880 B. 1440 C. 720 D. 2567.在ΔABC 中，“sinA<cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设函数f (x )={e x +x 2(x ≥0)1ex+x 2(x <0) .已知对任意的a ∈[√3,2√3]，若x 1∈[a −k a ,a −k 2a ]（x 2∈[a −k 3a ,a −k4a ]，恒有f (x 1)≥f (x 2)，则正实数k 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. (0,8]C. [8,+∞)D. [32,+∞)9.如图，C,D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知|AB |=2，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是（ ）A. 12B. √5−√3C. √22 D. √3−1 10.已知数列{a n }满足a 1>0（a 11=4（a n+1=a n +12a n 2，数列{b n }满足b n >0（b 1=a 12（b n =b n+1+12b n+12，n ∈N ∗若存在正整数m,n (m ≤n )，使得b m +b n =14，则（ ） A. m=10,n =12 B. m =9,n =11 C. m =4,n =6 D. m =1,n =3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.已知函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，则f (4)=__________；f (f (13))=__________（12.若实数x,y （（（（（（{2x +y +2≥0x +y −1≤0y ≥0，则z =y −2x （（（（（__________（13.若(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8，则a 0+a 1+a 2+⋯+……外……………○…………订……___班级：___________考号：___……内……………○…………订……a 8=__________（14.在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边a,b,c ，点E 为边AC 上的中点，已知a=2，b =4，c =3，则cosC =__________；BE =__________（15.（（x,y∈R ，若x +2y =4（（x 2+4y 2（（（（（__________（（x 2+4y 2=4，则x +y （（（（（__________（16.已知直线l:y=x +1与抛物线C:x 2=y 交于A,B 两点，点P (0,1)，Q (−1,0)，且PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λQA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =μQB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (λ,μ∈R )，则λ+μ=__________（ 17.如图，在三棱锥P−ABC 中，点O 为AB 的中点，点P 在平面ABC 的投影恰为OB 的中点.已知AB =2PO =2，点C 到OP 的距离为√3，则当∠ACB 最大时，二面角P −AC −B 的余弦值是__________（三、解答题（题型注释）18.已知函数f (x )=√2sin (2x +π4),x ∈R .（1）求函数f (x )在[0,π4]上的值域； （2）若f (x 0)=13，求tanx 0.19.在三棱锥P−ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AQ =QC ，PA =PC =AB =2，BC =1，PB =√3.（1）证明：BC ⊥BQ （（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. 20.已知数列{a n }的前n 项为S n=3a n −2n ,n ∈N ∗.答案第4页，总17页订…………○………※※答※※题※※订…………○………（1）证明：{a nn−1}为等比数列； （2（（（（{na n2n}的前n （（（T n . 21.如图，直线l:y =kx +m (k >0,m <0)交椭圆C:x 24+y 23=1于A,B 两点，点E 是线段AB 的中点，连接EO 并延长EO 交椭圆C 于点F .（1）设直线EF 的斜率为k ′，求kk ′的值； （2）若k=32，求ΔFAB 面积的最大值.22.知函数f (x )=x 2+a x+a，g (x )=2lnx +2a (a ∈R ).（1）求f (x )的单调区间； （2）证明：存在a∈(0,1)，使得方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.参数答案1.C【解析】1.先求出A ∩B ，然后再在全集U ＝{1，2，3，4，5}下求∁U （A ∩B ）． ∵A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{1，2，3}，又∵全集U ＝{1，2，3，4，5}， ∴∁U （A ∩B ）＝{4，5}． 故选：C ． 2.B【解析】2.由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率. ∵双曲线方程为C:x 2a 2−y 2a 2=1，∴双曲线为等轴双曲线， ∴e=√2. 故选B. 3.B【解析】3. 由于a +bi ＝1−3i 2，故有a ＝12，b ＝-32，即可得结果． 由于a +bi ＝2−i 1+i =（2−i ）（1−i ）（1+i ）（1−i ）=1−3i 2， ∴a +bi ＝1−3i2，∴a ＝12，b ＝-32，∴√a 2+b 2=√102故选B ． 4.C答案第6页，总17页装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………【解析】4.利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可. ∵f (x )=cosx x 2=cos （−x ）（−x)2=f (−x )，∴函数f (x )为偶函数，排除A 、B ， 又当0<x<π2时，f (x )>0，排除D ，故选C. 5.D【解析】5.由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案． 由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积=13×12×1×√3×1=√36．故选：D ． 6.B【解析】6.先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共A 53种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共A 22种排法，再将这两个整体全排列，共A 22种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共A 33种排法，由分步计数原理得共A 53A 22A 22A 33=1440 种.故选B. 7.A【解析】7.先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可. ∵sinA<cosB ⇔cos (π2−A)<cosB ，且B 必为锐角，可得π2−A >B 或A −π2>B ，即角A 或角C 为钝角；反之，当A=100°，B =30°时，cosB =√32，而sinA>sin120°=√32=cosB ，所以sinA <cosB 不成立，所以“sinA <cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的充分不必要条件，故选A . 8.D【解析】8.利用函数的性质将不等式转化为|x 1|≥|x 2|，由对称性结合区间端点的大小得到a 与k 的关系，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，求得8a 2的最值即可得到k 的范围. 因为f (−x )={e −x +（−x ）2(−x ≥0)1e−x+（−x ）2(−x <0) ={e x +x 2(x >0)1e x +x 2(x ≤0) =f (x ), ∴f (x )为偶函数且在(0,+∞)上单调递增， 由对称性得在(−∞,0)上单调递减， ∴f (x 1)≥f (x 2)⇔|x 1|≥|x 2|，又a −k 3a>a −k 2a，只需-（a −k 2a）≥a −k 4a，即2a −3k 4a≤0，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，∴3k≥8×12，则正实数k 的取值范围是[32,+∞).答案第8页，总17页…………订………※订※※线※※内※※答※※题…………订………故选D. 9.A【解析】9.过点O 作AC 的平行线交圆O 于点E ，交BC 于M ，且M 为垂足，设D 在OE 的投影为N ，由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，只需当N 落在E 处时，MN 最大，求得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2cosθ∙(1−cosθ)，再由θ∈[0，π2）求得最值即可. 如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，π2），则AC=2cosθ，连接CB ，则CB ⊥AC ，过O 作AC 的平行线交圆O 于E ，交BC 于M ，且M 为垂足， 又知当D 、C 在AB 同侧时，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 设D 在OE 的投影为N ，当C 确定时，M 为定点，则当N 落在E 处时，MN 最大，此时AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，最大时为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |， 又OM=|OB |cosθ, ∴|ME |=1−cosθ，∴AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 最大为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |=2cosθ∙(1−cosθ)≤2×[cosθ+(1−cosθ)2]2=12,当且仅当cosθ=12时等号成立，即θ=π3， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为12.故选A. 10.D【解析】10.由题意得a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，利用单调性可得b 1=a 12，代入已知求得b 2=a 11=4，b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ，又a 12=12，得到b m +b n =a 10+a 12，可得所求. 因为a n+1=a n +12a n 2，b n =b n+1+12b n+12，则有a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，且函数y =12x 2+x 在(0,+∞)上单调递增，故有b 1=a 12=b 2+12b 22=a 11+12a 112，得b 2=a 11=4， 同理有b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ， 又因为a 12=a 11+12a 112=12， 故b m +b n =a 10+a 12，所以m=1,n =3.故选D. 11.2 13【解析】11.由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．∵函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，∴f （4）＝log 24＝2，f (f (13))＝f （log 213）＝2log 213＝13， 故答案为：(1). 2 (2). 1312.10【解析】12.作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 由z ＝y ﹣2x ，得y ＝2x +z ， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z 经过点A 时，答案第10页，总17页线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最大值， 由{2x +y +2=0x +y −1=0，得{x =−3y =4 ，即A （-3，4）代入z ＝y ﹣2x ，得z ＝4﹣2×（-3）＝10， 即z ＝y ﹣2x 的最大值为10． 故答案为：10． 13.0【解析】13.利用二项式定理可知，对已知关系式中的x 赋值，即可求得a 0+a 1+a 2+⋯+a 8的值． ∵(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8令x ＝2得：0＝a 0+a 1+a 2+⋯+a 8，即a 0+a 1+a 2+⋯+a 8＝0； 故答案为：0． 14.1116 √102【解析】14.直接利用余弦定理可得cosC ，利用中线定理的向量表示法将BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出，平方可得模. 在ΔABC 中，cosC=a 2+b 2−c 22ab=1116，同理可得cosB =-14， 又BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，平方得BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(4+9+2×2×3×cosB )=104， 所以BE=√102，故答案为(1). 1116 (2). √102 15.8 √5【解析】15.根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，进而可得x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.根据题意，x ，y ∈R +，且x +2y ＝4，则有4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，（当且仅当x ＝2y =2时等号成立）x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，又由4xy ≤8，则有x 2+4y 2≥8， 即x 2+4y 2的最小值为8； 若x 2+4y 2=4，则由柯西不等式得（x 2+4y 2）（1+14）≥(x +y)2，（当且仅当x ＝4y =4√55时等号成立），所以(x +y)2≤4×54即x+y 的最大值为√5，故答案为：(1). 8 (2). √5． 16.-3【解析】16.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到λ2+3λ+1=0，μ2+3μ+1=0，构造方程x 2+3x +1=0，求得结果.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，λQA ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ(x 1+1,y 1)，μQB⃑⃑⃑⃑⃑ =μ(x 2+1,y 2)，则有x 1=−1λ−1,y 1=−1λ，代入方程x 2=y ，故有λ2+3λ+1=0，同理μ2+3μ+1=0，有，即可视λ,μ为方程x 2+3x +1=0的两根，则λ+μ=−3.故答案为-3. 17.3√1313【解析】17.由条件得到点C 的轨迹是以AB 为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当∠ACB 最大时有AC =BC ，做出二面角P −AC−B 的平面角，在ΔPFE 中求解即可.因为点C 到OP 的距离为√3，则点C 是以OP 为旋转面的轴的圆柱与平面ABC 的公共点，答案第12页，总17页即点C 的轨迹是以AB 为长轴，以2√3为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知， 则当∠ACB 最大时有AC=BC =2.如图，在AC 上取一点F ，满足|AF |=34， 连接EF,PF ，则有EF ⊥AC ，又因为PE ⊥AC ，则∠PFE 是二面角P−AC −B 的平面角，在ΔPEO 中，OP=1,OE=12, ∴PE=√32, ∴PF=√PE 2+EF 2,在ΔPFE 中，EF =3√34,∴PF =√394，故二面角的余弦值是3√1313. 故答案为3√1313. 18.（1）[1,√2]（2）3±√174【解析】18.（1）根据正弦函数的定义域求得2x+π4的范围，利用正弦函数在[π4，3π4]的图像特点求得函数f （x ）=√2sin （2x +π4）的值域．（2）将f (x )展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可. （1）因为x ∈[0,π4],∴π4≤2x +π4≤3π4， 当2x +π4=π2时，f (x )最大为√2，当2x+π4=π4时，f (x )最小为1，所以f (x )在[0,π4]的值域为[1,√2]； （2）因为f (x )=√2sin (2x +π4)=sin2x +cos2x =2sinxcosx+cos 2x−sin 2xcos 2x+sin 2x=13，即2tan 2x −3tanx −1=0， 所以tanx =3±√174.∴tanx 0=3±√174.19.（1）详见解析（2）3√9191【解析】19.（1）利用面面垂直，可证PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，再利用勾股定理证明PB ⊥BC ，可证BC ⊥平面PQB ，证得结论.（2）先证得平面PHQ⊥平面PAB ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，有QO ⊥平面PAB ，可证明∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角，在△ABC 中，求得QH ，可得PH ，由等面积法知OQ ，即可求解直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. （1）由题意平面PAC ⊥平面ABC ，PQ ⊂平面PAC ，平面PAC⋂平面ABC =AC ，又PA =PC ，AQ =QC （ ∴PQ ⊥AC ，∴PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，又由勾股定理得PB ⊥BC ，PB ∩PB =P ，∴BC⊥平面PQB ，即BC ⊥BQ ；（2）设BO=x ，则AQ =QC =2+1，在ΔABC 中，222=4(x 2+1)+4−12，即BO =x =√32.故AQ=√72，PQ =32，过Q 作QH ⊥AB 于点H ，连接PH ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，连接AO ，因为PQ ⊥AB 且QP ∩QH =Q ，故AB⊥平面PQH ，又因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PHQ ⊥平面PAB ， 进而有QO⊥平面PAB ，故∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角， 在ΔABC 中，有cos∠CAB =2√7=AH AQ，得AH =54，故QH=√34，PH =√394， 由等面积法知OQ =3√1326，所以sin∠QAO=OQ AQ=3√9191，故直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值为3√9191.答案第14页，总17页20.（1）详见解析（2）T n =12−(12+3n )(34)n+n 2+n2.【解析】20.（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入na nn，利用分组求和及错位相减法即可求得T n ． （1）当n =1时，a 1=12，当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1， ∴a n=S n −S n−1=3a n −3a n−1−2n−1， 即2a n =3a n−1+2n−1，故a n2n=34•a n−12n−1+14， 所以a n2n−1=34(a n−12n−1−1)， 故{a n 2n −1}是−34为首项，以34为公比的等比数列； （2）由（1）知a n2n=1−(34)n ，故na n2n=n −n (34)n，令数列{n }，{n (34)n}的前n 和为A n ,B n ，则T n=A n −B n ，因为A n =n 2+n2， B n =1•(34)1+2•(34)2+⋯+n (34)n，34B n =1•(34)2+2•(34)3+⋯+(n −1)(34)n +n (34)n+1， 则14B n =34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n −n (34)n+1，即B n =12−(12+3n )(34)n ，故T n=12−(12+3n )(34)n+n 2+n2. 21.（1）−34（2）92【解析】21.（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，利用点差法能得到kk ′的值．（2）由（1）知k ′，则可求点F 坐标，利用点F 到直线AB 的距离公式求得ΔFAB 的高，联立{y =32x +m 3x 2+4y 2=12，由韦达定理求得|AB |，将面积表示为关于m 的函数，求导求得最值. （1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， 则E (x 1+x 22,y 1+y 22)，将A 、B 点坐标代入椭圆方程，有x 124+y 123=1……①，x 224+y 223=1……②，①-②得x 12−x 224+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2•y 1+y2x 1+x 2=−34，即kk ′=−34；（2）由（1）知，当k =32时，有k ′=12，则有直线l:y =32x +m ，直线EF:y =−12x ， 不妨设m<0，则有F (−√3,√32)，故点F 到直线AB 的距离d =√3−2m|13，联立方程组{y =32x +m 3x 2+4y 2=12， 即3x 2+3mx +m 2−3=0，则|AB |=√132√m 2−4m 2−33=√132√12−m 23，故ΔFAB 面积S =12(2√3−√12−m 2√3=2√3(2√3−m)2(12−m 2)，令f (m )=(2√3−m)2(12−m 2)，则f ′(m )=2(2√3−m )(2m 2−2√3m −12)，令f ′(m )=0，则m =−√3或2√3（舍去）∴m=−√3时，f (m )有最大值243，即ΔFAB 面积的最大值为92. 22.（1）详见解析（2）详见解析【解析】22.（1）求出函数f （x ）的定义域，对函数f （x ）求导得到y=x 2+2ax −a ，分Δ≤0与Δ>0,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f （x ）的单调区间； （2）构造ℎ(x )=f (x )−g (x )，求导分析ℎ(x )的单调性，找到12≤a<1时，ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，ℎ(e 2)>0,由函数零点存答案第16页，总17页在定理得到存在a 0∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即证得结论.（1）函数f （x ）的定义域为(−∞,−a )∪(−a,+∞)， 因为f ′(x )=x 2+2ax−a(x+a )2， 令y =x 2+2ax −a ，则Δ=4a 2+4a ≤0，即−1≤a ≤0，则f ′(x )≥0在(−∞,−a )∪(−a,+∞)上恒成立， 当a<−1或a >0，由x 2+2ax −a >0有x >−a +√a 2+a 或x <−a −√a 2+a ，由x 2+2ax −a <0有−a −√a 2+a <x <−a +√a 2+a ，综上，当−1≤a ≤0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a ),(−a,+∞)，当a<−1或a >0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a −√a 2+a ),(−a +√a 2+a,+∞)，递减区间是(−a −√a 2+a,−a ),(−a,−a +√a 2+a )； （2）令ℎ(x )=f (x )−g (x )=x 2+a x+a−2lnx −2a ， 当a∈(0,1)时，则ℎ′(x )=x 2+2ax−a (x+a )2−2x=(x+2a )(x 2−2x−a )(x+a )2x=(x+2a )[x−(1−√1+a)][x−(1+√1+a)](x+a )2x，因为x∈(1,+∞)，故当1<x <1+√1+a 时，ℎ′(x )<0，当1+√1+a <x 时，ℎ′(x )>0，所以ℎ(x )在(1,1+√1+a )上递减，在(1+√1+a,+∞)上递增，即当x 1=1+√1+a 时，ℎ(x )有最小值，又h （1）=1-2a ， 当12≤a<1时，h （1）≤0，即ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，又12≤a<1时,ℎ(x )=x 2+a x+a−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2=x −2lnx −2，取x=e 2,则x−2lnx −2=e 2−4−2=e 2−6>0，即ℎ(e 2)>0，又ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，由函数零点存在定理知ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上存在唯一零点， 所以当12≤a<1时即存在a∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.。
2019年宁波市镇海区龙赛中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：湖北省黄冈市某校2018_2019学年高二数学4月月考试题理命题，命题在中，若，则.下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C第 2 题：来源： 2016-2017学年四川省成都外国语学校高二数学上学期期末考试试题理已知命题，，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】C第 3 题：来源：山东省济南市2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷及答案若函数，则的最大值为A．9 B．8 C．7D．6【答案】B第 4 题：来源：四川省宜宾第三中学2019届高三数学11月月考试题理（含解析）已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数故进而得到对该函数求导得到函数的单调性和图像，结合图像得到结果.【详解】对任意的实数都有,变形得到=构造函数故根据，得到进而得到，对函数求导得到根据导函数的正负得到函数在，，由此可得到函数的图像，不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1，故解得m的范围是：.故答案为：B.第 5 题：来源：宁夏石嘴山市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理已知命题使得命题，下列命题为真的是A．（B．p q C．D．【答案】B第 6 题：来源：广东省汕头市潮南区2017年高考考前冲刺数学试题（理）含答案解析若复数,则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B第 7 题：来源：辽宁省六校2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（）【答案】D第 8 题：来源：重点班2017届高三数学一轮复习阶段检测试题一理试卷及答案设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )(A)1-ln 2 (B)(1-ln 2)(C)1+ln 2 (D)(1+ln 2)【答案】B解析:法一交换y=ex中x,y的位置可得y=ln(2x),则两曲线关于直线y=x对称,所以当曲线y=ex和y=ln(2x)的切线的斜率都为1时,两条切线间的距离即为|PQ|的最小值(如图).令y′=ex=1,得x=ln 2.所以y=ex的斜率为1的切线的切点是(ln 2,1),所以切点(ln 2,1)到直线y=x的距离为d==.所以|PQ|min=2d=2×=(1-ln 2).故选B.法二交换y=ex中x,y的位置可得y=ln (2x),则两曲线关于直线y=x对称,则|PQ|的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的2倍.由函数y=ex上的点P(x,ex)到直线y=x的距离为d=,设函数g(x)=ex-x,则g′(x)=ex-1=0,得x=ln 2,当x<ln 2时g′(x)<0,当x>ln 2时g′(x)>0,所以x=ln 2是函数g(x)在其定义域上唯一的极小值点也是最小值点,所以g(x)min=1-ln 2>0.由图象关于y=x对称得,|PQ|的最小值为2dmin=(1-ln 2),故选B.第 9 题：来源：云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案为终边上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】 D第 10 题：来源：河北省唐山市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案已知不过原点的直线与交于两点，若使得以为直径的圆过原点，则直线必过点（）【答案】A第 11 题：来源：福建省莆田市莆田第六中学2018届高三数学下学期第三次模拟考试试卷文（含解析）为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论正确的是A. 2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B. 2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54%C. 2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大D. 2017年11月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好【答案】D【解析】2016年各月的仓储指数最大值是在11月份；2017年1月至12月的仓储指数的中位数为52%；2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性小；2017年11月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好，所以选D.第 12 题：来源： 2016_2017学年宁夏银川市勤行高二数学下学期第一次（3月）月考试题试卷及答案理已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是（）A B. C.D.【答案】A第 13 题：来源：江西省名校学术联盟（临川一中、景德镇一中、雁潭一中等）2018届高三数学教学质量检测考试试题（二）理已知集合，，则（）A．B． C．D．【答案】C【解析】依题意，，，故，故选C.第 14 题：来源：重庆市铜梁县2016_2017学年高二数学3月月考试题理试卷及答案.函数的图像如图所示,则下列结论成立的是( )A. B.C. D.【答案】 A第 15 题：来源：湖南省长沙市2018届高三数学上学期9月月考试题理（含解析）m∈(－∞，－2)是方程＝1表示的图形为双曲线的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当m〈－2时，m－5〈0，m2－m－6＝(m－3)(m＋2)〉0，所以此方程表示焦点在y轴上的双曲线；反之，若此方程表示双曲线，则m〈－2不成立.如m＝4也表示双曲线.所以m∈(－∞，－2)是方程＋＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件.第 16 题：来源：陕西省黄陵县2018届高三数学上学期期中试题（普通班）理试卷及答案若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0【答案】第 17 题：来源：河南省鹤壁市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题理试卷及答案设满足约束条件则的最大值为( )A．8 B．7 C.2 D. 1【答案】B第 18 题：来源： 2016_2017学年安徽省蚌埠市高二数学上学期期中试题试卷及答案理设集合，，则以下各式正确的是（）A． B．C． D．【答案】D第 19 题：来源：（通用版）2019版高考数学二轮复习4套“12＋4”限时提速练检测理（普通生，含解析）若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )A．－2 B．－1C．1 D．2【答案】A 因为复数z＝＋1＝为纯虚数，所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.第 20 题：来源： 2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（天津卷，含解析）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】【解析】依次为 ,，输出，选C.【考点】程序框图【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．第 21 题：来源： 2016_2017学年高中数学每日一题（2月27日_3月5日）试卷及答案新人教A 版必修3已知与之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为，则以下结论正确的是A． B．C．D．【答案】C【试题解析】根据所给数据求出直线方程和回归直线方程的系数，并比较大小．由（1，0），（2，2）求．，．求时，，，，∴，，∴．故选C.第 22 题：来源：江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校2016_2107学年高二数学5月联考试题理（含解析）某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（）A. 男2人，女6人B. 男3人，女5人C. 男5人，女3人D. 男6人，女2人【答案】B【解析】试题分析：设男生人数为，则女生人数为，由题意可知即，解得，所以男、女生人数为，故选B.考点：排列与组合.第 23 题：来源：云南省玉溪市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题理试卷及答案已知一条双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）【答案】B第 24 题：来源：甘肃省会宁县2016_2017学年高一数学下学期期中试题下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（）A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形【答案】C．第 25 题：来源：山西省长治二中2018_2019学年高一数学上学期第二次月考试题、、、则、、的大小关系是A． B． C． D ．【答案】 C第 26 题：来源：重庆市2017届高三下第一次月段考试数学试题（理科）含答案已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆交于点M,满足，则离心率是A. B. C. D.【答案】B第 27 题：来源：四川省棠湖中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为A. B.C. D.【答案】C第 28 题：来源： 17年海南省海口市高考调研测试数学试题（理科）含答案若集合，，则等于（）A． B． C． D．【答案】C第 29 题：来源：河北省邯郸市永年区第二中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题理已知是三角形的内角，且，则正确的是（）A 锐角三角形B直角三角形 C D【答案】C第 30 题：来源：河北省大名县2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题 (1)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目.按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的,且对每个项目的投资不低于5万元，对项目甲每投资1万元可获利0.4万元，对乙项目每投资1万元可获利0.6万元，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获利最大为（）A. 24万元B. 30.4万元C. 31.2万元D. 36万元【答案】C第 31 题：来源：湖北省孝感市七校教学联盟2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题理函数在上的最大值和最小值分别为【答案】A第 32 题：来源：试卷及答案浙江省嵊州市高级中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题如图，三棱锥-中，棱两两垂直，且，则二面角大小的正切值为（）A．B． C．D．【答案】C第 33 题：来源： 2017年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）含答案解析计算=（）A．﹣2i B．0 C．2i D．2【答案】B【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算．【分析】由于===i， ==﹣i．i4=1．即可得出．【解答】解：∵ ===i， ==﹣i．i4=1．∴=（i4）504•i+[（﹣i）4]504•（﹣i）=i﹣i=0．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．第 34 题：来源：黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学2019届高三数学上学期期中试题理已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－1,3) C．(－3，＋∞) D．(－3,1)【答案】B第 35 题：来源：海南省海南中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案两个粒子A，B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为,粒子B相对粒子A的位移是，则在的投影是（）A． B. C.D.【答案】B第 36 题：来源：湖南省长沙市2018届高三数学上学期7月摸底考试试题理（含解析）已知集合A＝，B＝，则A∩＝( )(A){x|0≤x≤1} (B){x|1≤x＜2}(C){x|－1＜x≤0} (D){x|0≤x＜1}【答案】B第 37 题：来源： 2016_2017学年贵州省铜仁市碧江区高二数学下学期期中试题试卷及答案理若为正实数，为虚数单位，，则=（）A.2B.C.D.1【答案】B第 38 题：来源：河北省故城县2018届高三数学9月月考试题试卷及答案若定义在上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点的个数（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C第 39 题：来源：内蒙古巴彦淖尔市临河三中2018_2019学年高一数学下学期第二次月考试题（宏志）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B.C. D.【答案】C第 40 题：来源：江西省南昌市六校2016_2017学年高二数学5月联考试题理一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为（）A. B. C.D.【答案】C第 41 题：来源：湖南省岳阳市岳阳县2016_2017学年高一数学下学期期中试卷（含解析）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣【答案】D【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，第 42 题：来源：山东省济宁市2019届高三数学第一次模拟考试试题理《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】A第 43 题：来源：广东省湛江市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题试卷及答案10已知函数()，则“”是“函数在上是增函数”的…………………………………………………………………………………………（）（A）充分非必要条件. （B）必要非充分条件.（C）充要条件. （D）非充分非必要条件. 【答案】B第 44 题：来源：内蒙古翁牛特旗2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案.，表示的数如图所示，则的值是（）A、 B、 C、 D、【答案】 D第 45 题：来源：高中数学第一章统计案例B章末测试试卷及答案新人教B版选修1-2某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A.成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量【答案】D第 46 题：来源：山西省吕梁市泰化中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台 B．②是圆台 C．③不是棱锥 D．④是棱柱【答案】 D第 47 题：来源：黑龙江省大庆铁人中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理函数的图象在点处的切线的倾斜角为A.0B.C.1D.【答案】B第 48 题：来源：云南省玉溪市2018届高三数学上学期第一次月考试题文（含解析）执行下图程序框图，若输出，则输入的为（）A. 或B.C. 1或D. 或【答案】D第 49 题：来源：安徽省合肥一六八中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义得导数，再解不等式得结果.【详解】由题意得，因此由得或，选D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.第 50 题：来源：宁夏银川市2018届高三数学上学期统练试题试卷及答案（二）理已知集合（）A. B. C. D.【答案】 D。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
2019年高三数学(文)模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）球的体积公式334R V π=球，球的面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径 柱体的体积公式V sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V sh =，其中s 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h s s =，其中12,s s 分别表示台体上,下的底面积，h 表示台体的高Ⅰ卷（选择题共50分）一． 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. 设全集U R =，集合{}21A x x x =><-或，{}0B x x =>，则()U A B =ð（ ）（A ）(]0,2 （B ） ()2,+∞ （C ）(0,2) （D ）(,1)-∞- 2．“0x y =”是“220x y +=”的（ ）（A ）充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D )既不充分也不必要条件 3. 若复数1112iz i -=+-+，化简后z = ( ) （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i -4．下列函数中，周期为π且图像关于直线3x π=对称的函数是（ ）(A) ()2sin()23x f x π=+(B) ()2sin(2)3f x x π=+ (C) ()2sin()26x f x π=-(D) ()2sin(2)6f x x π=-5．已知,m n 是两条异面直线，点P 是直线,m n 外的任一点，有下面四个结论： ① 过点P 一定存在一个与直线,m n 都平行的平面。
② 过点P 一定存在一条与直线,m n 都相交的直线。
2019年浙江省高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，则（∁R A）∩B是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0]C．[﹣2，0）D．R2．设复数z=，则z的虚部是（）A．i B．C．﹣D．﹣i3．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线4．关于周期函数，下列说法错误的是（）A．函数不是周期函数．B．函数不是周期函数．C．函数f（x）=sin|x|不是周期函数．D．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π．5．的展开式的常数项是（）A．5 B．﹣10 C．﹣32 D．﹣426．若变量x，y满足约束条件，且z=ax+3y的最小值为7，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．不确定7．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣508．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．49．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1） B．[，1]C．（，1）D．[，1）10．已知点P在双曲线上，点A满足（t∈R），且，，则的最大值为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．已知函数，则f（f（﹣2））=，若f（x）≥2，则x的取值范围为．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为cm，体积为cm3．13．已知随机变量ξ的概率分布列为：则Eξ=，Dξ=．14．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=；|MP|=..15．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f （x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．16．若函数f（x）=ax2+20x+14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，则实数a的最小值为．17．定义域为{x|x∈N*，1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）﹣f （x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=sinB，且满足tanA+tanC=．（Ⅰ）求角C和边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．19．在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．20．设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．点D在椭圆上，DF（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．22．已知在数列{a n}中，．，n∈N*（1）求证：1＜a n+1＜a n＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，则（∁R A）∩B是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0]C．[﹣2，0）D．R【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出C R A，由此能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1，x∈R}，∴C R A={x|﹣2≤x≤1}，∵B={x|x＜0或x＞2，x∈R}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0）．故选：C．2．设复数z=，则z的虚部是（）A．i B．C．﹣D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z=====﹣1+i，则z的虚部是．故选：B．3．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B 错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．4．关于周期函数，下列说法错误的是（）A．函数不是周期函数．B．函数不是周期函数．C．函数f（x）=sin|x|不是周期函数．D．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据三角函数的性质，依次判断即可．【解答】解：对于A：函数，令，则f（u）=sinu是周期函数．∴A对．对于B：函数，令，则f（t）=sint，是周期函数，∴B对．对于C：函数f（x）=sin|x|是函数y=sinx把有部分图象关于y轴对称所得，不是周期函数，∴C对．对于D：函数f（x）=|sinx|+|cosx|的最小正周期为．∴D不对．故选D．5．的展开式的常数项是（）A．5 B．﹣10 C．﹣32 D．﹣42【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由于的通项为，可得的展开式的常数项．【解答】解：由于的通项为，故的展开式的常数项是+（﹣2）5=﹣42，故选D．6．若变量x，y满足约束条件，且z=ax+3y的最小值为7，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．不确定【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论可得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得a值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数z=ax+3y为y=．当a＞0时，由图可知，当直线y=过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3=7，解得a=2；若过C，则a+6=7，解得a=1不合题意．当a＜0时，由图可知，当直线y=过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3=7，解得a=2，不合题意；若过B，则4a+15=7，解得a=﹣2，不合题意．∴a的值为2．故选：B．7．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【考点】85：等差数列的前n项和；3F：函数单调性的性质．【分析】由函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1轴对称，平移可得y=f （x）的图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y=f（x﹣2）的图象关于x=1对称，可得y=f（x）的图象关于x=﹣1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．8．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【考点】9V：向量在几何中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量关系，判断四边形的形状，然后求解三角形的面积的最大值即可．【解答】解：由知，ABDC 为平行四边形，又A，B，C，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径，当AB=AC 时，△ABC 的面积取得最大值．故选：B．9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．[，1） B．[，1]C．（，1）D．[，1）【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF==当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故选：A．10．已知点P在双曲线上，点A满足（t∈R），且，，则的最大值为（）A．B． C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由已知可得，且||=|t|||．有，将点（）代入双曲线中得，由||•||=t|||2=64．得|t|（）=6，即得64=，|y P|，||=|y P|．【解答】解：∵，∴，∴，且||=|t|| |．∴（x A，y A）=t（x P，y P），∴，将点（）代入双曲线中得：．∴…①，∵，∴||•||=t|| |2=64．∴|t|（）=64…②由①②得64=，∴|y P|，||=|y P|，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．已知函数，则f（f（﹣2））=0，若f（x）≥2，则x的取值范围为x≥3或x=0．【考点】3T：函数的值．【分析】由分段函数的表达式，利用代入法即可求第一问，讨论x的取值范围，解不等式即可求第二问．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣2）==4﹣2=2，f（2）=0，故f（f（﹣2））=0，若x≤﹣1，由f（x）≥2得（）x﹣2≥2得（）x≥4，则2﹣x≥4，得﹣x≥2，则x≤﹣2，此时x≤﹣2．若x＞﹣1，由f（x）≥2得（x﹣2）（|x|﹣1）≥2，即x|x|﹣x﹣2|x|≥0，若x≥0得x2﹣3x≥0，则x≥3或x≤0，此时x≥3或x=0，若x＜0，得﹣x2+x≥0，得x2﹣x≤0，得0≤x≤1，此时无解，综上x≥3或x=0，故答案为：0，x≥3或x=012．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的所有棱长之和为27++cm，体积为20cm3．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，画出其直观图，进而根据棱柱和棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，如下图所示：故此几何体的所有棱长之和为3+4+5+5+5+5++=27++cm，该几何体的体积V==cm3．故答案为：27++，20．13．已知随机变量ξ的概率分布列为：则Eξ=1，Dξ=．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】利用随机变量ξ的概率分布列的性质能求出Eξ和Dξ．【解答】解：由随机变量ξ的概率分布列，知：Eξ==1，Dξ=（0﹣1）2×+（1﹣1）2×+（2﹣1）2×=．故答案为：1，．14．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=﹣1；|MP|=3..【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=﹣1．利用勾股定理求出|MP|．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=﹣1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心（1，2），半径r=2，∵经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，∴|MP|==3．故答案为：﹣1；3．15．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f （x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是[3e3，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1求得常数．再由题意可得f（x）=e x﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，运用导数和构造函数，转化为方程无实根，即可得到a的范围．【解答】解：由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=e x﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=e x﹣=，则xe x﹣a=0无实数解，由y=xe x，可得y′=（1+x）e x＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．16．若函数f（x）=ax2+20x+14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，则实数a的最小值为8．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】结合二次函数的图象可知，当且仅当区间[t﹣1，t+1]的中点是对称轴时，只要满足[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f （x1）﹣f（x2）|≥8成立，则对其它任何情况必成立．【解答】解：因为a＞0，所以二次函数f（x）=ax2+20x+14的图象开口向上．在闭区间[t﹣1，t+1]上总存在两实数x1，x2，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥8成立，只需t=时f（t+1）﹣f（t）≥8，即a（t+1）2+20（t+1）+14﹣（at2+20t+14）≥8，即2at+a+20≥8，将t=代入得a≥8．所以a的最小值为8．故答案为817．定义域为{x|x∈N*，1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）﹣f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为176．【考点】D8：排列、组合的实际应用；3T：函数的值．【分析】根据题意，由|f（x+1）﹣f（x）|=1分析可得必有在f（x+1）﹣f（x）=1和f（x+1）﹣f（x）=﹣1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得f（4）=±2，进而分2种情况讨论，①、若f（4）=﹣2，分析可得在1≤x≤3中，f（x+1）﹣f（x）=﹣1都成立，在4≤x≤11中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，7个f（x+1）﹣f（x）=1成立，②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1成立，2个f（x+1）﹣f（x）=1成立，在4≤x≤11中，有3个f （x+1）﹣f（x）=﹣1，5个f（x+1）﹣f（x）=1成立；由乘法原理计算可得每种情况的函数数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，若|f（x+1）﹣f（x）|=1，则f（x+1）﹣f（x）=1和f（x+1）﹣f（x）=﹣1中，必须且只能有1个成立，若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比数列，则f（4）=±2，分2种情况讨论：①、若f（4）=﹣2，在1≤x≤3中，f（x+1）﹣f（x）=﹣1都成立，在4≤x≤11中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，7个f（x+1）﹣f（x）=1成立，则有C81=8种情况，即有8个不同函数；②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1个f（x+1）﹣f（x）=﹣1成立，2个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C31=3种情况，在4≤x≤11中，有3个f（x+1）﹣f（x）=﹣1，5个f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同函数；则一共有8+168=176个满足条件的不同函数；故答案为：176．三、解答题（共5小题，满分74分）18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=sinB，且满足tanA+tanC=．（Ⅰ）求角C和边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系以及诱导公式和两角和的正弦公式即可求出，再根据正弦定理即可求出c的值，（Ⅱ）根据余弦定理和基本不等式即可求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）tanA+tanC=可得+====，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=，∵b=sinB，由正弦定理可得==，∴c=；（Ⅱ）由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，∴=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时取等号．∴S△ABC=absinC=ab≤×=，故△ABC面积的最大值为..19．在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2））．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，由已知可得△ADF为正三角形．进一步得到EF⊥AD．在图（2）中，可得A1E⊥EF，BE⊥EF，即∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，可得A1E⊥平面BEP；（2）分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出面EA1P与面BA1P的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值得答案．【解答】（1）证明：在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60°，∴△ADF为正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图（2）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥平面BEP；（2）解：分别以EB、EF、EA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（2，0，0），P（1，，0），A（0，0，1），，．设面EA1P的法向量为，则，取y=﹣1，得=（，﹣1，0）；设面BA1P的法向量为，则，取y=1，得=（，1，2）．∴cos＜＞==，∴二面角B﹣A1P﹣E的大小的余弦值为．20．设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）21．如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．点D在椭圆上，DF（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得求得|DF椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，|==c，由=2，得|DF从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，所以2a=|DF因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．22．已知在数列{a n}中，．，n∈N*（1）求证：1＜a n+1＜a n＜2；（2）求证：；（3）求证：n＜s n＜n+2．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1）先用数学归纳法证明1＜a n＜2．由.．可证得1＜a n+1＜a n＜2成立．（2），当n≥3时，由，得，，即可证得（3）由（1）1＜a n＜2得s n＞n由（2）得，【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明1＜a n＜2．①．n=1时，②．假设n=k时成立，即1＜a k＜2．那么n=k+1时，成立．由①②知1＜a n＜2，n∈N*恒成立.．所以1＜a n+1＜a n＜2成立．（2），当n≥3时，而1＜a n＜2．所以．由，得，所以（3）由（1）1＜a n＜2得s n＞n由（2）得，。
