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目录第二章波函数和薛定谔方程 (2)一、简答题 (2)二、证明题 (6)三、计算题 (7)第二章 波函数和薛定谔方程一、简答题1.何谓微观粒子的波粒二象性？2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联系？3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对微观粒子不存在轨道的概念。

4.波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表现波粒二象性的？5.“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？6.试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。

7.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态？8.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？ 9.是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

10.微观粒子体系的状态完全由波函数),(t r描述，波函数应满足什么样的标准条件？ 波函数的物理意义是什么？11.叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。

12.什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什么？13.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微 观粒子的状态及波函数的标准条件。

14.简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 15.根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

16.简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。

17. 波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的含义是什么？18.波函数归一化的含义是什么？什么样的波函数可以归一化？归一化随时间变化吗？19. Bron 对波函数的统计解释什么？()()2,,,t r t r ψψ和()dxdydz t r 2, ψ分别表示什么含义？20.将描写体系量子状态的波函数乘上一个常数后，所描写体系的量子状态是否改变？21．若)(1x ψ是归一化的波函数，问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ ，)()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。

曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套模拟试题及详解（一）一、简答题（每小题5分，共20分。

） 1．什么是光电效应？解：光照到金属表面导致大量电子从金属中逸出的现象即为光电效应。

2．厄密算符的本征值是实数吗？量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 答：是。

以λ表示F 的本征值，ψ表示所属的本征函数，则λψψ=F ，因为F 是厄密算符，于是有⎰⎰=dx dx ψψλψψλ***，由此得λλ=*，即λ是实数。

3．氢原子处于3p 态的电子径向Schr ōdinger 方程是什么?该态下哈密顿算符H ˆ和角动量平方算符2ˆL的本征值呢？ 答：氢原子电子径向薛定谔方程为：0)1(2122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛R r l l r e E dr dR r dr d r μ 对于3p 态电子，2418e E μ-=。

哈密顿算符本征值为2418e μ-，角动量平方算符本征值222)1(=+l l 。

4．自旋可以在坐标表象中表示吗？答：自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

二、（25分）粒子在一维势场中运动，设其束缚态波函数为试求粒子相应的能量及势场。

解：由波函数得代入下式得取x ＝0时，V （x ）＝0，则，故本题所求为三、（25分）一粒子在一维势场0()00x U x x a x a ∞<⎧⎪=⎨⎪∞>⎩，， ≤≤，中运动。

（1）求粒子的能级和对应的波函数。

（2）若已知t =0时，该粒子状态为))()((21)0,(21x x x ψψψ+=，求t 时刻该粒子的波函数。

（3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。

解：（1）22222n maE n π=（n=1，2，3，…）可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=-a x a x ax xea n at x t E n in n ,,00,sin 2),(πψ（2）t 时刻的波函数：1212(,)()()iE t iE tx t x e x e ψψψ--⎡⎤=+⎥⎦（3）t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：21),(),(21=t x t x ψψt 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：21),(),(22=t x t x ψψ （4）平均能量：ˆ(,)(,)(,)(,)E x t Ex t x t i x t tψψψψ∂==∂ 22122524E E maπ+== 平均位置：12216()(,)(,)cos 29a a E E t x x t x x t ψψπ-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦四、（25分）对于自旋2的体系，求x y σσ+的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测量y S 得2的概率和x S 的平均值。

曾谨言量子力学题库一简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以Å为单位）3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量子理论5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。

9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。

11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikre r1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。

15.（3）简述和解释隧道效应16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。

17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？21.（4）若算符Aˆ、B ˆ均与算符C ˆ对易，即0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==C B C A ，A ˆ、B ˆ、C ˆ是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。

22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。

23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ˆ和x 方向的角动量xL ˆ是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式25.（4）简述幺正变换的性质26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在2221)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ödinger 方程。

第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ1、φ2、φ3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi 子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态的构造方式如下：Bose子体系态（共6种，均为交换对称态）有Fermi子体系态（反对称态）只有3种：当全同粒子体系的粒子数超过两个时，一般来说，对于粒子间的交换完全对称的状态（适用于Bose子）数目与完全反对称的状态（适用于Fermi子）数目之和，总是小于没有对称性限制的体系状态（适用于经典粒子）总数．亦即，后者除了完全对称态和完全反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态．例如，由三个全同粒子组成的体系，如可能的单粒子态有3种，则在Boltzmann统计、Bose统计、Fermi统计下，体系的可能态数目分别为27、10和1．4.3 设体系由3个粒子组成，每个粒子可能处于3个单粒子态（φ1，φ2和φ3）中任何一个态，分析体系的可能态的数目，分三种情况：（a）不计及波函数的交换对称性；（b）要求波函数对于交换是反对称；（c）要求波函数对于交换是对称．试问：对称态和反对称态的总数为多少?与（a）的结果是否相同?对此做出说明．解：（a）不计及波函数的交换对称性，其可能态的数目为33＝27；（b）要求波函数对于交换是反对称的，其可能态的数目为1；（c）要求波函数对于交换是对称的，其可能态的数目为1＋6＋3＝10（参见《量子力学教程》4.5.4节，94页的例题）．对称态和反对称态的总数＝10＋1＝11，而不计及交换对称性的量子态的数目（即（a）的结果）为27，两者并不相同．原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的限制所造成．4.4 设力学量A不显含t，H为体系的Hamilton量，证明证明：对于不显含t的力学量A，有上式两边再对t求导，则有即4.5 设力学量A不显含t，证明在束缚定态下证明：定态是能量本征态，满足对于束缚态，是可以归一化的，即取有限值．而对于不显含t的力学量A，因此4.6 表示沿z方向平移距离口的算符．证明下列形式波函数（Bloch波函数）：是D x（a）的本征态，相应本征值为证明：利用可得而对于形式为的波函数所以，即是D x（a）的本征态，相应本征值为e-ika．4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为En和，n为标记包含Hamilton 量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数．设H含有一个参数A，证明此即Feynman-Hellmann定理．【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，5.1题．】5.1 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为E n和（n为量子数或编号数），设λ为Hamilton算符H含有的任何一个参数．证明（1）这称为Feynman-Hellmann定理．以后简称F-H定理．证明：满足能量本征方程（2）其共轭方程为（2'）视λ为参变量，式（2）对λ求导，得到（3）以左乘式（3），利用式（2'）和归一化条件，即得式（1）．4.8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为丨n>和E n，n为一组完备好量子数．证明，力学量（算符）F随时间的变化，在此能量表象中表示为【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，2.1题．】2.1 给定总能量算符H（，，p），以表示其本征值和本征函数．态矢量简记为按照Heisenber9运动方程，力学量算符A（r，p）的时间变化率为（1）定义能量表象中矩阵元（2）证明（3）其中。

第8章 自 旋一、填空题1．称______等固有性质______的微观粒子为全同粒子。

【答案】质量；电荷；自旋；完全相同2．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为______，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为______。

【答案】n 2；2n 23．一个电子运动的旋量波函数为，则表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式为______，表示电子自旋向下的几率的表达式为______。

【答案】；二、名词解释题 电子自旋。

答：电子的内禀特性之一：（1）在非相对论量子力学中。

电子自旋是作为假定由Uhlenbeck 和Goudsmit 提出的：每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：；每个电子具有自旋磁矩M s ，它和自旋角动量的关系式：。

（2）在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质—样包含在波动方程中，不需另作假定。

三、简答题 1．请用泡利矩阵，，定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。

答：电子的自旋算符，其中，i ＝x ，y ，z 。

()()()z ,2,,2r r s r ψψψ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭r ()2,/2r ψ()23d ,/2rr ψ-⎰2±=z s μμ2e M S e M sz s ±=→-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110xσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00i i y σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001zσi iS σˆ2ˆ=2．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。

答：总自旋为0。

总自旋为1： 。

3．写出泡利矩阵。

答：，，4．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。

答：让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

5．完全描述电子运动的旋量波函数为，试述及分别表示什么样的物理意义。

答：表示电子自旋向下，位置在处的几率密度；表示电子自旋向上的几率。

曾谨言量子力学题库一简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以Å为单位）3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量子理论5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。

9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。

11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikre r1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。

15.（3）简述和解释隧道效应16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。

17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？21.（4）若算符Aˆ、B ˆ均与算符C ˆ对易，即0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==C B C A ，A ˆ、B ˆ、C ˆ是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。

22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。

23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ˆ和x 方向的角动量xL ˆ是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式25.（4）简述幺正变换的性质26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在2221)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ödinger 方程。