海南省高三数学5月模拟试题理

2023年海南省高考数学全真模拟卷（五）1. 若复数为纯虚数，则实数a的值为( )A. 2B. 2或C.D.2. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.3. 已知，则( )A. B. C. 2 D. 44. 已知直线与圆C：交于A，B两点，且线段AB关于圆心对称，则( )A. 1B. 2C. 4D. 55. 家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体，某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元，照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为( )A. 630万元B. 350万元C. 420万元D. 520万元6. 若函数，则的图象大致为( )A. B.C. D.7. 如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长度为( )A.B.C.D.8. 设，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.9. 某网友随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据单位：万人：，，，，，，，，，若该平台自媒体人的粉丝数其中和分别为上述样本的平均数和标准差，根据上述数据，则下列说法正确的是( )附：若随机变量X服从正态分布，则，，A. 这10位自媒体人粉丝数据的平均数为B. 这10位自媒体人粉丝数据的标准差为C. 这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为D. 用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过万的概率约为10. 已知抛物线C的方程为，F为焦点，O为坐标原点，S表示面积，直线l：与抛物线交于A，B两点，且A在第一象限，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.11. 若函数的图象如图，且，，则下列说法正确的是( )A. 函数的周期为5B. 函数的对称轴为，C. 函数在内没有单调性D. 若将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图像关于y轴对称，则的最小值为112. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则( )A.B.C. 存在最大值D. 的最大值为13. 已知向量，，定义，，则______ .14. 已知6名同学国庆假期相约去珠海野狸岛游玩，途中6名同学排成一排照相留念，若甲、乙、丙3人互不相邻，则不同的排法共有______ 种.15. 在平面内，设一动点P到点，的距离差的绝对值等于，若动点P的轨迹是曲线C，则曲线C的离心率的最小值为______ .16. 已知母线AD的长为的圆锥，其侧面积为，P是该圆锥内切球球面上一动点，则的最大值为______ .17. 已知等差数列中，，，数列的前n项和为，满足求数列，的通项公式；记，求数列的前20项的和18. 在圆内接四边形ABCD中，已知，，，为锐角.求及AD的长；求四边形ABCD周长的最大值.19. 某商场对M、N两类商品实行线上销售以下称“A渠道”和线下销售以下称“B 渠道”两种销售模式类商品成本价为元/件总量中有将按照原价200元/件的价格走B渠道销售，有将按照原价折的价格走A渠道销售；N类商品成本价为160元/件，总量中有将按照原价300元/件的价格走B渠道销售，有将按照原价折的价格走A渠道销售，这两种商品剩余部分促销时按照原价6折的价格销售，并能全部售完.通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高收益=售价-成本；某商场举行让利大甩卖活动，全场M，N两类商品走A渠道销售，假设每位线上购买M，N商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买M类商品的概率为已知该商场当天这两类商品共售出5件，设X为该商场当天所售N类商品的件数，Y为当天销售这两类商品带来的总收益，求Y的期望，以及当时，n可取的最大值.20. 如图所示的多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，证明：平面平面；求平面PAD与平面夹角的余弦值.21. 已知椭圆C：的离心率为，且过点求椭圆C的标准方程；设Q为椭圆C上一动点，且Q不与顶点重合，M为椭圆C的右顶点，N为椭圆C的上顶点，直线QM与y轴交于点E，直线QN与x轴交于点F，求的值.22. 已知函数，求的单调区间；若，证明：；对于任意正整数n，，求t的最小正整数值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数为纯虚数，则，解得故选：根据纯虚数的定义，得到方程组，求解即可．本题考查纯虚数的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：集合，，若，则，，解得，则实数m的取值范围为故选：由，得，从而，由此能求出实数m的取值范围．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为，所以故选：由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式化简所求即可求解．本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由圆C：，可得圆心，线段AB关于圆心对称，直线过圆心，，解得故选：由题意可得直线过圆心，即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，加大投入后每年比前一年增加了相同额度的收益，故每年增加的收益为万元从2019年至2026年每年的收益分别为30、40、50、60、70、80、90、100万元，总收益万元故选：根据题中条件先算出每年增加的收益，然后计算出从2019年至2026年每年的收益，最后算出总收益即可．本题考查函数模型的应用，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：函数，定义域为R，，即为奇函数，图像关于原点对称，排除AC，当时，，，可得，排除故选：判断函数的奇偶性和对称性，利用函数符号，结合排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数符号关系是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】A【解析】解：若直线AP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，在平面内，点P的轨迹为对角线除掉A点，不影响；在平面内，点P的轨迹为对角线除掉A点，不影响；在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，故点P的轨迹长度为故选：由题意易得点P的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，进而求解即可．本题考查轨迹的长度的计算，属中档题．8.【答案】C【解析】解：因为，，，所以令，则，，，，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，因为，所以，所以，故选：，，，令，则，，，求导分析单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：计算平均数为，选项A正确；计算方差为，所以标准差为，选项B错误；因为，所以这组数据的第25百分位数是第3个数据，为，选项C 错误；因为，且，所以，选项D 正确．故选：根据题意计算平均数和方差、标准差以及百分位数和正态分布，再判断即可．本题主要考查了平均数与方差、标准差和百分位数和正态分布的应用问题，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：抛物线C 的方程为，为焦点，O 为坐标原点，S 表示面积，直线l ：与抛物线交于A ，B 两点，可得，解得，，所以，所以A 正确；，所以B 不正确；C 正确；所以D 不正确．故选：联立直线与抛物线方程，求解A ，B 坐标，然后求解判断选项的正误即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．11.【答案】BD【解析】解：根据函数的图象，且，，可得，即，再根据五点法作图，可得，，可得函数的的周期为，故A 错误；令，，求得，，故函数的对称轴为，，故B正确；当，，函数单调递增，故C错误；若将的图象向左平移个单位长度，得到的函数的图像关于y轴对称，则的最小值为1，故D正确，故选：由特殊点B求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由特殊点求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于选项A，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，，故A正确；对于选项B，，，故B正确；对于选项C，以点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分，设，，则，，，，又，，当时，取得最大值9，故C正确；对于选项D，，，，，又，当时，取得最大值，故D错误．故选：对于AB，将，分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点O为原点建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断．本题主要考查了平面向量基本定理，考查了平面向量数量积的运算和性质，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：，，，，，，，又，，，，故答案为：根据向量的模的定义，向量夹角公式，即可求解．本题考查向量的模的定义，向量夹角公式，属基础题．14.【答案】144【解析】解：先将除甲、乙、丙3人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙、丙3人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有种．故答案为：利用插空法可求出结果．本题考查不相邻的排列问题，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：在平面内，设一动点P到点，的距离差的绝对值等于，可得曲线的离心率为：，当且仅当时，取等号，所以曲线C的离心率的最小值为故答案为：列出离心率的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．本题考查双曲线的离心率的求法，基本不等式的应用，是基础题．16.【答案】【解析】解：设圆锥底面圆心为C，半径为r，该圆锥内切球球心为O，作出过母线AD的轴截面ABD，如图所示，，且圆锥侧面积为，，，圆锥底面直径，为正三角形，大圆O切AD于中点E，设EO交大圆于点F，又易知，球的半径，，，两式相减可得极化恒等式：，的最大值为故答案为：设圆锥底面圆心为C，半径为r，该圆锥内切球球心为O，作出过母线AD的轴截面ABD，根据题意易得，从而得为正三角形，且大圆O切AD于中点E，最后再利用向量极化恒等式，即可求解．本题考查圆锥的内切球问题，向量数量积的最值的求解，极化恒等式的应用，属中档题．17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，则，整理，得，解得，，，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由可得，，则【解析】先设等差数列的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可计算出等差数列的通项公式，对于数列，先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，计算出数列的通项公式；先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前20项的和本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：在中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得：，可得或，当时，由余弦定理可得，可得为钝角，与题意相矛盾，当时，，所以，，符合条件，所以，；由四边形ABCD为圆内接四边形，，所以，在中，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，所以，所以四边形的周长的最大值为，即四边形ABCD的周长的最大值为【解析】在中，由余弦定理可得AD的值，再由为锐角，确定AD的值，再由勾股定理可得的大小；由圆内接四边形可得B角的大小，再由余弦定理及均值不等式可得的最大值，进而求出四边形ABCD的周长的最大值．本题考查余弦定理及圆内接四边形的性质的应用，均值不等式的应用，属于中档题．19.【答案】解：设M类服装，N类服装的单件收益分别为元，元，则，，，故N类服装单件收益的期望更高；由题意可知，元，又，所以元，，，，因为，所以当时，n可取的最大值为【解析】结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；由题知N类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，，⋯⋯，的值，可确定n的最大值；先列出这5件衣服总收益关丁X的关系式，得，结合化简即可求解．本题考查了二项分布和离散型随机变量的期望计算，属于中档题．20.【答案】证明：多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，，，平面，，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面PCB的法向量为，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，，平面平面；解：，，设平面PAD的法向量为，则，取，则，设平面的法向量为，则，取，得，设平面PAD与平面夹角为，则平面PAD与平面夹角的余弦值为：【解析】以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面；求出平面PAD的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面PAD与平面夹角的余弦值．本题考查了面面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由，，，，，又点在椭圆上，，，，椭圆C的标准方程为；，，则，，直线QM的方程为：，令，得，直线QN的方程：，令，得，则，，的值为【解析】由已知可得，，求解即可；写出直线QM、QN的方程，得E，F的坐标，进而可得本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．22.【答案】解：因为，所以，若，则当时，，函数单调递增；若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为证明：由知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为所以，即，所以当时，，故当，，且，又，即，故由知，当时，，即，则有，当且仅当时等号成立，一方面：，即另一方面：当时，，当时，，，的最小正整数值为【解析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；根据的结论及函数的单调性与最值的关系即可求解；将不等式恒成立问题转化为最值问题，根据的结论及不等式放缩，再利用对数不等式求解．本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求参数范围，属于中档题．。

高三数学（理科）模拟试题及答案姓名： 班级： 座位号： 分数： 一、选择题：（每题 分，总计 分，把答案填在答题卡上。

）1、 10i2-i =A 、 -2+4iB 、 -2-4iC 、 2+4iD 、 2-4i 答案：解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i==-+、故选A 、2、 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A 、 ∅ B 、 ()3,4 C 、()2,1- D 、 ()4.+∞ 答案：解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭、(3,4)A B ∴=、故选B 、3、 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =A 、 1213B 、513C 、513-D 、 1213-答案：解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈、12cos 13A ===-故选D 、4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A 、 20x y --=B 、 20x y +-=C 、450x y +-=D 、 450x y --= 答案：解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B 、5、 已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A 、B 、 15C 、D 、 35答案：解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。

故选C6、 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =A 、B 、C 、5D 、 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。

海南中学2016届高三第五次月考理科数学命题:王青俊 杨菲(考试用时为120分钟，满分分值为150分.）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填到答题卡，答在本试题上无效. 1. 已知集合}022|{},32|{2≤+-=--==x x x B x x y x A ，则=B A ( ）A 。

]1,2(--B. ]1,2[--C. ]3,2[D.]2,2(-2。

已知复数ai z +=1()0,>∈a R a ，且2z =,则复数z 的虚部为 （ ）A. 3B.1 C 。

i 3D. i3。

已知两条不同直线m 、l ,两个不同平面α、β，在下列条件中,可得出αβ⊥的是( ）A ．m l ⊥,//l α,//l βB ．m l ⊥,l αβ=,m α⊂C ．//m l ，m α⊥，l β⊥D ．//m l ，l β⊥，m α⊂ 4。

已知122,,,8a a --成等差数列，8,,,,2321b b b 成等比数列,则212aa b -=（ )A. 14B 。

12C.12-D. 12或12-5。

下列说法正确的是（ ) A. 命题“x R ∃∈，使得22x x>”的否定是“R x ∈∃，使得22x x ≤"B. “若()0,1a ∈，则关于x 的不等式2210axax ++>解集为R ”的逆命题为真C. “若a b ，不都是偶数,则+a b 不是偶数”的否命题为假D. “已知R a b ∈，,若+3a b ≠，则2a ≠或1b ≠”的逆否命题为真6. 由曲线y x=,直线2y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 （ ) A 。

103B.223C 。

163D. 67. 已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为( ）A ．8-B ．6-C ．8D ．68. 底面是正方形的四棱锥的三视图如下图所示，则该四棱锥中，面积最大的侧面的面积为 （ ）A.2B.5 C6 D 。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 下列四个命题中真命题的个数为（ ）个①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.A．B．C．D．2.在由正数组成的等比数列中，若, 则的值为（ ）A ．3B ．9C ．27D ．813. 已知函数是定义在上的奇函数，，且，则的值为（ ）A．B．C．D．4. 已知棱长为2的正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．5. 已知的面积为，，，则AC 边的中线的长为（ ）A．B ．3C．D ．46. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若，，，则B．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则7.已知，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ）A ．在上是增函数B ．是奇函数C．的值域是D ．的值域是9. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶､李冶､杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.现从秦九韶的《数书九章》､李冶的《测圆海镜》《益古演段》､杨辉的《详解九章算法》､朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作中任选2本研读，则必选《数书九章》的概率是___________.10. 已知，，则___________.海南省海口市2024届高三摸底考试数学试题(高频考点版)海南省海口市2024届高三摸底考试数学试题(高频考点版)四、解答题11. 已知函数，则方程的解集是__________．12. 设直线的方程为，当直线垂直于轴时，的值为______.13. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，是边长为2的正三角形，，，.(1)若平面，求的值；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.14. 求证：（1）．（2）．15. 如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.(I)证明：AE ⊥PD ；(II)设AB ＝PA ＝2，①求异面直线PB 与AD 所成角的正弦值；②求二面角E －AF －C 的余弦值.16. 已知函数.（1）当时，判断在的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.。

高三数学模拟试题〔理科〕班别： 姓名： .一．选择题〔12小题，每题5分共60分〕1、设集合},02|{},01|{2≤-=<-=x x x B x x A 那么=B A〔A 〕}21|{<<x x 〔B 〕}21|{≤<x x 〔C 〕1|{<x x 或}2≥x 〔D 〕1|{≤x x 或}2>x2、向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且那么=x〔A 〕2或3 〔B 〕–1或6 〔C 〕6 〔D 〕23、假设x x x 44cos sin ,12-=则π的值为〔A 〕21 〔B 〕21- 〔C 〕23-〔D 〕23 4、i 是虚数单位，复数ii z -+=1)1(2等于〔A 〕i --1 〔B 〕 i +-1 〔C 〕i -1 〔D 〕i +1 5、以抛物线x y 82=的焦点为焦点，且离心率为21的椭圆的标准方程为〔A 〕1121622=+y x 〔B 〕1161222=+y x 〔C 〕141622=+y x 〔D 〕116422=+y x6、假设数列{}n a 的通项公式为=+++++=99531,32a a a a n a n 则 〔A 〕5150〔B 〕2700 〔C 〕9270 〔D 〕48607、设P 〔x ，y 〕是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+023y x y y x 所表示平面区域内任意一点，那么目标函数y x z +=2的最大值是 〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5〔D 〕68、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，那么选派方案共有〔A 〕280种 〔B 〕240种 〔C 〕180种〔D 〕96种9、正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长与底面边长相等，那么1AB 与侧面11A ACC 所成角的正切值是 〔A 〕515〔B 〕315 〔C 〕46 〔D 〕410 10、抛物线c bx x y ++=2在点〔1，2〕处的切线与其平行直线0=++c y bx 间的距离是〔A 〕42 〔B 〕22 〔C 〕223〔D 〕211、设函数1)( , )0( )0( 7)21()(<⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=a f x x x x f x若，那么实数a 的取值范围是(A) )3,(--∞ (B)),1(+∞ (C))1,3(- (D)),1()3,(+∞--∞ 12、设|2|)(2x x f -=，假设b a <<0,且)()(b f a f =,那么ab 的取值范围是〔A 〕)2,0( 〔B ]3,0( 〔C 〕]4,0( 〔D 〕]2,2(二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，满足2)9(=f ,那么)1(1-f的值是 . 14、双曲线122=+my x 的一个焦点是)0 , 3(，那么实数m 的值是 . 15、)()13(6R a xax ∈-的展开式的常数项是–20，那么=++++∞→)(lim 32n n a a a a ；16、球O 的内接三棱锥P —ABC 底面的三个顶点A 、B 、C在球O 的同一个大圆上，如果AB=AC=5，BC=8，点P 在平面ABC 上的射影恰是球心O ，那么此三棱锥 的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分17、〔10分〕三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，假设.3))((bc a c b c b a =-+++ 〔Ⅰ〕求角A 的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的结论下，假设.322cos =B 求)2sin(B A +的值.18、〔12分〕袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：〔Ⅰ〕取出的3个小球上的数字互不一样的概率； 〔Ⅱ〕随机变量ξ的概率分布列与数学期望；y19、(12分) 如图，三棱锥ABC V -中，VAB ∆是边长为2的正三角形，点V 在平面ABC 上的射影D 在AB 边上，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形〔Ⅰ〕求证：面⊥VAB 面VBC ； 〔Ⅱ〕求二面角C VA B --的大小. 20、〔12分〕数列*).(212121:}{2221N n n n a a a a n n n ∈+=-++-+- 满足 求：〔Ⅰ〕数列}{n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕数列}{n a 的前n 项与n S .21、〔12分〕).2()()(2≤++=-m e m mx x x f x〔Ⅰ〕当0=m 时，求)(x f 的单调区间； 〔Ⅱ〕证明：当0≥x 时，2)(≤x f 恒成立.22、〔12分〕如下图，圆8)1(:22=++y x C ，定点)0 , 1(A ，M 为圆上一动点，P 为AM 的中点，AM 的垂直平分线PN 交CM 于点N .〔Ⅰ〕求点N 的轨迹E 的方程；〔Ⅱ〕假设过定点)2 , 0(F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H 〔点G 在点F 、H 之间〕，且满足FG FH λ=，求实数λ的取值范围..M数学参考答案一、BDCBA ADBAC CA二、13、3 ；14、 81-；15、 21； 16、350三、17、〔Ⅰ〕由,1800212cos 222︒<<=-+=A bc a c b A 及 ∴A =60°〔Ⅱ〕由322cos =B 及0<B <90°， ∴sin B =3118、解：(Ⅰ)P 〔A 〕=3231012121235=C C C C C . 〔Ⅱ〕ξ有可能的取值为：2，3，4，5.103)4(31022161226=+==C C C C C P ξ，158)5(31022181228=+==C C C C C P ξ 随机变量ξ的概率分布〔略〕；ξ的数学期望为19、〔Ⅰ〕证明：⊥VD 面ABC ，⊂VD 面VAB ，∴面VAB ⊥面ABC ，交线为.ABAB BC ⊥ ， ⊥∴BC 面VAB ，又VBC BC 面⊂， ∴面VAB ⊥面VBC〔Ⅱ〕解：过B 作VA BE ⊥于E ,连结CE ,，由〔Ⅰ〕知,CE VA ⊥,CEB ∠∴ 就是二面角CVA B --的平面角.VABAB ∆=,2 是正三角形3=∴BE .又AB BC ==2,332tan =∠∴CEB ,. 二面角的大小为332arctan. C20、解：〔Ⅰ〕*)(2121212221N n n n a a a n n ∈+=-++-+-在〔1〕中令适合有511==a n 〔3〕式，故*)(121N n n a n n ∈+=+〔Ⅱ〕设,21+=n n n b 其前n 项与为,n T 那么21、解：〔Ⅰ〕0=m 时，)2()(2/x x e x f x +-=-，由0)(/>x f 得：f (x )的单调递增区间为〔0，2〕，∴单调递减区间为〔－∞，0〕与〔2，+∞〕2=m 时，0)(2≤-='-x e x x f 0[)(在x f ，)∞+2)0()(=≤∴f x f 成立；2<m 时， 令mx x x f -==='20,0)(或得，2max )4()2()(--=-=m e m m f x f设2)4()(--=m e m m g ，0)3()(2/>-=-m e m m g ，∴)(m g 在]2,(-∞上是增函数，∴2)2()(=≤g m g ，∴0≥x 时，2)(≤x f 恒成立22、解：〔Ⅰ〕NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.∴222||||>=+AN CN ∴动点N 的轨迹是以点C 〔–1，0〕，A 〔1，0〕为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为222=a ,焦距2c=2.1,1,22===b c a ∴点N的轨迹E 的方程为1222=+y x 〔Ⅱ〕当直线GH 的斜率存在时，GH 方程为2+=kx y 代入椭圆方程得：034)21(22=+++kx x k ，由0>∆得：232>k ，设),(11y x G ，),(22y x H 又→-→-=FH FG λ，∴)2,()2,(2211-=-y x y x λ，∴21x x λ=， ∴λλ22)1()121(316+=+k，由于232>k ，∴316)1(42<+<λλ，即331<<λ 又10<<λ，∴131<<λ，又当直线GH 的斜率不存在时，31=λ，∴)1,31[∈λ。

2024-2025学年海南省部分学校高三（上）全真模拟数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U =Z ，A ={1,2,3}，B ={x|−2<x <2,x ∈Z}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {1}B. {2}C. {2,3}D. {1,2,3}2.已知不等式2x 2−ax +6<0的解集是{x|−2<x <−32}，则实数a =( )A. −7B. −6C. 6D. 73.若命题“∀a ，b ∈R ，a−2b <b−2a ”为真命题，则a ，b 的大小关系为( )A. a <bB. a >bC. a ≤bD. a ≥b4.已知向量a =(−1,3)，b =(2,0)，c =(1,3)，若a 与λb−c 平行，则实数λ的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 35.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y 与其繁殖时间t(天)满足关系式：y =ma t .若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到100大约需要( )(lg2≈0.3，结果四舍五入取整)A. 16天B. 17天C. 18天D. 20天6.已知α∈(0,π2)，sin 2α+12sin2α−cos 2α=−12，则tanα=( )A. 13B.22C. 2D. 227.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且acosB−bcosA−c =0，则A =( )A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°8.已知函数f(x)=(a +1)x−lna ，g(x)=−e x −lnx ，若函数f(x)的图象与g(x)的图象在(0,+∞)上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A. (e2,e)B. (1,e )C. (1,+∞)D. (e,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：高考全部内容.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知{}{}24,2,4,6A xx B ==∣……，则A B ⋂=（ ）A.{}2,3,4B.[]2,4C.{}2,4D.{}2,4,62.已知复数z 满足()12i 34i ,z z +=-的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ）A.6B.5C.4D.33.某饮料厂生产A ，B 两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A 型号饮料15瓶，则每小时B 型号饮料的产量为（）A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶4.已知()3232,0,,0x x x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩为奇函数，则()f a =（ ）A.0B.1C.-1D.25.已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，()0,,A b B 为C 的右焦点，若AP PB = ，则C 的离心率为（ ）C.26.已知函数()()2log 41(0,1)a f x ax x a a =-+>≠在()1,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.[)2,∞+B.[]2,3C.[)3,∞+D.[)4,∞+7.函数()πππsin tan sin 4124f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）1- C.2D.28.已知数列{}n a 满足1π(1)cos 3n n n a n a +=-+，若11a =，则2023a =（ ）A.3374-B.3374C.33714 D.33714-二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在正三棱柱111A B C ABC -中，12,3AB AA ==，则下列说法正确的是（ ）A.正三棱柱111A B C ABC -的体积为B.三棱锥111B A BC -C.二面角1A BC A --的大小为60D.点A 到平面1A BC10.已知随机变量X 的分布列为()464410C C ,0,1,2,3,4C k k P X k k -===，则下列说法正确的是（ ）A.()327P X ==B.()125E X =C.甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数X 满足此分布列D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数X 满足此分布列11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>,F C 的准线与x 轴交于点,2M MF =，过点F 的直线与C 交于,A B 两点，则下列说法正确的是（ ）A.1p =B.直线MA 和MB 的斜率之和为0C.MAB 内切圆圆心不可能在x 轴上D.当直线AB 的斜率为1时，8AB =12.设12,x x 分别为函数()()21ln 2x f x a x a x =-++的极大值点和极小值点，且11x <，则下列说法正确的是（）A.1x =为()f x 的极小值点B.()()0,11,a ∞∈⋃+C.()231,22f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D.()11,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.写出一个圆心在x轴上，且与直线y x =相切的圆的标准方程：__________.14.已知,a b为平面向量，2b = ，若a 在b 方向上的投影向量为2b ，则()a b b -⋅= __________.15.已知圆锥SOAB 为底面圆O 的一条直径，C 为圆O 上的一个动点（不与,A B 重合），则三棱锥S ABC -的外接球表面积为__________.16.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点,A B 在函数()f x 的图象上，P 为曲线()y f x =与y 轴的交点，若PA PB ⊥，则f=__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，面积为,2S S AC =⋅ .（1）求A ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求a .18.（12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列.（1）若1231a a a =，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（2）若12a =，证明：1211151116n a a a +++<+++ .19.（12分）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径ix（单位：厘米），如下表：i123456789101112ix 28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：1212211360,10992ii i i xx ====∑∑.（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值μ与样本方差2s .（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求()P A ；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布()230,8N .在这个条件下，求()P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若()2,Y Nμσ~，则()()()0.6827,20.9545,30.9973P Y P Y P Y μσμσμσ-≈-≈-≈……….参考数据：1212120.68270.01,0.95450.57,0.99730.97≈≈≈.20.（12分）已知函数()()121e3ln 1x f x x x ax -=--+-，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()f x 有唯一极值点.21.（12分）如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成.（1）证明：PS∥平面ABCD ；（2）求AS 与平面PAD 所成角的正弦值.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上､下顶点分别为,A B ，短轴长为2,P 在C 上（不与,A B 重合），且12PA PB k k ⋅=-.（1）求C 的标准方程；（2）直线,PA PB 分别交直线2y =于,D E 两点，连接DB 交C 于另一点M ，证明：直线ME 过定点.2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学·答案8.D7.A6.C5.D 4.A 3.B2.B1.C 10.ABD12.AC11.BD9.AC13.22(2)1x y -+=（答案不唯一） 14.-215.16π316.117.解：（1）由题意可得122sin 2S bc A =⨯=cos A ，所以tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即222b c bc a +-=.因为1πsin 23S bc ==，所以40bc =.因为20a b c ++=，所以222a b c bc=+-2()3b c bc =+-2(20)120,a =--整理得40280a =，所以7a =.18.解：（1）由1231a a a =，可得33121a ⋅=，故112a =，所以数列{}n a 的通项公式为22n n a -=.则22n n na n -=⨯，故10121222322n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯ ，①()012212122232122n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ .②由②-①可得，()()110121122222122n n n n S n n ----=⨯-++++=-⨯+ .（2）证明：若12a =，则数列{}n a 的通项公式为2nn a =.当1n =时，11113a =+；当2n …时，1111212n n n a =<++.故231211111111111151113222322326nn n a a a +++<++++=+-<+=+++ .19.解：（1）样本均值12113012i i x μ===∑，样本方差()12221112ii s x μ==-∑12122211121212i i i i x x μμ==⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑()2110992230360123012=⨯-⨯⨯+⨯16=.（2）①由题意可得，树干直径Y （单位：cm)近似服从正态分布()230,4N .4年的红松树，其树干直径位于区间[]22,38的概率是0.9545，所以()120.95450.57P A =≈.②若树干直径Y 近似服从正态分布()230,8N ，则()120.68270.01P A =≈此时A 发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值.A 是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件A 发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.20.解：（1）当1a =时，()()121e3ln 1,0x f x x x x x -=--+->，()13e 2xf x x x x-=-+'，()10f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()11233e 2e 2x x f x x ax x a x x --⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭'，0x >，设()123e2x g x a x -=-+，则()136e 0x g x x-=+>'，所以()g x 在()0,∞+单调递增，又,()x g x →+∞→+∞；0,()x g x →→-∞.所以存在唯一的()00,x ∞∈+，使得()0g x =0，当()00,x x ∈时，()()0,g x f x <单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()()0,g x f x >单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，所以()f x 有唯一极值点.21.解：（1）分别取,,AD BC PS 的中点,,E F G ，连接,,,,PE PF GF SF EF ，由题意可知多面体PS ABCD -的棱长全相等，且四边形ABCD 为正方形，所以,,EF BC PF BC SF BC ⊥⊥⊥，因为,,EF PF F EF PF ⋂=⊂平面PEF ，所以BC ⊥平面PEF ，同理BC ⊥平面PFS .又平面PEF ⋂平面PFS PF =，所以,,,P E F S 四点共面.又因为,EF PS AB PE SF ===，所以四边形PEFS 为平行四边形，所以PS∥EF ，又EF ⊂平面,ABCD PS ⊄平面ABCD ，所以PS∥平面ABCD .（2）以F 为原点，以,,FE FB FG 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1AB =，则()111,1,0,0,1,,0,222P E A S ⎛⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎝，所以1131,0,,0,,2222EP EA AS ⎛⎛⎛⎫=-==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎝.设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由0,0,EP n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10,210,2x z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令1z =，则x =)n =.设AS 与平面PAD 所成角为θ，则||sin ||||n AS n AS θ⋅===⋅，即AS 与平面PAD.22.解：（1）依题意可得，22AB b ==，所以1b =.设()00,P x y ，则000011,PA PB y y k k x x -+==，所以202201112PA PBy k k x a -⋅==-=-，所以22a =，所以C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题可知直线,PA PB 的斜率存在且不为0，不妨设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为12k-，直线:1PA y kx =+，令2y =，解得1x k=，所以1,2D k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线1:12PB y x k=--，令2y =，解得6x k =-，所以()6,2E k -.直线:31DB y kx =-，由2231,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()22181120k x kx +-=，则2Δ(12)0k =>，且212181M B kx x k +=+，解得212181M kx k =+，所以22212181,181181k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以直线ME 的方程为()222181218126126181k k y x k kk k --+-=⋅+--+，整理得()1266y x k k-=-+，即660x ky k +-=，即()610x k y +-=，所以直线ME 过定点()0,1.。

海南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合2{|2}A x x =<,则R C A =( )A.{|22}x x -≤≤B.{|22}x x x ≤-≥或C.{|x x ≤≤D.{|x x x ≤≥或2. 若()12z i i +=,则z =( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4. 已知,2sin cos 2R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．175. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 20B. 22C. 24D.6. 已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2xf x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B. C.27. 直线2130x ay a -+-=，当a 变动时，所有直线所过的定点为( ) A.1(,3)2-B. 1(,3)2--C. 1(,3)2D.1(,3)2- 8. 三棱锥V ABC -的底面三角形ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA VC =,已知其正视图VAC ∆面积为23,则其侧视图的面积为 ( )A.2 B. 6 C. 4 D.39. 如图，已知直四棱柱中，，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A.B. C. D.10. 已知中，内角所对的边分别是，若，且，则当取到最小值时，（ ） A.B.C.D. 11. 定义在上的偶函数满足：当时，，.若函数有6个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 已知抛物线的焦点为，且到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则（ ） A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（二）数学1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．2．考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数和导数．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“1x ∀≥，2sin 1x x -<”的否定是（ ）A ．1x ∃<，2sin 1x x -≥B ．1x ∃≥，2sin 1x x -≥C ．1x ∀<，2sin 1x x -≥D ．1x ∀≥，2sin 1x x -≥2．已知集合{}270A x x x =-<，{}4B x x =>，则A B = （ ）A ．∅B ．()4,7C ．()0,+∞D ．()0,43．已知()2,3m =- ，()1,4n =- ，(),1p λ= ，若()3m n p +⊥，则λ=（ ）A ．9B ．9-C ．19D ．19-4．声强级I L （单位：dB ）由公式12101g 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W /m ）．若学校图书规定：在阅览室内，声强级不能超过40dB ，则最大声强为（ ）A ．6210W /m -B ．7210W /m -C ．8210W /m-D ．9210W /m-5．已知函数()f x 的图象在区间[]1,3上连续不断，则“()f x 在[]1,3上存在零点”是“()310i f i ==∑，*i ∈N ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我们把顶角为36︒的等腰三角形称为“最简三角形”．已知cos36︒=“最美三角形”的顶角与一个底角之和的余弦值为（）ABCD7．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有5个极值点，则当ω取得最小值时，()f x 图象的对称中心的横坐标可能为（ ）A ．730πB ．815πC ．1115π-D ．23π8．已知函数()23,3,69,3,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=-+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知,a b ∈R ，且0a b >>，则（ ）A ．2222a a b b->-B ．532log log a b >C<D．))221122ab ->-10．下列命题正确的是（ ）A ．x ∃∈R ，24912x x +<B ．x ∀∈R ，22sin 5sin 30x x -+≥C ．若命题“x ∀∈R ，()212304a x ax +-+>”为真命题，则实数a 的取值范围为()(),13,-∞-+∞ D ．若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()22511log 13x x m +≥-，则实数m 的最小值为1911．数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A．1GH BD ⎫=⎪⎪⎭B．BE BD =+C．12GB BD CF =-D．IC BD =12．已知函数()cos tan 2f x x x x =-，则（ ）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称C ．()f x ≤在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立D ．()12y f x x π=--在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的所有零点之和为4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{}240A x ax =-=，{B x y ==，若A B A = ，则实数a 的值可以是________．（写出一个满足条件的值即可）14．若函数()221382sin x x f x m x -+⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则m =________．15．已知正数a ，b满足11a b+=()()234a b ab -≥，则22a b +=________．16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4c =，60C =︒，2DC BD DA =+，则DA DB ⋅的最大值为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且24cos 4cos a B c b A =-．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）若3C π=，a b +=，求ABC △的面积．18．（12分）已知函数()24ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间与极值．19．（12分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x 万件电子芯片需要投入的流动成本为()f x （单位：万元），当年产量不超过14万件时，()2243f x x x =+；当年产量超过14万件时，()4001780f x x x=+-．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（Ⅰ）写出年利润()g x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（Ⅱ）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？20．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(),m c b = ，3cos ,cos 22A B n B π⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且m n．（Ⅰ）若4a =，c =，求ABC △的周长；（Ⅱ）若2CM MB = ，3AM =，求a b +的最大值．21．（12分）如图为函数()()2cos f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象，且4CD π=，5,212A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求ω，ϕ的值；（Ⅱ）将()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移34π个单位长度，得到函数()g x 的图象，讨论函数()y g x a =-在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的零点个数．22．（12分）已知函数()22sin f x ax x =+，()f x 的导函数为()f x '．（Ⅰ）若()f x 在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当[]0,x π∈时，记函数()f x '的极大值和极小值分别为λ，μ，求证：23λμ≥+．2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（二）数学・答案1．B 因为全称量词命题的否定为存在量词命题，故“1x ∀…，2sin 1x x -<”的否定是“1x ∃…，2sin 1x x -…”，故选B ．2．C 因为{}{}27007A x x x x x =-<=<<，故()0,A B =+∞ ，故选C ．3．A 依题意，()31,9m n +=- ，故()390m n p λ+⋅=-+=，解得9λ=，故选A ．4．C 依题意，1210lg 4010I -⎛⎫⎪⎝⎭…，则4121010I -…，则810I -…，故选C ．5．B()310i f i ==∑，()()()*1230i f f f ∈⇔++=N ．“()f x 在[]1,3上存在零点”时，不一定有“()310i f i ==∑，*i ∈N”，但“()310i f i ==∑，*i ∈N ”时，一定有“()f x 在[]1,3上存在零点”，故选B ．6． A 依题意，“最美三角形”的顶角与一个底角之和为108︒，则()22cos108cos 18072cos7212cos 361212=-=-=-=-⨯=︒︒︒︒-=︒，故选A ．7．B 令()232x k k ππωπ-=+∈Z ，故()76k x k ππωω=+∈Z ，735,66745,66πππωωπππωω⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩…解得3155ω<…，故当ω取得最小值时，()2sin 53f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()253x k k ππ-=∈Z ，则12515x k ππ=+，所以8015f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ．8．C 作出函数()f x 的图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at -+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈-，则280,9320,30,2a a a⎧⎪->⎪++>⎨⎪⎪-<<⎩解得113a -<<-，观察可知，3a =-满足题意，故选C ．9．CD 对于A ，令12a =，14b =，可知2222a a b b -<-，故A 错误；对于B，当a =，13b =时，52log 1a =-，3log 1b =-，此时532log log a b =，故B 错误；对于C ，因为>，所以<，故C 正确；对于D ，因为2211a b <，且021<-<，所以22112)2)a b ->，故D 正确，故选CD ．10．BD 对于A ，因为x ∀∈R ，24922312x x x +⋅⋅=…，当且仅当32x =时，等号成立，故A 错误；对于B ，令[]sin 1,1t x =∈-，则22sin 5sin 30x x -+…，即为22530t t -+…，而2253y t t =-+在[]1,1-上单调递减，故010y ……，故B 正确；对于C ，显然230a +>，且2230a a --<，解得13a -<<，故C错误；对于D ，当[]0,3x ∈时，()25minlog 10x ⎡⎤+=⎣⎦，当[]1,2x ∈时，min 1139x m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故109m -…，所以19m …，故D 正确，故选BD ．11．ACD易知BC BD =，故21GH GA AE EH BC BD BD ⎫=++=+=⎪⎪⎭，而GH BD ，故A正确；易知2CF DE =，12BE BD DE BD CF =+=+ ，故B错误；12GB GA AB BD CF =+=- ，故C 正确；而CC IB BC =+ ，1124BC BD CF =-，)1324IB BF BC CF BD CF BD ⎫==+=+=+⎪⎭，故IC BD =+，故D 正确，故选ACD ．12．ABD()tan2f x x x =-，则()()()()tan2tan2f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，故π是()f x 的一个周期，故A正确；因为()()()][()sin 2tan 2sin2tan20f x f x x x x x πππ⎡⎤--+=-----+-=⎣⎦，故()f x 的图象关于,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；易知()22cos 2f x x x '=-，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得8x π=，故当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,84x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故max ()18f x f π⎛⎫==> ⎪⎝⎭C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，结合奇偶性和周期性作出()f x 在对应区间上的大致图象如图所示，又12y x π=-，()y f x =的图象均关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故D 选项中对应区间上所有零点之和为4π，故D 正确，故选ABD ．13．1（答案不唯一） 根据题意得{}2,2B =-，A B A A B =⇔⊆ ．若0a …，则A =∅，满足题意；若0a >，则44a=，得1a =，故横线上填写的a 的值满足0a …或1a =均可．14．12-依题意，()()424sin x x f x m x -=+⋅⋅为偶函数，sin y x =为奇函数，则()424x x g x m -=+⋅为奇函数，故()0120g m =+=，得12m =-．经检验，当12m =-时，()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，故12m =-．15．6 由23()4()a b ab -…，得222()4a b ab a b -…，即21144ab a b ab⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故12ab ab +…．又12ab ab +=…，当且仅当1ab ab =时，等号成立，此时1,11ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩故226a b +=．16．8825- 作ABC △的外接圆O ．设AB 的中点为M ，则由题意知()24DC AD BD MD =+= ，故15DM CM = ，()()222||||4DA DB DM MA DM MA DM MA DM ⋅=+⋅-=-=-，由60ACB ∠=︒，故点C 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为3π的优弧上，故当CM AB ⊥时，CM 取最大值，即DM 取最大值，此时CAB △为等边三角形，DM =128842525DA DB ⋅=-=- ．17．解：（Ⅰ）依题意，24cos 4cos a B b A c +=，由正弦定理得，()4sin cos 4sin cos 4sin 4sin sin A B B A A B C c C +=+==，而sin 0C ≠，故4c =．（Ⅱ）由余弦定理得，22222cos ()332316c a b ab C a b ab ab =+-=+-=-=，得163ab =，故1sin 2ABC S ab C ==△．18．解：依题意，()42f x x x='-，0x >．（Ⅰ）()412121f =-'⨯=-，()114ln112f =-+=，故所求切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=．（Ⅱ）令()0f x '=，解得x =(x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x的单调递减区间为(，单调递增区间为)+∞，则()f x的极小值为32ln2f =-，无极大值．19．解：（Ⅰ）根据题意得，当014x ……时，()()22163012303g x x f x x x =--=-+-，当1435x <…时，()()400163050g x x f x x x=--=--，故()221230,014,340050,1435.x x x g x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩………（Ⅱ）当014x ……时，()2212303g x x x =-+-，且当09x ……时，()g x 单调递增，当914x <…时，()g x 单调递减，此时()max 2()98112930243g x g ==-⨯+⨯-=．当1435x <…时，()4005050210g x x x =---=…，当且仅当20x =时，等号成立．因为2410>，故当9x =时，()g x 取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片．20．解：因为m n ，故3cos cos22A B c B b π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由正弦定理得，sin sin sin cos2A B B C B +=．又sin 0B ≠，则sin cos cos sin 222A B C CC π+-===，即2sin cos sin 222C C C =，而sin 02C ≠，故1cos 22C =，故23C π=．（Ⅰ）由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，即2217162402b b b ⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，整理得23280b b --=，解得2b =或43-（舍去），c =ABC △的周长为6+．（Ⅱ）设0,3CAM πα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，3CMA πα∠=-．由正弦定理得，sin sin sin CM AC AMCMA Cα==∠，即23sin sin 3a b παα===⎛⎫- ⎪⎝⎭a α=，3cos b αα=+，所以()3cos a b αααϕ+=+=+，其中tan ϕ⎫=⎪⎪⎭，,64ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当2παϕ+=时，a b +．21．解：（Ⅰ）根据题意得，44T π=，故T π=，22Tπω==，故()()2cos 2f x x ϕ=+．将5,212A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，得()52212k k πϕππ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，又2πϕ<，故6πϕ=-．（Ⅱ）依题意，()23222cos 2cos 34633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．函数()y g x a =-在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 的图象与直线y a =在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点个数．当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，224,3333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合余弦函数图象可知，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()g x 单调递减，当,22x ππ⎛⎤∈-⎥⎝⎦时，()g x 单调递增，且()1g π-=-，12g π⎛⎫=⎪⎝⎭，22g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，作出函数()g x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示．观察可知，当2a =-或11a -<…时，()y g x a =-有1个零点；当21a -<-…时，()y g x a =-有2个零点；当2a <-或1a >时，()y g x a =-有0个零点．22．解：（Ⅰ）依题意，()22cos f x ax x +'=，根据题意知，()0f x '…在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos x a x -…在5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．令()cos x m x x -=，5,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2sin cos x x x m x x +'=，令()sin cos n x x x x =+，2x π⎡∈⎢⎣，则()cos n x x x '=，则3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0n x '…，35,23x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0n x '>，故()n x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在35,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增．而02n π⎛⎫> ⎪⎝⎭，302n π⎛⎫< ⎪⎝⎭，503n π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故03,22x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00n x =，当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0n x >，()0m x '>，当05,3x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0n x <，()0m x '<，故min 53()min ,2310m x m m πππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则310a π-…，故实数a 的取值范围为3,10π⎛⎤-∞-⎥⎝⎦．（Ⅱ）令()()g x f x ='，则()()2sin g x a x -'=，设1x ，2x 分别为函数()f x '在[]0,π上的极大值点与极小值点，所以()()120g x g x ''==，12sin sin a x x ==，则01a <…，且12x x π+=．所以()11222222cos cos ax x ax x λμ-=+--，由12x x π+=，得21cos cos x x =-，其中102x π<…，1sin a x =，故()]()()11111111112222cos cos 233cos 23sin 3cos sin ax x a x x ax x a x x x x λμπππ⎡-=+--+=+-=+-⎣．设()3sin 3cos sin h x x x x x π=+-，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()()3cos h x x x π=-'，令()0h x '=，解得3x π=，故当03x π<…时，()0h x '<，()h x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32x ππ<…时，()0h x '>，()h x 在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()332h x h π⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即23λμ-…，故23λμ+…．。