高等数学-第七版--高等数学课件介绍ppt课件

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高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值

o
x
定义设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点注极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？分析陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去边长为x的四个小正方形，折转四边，作一个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元（其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).

高等数学-第七版-课件-18-1 隐函数

(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋

y0
y
＋＋＋＋

y0 y0
O
y0 y0
x

－－－－
U ( P0 )
－－－－

y f ( x)
x0
x0
x0
O x x0 x x 0 0
(d) 利用介值性
(c) 同号两边伸
图 18－1
等. 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.
数学分析第十八章隐函数定理及其应用
高等教育出版社
§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x , y ) 满足怎样一些条件时, 由方程 (1) 能确定隐函数 y f ( x ) , 并使该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 y f ( x ) 看作曲面 z F ( x , y ) 与坐标平面 z 0 的交线，故至少要求该交集非空，即
§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
y0
+ + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

高等数学-第七版-课件-8-1 不定积分概念与基本积分公式

高等教育出版社
dx 1 x
2
2
ln( x 1 x ) C ,
2
1 2 1 x dx x 1 x arcsin x C . 2

数学分析第八章不定积分
不定积分的几何意义
像是 f (x) 的一条积分曲线. y 所有的积分曲线都是
由其中一条积分曲线沿纵轴方向平移而得到的.
f ( x ) f ( x ) 0.
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知
F ( x ) G( x ) C .
数学分析第八章不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
定义2
不定积分
不定积分的几何意义
基本积分表
函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上
5. e dx e C . x a x 6. a dx C. ln a
x x
数学分析第八章不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
不定积分的几何意义
基本积分表
8. sin xdx cos x C .
9. sec xdx tan x C .
定理8.1（原函数存在性定理）
若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函
数 F, 即
F ( x ) f ( x ).
在第九章中将证明此定理.
数学分析第八章不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
不定积分的几何意义

高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数

在例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义由公式 ② 确定的称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数展开思路在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开在
上有定义上, 上为奇函数(偶函数)
定义在在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A：振幅：角频率
？
复杂的周期运动
：初相 )

高等数学-第七版-课件-19-3 欧拉积分

高等教育出版社
§3 欧拉积分
函数
函数
函数与函数之间的关系
B 函数(8)当 p 1 时, 是以 x 0 为瑕点的无界函数反常积分; 当 q 1 时, 是以 x 1 为瑕点的无界函数
反常积分. 应用柯西判别法可证得当 p 0, q 0 时
这两个无界函数反常积分都收敛. 所以函数 B( p, q ) 的定义域为 p 0, q 0. 1. B( p, q )在定义域 p 0, q 0 内连续由于对任何 p0 >0 , q0 >0 成立不等式
0
1
(1 y ) p1 y q1dy B(q, p) .
0
1
数学分析第十九章含参量积分
高等教育出版社
§3 欧拉积分
函数
函数
函数与函数之间的关系
3. 递推公式
q 1 B( p, q ) B( p, q 1) ( p 0 , q 1) , (9) p q 1

1
x b 1e x dx 收敛,从而 ( s )在 [a , b] 上也一致收敛,
于是 ( s ) 在 s 0 上连续.
数学分析第十九章含参量积分
高等教育出版社
§3 欧拉积分
函数
函数
函数与函数之间的关系
用上述相同的方法考察积分 s 1 x s 1 x x e d x x 0 s 0 e ln x dx .
若s为正整数n+1, 则(3)式可写成
( n 1) n(n 1)2 1 (1) n ! e x dx n ! . (4)
0

由(4)式及 ( s ) 在 ( x0 , ) 上严格增可推得

高中数学(人教版)高等数学第七版课件工程数学概率统计学绪论课件

甲乙二人各有赌本1元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种原因赌博中止，问如何分赌本才合理？分析：甲、乙均分显然不合理，由甲二胜一负能否依2：1来分？也是不合理的。巴斯卡提出一个关键点是：如赌局继续下去，各人取胜的概率，这将决定甲、乙二人的期望所得（后者现在称数学期望）。

Bortkiewicz （ 1898 ）的马踏死骑兵人数的统计。
被马踢死的骑兵数的频率分布死亡人数/年.队 0 1 2 3 频数 109 65 22 3 1 相对频数 0.545 0.325 0.11 0.015 0.005 理论概率拟合频数
4
要寻找死亡人数的合理分布。
使用 Poisson 分布也许是一个好的拟合，参数的估计为
3、短期的机遇变异和长期的规律性
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次出现的面：（1）正反正反反正（2）反反反正正正（3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果（2 ）和结果（3）很不随机。
从概率的观点认为结果（1）、（ 2）、（3）的发生有相同的概率，因而没有哪一个结果比其他结果更
这种设计的优点在于有人性化，即较多的病人接受较好的处理。
5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。
（1）抽样调查和试验设计的随机性（2）罐子模型
（3） Monte Carlo法与模拟
Monte Carlo法与模拟
图2：如何求不规则图形的面积— 蒙特卡罗法或模拟法
Monte Carlo法与模拟
不规则图形面积落入不规则图形内的随机点数 a m 正方形面积正方形内随机点总数 m
参考书目
1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高等教育出版社，1979 2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，1979 3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社， 2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出版社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the conceptual approach. New York:Springer-Verlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991

高等数学-第七版-课件-12-1 级数的收敛性

则结果是1. 两个结果的不同向我们提出了两个基本问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能
简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新的理论.
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定义1
给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号连接起来的表达式 u1 u2 un (1) 称为常数项级数或数项级数(常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也常记为
n
(iii) 当 q 1 时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,
S2 k 0, S2 k 1 a , k 0, 1, 2,, 级数发散.
1aq 时n , 级数 q 1 时, 级综合起来得到 a aq aq2: q (3)收敛; (3) 数(3)发散.
k
k
注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号时也收敛. 例如
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 0,
收敛, 但级数 1 1 1 1
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
却是发散的.
§1 级数的收敛性
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
为此令 p = m, 则有
um 1 um 2 u2 m
1 1 1 m 1 m 2 2m
1 1 1 1 , 2m 2m 2m 2
1 故取 0 , 对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 2 1 因此调和级数发散. 就有(7)式成立， n 1 n

高等数学-第七版-课件-11-1 反常积分概念

1

1 dx dx 1 故当 0 q 1时， q lim q ; 0 x 1q u 0 u x 1
dx 当 1 q 时, q 发散. 0 x
1
数学分析第十一章反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
1 1 (0 0) 0 2 2 . p p
数学分析第十一章反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
dx 例5 讨论瑕积分 q q 0 的收敛性. 0 x 1 1q 1 u ,q 1 1 dx 解 q 1 q ux ln u, q 1,
数学分析第十一章反常积分
高等教育出版社
a
a
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
例4 讨论无穷积分
0

t e pt dt
p 0 的收敛性.
解
因此
te

0
pt
t pt 1 pt dt e 2 e C , p p

t 1 t e pt dt e pt 2 e pt p p 0
推得
a

x
f ( x )dx 收敛?
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
高等教育出版社

x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
数学分析第十一章反常积分

高等数学-第七版-课件-9-2 牛顿-莱布尼茨公式

数学分析第九章定积分
高等教育出版社
§2 牛顿-莱布尼茨式
1 1 1 L . 例5 求 lim n n 1 n 2 nn 1 1 1 解易见 lim 是函数 n n 1 n2 nn 1 f (x ) 在[0,1]上黎曼和的极限. 其中 1 x 1 n 1 1, 分割和介点分别为 Tn : 0 n n i i 1 i i [ , ], i 1, 2, , n. n n n 1 1 1 1 1 因此 lim 0 dx n n 1 n2 nn 1 x
n
1 n
数学分析第九章定积分
高等教育出版社
ln(1 x )
数学分析第九章定积分
高等教育出版社
1 0
ln 2.
§2 牛顿-莱布尼茨式
1 2 n 例6 求 lim (1 )(1 )(1 ) . n n n n 1 1 2 n n 1 n i 解令 an ln (1 )(1 )(1 ) ln 1 , n n n n i 1 n
§2 牛顿-莱布尼茨式
例3 求解
1 2 0
dx . 2 1 x
dx
arcsin x
12 0

1 2 0
1 x2
0 . 6 6

例4 求解

2
0
x 4 x 2 dx
2
3 2 2 2 0

2
0
1 x 4 x dx (4 x ) 3
8 . 3
用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.
数学分析第九章定积分
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二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧，增强效果
二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧，增强效果
oa
b x oa b x
证明思路
罗尔定理
拉格朗日定理
几何方法: (x) f(x)L(x)
代数方法: f( )f(bb) af(a)0
辅助函数
(a)(b)?
f(x)f(bb ) a f(a) x0
φ(x)
f(x)
➢曲线积分的计算方法思路
用流程图展现
是
L封闭
否
Q P
x y
0
简
单
0 格林公式
复复杂杂直接计算
➢结构合理每一讲课件的内容按100分钟的时间设计每个单元设置习题课共90讲，符合目前教学学时的安排
➢精心设计各讲内容
避免对教材的简单翻版和罗列内容的处理、内容的注释小结、习题的选择等都是作者多年教学经验和智慧的结晶，体现了作者对教材的独到见解
二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧，增强效果
4．结合数学特点，采用多种技巧增强效果
保留标题或结构，逐级返回，使内容的逻辑结构更清晰；
4．结合数学特点，采用多种技巧增强效果
保留标题或结构，逐级返回，使内容的逻辑结构更清晰；分步显示图形，在直观形象的同时锻炼学生的抽象思维能力和空间想象能力；
示例一：二元函数偏导数的几何意义
z
f x
xx0 yy0
z
O
y
x
zdv,
: x2y2z24, z1x2y2 3
z
O
y
x
将 f( x2y2z2)dv,
z
化为球坐标系下的三次积分
:zx2y2,xy,x1
y0,z0 围成
O
y
x
4．结合数学特点，采用多种技巧增强效果
保留标题或结构，逐级返回，使内容的逻辑结构更清晰；分步显示图形，在直观形象的同时锻炼学生的抽象思维
……
f "(x)
f(x) 单调性凹凸性 (xi f(xi)) 单调性凹凸性
极值点和极值不同不同拐点
二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧，增强效果
二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧，增强效果
《高等数学》教学课件介绍
一、课件内容二、课件特点三、推广前景
《高等数学》教学课件介绍
一、课件内容二、课件特点三、推广前景
二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧增强效果
二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧增强效果
ddxf(x,y0)xx0
M0
Tx
Ty是Biblioteka 线zyf (x, y) y0
在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
o x0
f y
xx0 yy0
ddyf(x0,y)yy0
x
y0
y
是曲线
z
x
f (x, x0
y)
在点M0
处的切线
M
0Ty
对 y 轴的斜率
示例二：三重积分的积分区域
zdv,
: x2y2z24, z1x2y2 3 围成的区域
能力和空间想象能力；相对完整的内容尽量集中在一屏显示，从而使教师可以
反复、对照，也方便学生记笔记；
示例一：导数概念
（1）变速直线运动的速度（2）平面曲线的切线
匀速运动： v s
方法举例
➢微分方程的引入
用框图展现
实际问题
函数
变量间的联系
求
含有未知函数解及其导数的等式
微分方程
➢曲线积分与路径无关的概念
P(x,y)dxQ(x,y)dy L1
P(x,y)dxQ(x,y)dy L2
用动画展现
y
G
L2 B
A L1
O
x
➢拉格朗日定理的证明思路
用动画展现
y
f (x) y
f ( x) L(x)
《高等数学》教学课件介绍
《高等数学》教学课件介绍
一、课件内容二、课件特点三、推广前景
《高等数学》教学课件介绍
一、课件内容二、课件特点三、推广前景
➢包括高等数学上下册十二章的内容 ➢共计90讲
正课68讲习题课22讲
➢内容与同济大学数学系编《高等数学》第七版配套 ➢全套课件均为PPT格式，便于运行、易于修改
本课件是为教师课堂教学而设计的,不是供学生学习的教案．
设计时,避免让课件“说话”,造成课件与讲授的冲突,而是
给教师讲授留出足够的空间．
这里为不此妨，啰采嗦取几了句许：多方法，比如：将要讲授的道理变成各种流现授程在课图某时、些就框课给图件人、常“表常念格把课、要件动讲”画的的；大感课段觉件原。中话其仅放实出在，现课如一件果个里真简。是明这这的样样论，的断在课，教件师，再那围么绕听这众个多论半断会展不开由讲自解主等地等自．己“念课件”，而不再听讲。老师的讲课反而影响了听众的“念”。不仅如此，由于老师另不外知，听随众时念注到意了课哪件里的，播只放顾与自讲己解翻的屏同，步倒．是更加阻碍了听众。这会导致不折不扣的“冲突”。因此，作者认为： “不让课件说话”是设计课件的一个重要原则
Q P
x y
简单添加曲线
0 特殊路径
选择原则积分路径封闭否 Q P 简单否 x y
➢函数的单调性与凹凸性小结
用表格展现
函数的单调性
曲线的凹凸性
概念判定应用
曲线的升降
曲线的弯曲方向
一阶导数的符号
二阶导数的符号
证明不等式构造函数、验证
x
(xi-1 xi )
xi
f '(x)
(xi xi+1)
二、课件特点
1．精心设计教学内容 2．合理选材，处理好板书与课件的关系 3．注重实效，处理好课件与讲授的关系 4．结合数学特点，采用多种技巧，增强效果
高等数学是一门逻辑性很强的数学基础课程，在教学过程中不能完全舍弃板书这一传统的教学手段
凡属需要板书的内容，一律不在课件中出现对于其它内容则利用留出的空间用课件来充分展现