中考数学一轮复习《第5讲：一次方程与方程组》精练(含答案)

第5讲一次方程（组）及应用【回顾与思考】例1解方程：x- - 12亠22 3【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、二.掌握二兀一次方程组的解法例2 （2006年枣庄市）已知方程组'ax by2,的解为4x 2'，求2a-3b的值y 1.x 2【点评】将代入原方程组后利用加减法解关于a, b的方程组.y 1.三.一次方程的应用例3 （2006年吉林省）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市是严重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？系数化为1,五步进行【例题经典】一•掌握一元一次方程的解法步骤【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题.【基础训练】1若代数式3a4b2x与0.2a4b3x-1能合并成一项，则x的值是（）1 1A. B . 1 C . - D . 02 32. 如果2005-200.5=x-20.05 ，那么x 等于（）A . 1814.55B . 1824.55C . 1774.45D . 1784.453. （2006年盐城市）已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（）A. 1 B . 0 C . 0 或1 D . 0 或-14. （2006年青岛市）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，？若你想买下标价为360元的这种商品，最多降低多少元，商店老板才能出售（）A . 80 元B.100 元C . 120元 D . 160元5.若方程组ax by1的解是x 1那么a，b的值是（）bx ay2y 2A .a=2，b=1B a=1，b=0 C . a=1，b=1 D . a=0，b=06.足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.？某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（）A . 4 场B . 5 场C . 6 场D . 13 场7. （2006年随州市）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题, ? “鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露, 看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x只, 兔为y只，所列方程组正确的是（）x y 36 x y 36 A . y D.'x 2y 100 4x 2y 100 B.x y 362x 4y 100C. x y 362x 2y 100y=ax+b和y=kx的图象交于点P，?则根据图像可得, y ax b, j•次方程组的解是（关于的二兀）y kxx4x4A . B.y2y2x4x4C.D.y2y2& （2006年重庆市）如图，已知函数9.把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有___________ 种换法.11 .解方程:12. (2006年泰州市)？扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种药品包装盒的体积.13. (2006年重庆市)？农科所向农民推荐渝江I号和渝江H号两种新型良种稻谷. 在田间管理和土质相同的条件下，n号稻谷单位面积的产量比I号稻谷低20%但n号稻谷的米质好，价格比I号高，已知I号稻谷国家的收购价是 1.6元/千克.(1 )当^号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植I 号、n号稻谷的收益相同？(2 )去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植I号、n号稻谷，？且进行了相同的田间管理•收获后，小王把稻谷全部卖给国家•卖给国家时，n号稻谷的收购价定为2.2元/千克，I号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖n号稻谷比卖I号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？14 •某酒店客房部有三人间，双人间客房，收费数据如下表:【能力提升】10.解方程: (1)0.2x 30.50.01X 20.2(1)y 2x,3y 2x 8.(2)x 4y 1,2x y 16.50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房•若每间客房正好住满，？且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？【应用与探索】15. ( 2005年岳阳市)？某体育彩票经售商计划用45000?元从省体彩中心购进彩票20扎,每扎1000张，已知体彩中心有A, B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A?种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元.(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；(2)若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元•在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？(3)若经销商准备用45000元同时购进A，B, C三种彩票20扎，请你设计进票方案.答案与参考例题经典例 1 : x=1 例 2: 2a-3b=6 例 3: 102 座 考点精练 1. B 2.B 3 .A 4 . C5 . B6 . B7 . B8 . C9. 六种 10 . (1)100 (2): x=59x 1x 711 .(1)(2)12.90cm 3y 2y 21.613.(1)-=2 (元) 1 20%(2)设卖给国家的I 号稻谷x 千克，？则x (1-20%)X 2.2=1.6x+1040，解得 x=6500,所以 x+( 1-20%) x=1.8x=11700 (千克)，答：略 14.三人间8间，两人间13间 15•解：可设经销商从体彩中心购进 A 种彩票x 张，？B 种彩票y 张，C 种彩票z 张, 则可分以下三种情况考虑：(1) 只购进A 种彩票和B 种彩票，依题意可列方程组 解得x<0,所以无解•只购进 A 种彩票和C 种彩票， x z 1000 20, x 5000,解得1.5x2.5z 45000z 15000C 种彩票15扎或B 种彩票与C 种彩票各10扎.(2) 若购进A 种彩票5扌L ，C 种彩票15扌L ，销售完后获手续费为 15000=8500 (元)；若购进B 种彩票与C 种彩票各10扎，销售完后获手续费为 0.3 X 10000+0.5 X 10000=8000 (元)，•••为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为 A 种彩票5扎，C 种彩票15扎.(3) 若经销商准备用 45000元同时购进 A, B ，C 三种彩票20扎.设购进 A 种彩票x 扎，B 种彩票y 扎，C 种彩票z 扎，x y z 20,1.5 1000x 2 1000y2.5 1000z• 1< x<5,又••• x 为正整数，共有4种进票方案，即 A 种1 扎, 扎，B 种6扎，C 种12扎，或A 种3扎，B 种4 扎,x y 1000 20,1.5x 2y 45000依题意可列方程组 只购进B 种彩票和C 种彩票，依题可列方程组综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票,y z 1000 20,解得 y 10000 2y 2.5z 4500, 得 z 10000 '共有两种方案可行，即A 种彩票5扎, 0.2 X 5000+0.5 X 45000’y 2x 10 z x 10B 种8扎，C 种11扌L,或A 种2 C 种13扌L,或A 种4扎，B 种2扎，C种14扎.。

第5课时 一次方程(组)知能优化训练中考回顾1.(2019山东菏泽中考)已知{x =3,y =-2是方程组{ax +by =2,bx +ay =-3的解,则a+b 的值是( )A.-1B.1C.-5D.52.(2019四川眉山中考)已知关于x ,y 的方程组{x +2y =k -1,2x +y =5k +4的解满足x+y=5,则k 的值为 .3.(2018山东滨州中考)若关于x ,y 的二元一次方程组{3x -my =5,2x +ny =6的解是{x =1,y =2,则关于a ,b 的二元一次方程组{3(a +b )-m (a -b )=5,2(a +b )+n (a -b )=6的解是 .a =32,b =-124.(2019甘肃武威中考)小甘到文具超市去买文具.请你根据图中的对话信息,求中性笔和笔记本的单价分别是多少元.x 元,y 元,根据题意可得,{12y +20x =112,12x +20y =144,解得{x =2,y =6.答:中性笔和笔记本的单价分别是2元,6元.模拟预测1.已知关于x 的方程2x+a-9=0的解是x=2,则a 的值为 ( )A.2B.3C.4D.52.已知方程组{2x +y =5,x +3y =5,则x+y 的值为( )A.-1B.0C.2D.33.在矩形ABCD 中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,设小长方形的长、宽分别为x cm,y cm,则下列方程组正确的是( )A.{x -2y +y =6,x +3y =14 B.{x +3y =14,x +2y =6C.{x +3y =14,2x -y =6D.{x +3y =14,x +y =64.若关于x ,y 的二元一次方程组{x +y =5k ,x -y =9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,则k的值为( ) A.-34 B.34 C.43D.-435.已知方程组{ax +2by =3,2bx +ay =-7的解x ,y 满足x+y=2,则代数式a+2b 的值为 .26.定义运算“*”,规定x*y=ax 2+by ,其中a ,b 为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3= .7.已知关于x ,y 的方程组{x +y =5,4ax +5by =-22与{2x -y =1,ax -by -8=0有相同的解,则(3a+2b )2 017的值为 .18.(2019海南模拟)某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株,甲种树苗每株24元,乙种树苗每株30元,购买这两种树苗共用去21 000元.求甲、乙两种树苗各购买了多少株.方法一)设购买甲种树苗x 株,乙种树苗y 株,由题意得,{x +y =800,24x +30y =21 000,解得{500,y =300.答:购买甲种树苗500株,乙种树苗300株.(方法二)设甲种树苗购买了x 株,根据题意得,24x+30(800-x )=21 000,解得x=500, 800-500=300(株).答:购买甲种树苗500株,乙种树苗300株.9.古运河是扬州的母亲河,为了打造古运河风光带,现有一段长为180 m 的河道整治任务由A,B 两个工程队先后接力完成.A 工程队每天整治12 m,B 工程队每天整治8 m,共用时20天.(1)根据题意,甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下:甲:{x +y =12x +8y =乙:{x +y = ,x 12+y 8= .根据甲、乙两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x ,y 的意义,然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组.甲:x 表示 ,y 表示 ; 乙:x 表示 ,y 表示 .(2)求A,B 两工程队分别整治河道多少米.(写出完整的解答过程)甲:x 表示A 工程队工作的天数,y 表示B 工程队工作的天数.乙:x 表示A 工程队整治河道的米数,y 表示B 工程队整治河道的米数.甲:{x +y =12x +8y =乙:{x +y =x12+y 8=(2)若解甲的方程组{x +y =20,12x +8y =180.①②①×8,得8x+8y=160. ③②-③,得4x=20.∴x=5.把x=5代入①得y=15,∴12x=60,8y=120. 答:A,B 两工程队分别整治河道60 m 和120 m . 若解乙的方程组{x +y =180,x 12+y 8=20.④⑤⑤×12,得x+1.5y=240. ⑥⑥-④,得0.5y=60.∴y=120. 把y=120代入④,得x=60.答:A,B 两工程队分别整治河道60 m 和120 m .。

2024年中考数学一轮复习考点精讲专题训练—一次方程(组）→➊考点精析←一、方程和方程的解的概念1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．2．方程:含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．二、一元一次方程及其解法1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解为bx a=-注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．→➋真题精讲←考向一一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0ax b +=（,a b 是常数且0a ≠）．1．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．2x ＝2x =-21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝211m ∴﹣＝1m ＝0m ＝20x ﹣＝20x --＝2x ＝2x =-12112022x --=考向二解一元一次方程解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．2．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程1323+--x x ＝1的解答过程．解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1．去括号，得3x +1﹣2x +3＝1．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．3．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）．A ．1-B ．1C ．0D ．22211☆=+-=+x x x 21x =☆11x +=0x =4.（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n 个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n 等于（）A ．499B ．500C ．501D ．1002考向三新定义、阅读理解、规律问题5．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n 个相同的数是103，则n 等于（）A ．18B ．19C ．20D ．21⋯n6(1)165n n -+=-n1061=⨯+7161=⨯+13261=⨯+19361=⨯+⋯n6(1)165n n -+=-65103n -=18n =nnA6．（2018·湖南常德·中考真题）阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b cd称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c cd=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：x y D x DD y D ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是（）A ．21732D ==--B ．14x D =-C ．27y D =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩2132-11122-21312147x DD-=-217y D D =-7．（2020·湖北中考真题）对于实数,m n ，定义运算2*(2)2m n m n =+-．若2*4*(3)a =-，则a =_____．13-2*a4*(3)-2*4*(3)a =-2*(2)2m n m n=+-()22222162a a a *=+-=-()()()243422342*-=+-⨯-=2*4*(3)a =-16242a -=13a =-13-考向四一元一次方程的应用列方程解实际应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；（3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．8．（2023·浙江温州·统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g ．设蛋白质、脂肪的含量分别为()g x ，()g y ，可列出方程为（）A ．5302x y +=B ．5302x y +=C ．3302x y +=D ．3302x y +=【答案】A【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g 列方程．【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为g x ，g y ，则碳水化合物含量为(1.5)g x ，则： 1.530x x y ++=，即5302x y +=，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm 的导线，将其全部截成10cm 和20cm 两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种【答案】C【分析】设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意，得出152xy -=，进而根据,x y 为正整数，即可求解．【详解】解：设10cm 和20cm 两种长度的导线分别为,x y 根，根据题意得，1020150x y +=，即152xy -=，∵,x y 为正整数，∴1,3,5,7,9,11,13x =则7,6,5,4,3,2,1y =，故有7种方案，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．10．（2019·贵州黔东南·中考真题）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.考向五二元一次方程（组）的定义（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程．（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．11.(2020.湖北省中考模拟)下列方程中，是二元一次方程组的是A．4237x yx y+=⎧⎨+=⎩B．23225412a bx c-=⎧⎨-=⎩C．245xx y⎧=⎨+=⎩D．75x yxy+=⎧⎨=⎩4237x yx y+=⎧⎨+=⎩23225412a bx c-=⎧⎨-=⎩245xx y⎧=⎨+=⎩2x275x yx y+=⎧⎨-=⎩xy12．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．11xy=⎧⎨=⎩11xy=⎧⎨=⎩2x yA+=⎧⎨=⎩11xy=⎧⎨=⎩考向六解二元一次方程组二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．13．（广西桂林·中考真题）若|321|0x y--=，则x，y的值为（）A．14xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．2xy=⎧⎨=⎩D．11xy=⎧⎨=⎩32120x y x y--++-=321020x yx y--⎧⎨+-⎩＝＝32=1=2xyxy-⎧⎨+⎩①②11xy=⎧⎨=⎩14．（2019·四川内江·中考真题）若,,x y z为实数，且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，则代数式2223x yz-+的最大值是_____．2223x y z-+()()241212x yzxy z⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩1y z=+1y z=+2x z=-()()()222222223231101526x y z z z z z z z-+=--++=--+=-++5z=-2223x y z-+15．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组3827x yx y+=⎧⎨-=⎩【答案】31xy=⎧⎨=-⎩【分析】方程组运用加减消元法求解即可．【详解】解：3827x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②得515x =，解得3x =，将3x =代入①得338y ⨯+=，解得1y =-．∴原方程组的解为3,1.x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．16．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：213423x y x y -=⎧⎨+=⎩①②【答案】52x y =⎧⎨=⎩【分析】方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：将①2⨯得：242x y -=③+②③得：5x =将5x =代入①得：2y =所以52x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．17．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x ，y 的方程组321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩的解满足1x y +=，则42m n ÷的值是（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【分析】法一：利用加减法解方程组，用,n m 表示出,x y ，再将求得的代数式代入+1x y =，得到,m n 的关系，最后将42m n ÷变形，即可解答．法二：321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩①②中①-②得到()221m n x y -=++，再根据1x y +=求出23m n -=代入代数式进行求解即可.【详解】解：法一：321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩①②，+①②得421x m n =+-，解得214m n x +-=，将214m n x +-=代入②，解得2314m n y --=，1x y =+ ，21231144m n m n +---∴+=，得到23m n -=，2234222228m n m n m n -∴÷=÷===，法二：321x y m x y n +=-⎧⎨-=⎩①②①-②得：2221x y m n +=--，即：()221m n x y -=++，∵1x y +=，∴22113m n -=⨯+=，2234222228m n m n m n -∴÷=÷===，故选：D ．【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出,m n 的关系是解题的关键．18．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（）A ．3B ．3，－3CD21a b =⎧⎨=⎩21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩3522+=⎧⎨-=⎩x y x y 75x =75x =45y =7415223555+=+⨯==x y 319．（山东滨州·中考真题）若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b+--⎧⎨++-=⎩的解是_______．3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩12a b a b +=⎧⎨-=⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩()()()()3=526a b m a b a b n a b ⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩42546a b a +=⎧⎨=⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩12a b a b +=⎧⎨-=⎩12a b a b +=⎧⎨-=⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩考向七二元一次方程组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．20．（2023·湖南·统考中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x 只鸡，y 只兔．依题意，可列方程组为（）A ．35,4294x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．94,4235x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．35,2494x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．94,2435x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】根据等量关系“鸡的只数+兔的只数35=”和“2⨯鸡的只数4+⨯兔的只数94=”即可列出方程组．【详解】解：设有x 只鸡，y 只兔，由题意可得：352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系．21．（2023·黑龙江·统考中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A ，B ，C 三种图书，A 种每本30元，B 种每本25元，C 种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种【答案】B【分析】设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x 的数量分两种情况讨论求解即可．【详解】解：设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，其中56,0,0,x y z ≤≤>>且,,x y z 均为整数，根据题意得，302520500x y z ++=，整理得，654100x y z ++=，①当5x =时，6554100y z ⨯++=，∴704,5zy -=∵0,0,y z >>且,y z 均为整数，∴当70410z -=时，2y =，∴15z =；当70430z -=时，6y =，∴10z =；当70450z -=时，10y =，∴5z =；②当6x =时，6654100y z ⨯++=，∴644,5zy -=∵0,0,y z >>且,y z 均为整数，∴当64420z -=时，4y =，∴11z =；当64440z -=时，8y =，∴6z =；当64460z -=时，12y =，∴1z =；综上，此次共有6种采购方案，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；(2)租14辆45座客车较合算【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆依题意得4515 60(3)y xy x+=⎧⎨-=⎩解得：60013xy=⎧⎨=⎩，答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；（2）∵要使每位师生都有座位，∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，142002800⨯=，103003000⨯=，∵28003000<∴租14辆45座客车较合算．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．23．（2023·四川广安·统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A B、两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B 种盐皮蛋共需310元．(1)A 种盐皮蛋、B 种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？(2)若某公司购买A B 、两种盐皮蛋共30箱，且A 种的数量至少比B 种的数量多5箱，又不超过B 种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)A 种盐皮蛋每箱价格是30元，B 种盐皮蛋每箱价格是20元；(2)购买A 种盐皮蛋18箱，B 种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元【分析】（1）设A 种盐皮蛋每箱价格是x 元，B 种盐皮蛋每箱价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；（2）设购买A 种盐皮蛋m 箱，则购买B 种盐皮蛋()30m -箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得m 的取值范围，再结合m 为正整数可得m 所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可．【详解】（1）解：设A 种盐皮蛋每箱价格是x 元，B 种盐皮蛋每箱价格是y 元，由题意得：9639058310x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3020x y =⎧⎨=⎩，答：A 种盐皮蛋每箱价格是30元，B 种盐皮蛋每箱价格是20元．（2）解：设购买A 种盐皮蛋m 箱，则购买B 种盐皮蛋()30m -箱，购买A 种的数量至少比B 种的数量多5箱，又不超过B 种的2倍，()()305230m m m m ⎧--≥⎪∴⎨≤-⎪⎩，解得35202m ≤≤，又m 为正整数，m ∴所有可能的取值为18，19，20，①当18m =，3012m -=时，购买总费用为30182012780⨯+⨯=（元），②当19m =，3011m -=时，购买总费用为30192011790⨯+⨯=（元），③当20m =，3010m -=时，购买总费用为30202010800⨯+⨯=（元），所以购买A 种盐皮蛋18箱，B 种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．。

第二章方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程与方程组A组基础题组一、选择题1.在如图所示的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( )A.27B.51C.69D.722.(2017泰山一模)某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地,则可列方程( )A.54-x=20%×108B.54-x=20%(108+x)C.54+x=20%×162D.108-x=20%(54+x)二、填空题3.(2017长沙)方程组-的解是.三、解答题4.(2017岱岳一模)解方程组-.5.市政府建设一项水利工程,某运输公司承担运送总量为106 m3的土石方任务,该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆,甲型号的卡车平均每天可以运送土石方80 m3,乙型号的卡车平均每天可以运送土石方120 m3,计划100天完成运输任务.(1)该公司甲、乙两种型号的卡车各有多少辆?(2)如果该公司用原有的100辆卡车工作了40天后,由于工程进度的需要,剩下的所有运输任务必须在50天内完成,在甲型号的卡车数量不变的情况下,公司至少应增加多少辆乙型号的卡车?B组提升题组一、选择题1.(2017滨州)某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个.若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是( )A.22x=16(27-x)B.16x=22(27-x)C.2×16x=22(27-x)D.2×22x=16(27-x)二、解答题2.解方程:--=5.3.威海市时代服装店2017年四月份用6 000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价、标价如下表所示:(1)求这两种服装各购进的件数;(2)如果A种服装按标价的八折出售,B种服装按标价的七折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元?第二章方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程与方程组A组基础题组一、选择题1.D 设第一个数为x,则第二个数为(x+7),第三个数为(x+14).故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21.当x=16时,3x+21=69;当x=10时,3x+21=51;当x=2时,3x+21=27.故任意框出表中竖列上相邻的三个数的和不可能是72.故选D.2.B 根据题意可得方程:54-x=20%(108+x).故选B.二、填空题3.答案解析-+ 得4x=4,解得x=1,将x=1代入 中得y=0.所以方程组的解为.三、解答题4.解析-+ 得3x=9,解得x=3,把x=3代入 中得y=-2,所以方程组的解为-.5.解析(1)设该公司甲种型号的卡车有x辆,乙种型号的卡车有y辆,依题意有(解得.答:该公司甲型号的卡车有50辆,乙型号的卡车有50辆.(2)设公司增加z辆乙型号的卡车,依题意有40×(80×50+120×50 +50×[80×50+120×(50+z ]≥106,解得z≥16,∵z为整数,∴公司至少应增加17辆乙型号的卡车.B组提升题组一、选择题1.D x名工人可生产螺栓22x个,(27-x)名工人可生产螺母16(27-x)个,由于螺栓数目的2倍与螺母数目相等,因此2×22x=16(27-x).二、解答题2.解析去分母得2x-3(30-x)=60,去括号得2x-90+3x=60,移项合并同类得5x=150,解得x=30.3.解析(1)设购进A种服装x件,B种服装y件,则(-(-解得.答:购进A种服装50件,B种服装30件.(2)由题意得(100×80%-60 ×50+(160×70%-100 ×30-3 800=1000+360-3 800=-2 440(元).答:这批服装打折全部售完后,服装店比按标价出售少收入2 440元.。

2021年中考数学一轮复习(通用版)第05章 一次方程(组)考 点 梳 理考点一 一元一次方程及其解法1．等式的基本性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个 或同一个 ，所得结果仍是等式，即如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c .(2)等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数 )，所得结果仍是等式，即如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝b c(c ≠0)． (3)如果a ＝b ，那么 (对称性)．(4)如果a ＝b ，b ＝c ，那么 (传递性)．【点拨】(1)用等式的基本性质进行等式变形，必须注意不能漏项；(2)等式两边都除以同一个数和式子时，除数(式)必须不为0.2. 一元一次方程及其解法(1)概念：只含有 个未知数(元)，未知数的次数都是 ，且等式两边都是 的方程叫做一元一次方程．(2)形式：一般形式：ax ＋b ＝0(a ≠0，a ，b 为常数)，最简形式： ．(3)解法步骤：①去分母(若未知数的系数有分母，则要去分母，注意不要给不含分母的项漏乘最简公分母)；①去括号(若方程含有括号，且去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项要变号)；①移项(移项要变号)；①合并同类项[把方程化成ax ＝－b (a ≠0)的形式]；①系数化为1(在方程两边都除以未知数的 ，得到方程的解为x ＝－b a)． 【点拨】解一元一次方程时必须注意以下几点：(1)根据分数的基本性质把分母转化为整数，不含分母的项漏乘；(2)去分母后分子忘记加括号；(3)去括号时漏乘或弄错符号；(4)移项时没有改变符号；(5)系数化为1时，弄错符号或分子、分母弄颠倒.考点二 二元一次方程(组)及其解法1. 二元一次方程含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，形如ax ＋by ＝c (a ，b ，c 是常数)．2. 二元一次方程组由 二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a x b y c a x b y c ⎧⎨⎩＋＝，＋＝， 其中x ，y 为未知数． 3. 二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解．4. 解二元一次方程组的基本思想，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5. 二元一次方程组的解法(1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．(2)加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加(或相减)消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．【点拨】消元法的使用技巧：(1)当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数为1和－1时，选择代入消元法较合适；(2)当方程组中两个方程同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选择加减消元法较合适.6. 三元一次方程组(1)概念：由三个一次方程组成的含 未知数的方程组，叫做三元一次方程组．(2)解法：三元一次方程组――→消元二元一次方程组――→消元一元一次方程．考点三 一次方程(组)的应用1．列方程(组)解决问题的一般步骤(1)审：审清题意，分清题中的已知量和未知量；(2)设：设未知数，有时需要设直接未知数，有时需要设间接未知数；(3)列：根据题意寻找等量关系列方程(组)；(4)解：解方程(组)；(5)验：检验方程(组)的解是否符合题意；(6)答：写出答案(包括单位)．2．列一次方程(组)常见的题型及关系式【点拨】用一次方程(组)解应用题的技巧：(1)用一次方程(组)解决实际问题的关键是读懂题意，找出题中存在的等量关系列出方程；(2)找等量关系时，是要抓住关键词语，如多、少、共、几分之几、倍等.设未知数时，可采取直接设元，也可以采取间接设元；(3)对于求得的解，还要检验其是否符合实际意义.重难点讲解考点一一元一次方程的解法方法指导：解一元一次方程时，方程中有小数系数的，通常把小数化为分数，去分母、去括号、移项是解方程的基本步骤．但应注意，移项要改变符号，去括号时要看清括号前的符号，去分母时，不含分母的项也要乘以各分母的最小公倍数，并且去分母后，分子是多项式的要加括号．经典例题1 (2020•湖北武汉模拟)解方程：15x－3＝3(x－4).解：去括号，得15x－3＝3x－12，移项，合并同类项得12x＝－9，解得x＝－34．考点二二元一次方程组的解法方法指导：解二元一次方程组的基本思想是消元，基本方法是代入消元法与加减消元法. 当某一未知数的系数较简单时(如±1)，可选择代入消元法求解；当两个方程中同一个未知数的系数成倍数关系时，选用加减消元法较合适.经典例题2 (2020•黑龙江哈尔滨模拟)已知24,328,a ba b++⎧⎨⎩＝＝则a＋b等于()A．83B．3 C．2 D．1【解析】24,328,a ba b++⎧⎨⎩＝①＝②①＋②得：4a＋4b＝12，则a＋b＝3．【答案】B考点三一次方程(组)的应用用方程或方程组解应用题的一般步骤如下：(1)审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及相等数量关系(这是关键)；(2)找：找出题中所有的等量关系，特别是隐含的数量关系；(3)设：设出未知数，既可设直接未知数(求什么就设什么)，也可设间接未知数(一般是与所求问题有直接关系的量)；(4)列：列出方程或方程组；(5)解：解这个方程或方程组；(6)验：检验解是否符合实际意义或是否正确；(7)答：根据所得结果作出回答．经典例题3 (2020•安徽淮南模拟)我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九；盈十一；人出六；不足十六，问人数、鸡价各几何？”其大意是：今有人合伙买鸡，若每人出9钱，则多11钱：若每人出6钱，则差16钱，问合伙人数、鸡价各是多少？解：设合伙人数为x.根据题意可知：9x－11＝9x＋16，解得x＝9，所以鸡价为9x －11＝70.答：合伙人数为9人，鸡价为70钱；过 关 演 练1．(2020·河南模拟)下列等式变形：①如果x ＝y ，那么ax ＝ay ；①如果x ＝y ，那么x a ＝y a ；①如果ax ＝ay ，那么x ＝y ；①如果x a ＝y a，那么x ＝y .其中正确的是( ) A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①2．(2020·江西模拟)下列方程中，是一元一次方程的是( )A ．x 2＋3＝0B ．x ＋3＝y ＋2C ．1x＝4 D ．x ＝0 3．(2020·浙江温州模拟)在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12，则a ＋b ＋c 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．84．(2020•重庆)解一元一次方程12(x ＋1)＝1﹣13x 时，去分母正确的是( ) A ．3(x ＋1)＝1﹣2x B ．2(x ＋1)＝1﹣3xC．2(x＋1)＝6﹣3x D．3(x＋1)＝6﹣2x5．(2020•浙江金华)如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是()A．3×2x＋5＝2x B．3×20x＋5＝10x×2C．3×20＋x＋5＝20x D．3×(20＋x)＋5＝10x＋26．(2020•江苏徐州模拟)已知方程组5430x yx y k-=⎧⎨-+=⎩，的解也是方程3x－2y＝0的解，则k的值是()A．k＝－5B．k＝5C．k＝－10 D．k＝107．(2020•山东荷泽二模)我国古典数学文献《增删算法统宗﹒六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里数羊，如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同，设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为()A．92(9)99x yx y-=+⎧⎨-=+⎩，B．2(9)999x yx y+=-⎧⎨-=+⎩，C．92(9)99x yx y+=-⎧⎨-=+⎩，D．92(9)99x yx y-=+⎧⎨+=-⎩，8．(2020•黑龙江齐齐哈尔)母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有()A．3种B．4种C．5种D．6种9．(2020•山东青岛模拟)代数式213x-与代数式3﹣2x的和为4，则x＝．10．(2020﹒安徽安庆模拟)已知关于x，y的方程组21254x y kx y k⎧⎨⎩＋＝－，＋＝＋的解满足x＋y＝5，则k的值为．11．(2020·江苏无锡模拟)已知三元一次方程组114x yy zx z⎧⎪⎨⎪⎩－＝，－＝，＋＝，则xyz＝．12．(2020•湖南常德)今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．13．(2020·吉林长春模拟)用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A，B两种型号的钢板共块．14．(2020•四川凉山州)解方程：x﹣22x-＝1＋213x-．15．(2020·河北模拟)解方程：313x-＝1－416x-.16．(2020•江苏连云港)解方程组：245,1.x yx y+=⎧⎨=-⎩17．(2020·湖南常德模拟)解方程组：1(21)3, 511. 624x yx y--=-⎧⎪⎨-=⎪⎩18.(2020•四川攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？19．(2020·山西模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，问绳长、井深各是多少尺？”若设这个问题中的绳长为x尺，求x的值．20.(2020•安徽一模)《孙子算经》是我国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”非常有趣．原题是今有妇人河上荡杯，津吏问日：“杯何以多？”妇人日：“有客．”津吏曰：“客几何？“妇人日：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？“大意：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客？”妇女答：“洗65只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗．问：有多少客人用餐？”请解答上述问题．21．(2020•安徽合肥二模)力“皖”狂澜，新冠肺炎期间，安徽共出动八批，共计1362位医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130人乘坐飞机返回合肥，其中第二批人数是第八批人数的3倍还多10人，第八批安徽共出动了多少名医护人员？22．(2020•安徽一模)古籍《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的译文为：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房都住9人，那么就空出一间房．则该店有客房几间，房客几人？请解答上述问题．23. (2020•上海金山区模拟)“春蕾”爱心社给甲、乙两所学校捐赠图书共5000本，已知捐给甲校的图书比捐给乙校的2倍少700本，求捐给甲、乙学校图书各多少本？参考答案考点梳理考点一 1. (1)数整式(2)不能为0 (3)b＝a (4)a＝c 2. (1)一一次整式(2)ax＝b(a≠0) (3)①系数考点二 1.两 2.两个 3.公共解 4.消元 6. (1)三个过关演练1. A 解析：①x＝y，等式两边同时乘以a，得ax＝ay，正确；①x＝y，若a＝0，则xa和ya无意义，错误；①ax＝ay，若a＝0，则x不一定等于y，错误；①xa＝ya，等式两边同时乘以a，得x＝y，正确，即正确的是①①.2. D 解析：x2＋3＝0是一元二次方程，故选项A错误；x＋3＝y＋2是二元一次方程，故选项B错误；1x＝1是分式方程，故选项C错误；x＝0是一元一次方程，故选项D正确．3. C 解析：把x＝0时，y＝2；x＝－1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2＋bx＋c，得21242ca b ca b c ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝－＋，＝＋＋，解得1,32abc⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝，①a＋b＋c＝1＋3＋2＝6.4. D 解析：方程两边都乘以6，得3(x＋1)＝6﹣2x．5. D 解析：设“□”内数字为x，根据题意可得3×(20＋x)＋5＝10x＋2．6. A 解析：根据三元一次方程组的概念，解方程组5320x yx y-=⎧⎨-=⎩，，得1015xy=-⎧⎨=-⎩，，把x，y代入4x－3y＋k＝0，得－40＋45＋k＝0，解得k＝－5．7. C 解析：根据乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数＋9＝2×(乙的羊数－9)；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数－9＝乙的羊数＋9，进而可得方程组92(9)99.x yx y+=-⎧⎨-=+⎩，8. B 解析：设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得2x＋3y＝30，①y＝10﹣23x．①x，y均为正整数，①38xy=⎧⎨=⎩，，66xy=⎧⎨=⎩，，94xy=⎧⎨=⎩，，122xy=⎧⎨=⎩，，①小明有4种购买方案．9. ﹣1 解析：根据题意，得213x-＋3﹣2x＝4，去分母，得2x﹣1＋9﹣6x＝12，移项合并同类项，得﹣4x＝4，解得x＝﹣1.10. 2 解析：21254x y kx y k⎧⎨⎩＋＝－，①＋＝＋，②①＋①，得3(x＋y)＝6k＋3x＋y＝2k＋1，①x＋y＝5，①2k＋1＝5，解得k＝2.11. 6 解析：114x yy zx z⎧⎪⎨⎪⎩－＝，①－＝，②＋＝，③①＋①，得x－z＝2①，①＋①，得2x＝6，解得x＝3，将x＝3代入①，得y＝2，将x＝3代入①，得z＝1，故原方程组的解是321xyz⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝，①xyz＝3×2×1＝6.12. 4 解析：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意，得10, 15110535, x yy+=⎧⎨-⨯+=⎩整理得10,530,x yy+=⎧⎨=⎩，解得4,6.xy=⎧⎨=⎩13. 11 解析：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，依题意，得4337218x yx y⎧⎨⎩＋＝①，＋＝②，(①＋①)÷5，得x＋y＝11.14. 解：去分母，得6x ﹣3(x ﹣2)＝6＋2(2x ﹣1)，去括号，得6x ﹣3x ＋6＝6＋4x ﹣2，移项，得6x ﹣3x ﹣4x ＝6﹣6﹣2，合并同类项，得﹣x ＝﹣2，系数化为1，得x ＝2．15. 解：去分母，得6x －2＝6－4x ＋1，移项，合并同类项，得10x ＝9，解得x ＝0.9.16. 解：245,1.x y x y +=⎧⎨=-⎩①② 把①代入①，得2(1﹣y )＋4y ＝5，解得y ＝32．把y ＝32代入①，得x ＝﹣12．①原方程组的解为1,23.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩17. 解：整理方程组得：251063x y x y ⎧⎨⎩＋＝①，－＝②， ①×6＋①得：22x ＝33，解得x ＝1.5，把x ＝1.5代入①得y ＝2，则方程组的解为 1.52.x y ⎧⎨⎩＝，＝ 18. 解：设这些学生共有x 人，根据题意得6x −8x ＝2，解得x ＝48．答：这些学生共有48人． 19. 解：设绳长为x 尺，由题意可得方程：13x －4＝14x －1，解得x ＝36，即x 的值为36. 20. 解：设共有客人x 人，根据题意得12x ＋13x ＋14x ＝65．解得x ＝60． 答：有60位客人用餐． 21. 解：设第八批安徽共出动了x 名医护人员，由题意可知：3x ＋10＋x ＝130，解得x ＝30． 答：第八批安徽出动了30名医护人员．22. 解：设有客房x 间，房客y 人，由题意得：779(1)y x y x =+⎧⎨=-⎩，， 解得863.x y =⎧⎨=⎩， 答：该店有客房8间，房客63人．23. 解：设捐给甲校图书x 本，捐给乙校图书y 本，依题意，得50002700x y x y +=⎧⎨=-⎩，， 解得31001900.x y =⎧⎨=⎩， 答：捐给甲校图书3100本，捐给乙校图书1900本．。

第二单元 方程(组)与不等式(组)第5课时 一次方程与一次方程组点对点·课时内考点巩固20分钟1. 设x ，y ，c 是实数，( )A. 若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB. 若x ＝y ，则xc ＝ycC. 若x ＝y ，则x c ＝y cD. 若x 2c ＝y 3c，则2x ＝3y 2. (2019怀化)一元一次方程x －2＝0的解是( )A. x ＝2B. x ＝－2C. x ＝0D. x ＝13. (2019天津)方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝76x －2y ＝11的解是( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝5 B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2 C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1 D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝124. (2019兰州)《九章算术》是中国古代数学著作之一．书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝15x －y ＝6y －xB. ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝15x ＋y ＝6y ＋xC. ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝14x ＋y ＝5y ＋xD. ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝14x －y ＝5y －x 5. (2019齐齐哈尔)学校计划购买A 和B 两种品牌的足球，已知一个A 品牌足球60元，一个B 品牌足球75元，学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球(两种足球都买)，该学校的购买方案共有( )A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种6. (2019湘西州)若关于x 的方程3x －kx ＋2＝0的解为2，则k 的值为________．7. (2019常州)若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2是关于x 、y 的二元一次方程ax ＋y ＝3的解，则a ＝________． 8. (2019贵州三州联考)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是________元．9. (2019株洲)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走________步才能追到速度慢的人．10. (2018攀枝花)解方程：x －32－2x ＋13＝1.11. (2019日照)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，3x ＋4y ＝2.点对线·板块内考点衔接5分钟1. (2019南充)关于x 的一元一次方程2x a －2＋m ＝4的解为x ＝1，则a ＋m 的值为( )A. 9B. 8C. 5D. 42. (2019巴中)已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝43x ＋by ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，则a ＋b 的值是( ) A. 1 B. 2 C. －1 D. 0参考答案第5课时 一次方程与一次方程组点对点·课时内考点巩固1. B2. A 【解析】x －2＝0，解得x ＝2.3. D 【解析】令⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7 ①6x －2y ＝11 ②，①＋②得，9x ＝18，解得x ＝2，把x ＝2代入①得，y ＝12，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝12. 4. C 【解析】根据题意可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝14x ＋y ＝5y ＋x ，故选C . 5. B 【解析】若全买A 品牌足球最多可买25个，若全买B 品牌足球最多可买20个，要刚好花完1500元，设买A 品牌足球x 个，B 品牌足球y 个，则可列方程为60x ＋75y ＝1500(x ，y 均为正整数)，所选方案如下表：故选B .6. 4 【解析】∵x ＝2是方程3x －kx ＋2＝0的解，∴3×2－2k ＋2＝0，解得k ＝4.7. 1 【解析】把x ＝1，y ＝2代入方程ax ＋y ＝3中可得，a ＋2＝3，解得a ＝1.8. 2000 【解析】设这种商品的进价是x 元．根据题意可得x ×(1＋40%)×0.8＝2240，解得x ＝2000.故这种商品的进价是2000元．9. 250 【解析】设走路快的人要走x 步才能追上走路慢的人，而此时走路慢的人走了60 x 100步，根据题意，得x ＝60 x 100＋100，解得x ＝250. 10. 解：去分母，得3(x －3)－2(2x ＋1)＝6，去括号，得3x －9－4x －2＝6，移项、系数化为1，得x ＝－17.11. 解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5 ①3x ＋4y ＝2 ②， 由①×4，得8x －4y ＝20 ③，由②＋③得，11x ＝22，解得x ＝2，将x ＝2代入①得4－y ＝5，解得y ＝－1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵方程是一元一次方程，∴a －2＝1.∴a ＝3.把x ＝1代入方程，得2＋m ＝4.∴m ＝2.∴a ＋m ＝5.2. B 【解析】把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝43x ＋by ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2＝46－2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，所以a ＋b ＝2，故选B .。

《一次方程(组)》导学案考点1 等式的基本性质与解方程性质1：若a ＝b ，则a±c ＝________――→对应步骤移项．性质2：若a ＝b ，则ac ＝bc ――→对应步骤去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；若a ＝b ，则a c ＝b c (c ≠0)――→对应步骤系数化为1.考点2 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是整式的方程．2．一元一次方程的一般形式：ax ＋b ＝0(a ，b 是常数，且a ≠0)．3．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母：注意不要漏乘不含分母的项；(2)去括号：注意括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：注意移项要变号；(4)合并同类项；(5)系数化为1.4．已知一元一次方程的解，求方程中字母的值的两种方法(1)代入法：当已知方程的解时，把解代入方程，得到新的方程，再解新的方程，从而求出字母的值．(2)整体法：根据方程中的未知数的系数特点，利用整体思想求某些字母的值．[练习学知]1．方程3x －2＝2x ＋1，移项，得________________；方程3－x ＝2－5(x －1)，去括号，得________________；方程23x ＝32，未知数系数化为1，得________；方程x －12－x 5＝1，去分母，得________________．2．解方程：3－(x ＋6)＝－5(x －1)．3．解方程：2x －12－1＋x 4＝－1.考点3 二元一次方程(组)及其解法1．二元一次方程：含有________个未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的整式方程．2．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来组成的方程组．3．二元一次方程组的解：能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值．4．二元一次方程组的解法(1)代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或－1时，选择代入消元法较为简单；(2)加减消元法：①当方程组中同一个未知数的系数相反或相同时，采用加减消元法较为简单；②当系数不相反也不相同时，可通过找系数的最小公倍数，将系数变成相反或相同，此时采用加减消元法较为合适．[练习学知]1．利用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4②时，把①代入②得到________．2．利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，②要消去x ，可以将①×________＋②×(－2)，要消去y ，可以将①×________＋②×________.3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y ＝15.4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，3x ＋4y ＝－5.考点4 一次方程(组)解实际问题的常见类型及关系式1.2．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤(1)审题：找出问题中的已知量和未知量及它们之间的关系；(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来；(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组；(4)求解；(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．[题型研究]研究1 等式的性质及一元一次方程的相关概念1．[2020常州模拟]已知x ＝2是关于x 的方程a (x ＋1)＝12a ＋x 的解，则a 的值是________．研究2 一元一次方程的解法2．[2020攀枝花模拟]解方程：x －32－2x ＋13＝1.研究3 一元一次方程的应用3．[2020安徽模拟]《孙子算经》中有这样一道题，原文如下： 今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．研究4 二元一次方程组的解法4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，3x ＋y ＝1.研究5 实际问题与二元一次方程组■命题角度1：和差倍分问题5．[2020襄阳模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是________元．■命题角度2：商品利润问题6．[2020长沙模拟]随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元．(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？7．[变式训练][2020连云港模拟]某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间？房客多少人？(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间客房收费20元，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？8．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是 ( )A ．大和尚25人，小和尚75人B ．大和尚75人，小和尚25人C ．大和尚50人，小和尚50人D ．大、小和尚各100人9．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x 两、y 两，依题意，可列出方程组为________________．10．我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．”意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？11．[2019湖南长沙，11,3分]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺，则木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则下列所列方程组正确的是 ( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋4.5，0.5y ＝x －1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4.5，y ＝2x －1C.⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －4.5，0.5y ＝x ＋1D.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4.5，y ＝2x ＋1训练点1 一元一次方程及其应用1．[2020恩施州模拟]一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店( )A ．不盈不亏B ．盈利20元C ．亏损10元D ．亏损30元2．[2020临沂模拟]任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7·为例进行说明：设0.7·＝x ，由0.7·＝0.777 7…可知，10x ＝7.777 7…，所以10x －x ＝7，解方程，得x ＝79.于是，得0.7·＝79.将0.36··写成分数的形式是________．训练点2 二元一次方程(组)及其应用1．[2020东营模拟]小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( )A ．19B ．18C ．16D ．152．[2020德州模拟]对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2，a ≥b ，ab ，a <b ，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝________.3．[2020株洲模拟]小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．4．[2020滨州模拟]若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是________．5．[2020宜昌模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．《一次方程(组)》导学案考点1 等式的基本性质与解方程性质1：若a ＝b ，则a±c ＝________――→对应步骤移项．性质2：若a ＝b ，则ac ＝bc ――→对应步骤去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；若a ＝b ，则a c ＝b c (c ≠0)――→对应步骤系数化为1.答案：b±c考点2 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是整式的方程．2．一元一次方程的一般形式：ax ＋b ＝0(a ，b 是常数，且a ≠0)．3．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母：注意不要漏乘不含分母的项；(2)去括号：注意括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：注意移项要变号；(4)合并同类项；(5)系数化为1.4．已知一元一次方程的解，求方程中字母的值的两种方法(1)代入法：当已知方程的解时，把解代入方程，得到新的方程，再解新的方程，从而求出字母的值．(2)整体法：根据方程中的未知数的系数特点，利用整体思想求某些字母的值．答案：1.1 1[练习学知]1．方程3x －2＝2x ＋1，移项，得________________； 方程3－x ＝2－5(x －1)，去括号，得________________；方程23x ＝32，未知数系数化为1，得________；方程x －12－x 5＝1，去分母，得________________．2．解方程：3－(x ＋6)＝－5(x －1)．3．解方程：2x －12－1＋x 4＝－1.答案：1.3x －2x ＝2＋1 3－x ＝2－5x ＋5 x ＝945(x －1)－2x ＝102．x ＝2 3.x ＝－13考点3 二元一次方程(组)及其解法1．二元一次方程：含有________个未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的整式方程．2．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来组成的方程组．3．二元一次方程组的解：能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值．4．二元一次方程组的解法(1)代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或－1时，选择代入消元法较为简单；(2)加减消元法：①当方程组中同一个未知数的系数相反或相同时，采用加减消元法较为简单；②当系数不相反也不相同时，可通过找系数的最小公倍数，将系数变成相反或相同，此时采用加减消元法较为合适．答案：1.2 1[练习学知]1．利用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，①x －2y ＝4②时，把①代入②得到________．2．利用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，②要消去x ，可以将①×________＋②×(－2)，要消去y ，可以将①×________＋②×________.3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y ＝15. 4．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，3x ＋4y ＝－5. 答案：1.x －2(1－x )＝4 2.5 3 53.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝64.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝13 考点4 一次方程(组)解实际问题的常见类型及关系式1.2．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤(1)审题：找出问题中的已知量和未知量及它们之间的关系；(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来；(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组；(4)求解；(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．答案：1.路程 ＋[题型研究]研究1 等式的性质及一元一次方程的相关概念1．[2020常州模拟]已知x ＝2是关于x 的方程a (x ＋1)＝12a ＋x 的解，则a 的值是________．答案：45研究2 一元一次方程的解法2．[2020攀枝花模拟]解方程：x －32－2x ＋13＝1.[解] 去分母，得3(x －3)－2(2x ＋1)＝6，去括号，得3x －9－4x －2＝6，移项，得－x ＝17，系数化为1，得x ＝－17.研究3 一元一次方程的应用3．[2020安徽模拟]《孙子算经》中有这样一道题，原文如下： 今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．[解] 设城中有x 户人家，依题意，得x ＋x 3＝100，解得x ＝75.答：城中有75户人家．研究4 二元一次方程组的解法4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，3x ＋y ＝1. [解] 方程组为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，①3x ＋y ＝1.② 把①代入②，得3x ＋2x －4＝1，解得x ＝1.把x ＝1代入①，得y ＝－2.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 研究5 实际问题与二元一次方程组■命题角度1：和差倍分问题5．[2020襄阳模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是________元．答案：53■命题角度2：商品利润问题6．[2020长沙模拟]随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元．(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？[解] (1)设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋3y ＝660，50×0.8x ＋40×0.75y ＝5 200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝70，y ＝80. 答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．(2)80×70×(1－80%)＋100×80×(1－75%)＝3 120(元)．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 120元．7．[变式训练] [2020连云港模拟]某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间？房客多少人？(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间客房收费20元，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？解：(1)设该店有客房x 间，房客y 人，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 7x ＋7＝y ，9(x －1)＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝63. 答：该店有客房8间，房客63人．(2)若每间客房4人，则63位客人至少需客房16间，需付费20×16＝320(元)．若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288(元)<320(元)． 答：若诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．8．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是 ( )A ．大和尚25人，小和尚75人B ．大和尚75人，小和尚25人C ．大和尚50人，小和尚50人D ．大、小和尚各100人答案：A9．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x 两、y 两，依题意，可列出方程组为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝10，2x ＋5y ＝8 10．我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．”意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡和兔各有多少只？解：笼中鸡有23只，兔有12只．11．[2019湖南长沙，11,3分]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺，则木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则下列所列方程组正确的是 ( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋4.5，0.5y ＝x －1B ．⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋4.5，y ＝2x －1 C.⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －4.5，0.5y ＝x ＋1 D.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4.5，y ＝2x ＋1 答案：A训练点1 一元一次方程及其应用1．[2020恩施州模拟]一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店( )A ．不盈不亏B ．盈利20元C ．亏损10元D ．亏损30元答案：C2．[2020临沂模拟]任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7·为例进行说明：设0.7·＝x ，由0.7·＝0.777 7…可知，10x ＝7.777 7…，所以10x －x ＝7，解方程，得x ＝79.于是，得0.7·＝79.将0.36··写成分数的形式是________．答案：411训练点2 二元一次方程(组)及其应用1．[2020东营模拟]小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( )A ．19B ．18C ．16D ．15 答案：B2．[2020德州模拟]对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2，a ≥b ，ab ，a <b ，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝________. 答案：603．[2020株洲模拟]小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．答案：204．[2020滨州模拟]若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3(a ＋b )－m (a －b )＝5，2(a ＋b )＋n (a －b )＝6的解是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝－125．[2020宜昌模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋y ＝3，x ＋5y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1324，y ＝724.答：1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛．。

1第五节 一次方程【知识点梳理】1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果a b =，那么a c ±= ；② 如果a b =，那么ac = ；如果()0a b c =≠，那么ac= .2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0a ≠. 3. 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 4．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.25. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个 合在一起，就组成了一个二元一次方程组.6．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.7．二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解. 8. 解二元一次方程的方法：消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 答案：1．相等关 ⑵ b c ±；② =ac bc ； =c a b c. 2. ⑴等式，未知数的值， ⑵ ，一，1 ， ax +b =0 、3.①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 4两个，25.二元一次方程6．一组，无数7．公共解8.代入消元和加减消元法两种.【课堂练习】一．选择题（共8小题）1．设x，y ，c是实数，（）A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc C．若x=y，则D．若，则2x=3y 【考点】83：等式的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；3B、两边都乘以c，故B符合题意；C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；故选：B．2．x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【考点】85：一元一次方程的解．【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值．【解答】解：将x=1代入2x﹣a=0中，∴2﹣a=0，∴a=2故选（B）43．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D．2×22x=16（27﹣x）【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，∴可得2×22x=16（27﹣x）．故选D．54．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（）A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可．【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得（1+10%）x=330．故选D．65．某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据利润=售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：根据题意得：200×﹣80=80×50%，解得：x=6．故选B．76．为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（）A．140元B．150元C．160元D．200元【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．【解答】解：设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x=x﹣10解得：x=150即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元．故选：B．87．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设第一天走了x 里，则第二天走了x 里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x +x +x +x +x +x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．9108．把()0mn pq mn =≠写成比例式，写错的是（ ） A ．m q p n = B ．p n m q = C ．q n m p= D ．m pn q= 【考点】83：等式的性质．【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．【解答】解：A 、把mn=pq （mn ≠0）两边同时除以np 得， =，所以A 正确； B 、把mn=pq （mn ≠0）两边同时除以mq 得， =，B 正确； C 、把mn=pq （mn ≠0）两边同时除以mp ，得=，所以C 正确； 利用排除法可知D 错误． 故选D ．二．填空题（共5小题）9．若23ab=，则a bb+=．【考点】83：等式的性质．【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，，则=，故答案为：．10．已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为．【考点】85：一元一次方程的解．【分析】把x=1代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把x=1代入方程得：2+a+5=0，解得：a=﹣7，11故答案为：﹣7．11．某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为元．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可．【解答】解：设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得80+x=120×0.7，解得x=4．答：该商品每件销售利润为4元．故答案为4．12．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有两．（注：明代时1斤=16两，故有“半12斤八两”这个成语）【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．【解答】解：设有x人，依题意有7x+4=9x﹣8，解得x=6，7x+4=42+4=46．答：所分的银子共有46两．故答案为：46．1313．已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为岁．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据再过5年派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年龄差，再用40减去该年龄差即可求出当派派的妈妈40岁时派派的年龄．【解答】解：设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据题意得：36﹣x+5=4（x+5）+1，解得：x=4，∴36﹣x﹣x=28，∴40﹣28=12（岁）．故答案为：12．14三．解答题（共9小题）14．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4．解得x=7，∴8x﹣3=53，答：共有7人，这个物品的价格是53元．1515．解方程：305 64x x--=．【考点】86：解一元一次方程．【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去分母得：2x﹣3（30﹣x）=60，去括号得：2x﹣90+3x=60，移项合并得：5x=150，解得：x=30．1616．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．（1）请直接写出第5节套管的长度；（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；（2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度17相加﹣（10﹣1）×2×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311，即：320﹣9x=311，解得：x=1．答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．1817．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元（1）甲种商品每件进价为元，每件乙种商品利润率为；（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：优惠措施打折前一次性购物总金额少于等于450元不优惠按售价打九折超过450元，但不超过600元超过600元其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设甲的进价为x，根据甲的利润率为50%，求出x的值；19（2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可；（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可．【解答】解：（1）设甲的进价为x，则（60﹣x）÷x=50%，解得：x=40．故甲的进价为40元/件；乙商品的利润率为（80﹣50）÷50=60%．（2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，由题意得，40x+50（50﹣x）=2100，解得：x=40．即购进甲商品40件，乙商品10件．（3）设小华打折前应付款为y，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，20由题意得，0.9y=504，解得：y=560，②打折前购物金额超过600元，600×0.82+（y﹣600）×0.3=504，解得：y=640，综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．2118．我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人，求阅B28和阅A18原有教师人数各多少人？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，结合“从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后月B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人”列出方程并解答．【解答】解：设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，依题意得：3x﹣12=x+3，解得x=6．所以3x=18．答：阅A18原有教师6人，则阅B28原有教师18人．2219．小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的么？”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家？试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．（提示：7月1日﹣9月1日暑假）【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据题意设小赵是x号出去的那么建立等量关系x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84，小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得，同上建立等量关系y+（y﹣1）+（y﹣2）+（y﹣3）+（y﹣4）+（y﹣5）+（y﹣6）=84．【解答】解：设小赵是x号出去的，那么列出方程式x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84，简化7x+21=84，解得x=9．答：小赵是9号出去的．23设小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得：7y+7=84，解得y=11；回来的日期是：11+3=14（号）．或7y+8=84，解得y=10，不合题意舍去．答：小赵是9号出去的，小王是7月14号回来的．2420．A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t．探究若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2，写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时y2的値．发现设点C是A城与B城的中点，（1）哪个车会先到达C？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？（2）若两车扣相距100千米时，求时间t．决策己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案：方案一：继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）；方案二：乘坐客车返回城．试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？【考点】8A：一元一次方程的应用．25【分析】探究：根据路程=速度×时间，即可得出y1、y2关于t的函数关系式，根据关系式算出y1=200千米时的时间t，将t代入y2的解析式中即可得出结论；发现：（1）根据出租车的速度大于客车的速度可得出出租车先到达C点，套用（1）中的函数关系式，令y=300即可分别算出时间t1和t2，二者做差即可得出结论；（2）两车相距100千米，分两种情况考虑，解关于t的一元一次方程即可得出结论；决策：根据时间=路程÷速度和，算出到达点D的时间，再根据路程=速度×时间算出AD、BD的长度，结合时间=路程÷速度，即可求出两种方案各需的时间，两者进行比较即可得出结论．【解答】解：探究：由已知，得y1=﹣80t+600，令y1=0，即﹣80t+600=0，解得t=，故y1=﹣80t+600（0≤t ≤）．y2=100t，令y2=600，即100t=600，解得t=6，故y2=100t（0≤t≤6）．当y1=200时，即200=﹣80t+600，解得t=5，26当t=5时，y2=100×5=500．故当y1=200千米时y2的値为500．发现：（1）∵100＞60，∴出租车先到达C．客车到达C点需要的时间：600﹣80t1=，解得t1=；出租车到达C点需要的时间：100t2=，解得t2=3．﹣3=（小时）．所以出租车到达C 后再经过小时，客车会到达C．（2）两车相距100千米，分两种情况：①y1﹣y2=100，即600﹣80t﹣100t=100，解得：t=；②y2﹣y1=100，即100t﹣=100，解得：t=．综上可知：两车相距100千米时，时间t 为或小时．27决策：两车相遇，即80t+100t=600，解得t=，此时AD=80×=（千米），BD=600﹣=（千米）．方案一：t1=（+600）÷100=（小时）；方案二：t2=÷80=（小时）．∵t1＞t2，∴方案二更快．2821．列方程解应用题：我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设良马x天能够追上驽马．根据题意得：240x=150×（12+x），解得：x=20．答：良马20天能够追上驽马．2922．小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多12元，5台A 型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A，B两种型号计算器的单价分别是多少元？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据题意可以设出未知数，列出相应的方程，从而可以求得A，B两种型号计算器的单价．【解答】解：设某品牌A型号计算器的单价为x元，5x=7（x﹣12），解得，x=42，∴x﹣12=30，答：A，B两种型号计算器的单价分别是42元，30元．30。