二、判断正误题（请说明理由） 1. （2）由波函数可以确定微观粒子的轨道 2. （2）波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的 3. （2）平面波表示具有确定能量的自由粒子，故可用来描述真实粒
子 4. （2）因为波包随着时间的推移要在空间扩散，故真实粒子不能用
波包描述 5. （2）正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系 6. （2）测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准 7. （2）设一体系的哈密顿与时间无关，则体系一定处于定态 8. （2）不同定态的线性叠加还是定态 9. （3）对阶梯型方位势，定态波函数连续，则其导数必然连续 10.（3）显含时间t，则体系不可能处于定态，不显含时间t，则体系
40.（5）试根据力学量平均值表达式证明力学量平均值随时间的变化为，其 中为体系的哈密顿
（4、5） 证明：宇称算符的本征函数非奇即偶
42.（5）设粒子处在对称的双方势阱中
（1）在情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并；
（2）证明取有限值情况下，简并将消失。
43.（5、6）证明在氢原子的任何定态中，动能的平均值等于该定态能量的负
并给出二维、三维各向同性谐振子能级简并度。 40.（6） 氢原子体系处于状态 ，给出和可能取值及取值几率，并说明该状
态是否是定态？为什么？ 41（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为，试列举出几种该量子体
系力学量完全集的选取方案。 42.（7）什么是正常Zeeman效应？写成与其相应的哈密顿量，并指出 系统的守恒量有哪些。 43.（8）试给出电子具有自旋的实验依据 44.（8）写出表象中、和的本征值与本征态矢 45.（8）试述旋量波函数的概念及物理意义 46.（8）以和分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子
量，并给出理由。 35.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？ 36.（6）中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值 37.（6）写出中心力场中的粒子的所有守恒量 38.（6）试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的 能级简并度进行比较 39.（6）二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同，
本征态？为什么?
49.（11）利用Einstein自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。
50.（11）是否能用可见光产生 1阿秒(s) 的激光短脉冲，利用能量—
时间测不准关系说明原因。
51.（11）试给出跃迁的Fermi 黄金规则（golden rule）公式，并说明式中各 个因子的含义。
（8）在质心坐标系中，设入射粒子的散射振幅为，写出靶粒子的散射 振幅，并分别写出全同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分 散射截面表达式。
么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A与B，写出二者在任何量子态下的涨落所满足 的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子方向的动量和方向的角动量是否为可同时有确定值 的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质
26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定
48.（10）在一定边界条件下利用定态薛定谔方程求解体系能量本征值与变
分原理等价。
49.（12）已知在分波法中 ，
据此证明光学定理。 4、 计算题： 1.（2）设一维自由粒子的初态为，求。
2.（3）质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为 （1）求解能量本征值和归一化的本征函数； （2）若已知时，该粒子状态为，求时刻该粒子的波函数； （3）求时刻测量到粒子的能量分别为和的几率是多少？ （4）求时刻粒子的平均能量和平均位置。
3. （3）粒子在一维势阱中运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化波函 数。
4. （3）设有质量为的粒子（能量）从左入射，碰到势垒，试推导出势中的 跃变条件。 5. （3）质量为m的粒子，在位势 中运动，其中 a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的 本征函数； b. 给出粒子处于x>0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于 1/2，为什么？
三、证明题： 1. （2）试由Schrödinger方程出发，证明，其中 数满足定态Schrödinger方程，若、都是方程的解，则有 是定态薛定谔方程对应于能量的非简并解，则此解可取为实解 4. （2）设和是定态薛定谔方程对应于能量的简并解，试证明二者的线性组
合也是该定态方程对应于能量的解。 ，试证势中的跃变条件 6. （3）设是定态薛定谔方程的一个解，对应的能量为，试证明也是方程的
一个解，对应的能量也为 （3）一维谐振子势场中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置
概率分布经历一个周期后复原。 8. （3）对于阶梯形方势场 ，若有限，则定态波函数及其导数必定连续。
9. （3）证明一维规则势场中运动的粒子，其束缚态能级必定是非 简并的
10.（4）证明定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为 实数
一定处于定态 11.（3）一维束缚态能级必定数非简并的 12.（3）一维粒子处于势阱中，则至少有一条束缚态 13.（3）粒子在一维无限深势阱中运动，其动量一定是守恒量 14.（3）量子力学中，静止的波是不存在的 15.（3）δ势阱不存在束缚态 16.（4）自由粒子的能量本征态可取为，它也是的本征态 17.（4）若两个算符有共同本征态，则它们彼此对易 18.（4）在量子力学中，一切可观测量都是厄米算符 19.（4）如果是厄米算符，其积不一定是厄米算符 20.（4）能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态 21.（4）若对易，则在任意态中可同时确定
曾谨言量子力学题库
一简述题： 1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能
量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范
围（以Å为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举 例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 （2）已知粒子波函数在球坐标中为，写出粒子在球壳中被测到的几率
以及在方向的立体角元中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）是否定态？为什么？ 13.（2）设，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描 述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时 具有确定值？ 21.（4）若算符、均与算符对易，即，、、是否可同时取得确定值？为什
36.（5）试证在一维势场中运动的粒子所受势壁的作用力在束缚定态中的平 均值为0（提示ຫໍສະໝຸດ Baidu利用对易关系）
37.（5）设系统的哈密顿量为，厄米算符与对易。试证明，其中是的均方 根偏差，即，式中尖括号表示求平均值。 38.（5）如果，但，试证明的本征值必有简并。
39.（5）粒子在对数函数型势场中运动，，其中常数。试利用Virial定理证 明：各束缚态的动能平均值相等。
态Schrödinger方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的 形式。
29.（4）如果均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ a) b) b)
30.（5）试述守恒量完全集的概念 31.（5）全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 32.（5）试述守恒量的概念及其性质 33.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？ 34.（5）电子在均匀电场中运动，哈密顿量为。试判断各量中哪些是守恒
22.（4）若不对易，则在任何情况下不可同时确定 23.（4）和不可同时确定 24.（4）若对易，则的本征函数必是的本征函数 25.（4）对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并 26.（4）若两个三个，则它们不可能同时有确定值 27.（4）测不准关系只适用于不对易的物理量 28.（4）根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定， 只能求其平均值 29.（4）力学量的平均值一定是实数 30.（5）体系具有空间反演不变性，则能量本征态一定具有确定的 宇称 31.（5）在非定态下力学量的平均值随时间变化 32.（5）体系能级简并必然是某种对称性造成的 33.（5）量子体系的守恒量无论在什么态下，平均值和几率分布都 不随时间改变 34.（5）全同粒子系统的波函数必然是反对称的 35.（5）全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变 36.（5）描述全体粒子体系的波函数，对内部粒子的随意交换有确 定的对称性 37.（6）粒子在中心力场中运动，若角动量是守恒量，那么就不是 守恒量 38.（6）在中心力场中运动的粒子，轨道角动量各分量都守恒 39.（6）中心力场中粒子的能量一定是简并的 40.（6）中心力场中粒子能级的简并度至少为 41.（8）电子的自旋沿任何方向的投影只能取 42.（8）两电子的自旋反平行态为三重态
6. （3）一个质量为m的粒子在一维势场 ，求波函数满足的方程及连续性 条件，并给出奇宇称能量本征波函数及相应的本征能量。
值，即
44.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为，证明中心力场中运动
的粒子角动量守恒
45.（8）证明Pauli算符各个分量的反对易关系
46.（8）若电子处于的本征态。试证在此态中，取值或的概率各为。
47.
（8）设有两个电子，自旋态分别为。证明两个电子处于自旋单态
（S=0）和三重态（S=1）的几率分别为
11.（4）证明定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正 交
12.（4）证明：在定态中几率流密度矢量与时间无关 13.（4）令，试证为厄密算符 14.（4）试证为厄密算符 15.（4）设是一个幺正算符且对可导，证明†是厄米算符。 16.（4）已知和是厄米算符，证明(+)和2也是厄米算符 17.（4）试证明：任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢 的表象中的表示为对角矩阵 18.（4）试证明表象中算符的矩阵元是 19.（4）试证明表象中算符的矩阵元是 20.（4）若厄米算符具有共同本征函数，即，而且构成体系状态的完备函数 组，试证明 21.（4）若构成完备基组，证明： 22.（4）证明两个线性算符之和仍为线性算符 23.（4）设算符，，若为的本征函数，相应的本征值为，求证和也是的本 征函数，并求出相应的本征值。 24.（4）试证明是角动量平方算符属于本征值的本征函数。 25.（4）试证明表象变换并不改变算符的本征值 26.（4）证明对易关系 27.（4）证明在的本征态下 28.（4）设粒子处于状态下，证明 29.（4）证明谐振子的零点能是测不准关系的直接结果。 30.（4） 一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本 征态中的平均值等于零 31.（4）如果厄米算符A对任何矢量|u>，有<u|A|u>≧0，则称A为正定算 符。试证明算符A=|a><a|为厄米正定算符 ，波函数为，试证明交换算符是个守恒量 任意不显含时间t力学量A取值几率分布不随时间改变。 恒量，证明在任意态下A的取值概率分布不随时间改变。 的守恒量，无论在什么态下，平均值不随时间改变。
体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。 47.（8）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作
用，并计及电子的自旋—轨道耦合项），试给出|α>和|β>态的守恒 量完全集
48.（10）若在表象中，，与的矩阵分别为
，
是否可以将看作微扰，从而利用微扰理论求解的本征值与
